Hướng dẫn học sinh lớp 12 ôn thi thpt quốc gia một số dạng bài tập về tính đơn điệu của hàm số

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO YÊN BÁI
TRƯỜNG THPT NGUYỄN HUỆ

BÁO CÁO SÁNG KIẾN CẤP CƠ SỞ
Hướng dẫn học sinh lớp 12 ôn thi tốt nghiệp THPT một số dạng bài tập
về tính đơn điệu của hàm số
(Lĩnh vực:Giáo dục đào tạo)

Tác giả: Nguyễn Thùy Dương
Trình độ chun mơn: Thạc sĩ
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị công tác:Trường THPT Nguyễn Huệ

\
Yên Bái, ngày 02 tháng 02 năm 2022
I. THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN


1. Tên sáng kiến: Hướng dẫn học sinh lớp 12 ôn thi tốt nghiệp THPT một
số
dạng bài tập về tính đơn điệu của hàm số.
2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giáo dục đào tạo.
3. Phạm vi áp dụng sáng kiến: Học sinh ôn thi tốt nghiệp THPT.
4. Thời gian áp dụng sáng kiến: Từ ngày 05/ 9 / 2021 đến ngày 30/5 / 2022
5. Tác giả:
Họ và tên: Nguyễn Thùy Dương
Năm sinh: 1985
Trình độ chun mơn: Thạc sĩ
Chức vụ công tác: Giáo viên
Nơi làm việc: Trường THPT Nguyễn Huệ.
Địa chỉ liên hệ: Số nhà 34 – Đường Bùi Thị Xuân – Phường Hồng Hà –

Thành phố Yên Bái – Tỉnh n Bái.
Điện thoại: 0914535385.
II. MƠ TẢ SÁNG KIẾN
1.Tình trạng các giải pháp đã biết
Ứng dụng đạo hàm để giải các bài toán liên quan đến hàm số là một trong
những nội dung quan trọng và chiếm nhiều thời lượng nhất trong chương trình
giải tích 12, trong nội dung này có rất nhiều dạng bài tập liên quan và những bài
tốn về tính đơn điệu của hàm số khơng thể khơng nhắc đến. Trong q trình
dạy học những khóa học trước, tơi thấy học sinh cịn chưa nhận dạng, phân tích
và đưa ra phương pháp giải các bài tốn trong nội dung này một cách nhanh
chóng, các em cịn chưa linh hoạt trong việc sử dụng các phương pháp giải nhanh
để phù hợp cho loại câu hỏi trắc nghiệm, học sinh còn mắc phải 1 số sai lầm khi
giải bài tập mà khơng biết là mình làm sai. Những học sinh yếu kém khi đọc đề
bài khơng biết mình cần phải làm gì để tìm được đáp án, các em cịn máy móc ,
thụ động, cứ thấy “đơn điệu” là tính đạo hàm, lập bảng biến thiên...Tơi viết sáng


kiến “Hướng dẫn học sinh lớp 12 ôn thi tốt nghiệp THPT một số dạng bài
tập về tính đơn điệu của hàm số”nhằm giúp các em học sinh nắm được phương
pháp giải một số dạng bài tập trong nội dung này.
2. Nội dung giải pháp đề nghị công nhận là sáng kiến:
- Mục đích của giải pháp : Giúp học sinh lớp 12 ôn tập tốt một số dạng
bài tập về tính đơn điệu của hàm số để ơn thi tốt nghiệp THPT.
- Nội dung giải pháp: Giải pháp“Hướng dẫn học sinh lớp 12 ôn thi tốt
nghiệp THPT một số dạng bài tập về tính đơn điệu của hàm số” phân loại rõ
các dạng bài tập ở các mức độ, đưa ra các phương pháp giải, các lưu ý và sai lầm
học sinh thường mắc phải và một số "mẹo" làm bài nhanh. Khi học sinh tiếp cận
và nắm được nội dung sáng kiến cũng là nắm được một số dạng bài tập, biết giải
các bài toán với phương pháp phù hợp nhất cho từng dạng bài, đọc đề bài xong
các em có thể lập trình được rằng mình phải làm gì và làm như thế nào, từ đó học

sinh ôn thi THPT đạt hiệu quả cao. Cụ thể giải pháp“Hướng dẫn học sinh lớp
12 ôn thi tốt nghiệp THPT một số dạng bài tập về tính đơn điệu của hàm số ”
có cấu trúc như sau:
Phần I:KIẾN THỨC CƠ BẢN
Trong phần này tác giả nêu các kiến thức cơ bản học sinh cần ghi nhớ để
vận dụng làm các dạng bài tập.
Phần II: MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1:Tìm khoảng đơn điệu của hàm số cho trước.
Dạng 2: Tìm khoảng đơn điệu của hàm số khi biết bảng biến thiên
hay đồ thị của hàm số đó.
Dạng 3: Tìm khoảng đơn điệu của hàm số khi biết đạo hàm, đồ thị
đạo hàm của hàm số đó.
Dạng 4: Tìm hàm số khi biết tính đơn điệu.


Dạng 5:Tìm điều kiện của m để hàm số đơn điệu trên khoảng cho
trước.
Dạng 6 : Tìm khoảng đơn điệu của hàm số hợp.
Trong mỗi dạng bài tập tác giả đưa ra phương pháp giải, một số ví dụ
minh họa có hướng dẫn giải và các chú ý cần thiết.
Phần III: MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Trong phạm vi báo cáo này tơi trình bày các nội dung cơ bản sau:
Phần I: KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Định nghĩa hàm số đồng biến, nghịch biến.
Giả sử K là một khoảng, một đoạn hoặc một nữa khoảng và y  f  x  là
một hàm số xác định trên K. Ta nói:
+ Hàm số y  f  x  được gọi là đồng biến (tăng) trên K nếu
x1 , x2  K , x1  x2  f  x1   f  x2 

+ Hàm số y  f  x  được gọi là nghịch biến (giảm) trên K nếu

x1 , x2  K , x1  x2  f  x1   f  x2 

Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K gọi chung là đơn điệu trên K.
2. Một số định lí cần ghi nhớ.
Định lí 1.
Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng K. Khi đó:
a) Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì f '  x   0, x  K .
b) Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì f '  x   0, x  K .
Định lí 2.
Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng K. Khi đó:
a) Nếu f '  x   0, x  K thì hàm số f đồng biến trên K.
b) Nếu f '  x   0, x  K thì hàm số f nghịch biến trên K.
c) Nếu f '  x   0, x  K thì hàm số f khơng đổi trên K.


Chú ý: Khoảng K trong định lí trên ta có thể thay thế bởi đoạn hoặc một
nửa khoảng. Khi đó phải có thêm giả thuyết “ Hàm số liên tục trên đoạn hoặc
nửa khoảng đó’. Chẳng hạn:
Nếu hàm số f liên tục trên đoạn  a; b và f '  x   0, x   a; b  thì hàm số
f đồng biến trên đoạn  a; b .

Ta thường biểu diển qua bảng biến thiên như sau:

Định lí 3(Định lí mở rộng của định lí 2).
Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng K. Khi đó:
a) Nếu f '  x   0, x  K và f '  x   0 chỉ tại hữu hạn điểm thuộc K thì hàm số f
đồng biến trên K.
b) Nếu f '  x   0, x  K và f '  x   0 chỉ tại hữu hạn điểm thuộc K thì hàm số f
đồng biến trên K.
Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số.

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên K
 Nếu f '  x   0 với mọi x  K và f '  x   0 chỉ tại một số hữu hạn điểm x  K
thì hàm số f đồng biến trên K .
 Nếu f '  x   0 với mọi x  K và f '  x   0 chỉ tại một số hữu hạn điểm x  K
thì hàm số f nghịch biến trên K .
Chú ý:
*) Đối với hàm số: y 

ax  b
. Có TXĐ là tập D. Điều kiện như sau:
cx  d

+) Để hàm số đồng biến trên TXĐ thì y '  0, x  D
+) Để hàm số nghịch biến trên TXĐ thì y '  0, x  D


 y '  0x   a, b 
+) Để hàm số đồng biến trên khoảng  a; b  thì 
d
x  
c

 y '  0x   a, b 
+) Để hàm số nghịch biến trên khoảng  a; b  thì 
d
x  
c


*) Đối với hàm số y  f  x   ax3  bx 2  cx  d  f   x   3ax 2  2bx  c.

Hàm số đồng biến trên 

Hàm số nghịch biến trên 

 a  0

   0
 f   x   0; x     a  0 .

b  0
c  0


 a  0

   0
 f   x   0; x     a  0 .

b  0
c  0


Phần II:MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1:Tìm khoảng đơn điệu của hàm số cho trước.
Phương pháp:Học sinh tìm tập xác định, tính đạo hàm sau đó lập bảng
biến thiên rồi đưa ra kết luận.
Ví dụ 1:Hàm số y  x3  9 x2  1 đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng
sau ?
A. (7;  )

B.  0;  

C. (0; 6)

D. (; 6)

Hướng dẫn:Đây là hàm đa thức có tập xác định là tập R, học sinh lập bảng
biến thiên rồi đưa ra kết luận.
Giải:
TXĐ:R
y ,  3x 2  18x
x  0
y,  0  
x  6

Bảng biến thiên:


x
y

0
0

6
0

y

Từ bảng biến thiên ta chọn đáp án A.

Chú ý:
- Để xét dấu đạo hàm hàm số bậc 3, bậc 4 trùng phương ta có thể xét theo 3 cách:
Cách 1: Dựa và định lí về dấu tam thức bậc 2, nhị thức bậc nhất để xét dấu.
Cách 2: Dùng phương pháp khoảng,lấy 1 giá trị bất kì của biến trong từng khoảng
thay vào đạo hàm hàm số để tìm dấu đạo hàm trong khoảng đó.
Cách 3: Dựa vào nguyên tắc “Từ khoảng ngồi cùng bên phải (theo hướng người
nhìn) dấu của đạo hàm cùng dấu với hệ số của x 3 , x 4 của hàm số và đổi dấu khi
qua các nghiệm bội lẻ.Học sinh nên chọn cách thứ 3 là nhanh nhất.
(Người học cũng có thể chỉ cần lập trục xét dấu đạo hàm mà không cần lập bảng
xét dấu để đẩy nhanh tốc độ làm bài)
- Thường thường học sinh chỉ để ý đến các khoảng đồng biến ,nghịch biến của
hàm số là các khoảng (; x1 ),( x1; x2 ), ( x2 ; ) trong đó x1 , x2 là các giá trị của biến
làm đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.Nhưng với dạng câu hỏi trắc nghiệm
hiện nay, câu hỏi phần này đáp án có thể là 1 khoảng là tập con của những khoảng
nêu trên.Ví dụ trên là một minh họa.Nếu nhìn bảng biến thiên,là câu hỏi thơng
thường thì đáp án sẽ là (6; ) thay vì (7;  ) như câu hỏi trên, nếu không chú ý
học sinh sẽ lầm tưởng câu hỏi khơng có đáp án đúng!
Ví dụ 2: Hàm số y 

x 1
đồng biến trên khoảng nào sau đây?
2x

A. (; 2)

B. (;1)

C. (; 2)  (2;  )

D.

( ;  )

Hướng dẫn:Với hàm phân thức bậc nhất /bậc nhất, hàm số luôn đồng biến hoặc
luôn nghịch biến trên từng khoảng (; x0 ), ( x0 ; ) với x0 là giá trị của biến làm
hàm số và đạo hàm của hàm số không xác định(là nghiệm của mẫu số).Với câu


hỏi dạng này học sinh chỉ cần tìm x0 là ra được đáp án (khơng cần lập bảng biến
thiên).
Giải
Ta có x  2  0  x  2 vậy hàm số đồng biến trên từng khoảng ( ; 2)và(2;  )
Chọn A.
Chú ý:
- Lưu ý đáp án có thể là 1 khoảng là tập con của tập nói trên.Ví dụ đáp án của bài
này có thể là (0;  ) hoặc (-5;-2),....
-Tránh sai lầm chọn đáp án C, bởi trong khoảng đó hàm số khơng đồng biến .Ta
1
2

lấy x1  3  0  x2 nhưng f ( x1 )  4    f ( x2 ) ,vậy hàm số chỉ đồng biến trên
“ mỗi” khoảng ( ; 2)và(2;  ) ,không đồng biến trên (; 2)  ( 2; ) .
Dạng 2: Tìm khoảng đơn điệu của hàm số khi biết bảng biến thiên hay đồ
thị của hàm số đó.
Phương pháp:Dựa vào bảng biến thiên,trong khoảng nào đạo hàm của hàm số
mang dấu âm (chiều mũi tên đi xuống từ trái sang phải) thì hàm số nghịch biến
và ngược lại.
Ví dụ 3:(Đề thi THPTQG năm 2018 mã 101)Cho hàm số có bảng biến thiên
như
sau:

x




y'
y

1

0



-2

0


0



1


0




3
2

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A.(0;1)

B.(-1;0)

C. (2;3)

D. (0;  )


Hướng dẫn:Bài tập thuộc dạng 2 tìm khoảng đồng biến nghịch biến dựa vào
bảng
biến thiên.Nhìn bảng biến thiên ta có thể tìm ngay được khoảng đồng biến dựa
vào dấu của đạo hàm hoặc nhìn vào chiều mũi tên đi lên từ trái sang phải.
Giải:Từ bảng biến thiên ta chọn ngay được đáp án B.
Lưu ý :Tránh nhầm lẫn chọn đáp án C.
Ví dụ 4:Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Khẳng định
nào
Sau đây là đúng?

A. Hàm số f  x  đồng biến trên các khoảng  ;1  1;   .
B. Hàm số f  x  đồng biến trên  .
C. Hàm số f  x  đồng biến trên các khoảng  ;1 và 1;  .
D. Hàm số f  x  đồng biến trên các khoảng  ; 2  và  2;   .
Hướng dẫn: Ta phải loại trừ ngay đáp án A(kí hiệu hợp) và B (hàm phân thức
bậc nhất trên bậc nhất không bao giờ đồng biến hay nghịch biến trên R). Tránh

nhầm lẫn chọn đáp án D, đáp án đúng là đáp án C.
Ví dụ 5: Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên như hình dưới đây. Mệnh đề
nào
sau đây là đúng?


1
A. Hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng  ;   và  3;   .
2



1
B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng   ;   .
 2



C. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng  ; 4  .
D. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng  3;   .
Hướng dẫn: Nhìn vào chiều mũi tên trên bảng biến thiên ta thấy đáp án D là đáp
án đúng.
Lưu ý: Tránh nhầm lẫn chọn đáp án C
*Tìm khoảng đơn điệu của hàm số khi biết đồ thị của hàm số đó.
Phương pháp:Dựa vào đồ thị hàm số,trong khoảng nào đồ thị có hướng đi lên
từ trái
sang phải thì hàm số đồng biến và ngược lại.
Ví dụ 6:Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ.

Hàm số đồng biến trên khoảng nào sau đây?

A. (2;  )

B.(0;2)

C. (2; )

D. ( ; 2)

Hướng dẫn:Đây là bài tập dạng tìm khoảng biến thiên dựa vào đồ thị hàm số.Với
dạng bài này ta nhìn vào hình dáng đồ thị để tìm đáp án. Trong khoảng nào đồ thị
có hướng đi lên từ trái sang phải thì hàm đồng biến trên khoảng đó và ngược lại
trong
khoảng đồ thị có hướng đi xuống từ trái sang phải thì hàm nghịch biến.
Giải
Dựa vào đồ thị ta thấy trong khoảng ( ; 0), (2;  ) đồ thị hàm số có hướng đi
lên từ trái sang phải.Vậy chọn đáp án A.
Lưu ý:Tránh nhầm lẫn chọn đáp án C hoặc D
Dạng 3: Tìm khoảng đơn điệu của hàm số khi biết đạo hàm,đồ thị đạo hàm
của hàm số đó.
Phương pháp: Dựa vào đồ thị của đạo hàm hàm số, trong khoảng nào đồ thị
nằm
phía trên trục Ox (đạo hàm mang dấu dương)thì hàm số đồng biến trên khoảng
đó và ngược lại.
Ví dụ 7:Cho đồ thị hàm số y  f ' ( x)

Hàm số y  f ( x) đồng biến trên khoảng nào sau đây?
A. (1;  )

B. ( ; 2)

C. ( ;1)

D. (2; 0)


Hướng dẫn:Từ đồ thị đạo hàm của hàm số ta thấy phần đồ thị nằm phía trên
trục Ox ứng với các giá trị của x > 1. Vậy ta chọn đáp án đúng là đáp án A.
Lưu ý:Tránh sai lầm khi không đọc kĩ đề bài nhầm với câu hỏi dạng trước (cho
đồ thị của hàm số) dẫn đến chọn đáp án B.
Ví dụ 8: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f   x    x  1  2  x  x  3  . Mệnh đề
nào dưới đây đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên các khoảng  3; 1 và  2;  
B. Hàm số đồng biến trên các khoảng  ; 3  và  2;  
C. Hàm số đồng biến trên khoảng  3; 2 
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng  3; 2 
2

Hướng dẫn: Tìm nghiệm của đạo hàm từ đó lập bảng xét dấu và suy ra khoảng
biến thiên.
Giải
 x  1
Ta có f   x   0   x  2
 x  3
Bảng xét dảu f   x 

Dảa vảo bảng trên ta thảy hảm sả ảảng biản trên khoảng  3; 2  .Chọn đáp
án D.
Dạng 4: Tìm hàm số khi biết tính đơn điệu.

Phương pháp: Dựa vào điều kiện đã cho và một số điểm nhận biết hàm số để
loại trừ đáp án. (Ví dụ, trong các hàm bậc 3, bậc 4 trùng phương và hàm phân
thức thì có hàm bậc 3 có thể đồng biến hoặc nghịch biến trên R, hàm bậc 4 trùng
phương ln có khoảng đồng biến và nghịch biến)
Ví dụ 9: Hàm số nào sau đây đồng biến trên  ?
A. y 

1
.
x2

C. y  x 

1
.
x3

B. y  x 3  3x 2  3x  5 .
D. y  x 4  x 2  1 .


Hướng dẫn: Dựa vào điều kiện nhận biết ta có thể chọn ngay được đáp án B là
đáp án đúng.
Ví dụ 10:

A. y 

Bảng biến thiên trong hình vẽ sau đây là của hàm số nào?

x4

.
2x  2

B. y 

2 x  4
.
x 1

C. y 

2 x  3
.
x 1

D. y 

2 x
.
x 1

Hướng dẫn: Dựa vào giới hạn của hàm số tại vô cực ta loại trừ ngay được đáp
án A và D. Cịn đáp án B,C ta tính đạo hàm của hàm y 
y' 

ax  b
theo công thức
cx  d

ad  cb

(Chỉ cần tính tử số nếu dương thì hàm số đồng biến cịn nếu âm thì
(cx  d ) 2

hàm số nghịch biến).Ta suy ra đáp án đúng là đáp án C.
Dạng 5:Tìm điều kiện của m để hàm số đơn điệu trên khoảng cho trước.
Phương pháp:Sử dụng điều kiện sau
 Nếu f   x   0, x  K thì hàm số đồng biến trên khoảng K .
 Nếu f   x   0, x  K thì hàm số nghịch biến trên khoảng K .
 Nếu f   x   0, x  K thì hàm số khơng đổi trên khoảng K .
*Hàm đa thức bậc 3
Ví dụ 11: Số các giá trị của m nguyên để hàm số y  x 3  (m  1) x 2  (m  1) x  2
đồng biến trên tập xác định của nó là:
A. 4

B. 2

C. 3

D. 1

Hướng dẫn:Hàm số này là hàm đa thức,nếu f   x   0, x  R thì hàm số đồng biến
trên R(tập xác định).
Nhắc lại:Cho tam thức g ( x)  ax 2  bx  c (a  0)
a  0
  0

a) g ( x)  0, x    

a  0
  0

b) g ( x)  0, x    


a  0
  0

c) g ( x)  0, x    

a  0
  0

d) g ( x)  0, x    

Giải:
Ta có

y ,  0,  x  R  3x 2  2( m  1) x  m  1  0,  x  R
  '  0,  x  R  ( m  1) 2  3( m  1)  0
 m 2  m  2  0  1  m  2
Vậy có 4 giá trị của m thỏa mãn là -1,0,1,2.
Chú ý:Đôi khi người học quên không xét dấu bằng dẫn đến thiếu giá trị của
tham
số.
Ví dụ 12: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số
y

m 3
x  2 mx 2   3m  5  x đồng biến trên  .
3

A. 6 .

B. 2 .

C. 5 .

4.

Giải
Ta có y  mx2  4mx  3m  5 .
Với m  0  y  5  0 . Vậy hàm số đồng biến trên  .
Với m  0 . Hàm số đã cho đồng biến trên  khi và chỉ khi
a  0
m  0
y  0, x    

2
  0
 2m   m  3m  5   0
m  0
m  0
 2

 0  m  5.
0  m  5
 m  5m  0

Vì m    m  0;1; 2;3; 4;5 .

D.


Chú ý: Khác với ví dụ 10, với ví dụ này hệ số a chứa tham số vì vậy ta phải xét
các trường hợp, đôi khi học sinh quên điều kiện của hệ số a dẫn đến thiếu điều
kiện và sai đáp án.
Ví dụ 13: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số
y  x3  3  m  1 x 2   6m  5 x  1 đồng biến trên  2;   ?

A. 1.

B. 0 .

C. 3 .

D.

2.

Hướng dẫn : Đây là dạng tốn tìm đk của tham số để hàm số đồng biến (nghịch
biến ) trên một khoảng nào đó. Ta sẽ tính đạo hàm rồi từ điều kiện của đạo hàm,
ta cô lập m rồi từ đó tìm ra đáp án.
Giải
Ta có y  3x 2  6  m  1 x  6m  5 .
Hàm số đồng biến trên  2;   khi y  3x 2  6  m  1 x  6m  5  0 x   2;   .
 3x 2  6 x  5  6m  x  1  m 

Ta có: f   x  

18 x 2  36 x  6

6x  6

2

3x 2  6 x  5
 f  x .
6x  6

 0 x   2;   .

BBT

Vậy với m 

5
thì thỏa mãn điều kiện đề bài nên khơng có giá trị nguyên dương
6

nào của m thỏa ycbt. Ta chọn đáp án B.
Chú ý:Ta cịn có thể tìm nghiệm của đạo hàm, lập bảng biến thiên và xét điều
kiện của tham số để hàm số biến thiên trong khoảng đã cho.
1
3

Ví dụ 14: Giá trị của tham số m sao cho hàm số y  x 3  x 2   3m  2  x  2 nghịch
biến trên đoạn có độ dài bằng 4 là


1

2

A. m  1.

B. m  .

C. m  4 .

1
3

D. m  .

Hướng dẫn : Ngoài cách thay lần lượt các đáp án vào hàm số để kểm tra ta có
thể sử dụng định lý viet để tìm m.
Giải
Ta có y  x 2  2 x   3m  2  . Để hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 4 thì
phương trình y  0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 sao cho x1  x2  4 .
1  3m  2  0
m  1
  0
m  1




 2
2
 x1  x2  4
2  4  3m  2   16

12m  4
 x1  x2   4 x1 x2  16
1
m .
3

Vậy ta chọn đáp án D.
Chú ý: Nếu không nhớ định lý viet ta có thể tìm ra 2 nghiệm (chứa tham số) sau
đó giải phương trình (chứa tham số) x1  x2  4 .
Ví dụ 15:Tìm tập hợp S tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số
y

1 3
x   m  1 x 2   m 2  2m  x  3 nghịch biến trên khoảng  1;1 .
3

A. S  0;1 .

B. S   1;0

C. S   .

Giải
Ta có y  x 2  2  m  1 x   m 2  2m 
x  m

Xét y  0  x 2  2  m  1 x   m 2  2m   0  
m
x  m  2
Hàm số luôn nghịch biến trong khoảng  m; m  2  m

Để hàm số nghịch biến trên khoảng  1;1 thì  1;1   m; m  2  .
 m  1
 m  1 .
1  m  2

Nghĩa là : m  1  1  m  2  
Suy ra chọn đáp án D.
*Hàm phân thức y 

ax  b
cx  d

D. S  1 .


Ví dụ 16: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y 

2x  m
đồng
x 1

biến trên khoảng xác định của nó.
A. m   ; 2  .

C. m   2;    .

B. m  1; 2  .

D. m   2;    .

Hướng dẫn: Sử dụng cơng thức tính đạo hàm hàm số y 
y' 

ax  b
bằng công thức
cx  d

ad  cb
.
(cx  d )2

Giải
TXĐ: D   \ 1
Ta có y 
y  0 

m2

 x  1

m2

 x  1

2

2

. Để hàm số đồng biến trên khoảng xác định của nó thì

 0 x  D  m  2 suy ra m   2;    .

Ví dụ 17: Số các giá trị m nguyên để hàm số y 

mx  3m  4
nghịch biến trên
xm

khoảng  1;   là:
A. 3

B. 4

C. 5

D.2

,
Hướng dẫn: Ngoài điều kiện y  0 cần xét thêm điều kiện  m  ( 1;  )

Giả sử hàm số xác định với x  x0 ,để hàm số đồng biến hay nghịch biến trên
khoảng K thì ta phải chú ý điều kiện x0  K .
Giải
Để

hàm

số

nghịch

biến

trên

khoảng

đã

cho

 y,  0
m2  3m  4  0

1 m  4


m


1
m

1


Vậy có 3 giá trị của m thỏa mãn bài ra là 1,2,3. Chọn đáp án A.
Chú ý: Đôi khi học sinh quên điều kiện  m  ( 1;  ) dẫn đến chọn B.

thì

Ví dụ 18: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y 

mx  10
2x  m

nghịch biến trên khoảng  0; 2  .
A. 4 .

B. 6 .

C. 5 .

D.

9.

Giải
m 2  20
m
Ta có y 
với x   .
2

 2x  m

2

Hàm số nghịch biến trên khoảng  0; 2 

2 5  m  2 5
 m 2  20  0


  m  0
 m  2 5; 4    0; 2 5 .
 m
 m  4
    0; 2 
 2






Vì m   m  4;0;1; 2;3; 4 .
m
2

Chú ý: Nếu không để ý đến điều kiện    0; 2  thì sẽ dẫn đến kết quả sai.
*Hàm bậc 4 trùng phương
Ví dụ 19: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số
y  x 4  2( m  1) x 2  m  2

A. m   5; 2  .

đồng biến trên khoảng (1;3) ?

B. m   ; 2  .

C. m   2,   .

D. m   ; 5  .

Giải
Tập xác định

D.

Ta có y '  4 x 3  4( m  1) x .

Hàm số đồng biến trên (1;3)  y '  0, x  (1;3)  g ( x )  x 2  1  m, x  (1;3) .
Lập bảng biến thiên của g( x) trên (1;3) .

Dựa vào bảng biến thiên, kết luận: m  min g ( x)  m  2 .
Dạng 6 : Tìm khoảng đơn điệu của hàm số hợp.


Phương pháp :Đây là dạng toán ở mức độ vận dụng, vận dụng cao. Người
học phải dùng cơng thức tính đạo hàm hàm hợp và các quy tắc xét sự biến thiên
của hàm số để giải tốn.
Ví dụ 20: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f   x   x 2  2 x , x   . Hàm số
y  2 f  x  đồng biến trên khoảng

A.  2;0  .

B.  0; 2  .

C.  2;   .

D.  ; 2  .

Giải
Ta có: y  2 f   x   2 x 2  4 x  0  x   0; 2  .
Suy ra: Hàm số y  2 f  x  đồng biến trên khoảng  0; 2 
Vậy chọn đáp án B.
Chú ý: Với câu hỏi này ta không cần lập bảng biến thiên mà chỉ cần tìm khoảng
mà trên đó đạo hàm mang dấu dương.
Ví dụ 21: Cho hàm số y  f  x  có f   x    x  2  x  5 x  1 . Hàm số y  f  x 2 
đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A.  0;1 .

B.  1;0 .

C.  2; 1

D.  2; 0  .

Hướng dẫn:Ta tính đạo hàm hàm hợp từ đó xét dấu đạo hàm và đưa ra đáp án.
Giải
 x  1
Ta thấy f ( x)  0   x  5
 x  2
'

Xét dấu f ' ( x) ta được

x  0
x  0

 2
x  0
x

2

2 
2
Khi đó: y   f ( x )   2 x. f   x   0  
 2
 x  2 .
2

x  5
 f   x   0
x   2


2
 x  1

Chọn x  1  0; 2  ta có y 1  2.1. f  12   2. f  1  0. Do đó, cả khoảng  0; 2 
âm.


Sử dụng phương pháp xét dấu của hàm số trên khoảng ta có trục xét dấu của



y  f  x 2 

 như sau:

Từ trục xét dấu trên ta thấy: Hàm số y  f  x 2  đồng biến trên  1; 0  . Chọn đáp
án
B.
2
2
Ví dụ 22: Hàm số y  ( x  x) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

1
A.  0;  .
2




B. 1; 2  .

C.  2;0  .

D.  0;1 .

Giải
Ta có

y   2  x 2  x   2 x  1 . Giải phương trình

y  0  2  x 2  x   2 x  1  0


x  0

 x 1 .

1
x 

2

Lập bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có hàm số nghịch biến trên khoảng  ;0  và  ;1 nên
2 
1

hàm số nghịch biến trên khoảng  2; 0  ,chọn đáp án C.
Chú ý:
- Một số học sinh khơng nắm vững cơng thức tính đạo hàm hàm hợp dẫn đến tính
đạo hàm sai như y  2  x 2  x 


- Ở câu hỏi này đáp án là khoảng (- 2; 0) là tập con của 1 khoảng nghịch biến

 ; 0  nếu không chú ý học sinh sẽ lầm tưởng “ đề bài sai” khơng có đáp án
đúng.
Ví dụ 23:Hàm số bậc ba y  f ( x) có đồ thị như hình vẽ bên
cạnh.Hàm số g ( x)  f (3  x) đồng biến trên khoảng nào sau đây?
A. (-1;2)
B. (-; 1), (4; +)

C. (1; 4)
D. (-6; -3)
Hướng dẫn:Từ đồ thị hàm số ta thấy hàm số g  x  đồng biến khi
 3  x  1  x  4
3  x  2   x  1 . Suy ra đáp án đúng là đáp án B.



Ví dụ 24 :Cho hàm số f  x  . Hàm số f   x  có đồ thị như hình vẽ sau. Hàm số
y  f 1  x 2  nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A.





3;  .

B.   3; 1 .

C. 1; 3  .

D.

 0;1 .
Hướng dẫn:Từ đồ thị đạo hàm hàm số ta suy ra nghiệm của đạo hàm và các
khoảng mà trên đó đạo hàm của hàm số âm,dương từ đó lập được bảng biến thiên.
Giải
x  0

x  0



2
2
Ta có y   f 1  x    2 x. f  1  x   y  0  1  x  2   x  1 .
x   3
1  x 2  4


2


Mặt khác ta có
  3  x  1
f  1  x 2   0  2  1  x 2  4  
.
1  x  3

Ta có bảng xét dấu:

Vậy hàm số y  f 1  x 2  nghịch biến trên khoảng 1; 3  .Chọn đáp án C.
Ví dụ 25: Hàm số y  f’  x  liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ bên cạnh.
Hàm số y  f ( x 2  2 x  3) nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
A. (-; 0)
B. (2; +)
C. (1; 2)
D. (-; 2)
Hướng dẫn:Ta có thể xét dấu hàm hợp trực tiếp như sau mà khơng cần lập bảng

biến thiên như ví dụ trên.
 x  1
 2
  x  1
 x  2 x  3  0

2
  0  x 2  2 x  3  2
  f   x  2 x  3  0
x  2

2
y   2 x  2  . f   x  2 x  3  0  
  2

 x  2x  3  3
0  x  1
  x  1


  2
 x  1
  f  x  2 x  3  0

2
 2  x  2 x  3  3

Vậy ta chọn đáp án B.

Phần III: MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN
*ĐỐI CHIẾU NHỮNG NỘI DUNG CĨ TRONG ĐỀ THAM KHẢO VÀ
ĐỀ CHÍNH THỨC TỪ NĂM 2018 – 2021
NĂM
THAM KHẢO
2018 - Xác định khoảng ĐB (NB) của hàm số
cho bởi BBT.
- Xác định m để hàm số y  f  x  đồng
biến trên khoảng.
- Xác định khoảng ĐB (NB) của hàm số
hợp f  u  khi biết đồ thị hàm số f '  x  .

CHÍNH THỨC
- Xác định khoảng ĐB (NB) của hàm
số cho bởi BBT.
- Xác định m để hàm phân thức bậc
1 trên bậc 1 ĐB (NB) trên khoảng.
- Cho đồ thị f '  x  , g '  x  . Xác định
khoảng ĐB (NB) của hàm số

- Xác định khoảng ĐB (NB) của hàm số
cho bởi đồ thị.
- Xác định m để hàm bậc ba ĐB (NB)
trên khoảng.
VDC: Xác định khoảng ĐB (NB) cùa
hàm hợp y  f  u   g  x  khi biết dấu của

-Xác định khoảng ĐB (NB) của hàm
số cho bởi BBT.

2019

f ' x .

2020

- Xác định khoảng ĐB (NB) của hàm số
cho bởi BBT.
- Xác định m để hàm phân thức bậc 1
trên bậc 1 ĐB (NB) trên khoảng.
- Xác định khoảng ĐB (NB) cùa hàm
hợp y  f  u   g  x  khi biết dấu của

f  x  f u   g v

-Xác định khoảng ĐB (NB) của hàm
số hợp f  u  khi biết đồ thị hàm số
f ' x .

- Xác định khoảng ĐB (NB) của hàm
số cho bởi BBT.
- Xác định m để hàm phân thức bậc
1 trên bậc 1 ĐB (NB) trên khoảng.

f ' x .

2021

- Xác định khoảng ĐB (NB) của hàm số - Xác định khoảng ĐB (NB) của hàm
cho bởi BBT.

số cho bởi đồ thị ( Lần 1)
- Xác định khoảng ĐB (NB) của hàm
số cho bởi BBT.(Lần 2)
- Xác định hàm số luôn ĐB (NB) trên 
(trên tập xác định của hàm số)


*MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1: Cho hàm số y  x 3  2 x 2  x  1 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
1
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng  ;1 .

B. Hàm số đồng biến trên khoảng

3 

1
1 

 ;1 . C. Hàm số nghịch biến trên khoảng  ;  .
3
3 


D. Hàm số

đồng biến trên khoảng 1;   .
Câu 2: Cho hàm số y 

x2

. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
x 1

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (-; -1).
B. Hàm số đồng biến trên khoảng (-; -1).
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (-; +).
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (-1; +).
Câu 3: Hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng (-; +)?
A. y  3x3  3x  2

B. y  2 x3  5 x  1.

C. y  x 4  3 x 2 .

D. y 

x2
.
x 1

Câu 4: Hàm số nào sau đây đồng biến trên tập xác định của nó.
A. y 
y

x 1
.
x3

B. y  x 4  3.

C. y  x3  x.

D.

1
.
x 1
2

Câu 5: Trong các hàm số sau, hàm số nào có khoảng đơn điệu khác so với các
hàm số còn lại?
A. y 
y

x 1
.
x2

B. y 

3x  1
.
2 x

C. y 

x 5
.
x2

D.

2x  5
.
2 x

Câu 6: Cho hàm số y  f ( x) có bảng biến thiên như sau:
X

-

-1
+

0

1


y'
Y

-

0

+

+

0

-

0

+

3
+
-2

-2

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
A. (0; 1).

B. (-; 0).

C. (1; +).

D. (-1; 0).

Câu 7: Cho hàm số y  f ( x) có bảng biến thiên như sau:
X

-

y'

-1
+

0

0

+

y

1

+

-

3

+

-

-

2
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào sau đây?
A. (-1; +).

B. (1; +).

C. (-1; 1).

D. (-; 1).

Câu 8: Hàm số y  f ( x) xác định trên  \ 1 và có bảng biến thiên như sau:
x

-

y'

1

+

+

y

+
2

+
2

-

Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng (-; 1)  (1; +).

B. Hàm số đồng biến trên khoảng (-; 2)  (2; +).