Bài tập nhị thức Newton

III) TOÁN VỀ CÁC SỐ
n
P
,
k
n
A
,
k
n
C
:
Bài 1: Giải bất phương trình:
3
4
1
3
1
14
1
P
A
C
n
n
n
<
+
−
−

Bài 2: Tìm các số âm trong dãy số x
1
, x
2
, …, x
n
, … với: x
n
=
nn
n
PP
A
4
143
2
4
4
−
+
+

Bài 3: Cho k, n là các số nguyên và 4 ≤ k ≤ n; Chứng minh:
k
n
k
n
k
n
k

n
k
n
k
n
CCCCCC
4
4321
464
+
−−−−
=++++

Bài 4: Cho n ≥ 2 là số nguyên. Chứng minh: P
n
= 1 + P
1
+ 2P
2
+ 3P
3
+ … + (n - 1)P
n - 1

Bài 5: Cho k và n là các số nguyên dương sao cho k < n. Chứng minh rằng:
1
1
11
2
1

1
−
−
−−
−
−
−
++++=
k
k
k
k
k
n
k
n
k
n
CC...CCC

VI) NHỊ THỨC NEWTON:
Bài 1: Chứng minh rằng:
1332211
433323
−−−−
=++++
nn
n
n
n

n
n
n
n
.nC.n...C.C.C
Bài 2: Khai triển và rút gọn các đơn thức đồng dạng từ biểu thức:

( ) ( ) ( )
14109
111 x...xx ++++++
ta sẽ được đa thức:P(x) = A
0
+ A
1
x + A
2
x
2
+ … +
A
14
x
14
Hãy xác định hệ số A
9

Bài 3: 1) Tính
( )
∫
+

1
0
1 dxx
n
(n ∈ N)
2) Từ kết quả đó chứng minh rằng:
1
12
1
1
3
1
2
1
1
1
21
+
−
=
+
++++
+
n
C
n
...CC
n
n
nnn

Bài 4: Chứng minh rằng:
( ) ( )
242
2112312
−
−=−+++
nn
nnn
.nnCnn...C..C..

Bài 5: Tính tổng S =
( )
n
n
n
nnnn
nC...C.C.C.C
1
4321
1432
−
−++−+−
(n ≥ 2)
Bài 6: Chứng minh rằng:
1616
16
2
16
141

16
150
16
16
2333 =+−+− C...CCC

Bài 7: Tìm hệ số của x
5
trong khai triển của biểu thức sau thành đa thức:
f(x) =
( ) ( ) ( ) ( )
7654
12121212 +++++++ xxxx

Bài 8: Trong khai triển của
10
3
2
3
1






+ x
thành đa thức:
P(x) =
10

10
9
910
xaxa...xaa ++++
Hãy tìm hệ số a
k
lớn nhất (0 ≤ k ≤ 10)
Bài 9: Tìm số nguyên dương n sao cho:
243242
210
=++++
n
n
n
nnn
C...CCC
.
Bài10:CMR:
( )
122333
200120002000
2001
20004
2001
42
2001
20
2001
−=++++ C...CCC

Bài 11: Với mỗi n là số tự nhiên, hãy tính tổng:
1)
( )
n
n
n
nnn
C
n
...CCC
1
1
1
3
1
2
1
210
+
−+−+−

2)
nn
nnnnn
C
n
...C.C.CC 2
1
1
2

4
1
2
3
1
2
2
1
332210
+
+++++

Bài 12: Cho đa thức P(x) = (3x - 2)
10
1) Tìm hệ số của x
2
trong khai triển trên của P(x)
2) Tính tổng của các hệ số trong khai triển trên của P(x)
Bài 13: Biết tổng tất cả các hệ số của khai triển nhị thức:
( )
n
x 1
2
+
bằng 1024 hãy tìm hệ số a
(a là số tự nhiên) của số hạng a.x
12
trong khai triển đó.
Bài 14: Trong khai triển nhị thức:
n

xxx








+
−
15
28
3
hãy tìm số hạng không phụ thuộc vào x
biết rằng:
79
21
=++
−− n
n
n
n
n
n
CCC

Bài15: Chứng minh:
144332111
3242322

−−−−−
=+++++
nn
nn
n
n
n
n
n
n
n
.nnC...C.C.CC

Bài 16: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của biểu thức:
17
4
3
2
1








+ x
x
x ≠ 0

Bài 17: Khai triển nhị thức:
n
x
n
n
n
x
x
n
n
x
n
x
n
n
x
n
n
xx
CC...CC








+









++








+








=









+
−
−
−
−
−
−
−
−−−−
3
1
3
2
1
1
3
1
2
1
1
2
1
0
22
1
22222222

Biết rằng trong khai triển đó
13
5
nn
CC =
và số hạng thứ tư bằng 20n, tìm n và x
Bài 18: Trong khai triển:
21
3
3






+
a
b
b
a
Tìm số hạng chứa a, b có số mũ bằng nhau.
Bµi 19: Chøng minh r»ng
0 2 4 2 1 3 5 2 1
2 2 2 2 2 2 2 2
... ...
n n
n n n n n n n n
C C C C C C C C
−

+ + + = + + + .
Bµi 20: Chøng minh r»ng
)12(23....33.
200120002000
2001
20004
2001
42
2001
20
2001
−=++++
CCCC
.
Bµi 21: TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc P=
10
10
103
10
32
10
21
10
10
10
3....333 CCCCC
++−+−
.
Bµi 22: T×m n nguyªn d¬ng sao cho
2432...42

210
=++++
n
n
n
nnn
CCCC
.
Bài 23: Tính giá trị của biểu thức A=
n
n
n
nnn
CCCC
2
12
...
2
12
2
12
1
2
3
1
2
0

++

+

+
+
với
n N
.
Bài 24: Tìm hệ số của x
8
trong khai triển
5
3
1
( ) , x>0
n
x
x
+ biết :
)3(7
3
1
4
+=
+
+
+
nCC
n
n
n

n
.
Bài 25: Tìm hệ số của x
4
trong khai triển
3
2
1
( ) , x>0
n
x
x
+
biết tổng ba hệ số đầu tiên của khai
triển bằng 79.
Bài 26: Tìm hệ số của x
26
trong khai triển (
4
1
x
+x
7
)
n
Biết:
12...
20
12
2

12
1
12
=+++
+++
n
nnn
CCC
.
Bài 27: Cho khai triển
3
4 4
3
3
n
x
x y
y

+
ữ
ữ

với x, y >0 biết rằng
1 3 2 1
2 1 2 1 2 1
... 1024
n
n n n
C C C

+
+ + +
+ + + =
a. Tìm n nguyên dơng. b. Tìm số hạng có chứa x
14
y
3
trong khai triển.
Bài 28: Tìm hệ số không chứa x trong khai triển
3
4
1
( )
n
x
x
+
với x>0 biết rằng
3 1
5
n n
C C=
.
Bài 29: Tìm hệ số không chứa x trong khai triển
19
1
(2 )x
x
+ với x>0.
Bài 30: Có bao nhiêu số hạng là các số nguyên dơng trong khai triển

121
3
( 7 5)+
.
Bài 31: Trong khai triển (
21
3
3
)
a
b
b
a
+
hãy tìm hệ số của số hạng chứa a và b có số mũ bằng
nhau.
Bài 32: Tìm hệ số có giá trị lớn nhất trong khai triển (a+b)
n
biết tổng các hệ số của khai triển là
4096.
Bài 33: Tìm số hạng có giá trị lớn nhất trong khai triển
8
1 2
3 3

+
ữ

.
Bài 34: Cho khai triển

10
2 10
0 1 2 10
1 2
...
3 3
x a a x a x a x

+ = + + + +
ữ

. Hãy tìm hệ số a
k
lớn nhất
trong khai triển trên (
0 10k
).
Bài 35: Tìm hệ số của x
6
trong khai triển (x+2)
4
(x+1)
5
.
Bài 36: Tìm hệ số của số hạng chứa x
10
y
4
z
3

t
3
trong khai triển (x+y+z+t)
20
.
Bài 37: Gọi a
3n-3
là hệ số của x
3n-3
trong khai triển của đa thức (x
2
+1)
n
.(x+2)
n
. Hãy tìm n nguyên d-
ơng để a
3n-3
=26n.
Bài 38: Tìm hệ số của x
n-1
trong khai triển
2
1 1 1
...
2 2 2
n
x x x

+ + +

ữ ữ ữ

.
Bi 18. Chng minh rng:
.
Bi 19. Chng minh rng:
Bi 20. Vi n l s nguyờn dng, chng minh h thc sau:
Bài 21. Chứng minh rằng:
Bài 22. Tính tổng:
Bài 23. Tính tổng:
Bài 24. Chứng minh rằng:
Bài 25. Cho n là một số nguyên dương:
a. Tính : I =
∫
+
1
0
)1( dxx
n
b. Tính tổng:
Bài 26. Tìm số nguyên dương n sao cho:
Bài 27. Tìm số nguyên dương n sao cho:
Bài 28. Tìm số tự nhiên n thảo mãn đẳng thức sau:
Bài 29. Tính tổng:
,
biết rằng, với n là số nguyên dương:
Bài 30. Tìm số nguyên dương n sao cho:
Bài 31. Tìm hệ số của x
8
trong khai triển thành đa thức của:

Bài 32. Gọi a
3n - 3
là hệ số của x
3n - 3
trong khai triển thanh đa thức của:(x
2
+ 1)
n
(x + 2)
n
.
Tìm n để a
3n - 3
= 26n
Bài 33. Tìm hệ số của số hạng chứa x
26
trong khai triển nhị thức Newton của
n
x
x






+
7
4

1
Biết rằng:
12...
20
12
2
12
1
12
−=+++
+++
n
nnn
CCC
Bài 34. Tìm các số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton của:
với x > 0
Bài 35. Tìm số hạng thứ 7 trong khai triển nhị thức:
;
Bài 36. Cho :
Sau khi khai triên và rút gọn thì biểu thức A sẽ gồm bao nhiêu số hạng?
Bài 37. Tìm hệ số của số hạng chứa x
8
trong khai triển nhị thức Newton của
, biết rằng:
Bài 38. khai triển biểu thức (1 - 2x)
n
ta được đa thức có dạng: .
Tỡm hệ số của , biết a
o
+a

1
+a
2
= 71
Bài 39. Tìm hệ số của x
5
trong khai triển đa thức:
Bài 40. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức
n
x
x






+
3
2
1
Biết rằng:
Bài 41. Giải các phương trình:
;
;
Bài 42. Giải các hệ phương trình:
1. 2.
3. 4.
Bài 43. Giải các bất phương trình: