Nguyen ngoc lam phuong trinh vi phan va ung dung copy

Chương 7. Phương trình vi phân và vài ứng dụng

CHƯƠNG 7.

PHƯƠNG TRÌNH PHÂN VÀ VÀI ỨNG DỤNG
7.1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM:
7.1.1. Định nghĩa: Phương trình vi phân là phương trình có dạng:
F(x,y,y(1),y(2),…,y(n)) = 0
Trong đó :

x là biến độc lập,
y làm hàm số của x,
y(n) là đạo hàm cấp n của y theo x.

Nếu ta đưa được : y(n) = f(x,y,y(1),y(2),…,y(n-1)) thì phương trình được gọi là dạng
giải được đối với đạo hàm cấp cao nhất.
7.1.2. Cấp của phương trình :
Đạo hàm cấp cao nhất của đạo hàm hàm số y = f(x) có trong phương trình vi
phân được gọi là cấp của phương trình vi phân.
7.1.3. Nghiệm của phương trình vi phân :
Nghiệm của phương trình vi phân là một hàm số y = f(x) xác định và có đạo
hàm đến cấp n trên (a,b) nào đó, với mọi x thuộc (a,b) thỏa F(x,y,y(1),y(2),…,y(n)) = 0.
Ví dụ :
a) Xét phương trình vi phân cấp 1 : y’ = cosx
Ta thấy y = sinx + c, C  R là nghiệm của phương trình vi phân.
b) Phương trình vi phân cấp 2 : y’’ + 4y = 0
Có y = C1cos2x + C2sinx, C1, C2  R là nghiệm của phương trình vi phân.
Từ nhận xét về nghiệm trong ví dụ trên, ta thấy nghiệm của phương trình vi
phân có vô số nghiệm phụ thuộc vào tham số C.
 Nghiệm của phương trình vi phân cấp 1 phụ thuộc vào một tham số :
y = y(x,C), C  R

Toán Kinh tế – ThS.Nguyễn Ngọc Lam

128


Chương 7. Phương trình vi phân và vài ứng dụng

 Nghiệm của phương trình vi phân cấp 2 phụ thuộc vào hai tham số :
y = y(x,C1,C2), C1,C2  R
 Nghiệm của phương trình vi phân cấp n phụ thuộc vào n tham số :
y = y(x,C1,C2,…Cn), C1,C2,…Cn  R
 Nghiệm tổng qt : Nghiệm của phương trình có dạng :
y = y(x,C1,C2,…Cn), C1,C2,…Cn  R
được gọi là nghiệm tổng quát của phương trình vi phân.
 Nghiệm riêng : Khi cho các tham số Ci bởi giá trị cụ thể thì ta được nghiệm gọi
là nghiệm riêng của phương trình vi phân.
 Nghiệm kỳ dị : Là nghiệm riêng của phương trình vi phân khơng được suy ra
từ nghiệm tổng quát được gọi là nghiệm kỳ dị.
7.2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 :
Dạng tổng quát : F(x,y,y’) = 0
Nếu giải được đối với y’, phương trình vi phân có dạng :
y' = f(x,y)
7.2.1. Định lý tồn tại duy nhất nghiệp :
Cho phương trình vi phân cấp 1 y’ = f(x,y). Nếu f(x,y) liên tục trong miền chứa
(x0,y0) thì tồn tại ít nhất một nghiệm y = y(x) thỏa mãn điều kiện y(x0) = y0. Nếu
fy(x,y) cũng liên tục thì nghiệm đó là duy nhất.
Bài tốn tìm nghiệm thỏa điều kiện ban đầu người ta gọi là bài toán Cauchy.
7.2.2. Phương trình vi phân khơng chứa hàm phải tìm:
f(x,y’) = 0

Để giải phương trình này ta có 2 dạng cơ bản :
a) Trường hợp 1 : Ta có thể chuyển về dạng :
y' = f(x)
=> y   f ( x )dx  F( x )  C

Toán Kinh tế – ThS.Nguyễn Ngọc Lam

129


Chương 7. Phương trình vi phân và vài ứng dụng

Ví dụ : Tìm nghiệm phương trình y’ = 3x2 + 2x + 1 thỏa điều kiện y(1) = 1.

y   (3x 2  2x  1)dx  x 3  x 2  x  C
y(0) = 3 + C = 1 => C = -2
Nghiệm thỏa điều kiện Cauchy : y  x 3  x 2  x  2
b) Trường hợp 2 : Ta có thể chuyển về dạng :
x = f(y’)
Đặt y’ = t => x = f(t) => dx = f’(t)dt
=> dy = tdx = tf’(t)dt
Tích phân 2 về ta tìm được nghiệm của phương trình.
Ví dụ : Giải phương trình x = y’3 + y’2 + 5
Đặt y’ = t => x = t3 + t2 + 5 => dx = 3t2 + 2t
=> dy = tdx = t(3t2 + 2t)dt = (3t3 + 2t2)dt
=> y   (3t 3  2 t 2 )dt 

3 4 2 3
t  t C
4

3

Vậy nghiệm của phương trình được viết dưới dạng :

x  t 3  t 2  5


3 4 2 3
y  t  t  C
4
3

7.2.3. Phương trình vi phân khơng chứa biến độc lập:
f(y,y’) = 0
Xét vài dạng cơ bản sau :
a) Trường hợp 1 : Ta có thể chuyển về dạng :
y’ = f(y)
=>

dy
dy
 f ( y)  dx 
, f(y)  0
dx
f ( y)

Tích phân hai vế ta tìm được nghiệm.

Tốn Kinh tế – ThS.Nguyễn Ngọc Lam

130


Chương 7. Phương trình vi phân và vài ứng dụng

Ví dụ : Giải phương trình y’ = 1 + y2

dy
dy
 1  y 2  dx 
 x  arctgy  C
dx
1 y2
b) Trường hợp 2 : Ta có thể chuyển về dạng :
y = f(y’)
Đặt

y'  t 

dy
 t  dy  tdx
dx

y = f(t) => dy = f’(t)dt = tdx
=> dx 

f ' ( t )dt
f ' ( t )dt
 x  
t

t

Ví dụ : Giải phương trình y = y’3 + y’2 + 1
Đặt

y'  t 

dy
 t  dy  tdx
dx

y = t3 + t2 + 1 => dy = 3t2 + 2t = tdx

 dx  3t  2  x   (3t  2)dt  3t 2  2t  C
c) Trường hợp 3 : Ta có thể chuyển về dạng :
y = y(t) => dy = f’(t)dt

y'  g(t) 

=> dx 

dy
 g( t )
dx

f ' ( t )dt
, tích phân 2 vế ta tìm được nghiệm.
g( t )

Ví dụ : Giải phương trình : y2 + y’2 = 1

Đặt

y = sint => dy = costdt

y'  cost 

dy
 cos t  dy  cos tdx  cos tdt
dx

- Nếu cost ≠ 0 => dx = dt => t = x + C
=> Nghiệm tổng quát là : y = sin(x + C)
- Nếu cost = 0 => t = (2k+1)/2
=> y = 1 : Đây là nghiệm kỳ dị của phương trình.
Tốn Kinh tế – ThS.Nguyễn Ngọc Lam

131


Chương 7. Phương trình vi phân và vài ứng dụng

7.2.4. Phương trình vi phân có dạng :

dy
 f (ax  by)
dx
Đặt z = ax + b, ta đưa về dạng phương trình khơng chứa biến độc lập.

dz
 a  bf ( z)

dx
Ví dụ : Tìm nghiệm tổng qt của phương trình :

dy
 x 2  2xy  y 2
dx
Phương trình được viết lại dưới dạng :

dy
 ( x  y) 2
dx
Đặt z = x + y
=>

dz
dy
dz
1
 1  z 2  dx 
dx
dx
1  z2

=>

x = arctgz + C

Nghiệm tổng quát của phương trình :
=>

x - arctg(x + y) = C

7.2.5. Phương trình với biến phân ly:
Dạng tổng quát : f(x)dx + g(y)dy = 0

 f(x)dx   g(y)dy  C
Ví dụ : Giải phương trình : xdx = (y + 1)dy

x 2 y2
 xdx   (y  1)dy  2  2  y  C
7.2.6. Phương trình thuần nhất :

 y
Dạng tổng quát : y'  f  
x
Đặt z 

y
dy
xdz
 y  zx 
z
x
dx
dx

Toán Kinh tế – ThS.Nguyễn Ngọc Lam

132

Chương 7. Phương trình vi phân và vài ứng dụng

=>

dy
dz
xdz
zx
 f ( z) 
 f (z)  z
dx
dx
dx

Nếu f(z) – z ≠ 0 thì ta có thể viết dưới dạng phương trình với biến phân ly :

dx
dy

x f (z)  z
Ví dụ : Giải phương trình : y' 

y
1  
x
Ta có : y'   
y
2 
x

Đặt z 

=>

x2  y2
2 xy

2

y
dy
xdz 1  z 2
 y  zx 
z

x
dx
dx
2z

y
dy
xdz 1  z 2
z   y  zx 
z

x
dx
dx
2z

xdz 1  z 2
1 z2

z 
dx
2z
2z
=>

dx 2zdz
dx 2zdz


0
=>
2
x 1 z
x z2 1

=>

ln x  ln z 2  1  C

=>

x (z 2  1)  C  x (

=>

y 2  x 2  Cx

y2
 1)  C
x2

7.2.7. Phương trình vi phân tuyến tính :
Dạng tổng qt : y’ + p(x)y = q(x)
Trước tiên ta giải phương trình: y’ + p(x)y = 0
- Nếu y ≠ 0 :

 p ( x ) dx
y'
 p( x )  ln y    p( x )dx C 0  y  e C 0 e 
y

 p ( x ) dx
=> y  Ce 
, (C  0)

Toán Kinh tế – ThS.Nguyễn Ngọc Lam

133


Chương 7. Phương trình vi phân và vài ứng dụng

- Nếu y = 0 : Rõ ràng đây cũng là nghiệm của phương trình.
Vậy ta có nghiệm viết tổng qt lại như sau :
 p ( x ) dx

y  Ce 
, (C  R)

- Giải phương trình : y’ + p(x)y = q(x)
So với phương trình ban đầu, Lagrange đề nghị nghiệm của nó được viết dưới
 p ( x ) dx
dạng : y  C( x )e 
với C(x) là một hàm số của x chưa biết. Vậy nhiệm của chúng

ta là tìm C(x).
Thế nghiệm vào phương trình ban đầu ta có :
 p ( x ) dx
 p ( x ) dx
 p ( x ) dx
y  C' ( x )e 
 p( x )C( x )e 
 p( x )C( x )e 
 q( x )

 p ( x ) dx
p ( x ) dx
p ( x ) dx
C' ( x ) e 
 q ( x )  C' ( x )  e 
q ( x )  C( x )   e 
q ( x )dx  C

Vậy nghiệm của phương trình là :
 p ( x ) dx 
 p ( x ) dx q( x )dx  C 

ye 
e




Ví dụ : Giả phương trình : y' 

3y  1
x

Ta viết lại dưới dạng : y’ + p(x)y = q(x)
Trong đó p(x) = -3/x, q(x) = -1/x
Ta có :  p( x )dx  3
=> e  p ( x ) dx  e

3 ln x

dx
 3 ln x
x
3

 x , e  p ( x ) dx 

1
x

3



dx
dx
3
3
3 1


=> y  x    3  C   x    4  C   x  3  C 


x


 3x

x x



 1
 1

=> y  x 3  3  C     Cx 3  , do C tùy ý.
 3x
 3

7.2.8. Phương trình vi phân Bernoulli:

Dạng tổng quát: y’ + p(x)y = q(x)y
Toán Kinh tế – ThS.Nguyễn Ngọc Lam

134


Chương 7. Phương trình vi phân và vài ứng dụng

Nếu  = 0 hoặc  = 1 phương trình Bernoulli trở thành phương trình vi phân
tuyến tính.
Ta giải phương trình Bernoulli với  ≠ 0 và  ≠ 1.
- Nếu y ≠ 0 : y-y’ + p(x)y1- = q(x)
Đặt z = y1- => z’ = (1 - )y-y’
Phương trình trở thành phương trình tuyến tính:

z' p( x )z  (1  )q( x )
- Nếu y = 0 : Đây cũng là một nghiệm của phương trình.
Ví dụ : Giải phương trình : y’ – 2xy = 2x3y2
- Nếu y ≠ 0 : y-2y’ – 2xy-1 = 2x3
Đặt z = y-1 => z’ = -y-2y’
=> z’ + 2xz = -2x3
Đây là phương trình tuyến tính cấp 1 đối với z. Giải phương trình này ta được
nghiệm :
2

z  Ce  x  1  x 2
Vậy nghiệm của phương trình là :

y

1
2

Ce  x  1  x 2

- Nếu y = 0 : Đây là nghiệm kỳ dị.
7.3. MỘT VÀI ỨNG DỤNG :
7.3.1. Tìm hàm cầu khi biết hệ số co giãn :
Hệ số co giãn của cầu theo giá :

 QP 

dQ P
dP Q

Trong đó, Q là cầu thị trường của sản phẩm, p là giá bán trên thị trường.
=>

dQ
Q
  QP
dP
P

Toán Kinh tế – ThS.Nguyễn Ngọc Lam

135


Chương 7. Phương trình vi phân và vài ứng dụng

Ví dụ: Tìm hàm cầu Q = f(P) cho biết hệ số co giãn:

 QP

 10P  4P 2

thỏa Q = 1.000 khi P = 20.
Q

Ta có:

dQ  10P  4P 2 Q  10P  4P 2


dP
Q
P
P

=>

dQ  ( 10  4P)dp

=> Q  10P  2P 2  C
Khi p = 20, Q = -(10)20 + 2(20)2 + C = 1000 => C = 400
Vậy hàm cầu sản phẩm như sau:
Q  10P  2P 2  400

7.3.2. Mô hình tăng trưởng Domar:

Mơ hình tăng trưởng Domar được thiết lập dựa trên các giả thuyết:
1. Lao động L và vốn K được sử dụng theo một tỷ lệ không đổi, tức K/L là hằng
số. Khi đó sản lượng tiềm năng là Q = f(K).
2. Tỷ lệ sản lượng tiềm năng và quỹ vốn không đổi Q = K, >0.
3. Nền kinh tế luôn ở trạng thái sử dụng hết năng lực sản xuất, tức thu nhập Y
bằng sản lượng tiềm năng Q: Y = Q.
4. Xu hướng tiết kiệm biên không đổi và đầu tư bằng tiết kiệm, tức là I = S, S =
sY, trong đó s là xu hướng tiết kiệm cận biên, 0 < s < 1.
Tất cả những đại lượng trên được xét như một hàm theo thời gian. Tại thời
điểm t lượng đầu tư I(t) biểu hiện tốc độ gia tăng của quỹ vốn K(t). Vì vậy:

I( t ) 

dK
dt

Theo giả thuyết 2:

dQ
dK

 I
dt
dt

Theo giả thuyết 3:

dQ dY

dt

dt

Theo giả thuyết 4:

dI
dY
dY dI
s


dt
dt
dt sdt

Toán Kinh tế – ThS.Nguyễn Ngọc Lam

136


Chương 7. Phương trình vi phân và vài ứng dụng

=>

dI
 I
sdt

Đây là phương trình vi phân có biến phân ly, giải phương trình ta có nghiệm:

I( t )  Ce st

Khi t = 0 thì C = I(0) => I( t )  I(0)e st . I(0) là lượng đầu tư tại thời điểm xuất
phát.
7.4. BÀI TẬP:
1. Giải các phương trình vi phân sau:
a) y' 

1
1 x

b) y' 

ln x
x

c)

dy
 x 2e x
dx

d) (1  x 2 )dy  dx

2. Tìm nghiệm riêng các phương trình sau:
a) (1  x )dy  ydx  0, y(0)  1

c) dx  1  x 2 dy  0, y(1) 


2

b)

dx
dx

 0, y(1)  1
x ( y  1) y( x  2)

d) xy' y  y 2 , y(1)  0,5

3. Giải các phương trình vi phân sau:
a) y' sin( x  y)  sin( x  y)
c) y'

2x
y0
1 x2

b) y'  cos( x  y)
d) y' cos x 

y
ln y

4. Giải các phương trình vi phân sau:
a) y' 

c) xy' ln

e) y' 

y

2xy
y0
2
x  x2

b) xy'  y  xe x

y
y
 x  y  ln
x
x

d) xy' sin

xy2
xy4

f) y' 

y
y
 x  sin
x
x

 2x  2y  1

x  y 1

5. Giải phương trình vi phân sau:
a) y'2 xy  xe  x

2

b) y'  y sin x  sin x cos x

Toán Kinh tế – ThS.Nguyễn Ngọc Lam

137


Chương 7. Phương trình vi phân và vài ứng dụng
c) y' tgy 

x
cos y

d) y'

xy
 arcsin x  x
1 x2

e) y' 1  x 2  y  arcsin x f) 2 ydx  ( y 2  6 x )dy  0
6. Giải phương trình vi phân sau:
a) y'2 xy  2 x 3 y 3

c) y'

y
 x 2y4
x

b) y' y  e x / 2 y , y(0) 

d) y'

9
4

3x 2 y
 y 2 ( x 3  1) sin x, y(0)  1
3
x 1

7. Giải các phương trình sau:
a)

 y

xdy
  2
 1dx
2
2
x y
x y


2

c) yx y 1  x y ln xdy  0

b) e y dx  ( xe y  2 y)dy  0
d) ( x 2  y 2 )dy  2 xydy  0

8. Tìm hàm cầu Q = f(P) khi biết hệ số co giãn:

 QP  

5P  2 P 2
, Q = 500 khi P = 10.
Q

9. Tìm hàm cầu Q = f(P) biết rằng hệ số co giãn của cầu theo giá QP = 1, với mọi P > 0.
10. Tìm hàm cầu Q = f(P) biết rằng hệ số co giãn của cầu theo giá QP = -k, với mọi P > 0.

Toán Kinh tế – ThS.Nguyễn Ngọc Lam

138