bài giảng giải tích 1

BÀI GIẢNG
GIẢI TÍCH 1
ĐẠI HỌC THĂNG LONG
Ngày 27 tháng 1 năm 2008
MỤC LỤC
Trang
1 Giải tích trên R 1
1.1 Số thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Định nghĩa số thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Một số khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.3 Tô pô trên tập số thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Dãy số thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.1 Dãy số hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.2 Dãy con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.3 Dãy Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.4 Dãy đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.5 Mở rộng khái niệm giới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3 Giới hạn và sự liên tục của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3.1 Hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3.2 Định nghĩa giới hạn hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3.3 Các tính chất của giới hạn hàm số . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3.4 Mở rộng khái niệm giới hạn và một số vấn đề khác . . . . . 23
1.3.5 Định nghĩa hàm số liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.3.6 Tính chất của hàm số liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.3.7 Hàm liên tục đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.4 Đạo hàm và vi phân của hàm một biến số . . . . . . . . . . . . . . 30
1.4.1 Định nghĩa đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.4.2 Các tính chất của đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.4.3 Mở rộng khái niệm đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.4.4 Vi phân và ứng dụng của vi phân . . . . . . . . . . . . . . 38
i

MỤC LỤC ii
1.4.5 Các định lý về giá trị trung bình . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.4.6 Quy tắc L’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2 Giải tích trong R
n
56
2.1 Tôpô và các phép toán trong R
n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.1.1 Các phép toán trong R
n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.1.2 Tọa độ cực, tọa độ trụ, tọa độ cầu . . . . . . . . . . . . . . 58
2.1.3 Sự hội tụ trong R
n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.1.4 Tôpô trên R
n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.2 Giới hạn và tính liên tục của hàm nhiều biến . . . . . . . . . . . . . 64
2.2.1 Giới hạn hàm nhiều biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.2.2 Hàm liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.3 Đạo hàm và vi phân của hàm nhiều biến . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.3.1 Đạo hàm riêng và tính khả vi của hàm nhiều biến . . . . . . 71
2.3.2 Đạo hàm theo hướng, Gradien . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2.3.3 Công thức số gia hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
2.4 Hàm vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
2.4.1 Một số khái niệm và tính chất của hàm vectơ . . . . . . . . 83
2.4.2 Hàm ẩn và hàm ngược . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
2.5 Đạo hàm và vi phân cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

2.5.1 Đạo hàm cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
2.5.2 Vi phân cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
2.6 Cực trị của hàm nhiều biến số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
2.6.1 Cực trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
2.6.2 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số nhiều biến . . 112
2.6.3 Cực trị có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
Chương 1
Giải tích trên R
1.1 Số thực
1.1.1 Định nghĩa số thực
Số thực là một trong những khái niệm cơ bản nhất của toán học. Các khái niệm toán
học như giới hạn, liên tục, vi phân và tích phân đều phải dựa trên khái niệm số
thực. Một câu hỏi đặt ra là: số thực là gì và khái niệm số thực xuất hiện như thế
nào?. Dưới đây chúng ta sẽ đi giải đáp một phần câu hỏi trên.
Trải qua quá trình phát triển dài của lịch sử loài người, do những nhu cầu về đo
đạc, tính toán trong thực tế, hệ thống số được mở rộng dần dần. Từ tập các số tự
nhiên
N = {0, 1, 2, . . . }
đến các tập số nguyên
Z = {. . . − 2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}
rồi được mở rộng thành tập các số hữu tỷ
Q = {
m
n
| m, n ∈ Z, n = 0, UCLN(m, n) = 1}.
Vào thế kỷ thứ 6 trước công nguyên người ta gặp một con số không thể nào biểu
diễn được bằng các số hữu tỷ. Con số này xuất hiện liên quan đến định lý Pitago
(bình phương độ dài cạch huyền của một tam giác vuông bằng tổng bình phương các
cạch góc vuông), đó là
√

2, nó biểu thị độ dài cạch huyền của một tam giác vuông
cân có độ dài góc vuông là đơn vị. (Việc chứng minh
√
2 không phải là một số hữu
tỷ coi như là bài tập cho các bạn sinh viên). Tập số thực là mở rộng của tập số hữu
tỷ, nó là tập số hữu tỷ được bổ sung thêm một loại số mới là các số vô tỷ (
√
2 là một
số vô tỷ). Tuy nhiên nó không đơn thuần là tập rời rạc các số hữu tỷ và vô tỷ, tập
1.1. Số thực 2
số thực còn được xây dựng như là một cấu trúc chặt chẽ bao gồm các phép toán và
thứ tự của các phần tử. Có nhiều phương pháp xây dựng tập số thực tương đương
với nhau, trong đó phương pháp tiên đề là một phương pháp được sử dụng phổ biến
trong việc định nghĩa nhiều đối tượng, mô hình khác nhau. Sau đây chúng ta sẽ sử
dụng phương pháp tiên đề để xây dựng tập số thực.
Định nghĩa 1.1.1
Tập số thực R là một tập hợp chứa tập các số hữu tỷ Q. Trên R có hai phép tính
cộng, nhân và quan hệ thứ tự tương ứng là mở rộng của hai phép tính cộng, nhân
và quan hệ thứ tự trên Q, sao cho hai phép tính và quan hệ thứ tự này thỏa mãn các
tiên đề 1., 2., 3. dưới đây:
1. Phép tính cộng + và phép tính nhân . thỏa mãn
+ : R × R → R
(x, y) → x + y
(R, +) là nhóm giao hoán, tức là
• x + y = y + x với mọi x, y ∈ R,
• x + (y + z) = (x + y) + z với mọi x, y, z ∈ R,
• tồn tại phần tử 0 ∈ R sao cho x + 0 = x với mọi x ∈ R,
• với mọi x ∈ R tồn tại −x ∈ R sao cho x + (−x) = 0, (−x được gọi là
phần tử đối của x).
. : R × R → R

(x, y) → xy = x.y
R cùng với phép nhân . thỏa mãn các tính chất sau
• xy = yx với mọi x, y ∈ R,
• x(yz) = (xy)z với mọi x, y, z ∈ R,
• tồn tại phần tử 1 ∈ R sao cho x1 = x với mọi x ∈ R,
• với mọi x ∈ R, x = 0 tồn tại x
−1
∈ R sao cho xx
−1
= 1, (x
−1
được gọi là
phần tử nghịch đảo của x).
Giữa hai phép tính này có mối liên hệ sau x(y+z) = xy+xz(tính chất phân phối).
2. Quan hệ thứ tự ≤ sao cho đối với hai phần tử bất kì x, y ∈ R ta luôn có x ≤ y
hoặc y ≤ x và quan hệ thứ tự ≤ có các tính chất sau:
1.1. Số thực 3
• x ≤ x ∀x ∈ R và nếu x ≤ y và y ≤ x thì x = y (tính phản xứng),
• nếu x ≤ y, y ≤ z thì x ≤ z (tính bắc cầu),
• x ≤ y khi và chỉ khi x + z ≤ y + z ∀z ∈ R,
• nếu 0 ≤ x, 0 ≤ y thì 0 ≤ xy.
Ta viết x < y (hoặc y > x) nếu x ≤ y và x = y.
3. Tiên đề về cận trên đúng: Mọi tập A ⊂ R, A = ∅, A bị chặn trên đều có cận
trên đúng (các khái niệm: chặn trên, cận trên đúng sẽ được giải thích trong định
nghĩa
1.1.3).
Bên cạnh tập số thực chúng ta cũng sử dụng khái niệm tập số thực mở rộng. Các
khái niệm vô cùng, âm vô cùng, dương vô cùng thường xuyên được sử dụng trong
toán học, nên người ta mở rộng tập số thực sao cho nó bao gồm các khái niệm này.
Tập số thực mở rộng được ký hiệu là

R bao gồm R và hai ký hiệu −∞(đọc là âm vô
cùng), +∞ (đọc là dương vô cùng) với quy ước như sau
1. Với mỗi x ∈ R, ta đặt
x ± (+∞) = ±∞, x ± (−∞) = ∓∞,
x
±∞
= 0.
2. Với mỗi x ∈ R, ta đặt
x(±∞) = 0 nếu x = 0,
x(±∞) = ±∞ nếu x > 0,
x(±∞) = ∓∞ nếu x < 0.
1.1.2 Một số khái niệm cơ bản
Trong cuốn sách này chúng ta sẽ sử dụng một số ký hiệu về tập hợp sau:
• Cho A ⊆ R, ký hiệu
A
+
= {x ∈ A | x > 0},
A
−
= {x ∈ A | x < 0},
A
∗
= A \ {0}.
1.1. Số thực 4
• Cho a, b là các số thực, ký hiệu
(a, b) = {x ∈ R | a < x < b},
(a, b)được gọi là một khoảng mở hay khoảng,
[a, b ] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b},
[a, b ]được gọi là một khoảng đóng hay đoạn,
[a, b ) = {x ∈ R | a ≤ x < b},

(a, b] = {x ∈ R | a < x ≤ b},
[a, b ), (a, b]được gọi là các khoảng nửa mở.
• Cho a là một số thực. [a, +∞), (−∞, a], (a, +∞), (−∞, a) tương ứng là ký
hiệu của các tập các số thực lớn hơn hoặc bằng a, nhỏ hơn hoặc bằng a, lớn hơn
a, nhỏ hơn a và được gọi chung là các khoảng vô hạn.
Định nghĩa 1.1.2
1. Phần tử lớn nhất: giả sử A ⊆ R, a ∈ A được gọi là phần tử lớn nhất của A
nếu x ≤ a ∀x ∈ A. Phần tử lớn nhất của A được ký hiệu là max A (max là
chữ viết tắt của từ maximum có nghĩa là lớn nhất).
2. Phần tử nhỏ nhất: giả sử A ⊆ R, b ∈ A được gọi là phần tử nhỏ nhất của A
nếu b ≤ x ∀x ∈ A. Phần tử nhỏ nhất của A được ký hiệu là min A (min là
chữ viết tắt của từ minimum có nghĩa là nhỏ nhất).
Ví dụ: Xét tập A = {x ∈ R | 0 ≤ x < 1}. min A = 0, không tồn tại max A.
Định nghĩa 1.1.3
1. Tập bị chặn trên, cận trên: tập A ⊆ R được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số
thực a sao cho x ≤ a với mọi x ∈ A, phần tử a như vậy được gọi là một cận
trên của A.
2. Tập bị chặn dưới, cận dưới: tập A ⊆ R được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại
số thực b sao cho b ≤ x với mọi x ∈ A, phần tử b như vậy được gọi là một cận
dưới của A.
3. Tập bị chặn: tập A ⊆ R được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị
chặn dưới.
Ví dụ:
1. Xét tập A = {x ∈ R | 0 ≤ x < 1}. Ta thấy 2 là một cận trên của A, −2 là một
cận dưới của A, A bị chặn trên và bị chặn dưới, vậy A bị chặn.
1.1. Số thực 5
2. Tập A = {x ∈ R | −1 ≤ x}. A có một cận dưới là −2, suy ra A bị chặn dưới.
Với mỗi số thực a ta đều tìm được x ∈ A sao cho a < x, vậy a không là cận
trên của A, suy ra A không có cận trên nào và A không bị chặn trên.
Định nghĩa 1.1.4

1. Cận trên đúng: giả sử A là bị chặn trên, a được gọi là cận trên đúng của A
nếu a là số bé nhất trong tất cả các cận trên của A. Cận trên đúng được ký hiệu
là sup A (sup là chữ viết tắt của supremum). Nếu A không bị chặn trên ta quy
ước sup A = +∞.
2. Cận dưới đúng: giả sử A là bị chặn dưới, b được gọi là cận dưới đúng của A
nếu b là số lớn nhất trong tất cả các cận dưới của A. Cận dưới đúng được ký
hiệu là inf A (inf là chữ viết tắt của infimum). Nếu A không bị chặn dưới ta
quy ước inf A = −∞.
Ví dụ:
1. Xét tập A = {x ∈ R | 0 ≤ x < 1}. Dễ thấy tập các cận trên của A là [1, +∞),
1 là phần tử nhỏ nhất của tập này suy ra sup A = 1. Tập các cận dưới của A là
(−∞, 0], 0 là phần tử lớn nhất của tập này suy ra inf A = 0.
2. Xét tập A = {. . .
1
4
,
1
3
,
1
2
, 1, 2, 3, 4 . . .}. Tập các cận dưới của A là (−∞, 0], 0
là phần tử lớn nhất của tập này suy ra inf A = 0. Tập A không bị chặn trên suy
ra sup A = +∞.
Nhận xét 1.1.5
Cho A ⊆ R. Theo tiên đề về cận trên đúng nếu A bị chặn trên thì A có cận trên
đúng, còn nếu A không bị chặn trên thì ta quy ước sup A = +∞, vậy sup A bao
giờ cũng tồn tại, tương tự inf A bao giờ cũng tồn tại. Trong khi đó không phải
lúc nào cũng có max A, min A, nếu tồn tại max A, min A thì có thể dễ chỉ ra rằng
max A = sup A, min A = inf A.

Định lý sau cho ta một điều kiện cần và đủ để một số là sup A, inf A.
Định lý 1.1.6
1. Cho A ⊂ R là tập bị chặn trên, a là một số thực. a = sup A khi và chỉ khi
x ≤ a ∀x ∈ A và với mỗi ε > 0 đều tồn tại x
ε
∈ A sao cho a − ε < x
ε
.
2. Cho A ⊂ R là tập bị chặn dưới, b là một số thực. b = inf A khi và chỉ khi
b ≤ x ∀x ∈ A và với mỗi ε > 0 đều tồn tại x
ε
∈ A sao cho x
ε
< b + ε.
1.1. Số thực 6
Chứng minh: Ta sẽ chứng minh 1., 2. được chứng minh tương tự.
(⇒) Giả sử a = sup A, ta có a là một cận trên của A nên x ≤ a ∀x ∈ A. Bây
giờ ta sẽ đi chứng minh với mỗi ε > 0 đều tồn tại x
ε
∈ A sao cho a − ε < x
ε
.
Thật vậy giả sử điều ngược lại: tồn một giá trị ε > 0 sao cho với mọi x ∈ A ta có
a − ε ≥ x, khi đó theo định nghĩa cận trên ta có a −ε là một cận trên của A. Suy ra
a không thể là cận trên đúng (cận trên đúng của một là cận trên nhỏ nhất trong tất cả
các cận trên của tập đó) của A. Vô lý. Suy ra điều giả sử là sai, vậy với mỗi ε > 0
đều tồn tại x
ε
∈ A sao cho a − ε < x
ε

.
(⇐) Giả sử số thực a có tính chất: x ≤ a ∀x ∈ A và với mỗi ε > 0 đều tồn tại
x
ε
∈ A sao cho a−ε < x
ε
, ta đi chứng minh a = sup A. Vì x ≤ a ∀x ∈ A nên a là
một cận trên của A, suy ra sup A ≤ a (1) ( do sup A là cận trên nhỏ nhất trong các
cận trên của A). Theo giả thiết với mỗi ε > 0 đều tồn tại x
ε
∈ A sao cho a − ε < x
ε
mà x
ε
≤ sup A nên a −ε < sup A (2). Từ (1) và (2) ta có a −ε < sup A ≤ a với
mọi giá trị ε > 0. Điều này xảy ra chỉ khi a = sup A. ✷
Ví dụ: Cho A ⊆ R, ký hiệu −A = {−x | x ∈ A}. Sử dụng định lý trên có thể
chứng minh được rằng:
sup A = −inf(−A).
Thật vậy ta xét 2 trường hợp
• A không bị chặn trên. Khi đó −A không bị chặn dưới. Ta có sup A =
+∞, inf(−A) = −∞, do đó sup A = −inf(−A).
• A bị chặn trên. Đặt a = sup A. Theo định lý trên ta có x ≤ a ∀x ∈ A và với
mỗi ε > 0 đều tồn tại x
ε
∈ A sao cho a−ε < x
ε
, hay là ta có −x ≥ −a ∀−x ∈
−A và với mỗi ε > 0 đều tồn tại −x
ε

∈ −A sao cho −a + ε > −x
ε
. Lại theo
định lý trên thì −a = inf(−A), do đó sup A = −inf(−A).
Định nghĩa 1.1.7
Cho họ tập hợp A
i
(i ∈ I) với I là tập chỉ số nào đó có thể hữu hạn hoặc vô hạn.
Giao và hợp của họ tập hợp A
i
(i ∈ I) tương ứng là các tập được ký hiệu và định
nghĩa như sau

i∈I
A
i
=
{
a
|
a
∈
A
i
∀
i
∈
I
}
,


i∈I
A
i
= {a | ∃i ∈ Isao cho a ∈ A
i
}.
Tức là giao của họ tập hợp A
i
(i ∈ I) là tập bao gồm các phần tử chung của tất cả
các tập A
i
(i ∈ I), hợp của họ tập hợp A
i
(i ∈ I) là tập bao gồm các phần tử thuộc
ít nhất một trong các tập A
i
(i ∈ I).
1.1. Số thực 7
Ví dụ: Xét họ tập A
n
= [−
1
n
, n](n ∈ N, n = 0). Ta có

n∈N,n=0
A
n
= [0, 1],


n∈N,n=0
A
n
= [−1, +∞).
Định lý 1.1.8 (Nguyên lý Cantor)
Cho A
n
= [a
n
, b
n
], n ∈ N là dãy các đoạn lồng nhau, tức là A
0
⊇ A
1
⊇ A
2
. . Ta
có dãy đoạn A
n
, n ∈ N có ít nhất một phần tử chung , hay

n∈N
A
n
= ∅. Nếu dãy đoạn
này thắt lại tức là giới hạn lim
n→∞
(b

n
− a
n
) = 0 (khái niệm giới hạn sẽ được nghĩa
trong phần sau của chương này) thì phần tử chung này là duy nhất, hay tập

n∈N
A
n
chỉ có một phần tử.
1.1.3 Tô pô trên tập số thực
Giả sử x ∈ R , A ⊆ R , ta định nghĩa
a. Lân cận. Cho δ ∈ R , δ > 0, khoảng mở (x − δ, x + δ) được gọi là δ− lân cận
của x. Một tập N ⊆ R được gọi là lân cận của x nếu nó chứa một δ− lân cận
nào đó của x. Như vậy mỗi δ− lân cận của x cũng là một lân cận của x. Tập
N là lân cận của +∞ nếu có số thực m sao cho (m, +∞) ⊂ N. Tương tự N
là lân cận −∞ nếu có số thực m sao cho (−∞, m) ⊂ N.
Ví dụ: (−3, −1) là 1− lân cận của −2, (0, 9; 1, 1) là 0, 1− lân cận của 1,
[−0, 5; 6) là một lân cận của 1 vì nó chứa 0, 1− lân cận của 1. (100, +∞) là
một lân cận của +∞. (−∞, 100) là một lân cận của −∞.
b. Điểm giới hạn. Điểm x được gọi điểm giới hạn của tập A nếu mỗi lân cận của x
đều chứa ít nhất một điểm y ∈ A và y = x.
Ví dụ: 0 là điểm giới hạn của các tập A = {1,
1
2
,
1
3
,
1

4
, . . .}, B = [0, 1).
Thật vậy mỗi lân cận N của 0 đều chứa một δ− lân cận nào đó của 0, tức là
chứa tập (−δ, δ). Chọn y =
1
n
∈ A, B với n đủ lớn sao cho
1
n
< δ, ta có
1
n
∈ (−δ, +δ) ⊆ N. Vậy theo định nghĩa 0 là điểm giới hạn của A và B.
1.1. Số thực 8
c. Điểm cô lập. Nếu có một lân cận N của điểm x ∈ A sao cho N ∩ A = {x} ta
nói x là điểm cô lập của A. Vậy x ∈ A nếu không là điểm giới hạn của A thì là
điểm cô lập của A.
Ví dụ: Xét A = {1,
1
2
,
1
3
,
1
4
, . . .}. Với mỗi x =
1
n
∈ A chọn 0 < δ <

1
n(n + 1)
và ta chọn N = (x − δ, x + δ). Dễ thấy N ∩ A = {x}. Suy ra x =
1
n
là điểm
cô lập của A. Vậy mọi phần tử của A đều là điểm cô lập. Có thể chứng minh
được rằng B = (0, 1) không có điểm cô lập nào.
d. Tập đóng. Tập A là tập đóng nếu A chứa tất cả các điểm giới hạn của nó.
Ví dụ: Tất cả các khoảng đóng [a, b ](a, b ∈ R) đều là tập đóng.
e. Điểm trong. x được gọi là điểm trong của A nếu A chứa một lân cận nào đó của
x.
Ví dụ: Tập các điểm trong của [0, 1] là (0, 1). Tập A = {1,
1
2
,
1
3
,
1
4
, . . .} không
có điểm trong nào.
f. Tập mở. Tập A là tập mở nếu mọi điểm của A đều là điểm trong của A.
Ví dụ: Tất cả các khoảng mở (a, b)(a, b ∈ R) đều là tập mở.
g. Phần trong, bao đóng, biên của tập hợp. Phần trong, bao đóng và biên của tập
A tương ứng là các tập được định nghĩa như sau
A
o
= {x ∈ A | x là điểm trong của A},

A = {x | x là điểm giới hạn của A}∪ A,
∂A =
A \ A
o
.
Người ta chứng minh được rằng A
o
là tập mở lớn nhất nằm trong A tức là mỗi
tập mở nằm trong A đều là tập con của A
o
,
A là tập đóng nhỏ nhất chứa A tức
là A là tập con của bất kỳ tập đóng nào chứa A.
Ví dụ: A = {1,
1
2
,
1
3
,
1
4
, . . .}, A
o
= ∅, A = {0, 1,
1
2
,
1
3

,
1
4
, . . .}, ∂A = A.
B = (0, 1], B
o
= (0, 1), B = [0, 1], ∂B = {0, 1}.
h. Tập compact. Tập A là tập compact nếu A đóng và bị chặn.
Ví dụ: [0, 1] là tập compact. [1, +∞) không là tập compact.
1.2. Dãy số thực 9
i. Tập trù mật. Tập A được gọi là trù mật trong tập B ⊆ R nếu B ⊆ A.
Ví dụ: (0, 1) trù mật trong [0, 1].
Tập số hữu tỷ Q trù mật trong R, trong trường hợp này R =
Q. Để chỉ ra điều
này ta sử dụng tính chất sau của số hữu tỷ
Định lý 1.1.9
Giữa hai số thực a < b bất kỳ luôn có ít nhất một số hữu tỷ r sao cho a < r < b .
Ta có Q ⊆ R, bây giờ ta chứng minh R ⊆ Q. Gọi x ∈ R tùy ý, ta sẽ chứng
minh x là điểm giới hạn của Q. Thật vậy giả sử N là một lân cận nào đó của
x, suy ra nó chứa một δ− lân cận nào đó của x, tức là chứa tập (x − δ, x + δ).
Áp dụng định lý trên cho hai số a = x, b = x + δ, suy ra tồn tại số hữu tỷ r sao
cho x < r < x + δ. N chứa r ∈ Q, r = x, vậy x là điểm giới hạn của Q. Chú
ý rằng
Q = {x | x là điểm giới hạn của Q} ∪ Q, suy ra x ∈ Q. Suy ra R ⊆ Q.
Vậy R = Q.
Sau đây là một số tính chất tiêu biểu của các tập vừa được định nghĩa
Định lý 1.1.10
Các khẳng định sau là đúng
1. A ⊆ R mở khi và chỉ khi R \A đóng.
2. A ⊆ R đóng khi và chỉ khi R \A mở.

3. Hợp của một số tùy ý các tập mở là tập mở.
4. Giao của một số hữu hạn các tập mở là tập mở.
5. Giao của một số tùy ý các tập đóng là tập đóng.
6. Hợp của một số hữu hạn các tập đóng là tập đóng.
1.2 Dãy số thực
Định nghĩa 1.2.1 (Dãy số)
Mỗi ánh xạ từ N
∗
vào R
N
∗
→ R
n → x
n
được gọi là một dãy số thực (nói ngắn gọn là dãy số hay dãy). Ta dùng ký hiệu {x
n
}
để chỉ một dãy số.
1.2. Dãy số thực 10
Để biểu thị một dãy số ta thường liệt kê các phần tử của dãy theo thứ tự chỉ số tăng
dần
x
1
, x
2
, x
3
, . . . , x
n
, . . .

Đôi khi ta cũng coi dãy số là ánh xạ đi từ N vào R, khi đó phần tử đầu tiên của dãy
là x
0
.
1.2.1 Dãy số hội tụ
Định nghĩa 1.2.2 (Dãy số hội tụ)
1. Dãy số {x
n
} được gọi là hội tụ đến a ∈ R nếu với mọi ε > 0 ta có thể tìm được
N
ε
∈ N sao cho |x
n
− a| < ε với mọi n > N
ε
. Trong trường hợp này ta nói
rằng a là giới hạn của {x
n
} và viết x
n
→ a khi n → ∞ hay lim
n→∞
x
n
= a.
2. Dãy số không hội tụ được gọi là dãy phân kì.
Ví dụ:
1. Xét dãy số {x
n
} với x

n
=
1
n
, ta sẽ chứng minh rằng lim
n→∞
x
n
= 0. Thật vậy với
mỗi ε > 0 chọn N
ε
>
1
ε
, với n > N
ε
ta có
|x
n
− 0| = |
1
n
− 0| =
1
n
<
1
N
ε
< ε.

2. Xét dãy số {x
n
}với x
n
=

n
3
− 1
n
4
− 1
. Ta cũng chứng minh được rằng lim
n→∞
x
n
=
0. Theo định nghĩa dãy số hội tụ ta cần chỉ ra với mỗi ε > 0, tồn tại N
ε
∈ N sao
cho |x
n
− 0| =

n
3
− 1
n
4
− 1

< ε với mọi n > N
ε
. Vấn đề là chọn N
ε
bằng bao
nhiêu. Muốn vậy ta làm trội

n
3
− 1
n
4
− 1
:

n
3
− 1
n
4
− 1
<

n
3
n
4
− 1
=


n
3
n
4
n
4
n
4
− 1
<

2
n
<

2
N
ε
.
Vậy chỉ cần chọn N
ε
sao cho

2
N
ε
< ε hay N
ε
>
2

ε
2
thì với mọi n > N
ε
ta có

n
3
− 1
n
4
− 1
<

2
N
ε
< ε.
1.2. Dãy số thực 11
Một dãy số có thể hội tụ đến nhiều giá trị khác nhau trong R hay không?. Câu trả lời
sẽ có sau đây.
Định nghĩa 1.2.3 (Dãy số bị chặn)
Dãy {x
n
} được gọi là bị chặn trên (tương ứng bị chặn dưới; bị chặn) nếu tập
{x
n
|n ∈ N
∗
}bị chặn trên(tương ứng bị chặn dưới; bị chặn). Nghĩa là tồn tại M ∈ R

(tương ứng m ∈ R; M, m ∈ R ) sao cho với mọi n ∈ N
∗
ta có x
n
≤ M (tương ứng
m ≤ x
n
; m ≤ x
n
≤ M).
Định lý 1.2.4
1. Nếu dãy {x
n
} hội tụ đến a và b thì a = b (điều này chứng tỏ nếu dãy {x
n
} hội
tụ thì giới hạn của nó là duy nhất).
2. Nếu dãy {x
n
} hội tụ thì nó bị chặn.
Chứng minh:
1. Giả sử a = b, không mất tính tổng quát giả sử a < b. Chọn ε =
b − a
2
. Vì
{x
n
} hội tụ đến a và b nên tồn tại N
εa
và N

εb
sao cho với mọi n > N
εa
ta có
|x
n
− a| < ε, với mọi n > N
εb
ta có |x
n
− b| < ε. Đặt N
ε
= max{N
εa
, N
εb
},
với mọi n > N
ε
ta có
|x
n
− a| < ε ⇒ x
n
< a + ε = a +
b − a
2
=
a + b
2

(∗)
|x
n
− b| < ε ⇒ x
n
> b − ε = b −
b − a
2
=
a + b
2
(∗∗)
Từ (∗) và (∗∗) dẫn đến điều vô lý. Vậy a = b.
2. Giả sử lim
n→∞
x
n
= a. Chọn ε = 1, theo định nghĩa tồn tại N
1
∈ N sao cho với
mọi n > N
1
ta có
|x
n
− a| < 1
hay
a − 1 < x
n
< a + 1.

Mặt khác do {x
1
, x
2
, . . . , x
N
1
} bao gồm hữu hạn phần tử, nên chúng bị chặn
trên bởi một số H nào đó và bị chặn dưới bởi một số h nào đó. Đặt M =
max{a + 1, H}, m = min{a − 1, h}, ta có
m ≤ x
n
≤ M, ∀n ∈ N
∗
.
Vậy {x
n
} bị chặn.
1.2. Dãy số thực 12
✷
Sử dụng định nghĩa dãy số hội tụ ta có thể dễ dàng chứng minh được các tính chất
sau.
Định lý 1.2.5
Cho {x
n
}, {y
n
} là các dãy số hội tụ và lim
n
→∞

x
n
= a, lim
n
→∞
y
n
= b. Khi đó
1. lim
n→∞
(x
n
+ y
n
) = a + b,
2. lim
n→∞
(cx
n
) = ca với c là hằng số thực,
3. lim
n→∞
(x
n
y
n
) = ab,
4. lim
n→∞
x

n
y
n
=
a
b
nếu b = 0.
Định lý 1.2.6
Cho {x
n
}, {y
n
} là các dãy số hội tụ và lim
n→∞
x
n
= a, lim
n→∞
y
n
= b. Nếu tồn tại n
0
∈ N
sao cho x
n
≤ y
n
∀n > n
0
thì a ≤ b. Ngược lại nếu a < b thì tồn tại n

0
∈ N sao
cho x
n
< y
n
∀n > n
0
.
Hệ quả 1.2.7
Cho {x
n
} là dãy số hội tụ và lim
n→∞
x
n
= a, b là một số thực.
1. Nếu tồn tại n
0
∈ N sao cho x
n
≤ b ∀n > n
0
thì a ≤ b. Ngược lại nếu a < b
thì tồn tại n
0
∈ N sao cho x
n
< b ∀n > n
0

.
2. Nếu tồn tại n
0
∈ N sao cho b ≤ x
n
∀n > n
0
thì b ≤ a. Ngược lại nếu b < a
thì tồn tại n
0
∈ N sao cho b < x
n
∀n > n
0
.
Định lý 1.2.8 (Nguyên lý kẹp)
Cho {x
n
}, {y
n
} là các dãy số hội tụ và lim
n→∞
x
n
= lim
n→∞
y
n
= a.Nếu {z
n

} là dãy thỏa
mãn tồn tại n
0
∈ N sao cho x
n
≤ z
n
≤ y
n
∀n > n
0
thì lim
n→∞
z
n
= a.
Ví dụ: Tính lim
n→∞
sin n
2
n
. Ta có −
1
n
≤
sin n
2
n
≤
1

n
∀n > 0, mặt khác lim
n→∞
−
1
n
=
lim
n→∞
1
n
= 0 nên theo nguyên lý kẹp ta có lim
n→∞
sin n
2
n
= 0.
Dưới đây là một số giới hạn thường được sử dụng làm trung gian trong việc tính
các giới hạn khác.
• lim
n→∞
(1 +
1
n
)
n
= e.
1.2. Dãy số thực 13
• Nếu a > 0 thì lim
n→∞

1
n
a
= 0.
• Nếu a > 0 thì lim
n→∞
n
√
a = 1.
• Nếu |a| < 1 thì lim
n→∞
a
n
= 0.
• lim
n→∞
n
√
n = 1, lim
n→∞
1
n
√
n!
= 0.
Ví dụ: Ta sẽ sử dụng các giới hạn trên để chứng minh lim
n→∞
na
n
= 0(0 < a < 1).

Đặt z
n
= na
n
, ta có lim
n→∞
n
√
z
n
= lim
n→∞
n
√
na = a < 1. Do a < 1 nên tồn tại a

sao cho
a < a

< 1, vì lim
n→∞
n
√
z
n
= a < a

nên tồn tại n
0
∈ N sao cho với mọi n > n

0
ta có
n
√
z
n
< a

hay x
n
= 0 < z
n
< (a

)
n
= y
n
. Vì 0 < a

< 1 nên lim
n→∞
x
n
= lim
n→∞
y
n
= 0,
suy ra lim

n→∞
z
n
= 0.
1.2.2 Dãy con
Định nghĩa 1.2.9
Cho dãy số {x
n
}. Giả sử
n
1
< n
2
< . . . < n
k
< . . .
là bộ vô hạn các số nguyên dương tăng dần. Dãy {x
n
k
} được gọi là dãy con của dãy
{
x
n
}
.
Ví dụ: Các dãy
• x
1
, x
3

, x
5
, . . . , x
2k−1
, . . .
• x
1
, x
2
, x
3
, x
5
, x
8
. . . (n
k
= n
k−1
+ n
k−2
)
là các dãy con của dãy {x
n
}.
Định lý 1.2.10
Cho dãy số hội tụ {x
n
} có lim
n→∞

x
n
= a. Khi đó mọi dãy con của dãy {x
n
} đều hội
tụ đến a.
Chứng minh: Giả sử {x
n
k
}là một dãy con của dãy {x
n
}. Theo giả thiết lim
n→∞
x
n
= a,
do đó với mỗi ε > 0 cho trước đều tồn N
ε
sao cho với mọi n > N
ε
ta có |x
n
−a| < ε.
Mặt khác do n
1
< n
2
< . . . < n
k
< . . . là bộ vô hạn các số nguyên dương tăng dần

1.2. Dãy số thực 14
nên tồn tại K
ε
sao cho n
K
ε
> N
ε
. Vậy với mọi k > K
ε
ta có n
k
> n
K
ε
> N
ε
và do
đó |x
n
k
− a| < ε. Theo định nghĩa dãy số hội tụ ta có dãy {x
n
k
} hội tụ đến a. ✷
Định lý sau đây là một tính chất lý thú về dãy con của một dãy bị chặn.
Định lý 1.2.11 (Bolzano-Weierstrass)
Dãy số bị chặn thì chứa dãy con hội tụ.
Chứng minh: Giả sử {x
n

} là một dãy số bị chặn. Khi đó tồn tại các số a, b sao cho
x
n
∈ [a, b] ∀n. Ta chia [a, b] thành hai đoạn [a,
a + b
2
] và [
a + b
2
, b]. Một trong hai
đoạn này sẽ chứa vô số các phần tử của {x
n
}. Ký hiệu đoạn đó là [a
1
, b
1
] và chú ý
rằng b
1
− a
1
=
b − a
2
. Lại chia [a
1
, b
1
] thành hai đoạn [a
1

,
a
1
+ b
1
2
] và [
a
1
+ b
1
2
, b
1
].
Một trong hai đoạn này sẽ chứa vô số các phần tử của {x
n
}. Ký hiệu đoạn đó là
[a
2
, b
2
] và ta có b
2
−a
2
=
b
1
− a

1
2
=
b − a
2
2
. Cứ làm như vậy ta sẽ được dãy các đoạn
lồng nhau
[a, b] ⊃ [a
1
, b
1
] ⊃ [a
2
, b
2
] ⊃ . . . ⊃ [a
k
, b
k
] ⊃ . . . ,
Theo nguyên lý Cantor về dãy đoạn lồng nhau, tồn tại p ∈ [a
k
, b
k
] ∀k. Vì mỗi đoạn
[a
k
, b
k

] đều chứa vô số các phần tử của dãy {x
n
} do đó ta có thể chọn trong mỗi đoạn
[a
k
, b
k
] một phần tử x
n
k
của dãy {x
n
}sao cho các phần tử x
n
k
/∈ {x
n
1
, x
n
2
, . . . x
n
k−1
}.
Ta sẽ chứng minh rằng lim
k→∞
x
n
k

= p. Thật vậy vì cả x
n
k
và p đều thuộc [a
k
, b
k
] nên
ta có
0 ≤ |x
n
k
− p| ≤ b
k
− a
k
.
Suy ra
lim
k→∞
|x
n
k
− p| = lim
k→∞
(b
k
− a
k
) = 0

hay lim
k→∞
x
n
k
= p. Vì {x
n
k
} là một dãy con của {x
n
} nên {x
n
} có dãy con hội tụ. ✷
Ví dụ: Xét dãy {x
n
} với x
n
= 2
(−1)
n
n
n + 1
. Dãy đã cho bị chặn bởi 0 và 2, nó có
dãy con {x
n
k
} với n
k
= 2k hội tụ và
lim

k→∞
x
n
k
= lim
k→∞
4k
2k + 1
= 2.
1.2.3 Dãy Cauchy
Định nghĩa 1.2.12 (Dãy Cauchy)
Dãy {x
n
} được gọi là dãy Cauchy (hay dãy cơ bản) nếu với mỗi ε > 0 đều tìm được
N
ε
∈ N sao cho |x
m
− x
n
| < ε với mọi n > N
ε
và mọi m > N
ε
.
1.2. Dãy số thực 15
Ví dụ:
1. Dãy x
n
= 1 +

1
2
2
+ . . . +
1
n
2
là dãy Cauchy. Thật vậy ta có
|x
m
− x
n
| = |
1
(n + 1)
2
+
1
(n + 2)
2
+ . . . +
1
m
2
|
≤ |
1
n(n + 1)
+
1

(n + 1)(n + 2)
+ . . . +
1
(m − 1)m
|
= |
1
n
−
1
n + 1
+
1
n + 1
−
1
n + 2
+ . . . +
1
m − 1
−
1
m
|
= |
1
n
−
1
m

| <
1
n
.
Ở trên ta giả sử m ≥ n. Với mỗi ε > 0 ta chọn N
ε
∈ N sao cho
1
N
ε
< ε, khi đó
với m ≥ n > N
ε
ta có
|x
m
− x
n
| <
1
n
<
1
N
ε
< ε.
2. Dãy x
n
= (−1)
n

không là dãy Cauchy. Thật vậy với ε = 1 thì với mọi N
1
∈ N
đều tìm được m chẵn, n lẻ, m > N
1
, n > N
1
sao cho
|x
m
− x
n
| = |1 − (−1)| = 2 > ε.
Định lý 1.2.13 (Tiêu chuẩn hội tụ Cauchy)
Điều kiện cần và đủ để dãy {x
n
} hội tụ là {x
n
} là dãy Cauchy.
Chứng minh: Việc chứng minh điều kiện cần coi như bài tập dành cho độc giả. Bây
giờ ta chứng minh điều kiện đủ. Giả sử {x
n
} là dãy Cauchy.
Trước tiên ta chứng tỏ {x
n
} bị chặn. Vì {x
n
} là dãy Cauchy nên tồn tại N ∈ N
sao cho |x
m

− x
n
| < 1 ∀m, n > N. Chọn n = N + 1, với mọi m > N ta có
|x
m
− x
N+1
| < 1
hay
x
N+1
− 1 < x
m
< x
N+1
+ 1.
Từ đây suy ra tập {x
N+1
, x
N+2
, . . .}bị chặn. Mặt khác tập {x
1
, x
2
, . . . , x
N
}bao gồm
hữu hạn phần tử nên nó cũng bị chặn. Vậy {x
n
} bị chặn.

Đặt a
m
= inf{x
n
|n ≥ m }, b
m
= sup{x
n
|n ≥ m }. a
m
, b
m
hữu hạn do {x
n
} bị
chặn. Dễ thấy a
m
≤ a
m+1
, b
m+1
≤ b
m
, do đó [a
m
, b
m
] m = 1, 2, . . . là dãy các
1.2. Dãy số thực 16
đoạn lồng nhau. Theo nguyên lý Cantor, tồn tại

p ∈

m∈N
∗
[a
m
, b
m
].
Mặt khác do {x
n
} là dãy Cauchy nên với mỗi ε > 0 tồn tại N
ε
∈ N sao cho với mỗi
m, n > N
ε
ta có |x
m
− x
n
| < ε. Cố định m = N
ε
+ 1, với mỗi n > N
ε
ta có
|x
n
− x
N
ε

+1
| < ε
hay
x
N
ε
+1
− ε < x
n
< x
N
ε
+1
+ ε. (∗)
Lấy inf cả hai vế bất đẳng thức thứ nhất của (∗) và lấy sup cả hai vế bất đẳng thức
thứ hai của (∗) theo n > N
ε
ta được
x
N
ε
+1
− ε ≤ a
N
ε
+1
≤ b
N
ε
+1

≤ x
N
ε
+1
+ ε. (∗)
Vì p ∈ [a
N
ε
+1
, b
N
ε
+1
] nên từ (∗), (∗∗) ta suy ra
|p − x
n
| < 2ε ∀n > N
ε
.
Từ đây suy ra dãy {x
n
} hội tụ và lim
n→∞
x
n
= p. ✷
Điều kiện đủ của định lý trên cho ta một tiêu chuẩn kiểm tra tính hội tụ của một dãy
ngay cả khi không biết giới hạn mà nó hội tụ đến. Ví dụ dãy x
n
= 1 +

1
2
2
+ . . . +
1
n
2
là dãy Cauchy, ta suy ra ngay nó hội tụ mặc dù ta không biết nó hội tụ đến giá trị nào.
Cũng theo điều kiện đủ của định lý trên một dãy Cauchy thực luôn luôn hội tụ, vì lý
do này người ta nói rằng tập số thực có tính chất đầy đủ. Trong khi đó tập các số hữu
tỷ Q là không đầy đủ vì một dãy Cauchy trong Q chưa chắc đã hội tụ đến một giá trị
thuộc Q (hãy cho ví dụ cụ thể!).
1.2.4 Dãy đơn điệu
Định nghĩa 1.2.14
Dãy {x
n
} được gọi là đơn điệu tăng (hay tăng) nếu x
n
≤ x
n+1
∀n, là đơn điệu
giảm (hay giảm) nếu x
n
≥ x
n+1
∀n, là đơn điệu nếu nó là đơn điệu tăng hoặc đơn
điệu giảm.
Các khẳng định sau đây cho ta tiêu chuẩn kiểm tra tính hội tụ của một dãy đơn điệu.
Định lý 1.2.15
1. Dãy {x

n
} đơn điệu tăng và bị chặn trên thì nó hội tụ và
lim
n→∞
x
n
= sup{x
n
| n ≥ 1}.
1.2. Dãy số thực 17
2. Dãy {x
n
} đơn điệu giảm và bị chặn dưới thì nó hội tụ và
lim
n→∞
x
n
= inf{x
n
| n ≥ 1}.
Chứng minh:
1. Vì {x
n
}là dãy bị chặn trên do đó nó có cận trên đúng. Đặt a = sup{x
n
| n ≥ 1}.
Với mỗi ε > 0 cho trước, vì a − ε < a, nên a − ε không là cận trên, do đó tồn
tại chỉ số n
0
sao cho a − ε < x

n
0
≤ a. Vì {x
n
} là dãy đơn điệu tăng nên với
mọi n ≥ n
0
ta đều có a − ε < x
n
≤ a. Theo định nghĩa dãy số hội tụ ta có
lim
n→∞
x
n
= a = sup{x
n
| n ≥ 1}.
2. Nếu dãy {x
n
} đơn điệu giảm và bị chặn dưới thì dãy {−x
n
} đơn điệu tăng và
bị chặn trên. Theo chứng minh trên ta có lim
n→∞
(−x
n
) = sup{−x
n
| n ≥ 1} =
−inf{x

n
| n ≥ 1}. Hay ta có lim
n→∞
x
n
= inf{x
n
| n ≥ 1}.
✷
Ví dụ:
1. Xét dãy
x
n
= 1 +
1
1!
+
1
2!
+ . . . +
1
n!
.
Dễ thấy {x
n
} là dãy đơn điệu tăng, hơn nữa
x
n
< 1 + 1 +
1

2
+ . . . +
1
2
n−1
= 1 + 2(1 −2
(−n)
) < 3.
Vậy dãy {x
n
} bị chặn, suy ra {x
n
} hội tụ. Ký hiệu
e = lim
n→∞
x
n
.
Số e được sử dụng rộng rãi trong khoa học, kỹ thuật. Người ta chứng minh
được rằng e là số vô tỷ, e xấp xỉ bằng 2, 71828 và e có thể tính bằng một công
thức giới hạn khác
e = lim
n→∞
(1 +
1
n
)
n
.
2. Xét dãy {x

n
}cho bởi công thức truy hồi sau x
0
= 2, x
n+1
=
1
2
(x
n
+
1
x
n
) (n ≥
0). Bằng quy nạp ta có thể chứng minh x
n
> 0 ∀n ≥ 0. Theo bất đẳng thức
Cauchy ta có x
n
=
1
2
(x
n−1
+
1
x
n−1
) ≥ 1 ∀n ≥ 1. Ta có x

n+1
−x
n
=
1 − x
2
n
2x
n
≤
1.2. Dãy số thực 18
0 ∀n ≥ 0. Vậy {x
n
} là dãy giảm, bị chặn dưới bởi 1, suy ra nó hội tụ. Giả sử
a là giới hạn của {x
n
}, ta có a ≥ 1. Để tìm a ta dựa vào nhận xét sau
lim
n→∞
x
n+1
= lim
n→∞
1
2
(x
n
+
1
x

n
) =
1
2
( lim
n→∞
x
n
+
1
lim
n→∞
x
n
),
hay
a =
1
2
(a +
1
a
).
Giải ra ta được a = ±1, loại trường hợp a = −1 (do a ≥ 1). Vậy a = 1 và
lim
n→∞
x
n
= 1.
1.2.5 Mở rộng khái niệm giới hạn

Định nghĩa 1.2.16 (Giới hạn vô cùng)
Cho {x
n
} là dãy số thực. Ta nói rằng
1. dãy này có giới hạn là +∞ nếu với mọi số thực x đều tìm được N
x
∈ N sao cho
x
n
> x ∀n > N
x
.
Khi đó ta viết x
n
→ +∞.
2. dãy này có giới hạn là −∞nếu với mọi số thực x đều tìm được N
x
∈ N sao cho
x
n
< x ∀n > N
x
.
Khi đó ta viết x
n
→ −∞.
Định nghĩa 1.2.17 (Giới hạn riêng)
Giới hạn hữu hạn hay vô cùng (+∞, −∞) nếu tồn tại của một dãy con của một dãy
{x
n

} được gọi là giới hạn riêng của {x
n
}.
Định nghĩa 1.2.18 (Giới hạn trên, giới hạn dưới)
Cho {x
n
} là dãy số thực. Ký hiệu A là tập tất cả các giới hạn riêng của {x
n
}, A có
thể chứa cả +∞, −∞. Đặt
x
∗
= sup A, x
∗
= inf A.
(Chú ý A ⊆
R, nếu A không chứa +∞ta hiểu sup A một cách bình thường, còn nếu
A chứa +∞ thì ta hiểu rằng sup A = +∞. Tương tự nếu A không chứa −∞ ta hiểu
inf A một cách bình thường, còn nếu A chứa −∞ thì ta hiểu rằng inf A = −∞)
x
∗
, x
∗
được gọi là giới hạn trên và giới hạn dưới của {x
n
} và ký hiệu
lim
n→∞
x
n

= x
∗
, lim
n→∞
x
n
= x
∗
.
1.3. Giới hạn và sự liên tục của hàm số 19
Ví dụ:
1. Xét dãy x
n
= n
2
. x
n
→ +∞. Thật vậy giả sử x là số thực tùy ý. Nếu x < 0
chọn N
x
= 0, nếu x ≥ 0 chọn N
x
>
√
x. Với mỗi n > N
x
ta có
x
n
= n

2
> N
2
x
> x.
2. Xét dãy x
n
= 2
(−1)
n
. Ta thấy phần tử của dãy này nhận một trong hai giá trị 2
(khi n chẵn) và
1
2
(khi n lẻ).Dãy con {x
n
k
} với n
k
= 2k hội tụ và
lim
k→∞
x
n
k
= lim
k→∞
x
2k
= 2.

Vậy 2 là một giới hạn riêng dãy x
n
= 2
(−1)
n
. Có thể chứng minh được rằng dãy
này chỉ có hai giới hạn riêng là 2 và
1
2
. Vậy
lim
n→∞
x
n
= 2, lim
n→∞
=
1
2
.
1.3 Giới hạn và sự liên tục của hàm số
Phần này trình bày giới hạn và sự liên tục của hàm số một biến số thực thông qua
ngôn ngữ δ, ε. δ, ε là các chữ cái Hy lạp, δ là viết tắt của từ difference nghĩa là hiệu
số, ε là viết tắt của từ error nghĩa là sai số.
1.3.1 Hàm số
Định nghĩa 1.3.1
Cho X ⊆ R, Y ⊆ R. Mỗi ánh xạ f : X → Y được gọi là một hàm số một biến
số thực (nói vắn tắt là hàm số hay hàm). X được gọi là miền xác định của hàm f.
f(X) = {f(x) | x ∈ X}được gọi là miền giá trị của hàm f, ký hiệu là Im f. x ∈ X
được gọi là biến số độc lập, f(x) ∈ Im f được gọi là biến phụ thuộc. Để chứng tỏ

hàm f cho tương ứng phần tử x ∈ X tương ứng với phần tử f(x) ∈ Im f ta viết
x → f(x).
Ví dụ: Các ánh xạ sau là các hàm
f
1
: R
+
→ R, x → f
1
(x) =
√
x.
f
2
: X ⊆ R → X, x → f
2
(x) = x.
1.3. Giới hạn và sự liên tục của hàm số 20
f
3
: X ⊆ R → Y ⊆ R, x → f
3
(x) = c, c ∈ Xlà hằng số.
Hàm f
2
được gọi là hàm đồng nhất, ký hiệu là f
2
= id (id là chữ viết tắt của từ
identical có nghĩa là đồng nhất). Hàm f
3

được gọi là hàm hằng.
Định nghĩa 1.3.2 (Hàm lượng giác ngược)
1. Xét hàm số
f : [−
π
2
,
π
2
] → [−1, 1]
x → f(x) = sin x
Có thể chứng minh được f là một song ánh, do đó nó tồn tại ánh xạ ngược. Ánh
xạ ngược của f được ký hiệu là arcsin, vậy
arcsin : [−1, 1] → [−
π
2
,
π
2
]
x → y = arcsin x (sin y = x)
2. Tương tự ta có các hàm arccos, arctg, arccotg tương ứng là các hàm ngược của
các hàm cos, tg, cotg và được xác định như sau
arccos : [−1, 1] → [0, π]
x → y = arccos x (cos y = x)
arctg : R → (−
π
2
,
π

2
)
x → y = arctgx (tgy = x)
arccotg : R → (0, π)
x → y = arccotgx (cotgy = x)
Định nghĩa 1.3.3 (Hàm sơ cấp)
1. Các hàm số sau được gọi là các hàm sơ cấp cơ bản:
• hàm lũy thừa f(x) = x
α
(α ∈ R),
• hàm mũ f(x) = a
x
(a > 0),
• hàm logarit f(x) = log
a
x(a > 0, a = 1),
• hàm lượng giác sin x, cos x, tgx, cotgx,
• hàm lượng giác ngược arcsin x, arccos x, arctgx, arccotgx
2. Hàm số sơ cấp là những hàm được tạo thành bởi hữu hạn các phép biến đổi:
cộng, trừ, nhân, chia và phép lấy hàm hợp đối với các hàm sơ cấp cơ bản.
1.3. Giới hạn và sự liên tục của hàm số 21
Định nghĩa 1.3.4 (Hàm bị chặn)
Cho f là hàm số có tập xác định là X
f được gọi là bị chặn trên (bị chặn dưới) trên X nếu như tồn tại một số M (m)
sao cho f(x) ≤ M ∀x ∈ X (f(x) ≥ m ∀x ∈ X).
1.2. f được gọi là bị chặn hay giới nội trên miền X nếu như nó vừa bị chặn trên vừa
bị chặn dưới trên X.
Định nghĩa 1.3.5 (Hàm đơn điệu)
1. Hàm số f(x) được gọi là tăng (hay đơn điệu tăng) trong khoảng (a, b) nếu như
với x

1
, x
2
∈ (a, b) mà x
1
≤ x
2
thì f(x
1
) ≤ f(x
2
).
2. Hàm số f(x) được gọi là giảm (hay đơn điệu giảm) trong khoảng (a, b) nếu như
với x
1
, x
2
∈ (a, b) mà x
1
≤ x
2
thì f(x
1
) ≥ f(x
2
).
3. Hàm số tăng hoặc giảm trên một khoảng được gọi là hàm số đơn điệu trên
khoảng đó.
Định nghĩa 1.3.6 (Hàm đơn điệu thực sự)
1. Hàm số f(x) được gọi là tăng thực sự (hay đơn điệu tăng thực sự) trong khoảng

(a, b) nếu như với x
1
, x
2
∈ (a, b) mà x
1
< x
2
thì f(x
1
) < f(x
2
).
2. Hàm số f(x) được gọi là giảm thực sự (hay đơn điệu giảm thực sự) trong
khoảng (a, b) nếu như với x
1
, x
2
∈ (a, b) mà x
1
< x
2
thì f(x
1
) > f(x
2
).
3. Hàm số tăng thực sự hoặc giảm thực sự trên một khoảng được gọi là hàm số
đơn điệu thực sự trên khoảng đó.
1.3.2 Định nghĩa giới hạn hàm số

Định nghĩa 1.3.7
Giả sử f là hàm số xác định trên (a, b), x
0
∈ (a, b). f được gọi có giới hạn là l ∈ R
tại x
0
(hay khi x tiến đến x
0
) nếu với mọi ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho với mỗi
x ∈ (a, b) thỏa mãn 0 < |x −x
0
| < δ ta có
|f(x) −l| < ε.
Trong trường hợp này ta viết f(x) → l khi x → x
0
hoặc lim
x→x
0
f(x) = l.
Ví dụ: Xét hàm số f(x) = x
2
(x ∈ R ), x
0
= 2. Bằng định nghĩa ta có thể kiểm tra
được
lim
x→2
x
2
= 4.

1.3. Giới hạn và sự liên tục của hàm số 22
Thật vậy với mỗi ε > 0, chọn 0 < δ < min{
ε
5
, 1}. Giả sử x thỏa mãn 0 < |x−2| < δ,
mà δ < 1 suy ra |x − 2| < 1 hay 1 < x < 3. Cuối cùng ta có
|x
2
− 4| = |x − 2||x + 2| < δ(3 + 2) <
ε
5
5 = ε.
1.3.3 Các tính chất của giới hạn hàm số
Định lý 1.3.8
Cho f là hàm số xác định trên (a, b), x
0
∈ (a, b). Khi đó
lim
x→x
0
f(x) = l
khi và chỉ khi
lim
n→∞
f(x
n
) = l
với mọi dãy {x
n
} thỏa mãn

x
n
∈ (a, b), x
n
= x
0
∀n và lim
x→∞
x
n
= x
0
.
Nhận xét 1.3.9
1. Từ định lý trên và tính duy nhất của giới hạn của một dãy hội tụ ta suy ra giới
hạn của một hàm f tại x
0
nếu tồn tại là duy nhất.
2. Các tính chất sau đây của giới hạn hàm số dễ dàng được suy ra từ các tính chất
tương ứng của giới hạn dãy số.
Định lý 1.3.10
Cho f, g là các hàm số xác định trên (a, b), x
0
∈ (a, b). Giả sử f, g có giới hạn tương
ứng là l, h tại x
0
. Khi đó
1. lim
x→x
0

(f(x) + g(x)) = l + h,
2. lim
x→x
0
cf(x) = cl với c là hằng số thực,
3. lim
x→x
0
f(x)g(x) = lh,
4. lim
x→x
0
f(x)
g(x)
=
l
h
nếu h = 0,
5. nếu f(x) ≤ g(x) ∀x ∈ (a, b) \ {x
0
} thì l ≤ h,