Rèn luyện kỹ năng xác định và tính góc trong hình không gian cho học sinh ôn thi tốt nghiệp thpt

SỞ GD&ĐT YÊN BÁI
TRƯỜNG THPT CẢM NHÂN

BÁO CÁO SÁNG KIẾN CẤP CƠ SỞ
Lĩnh vực: Giáo dục (Toán)

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG XÁC ĐỊNH VÀ TÍNH GĨC
TRONG HÌNH KHƠNG GIAN CHO HỌC SINH
ƠN THI TỐT NGHIỆP THPT

Tác giả: NGUYỄN DUY THIỀU
Trình độ chun mơn: Cử Nhân SP Tốn – Tin
Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn
Đơn vị công tác: Trường THPT Cảm Nhân

Yên Bái, ngày 06 tháng 02 năm 2022


I. THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN
1. Tên sáng kiến: Rèn luyện kỹ năng xác định và tính góc trong hình khơng
gian cho học sinh ơn thi tốt nghiệp THPT.
2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giáo dục và đào tạo (Toán).
3. Phạm vi áp dụng sáng kiến: Sáng kiến được áp dụng tại đơn vị trường
THPT Cảm Nhân.
4. Thời gian áp dụng sáng kiến: Từ ngày 06 tháng 9 năm 2021 đến ngày 28
tháng 5 năm 2022.
5. Tác giả:
Họ và tên: Nguyễn Duy Thiều
Năm sinh: 1982
Trình độ chun mơn: Đại học sư phạm Tốn – Tin
Chức vụ cơng tác: Tổ trưởng chuyên môn

Nơi làm việc: Trường THPT Cảm Nhân
Địa chỉ liên hệ: Trường THPT Cảm Nhân, Thôn Làng Lạnh, Xã Cảm
Nhân, Huyện Yên Bình, Tỉnh Yên Bái
Điện thoại: 0944 239 776
II. MƠ TẢ GIẢI PHÁP SÁNG KIẾN
1. Tình trạng giải pháp đã biết
* Hiện trạng trước khi áp dụng giải pháp
Mỗi một nội dung trong chương trình tốn phổ thơng đều có vai trị rất
quan trọng trong việc hình thành và phát triển năng lực của học sinh. Tuy nhiên
nội dung được đánh giá là khó học nhất đối với học sinh THPT là phần hình học
khơng gian, trong đó có bài tốn xác định và tính góc trong hình học khơng gian.
Trong sách giáo khoa Hình học 11 (ban cơ bản) đã trình bày một cách đầy đủ về
định nghĩa, nhận xét và nêu cách xác định góc trong không gian, tuy nhiên nội
dung chưa thật cụ thể, thiếu các ví dụ áp dụng cho từng trường hợp, thiếu các
bài tập trắc nghiệm và các bài tập vận dụng nên khi nghiên cứu, học tập học sinh
không cảm thấy hứng thú, thiếu tính chủ động trong tiếp thu kiến thức mới, hạn
chế việc phát triển năng lực tư duy và lập luận của người học vì vậy kiến thức dễ
bị quên dẫn đến kết quả học tập của các em cịn thấp. Trong khi đó bài tốn xác
định góc và tính góc trong hình học khơng gian thường xuyên xuất hiện trong đề
thi tốt nghiệp THPT.

1


* Ưu nhược điểm của giải pháp cũ
- Ưu điểm: Đã trình bày một cách đầy đủ về định nghĩa, nhận xét và nêu
cách xác định góc trong hình khơng gian, nêu một vài ví dụ minh họa và
đề xuất một số bài tập để rèn luyện kỹ năng xác định và tính góc.
- Nhược điểm:
Chưa đưa ra được phương pháp tổng qt để xác định và tính góc

trong khơng gian;
Thiếu các ví dụ áp dụng cho một số trường hợp, đặc biệt là chưa
đưa ra được các ví dụ trắc nghiệm khách quan theo mức độ từ thấp đến
cao để minh họa cho các dạng bài tập về xác định và tính góc;
Chưa tạo hứng thú học tập cho học sinh;
Chưa phát huy được tính chủ động trong tiếp thu kiến thức mới của
người học;
Chưa phát triển được phẩm chất và năng lực, khả năng tư duy sáng
tạo của người học và đặc biệt là rèn luyện trí tưởng tượng khơng gian;
Thời lượng dành cho bài tốn về góc là q ít nên giáo viên khơng
có đủ thời gian để cho học sinh luyện tập.
* Đóng góp của sáng kiến:
Sáng kiến đã hệ thống kiến thức trọng tâm về góc trong khơng gian, từ đó
đưa ra 3 dạng tốn về góc trong khơng gian thường xuất hiện trong đề thi tốt
nghiệp THPT và cách giải một cách cụ thể, tường minh. Cùng với đó là 20 ví dụ
trắc nghiệm minh họa và đề xuất 20 bài tập áp dụng được trình bày theo mức độ
tăng dần của từng dạng tốn xác định và tính góc trong hình khơng gian. Các ví
dụ minh họa và bài tập áp dụng là một số bài tốn được trích từ đề thi THPT
quốc gia, đề thi tốt nghiệp THPT của những năm trước và đề thi thử của một vài
trường THPT. Qua đó phát triển năng lực tư duy và lập luận, rèn luyện trí tưởng
tượng khơng gian, rèn luyện kỹ năng, sự khéo léo bóc tách các yếu tố phẳng ra
khỏi khơng gian để đơn giản hóa bài tốn, đưa từ bài tốn xác định và tính góc
trong khơng gian trở về bài tốn xác định và tính góc trong hình học phẳng. Từ
đó khơi dậy sự hứng thú, tính tự giác, tích cực trong học tập, giúp các em hình
thành, phát triển được các phẩm chất và năng lực trong quá trình học tập, mang
lại kết quả cao trong cơng tác giảng dạy tại đơn vị trường THPT Cảm Nhân.
Với việc xác định và tính được góc trong khơng gian là một yêu cầu cần
thiết để làm được một vài bài tốn về tính thể tích, tính khoảng cách, … trong
khơng gian, qua đó nâng cao chất lượng dạy và học phần hình học khơng gian.
2

2. Nội dung giải pháp đề nghị công nhận là sáng kiến
2.1. Mục đích của giải pháp
Giúp học sinh nhớ được định nghĩa, biết nhận dạng, xác định và tính được
góc trong hình khơng gian, đặc biệt là rèn luyện kỹ năng, sự khéo léo bóc tách
các yếu tố phẳng ra khỏi khơng gian để đơn giản hóa bái tốn, đưa từ bài tốn
xác định và tính góc trong khơng gian trở về bài tốn xác định và tính góc trong
hình học phẳng. Biết vận dụng các kiến thức đó để giải một số ví dụ trắc nghiệm
minh họa là một số bài tốn về góc trong khơng gian được trích từ đề thi THPT
quốc gia, đề thi tốt nghiệp THPT của những năm trước và đề thi thử của một vài
trường THPT nhằm hình thành và phát triển được phẩm chất, năng lực của
người học, khơi dậy hứng thú nghiên cứu hình khơng gian, qua đó nâng cao chất
lượng dạy và học mơn Tốn trong trường THPT.
2.2. Nội dung của giải pháp
2.2.1. Cơ sở lý thuyết
Để xác định và tính góc giữa hai đường thẳng trong khơng gian, góc giữa
đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng ta thường đưa về bài tốn
xác định và tính góc trong mặt phẳng, khi đó ta sử dụng các kiến thức cơ bản
sau trong hình học phẳng:
a) Tỷ số lượng giác tam giác vuông
Trong tam giác ABC vuông tại A , ta có:
AC
AB
AC
AB
sin B 
; cos B 
; tan B 
; cot B 

.
BC
BC
AB
AC
AB
AC
AB
AC
sin C 
; cos C 
; tan C 
; cot C 
.
BC
BC
AC
AB
b) Hệ quả định lý côsin
Trong tam giác ABC bất kì với BC  a, CA  b, AB  c , ta có:

b2  c 2  a2
cos A 
2bc
a2  c2  b2
cos B 
2ac
a 2  b2  c2
cos C 
2ab

3


c) Tính góc giữa hai vectơ

 
a.b
cos a, b   
a.b

 

2.2.2. Phân loại bài toán xác định và tính góc trong hình khơng gian
Dạng 1: Góc giữa hai đường thẳng trong khơng gian
a) Định nghĩa:
Góc giữa hai đường thẳng a và b trong
khơng gian là góc giữa hai đường thẳng a ' và b '
cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với
a và b.
b) Phương pháp:
* Phương pháp 1:
- Chọn một điểm O và qua O kẻ các đường thẳng a '/ / a , b '/ / b
- Chọn OAB sao cho A  a ', B  b ' , sử dụng hệ thức đã biết để tính
góc 
AOB
AOB  90o ,
- Suy ra (
a, b)  
AOB nếu 0o  

AOB  180o.
(
a, b)  180o  
AOB nếu 90o  

Lưu ý:
- Ta có thể lấy điểm O thuộc một trong hai đường thẳng a, b.
a, b)  (
c, b ) .
- Nếu c / / a thì (
a, b)  (
a, d ) .
- Nếu d / / b thì (

* Phương pháp 2:



- Tìm vectơ u là vectơ chỉ phương của đường thẳng a và vectơ v là
vectơ chỉ phương của đường thẳng b
 
- Khi đó cos 
a , b   cos(u , v ) .

Ví dụ 1. (Câu 29 – Mã đề 102 – Đề thi TN THPT năm 2021 – Đợt 1)
Cho hình lăng trụ đứng ABC. ABC  có tất cả các
cạnh bằng nhau (tham khảo hình bên). Góc giữa hai
đường thẳng AA và BC bằng
A. 90o.
B. 45o.

C. 30o.
D. 60o.
Lời giải

AA, BC   
CC , BC   B
' CC '
Ta có: AA '/ / CC '  
4


Mặt khác  BCC ' vng tại C có CC   BC  nên là tam giác vuông cân.

AA, BC   B
' CC '  45o.
Vậy 
Chọn B.
Ví dụ 2. (Câu 35 – Mã đề 102 – Đề thi TN THPT năm 2021 – Đợt 2)
Cho hình chóp S . ABCD có tất cả các cạnh bằng
nhau (tham khảo hình bên). Góc giữa hai đường
thẳng SB và CD bằng
A. 60o.
B. 90o.
C. 45o.
D. 30o.
Lời giải

SB, CD   
SB, BA   SBA
Ta có: BA / / CD  

Do hình chóp S . ABCD có tất cả các cạnh bằng nhau nên SAB đều
  60o.
SB, CD   SBA
Vậy 
Chọn A.
Ví dụ 3. Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' (tham
khảo hình bên). Góc giữa hai đường thẳng A ' C ' và BD
bằng
A. 60o.
B. 90o.
C. 45o.
D. 30o.
Lời giải
Ta có: AC / / A ' C '
 
A ' C ', BD   
AC , BD   90o vì ABCD là hình vng
Chọn B.
Ví dụ 4. (Câu 28 – Đề thi tham khảo của Bộ năm 2018)
Cho tứ diện OABC có OA , OB , OC đơi một
vng góc với nhau và OA  OB  OC . Gọi M là
trung điểm của BC (tham khảo hình bên). Góc giữa
hai đường thẳng OM và AB bằng
A. 90o.
B. 30o.
C. 60o.
D. 45o.
Lời giải
Gọi N là trung điểm của AC , ta có:
OM , AB   

OM , MN 
MN / / AB  
5


Vì OAC  OAB  OBC
 AB  AC  BC (1)
Do OAC , OBC vuông tại O nên
1
AC (2)
2
Mặt khác MN là đường trung bình của ABC
1
 MN  AB (3)
2
Từ (1), (2) và (3) suy ra OMN là tam giác đều
  60o.
OM , AB   OMN
Vậy 
OM  OM 

Chọn C.
Ví dụ 5. Cho tứ diện đều ABCD . Gọi M là trung điểm
của cạnh BC (tham khảo hình bên). Khi đó
cos(
AB, DM ) bằng

3
.
6

3
.
C.
2
A.

2
.
2
1
D. .
2
B.

Lời giải
Cách 1:
Gọi N là trung điểm của AC , ta có:
AB, DM   
MN , DM 
MN / / AB  
Giả sử tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a , ta có:
a 3
,
2
1
a
MN  AB 
2
2
DN  DM 

3a 2 a 2 3a 2
 
DM 2  MN 2  DN 2
4
4
4  3.

Do đó cos( MN , DM ) 

2.DM .MN
6
a 3 a
2.
.
2 2

3
AB, DM )  cos (
MN , DM ) 
Vậy cos(
.
6
Chọn A.
MN , DM )
Nhận xét: Ta có thể dựa vào DMN cân tại D để tính cos(
6


Cách 2:

a 3
Giả sử tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a, ta có DM 
 
    2  
 
AB.DM
AB.( DB  BM ) AB.DB  AB.BM

 
 
Do đó cos( AB, DM )    
AB . DM
AB . DM
AB . DM
a
a.a.cos60o  a. .cos120o
3
2


6
a 3
a.
2
 
3
AB, DM )  cos( AB, DM ) 
.
Vậy cos(
6

Chọn A.

Ví dụ 6. Cho tứ diện ABCD có AB  CD  2a. Gọi M , N lần lượt là trung
điểm của BC và AD , MN  a 3 (tham khảo hình
bên). Góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng
A. 90o.
B. 30o.
C. 45o.
D. 60o.
Lời giải
Gọi I là trung điểm của BD .
IN / / AC 
 
Ta có:
   AB, CD    IM , IN  .
IM / / CD 
Xét IMN có: IM  IN  a , MN  a 3 .
IM 2  IN 2  MN 2

Do đó cos MIN 
2.IM .IN
a 2  a 2  3a 2
1
  120o

   MIN
2.a.a
2

AB, CD   180o  120o  60o.

Vậy: 
Chọn D.

Ví dụ 7. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình
thoi cạnh a , 
ABC  60o , SA  a và SA  ( ABCD) . Gọi
M là trung điểm của SB (tham khảo hình bên). Góc
giữa hai đường thẳng SA và CM bằng
A. 45o.
B. 60o.
C. 90o.
D. 30o.
7


Lời giải
Gọi H là trung điểm của AB  MH / / SA
 
SA, CM   
MH , CM  .
1
a
Ta có MH  SA 
2
2
a 3
2
Vì SA  ( ABCD )  MH  ( ABCD )  MH  HC
ABC đều cạnh a  CH 

Xét MHC vng tại H , ta có

HC a 3 a
  60o.

:  3  HMC
MH
2 2
SA, CM   
MH , CM   60o.
Vậy: 

tan HMC

Chọn B.
Bài tập áp dụng
Câu 1. (Câu 36 – Mã đề 101 – Đề thi TN THPT năm 2021 – Đợt 1)
Cho hình lăng trụ đứng ABC. ABC  có tất cả các cạnh
bằng nhau (tham khảo hình bên). Góc giữa đường thẳng
AA và BC bằng
A. 30o.

B. 90o.

C. 45o.

D. 60o.

Câu 2. (Câu 30 – Mã đề 101 – Đề thi TN THPT năm 2021 – Đợt 2)
Cho hình chóp S . ABCD có tất cả các cạnh bằng

nhau (tham khảo hình bên). Góc giữa hai đường thẳng
SC và AB bằng
A. 90o.

B. 60o.

C. 30o.

D. 45o.

Câu 3. Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' có cạnh
bằng a (tham khảo hình bên). Góc giữa hai đường
thẳng A ' B và AC ' bằng
A. 90o.

B. 60o.

C. 45o.

D. 30o.

8


Câu 4. Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' (tham
khảo hình bên). Góc giữa hai đường thẳng A ' B và B ' C
bằng
A. 90o.
B. 60o.
C. 45o.

D. 30o.
Câu 5. Cho hình lăng trụ đứng ABCD. A ' B ' C ' D ' có
ABCD là hình thoi với AB  BD  AA '  a (tham khảo
hình bên). Khi đó cơsin góc giữa hai đường thẳng AC ' và
BC bằng
1
3
A. .
B. .
5
5
1
3
C. .
D. .
4
4
Câu 6. Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD , có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng
2a (tham khảo hình bên). Cơsin của góc giữa hai
đường thẳng AB và SC bằng
1
1
A.  .
B. .
4
4
1
1
C.  .
D. .

2
2
Câu 7. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA vuông
a 6
, SB  a 2, BC  a
2
(tham khảo hình bên). Gọi M là trung điểm của SB. Góc
giữa hai đường thẳng SA và CM bằng
A. 45o.
B. 90o.
C. 60o.
D. 30o.

góc với mặt phẳng đáy, SA 

Dạng 2: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian
a) Định nghĩa
Cho đường thẳng d và mặt phẳng ( ) .
Trường hợp đường thẳng d vng góc với mặt phẳng ( ) thì ta nói rằng
góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng ( ) bằng 90o.

9


Trường hợp đường thẳng d khơng vng góc với mặt phẳng ( ) thì góc
giữa d và hình chiếu d ' của nó trên ( ) gọi là góc giữa đường thẳng d và mặt
phẳng ( ) .
b) Phương pháp
+ Tìm O  d  ( )
+ Lấy điểm A thuộc d , ( A  O) kẻ

AH vng góc với ( ) , H  ( ) . Khi đó

HO là hình chiếu vng góc của AO lên
mặt phẳng ( ) .
d ,( )   
AO, HO   
AOH
+ Suy ra 

Ví dụ 8. (Câu 35 – Đề thi tham khảo của Bộ năm 2021)
Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A ' B ' C ' D ' có

AB  AD  2 và AA '  2 2 (tham khảo hình
bên). Góc giữa đường thẳng CA ' và mặt phẳng
( ABCD) bằng
A. 30o.
C. 60o.

B. 45o.
D. 90o.

Lời giải
Vì CA là hình chiếu vng góc của CA ' lên mặt phẳng ( ABCD)
 
CA,( ABCD )   
CA, CA   
ACA '

Vì ABCD là hình chữ nhật, AB  AD  2 nên ABCD là hình vng cạnh 2
 AC  2 2

Do đó ACA ' vuông cân tại A
Vậy 
CA,( ABCD )   
ACA '  45o.

Chọn B.
Ví dụ 9. (Câu 32 – Mã đề 103 – Đề thi TN THPT năm 2020 – Đợt 1)
Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác
vuông tại B, AB  a, BC  3a; SA vng góc với mặt
phẳng đáy và SA  30a (tham khảo hình bên). Góc
giữa đường thẳng SC và mặt đáy bằng
A. 45o.
B. 90o.
C. 60o.
D. 30o.
10


Lời giải
Vì AC là hình chiếu vng góc của SC lên mp ( ABC )

 
SC ,( ABC )   
SC , AC   SCA

Ta có: AC  AB 2  BC 2  a 10
Xét  SAC vng tại A , ta có
SA a 30
  60o


 3  SCA
AC a 10
  60 o.
Vậy 
SC ,( ABC )   SCA

tan SCA

Chọn C.
Ví dụ 10. (Câu 17 – Đề tham khảo của Bộ năm 2020 – Lần 1)
Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vng cạnh

3a , SA vng góc

với mặt phẳng đáy và SA  2a (minh họa như hình
bên). Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng
 ABCD  bằng
A. 45o.
C. 60o.

B. 30o.
D. 90o.

Lời giải
Vì AC là hình chiếu vng góc của SC lên mp ( ABCD)

 
SC ,( ABCD )   
SC , AC   SCA
Vì ABCD là hình vng cạnh 3a  AC  3a 2  a 6

Xét  SAC vng tại A , ta có
  SA  a 2  1  SCA
  30o.
tan SCA
AC a 6
3
  30 o.
Vậy 
SC ,( ABCD )   SCA
Chọn B.
Ví dụ 11. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vng cạnh a , SA vng góc
với mặt phẳng đáy và SB  5a (minh họa như hình
bên). Tính tang góc giữa đường thẳng SC và mặt
phẳng ( SAB ) bằng
1
.
6
1
C. .
4

A.

1
.
5
1
D. .
3

B.

11


Lời giải
Ta có: BC  AB vì ABCD là hình vng
BC  SA vì SA  ( ABCD )
 BC  ( SAB )
Do đó SB là hình chiếu vng góc của SC lên mp ( SAB)

 
SC ,( SAB )   
SC , SB   CSB
Xét  SBC vng tại B , ta có
  BC  a  1
tan CSB
SB 5a 5
1
Vậy tan 
SC ,( SAB )   .
5
Chọn B.
Ví dụ 12. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , SA
vng góc với mặt phẳng đáy và SA  a (tham khảo
hình bên). Tang của góc giữa đường thẳng SC và mặt
phẳng ( SAB) bằng
A.

3

.
5

C. 1.

3
.
2 2
1
.
D.
2

B.

Lời giải
Gọi M là trung điểm của AB, ta có
CM  AB vì ABC là tam giác đều
CM  SA vì SA  ( ABC )
 CM  ( SAB )

Do đó SM là hình chiếu vng góc của SC lên
mp ( SAB)

 
SC ,( SAB )   
SC , SM   CSM
a 3
a2 a 5
, SM  SA2  AM 2  a 2 


2
4
2
Xét  SMC vuông tại M , ta có
  MC  a 3 : a 5  3
tan CSM
SM
2
2
5
3
Vậy tan 
SC ,( SAB )  
.
5
Chọn A.

Mặt khác CM 

12


Ví dụ 13. (Câu 25 – Đề tham khảo của Bộ năm 2018)
Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có tất cả các cạnh bằng a . Gọi M là
trung điểm SD (tham khảo hình bên). Tang của góc
giữa đường thẳng BM và mặt phẳng ( ABCD) bằng

2
.

2
2
C. .
3
A.

3
.
3
1
D. .
3
B.

Lời giải
Gọi O  AC  BD  SO  ( ABCD)
Gọi N là trung điểm của OD  MN / / SO
 MN  ( ABCD)
Do đó BN là hình chiếu vng góc của BM
lên mp ( ABCD)
  IBO
 , với I  BM  SO
 
BM ,( ABCD )   
BM , BN   MBN

1
a 2
Vì ABCD là hình vng cạnh a  BO  BD 
2

2
2a 2 a 2
2
2
2
 SO  SB  OB  a 

4
2
1
a 2
Vì I là trọng tâm SBD  OI  SO 
3
6
  OI  a 2 : a 2  1
Xét OIB vuông tại O , ta có
tan IBO
BO
6
2
3
1
Vậy tan 
BM ,( ABCD )   .
3
Chọn D.

Bài tập áp dụng
Câu 8. (Câu 35 – Mã đề 104 – Đề thi TN THPT năm 2020 – Đợt 2)
Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A BC  D có

AB  a, AD  3a, AA  2 3a (tham khảo hình

vẽ). Góc giữa đường thẳng AC và mặt phẳng
 ABCD  bằng
A. 45o.
C. 60o.

B. 30o.
D. 90o.
13


Câu 9. (Câu 26 – Mã đề 104 – Đề thi TN THPT năm 2020 – Đợt 1)
Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác
vng tại B, AB  a, BC  2a; SA vng góc với mặt
phẳng đáy và SA  a (tham khảo hình bên). Góc giữa
đường thẳng SC và mặt đáy bằng
A. 90o.
B. 45o.
C. 60o.
D. 30o.
Câu 10. (Câu 19 – Mã đề 101– Đề thi THPT quốc gia năm 2018)
Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vng
cạnh a , SA vng góc với mặt phẳng đáy và SB  2a
(tham khảo hình bên). Góc giữa đường thẳng SB và
mặt phẳng đáy bằng
A. 60o.
B. 90o.
C. 30o.
D. 45o.

Câu 11. Cho hình lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông
cân tại A , AB  AA '  a (tham khảo hình vẽ bên). Tang
góc giữa đường thẳng BC ' và mặt phẳng ( ABB ' A ') bằng
A.

2
.
2

C.

2.

6
.
3
3
.
D.
3

B.

Câu 12. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vng cạnh a , SA vng góc
với mặt phẳng đáy và SA  2a (minh họa như hình
bên). Gọi  là góc giữa đường thẳng SA và mặt
phẳng ( SBC ) . Khi đó
1
.
5

1
.
C. cos  
2 5

A. cos  

2
.
5
3
.
D. cos  
5

B. cos  

Câu 13. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình
vng cạnh a , SA  ( ABCD) và

SA  a 2 . Gọi

M là trung điểm SB (tham khảo hình bên). Tang
của góc giữa đường thẳng DM và mặt phẳng
( ABCD) bằng
14


A.

5
.
5

B.

2
.
5

C.

2
.
5

D.

10
.
5

Dạng 3: Góc giữa hai mặt phẳng trong khơng gian
a) Định nghĩa
Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vng góc
với hai mặt phẳng đó.
b) Phương pháp
Phương pháp 1: Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau
+ Tìm giao tuyến ( )  (  )  c
+ Chọn điểm I  c

+ Trong ( ) tìm đường thẳng a đi
qua I sao cho a  c
+ Trong (  ) tìm đường thẳng b đi
qua I sao cho b  c

a, b 
+ Khi đó    ,      
Phương pháp 2: Sử dụng công thức diện tích hình chiếu
Cho đa giác
nằm trong mặt phẳng ( ) có diện tích là S và
là hình chiếu vng góc của

trên mặt phẳng (  ) có diện tích là S ' , gọi

 là góc giữa hai mặt phẳng ( ) và (  ) . Khi đó
cos 

S'
S

Ví dụ 14. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B ,

AB  a, SA vng góc với mặt phẳng đáy và SA  a 3
(tham khảo hình bên). Góc giữa hai mặt phẳng ( SBC )
và ( ABC ) bằng
A. 30o.
C. 60o.

B. 45o.
D. 90o.

Lời giải
Ta có  SBC    ABC   BC
Mặt khác AB  BC vì ABC vng cân tại B
SA  BC vì SA  ( ABC )
 SB  BC
15


Mà AB  ( ABC ) , SB  ( SBC )

Do đó 
( SBC ), ( ABC )   (
SB , AB )  SBA

Xét SAB vuông tại A , ta có
  SA  a 3  3  SBA
  60o.
tan SBA
AB
a
Vậy 
( SBC ), ( ABC )   60 o.

Chọn C.
Ví dụ 15. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là
hình vng có cạnh bằng 2a , SA vng góc với mặt
phẳng đáy và SA  a 2 (tham khảo hình bên). Góc
giữa hai mặt phẳng ( SBD ) và ( ABCD ) bằng
A. 30o.
C. 60o.

B. 45o.
D. 90o.
Lời giải

Ta có  SBD    ABCD   BD
Gọi O  AC  BD , khi đó
AO  BD vì ABCD là hình vng
SA  BD vì SA  ( ABCD)
 SO  BD

Do đó 
( SBD ), ( ABCD )   (
SO , AO )  SOA

AC 2a 2

 a 2  SA
2
2
  45o.
nên SOA vuông cân tại A  SOA
Vậy 
( SBD ), ( ABCD )   45o.

Xét SOA vng tại A có AO 

Chọn B.
Ví dụ 16. (Câu 30 – Đề tham khảo của Bộ năm 2019)
Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' (tham

khảo hình bên). Góc giữa hai mặt phẳng  A ' B ' CD 
và  ABC ' D '  bằng
A. 30o.
C. 45o.

B. 60o.
D. 90o.

16


Lời giải
Cách 1
Gọi I  AD ' A ' D ; J  BC ' B ' C
Ta có  ABCD    ABC D   IJ
Mặt khác AI  AB  AI  IJ
DI  DC  DI  IJ
Mà AI  ( ABC ' D ') , DI  ( A ' B ' CD )
Vậy
( A ' B ' CD ), ( ABC ' D ')   (
AI , DI )  
AID  90 o vì ADD ' A ' là hình vng

Chọn D.
Cách 2
Ta có: CD   ADDA   CD  AD
AD  AD vì ADA ' D ' là hình vng
 AD   ABCD 

Mà AD   ABC D    ABCD    ABC D 

Vậy 
( A ' B ' CD ),( ABC ' D ')   90 o.
Chọn D.
Ví dụ 17. Cho hình lăng trụ đều ABC . A ' B ' C ' có cạnh
đáy bằng 2a , cạnh bên bằng a (tham khảo hình bên).
Góc giữa hai mặt phẳng  AB ' C ' và  A ' B ' C '  bằng
A.


6

.

C. arccos

B.
3
.
4


3

.

D. arcsin

3
.
4

Lời giải
Ta có  AB ' C '   A ' B ' C '  B ' C '
Gọi I là trung điểm của B ' C ' , khi đó
A ' I  B ' C ' vì A ' B ' C ' là tam giác đều
AA '  B ' C '
 B ' C '  AI
Do đó 
( AB ' C '), ( A ' B ' C ')   (
AI , A ' I )  
AIA '
Xét AIA ' vuông tại A ' , ta có

17


AA '
a
1




AIA '  .
A' I a 3
6
3

Vậy 
( AB ' C '), ( A ' B ' C ')   

AIA '  .
6
Chọn A.
tan 
AIA ' 

Ví dụ 18. (Câu 47 – Đề tham khảo của Bộ năm 2018)
Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC . A ' B ' C ' có AB  2 3 và AA '  2 .
Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm các cạnh A ' B ' ,
A ' C ' và BC (tham khảo hình vẽ). Cơsin của góc tạo
bởi hai mặt phẳng  AB ' C '  và  MNP  bằng

A.

6 13
.
65

B.

C.

17 13
.
65

D.

13
.

65
18 13
.
65

Lời giải
Gọi I , Q lần lượt là trung điểm của MN và B ' C '
Gọi O  PI  AQ
Ta có: B ' C '   AB ' C ' , MN   MNP  .
B ' C '/ / MN
Gọi d   AB ' C '  ( MNP ) thì d đi qua O và
d / / B ' C ', d / / MN

Vì

AB ' C ' cân tại A  AQ  B ' C '  AQ  d

PMN cân tại P  PI  MN  PI  d
Do đó 
( AB ' C '), ( MNP )   (
AQ , PI )

Mặt khác:
ABC đều cạnh 2 3  AP  3, AQ  13, IP 
OAP ∽ OQI và

5
2

AP

2
2 13
2
5
 2  OA  AQ 
; OP  IP 
IQ
3
3
3
3

OA2  OP 2  AP 2
13

 
Xét OAP , có cos AOP 
2OA.OP
65
13
Vậy cos 
( AB ' C '), ( MNP )   cos (
AQ , PI )  cos 
AOP 
65
Chọn B.
18


Ví dụ 19. (Câu 37 – Mã đề 101 – Đề thi THPT quốc gia năm 2018)

Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' có tâm O . Gọi I là tâm của hình
vng A ' B ' C ' D ' và M là điểm thuộc đoạn thẳng OI sao cho MO  2 MI
(tham khảo hình vẽ). Khi đó cơsin của góc tạo bởi
hai mặt phẳng  MC ' D ' và  MAB  bằng

6 85
.
85
17 13
.
C.
65

7 85
.
85
6 13
.
D.
65
Lời giải
Ta có: AB   MAB  , C ' D '   MC ' D ' .
A.

B.

AB / / C ' D '
Gọi d   MAB   ( MC ' D ') , thì d đi qua M

và d / / AB, d / / C ' D '

Gọi Q, P lần lượt là trung điểm của AB và
C ' D ' , ta có:
MAB cân tại M  MQ  AB  MQ  d
MC ' D ' cân tại M  MP  AB  MP  d
Do đó 
( MAB ), ( MC ' D ')   (
MQ , MP )

Khơng mất tính tổng qt, giả sử cạnh của hình lập phương là 6.
1
1
Khi đó ta có: IM  OI  AA '  1
3
6
MP  IM 2  IP 2  10 , MQ  34 , PQ  BC '  6 2

MP 2  MQ 2  PQ 2
14
7 85



Xét MPQ , có cos MPQ 
2 MP.MQ
85
340
7 85

Vậy cos 
( MAB ), ( MC ' D ')   cos (

M Q , MP )  cos M
PQ 
85
Chọn B.

Ví dụ 20. Cho hình lăng trụ đứng ABC . A ' B ' C ' có
  1200 . Gọi I là trung điểm
AA '  AB  AC  1 , BAC
của CC ' (tham khảo hình bên). Cơsin của góc giữa hai
mặt phẳng ( ABC ) và ( AB ' I ) .

19


A.

370
.
20

B.

70
.
10

C.

30
.

20

D.

30
.
10

Lời giải
Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng ( ABC ) và ( AB ' I ) .
Vì ABC là hình chiếu vng góc của AB ' I lên mặt phẳng ( ABC ) , nên
cos  

S ABC
S AB ' I

5
2
2
2
2
BC  AB  AC  2. AB. AC.cos A  3  BC  B ' C '  3
13
 B ' I  B ' C '2  C ' I 2 
2
5
13
Vì AB '2  AI 2  2    B ' I 2 nên AB ' I vuông tại A
4 4
1

3
1
10
Mặt khác SABC  . AB. AC.sin A 
, SAB ' I  . AB '. AI 
2
4
2
4
S
3 10
30
:

Vậy cos   ABC 
S AB ' I
4
4
10
Chọn D.

Ta có: AB '  AB 2  BB '2  2 , AI  AC 2  CI 2 

Bài tập áp dụng
Câu 14. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B ,
AB  a, SA vng góc với mặt phẳng đáy và SA  2a
(tham khảo hình bên). Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng
( SBC ) và ( ABC ) . Tính cos 
2
.

3
1
C. cos   .
5

A. cos 

1
.
3
1
D. cos 
.
5

B. cos 

Câu 15. Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có cạnh đáy
a
bằng a , chiều cao của hình chóp bằng
(tham
2 3
khảo hình bên). Góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng
A. 30o.
B. 45o.
C. 60o.
D. 90o.
20

Câu 16. Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D '
(tham khảo hình bên). Cơsin góc giữa hai mặt
phẳng  CB ' D '  và  A ' B ' C ' D ' bằng
A.

3
.
3

B.

2
.
2

C.

3
.
2

D.

6
.
3

Câu 17. Cho hình lăng đứng ABC . A ' B ' C ' có cạnh bên bằng a 2 , đáy là tam
giác ABC vuông tại A , AB  a, AC  a 3 (tham khảo
hình bên). Ký hiệu  là góc tạo bởi hai mặt phẳng

( A ' BC ) và ( BCC ' B ') . Tính tan 

A. tan  

3
.
6

B. tan  

6
.
4

C. tan  

3
.
4

D. tan  

2 6
.
3

Câu 18. Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' có
cạnh bằng a . Góc giữa hai mặt phẳng  BA ' C  và
( DA ' C ) bằng

A. 30o.
C. 60o.

B. 45o.
D. 90o.

Câu 19. (Câu 37 – Mã đề 104 – Đề thi THPT quốc gia năm 2018)
Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' có tâm O . Gọi I là tâm của hình
vng A ' B ' C ' D ' và M là điểm thuộc đoạn
1
thẳng OI sao cho MO  MI (tham khảo hình
2
vẽ). Khi đó sin của góc tạo bởi hai mặt phẳng
 MC ' D ' và  MAB  bằng
A.

17 13
.
65

B.

6 85
.
85

C.

7 85
.

85

D.

6 13
.
65

21


Câu 20. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thang vng tại A và
D , SA vng góc với mặt phẳng đáy,
SA  AB  2 AD  2 DC  2 a (tham khảo hình bên).
Gọi  là góc tạo bởi hai mặt phẳng ( SAB ) và
( SBC ) . Tính tan 

A. tan   2.
2
.
C. tan  
4

B. tan   2 2.
2
.
D. tan  
2

3. Khả năng áp dụng của giải pháp

Sáng kiến đã được áp dụng trong công tác giảng dạy tại lớp 12A1 trường
THPT Cảm Nhân năm học 2021 – 2022 cho kết quả cao;
Sáng kiến có thể áp dụng cho các đối tượng học sinh ôn thi tốt nghiệp
THPT.
4. Hiệu quả, lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng giải
pháp.
Tiến hành kiểm tra khảo sát với thời lượng 30 phút gồm 10 câu hỏi trắc
nghiệm khách quan (có ma trận đề kiểm tra, đề kiểm tra và đáp án kèm theo) về
bài tốn xác định và tính góc trong hình khơng gian tại lớp 12A5 khi không áp
dụng sáng kiến và tại lớp 12A1 sau khi áp dụng sáng kiến (có bảng điểm chi tiết
kèm theo). Kết quả tổng hợp như sau:
Kết quả kiểm tra khảo sát ở lớp 12A5 khi không áp dụng sáng kiến:

Lớp
12A5

Giỏi

Khá

Trung bình

Yếu

Kém

Tổng
số HS

SL

%

SL

%

SL

%

SL

%

SL

%

39

0

0

5

12,8

12

30,8

15

38,4

7

18,0

Kết quả kiểm tra khảo sát ở lớp 12A1 sau khi áp dụng sáng kiến:

Lớp
12A1

Giỏi

Khá

Trung bình

Yếu

Kém

Tổng
số HS

SL

%

SL

%

SL

%

SL

%

SL

%

39

5

12,8

11

28,2

16

41,0

7

18,0

0

0

Qua bảng tổng hợp kết quả trên cho ta thấy việc áp dụng sáng kiến vào
giảng dạy đã làm tăng chất lượng học tập của học sinh: Tỷ lệ học sinh khá, giỏi
22


tăng 28,2%; Tỷ lệ học sinh yếu, kém giảm 38,4%; Đặc biệt cịn có học sinh đạt
điểm giỏi (12,8%).
Ngun nhân của kết quả trên là: Sáng kiến đã hệ thống kiến thức trọng
tâm về góc trong khơng gian, từ đó đưa ra 3 dạng tốn về góc trong khơng gian
thường xuất hiện trong đề thi tốt nghiệp THPT và cách giải một cách cụ thể,
tường minh. Cùng với đó là 20 ví dụ trắc nghiệm minh họa và đề xuất 20 bài tập
áp dụng được trình bày theo mức độ tăng dần của từng dạng tốn xác định và
tính góc trong hình khơng gian. Các ví dụ minh họa và bài tập áp dụng là một số
bài tốn được trích từ đề thi THPT quốc gia, đề thi tốt nghiệp THPT của những
năm trước và đề thi thử của một vài trường THPT. Qua đó phát triển năng lực tư
và lập luận, rèn luyện trí tưởng tượng khơng gian, rèn luyện kỹ năng, sự khéo
léo bóc tách các yếu tố phẳng ra khỏi khơng gian để đơn giản hóa bái tốn, đưa
từ bài tốn xác định và tính góc trong khơng gian trở về bài tốn xác định và tính
góc trong hình học phẳng. Từ đó khơi dậy sự hứng thú, tính tự giác, tích cực khi

học tập phần hình học khơng gian. Tuy nhiên sáng kiến vẫn cần có những bổ
sung, cải tiến để sau mỗi lần áp dụng sẽ thu được nhiều thành công hơn nữa.
5. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến
Đối với giáo viên: Là giáo viên đang giảng dạy chương trình mơn Tốn
THPT theo chương trình chuẩn.
Đối với học sinh: Là học sinh đã học xong chương trình lớp 11 hoặc đang
ơn thi kỳ thi tốt nghiệp THPT.
6. Tài liệu gửi kèm
- Kế hoạch bài học áp dụng sáng kiến;
- Ma trận đề kiểm tra;
- Đề kiểm tra;
- Bảng điểm kiểm tra.
III. CAM KẾT KHƠNG SAO CHÉP HOẶC VI PHẠM BẢN QUYỀN
Tơi cam kết không sao chép hoặc vi phạm bản quyền, nếu có gian dối
hoặc khơng đúng sự thật trong báo cáo, xin chịu hoàn toàn trách nhiệm theo quy
định của pháp luật./.
Cảm Nhân, ngày 06 tháng 02 năm 2022
Người viết báo cáo

Nguyễn Duy Thiều
23


XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
VỀ VIỆC TRIỂN KHAI ÁP DỤNG SÁNG KIẾN TẠI ĐƠN VỊ
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................

................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................

24