phương trình sai phân và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
KHOA TOÁN CƠ TIN HỌC
……………………………………

NGUYỄN TIẾN TUẤN

PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: PHƢƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
Mã số: 60 46 01 13

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội – Năm 2015


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
KHOA TOÁN CƠ TIN HỌC
……………………………………

NGUYỄN TIẾN TUẤN

PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: PHƢƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
Mã số: 60 46 01 13
TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC

TS. LÊ ĐÌNH ĐỊNH

Hà Nội – Năm 2015


LỜI CẢM ƠN

Bản luận văn này của tác giả đƣợc hoàn thành dƣới sự hƣớng dẫn trực tiếp
của Tiến sĩ Lê Đình Định – Trƣờng Đại học Khoa học Tự nhiên – Đại học Quốc
Gia Hà Nội.
Lời đầu tiên tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc đến ngƣời thầy
dạy và cũng là ngƣời thầy hƣớng dẫn - Tiến sĩ Lê Đình Định. Thầy đã dành
nhiều thời gian để chỉ bảo, hƣớng dẫn tác giả với sự nhiệt tình, chu đáo, sâu sắc,
đầy kinh nghiệm trong học tập và trong suốt quá trình nghiên cứu để hoàn thành
bản luận văn này.
Xin chân thành cảm ơn sự quan tâm giúp đỡ của tất cả mọi ngƣời đã tạo
điều kiện thuận lợi cho tác giả hoàn thành nhiệm vụ của mình.
Hà Nội, ngày 20 tháng 11 năm 2015

Tác giả

1


LỜI MỞ ĐẦU
Rất nhiều hiện tƣợng khoa học kỹ thuật trong thực tiễn mà việc tìm hiểu
nó dẫn đến bài toán giải phƣơng trình sai phân. Phƣơng trình sai phân còn là một
công cụ giúp giải các bài toán vi phân, đạo hàm và các phƣơng trình đại số cấp
cao.
Sự ra đời của phƣơng trình sai phân cũng xuất phát từ việc xác định mối

quan hệ thiết lập bởi một bên là một đại lƣợng biến thiên liên tục (đƣợc biểu
diễn bởi hàm, chẳng hạn f(x) ) với bên còn lại là độ biến thiên của đại lƣợng đó.
Đối với các hàm thông thƣờng nghiệm là một giá trị số (số thực, số
phức,… ). Còn trong phƣơng trình sai phân mục tiêu là tìm ra công thức của
hàm chƣa đƣợc biết nhằm thỏa mãn mối quan hệ đề ra. Thông thƣờng nó sẽ là
một họ các phƣơng trình, sai lệch bằng một hằng số C nào đó. Hàm này sẽ đƣợc
xác định chính xác khi có thêm điều kiện xác định ban đầu hoặc điều kiện biên.
Trong các ứng dụng thực tế, không dễ dàng để tìm ra công thức của hàm
nghiệm. Với giá trị của thực tiễn khi ấy ngƣời ta chỉ quan tâm tới giá trị của hàm
tại các giá trị cụ thể của các biến độc lập.
Các phƣơng pháp nhằm tìm ra giá trị chính xác của hàm đƣợc gọi là phân
tích định lƣợng. Tuy nhiên không phải lúc nào cũng xác định đƣợc các giá trị
thực, lúc này ngƣời ta lại quan tâm đến các giá trị xấp xỉ (có một độ chính xác
nhất định) với giá trị thực. Việc tìm các giá trị này đƣợc thực hiện thƣờng là
bằng phƣơng pháp số với công cụ là máy tính.
Phƣơng trình sai phân đƣợc nghiên cứu rộng rãi trong toán học thuần túy
và ứng dụng, vật lí và các ngành kỹ thuật.
Toán học thuần túy quan tâm đến việc tìm ra sự tồn tại và duy nhất của
hàm nghiệm.
Phƣơng trình sai phân đƣợc phân làm nhiều loại, luận văn trình bày nghiên
cứu về phƣơng trình sai phân trong đó có chứa các số hạng là đại số và sai phân.
Trong mỗi loại phƣơng trình sai phân lại đƣợc chia thành hai dạng tuyến
tính và phi tuyến tính. Việc giải các phƣơng trình sai phân tuyến tính có thể thực
2


hiện đƣợc nhƣng đối với phƣơng trình sai phân phi tuyến tính không có công
thức chung để giải, ngoại trừ chúng có tính đối xứng. Thay vào đó có thể dùng
hàm tuyến tính để xấp xỉ hàm phi tuyến với những điều kiện ràng buộc nhất
định.

Ở trƣờng trung học phổ thông cũng nhƣ trong các kỳ thi học sinh giỏi toán
xuất hiện nhiều bài toán hay và khó về dãy số, giới hạn, số học, tích phân truy
hồi, phƣơng trình hàm, …. đƣợc cho dƣới dạng một phƣơng trình sai phân hay
có sử dụng phƣơng trình sai phân để giải. Chính vì vậy mà nhiệm vụ tìm hiểu
những ứng dụng của phƣơng trình sai phân trong các bài toán phổ thông là một
yêu cầu cấp thiết và quan trọng.
Việc xây dựng có hệ thống các kiến thức cơ bản về phƣơng trình sai phân
có phân loại các dạng phƣơng trình sai phân với sự tổng hợp các phƣơng pháp
giải sẽ đóng góp tốt hơn, có hiệu quả cao hơn cho việc định hƣớng nghiên cứu
và phát triển tƣ duy cho học sinh.
Luận văn đƣợc chia làm hai chƣơng.
Chƣơng 1: Kiến thức chuẩn bị.
Chƣơng này nhắc lại và xây dựng các kiến thức cơ bản mà nó đƣợc ứng
dụng rộng rãi ở chƣơng sau.
Chƣơng 2: Một số ứng dụng của phƣơng trình sai phân
Chƣơng này nêu các ứng dụng của phƣơng trình sai phân trong giải toán
phổ thông. Đặc biệt đã giới thiệu đƣợc một số bài toán trong các kì thi học sinh
giỏi có sử dụng phƣơng trình sai phân tuyến tính và phi tuyến tính để giải. Vấn
đề tuyến tính hóa cũng đƣợc thâm nhập sâu hơn và đa dạng hơn ở chƣơng này.
Những kiến thức trình bày trong luận văn này ở phổ thông đƣợc dùng cho
các em học sinh ôn luyện tham gia các kì thi học sinh giỏi. Tất nhiên các kiến
thức đó đƣợc sắp xếp, trình bày một cách có hệ thống để tiện theo dõi. Ngƣời
đọc từ đó có thể nhận xét, đánh giá tổng quan để có thể bổ sung, mở rộng kiến
thức hơn nữa nhằm phát huy khả năng sáng tạo, sự say mê khám phá hứa hẹn
nhiều kiến thức mới thú vị, bổ ích và thiết thực.
3


̃
̃

̃
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅

4


̃
̃

{

}
̃

̃
∑

∑

| |

√
̃

∑

5

.

̅̅̅̅

̃

[

]

[

]

{

{

̃

6


̃
̃

̃

̃

̃

[

̃

7

]


̃
̃

̃
̃
̃

8


{

}

̃

[

]

[

]

{

{

̃

9


̃
̃

̃
̃
̃

̃

10


̃

11


.

{
.

{

12


{
(

)

{

{

{

{

,
{

13


√

√
√
√

√
(

√ )

(

(
√

√ )

√ )

(

√ )

√
√

[

√

14

√

]


15


{

(

)

{

(

)
{

16

}


{

{

{

(

{

*

)

+

{

{

(

{

17

)

√


(

)

(

)

{

√

{

(√

{

)
√

(√
{

)

√
√

{ }

18

{

}

(

)

ì

{
√

√

√

√

√
√

(

√ )

(

√ )

(

√ )

(

√ )

√

{

√

√

}

.
19

√
√


(∑

)

(∑

)

√

√

√
á

ã

ƣơ
đị

á
ƣơ
ệ

ố
â

ế

ố ố ọ

ê

ƣơ

í

ố ậ

ấ đề

í

à

ì

ả á
ế

á

á đƣợ
ệ

á

à

ẫ

Đề

à

à

ủ

í

(

ƣơ

ó ạ đƣợ

ớ

à ở

ì

đế

à

ế

ì

â

ã

ố đó

ế

ấ đẳ

ả

ƣơ

ố

ê

ị

ẳ

ứ
đị

)

{ }

20

ầ

ứ

ƣ ƣớ
ứ

ó ớ

ố ố

ố

ì
ụ

à đề đƣợ

ủ
ò ủ

ê
ế

ƣơ

ì

ó

ê

ầ

ê

ố ố

ầ

â

á đị

ở
à á
í

ê
í
â

à


{
ừ ệ ê

ó
√
√

(

(√

)

)

√

(

(√

)

)

√

√
√

√

√
[(√

ậ

√

)

(

ì ậ

ồ

à
à

(√

ạ

√

ớ

]

(√

√ )

√

)

)

√
√

ê

ụ

ầ

ì

(

ê
à

đó

à ằ

∫
21

ố

√

)


∫

(

∑

)

√

√
(

√ )

√
ã
ì

để

á đ
à ã

ố

.
ê

22


KẾT LUẬN
Bản luận văn này nêu đƣợc các phƣơng pháp giải phƣơng trình sai
phân tuyến tính và một số dạng phƣơng trình sai phân phi tuyến tính có thể
tuyến tính hóa đƣợc. Từ những kiến thức đó đã nêu đƣợc các ứng dụng của
phƣơng trình sai phân trong việc giải các bài toán ở trƣờng trung học phổ thông.
Phƣơng pháp tuyến tính hóa cho ta những cách giải độc đáo khác nhau
cho các bài toán có dạng đặc th . Tuy nhiên với những bài toán lên quan đến
phƣơng trình sai phân thì chúng ta đều có thể khai thác phƣơng pháp tổng quát
đã xây dựng đƣợc để giải. Đây cũng là sự thành công về mặt định hƣớng cho
phƣơng pháp giải toán.
Với thời gian nghiên cứu và khả năng có hạn, chúng tôi hy vọng luận văn
này sẽ giúp ích phần nào cho các thầy, cô giáo và các em học sinh ở nhà trƣờng
phổ thông trong việc học tập môn toán. Luận văn này cũng hy vọng đóng góp
một phần nhỏ bé vào việc mở rộng ứng dụng của phƣơng trình sai phân trong
việc rèn luyện học sinh giỏi toán ở trung học phổ thông.
Cuối cùng tác giả cũng xin đƣợc gửi lời cảm ơn chân thành và sâu
sắc đến Ban lãnh đạo, cùng các thầy cô Trƣờng Đại học Khoa học Tự nhiên Đại học Quốc gia Hà Nội đã tạo điều kiện thuận lợi và giúp đỡ trong suốt quá
trình học tập và nghiên cứu. Đặc biệt là sự hƣớng dẫn chỉ bảo tận tình, chu đáo,
sâu sắc và đầy kinh nghiệm của Tiến sỹ Lê Đình Định – Giảng viên của nhà
trƣờng đã giúp tác giả hoàn thành luận văn này.

23