Các đề thi hsg ở các tỉnh

Tailieumontoan.com

Điện thoại (Zalo) 039.373.2038

BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
MƠN TỐN LỚP 7 NĂM 2022

Tài liệu sưu tầm, ngày 21 tháng 9 năm 2021







PHÒNG GD&ĐT
THÁI THỤY

ĐỀ KHẢO SÁT NĂNG LỰC HỌC SINH
NĂM HỌC 2021-2022
Mơn: TỐN 7

Thời gian làm bài: 120 phút
(Khơng kể thời gian giao đề)
Bài 1 (3,0 điểm)
0

1 3 1 13  21 
1. Tính bằng cách hợp lý: A = 23      
3 5 3 5  22 
2. Cho đa thức M thỏa mãn: M – 19x 2 y  xy2   2x 2 y  5xy2

Tìm đa thức M và tính giá trị của M tại x = 2 và y = - 1
Bài 2 (3,0 điểm)
15
3
1
x+ =
12
4
2
2. Cuối học kì I, ba bạn An, Tâm, Bình được thưởng tổng số vở là 58 quyển. Ba bạn

1. Tìm x biết 

quyết định dùng một nửa số vở của An,

1
1
số vở của Tâm, số vở của Bình để tặng các bạn
3
4

học sinh nghèo. Biết số vở còn lại sau khi tặng của ba bạn bằng nhau. Hỏi mỗi bạn được
thưởng bao nhiêu quyển vở ?
Bài 3 (3,0 điểm)
1. Cho hàm số y = f(x) = (a –1)x. Tìm a biết f(2) – f(–1) = 6
2. Cho biểu thức A =

x +3
. Tìm số nguyên x để A có giá trị ngun.
x–2

Bài 4 (4,0 điểm)
1. Tìm x biết:

x –1 + x – 2 + x – 4 = 3
2bz  3cy

2. Cho dãy tỉ số bằng nhau

Chứng minh

x
a

=

y
2b

=

a



3cx  az
2b



ay  2bx
3c

(với a, b, c  0 ).

z
3c

Bài 5 (6,0 điểm)
Cho  ABC có góc A nhỏ hơn 900. Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C
lấy điểm M sao cho  ABM vuông cân tại A. Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm
B lấy điểm N sao cho  ACN vuông cân tại A. Gọi K là giao điểm của BN và CM.
1. Chứng minh  AMC =  ABN.
2. Chứng minh BN  CM.
3. Chứng minh MN2 + BC2 = 2(AB2 + AC2)
4. Tính góc AKC ?

Bài 6 (1,0 điểm)
Tìm các số a, b, c nguyên dương thoả mãn a 3 + 5a 2 + 21 = 7b và a + 5 = 7c

--- Hết --Họ và tên học sinh: …………………………………Số báo danh:…………………


PHÒNG GD&ĐT
THÁI THỤY

HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT NĂNG LỰC HỌC SINH
NĂM HỌC 2021-2022
Mơn: TỐN 7

Bài

Biểu
điểm

Nội dung
0

1 3 1 13  21 
1. Tính bằng cách hợp lý: A = 23      
3 5 3 5  22 
2. Cho đa thức M thỏa mãn: M – 19x 2 y  xy2   2x 2 y  5xy2

Bài 1
(3,0 điểm)

Tìm đa thức M và tính giá trị của M tại x = 2 và y = - 1
0
1 3 1 13  21 
A = 23      
3 5 3 5  22 
70 3 1 13
   1
3 5 3 5
70 1
13 3
=         1
 3 3  5 5

=

Câu 1.1
(1,5 điểm)

Câu 1.2
(1,5 điểm)

0,5
0,5

= 23 - 2 +1 = 22
Vậy A = 22
Tính được M = 21x2y + 6xy2
Thay x = 2 và y = -1 vào biểu thức M ta được:
M = 21. 22.(-1) + 6. 2. (-1)2 = -84 + 12= -72
Kết luận

0,25
0.25
0,5
0,75
0,25

Bài 2 (3,0 điểm):
15
3
1
x+ =
12

4
2
2. Cuối học kì I, ba bạn An, Tâm, Bình được thưởng tổng số vở là 58

1. Tìm x biết 

Bài 2
(3,5 điểm)

quyển. Ba bạn quyết định dùng một nửa số vở của An,

1
số vở của Tâm,
3

1
số vở của Bình để tặng các bạn học sinh nghèo. Biết số vở còn lại sau
4

khi tặng của ba bạn bằng nhau. Hỏi mỗi bạn được thưởng bao nhiêu
quyển vở ?
Câu 2.1
(1,5 điểm)



15
3
1
5

3 1
x    x  
12
4
2
4
4 2
5
4

 x

0.5

5
5 5
 x :
4
4 4

0.5

 x 1

0,25

Vậy x  1

0,25

2


Nội dung

Biểu
điểm

Gọi số vở được thưởng của ba bạn An, Tâm, Bình thứ tự là x, y, z
(quyển). Điều kiện: x, y, z nguyên dương.

0,25

Bài

1
2

Theo bài ra ta có: x 

2
3
y  z và x + y + z = 58
3
4

x y z
  và x + y + z = 58
12 9 8
x y z x  y  z 58


  

2
12 9 8 12  9  8 29
 x = 2.12 = 24 (TMĐK)



Câu 2.2
(1,5 điểm)

0,25
0,25
0,25

y = 2.9 = 18 (TMĐK)
z = 2.8 = 16 (TMĐK)
Vậy An được thưởng 24 quyển vở.
Tâm được thưởng 18 quyển vở.
Bình được thưởng 16 quyển vở.

Bài 3
(3,0điểm)

Câu 3.1
(1,5 điểm)

0,25

1. Cho hàm số y = f(x) = (a –1)x. Tìm a biết: f(2) – f(–1) = 6
x +3
. Tìm số nguyên x để A có giá trị nguyên.
x-2
Ta có f(2) = (a-1).2 = 2a -2
Ta có f(-1) =(a - 1).(-1) = -a +1
Theo bài ra f(2) - f(-1) = 6
=> 2a - 2 – (-a +1) = 6
=> 3a - 3 = 6
=> a = 3
Vậy a = 3

2. Cho biểu thức A =

ĐK: x  2
A=

x3
5
 1
x2
x2

A có giá trị nguyên 
Câu 3.2
(1,5 điểm)

0,25

0,5

0,5
0,25
0,25
0,25
0,25

5
nguyên .
x2

0,25

Do x nguyên nên x - 2  Ư(5) = { -1; 1; -5; 5}
Ta xét bảng sau:
x-2

-1

1

-5

5

x

1

3

-3

7

0,5

x  { 1; 3; -3; 7 } (TMĐK)
Vậy x  { 1; 3; -3; 7 } thì A  Z

3

0,25


Bài

Biểu
điểm

Nội dung
Bài 4 (4,0 điểm):
1. Tìm x biết: x – 1 + x – 2 + x – 4 = 3

Bài 4
(4 điểm)

2. Cho dãy tỉ số bằng nhau
(với a, b, c  0 ).
Chứng minh

x
a

=

y
2b

=

2bz  3cy

a



3cx  az
2b



ay  2bx
3c

z
3c

Nhận thấy
x 1  x  4  x 1  4  x

Ta có:
x 1  x 1

0.5

4 x  4 x
 x 1  x  4  x 1  4  x  x 1  4  x  3

Câu 4.1
(2,0 điểm)

Lại có:

0.5

x2 0
 x 1  x  2  x  4  3

x 1  0
x  1


Dấu bằng xảy ra khi 4  x  0   x  4  x  2
x  2  0 x  2



0,25

Vậy x = 2

Ta có :

Câu 4.2
(2,0 điểm)

0.75

2bz  3cy 3cx  az ay  2bx


và a, b, c khác 0
a
2b
3c



a (2bz  3cy ) 2b(3cx  az ) 3c ( ay  2bx)


a.a
2b.2b
3c.3c



2abz  3acy 6bcx  2abz 3acy  6bcx


a2

4b 2
9c 2



2abz  3acy  6bcx  2abz  3acy  6bcx
=0
a 2  4b 2  9c 2

0,5

0,25

( Vì a, b, c  0 nên a 2  4b 2  9c 2  0 )
*

2bz  3cy
y
z
 0  2bz  3cy  0 

a
2b 3c

*

3cx  az
x z
 0  3cx  az  0  
(2)

2b
a 3c

Từ (1) và (2) suy ra

x
y
z


( đpcm).
a 2b 3c

4

(1)

0,5
0,5

0,25


Bài

Bài 5
(6điểm)

Biểu
điểm

Nội dung

Cho  ABC có góc A nhỏ hơn 900. Trên nửa mặt phẳng bờ AB không
chứa điểm C lấy điểm M sao cho  ABM vuông cân tại A. Trên nửa mặt
phẳng bờ AC không chứa điểm B lấy điểm N sao cho  ACN vuông cân
tại A. Gọi K là giao điểm của BN và CM.
1. Chứng minh  AMC =  ABN.
2. Chứng minh BN  CM.
3. Chứng minh MN2 + BC2 = 2(AB2 + AC2)
4. Tính góc AKC ?
Vẽ hình, ghi GT – KL
N

M
A
E

0,5
K

B

C

0,5

 = NAB
 ( = 900 + BAC
)

Chứng minh được MAC

Xét  AMC và  ABN, có:
Câu 5.1
(1,5 điểm)

+ AM = AB (  AMB vuông cân)
+ AC = AN (  ACN vuông cân)
 = NAB

+ MAC

1,0

Suy ra  AMC =  ABN (c - g - c)
b) Gọi I là giao điểm của BN với AC
Xét  KIC và  AIN, có:
Câu 5.2
(1,5 điểm)


 (  AMC =  ABN)
ANI = KCI

0,5


 (đối đỉnh)
AIN = KIC


Câu 5.3
(1,5 điểm)

0,5

0,5

 = NAI
 = 900, do đó: MC  BN tại K.
IKC

Chứng minh được:
MK2 + BK2 = MB2 = MA2+ BA2 = 2 BA2

5

(1)

0,5


Bài

Biểu
điểm

Nội dung

Chứng minh được:

NK2 + CK2 = NC2 = CA2+ NA2 = 2 CA2

(2)

0,25

Chứng minh được:
MK2 + BK2 +NK2 + CK2 = MN2 + BC2

(3)

Từ (1), (2), (3) ta có: MN2 + BC2 = 2(AB2 + AC2)
Trên cạnh MC lấy điểm E sao cho ME = BK
Câu 5.4
(1,0 điểm)

Chứng minh được  ABK =  AME (c - g - c)
Chứng minh được  AEK vuông cân tại A và góc AKE bằng 450
Tính góc AKC bằng 1350

Bài 6
(1điểm)

0,5

0,25
0,5
0,25
0,25

Tìm các số a,b,c nguyên dương thoả mãn:
a 3 + 5a 2 + 21 = 7b và a + 5 = 7c
Do a nguyên dương  7b = a3 + 5a2 + 21 > a + 5 = 7c

 7b > 7c  b > c
 7b  7c

0,25

 (a3 + 5a2 + 21)  ( a +5)
 a2 (a+5) + 21  a + 5
Mà a2 (a+5)  a + 5 [do (a+5)  (a+5)]
0,25

 21  a + 5

 a + 5  Ư (21)
 a + 5  { 7 ; 21 } (do a nguyên dương a + 5 > 5)
 a  { 2 ; 16 }
Với a = 2 tính được: b = 2, c = 1
Với a = 16 khơng tìm được b, c thỏa mãn.

0,25
0,25

Vậy a = 2, b = 2, c = 1

Chú ý:

- Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.

- Bài hình phải có hình vẽ đúng và phù hợp với chứng minh thì mới cho điểm .
- Điểm tồn bài là tổng các điểm thành phần khơng làm tròn

6


UBND THỊ XÃ CHÍ LINH
PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI
NĂM HỌC 2016 - 2017
MƠN: TỐN 7
Thời gian làm bài: 120 phút
(Đề thi gồm 01 trang)

Câu 1 (2,0 điểm)
Tìm x biết:
2

1
1

0
a)  x   
3  16


b) x 

3 1

  2017
4 2

Câu 2 (2,0 điểm)
a) Cho

a
b
c
ab bc ca
. Tính : P 
.




bc ca ab
c
a
b

b) Hãy chia số 26 thành ba phần tỉ lệ nghịch với các số 2; 3; 4.
Câu 3 (2,0 điểm)
a) Cho đa thức f(x) = ax2 + bx - 2
Xác định hệ số a, b biết đa thức f(x) nhận x = -1 và x = 2 làm nghiệm.
b) Cho đa thức A  x 2  10 xy  2017 y 2  2 y và B  5x 2  8 xy  2017 y 2  3 y  2018 .
Tìm đa thức C = A - B. Tính giá trị của đa thức C tìm được ở trên khi 2x + y = 1.
Câu 4 (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi M là trung điểm của BC.
a) Chứng minh AM  BC và MA = MC.

b) Lấy điểm D trên đoạn thẳng AB (D khác A và B), đường thẳng vng góc với MD
tại M cắt AC tại E. Chứng minh: MD = ME.
c) Chứng minh: MD + ME  AD + AE.
Câu 5 (1,0 điểm)
Cho a, b, c, d là các số nguyên dương thỏa mãn a  b  c  d  25 .
c
b

d
a

Tìm giá trị lớn nhất của M   .
–––––––– Hết ––––––––
Họ tên thí sinh:……………………………………Số báo danh:…………………….
Chữ kí giám thị 1: …………………… Chữ kí giám thị 2:…………………………..


UBND THỊ XÃ CHÍ LINH
PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

Câu Ý

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ GIAO LƯU HSG
NĂM HỌC 2016 - 2017
MƠN: TỐN - LỚP 7
(Hướng dẫn chấm và biểu điểm gồm 03 trang)
Nội dung

1 1
1



x


x



3 4
12
1
1




x





3  16  x  1   1
 x  7


3
4
12


2

a

x

1
b

3 1
3 1
4035
  2017  x    2017 
4 2
4 2
2

3 4035
8067


x


x



4

2
4


 x  3  4035
 x  8073

4
2

4
Ta có:

Khi đó P  (1)  (1)  (1)  3

0,25

0,25
0,25

+ Nếu a  b  c  0 thì ta có b + c = 2a; c + a = 2b; a + b = 2c

a  b b  c c  a 2c 2a 2b



 
6
c
a

b
c
a
b

Vậy : P = - 3 hoặc P = 6.

0,25
0,25

Giả sử số 26 được chia thành ba phần x, y, z.
Theo bài ra ta có : 2x = 3y = 4z 

x y z
 
6 4 3

b Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau


x y z x yz
  
6 4 3 643

26
2
13

 x = 12, y = 8, z = 6.
3

0,5

0,5

a
b
c
abc



b  c c  a a  b 2(a  b  c)

Khi đó P 
2

0,5

0,25

+ Nếu a + b + c = 0 => a + b = -c; b + c = -a; a + c = -b
a

Điểm

Đa thức f(x) = ax2 + bx - 2 nhận x = -1 làm nghiệm.
a  f(-1) = 0  a.(-1)2 +b.(-1) -2 =0  a - b -2 = 0  a = b + 2.
Đa thức f(x) = ax2 + bx - 2 nhận x = 2 làm nghiệm.

0,25

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25


 f(2)=0  a.(2)2 +b.(2) -2 =0  4a + 2b -2 = 0
0,25

 4(b +2) + 2b - 2 = 0  4b +8 + 2b - 2 = 0  6b +6 = 0
 b = -1  a = 1. Vậy a = 1; b = -1

0,25

C=A–B



 

 x 2  10 xy  2017 y 2  2 y  5 x 2  8 xy  2017 y 2  3 y  2018



 x 2  10xy  2017y 2  2y  5x 2  8xy  2017y2  3y  2018
b  4x 2  2xy  y  2018
C  4x2  2xy  y  2018  2x(2x  y)  y  2018

Thay 2x + y = 1 vào ta được C  2x  y  2018  (2x  y)  2018
Thay 2x + y = 1 vào ta được C  1  2018  2017

0,25
0,25
0,25
0,25

A
H

E

0,25

D
1
B

2 3
M

4

5

C
F

Xét  ABM và  ACM có:

AM chung; AB = AC (  ABC vuông cân); MB = MC (gt)

4

a

  ABM =  ACM (c.c.c)
  AMC
 . Mà AMB
  AMC
  1800  AMB
  AMC
  900
 AMB
 AM  BC
  900 ; ACM
  450 (  ABC vuông cân tại A)
-  AMC có AMC
  AMC vng cân tại M  MA = MC (1)
M
  900 (MD  ME) và M
M
  900 (AM  BC)
Ta có: M
2
3
3
4
M
 (2)

 M
2
4


  MAC
  BAC  450
Do
ABM
=
ACM



MAB
b
2

Xét  AMD và  CME có:
  ACM
  450
M
 (theo (2)); MAD
AM = CM (theo (1)); M
2
4

  AMD =  CME (g.c.g)  MD = ME

0,25

0,25
0,5

0,25

0,25

0,5


c

Trên tia đối của tia MD lấy F sao cho MF = MD. Từ F kẻ FH  AB tại H.

0,25

- Chứng minh  MDB =  MFC (c.g.c) từ đó suy ra FC // AB và FC  AC.
- Chứng minh  HAC =  CFH từ đó suy ra HF = AC

0,25

Do  AMD =  CME  AD = CE  AD + AE = AC.
Do MD = ME nên MD + ME = 2MD = DF
Mặt khác DF  HF  DF  AC hay MD + ME  AD + AE

0,25

- Dấu “=” khi MD  AB.
Vì a + b = c + d = 25 nên 1  a, b, c, d  24

Nếu cả hai phân số

c
d
và đều lớn hơn 1 thì c + d > a + b. Trái giả thiết.
b
a

Vậy có một phân số khơng vượt q 1.
Khơng mất tính tổng quát giả sử
+ Nếu d  23 thì
5

c
1
b

d
c d
 23 (vì a  1 )  M    1  23  24 (1)
a
b a
1
b

+ Nếu d  24 thì c = 1  M  
- Nếu a > 1 thì  M  1 

0,25

24
a

24
 13
2

- Nếu a = 1 thì b = 24  M 

0,25

(2)

1 24 577


24 1
24

Từ (1), (2) và (3) suy ra Max( M ) 

577
24

Dấu “=” xảy ra khi a = c = 1; b = d = 24
hoặc a = c = 24; b = d = 1.
Chú ý : Nếu HS làm cách khác, đúng vẫn cho điểm tối đa.

0,25

(3)

0,25


PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG

ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 7
NĂM HỌC 2016 - 2017
MƠN: TỐN 7
ĐỀ CHÍNH THỨC
Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề
Đề thi gồm 01 trang
Chú ý: Thí sinh khơng được sử dụng máy tính cầm tay!

Câu1. (2,0 điểm)
a) Tìm x biết: 3x  3  2 x  (1) 2016  3x  2017 0
b) Cho B = 1+

1
1
1
1
(1  2)  (1  2  3)  (1  2  3  4)  ....  (1  2  3  ...  x)
2
3
4
x

Tìm số nguyên dương x để B = 115.

Câu 2. (2,0 điểm)
a) Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn

y  z 1 x  z  2 x  y  3
1
.



x
y
z
x yz

Tính giá trị của biểu thức: A = 2016.x + y2017 + z2017.
b) Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn: 2x = 3y = 5z và x  2 y = 5.
Tìm giá trị lớn nhất của 3x – 2z.
Câu 3. (2,0 điểm)
a) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức M =

2016 x  2016
có giá trị nhỏ nhất.
3x  2

b) Cho đa thức f(x) = 2016.x4 – 32(25.k + 2).x2 + k2 – 100 (với k là số thực
dương cho trước). Biết đa thức f(x) có đúng ba nghiệm phân biệt a, b, c (với a < b < c).
Tính hiệu của a – c.
Câu 4. (2,5 điểm) Cho đoạn thẳng BC cố định, M là trung điểm của đoạn thẳng
  450 , trên tia Bx lấy điểm A sao cho độ dài đoạn thẳng
BC. Vẽ góc CBx sao cho CBx

BM và BA tỉ lệ với 1 và 2 . Lấy điểm D bất kì thuộc đoạn thẳng BM. Gọi H và I lần
lượt là hình chiếu của B và C trên đường thẳng AD. Đường thẳng AM cắt CI tại N.
Chứng minh rằng:
a) DN vng góc với AC.
b) BH2 + CI2 có giá trị khơng đổi khi D di chuyển trên đoạn thẳng BM.
c) Tia phân giác của góc HIC ln đi qua một điểm cố định.
Câu 5. (1,5 điểm)
a) Tìm các số nguyên tố p thỏa mãn 2 p  p 2 là số nguyên tố.
b) Trong một bảng ô vng gồm có 5x5 ơ vng, người ta viết vào mỗi ô vuông
chỉ một trong 3 số 1; 0 hoặc -1. Chứng minh rằng trong các tổng của 5 số theo mỗi cột,
mỗi hàng, mỗi đường chéo phải có ít nhất hai tổng số bằng nhau.
--------------Hết---------------Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: ....................................................SBD:..............Phịng thi.................


PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG
HƯỚNG DẪN CHẤM THI GIAO LƯU HSG LỚP 7 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC: 2016 -2017
MƠN: TỐN 7

Lưu ý: Sau đây chỉ là gợi ý một cách giải và dự kiến cho điểm tương ứng, nếu thí sinh
giải bằng cách khác và đúng, các giám khảo dựa trên gợi ý cho điểm của hướng dẫn
chấm để thống nhất cách cho điểm. Câu 4 học sinh khơng vẽ hình (hoặc vẽ hình sai)
thì khơng cho điểm. Tổ chấm có thể thống nhất chia điểm đến mức nhỏ hơn trong
hướng dẫn và đảm bảo nguyên tắc: điểm của mỗi câu làm trịn đến 0,25; điểm của
tồn bài là tổng điểm của cả 5 câu và khơng làm trịn
Câu

Nội dung cần đạt
a)

Điểm

3 x  3  2 x  ( 1) 2016  3 x  2017 0
3 x  3  2 x  1  3 x  1 (*)

Điều kiện để x thỏa mãn bài toán là 3x  1  0  x 
1
nên (*) trở thành
 2x 1  0
2
3 x  3  2 x  1  3 x  1  3 x  3  x (điều kiện x  0 )

1
3

Khi đó x 

3
(thỏa mãn)
2
3
Nếu 0  x  1 ta có 3 - 3x = x nên x = (thỏa mãn)
4
3
3
Vậy x   ; 
2 4

Nếu x  1

ta có 3x – 3 = x nên x =

0,25

0,25

0,25

1
(2đ)

0,25

b) B = 1+
= 1+
=

1  2.3  1  3.4  1  4.5 
1  x( x  1) 

 
 
  ....  
=
2 2  3 2  4 2 
x 2 

3 4
x 1 1

  ... 
  2  3  4  ...  ( x  1)  
2 2
2
2

1  x( x  3) 


2
2 

1 x ( x  3) 
Từ đó B = 115 khi 
  115  x( x  3)  460
2
2 

Mà x là số nguyên dương nên x và x + 3 là ước dương của 460 nên x = 20.
Vậy x = 20

0,25

0,25

0,25
0,25

a) Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

1
y  z 1 x  z  2 x  y  3
=
=
=
=2
x
y
z
x y z
0,5  x  1 0,5  y  2 0,5  z  3
 x+y+z = 0,5 
=2


x
y
z
1
5
5
x= ;y= ;z=2
6
6
1
Khi đó ta có 2016.x + y2017 + z2017 = 2016. +0 = 1008
2

Vậy với x,y,z là các số thực thỏa mãn

2

x 2y x  2y
, 3y = 5z.


3 4
1

(2đ)

0,25

0,25
0,25

Nếu x-2y = 5  x= -15, y = -10, z = -6. Khi đó 3x - 2z = -45 + 12 = -33

0,25

Nếu x-2y = -5  x= 15, y = 10, z = 6 Khi đó 3x - 2z = 45 - 12 = 33

0,25

Vậy giá trị lớn nhất của 3x – 2z là 33

0,25

2016 x  2016 672(3 x  2)  2016  1344
3360


 672 
3x  2
3x  2
3x  2
3360
M nhỏ nhất 
lớn nhất
3x  2
3360
 Xét 3 x  2  0 thì
(1)
0
3x  2
3360
 Xét 3 x  2  0 thì
0
3x  2
3360
lớn nhất khi 3x+2 nhỏ nhất
3x  2
Mà x nguyên, 3x+2 dương và 3x+2 chia 3 dư 2 nên 3x+2 = 2 nên x  0
3360
3360
Khi đó:
=
 1680
(2)
3x  2 3.0  2
3360

So sánh (1) và (2) thì
có giá trị lớn nhất bằng 1680
3x  2

a) M 

3

0,25

y  z 1 x  z  2 x  y  3
1



x
y
z
x yz

thì giá trị của biểu thức 2016.x + y2017 + z2017 là 1008

(2đ) b) Ta có

0,25

0,25

0,25

0,25

Vậy M min  1008  x  0
0,25
b) Ta thấy đa thức f(x) nếu có nghiệm x = a ( a khác 0) thì x = -a cũng là
một nghiệm của f(x), nên đa thức f(x) có 2m nghiệm
Mà đa thức f(x) có đúng ba nghiệm phân biệt nên một trong ba nghiệm sẽ

0,25


B

H
D

M
I
N

A

C

bằng 0. Thay x = 0 vào đa thức đã cho ta được:
k2 – 100 = 0 nên k = 10 (vì k dương).
Với k = 10 ta có f(x) = 2016.x4 – 8064. x2 = 2016x2. (x2 – 4)
Từ đó f(x) sẽ có 3 nghiệm phân biệt là a = -2; b = 0 và c = 2
nên a – c = - 4

0,25
0,25
0,25

a) Từ M kẻ tia My vng góc với BC và cắt tia Bx tại A’ .
Tam giác BMA’ vuông cân tại M nên MB: BA’ = 1: 2
Suy ra A  A ' nên AM vng góc với BC
Tam giác ADC có AM và CI là đường cao nên N là trực tâm của tam giác
ADC
0,75
Suy ra DN vng góc với AC
b) Ta có AMB = AMC (c- g- c) nên AB = AC và góc ACB = 450
4
(2,5)

0,25

Tam giác ABC vng cân tại A và có BAH  ACI  900  CAH
H, I là hình chiếu của B và C trên AD nên H = I = 900

0,25

Suy ra AIC = BHA (c.h – g.n)  BH = AI
BH2 + CI2 = BH2 + AH2 = AB2 (không đổi) .

0,25

c) BHM = AIM  HM = MI và BMH = IMA
mà  IMA + BMI = 900  BMH + BMI = 900
 HMI vuông cân  HIM = 450

mà : HIC = 900 HIM =MIC= 450
 IM là tia phân giác HIC.
Vậy tia phân giác của HIC luôn đi qua điểm cố định M.

0,5

0,5

Với p = 2 thì 2 p  p 2 = 4+4 = 8 không là số nguyên tố
5

Với p = 3 thì 2 p  p 2 = 8+9 = 17 là số nguyên tố

0,25

(1,5) Với p > 3 thì p là số nguyên tố nên p lẻ nên 2 p  22 k 1  2(mod 3)
0,25


và p 2  1(mod 3) nên 2 p  p 2 3
Mà 2 p  p 2 > 3 nên 2 p  p 2 là hợp số.

0,25

Vậy với p = 3 thì 2 p  p 2 là số nguyên tố
Ta có 5 cột, 5 hàng và 2 đường chéo nên sẽ có 12 tổng.

0,25

Mỗi ơ vng chỉ một trong 3 số 1; 0 hoặc -1 nên mỗi tổng chỉ nhận các giá

trị từ -5 đến 5. Ta có 11 số nguyên từ -5 đến 5 là -5; -4; …; 0; 1; …;5.

0,25

Vậy theo nguyên lí Dirichle phải có ít nhất hai tổng số bằng nhau (đpcm).
Chú ý: - Học sinh giải theo cách khác, nếu đúng vẫn cho điểm tối đa tương ứng.
- Câu 4, nếu học sinh khơng vẽ hình hoặc vẽ sai hình phần nào thì khơng
chấm phần đó.

0,25


PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN VĨNH LỘC

ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH KHÁ,GIỎI LỚP 7
NĂM HỌC 2016 - 2017
MÔN THI: TỐN
Ngày thi: 11/04/2017
Thời gian: 150 phút ( Khơng kể thời gian giao đề)

Bài 1: (4,0 điểm).
a) Tính giá trị biểu thức
b) Rút gọn biểu thức:

1
1
1
A =  2  3,5  :   4  3  +7,5

 3
 
4
2
2.8 .27  4.69
B= 7 7 7
2 .6  2 .40.94

6

7

c) Tìm đa thức M biết rằng : M   5 x 2  2 xy   6 x 2  9 xy  y 2 .
Tính giá trị của M khi x, y thỏa mãn  2 x  5 

2012

 3 y  4

2014

0.

Bài 2: (4,0 điểm).
a) Tìm x :

1
1 1
 x 
2

5 3

b) Tìm x, y, z biết: 2x = 3y; 4y = 5z và x + y +z = 11
n 1
n 11
c) Tìm x, biết :  x  2    x  2  (Với n là số tự nhiên)
Bài 3: (4,0 điểm).
a) Tìm độ dài 3 cạnh của tam giác có chu vi bằng 13cm. Biết độ dài 3 đường cao
tương ứng lần lượt là 2cm, 3cm, 4cm.
b) Tìm x, y nguyên biết : 2xy – x – y = 2
Bài 4: (6,0 điểm).
Cho tam giác ABC ( AB< AC , góc B = 600 ). Hai phân giác AD và CE của ABC cắt
nhau ở I, từ trung điểm M của BC kẻ đường vng góc với đường phân giác AI tại H, cắt
AB ở P, cắt AC ở K.

a) Tính AIC
b) Tính độ dài cạnh AK biết PK = 6cm, AH = 4 cm.
c) Chứng minh  IDE cân.
Bài 5: (2.0 điểm) Chứng minh rằng 10 là số vơ tỉ.
.............. Hết.............
Giám thị xem thi khơng giải thích gì thêm!
Họ và tên thí sinh::........................................... SBD........................................
Giám thị 1:.................................................... Giám thị 2:..............................


HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7
NĂM HỌC 2016-2017
MƠN : TỐN.
Nội dung

Điểm

Câu a: (1 điểm)
1
1
1
A =  2  3,5  :   4  3  +7,5
 3

6

 

7

7 7
 25 22  15
=    : 
 +

0.5 đ

7  2
3 2  6
15
35  43
=
:
+
6

42
2
 245 15
 490 645
155
=
+ =
+
=
43
2
86
86
86

0,5đ

Câu b: ( 1 điểm)
2  8 4  27 2  4  6 9
2 7  6 7  2 7  40  9 4
213  3 6  211  3 9
= 14 7 10 8
2 3  2 3 5
211  3 6  2 2  33
2
= 10 7
=
4
3
2  3  2  3 5

B=



.





0,5đ



0.5

Câu c: (2 điểm)







M  5 x 2  2 xy  6 x 2  9 xy  y 2  M  6 x 2  9 xy  y 2  5 x 2  2 xy

Bài 1
(4,0đ)

=> M  6 x  9 xy  y  5 x  2 xy  x  11xy  y
2

Ta có  2 x  5 

2

2012

2

 3 y  4

2014

2



2

0

 2 x  5 2012  0
2012
2014
Ta cã : 
  2 x  5    3 y  4 
0
2014

0
 3 y  4 
2012
2014
2012
2014
Mµ  2 x  5    3 y  4   0 =>  2 x  5    3 y  4   0

1

 2 x  5 2012  0
 x  2 2
=> 
 
. VËy
2014
0
 3 y  4 
 y  1 1

3
2

1

 x  2 2

 y  1 1

3

0.25

0.5

2

25 110 16
 1159
5
5
4
4
Vậy M =   + 11      -   =
- =
4
3
9
36
2  3  3 
2

2.
(1,0đ)

0.5
0,5

0.25

1
1 1
 x 
2
5 3
x

1 1 1
 
5 2 3

0,25đ


x

0,25đ

1 1
=
5 6

1
6
1
x=30
1
1
TH2: x+ = 5
6

1 1
11
x=- - ==6 5
30
1
11
Vậy x= - ; x = 30
30
1
5

TH1: x+ =

x y
x
y
 hay

3 2
15 10
y z
y z
4y = 5z suy ra  hay 
5 4
10 8
x
y z
Vậy  
15 10 8

Ta có : 2x = 3y suy ra

b.
(1,5đ)

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau
x
y z
x yz
11 1
= =

 =
15 10 8 15  10  8 33 3
10
8
Suy ra x = 5, y = , z =
3
3

0,25đ

0,25đ
0.25đ

0.5đ
0.5đ
0.25

( x +2)n+1 = ( x +2)n+11

( x +2)n+1 - ( x +2)n+11 =0

0.25

(x+2)n+1 1   x  2   =0

0.5



10



c
n+1
1,5 TH 1: (x+2) = 0 suy ra x = -2
10
điểm TH2: 1 - (x +2) = 0
(x +2)10 = 1
x + 2 = 1 suy ra x = -1
x + 2 = -1 suy ra x = -3
Vậy x = -2; x=-1; x=-3

0.25

0.5


Gọi độ dài ba cạnh của tam giác là x, y,z ( cm) ( x,y,z > 0)

0,25 đ

Theo bài ra ta có : x +y + z = 13
và 2x= 3y =4z = 2 SABC
Suy ra
a
(2.0đ)

x y z
 
6 4 3

0,75 đ

Áp dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau
x y z x  y  z 13
  =
 1
6 4 3 6  4  3 13

Bài 3
(4.0đ)

suy ra x = 6, y = 4 ; z = 3

0,75
0.25

KL:

2xy – x – y = 2
4xy - 2x -2y =4
2x(2y-1) - 2y + 1 = 5
b.
(2y -1) ( 2x -1) =5
(2,0đ) HS xét 4 trường hợp tìm ra ( x,y) = 1;3 ;  3;1 ;  2;0  ;  0; 2 
( Mỗi trường hợp đúng cho 0.25 đ)
Vậy ( x,y) = 1;3 ;  3;1 ;  2;0  ;  0; 2 
Bài 4
(6.0đ)

0,5 đ
0,5 đ
1đ

A
F
E
I
B

K
D
H

M

C

P

a/ Ta có  ABC = 600 suy ra  BAC +  BCA = 1200
1
 BAC
2
1
CE là phân giác của  ACB suy ra  ICA =  BCA
2
1
Suy ra  IAC +  ICA = . 1200 = 600
2
0
Vây  AIC = 120

AD là phân giác của  BAC suy ra  IAC =
1
(2.0đ)

2

b/ Xét  AHP và  AHK có

0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.25đ
0.25đ