Chuyên đề 8 hàm số bậc nhất và đồ thị , chuyên đề luyện thi học sinh giỏi lớp 9 và ôn thi vào lớp 10 có loài giải và hướng dẫn chi tiết

Chuyên đề 8. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ ĐỒ THỊ
A. Kiến thức cần nhớ
1. Định nghĩa
Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bằng công thức dạng y  ax  b , trong
đó a, b là những hằng số với a  0 .
Hàm số bậc nhất có tập xác định là ¡ .
2. Tính chất
Tính đồng biến, nghịch biến:
Với a  0 , hàm số đồng biến trên ¡ .
Với a  0 , hàm số nghịch biến trên ¡ .
Đồ thị
- Đồ thị của hàm số y  ax  b  a  0  là một đường thẳng gọi là đường thẳng
y  ax  b . Nó có hệ số góc bằng a và có đặc điểm:

- Khơng song song và khơng trùng với các trục tọa độ;


- Cắt trục hoành tại điểm A   ;0  và cắt trục tung tại điểm B  0; b  .
 b 
a

Quan hệ giữa 2 đường thẳng
Cho hai đường thẳng  d  : y  ax  b;  d   : y  ax  b , ta có:
+  d  song song với  d    a  a và b  b;
+  d  trùng với  d    a  a và b  b;
+  d  vng góc với  d    a.a  1;
+  d  cắt  d    a  a.
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1. Cho hàm số y   2m  1 x  5 (m là tham số).
a) Xác định các giá trị của m để hàm số trên là hàm số bậc nhất.
b) Tìm các giá trị của m để hàm số trên là hàm số đồng biến.

Giải
a) Hàm số y   2m  1 x  5 là hàm số bậc nhất  2m  1  0  m 

1
.
2


b) Hàm số y   2m  1 x  5 là hàm số đồng biến  2m  1  0  m 

1
.
2

Nhận xét:
Để nhận dạng hàm số bậc nhất chúng ta cần lưu ý rằng: Công thức có
dạng y  ax  b

 a  0  . Chẳng hạn, hàm số

y  2 x  1  x 2 có hệ số 2  0 nhưng

khơng phải là hàm bậc nhất vì nó khơng có dạng y  ax  b .
Ví dụ 2: Cho hai hàm số y   3m  1 x  2 và y   m  1 x  7 (với m là tham số).
Tìm giá trị của m để hai hàm số trên là hàm bậc nhất và đồ thị của chúng
là hai đường thẳng cắt nhau.
Giải
Các hàm số đã cho là hàm số bậc nhất khi và chỉ khi:
1


 3m  1  0
m 

3

 m  1
 m  1  0

Đồ thị của hai hàm số đã cho là hai đường thẳng cắt nhau khi và chỉ khi:

 3m  1   m  1

 2m  2  m  1
1
3

Vậy các giá trị của m thoả mãn đồng thời các điều kiện m  ; m  1 và m  1
là giá trị cần tìm.
Nhận xét :
1
3

4
3

+ Với m  , hai hàm số đã cho trở thành y  2 và y  x  7 . Khi đó y  2
không phải là hàm số bậc nhất nhưng đồ thị của nó cũng là một đường
4
3

thẳng và nó song song với trục hồnh, cịn hàm số bậc nhất y  x  7 có đồ
thị là đường thẳng cắt trục hồnh. Từ đó ta có đồ thị của hai hàm số y  2
4
3

và y  x  7 cắt nhau.
+ Tương tự với m  1 , hai hàm số đã cho trở thành : y  4x  2 và y  7 .
Lập luận tương tự ta cũng có đồ thị của hai hàm số này cắt nhau.
+ Các đường thẳng y  2 và y  7 học ở chương III.


Ví dụ 3: Cho hai đường thẳng y   1  3m  x  4  d  và y   n  3 x  n  d   .
a)Tìm m và n để  d  trùng  d   .
b)

Tìm m và n để  d  song song  d   .
Giải
1  3m  n  3 m  0

n  4
n  4

a)  d  trùng  d   khi và chỉ khi 
b)

 d  song song  d   khi và chỉ khi

1  3m  n  3 n  4  3m



n  4
n  4

Nhận xét :
Đối với bài toán trên, chúng ta cần xác định rõ yêu cầu của đề là tìm điều
kiện để 2 đường trùng nhau hoặc song song chứ không yêu cầu chúng
phải là hàm bậc nhất. Vì vậy, nếu đặt điều kiện 1  3m  0 hoặc n  3  0 thì lời
giải sẽ khơng đúng.
Ví dụ 4. Cho ba hàm số : y  x  2 có đồ thị là d1
y   x  2 có đồ thị là d 2
y  2 x  2 có đồ thị là d3

a)Vẽ đồ thị của ba hàm số đã cho trên cùng một hệ trục toạ độ.
b)

Cho biết d1 cắt d 2 tại A, d1 cắt d3 tại B, d 2 cắt d3 tại C. Tính diện tích

tam giác ABC.
Giải
a)Xem hình 1.


b)

Từ câu a, ta có: A  2;0  , B  0; 2  , C  4; 6  .

d 2 có phương trình y   x  2 .

Cho x  0 thì y  2 do đó d 2 cắt Oy tại M  0; 2  .
Gọi H là hình chiếu của điểm C lên Oy thì H  0; 6  . Ta có :

S ABC  S ABM  SMBC 

1
1
1
1
BM .OA  BM .CH  4.2  .4.4  12 .
2
2
2
2

Nhận xét :
Với phần b) chúng ta có thể giải theo một số cách khác. Chẳng hạn:
Cách 2: Ta kiểm tra thấy d1  d 2  AB  AC . Lại có:
AB  AO 2  BO 2  2 2; AC  AK 2  KC 2  6 2 .
1
2

(K là hình chiếu vng góc của C lên trục hồnh). Khi đó S ABC  AB.AC  12 .
Cách 3: Gọi E là giao của BC và trục hồnh. Tìm được E  1;0  . Khi đó:
S ABC  S ABE  S AEC 

1
1
BO. AE  CK . AE=12 .
2
2

Ví dụ 5.

a)Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A  4;1 và song song với
đường thẳng y  2 x  5 .


b)

Xác định hàm số y  ax  b biết rằng đồ thị của nó đi qua điểm B  1; 2 

và cắt trục Oy tại điểm có tung độ bằng 3 .
Giải
a)Phương trình đường thẳng song song với đường thẳng y  2 x  5 có
dạng :
y  2 x  b

 b  5  d  .

Vì  d  đi qua điểm A  4;1 nên 2.  4   b  1  b  7 (thoã mãn điều kiện b  5 ).
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là y  2 x  7 .
b)

Vì đồ thị của hàm số y  ax  b luôn đi qua điểm B  1; 2  nên ta có :
a  b  2 (1).

Vì đồ thị của hàm số y  ax  b cắt trục Oy tại điểm có tung độ bằng 3 nên
ta có : b  3 (2).
Từ (1) và (2) suy ra : a  1; b  3  y   x  3 .
Nhận xét :
Ngồi cách giải như trên, chúng ta có cũng thể viết phương trình đường
thẳng bằng cách đi tìm 2 yếu tố, đó là: Một điểm M  x0 ; y0 

thuộc đường

thẳng và hệ số góc k của nó. Khi đó phương trình của đường thẳng là:
y  k  x  x0   y0 .

Áp dụng vào phần a, đường thẳng đi qua điểm C  4;1

và song song với

đường thẳng y  2 x  5 nên từ đó suy ra đường thẳng cần tìm có hệ số góc
k  2 đồng thời đi qua C  4;1 .

Như vậy ta có: Phương trình cần tìm là: y  2  x  4   1  y  2 x  7 .
Với phần c, ta cũng có thể giải bằng cách đi tìm 2 điểm trên đường thẳng.
Sau đó làm tương tự phần a.
Ví dụ 6. Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng  d  : y   k  1 x  n  k  1 và hai
điểm A  0; 2  và B  1;0  (với k,n là các tham số).
1.Tìm các giá trị của k và n để :
a)Đường thẳng d đi qua hai điểm A và B.


b)

Đường thẳng d song song với đường thẳng  : y  x  2  k

2.Cho n  2 . Tìm k để đường thẳng d cắt trục Ox tại điểm C sao cho diện
tích tam giác OAC gấp hai lần diện tích tam giác OAB.
Giải
1.
a)Đường

thẳng

 d

đi

qua

điểm

A  0; 2   n  2 .

Đường thẳng  d  đi qua điểm B  1;0  .
 0  k  1  2  k  3

Vậy với k  3; n  2 thì  d  đi qua hai điểm A
và B.
b)

Đường thẳng  d 

song song với

đường thẳng    : y  x  2  k .
k  1  1
k  2


2  k  n

n  0

Vậy với k  2

và

n  0 thì đường thẳng

 d  song song với đường thẳng

  .
2.Với n  2 , đường thẳng  d  : y   k  1 x  2 cắt Ox  k-1  0  k  1 (thỏa mãn).


;0  ,
Giao điểm của  d  với Ox là C 
 1 k 
2

1
2

1
2

Các OAB và OAC vuông tại O nên SOAC  OA.OC ; SOAB  OA.OB .
Ta có SOAC  2SOAB  OC  2OB
 2
1  k  2
k  0

2
 xC  2. xB 
 2. 1  

(thoả mãn).
1 k
k  2
 2  2
1  k

Vậy với k  0 hoặc k  2 thì SOAC  2SOAB .
Nhận xét :


Với phần 1b, chúng ta thường hay bỏ qua bước kiểm tra hằng số tự do của
hai đường thẳng khác nhau. Nhắc lại, hai đường thẳng y  ax  b và y  ax  b
song song với nhau khi và chỉ khi a  a và b  b .
Với phần 2, nếu quá lệ thuộc vào hình vẽ học sinh có thể thiếu mất một
trường hợp.
Ví dụ 7. Cho đường thẳng d là đồ thị của hàm số bậc nhất: y  mx  m  1 (m
là tham số)
a)Chứng minh rằng đường thẳng d luôn đi qua một điểm cố định khi m
thay đổi.
b)

Tìm giá trị của m để khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đường thẳng d

bằng

2.

c)Tìm giá trị của m để khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đường thẳng d
lớn nhất.
Giải
a)Đường thẳng d luôn đi qua điểm M  x0 ; y0 
cố định khi và chỉ khi y0  mx0  m  1 với mọi
m
 m  x0  1   1  y0   0 đúng với mọi m
 x0  1  0
 x0  1


1  y0  0
 y0  1

Vậy đường thăng d luôn đi qua điểm cố
định M  1;1 .
b)

Điều kiện để y  mx  m  1 là hàm số bậc

nhất là m  0 .
Gọi A là giao điểm của d và trục Oy:
Với x  0  y  m  1  A  0;  m  1  OA   m  1  m  1
Gọi B là giao điểm của d và trục Ox:
Với y  0  x 

m 1
m 1
 m 1 

 B
;0  OB 
.
m
m
 m



Do điểm O cách đường thẳng d một đoạn bằng 2 nên đường thẳng d
không đi qua O  0  m  1 hay m  1 .
Kẻ OH  d . Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vng ta có:
1
1
1
1
m2
m2  1
m 2  2m  1
2






OH

OH 2 OA2 OB 2  m  1 2  m  1 2 m2  2m  1
m2  1

Mà theo giả thiết có OH  2 .


m 2  2m  1
 2  m 2  2m  1  0  m  1 (thoả mãn).
2
m 1

c)Vì OH  OM (OM khơng đổi do O và M cố định).
Dấu "  " xảy ra khi M  H  d  OM .
Gọi y  ax  b là đường thẳng đi qua hai điểm O, M suy ra 0  b và 1  a  b .
Từ đó ta có a  1; b  0 . Như vậy ta được y  x là đường thẳng đi qua hai điểm
O và M, đường thẳng này có hệ số góc k1  1 .
Mà d y  mx  m  1 nên hệ số góc của đường thẳng d là k2  m .
Do d vng góc với OM suy ra k1.k2  1  1.m  1  m  1 (thoả mãn).
Nhận xét :
Với phần a, chúng ta có thể tóm tắt y tưởng giải như sau:
Bài tốn: Tìm điểm cố định của đường thẳng có phương trình: y  ax  b
(trong đó a,b là các biểu thức phụ thuộc vào tham số m).
Cách giải:
Bước 1: Gọi điểm cố định cần tìm là M  x0 ; y0   y0  ax0  b (1) đúng với mọi
m.
Bước 2: Biến đổi (1) về phương trình ẩn m:
P.m  Q  0 đúng với mọi m (với P, Q là biểu thức không phụ thuộc vào m).

Bước 3: Sử dụng tính chất:
P  0
Q  0

Phương trình ẩn m là: P.m  Q  0 đúng với mọi m  
Từ đó tìm được  x; y  là toạ độ của điểm cố định.

Với phần c, ngoài cách giải đã trình bày ta cũng có thể giải bằng cách sử
dụng bất đẳng thức. Cụ thể như sau:


2
2
2
m  1

m 2  2m  1 2  m  1   m  2m  1
m 2  2m  1
OH 

 2
 2 2
 2 với mọi m.
m2  1
m2  1
m2  1
m 1
2

Đẳng thức xảy ra khi m  1 hay m  1
Ví dụ 8.Trong hệ trục toạ đọ Oxy, cho hàm số y  3x  m (1) . Cho điểm A có
hồnh độ bằng 1 thuộc đồ thị của hàm số (1). Xác định m để điểm A nằm
trong góc vuông thứ IV.
Giải

Do điểm A thuộc đồ thị của hàm số (1) và có hồnh độ bằng 1 nên với
x  1  y  3  m  A  1; m  3  .

Điểm A nằm trong góc vng thứ IV của hệ trục toạ độ Oxy
1  0
1  0


 m  3
 m  3  0  m  3

Vậy m  3 thoã mãn yêu cầu của đề bài.
Nhận xét:
Hai trục toạ độ chia mặt phẳng thành 4 phần: Góc phần tư thứ I,II,III,IV.
x  0
y  0

 Điểm A  x; y  nằm trong góc phần tư thứ I khi và chỉ khi 

x  0
y  0

 Điểm A  x; y  nằm trong góc phần tư thứ II khi và chỉ khi 

x  0
y  0

 Điểm A  x; y  nằm trong góc phần tư thứ III khi và chỉ khi 

x  0

y  0

 Điểm A  x; y  nằm trong góc phần tư thứ IV khi và chỉ khi 
2
2
Ví dụ 9. Cho hàm số y   3m  1 x  m  4

Chứng minh khi m thay đổi thì đồ thị của hàm số ln đi qua một điểm cố
định.
Giải
Gọi điểm M (x;y) là một điểm của đồ thị, khi đó:
2
2
M cố định khi và chỉ khi y   3m  1 x  m  4 đúng với mọi m

  3 x  1 m 2  x  y  4  0 đúng với mọi m


1

x

3
x

1

0



3


x  y  4  0
 y   13

3


Vậy M   ;   là điểm cố định cần tìm.
 3 3
1

13

Nhân xét:
Cách giải trên dựa vào tính chất:
Phương trình ax 2  bx  c  0 nghiệm đúng với mọi x khi và chỉ khi a=b=c=0.
Ví dụ 10. Cho ba điểm A  0; 2  , B  3; 1 , C  2; 4  . Chứng minh ba điểm A, B, C
thẳng hàng.
Giải
Gọi d là đường thẳng đi qua hai điểm A và B. Phương trình của d có dạng
là y  ax  b (1).
2  b
a  1

 1  3a  b
b  2

Do toạ độ của A, B thoả mãn (1) nên ta có hệ: 

 d :y x2.

Lại có:Điểm C  2; 4  thoả mãn phương trình d : y  x  2  C  d .Từ đó suy ra A, B,
C thẳng hàng.
III. Bài tập vận dụng
2
8.1. Cho 2 đường thẳng d : y   m  2  x  3  m  2  và d  : y   m x  1 m  0  .

a) Tìm m để d Pd .
¼  60 .
b) Tìm m để d cắt Ox tại A, cắt Oy tại B sao cho BAO

Hướng dẫn giải – đáp số
m  2  m2
m  1

d
P
d

 m2  m  2  0  
.
a)

 m  2
3  1


b) A   m  2 ;0 ; B  0;3  OA  m  2 ; OB  3.



3

3

¼  OB  3  m  2  3  m  2  3 .
¼  60 nên tan BAO
Do BAO
OA


1
2

8.2. Cho đường thẳng d có phương trình y   2m  1 x  2 ( với m   ), d cắt
Ox tại A, cắt Oy tại B. Tìm m sao cho:
a) Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng d bằng
b) Diện tích tam giác AOB bằng

2;

1
.
2

Hướng dẫn giải – đáp số
1
2

a) Hàm số y   2m  1 x  2 có đồ thị là đường thẳng d, điều kiện: m   .

Do d cắt trục Ox tại điểm A nên với:
y 0 x 

2
2
 2

 A
;0  OA 
.
2m  1
2m  1
 2m  1 

Do d cắt trục Oy tại điểm B nên với x  0  y  2  B  0; 2   OB  2.
Gọi H là chân đường vng góc kẻ từ O lên AB suy ra OH là khoảng cách
từ gốc O tới đường thẳng d.
Suy ra OH  2 . Mặt khác, do tam giác OAB vuông tại O và OH là đường
cao kẻ từ đỉnh góc vng nên ta có:
1
1
1
1  2m  1
1


 

2
2

2
OH
OA OB
2
4
4
2

 2  4m 2  4m  2  m 2  m  0  m  0

hoặc m  1 (thỏa mãn điều kiện). Vậy m  0 hoặc m  1 .


b) Theo a, ta có A  2m  1 ;0 ; B  0; 2   OA  2m  1 ; OB  2


2

2

 2m  1  4
1
2
1
3
5
 SOAB  OA.OB 
  2m  1  4  
 m  hoặc m  
2

2m  1 2
2
2
 2m  1  4

8.3. Xác định phương trình đường thẳng d  biết rằng nó song song với
đường thẳng d có phương trình y   x  1 và d  đi qua điểm M  2;1 .
Hướng dẫn giải – đáp số
Do đường thẳng d  song song với đường thẳng d và đường thẳng d có hệ
số góc bằng -1 nên ta có đường thẳng d  cũng có hệ số góc là -1.


Từ đó suy ra đường thẳng d  có phương trình dạng: y   x  c . Do điểm
M  2;1 thuộc đường thẳng d  nên ta có: 1  2  c  c  3 . Vậy đường thẳng d 

có phương trình là y   x  3 .
1
2

8.4. Cho hai đường thẳng d1 : y  2 x  4, d 2 : y   x  1, d1 cắt Ox tại A, cắt Oy tại
B; d 2 cắt Ox tại C, cắt Oy tại D; d1 và d 2 cắt nhau tại M.
a) Chứng minh tam giác MAC vuông tại M.
b) Tính diện tích tam giác MAC.
Hướng dẫn giải – đáp số
a) Hệ số góc của hai đường lần lượt là 2; 

1
.
2



Mà tích của chúng là 2.     1 nên ta có
 2
1

d1  d 2 .

Từ đó ta có tam giác MAC vng tại M.


b) Tìm được M   ; .
 5 5
6 8

Gọi H là hình chiếu vng góc của M lên
trục hồnh.
8
5

1
2

Từ đó có MH  ; AC  4  S MAC  MH . AC 

16
.
5

8.5. Cho ba đường thẳng:

d1 : y  x  2; d 2 : y  2 x  1; d3 : y   m 2  1 x  m

a) Tìm giá trị của m để d3 Pd 2 ;
b) Tính các giá trị của m để ba đường thẳng trên cắt nhau tại một điểm.
Hướng dẫn giải – đáp số
2
a) Đường thẳng d3 : y   m  1 x  m và đường thẳng d 2 : y  2 x  1 song song khi

và chỉ khi
m  1
m2  1  2
m 2  1  

   m  1  m  1

m  1
m  1
m  1



Vậy m  1 thỏa mãn yêu cầu của đề bài.
b) Tìm được A  1;3 là giao điểm của d1 và d 2 .
Khi đó 3 đường d1 , d 2 và d3 đồng quy khi và chỉ khi:
A  d3  3  m 2  m  1  m 2  m  2  0  m  1 hoặc m  2 .

8.6. Cho hàm số y   m  2  x  m  1.
a) Tìm điều kiện của m để hàm số nghịch biến trên tập số thực.
b) Tìm điều kiện của m để đồ thị cắt trục hoành tại điểm có hồnh độ
bằng 3.

c) Tìm m để đồ thị của các hàm số y   x  2, y  2 x  1 và y   m  2  x  m  1 đồng
quy.
d) Tìm m để đồ thị hàm số tạo với trục tung và trục hồnh một tam giác
có diện tích bằng 2.
Hướng dẫn giải – đáp số
a) Hàm số y   m  2  x  m  1 nghịch biến  m  2  0  m  2 .
b) Đồ thị của hàm số y   m  2  x  m  1 cắt trục hồnh tại điểm có hồnh độ
bằng 3 tức là điểm A  3;0  thuộc đồ thị của hàm số: y   m  2  x  m  1
 0  3  m  2   m  1  4m  5  0  m  

5
4

c) Tìm được điểm M  1;1 là giao điểm của hai đường thẳng y   x  2 và
y  2 x  1 . Khi đó:

Đồ thị của các hàm số y   x  2, y  2 x  1, y   m  2  x  m  1 đồng quy.
 Điểm M  1;1 thuộc đồ thị của hàm số: y   m  2  x  m  1
 1  m  2  m 1  m  2

d) Giả sử hàm số y   m  2  x  m  1 có đồ thị là đường thẳng d, điều kiện:
m  2

Giả sử d cắt trục Ox tại điểm A, khi đó với:
y 0 x 

1 m
1 m
 1 m 
 A

;0  OA 
m2
m2
m2 

Giả sử d cắt trục Oy tại điểm B


Khi đó với x  0  y  m  1  B  0; m  1  OB  m  1
Mà tam giác OAB vuông tại O nên ta có:
1 m
1
2
SOAB  OA.OB  2 
. m  1  4   m  1  4 m  2
2
m2
 m  1 2  4  m  2 
 m 2  6m  7  0


 2
 m  1 hoặc m  7 ( thỏa mãn)
 m  1 2  4  m  2 
 m  2m  9  0  VN 

Vậy m  1 hoặc m  7
8.7. Cho hàm số y   m  5 x  2m  10 .
a) Chứng minh đồ thị hàm số luôn đi qua một điểm cố định với mọi m.
b) Tìm m để khoảng cách từ O tới đồ thị hàm số lớn nhất.

Hướng dẫn giải – đáp số
a) Gọi M  x0 ; y0  là một điểm thuộc đồ thị của hàm số y   m  5 x  2m  10.
Điểm M cố định  y0   m  5  x0  2m  10 đúng với mọi m.
 m  x0  2    5 x0  y0  10   0 đúng với mọi m.
 x0  2  0
 x0  2


5 x0  y0  10  0  y0  20

Như vậy ta có điểm cố định cần tìm là M  2; 20  .
b) Gọi H là hình chiếu vng góc của O lên đường thẳng d:
y   m  5  x  2m  10

Khi đó độ dài đoạn thẳng OH là khoảng cách từ O tới đường thẳng d. Ta
có:
OH  OM (với OM khơng đổi do O và M cố định).

Dấu "  " xảy ra khi H  M  d  OM .
Gọi y  ax  b là đường thẳng đi qua hai điểm O, M suy ra 0  b và 20  2a  b .
Từ đó ta có a  10; b  0 . Như vậy ta được y  10 x là đường thẳng đi qua hai
điểm O và M, đường thẳng này có hệ số góc k1  10 .
Mà d: y   m  5 x  2m  10 nên hệ số góc của đường thẳng d là k2  m  5 .
Do d vng góc với OM


Suy ra k1.k2  1  10  m  5   1  10m  50  1  m  
Vậy m  

51

(thỏa mãn)
10

51
10

8.8. Cho hàm số y   m  2  x  m  3 .
a) Tìm điều kiện của m để hàm số ln nghịch biến.
b) Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hồnh tại điểm có hồnh độ bằng
3.
c) Tìm m để các đồ thị của các hàm số y   x  2; y  2 x  1 và y   m  2  x  m  3
đồng quy.
Hướng dẫn giải – đáp số
a) Hàm số y   m  2  x  m  3 nghịch biến khi và chỉ khi m  2  0  m  2 .
b) Đồ thị của hàm số y   m  2  x  m  3 cắt trục hồnh tại điểm có hồnh độ
bằng 3 tức là điểm A  3;0  thuộc đồ thị của hàm số: y   m  2  x  m  3
 0  3  m  2   m  3  4m  3  0  m 

3
4

c) Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng y   x  2; y  2 x  1 là C  1;1 . Ba
đường thẳng y   x  2; y  2 x  1 và y   m  2  x  m  3 đồng qui khi và chỉ khi
đường thẳng y   m  2  x  m  3 đi qua điểm C  1;1
1 m2 m3  m  0

8.9. Cho hàm số y   m  1 x  m  3 .
a) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số song song với đồ thị hàm số
y  2 x  1 .

b) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số đi qua điểm  1; 4  .
c) Tìm điểm cố định mà đồ thị của hàm số luôn đi qua với mọi m.
Hướng dẫn giải – đáp số
a) Hàm số y   m  1 x  m  3 có đồ thị song song với đồ thị của hàm số
 m  1  2
y  2 x  1  
 m  1
m  3  1


b) Hàm số y   m  1 x  m  3 có đồ thị đi qua điểm có tọa độ  1; 4 
 4  m  1  m  3  m  3

c) Gọi M  x0 ; y0  là một điểm thuộc đồ thị của hàm số y   m  1 x  m  3
Điểm M cố định  y   m  1 x  m  3 đúng với mọi m.
 m  x0  1    x0  y0  3  0 đúng với mọi m.
 x0  1  0
 x0  1


 x0  y0  3  0
 y0  4

Như vậy ta có điểm cố định cần tìm là M  1; 4  .
8.10. Cho đường thẳng d có phương trình là y  mx  m  1 .
Chứng tỏ rằng khi m thay đổi thì đường thẳng d ln đi qua một điểm cố
định. Tìm điểm cố định ấy.
Hướng dẫn giải – đáp số
Gọi M  x0 ; y0  là một điểm thuộc đồ thị của hàm số y  mx  m  1
Điểm M cố định  y0  mx0  m  1 đúng với mọi m.

 m  x0  1   1  y0   0 đúng với mọi m.
 x0  1  0
 x0  1


1  y0  0
 y0  1

Như vậy ta có điểm cố định cần tìm là M  1;1 .