Sáng kiến kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải bài toán bằng cách lập phương trình

1
MỤC LỤC
PHẦN I: MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
2. Phạm vi và đối tượng nghiên cứu
PHẦN II: NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
1. Cơ sở lí luận
2. Thực trang chung của vấn đề
3. Các biện pháp đã tiến hành giải quyết
4. Hiệu quả của đề tài
PHẦN III: KẾT LUẬN
1. Đánh giá cơ bản về sáng kiến kinh nghiệm
2. Nhận định chung về việc áp dụng và khả năng phát triển của đề tài
3. Kiến nghị

Trang
2
2

4
5
7
30
31
33
33


2
PHẦN I: MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài

Trong quá trình giảng dạy tốn tại trường THCS tơi thấy dạng tốn giải bài
tốn bằng cách lập phương trình ln ln là một trong những dạng toán cơ bản.
Dạng toán này xun suốt trong chương trình tốn THCS, một số giáo viên chưa
chú ý đến kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phương trình cho học sinh mà chỉ
chú trọng đến việc học sinh làm được nhiều bài, đôi lúc biến việc làm thành
gánh nặng với học sinh. Còn học sinh đại đa số chưa có kỹ năng giải dạng tốn
này, cũng có những học sinh biết cách làm nhưng chưa đạt được kết quả cao vì:
Thiếu điều kiện hoặc đặt điều kiện khơng chính xác; khơng biết dựa vào mối liên hệ
giữa các đại lượng để thiết lập phương trình; lời giải thiếu chặt chẽ; giải phương
trình chưa đúng; quên đối chiếu điều kiện; thiếu đơn vị ...
Để giúp học sinh sau khi học hết chương trình tốn THCS có cái nhìn tổng
qt hơn về dạng tốn giải bài tốn bằng cách lập phương trình, nắm chắc và
biết cách giải dạng toán này. Rèn luyện cho học sinh khả năng phân tích, xem
xét bài tốn dưới dạng đặc thù riêng lẻ. Khuyến khích học sinh tìm hiểu cách
giải để học sinh phát huy được khả năng tư duy linh hoạt, nhạy bén khi tìm lời
giải bài tốn. Tạo cho học sinh lịng tự tin, say mê, sáng tạo, khơng cịn ngại
ngùng đối với việc giải bài tốn bằng cách lập phương trình, thấy được mơn tốn
rất gần gũi với các môn học khác và thực tiễn trong cuộc sống. Giúp giáo viên tìm
ra phương pháp dạy học phù hợp với mọi đối tượng học sinh. Vì những lý do đó tơi
chọn sáng kiến kinh nghiệm: Hướng dẫn học sinh giải bài tốn bằng cách lập
phương trình” cho học sinh lớp 8A2 Trường THCS Nguyễn Lân.
2. Phạm vi và đối tượng nghiên cứu
2.1. Đối tượng nghiên cứu:
- Rèn kỹ năng giải bài tốn bằng cách lập phương trình
- 32 học sinh lớp 8A2 trường THCS Nguyễn Lân.
2.2. Phạm vi và kế hoạch nghiên cứu:
- 32 học sinh lớp 8A2 trường THCS Nguyễn Lân.
- Từ ngày 10 tháng 9 năm 2021 đến ngày 10 tháng 4 năm 2022.
3. Mục đích nghiên cứu đề tài:
Nhằm giúp học sinh có cái nhìn tổng quát hơn về dạng toán “giải bài toán

bằng cách lập phương trình” để mỗi học sinh sau khi học xong chương trình tốn
THCS đều phải nắm chắc loại tốn này và biết cách giải chúng.
Rèn luyện cho học sinh khả năng phân tích, xem xét bài tốn dưới dạng
đặc thù riêng lẻ. Mặt khác cần khuyến khích học sinh tìm hiểu cách giải để học
sinh phát huy được khả năng tư duy linh hoạt, nhạy bén khi tìm lời giải bài toán,


3
tạo được lòng say mê, sáng tạo, ngày càng tự tin, khơng cịn tâm lý ngại ngùng
đối với việc giải bài tốn bằng cách lập phương trình.
Giúp giáo viên tìm ra phương pháp dạy phù hợp với mọi đối tượng học
sinh làm cho học sinh hứng thú khi học môn Tốn.
Học sinh thấy được mơn tốn rất gần gũi với các môn học khác và thực
tiễn cuộc sống.


4
PHẦN II: NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
1. Cơ sở lý luận
“Lập phương trình đối với một bài tốn cho trước là biện pháp cơ bản để áp
dụng toán học vào khoa học tự nhiên và kỹ thuật. Khơng có phương trình thì
khơng có tốn học, nó như phương tiện nhận thức tự nhiên”.
(P.X.Alêkxanđơrơp)
- Khi lập phương trình thì điều quan trọng nhất đối với học sinh là khai thác
cho được mối liên hệ bản chất toán học của các đại lượng ẩn giấu sau các cách
biểu hiện bên ngoài bằng các khái niệm ngồi tốn học .
- Theo phân phối chương trình mơn tốn THCS của bộ giáo dục thực hiện từ
đầu năm học. Số tiết để dạy học giải các bài tốn bằng cách lập phương trình là 4
tiết. Với thời lượng như vậy, việc học sinh có thể tự giải bài tốn bằng cách lập
phương trình ở bậc THCS là một vấn đề hết sức khó khăn và học sinh thấy rất

mới lạ. Một bài toán là một đoạn văn mô tả mối quan hệ giữa các đại lượng mà
có một đại lượng chưa biết, yêu cầu học sinh phải phân tích, khái quát, tổng hợp
liên kết các đại lượng với nhau từ đó học sinh phải tự lập phương trình để giải.
Những bài tốn này hầu hết nội dung của nó đều gắn liền với các hoạt động thực
tiễn của con người, của tự nhiên, xã hội.
Với phương pháp hướng dẫn thông thường , đại đa số học sinh sẽ tham
khảo theo từng dạng bài rồi dựa theo đó rồi giải lại một cách rất máy móc. Nếu
các em quên một thao tác nhỏ khi giải có thể dẫn tới bế tắc hoặc sai lầm cả bài.
Nếu giáo viên yêu cầu học sinh độc lập suy nghĩ tự giải khơng tham khảo bài
mẫu thì thường là học sinh không thể giải nổi hoặc nếu người ra đề thay đổi một
số tình huống trong đề bài so với bài tập mẫu thì lập tức học sinh bị sai sót theo.
Giáo viên hướng dẫn cần làm cho học sinh thấy được: Dù là dạng toán
nào, thực chất bài toán cũng chỉ được biểu thị bằng một tương quan toán học
duy nhất , đó là một phương trình. Các đại lượng và các liên hệ đã cho trong
bài toán đều tuân theo các mối liên quan tỉ lệ thuận, tỉ lệ nghịch và các quan
hệ lớn hơn, nhỏ hơn của toán học .
Do đó, khi lập phương trình học sinh cần bình tĩnh cân nhắc cố gắng đi
sâu vào thực chất của các quan hệ ; không băn khoăn, không bối rối với các cách
diễn đạt thường là phức tạp của đề bài; đồng thời cũng biết cách diễn giải những
cụm từ như: lớn hơn, bé hơn, nhanh hơn, sớm hơn, tăng, giảm, vượt mức ...
thành những tương quan toán học tương ứng với nội dung thực tế của đề bài .


5
Đề tài “ Hướng dẫn học sinh giải bài toán bằng cách lập phương
trình” tập trung chính ở việc cung cấp cho học sinh một phương pháp tóm đề
mới dựa trên 3 cơ sở chính là tương quan tỉ lệ thuận, tương quan tỉ lệ nghịch và
các quan hệ lớn hơn, nhỏ hơn của toán học để áp dụng cho các dạng toán mà các
sách hướng dẫn xếp vào các loại khác nhau, giúp các em vượt qua những khó
khăn khi phân tích đề, hiểu và giải được bài tốn .

Thay vì rất khó nhọc để lập được phương trình cho bài tốn theo từng
dạng khác nhau đó, với phương pháp tóm đề này, học sinh suy nghĩ tương đối
nhẹ nhàng và dễ dàng hơn vì sau khi thực hiện xong phần tóm đề, tự khắc
phương trình của bài tốn sẽ hiện ra . Học sinh chỉ cần dựa vào đó mà thực hiện
cách giải.
2. Thực trạng chung của vấn đề
2.1. Về phía giáo viên
      Có thể khẳng định rằng đây là một trong những kiểu bài tương đối khó với
giáo viên. Khó khăn trước hết là khó khăn về kiến thức, về phương pháp. Cái gì
dạy mãi cũng thành quen mà quen thì dễ hơn. Nhưng với kiểu bài này giáo viên
rất lúng túng về phương pháp. Chỉ trong 4 tiết dạy giải bài tốn bằng cách lập
phương trình mà dung lượng kiến thức khơng ít, có rất nhiều dạng toán cần giải
quyết. Giáo viên phải làm sao để có thể tải hết các nội dung kiến thức của bài
cho HS tiếp thu một cách tích cực, tránh được sự giảng giải nhàm chán đều đều
từ đầu đến cuối tiết học; vừa cuốn hút học sinh vào bài giảng và cuối cùng phải
làm cho HS có thể tự giải được loại tốn giải bài tốn bằng cách lập phương
trình. Qua trao đổi với nhiều GV dạy khối 8, phần lớn giáo viên cũng đều e ngại
dạy kiểu bài này.
      Vậy ngun nhân do đâu? Theo tơi, ngun nhân chính là do giáo viên chưa
tìm được phương pháp tối ưu, chưa thật sự đầu tư thời gian nhiều để suy nghĩ
nhằm đưa ra hệ thống những lời chỉ dẫn cần thiết và tốt nhất cho học sinh trong
các tiết học.
2.2. Về phía học sinh
      - Những chỉ dẫn rời rạc của giáo viên thông thường học sinh không nhớ và
hệ thống hóa được. Vì thế những chỉ dẫn đó chỉ trơng vào trí nhớ của học sinh,
học sinh lại nhanh quên. Mặc dù trong SGK, SBT tốn 8 đã có một số bài tập
giải mẫu các bài toán và một vài chỉ dẫn lập phương trình nhưng những hướng
dẫn đó chưa cung cấp cho học sinh đầy đủ những cơ sở vững chắc để nắm vững

6
cách giải các bài tốn.
      - Theo tơi, ngun nhân chính làm cho học sinh giải chưa tốt bài tốn bằng
cách lập phương trình, đó là:
      + Học sinh cịn yếu về kĩ năng, kĩ xảo ghi tóm tắt giả thiết bằng ký hiệu để
giúp phân tích tổng hợp bài toán, giúp diễn tả rõ hơn mối quan hệ giữa các đại
lượng đưa vào bài toán.
      + Nhiều học sinh khó hình dung được mối liên hệ phụ thuộc giữa các đại
lượng đưa vào bài tốn, khơng biết diễn tả mối quan hệ phụ thuộc giữa các đại
lượng đưa vào bài tốn, khơng biết diễn tả mối phụ thuộc này bằng ký hiệu cho
nên khó chuyển bằng lời sang ngơn ngữ toán học trừu tượng.
      + Một số học sinh khơng hiểu giải một bài tốn là như thế nào. Vì thế khơng
giải đầy đủ, khơng biết nghiệm của phương trình tìm được có là đáp số của bài
tốn này khơng.
      +Giáo viên ít chú ý tới cấu trúc của những bài toán phức hợp từ những bài
toán cơ bản, cũng như ít phân tích các bài tốn mà chỉ lo làm thế nào để giải
xong bài toán.
- Bên cạnh đó, một số học sinh biết cách giải thì khơng hồn chỉnh nên khơng
đạt điểm tối đa vì:
+ Thiếu điều kiện hoặc đặt điều kiện khơng chính xác.
+ Khơng biết cách chọn ẩn số như thế nào cho phù hợp.
+ Không biết dựa vào mối liên hệ giữa các đại lượng để thiết lập phương
trình.
+ Lời giải thiếu tính chặt chẽ, thiếu đơn vị
+ Giải phương trình chưa đúng, quên đối chiếu điều kiện . . .
Với những thực trạng như trên tôi đã tiến hành điều tra, thu thập số liệu cho việc
nghiên cứu đề tài:
* Đầu năm học, tiến hành phân loại học tập bộ môn để nắm bắt chất lượng học
tập của các em để có biện pháp dạy học phù hợp: (Tiếp nhận kết quả lớp 7 )
Năm học

Lớp

Sĩ số

Giỏi

Khá

TB

Yếu

Kém

2021 - 2022

8A2

32

8

8

14

2

0

* Khi học xong giải bài tốn bằng cách lập phương trình, bản thân tơi còn dùng
phương pháp trò chuyện gợi mở để thu thập thêm một số thông tin, phân loại
đối tượng học sinh trong việc giải tốn bằng cách lập phương trình .
Bảng tổng hợp kết quả điều tra : (kết quả cuối năm của năm học trước)


7
Nội dung điều tra

Năm học
2020 -2021

Tổng số học sinh

146

Thích học Tốn

40

Khơng thích học Tốn

106

Có quyết tâm tìm hiểu phương pháp giải và mong muốn bản
thân tự giải được bài toán bằng cách lập phương trình .

40

Biết giải phương trình đưa được về dạng ax + b = 0 nhưng
không thể lập được phương trình từ đề bài tốn .

70

Khơng thuộc các công thức về sự liên quan tỉ lệ thuận , tỉ lệ
nghịch ; về diện tích hoặc chu vi của các hình vng, hình
chữ nhật ...

100

Khơng biết cách sắp xếp các bước trong q trình giải tốn
bằng cách lập phương trình .

100

Khơng nắm được các mối liên hệ giữa các đại lượng từ đề
bài để lập phương trình .

100

Có thể lập được phương trình, nhưng khơng hiểu và khơng
biết hướng giải đó đúng hay sai .

60

Có thể lập được phương trình, có hiểu nhưng khơng dám
khẳng định là chắc chắn đúng .

60

Có thể tự giải một bài tốn dạng tương tự như dạng đã học

60

Tổng hợp được các mối liên hệ giữa các đại lượng của đề
bài; lập được phương trình, hiểu, giải thích được và tự giải
được bài tốn bằng cách lập phương trình.

40

3. Các biện pháp đã tiến hành giải quyết vấn đề:
Để thực hiện tốt yêu cầu đề ra trong việc phân tích bài tốn “Giải tốn
bằng cách lập hệ phương trình” với thời lượng lên lớp 4 tiết là rất khó. Việc quan
trọng nhất là giáo viên phải soạn bài thật tốt, chọn lọc hệ thống câu hỏi phù hợp
với trình độ học sinh (từ dễ đến khó) và có liên hệ đến thực tế. Do đó, bản thân
tơi mạnh dạn đưa ra các biện pháp sau đây:
3.1. Hướng dẫn học sinh tự tìm hiểu đề bài: đọc từng câu, từng chữ, suy
nghĩ thật thấu đáo để nắm được đề bài và thơng qua đó phải hiểu được ta
đa xét đến đại lượng nào (kèm theo đơn vị phù hợp).


8
Ví dụ :+ …Xe thứ nhất chạy nhanh hơn xe thứ hai 10km/h … hay mỗi giờ
xe máy đi được 40km … thì học sinh phải hiểu ta đang xét về đại lượng vận
tốc.
+ … tổng thời gian cả đi lẫn về mất 2 giờ 30 phút…hay thời gian về
nhiều hơn thời gian đi là 20 phút … thì học sinh phải hiểu ta đang xét về đại
lượng thời gian.
+ Hai xe khởi hành cùng một lúc từ hai địa điểm A và B cách nhau

90 km… thì học sinh phải hiểu ta đang xét về đại lượng quãng đường.
+ «... nên mỗi xe phải chở thêm 3 học sinh so với dự kiến ban đầu... » thì
học sinh phải hiểu đang xét về số học sinh của mỗi xe .
3.2. Rèn luyện kĩ năng lập phương trình: bằng cách luyện tập cho HS biến
đổi ngôn ngữ trong để bài thành ngơn ngữ tốn học cụ thể, dễ hiểu với
phương trình bằng chữ.
Ví dụ 1: Một ơ tơ đi từ A đến B rồi quay ngược trở về A, cả đi và về mất 3
giờ ... thì học sinh phải ghi được là : tđi + tvề = 3 . Đó là một phương trình lập
được bằng những chữ mà học sinh nào cũng có thể thực hiện được . Nếu cần
biến đổi tương đương , các em cũng dễ dàng đưa phương trình trên thành :
tđi
= 3 – tvề
Lưu ý: Nếu ta gọi x là thời gian của ô tô lúc về (đại lượng chưa biết ở vế phải )
thì thời gian lúc đi của ô tô ( đại lượng chưa biết ở vế trái ) sẽ là : 3 – x
( toàn bộ vế phải ). Học sinh dựa vào đó sẽ dễ dàng hình dung ra sự liên hệ giữa
các đại lượng trong đề bài hơn.
Vậy dựa vào phương trình vừa tóm tắt :
tđi = 3 – tvề

Học sinh có thể đặt :

Gọi thời gian về từ B đến A là x(h) (ĐK: x < 3)
Vậy thời gian đi từ A đến B là 3 – x (h )
Quan trọng nhất trong bước này là cho học sinh vận dụng các quan
hệ lớn hơn, nhỏ hơn của toán học: nếu cần biểu diễn giá trị chênh lệch giữa
hai đại lượng ta hướng dẫn học sinh thực hiện phép trừ với những phương


9
trình bằng chữ dạng A – B = C, trong đó A là giá trị lớn hơn, B là giá trị

nhỏ hơn và C là giá trị chênh lệch của hai đại lượng .
Học sinh chỉ cần chú ý xem đại lượng nào lớn hơn, đại lượng nào nhỏ hơn để đặt
vào cho thích hợp .
Ví dụ 2:
Đề bài

Tóm tắt

Biến đổi ( nếu cần )

... Ơng của Bình hơn Bình 58
Tuổiơng – TuổiBình = 58
tuổi ...(bài 52 SBT/12)
... Tốp trồng cây nhiều hơn
tốp làm vệ sinh là 8 người.
(bài 51SBT.12)
…biết thời gian về ít hơn
thời gian đi là 30 phút…
…biết mỗi giờ xe máy chạy
chậm hơn xe ô tô là 12 km .

Tuổiơng =TuổiBình +58

HS tốp trồng cây – HS HS tốp trồng cây =
tốp làm VS = 8
HS tốp làm VS + 8
đổi 30 phút =

(h)
t đi = tvề +

t đi – tvề =
V ôtô – Vxe máy = 12

V ơtơ = Vxe máy + 12

Trên cơ sở tóm tắt này , học sinh sẽ nhận biết và nắm vững rõ ràng hơn
quan hệ giữa các đại lượng thông qua những hình tượng cụ thể trong những
phương trình bằng chữ cơ đọng đó và các em có đầy đủ cơ sở để phát hiện
những sai lầm và phản bác lại các ý tưởng máy móc, ngộ nhận khi giải.
3.3. Hướng dẫn học sinh thực hiện tóm tắt đề và giải được bài tốn bằng
cách lập phương trình.
a/ Tóm tắt đề bài :
- Sau khi đọc kỹ đề bài để nắm vững từng ý, ta đưa tất cả các nội dung của đề
bài về những phương trình bằng chữ hoặc những số liệu cụ thể, nội dung nào đề
bài đề cập trước ta ghi nhận trước, nội dung nào được đề cập sau ta ghi nhận
sau. Cần tìm phần nào thì đánh dấu hỏi ở phần đó và chú ý khơng được bỏ sót
bất kỳ nội dung nào .
- Khi tóm đề xong, ta thường gặp đầy đủ hai phương trình bằng chữ . Nếu chưa
đủ, ta nên suy nghĩ thêm để tìm cho được một phương trình nữa có thể đang ẩn
chứa sau đề bài .


10
- Đề bài yêu cầu tìm đại lượng nào, nếu đại lương đó chưa nằm ở vế phải của
một phương trình nào cả, ta có thể chọn phương trình có chứa đại lượng cần tìm
đó và biến đổi (sao cho vế trái chỉ còn hiện diện một đại lượng duy nhất) để làm
phương trình trung gian. Phương trình cịn lại khơng cần biến đổi sẽ là phương
trình chính thức của bài tốn .
b. Giải tốn :

Đầu tiên, thơng thường ta nên đặt ẩn số là đại lượng chưa biết nằm bên trái
của phương trình trung gian.
Đại lượng trực tiếp liên quan đến ẩn số là tồn bộ phương trình trung gian
này. Lần lượt giải quyết từng đại lượng trong phương trình chính thức của
bài tốn theo đúng thứ tự từ trái sang phải của phương trình chính thức trong
phần tóm đề .
Cuối cùng, dựa vào phương trình chính thức trong tóm đề, ta sẽ lập được
phương trình của bài tốn .
Lưu ý :
Tất cả các thao tác của phần tóm đề này, học sinh sẽ ghi nhận ở phần giấy nháp
với thời gian từ 2 đến 4 phút. Tóm tắt xong đề bài đồng nghĩa với việc đã xác
định được phương trình chính thức của bài tốn. Sau đó, học sinh có thể dựa
vào thứ tự của phần tóm đề này mà sắp xếp các ý để trình bày phần giải toán vào
vở học .
3.4. Giáo viên phải chuẩn bị một số bài tập tương tự cho các em về nhà thực
hiện. Tiết học sau thu vở của các em, chấm và chữa từng bài giải của một số
em, sửa từng câu văn, phép tính.
Đây là một việc làm khơng q khó, tuy nhiên nó địi hỏi ở giáo viên sự
tận tâm, tận tụy chịu khó trong cơng việc.
Lưu ý: hệ thống bài tập cũng phải được sắp xếp từ dễ đến khó.
Một số bài tốn minh họa cho đề tài:
Bài toán 1 :
Tổng của hai số nguyên dương là 80 , biết số thứ hai lớn hơn số thứ
nhất là 14 đơn vị. Hãy tìm hai số đó ? (Tương tự bài tập 43 SBT/11)
Tìm hiểu đề : ( Đọc từng câu , nắm vững từng ý để tóm tắt đề )
GV hướng dẫn biến đổi ngôn ngữ trong đề tốn
thành ngơn ngữ tốn học

Trả lời HS

«

Số I + Số II = 80

Tổng của hai số nguyên dương là 80

»


11
«

… số thứ hai lớn hơn số thứ nhất là 14 đơn vị »

Số II – Số I = 14

«

Hãy tìm hai số đó ? »

Số I = ? , Số II = ?

Học sinh tự tóm tắt đề :
SốI + SốII = 80
(1)
SốII – SốI = 14
(2)
SốI = ?
SốI = ?
Xác định phương trình của bài tốn :

Khi đề bài yêu cầu tìm các số đã cho, do phương trình (1) và (2) ở phần tóm tắt
đề đều có chứa đại lượng cần tìm nên ta có thể lấy một trong hai phương
trình trên để biến đổi tương đương (chuyển vế và đổi dấu ) làm phương trình
trung gian . Phương trình cịn lại sẽ là phương trình chính thức của bài toán .
SốI + SốII = 80 (1) biến đổi
SốII = 80 – SốI
không biến đổi
SốII – SốI = 14 (2)
SốII – SốI = 14 (phương trình)
SốI = ?
SốII = ?
Theo thứ tự của tóm đề , học sinh bắt đầu bước vào giải toán :
SốII = 80 – SốI
( phương trình trung gian )
SốII – SốI = 14
( phương trình chính thức )
Đặt ẩn số là đại lượng chưa biết ở vế phải của phương trình trung gian .
( Học sinh chọn « SốI » của phương trình trung gian để đặt làm ẩn số x
Gọi số thứ nhất là x.
Đại lương tương ứng theo ẩn số là tồn bộ phương trình trung gian .
Học sinh dựa vào phần tóm đề SốII = 80 – SốI để đặt
số thứ hai cần tìm là 80 – x
– Cho xuất hiện phương trình của bài tốn : SốII – SốI = 14

Bài giải của học sinh
Gọi số thứ nhất cần tìm là x ( x
)
Số thứ hai cần tìm là : 80 – x
Vì số thứ hai lớn hơn số thứ nhất là 14 đơn
vị nên ta có pt :

( 80 – x ) – x = 14
Giải phương trình ta được :

Cơ sở dựa vào phẩn tóm đề
SốII = 80 – SốI

SốII – SốI = 14


12
x = 33 ( nhận )
Trả lời :Vậy số thứ nhất là 33
số thứ hai là 80 – 33 = 47
Bài tập tương tự bài toán 1:
Bài 1: (Bài 5 , đề 15 – sách Ôn tập và kiểm tra tốn 8 )
Tìm hai số biết tổng của chúng là 63 và hiệu của chúng là 9
Bài 2 : (bài 44 SBT/11)
Tổng của hai số bằng 90, số này gấp đơi số kia. Tìm hai số đó.
Bài tốn 2 : (Bài 35 SGK/25)
Học kỳ I, số học giỏi của lớp 8A bằng

số học sinh cả lớp. Sang học kỳ hai, có

thêm 3 bạn phấn đấu trở thành học sinh giỏi nữa, do đó số học sinh giỏi bằng
20% số học sinh cả lớp. Hỏi lớp 8A có bao nhiêu học sinh?
Tìm hiểu đề : ( Đọc từng câu, nắm vững từng ý để tóm tắt đề )
GV hướng dẫn biến đổi ngơn ngữ trong đề tốn
thành ngơn ngữ tốn học
Học kỳ I, số học sinh giỏi của lớp 8A bằng

Trả lời HS
số

học sinh cả lớp

Hs giỏi =

. Hs lớp

(học kỳ I)

Sang học kỳ hai, có thêm 3 bạn phấn đấu trở thành Hs giỏi + 3
học sinh giỏi nữa …
(cuối năm)
(GV giải thích : thêm 3 bạn nữa nghĩa là số HS giỏi
cả năm bằng số HS giỏi của học kỳ I cộng thêm 3)
“…do đó số học sinh giỏi bằng 20% số học sinh cả
lớp.”

Hs giỏi + 3 = 20% . Hs lớp
(cuối năm)

Hỏi lớp 8A có bao nhiêu học sinh?

Tìm số HS lớp 8A?

Học sinh tự tóm đề :
Học kỳ I:
Học sinh giỏi =

. Học sinh cả lớp

(1)

Cuối năm:
Học sinh giỏi + 3
Học sinh giỏi + 3 = 20% . Học sinh cả lớp (2)
Học sinh cả lớp = ?
Xác định phương trình của bài tốn :


13
Khi đề bài yêu cầu tìm số học sinh của lớp 8A, ta nhận thấy phương trình (1) có
chứa đại lượng đó, lại sẵn có ở vị trí vế phải. Do đó ta khơng cần biến đổi và có
thể chọn phương trình (1) làm phương trình trung gian. Phương trình cịn lại (2)
sẽ là phương trình chính thức của bài toán.
Học kỳ I:
Học sinh giỏi =

. Học sinh cả lớp (1) ( phương trình trung gian )

Cuối năm:
Học sinh giỏi + 3
Học sinh giỏi + 3 = 20% . Học sinh cả lớp (2) ( phương trình chính thức )
Theo thứ tự của tóm đề, học sinh bắt đầu bước vào giải toán :
Đặt ẩn số là đại lượng ở vế phải của phương trình trung gian .
( Học sinh chọn « HỌC SINH CẢ LỚP » để đặt làm ẩn số
gọi số học sinh của
lớp 8A là x )
Đại lương tương ứng theo ẩn số là toàn bộ phương trình trung gian .

( Học sinh dựa vào phần tóm đề « HỌC SINH GIỎI =
để đặt số học sinh giỏi ở học kỳ I là :

. HỌC SINH CẢ LỚP »

x )

Lần lượt tìm và giải quyết các đại lượng của phương trình chính thức .
(Học sinh dựa vào phần tóm đề « HỌC SINH GIỎI + 3 » để đặt số học sinh giỏi ở
cuối năm là :

x+3)

Cho xuất hiện phương trình của bài tốn :
(Học sinh dựa vào phần tóm đề « học sinh giỏi + 3 = 20% . Học sinh cả lớp » để
lập phương trình :

x + 3 = 20% x )

Bài giải của học sinh

Cơ sở dựa vào phẩn tóm đề

Gọi số học sinh của lớp 8A là : x( học sinh )
(ĐK: x
)

Học kỳ I:

Số học sinh giỏi của lớp ở học kỳ I là :

Học sinh giỏi =

x (học

sinh)
Số học sinh giỏi của lớp vào cuối năm là :
3 (học sinh)

x+

lớp
Cuối năm:
Học sinh giỏi + 3

. Học sinh cả


14
Theo đề bài ta có phương trình :

x + 3 = 20% x

Giải phương trình ta được : x = 40 ( nhận )
Trả lời :số học sinh của lớp 8A là : 40 học sinh .

Học sinh giỏi + 3 = 20% . Học
sinh cả lớp

Bài tập tương tự bài toán 2:

Bài 1: (bài 51 SBT/12)Trong một buổi lao động, lớp 8A gồm 40 học sinh chia
thành hai tốp: tốp thứ nhất trồng cây và tốp thứ hai làm vệ sinh. Tốp trồng cây
đông hơn tốp làm vệ sinh là 8 người. Hỏi tốp trồng cây có bao nhiêu người?
Bài 2: Hai thùng dầu A và B có tất cả 100 lít. Nếu chuyển từ thùng A qua thùng
B 18 lít thì số lượng dầu ở hai thùng bằng nhau. Tính số lượng dầu mỗi thùng
lúc đầu?
Bài 3: Số sách ở ngăn I bằng

số sách ở ngăn thứ II. Nếu lấy bớt 10 quyển ở

ngăn II và thêm 20 quyển vào ngăn I thì số sách ở ngăn II bằng

số sách ở

ngăn I. Hỏi ban đầu mỗi ngăn có bao nhiêu quyển sách ?
Bài toán 3 : (Bài 40 SGK/31)
Năm nay, tuổi của mẹ gấp 3 lần tuổi của Phương. Phương tính rằng 13 năm nữa
thì tuổi mẹ chỉ cịn gấp 2 lần tuổi của Phương thơi. Hỏi năm nay Phương được
bao nhiêu tuổi ?
Tìm hiểu đề : ( Đọc từng câu , nắm vững từng ý để tóm tắt đề )
GV hướng dẫn biến đổi ngôn ngữ trong đề tốn
thành ngơn ngữ tốn học

Trả lời HS

«

Năm nay , tuổi của mẹ gấp 3 lần tuổi của Phương »

TUỔI MẸ = 3 . TUỔI

PHƯƠNG (năm nay)

«

... 13 năm nữa ... »

TUỔI MẸ + 13
TUỔI PHƯƠNG + 13

«

... thì tuổi mẹ chỉ cịn gấp 2 lần tuổi của Phương
thơi »
«

Hỏi năm nay Phương được bao nhiêu tuổi ? »

TUỔI MẸ + 13 = 2 .(
TUỔI PHƯƠNG + 13 )
(13 năm sau)
TUỔI PHƯƠNG
=?

năm nay


15
Học sinh tự tóm đề :
Năm nay:
TUỔI MẸ = 3 . TUỔI PHƯƠNG

(1)
13 năm sau:
TUỔI MẸ + 13
;
TUỔI PHƯƠNG + 13
TUỔI MẸ + 13 = 2 . ( TUỔI PHƯƠNG + 13 )
(2)
TUỔI PHƯƠNG năm nay = ?
Xác định phương trình của bài tốn :
Khi đề bài u cầu tìm tuổi của Phương năm nay, ta nhận thấy phương trình (1)
có chứa đại lượng đó, lại sẵn có ở vị trí vế phải. Do đó ta khơng cần biến đổi và
có thể chọn phương trình (1) làm phương trình trung gian. Phương trình cịn lại
(2) sẽ là phương trình chính thức của bài toán.
Năm nay:
TUỔI MẸ = 3 . TUỔI PHƯƠNG
(1) ( phương trình trung gian )
13 năm sau:
TUỔI MẸ + 13
TUỔI PHƯƠNG + 13
TUỔI MẸ + 13 = 2 . ( TUỔI PHƯƠNG + 13 ) (2) ( phương trình chính thức)
TUỔI PHƯƠNG năm nay = ?
Theo thứ tự của phần tóm tắt đề tốn, học sinh bắt đầu bước vào giải toán :
Đặt ẩn số là đại lượng ở vế phải của phương trình trung gian .
( Học sinh chọn « TUỔI PHƯƠNG ở phần năm nay» để đặt làm ẩn số
gọi số
tuổi của Phương năm nay là x )
Đại lương tương ứng theo ẩn số là toàn bộ phương trình trung gian.
(Học sinh dựa vào phần tóm đề « TUỔI MẸ = 3.TUỔI PHƯƠNG» để đặt số tuổi
của mẹ hiện nay là : 3x)
Lần lượt tìm và giải quyết các đại lượng của phương trình chính thức .

( Học sinh dựa vào phần tóm đề « TUỔI MẸ + 13 ; TUỔI PHƯƠNG + 13 » để
đặt số tuổi của mẹ và số tuổi của Phương vào 13 năm sau lần lượt là 3x + 13
và x + 13 )
Cho xuất hiện phương trình của bài tốn:
(Dựa vào phần tóm đề « TUỔI MẸ + 13 = 2.( TUỔI PHƯƠNG + 13 ) » để lập
phương trình: 3x + 13 = 2 ( x + 13)


16
Bài giải của học sinh
Gọi số tuổi của Phương năm nay là: x ( tuổi ) ;
ĐK (x
)
số tuổi của Mẹ Phương năm nay: 3x (tuổi)
Số tuổi Mẹ Phương 13 năm sau là: 3x +13 (tuổi)
Số tuổi của Phương 13 năm sau là: x + 13 (tuổi)
Theo đề bài ta có phương trình:
3x + 13 = 2 ( x + 13 )
Giải phương trình ta được : x = 13 ( nhận )
Trả lời : Số tuổi của Phương năm nay là 13 tuổi

Cơ sở dựa vào phẩn tóm đề
Năm nay:
TUỔI MẸ = 3 . TUỔI
PHƯƠNG
13 năm sau:
TUỔI MẸ + 13
TUỔI PHƯƠNG + 13
TUỔI MẸ + 13 = 2.( TUỔI
PHƯƠNG + 13 )

Bài tập tương tự bài toán 3:
Bài 1: (bài 52 SBT/12) Ơng của Bình hơn Bình 58 tuổi. Nếu cộng tuổi của bố
Bình và hai lần tuổi của Bình thì bằng tuổi của ơng và tổng số tuổi của cả ba
người là 130. Hãy tính tuổi của Bình.
Bài 2: Bảy năm trước tuổi mẹ bằng năm lần tuổi con cộng thêm 4. Năm nay tuổi
mẹ vừa đúng gấp 3 lần tuổi con. Hỏi năm nay mỗi người bao nhiêu tuổi?
Bài tốn 4 :
“Một số tự nhiên có hai chữ số, tổng các chữ số của nó là 16, nếu đổi chỗ
hai chữ số cho nhau được một số lớn hơn số đã cho là 18 đơn vị. Tìm số ban
đầu?
- Trước khi tìm hiểu đề :
Đây là loại tốn  « tìm 1 số tự nhiên có hai chữ số, ba chữ số ». Dạng tốn này
tương đối khó đối với các em; để giúp học sinh đỡ lúng túng khi giải loại bài thì
trước hết, GV phải cho HS nắm được một số kiến thức liên quan :
+ Cách viết số trong hệ thập phân.( số có hai chữ số

, ba chữ số

)

+ Mối quan hệ giữa các chữ số, vị trí giữa các chữ số trong số cần tìm…[ mỗi
đơn vị của hàng này lớn hơn (hoặc nhỏ hơn) mỗi đơn vị của hàng liền sau nó
(hoặc liền trước nó) 10lần. Chẳng hạn, số có ba chữ số
bằng :
Trong đó b, c là các số tự nhiên từ 0 đến 9, riêng a từ 1 đến 9) điều kiện của các
chữ số.

- Tìm hiểu đề :

17
GV hướng dẫn biến đổi ngơn ngữ trong đề tốn
thành ngơn ngữ tốn học

Trả lời HS

“Một số tự nhiên có hai chữ số …”

Ban đầu : số có hai chữ số
a: hàng chục, b: hàng đơn vị

… “tổng các chữ số của nó là 16…”

Hàng chục + hàng đơn vị = 16

“…nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau…”

Lúc sau: số có hai chữ số
b: hàng chục, a: hàng đơn vị

“…được một số lớn hơn số đã cho là 18 đơn
vị…”

Số lúc sau = số ban đầu + 18

Tìm số ban đầu?

Tìm chữ số hàng chục, hàng
đơn vị ban đầu ?

- Học sinh tự tóm đề:
Ban đầu:
Hàng chục + Hàng đơn vị = 16
(1)
Số ban đầu = hàng chục . 10 + hàng đơn vị
Lúc sau:
Số lúc sau = hàng đơn vị ban đầu . 10 + hàng chục ban đầu
Số lúc sau = số ban đầu + 18
(2)
Tìm số ban đầu?
Xác định phương trình của bài tốn :
- Khi đề bài yêu cầu tìm số ban đầu (nghĩa là tìm chữ số hàng chục, hàng đơn
vị), ta lấy phương trình (1) có chứa hàng chục và hàng đơn vị ban đầu để biến
đổi tương đương (chuyển vế và đổi dấu) làm phương trình trung gian. Phương
trình cịn lại (2) sẽ là phương trình chính thức của bài tốn .
Ban đầu:
Hàng chục + Hàng đơn vị = 16
biến đổi về :
hàng đơn vị = 16 – hàng chục (1) (phương trình trung gian)
Số ban đầu = hàng chục . 10 + hàng đơn vị
Lúc sau:
Số lúc sau = hàng đơn vị ban đầu. 10 + hàng chục ban đầu
Số lúc sau = số ban đầu + 18
(2)
(phương trình chính thức)
- Theo thứ tự của phần tóm tắt đề tốn , học sinh bắt đầu bước vào giải toán :


18

Đặt ẩn số là đại lượng ở vế phải của phương trình trung gian.
( Học sinh chọn “Chữ số hàng chục ban đầu” để đặt làm ẩn số
Gọi chữ số
hàng chục ban đầu là: x )
Đại lương tương ứng theo ẩn số là tồn bộ phương trình trung gian.
( Học sinh dựa vào phần tóm đề hàng đơn vị = 16 – hàng chục (1) để đặt
chữ số hàng đơn vị ban đầu là: 16 - x
Lần lượt tìm và giải quyết các đại lượng của phương trình chính thức.
(Số ban đầu = hàng chục . 10 + hàng đơn vị)
Số ban đầu = 10x + 16 – x = 9x + 16
Lúc sau:
Số lúc sau = hàng đơn vị . 10 + hàng chục
(Số lúc sau = 10(16-x) + x = 160 – 10x + x = 160 – 9x
Số lúc sau = số ban đầu + 18
(2)
(phương trình chính thức)
160 – 9x = 9x + 16 + 18
Bài giải của học sinh
Gọi chữ số hàng chục ban đầu là: x
ĐK: (x N, 0 < x < 10).
Chữ số hàng đơn vị ban đầu là: 16 – x
Số ban đầu là: 10x + 16 - x = 9x + 16
Đổi vị trí hai chữ số cho nhau thì số lúc sau:
10 ( 16 – x ) + x = 160 – 9x
Theo đề bài ta có phương trình :
160 – 9x = 9x + 16 + 18
Giải phương trình ta được x = 7 (nhận)
Trả lời: Số cần ban đầu là 79

Cơ sở dựa vào phẩn tóm đề

hàng đơn vị = 16 – hàng chục
Số ban đầu = hàng chục . 10 +
hàng đơn vị
Số lúc sau = hàng đơn vị ban
đầu. 10 + hàng chục ban đầu
Số lúc sau = số ban đầu + 18

Bài tập tương tự bài tốn 4
Bài 1: Cho một số có hai chữ số. Nếu đổi chỗ hai chữ số của nó thì được một số
lớn hơn số đã cho là 63. Tổng của số đã cho và số mới tạo thành là 99. Tìm số đã
cho.
Bài 2: Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, tổng các chữ số bằng 11, nếu chỗ chữ
số hàng chục và hàng đơn vị cho nhau thì số đó tăng thêm 27 đơn vị.


19
Bài 3: Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng
đơn vị là 2, biết rằng nếu xen vào giữa hai chữ số trên, ta viết chính số phải tìm
thì số đó tăng thêm 5480 đơn vị.
Bài 4: Tìm một số tự nhiên có ba chữ số, tổng các chữ số bằng 17, chữ số hàng
chục là 4, nếu đổi chỗ các chữ số hàng trăm và hàng đơn vị cho nhau thì số đó
giảm đi 99 đơn vị.
Bài tốn 5:
Một xe máy và một xe ô tô khởi hành cùng một lúc từ hai địa điểm A và B cách
nhau 180 km, đi ngược chiều nhau và gặp nhau sau 2 giờ. Biết mỗi giờ xe máy
đi ít hơn ơ tơ là 10 km. Tìm vận tốc của mỗi xe ?
Kiến thức đã được trang bị :
- Nếu hai đối tượng khởi hành cùng một lúc từ hai địa điểm, đi ngược chiều và
gặp nhau thì tổng quãng đường của mỗi xe đã đi chính là quãng đường giữa

hai địa điểm và thời gian của hai đối tượng là như nhau.
Tìm hiểu đề : ( Đọc từng câu, nắm vững từng ý để tóm tắt đề )
GV hướng dẫn biến đổi ngơn ngữ trong đề tốn
thành ngơn ngữ tốn học

Trả lời HS

“Một xe máy và một xe ô tô khởi hành cùng một + hai xe đi ngược chiều nhau;
lúc từ hai địa điểm A và B cách nhau 180 km, đi + thời gian đã đi của xe máy
ngược chiều nhau và gặp nhau sau 2 giờ”
và ô tô
txe máy = 2 giờ ; tôtô = 2 giờ
+ biết quãng đường AB là 180
km : đang xét tổng quãng
đường của xe máy và ô tô
Sxe máy + Sôtô = 105 km
- “Biết mỗi giờ xe máy đi ít hơn ô tô là 10 km”:

vận tốc của ô tô nhiều hơn
vận tốc xe máy
Vôtô – V xe máy = 10 km/h

– Tìm vận tốc của mỗi xe ?

V xe máy = ? ; Vơtơ = ?

Học sinh tự tóm đề :
txe máy = 2 giờ
tôtô = 2 giờ .
Vôtô – V xe máy = 10 km/h

Sxe máy + Sôtô = 180 km

(1)
(2)


20
V xe máy = ? ; Vôtô = ?
Xác định phương trình của bài tốn : Vì u cầu của đề bài là tìm vận tốc của
xe máy và vận tốc của ơ tơ. Vì vậy ta có thể chọn phương trình có chứa vận tốc
của xe máy hoặc ơ tô(1) để biến đổi tương đương (sao cho một trong những đại
lượng cần tìm ln ở vế phải ) làm phương trình trung gian. Phương trình cịn lại
(2) sẽ là phương trình chính thức cùa bài tốn .
Vơtơ – V xe máy = 10 (1)
biến đổi
Vôtô = 10 + V xe máy
Sxe máy + Sôtô = 180 (2)
không biến đổi , giữ lại Sxe máy + Sôtô = 180
Theo thứ tự của tóm đề , học sinh bắt đầu bước vào giải tốn :
Vơtơ = 10 + V xe máy ( phương trình trung gian)
Sxe máy + Sơtơ = 180 ( phương trình chính thức)
– Đặt ẩn số x là đại lượng bên vế phải của phương trình trung gian ( Vxe máy )
– Đại lương tương ứng theo ẩn số là tồn bộ phương trình trung gian. ( Học sinh
dựa vào Vôtô = 10 + V xe máy để biểu diễn vận tốc của ô tô là 10 + x )
– Lần lượt tìm và giải quyết các đại lượng của phương trình chính thức. (đó
chính là Sxe máy =2x và S ôtô = 2.(10 + x) (Đại lượng này được biểu diễn dựa vào
mối quan hệ giữa 3 đại lượng S, V, t)
- Cho xuất hiện phương trình của bài tốn : Sxe máy + Sơtơ = 180
2x + 2(10 + x) = 180
Bài giải của học sinh

Gọi vận tốc của xe máy là x( km/h )(ĐK:x>0)
vận tốc của ô tô là: 10 + x ( km/h )
Quãng đường xe máy đã đi là: 2x ( km)
Quãng đường ô tô đã đi là: 2 (10 +x ) ( km)
Theo đề bài ta có phương trình :
2. x + 2 .(10 + x ) = 180

Cơ sở dựa vào phần tóm đề
Vơtơ = 10 + V xe máy
Sxe máy = V xe máy . t xe máy
S ô tô = V ô tô . t ô tô
Sxe máy + Sơtơ = 180

Giải phương trình ta được: x = 40 ( nhận )
Vậy vận tốc của xe máy là 40 km/h
Vận tốc của ô tô là: 40 + 10 = 50 km/h
Nhận xét : Giáo viên cần giải thích rõ cho học sinh việc tuỳ ý chọn ẩn số cho
bài toán (kể cả chọn ẩn trung gian) để học sinh so sánh từng kiểu chọn ẩn số