kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức cauchy

KĨ THUẬT SỬ DỤNG CAUCHY
I Bất đẳng thức Cauchy
, , 0x y z 
ta có :
2
x y
xy


. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
x y
3
3
x y z
xyz
 

.Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
x y z 
+ Chú ý:trong thực tế ta thường dùng dưới dạng
2x y xy 
;
3
3x y z xyz  
II Các kĩ thuật sử dụng
1.Kĩ thuật đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân
Sử dụng dạng :
2
x y
xy



hoặc
2x y xy 
3
x y z
xyz
 

hoặc
3
3x y z xyz  
Ví dụ 1: Cho
, ,a b c
là độ dài 3 cạnh của tam giác. Chứng minh rằng
     
8a b b c c a abc   
Giải
Ta có
2a b ab 
. Đẳng thức xảy ra khi
a b
2b c bc 
. Đẳng thức xảy ra khi
b c
2c a ca 
.Đẳng thức xảy ra khi
c a
Suy ra:
     
8 . . 8a b b c c a ab bc ca abc    

Đẳng thức xảy ra khi
a b c 
hay tan giác đó đều.
Ví dụ 2: Cho
0x 
. Tìm GTNN của hàm số
1
y x
x
 
Giải
Ta có
0x 
thì
1 1
2 . 2x x
x x
  
. Đẳng thức xảy ra khi
2
1
1x x
x
  
1x 
vì
 
0x 
Vậy
0

Min 2
x
y


khi
1x 
Ví dụ 3: Tìm GTNN của hàm số
1 2
3 3
x x
y
 
 
Giải
x
thì
1 2
3 ,3
x x 
đều dương nên theo bất đẳng thức Cauchy ta có
1 2 1 2 3
3 3 2 3 .3 2 3 6 3
x x x x
y
   
    
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
1 2
1

3 3 1 2
2
x x
x x x
 
      
Vậy
Min 6 3y 
khi
1
2
x 
.
Ví dụ 4: Tìm GTNN của hàm số
2
1
2y x
x
 
với
0x 
Giải
Ta có
3
2 2
1 1
3 . . 3y x x x x
x x
    
. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

3
2
1
1 1x x x
x
    
Vậy
0
Min 3
x
y


khi
1x 
Ví dụ 5: Cho
o b a 
. Chứng minh rằng
 
1
3a
a b b
 

Giải
Ta có
 
 
 
 

 
3
1 1 1
3 . 3a a b b a b b
a b b a b b a b b
       
  
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
 
1
a b b
a b b
   

 
3
2
2
2
1
1
1
a b
a b
a
b
b
b
a b b








 
  








Đọc xong Ví dụ 4, Ví dụ 5 bạn có suy nghĩ gì và có rút ra một kinh nghiệm nào không?
+ Lưu ý : kĩ thuật này áp dung trong các trường hợp:
1. Chứng minh BĐT dạng

.
2. Trong bài toán tìm GTNN.
3. Tách thành các số hạng sao cho sau khi sử dung BĐT thì các biểu thức khử nhau chỉ còn lại hằng số
BÀI TẬP
1.
, , 0x y z 
. Chứng minh rằng
1 1 4
x y x y
 


1 1 1 9
x y z x y z
  
 
2. Chứng minh rằng
2
2
2
2
1
a
a



. Đẳng thức xảy ra khi nào?
3. Cho
, , 0a b c 
và
1.a b c  
Chứng minh rằng
1 1 1
1 1 1 8
a b c
     
   
   
     
.

4. Cho
, , 0a b c 
và
a b c abc  
. Chứng minh rằng
3 3a b c  
.
5. cho
,x y
thỏa mãn
4
3 2 log 3y x  
. Tìm GTNN của
1 2 1
4 3.4
x y y
T
  
 
.
6. Tìm GTNN của hàm số
2 2
sin os
4 4
x c x
y  
.
7. Cho
, 0a b 
và

1a b 
. Chứng minh rằng
1 1
1 1 9
a b
   
  
  
   
.
8. Chứng minh rằng
     
 
3
3
1 1 1 1a b c abc    

, , 0a b c 
. Đẳng thức xảy ra khi nào?.
9. Cho
, , 0a b c 
. Chứng minh rằng
           
2 2 2 8a b c a b c a b c a b b c c a         
.
10. Cho
, , 0a b c 
và
1a b c  
.Chứng minh rằng

           
1 1 1 8 1 1 1a b c a b c      
.
11. Chứng minh rằng
   
 
2
1 1 1a b ab   

, 0a b 
12. Cho
, , 0x y z 
thỏa mãn
1xyz 
và n là số nguyên dương . Chứng minh
1 1 1
3
2 2 2
n n n
x y z  
     
  
     
     
2. Kĩ thuật đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng
Sử dụng dạng
2
x y
xy



;
3
3
x y z
xyz
 

Ví dụ 1:Cho
, , 0x y z 
.Chứng minh rằng
xy yz zx x y z    
Giải
Ta có
2 2 2
x y y z z x
xy yz zx x y z
  
       
Đẳng thức xảy ra khi
x y z 
Ví dụ 2. Cho
, , 0a b c 
. Chứng mnh rằng
     
3
3
1 1 1 1abc a b c    

 

*
Giải
Ta có
 
           
3
3 3
1
* 1
1 1 1 1 1 1
abc
a b c a b c
  
     
     
3
3
1 1 1 1 1 1 1 1
. .
1 1 1 3 1 1 1
1 1 1
a b c a b c
a b c
 
   
 
     
 
  
Đẳng thức xảy ra khi

1 1 1
1 1 1
a b c
a b c
    
  
     
3
3
3
1
. .
1 1 1 3 1 1 1
1 1 1
abc a b c a b c
a b c a b c
a b c
 
   
 
     
 
  
Đẳng thức xảy ra khi
a b c 
Do đó
           
3
3 3
1 1 1 1 1

1
3 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
abc a b c
a b c a b c
a b c a b c
 
       
 
     
 
     
Đẳng thức xảy ra khi
a b c 
Vậy
     
3
3
1 1 1 1abc a b c    
Ví dụ 3: Tìm GTLN của hàm số
2 3
3 2y x x 
với
3
0
2
x 
Giải
Ta có
 

2
2 3
3 2
3 2 . . 3 2 1
3
x x x
y x x x x x
  
 
     
 
 
( Chú ý : ta có
3
3
3 3
x y z x y z
xyz xyz
   
 
  
 
 
)
Đẳng thức xảy ra khi
3 2 1x x x x    
Vậy
3
0;
2

1
Maxy
 
 
 

khi
1x 
Ví dụ 4: Tìm GTLN của hàm số
2 3
2y x x 
với
0 2x 
Giải
Ta có
   
3
2
1 1 4 2 32
2 . . 4 2 3
2 2 3
x x x
y x x x x x
  
 
     
 
 
Đẳng thức xảy ra khi
4

4 2
3
x x x x    
Vậy
 
0;2
32
Max
3
y 
khi
4
3
x 
( Tại sao ta lại phân tích
   
2
1
2 . . 4 2
2
x x x x x  
?)
Tóm lược: Thường sử dụng kĩ thuật này trong
Chứng minh bất đẳng thức dạng

Tìm GTLN
BÀI TẬP
1. Chứng minh rằng
   
c a c c b c ab   

0, 0.a c b c    
2. Cho
, , 0a b c 
và
1a b c  
. Chứng minh rằng
16abc a b 
.
3.Cho
, ,a b c o
và
1a b c  
. Chứng minh rằng:
     
8
729
abc a b b c c a   
.
4. Cho a, b, c là 3 số thực dương chứng minh rằng :
i)
           
3
2
bc ca ab
a b a c b c b a c a c b
  
     
ii)
           

3
2
a b c
a b a c b c b a c a c b
  
     
3. Kỹ thuật ghép đối xứng:
Để ý :
       
2 x y z x y y z z x       
2 2 2
x y y z z x
x y z
  
    
     
2 2 2
x y z xy yz zx
, , 0xyz xy yz zx x y z  
Ví dụ 1: Trong
ABC
chứng minh rằng
     
1
8
p a p b p c abc   
Giải
Trong tam giác thì
, , 0p a p b p c   
nên ta có :

   
2 2
p a p b c
p a p b
  
   
. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
p a p b a b    
   
2
a
p b p c  
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
b c
   
2
b
p c p a  
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
c a
Suy ra
     
1
8
p a p b p c abc   
. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
a b c 
hay tam giác ABC đều.
Ví dụ 2: Chứng minh rằng
   

2 2 2
9 , , 0 *a b c a b c
a b b c c a
 
      
 
  
 
Giải
Ta có
   
1 1 1
* 2 9a b c
a b b c c a
 
     
 
  
 
     
1 1 1
9a b b c c a
a b b c c a
 
         
 
 
  
 
Phần chứng minh còn lại dành cho bạn .

Ví dụ 3: Chứng minh rằng
, , 0
bc ca ab
a b c a b c
a b c
      
Giải
Ta có
2
bc ca
c
a b
 
. Đẳng thức xảy ra khi
a b
2
ca ab
a
b c
 
. Đẳng thức xảy ra khi
b c
2
ab bc
b
c a
 
. Đẳng thức xảy ra khi
c a
Suy ra

 
2 2
bc ca ab
a b c
a b c
 
    
 
 
bc ca ab
a b c
a b c
     
. Đẳng thức xảy ra khi
a b c 
BÀI TẬP
1. Chứng minh rằng
1 1 1
, , 0
a b c
a b c
bc ca ab a b c
      
2. Chứng minh rằng
2 2 2
2 2 2
, , 0
a b c a c b
a b c
b c a c b a

      
3. Chứng minh rằng
2 2 2
1 1 1
, , 0
a b c
a b c
a b c abc
 
    
4. Kỹ thuật đổi biến:
Ví dụ mở đầu : Chứng minh rằng
6 , , 0
a b b c c a
a b c
c a b
  
    
Giải
Ta có
2 2 2 6
a b b c c a a b b c c a a c c b b a
c a b c c a a b b c a b c a b
  
     
                 
     
     
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
a b c 

Nhận xét: trong Ví dụ trên ta sử dụng tính chất
a b a b
c c c

 
bây giờ ngược lại nếu trong bất đẳng thức
cần chứng minh có dạng
c
a b
thì liệu chúng ta có còn sử dụng được tính chất nêu trên nữa không?
Ví dụ 1: Chứng minh rằng
3
, , 0
2
a b c
a b c
b c c a a b
    
  
Giải
Để vận dụng được tính chất nêu trên thì ta phải gói gọn mẫu thành 1 biểu thức (1 chữ cái) còn tử là tổng
hoặc hiệu của những biểu thức tính theo mẫu . Để làm việc này ta chỉ cần đặt như sau
Đặt
b c x
c a y
a b z
 


 



 

và bây giờ ta tính
, ,a b c
theo
, ,x y z
. Dễ thấy
 
2x y z a b c    
.
Khi đó
 
2 2 2
x y z x y z y z x
a b c x
     
     
. Tương tự ta tính được
2
z x y
b
 

,
2
x y z
c
 


. Như vậy bất đẳng thức đã cho có thể viết lại
3
1 1 1 3
2 2 2 2
y z x z x y x y z y z z x x y
x y z x x y y z z
     
            

6
y z z x x y
x x y y z z
      
. Bất đẳng thức này vừa được chứng minh xong !
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng
2 2 2
a b c
a b c
b c a c a b a b c
    
     
Giải
Đặt
2
, 0
, 0
2
, 0
2

y z
a
b c a x x
z x
c a b y y z y z a b c b
a b c z z
x y
c




   



 
           
 
 
   






. Bất đẳng thức đã cho được viết lại :
     
2 2 2

4 4 4
y z z x x y
x y z
x y z
  
    


 
2 2 2 2 2 2
2 2 2
4
y z z x x y yz zx xy
x y z
x x y y z z x y z
           
. Đến đây không khó để chứng minh
 
2 2 2
2
xy yz zx
x y z
z x y
    
và
2 2 2 2 2 2
2 2 2y z z x x y yz zx xy
x x y y z z x y z
       
. Từ đó suy ra điều

phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi
x y z a b c    
Ngoài cách phân tích như trên ta có thể chứng minh như sau:
 
 
 
     
2
2 2 2 2
2
4
4 4 4 4
4
y z
yz
x x
z x y z z x x y
zx yz zx xy
x y z
y y x y z x y z
x y
xy
z z






   


         








Ví dụ 3: Chứng minh rằng
, , 0a b c 
và
1abc 
ta có
     
2 2 2
1 1 1 3
2a b c b c a c a b
  
  
Giải
Trong Ví dụ này với cách đặt như 2 ví dụ trên có lẽ không còn phù hợp. Tuy nhiên để ý số
3
2
ta có liên
hệ gì với bất đẳng thức ở Ví dụ 1 không ? Trong Ví dụ 1 bằng cách đặt
1 1 1
, ,a b c
x y z

  
và quy đồng biến
đổi rút gọn ta được :
     
3
2
yz zx xy
x x y y z x z x y
  
  
vì bất đẳng thức này đúng với mọi
, , 0x y z 
nên ta
có thể ràng buộc thêm
1xyz 
để phát biểu thành bài toán mới
     
2 2 2
3
2
xyz yzx zxy
x x y y z x z x y
  
  
hay
     
2 2 2
1 1 1 3
2x x y y z x z x y
  

  
.
Vậy để giải quyết bài toán trong Ví dụ 3 đầu tiên ta đổi biến
1 1 1
, ,a b c
x y z
  
trong đó
, , 0x y z 
. Khi đó
     
2 2 2
2 2 2
1 1 1 3 3 3
2 2 2
x yz y zx z xy x y z
a b c b c a c a b y z z x x y y z z x x y
          
        
vì
1xyz 
. Cách
chứng minh bất đẳng thức cuối đã có ở Ví dụ 1.
BÀI TẬP
1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
3 4 5a b c
b c c a a b
 
  
với

, , 0a b c 
2. Chứng minh rằng với mọi số dương a, b, c, d ta có
4
3
a b c d
b c d c d a d a b a b c
   
       
3. Chứng minh rằng với mọi số dương a, b, c ta có
2 2 2
2
a b c a b c
b c c a a b
 
  
  
4. Cho
, , 0a b c 
thỏa mãn điều kiện
1abc 
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
     
3 3 3
1 1 1
P
a b c b c a c a b
  
  
5. Cho tam giác ABC chứng minh rằng :
3

a b c
b c a c a b a b c
  
     
6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
4 9 16a b c
P
b c a c a b a b c
  
     
trong đó a, b, c là độ dài 3 cạnh
của một tam giác.
7. Chứng minh rằng trong mọi tam giác ta đều có:
4
ab bc ca
p
p c p a p b
  
  
trong đó p là nửa chu vi.
5. Kỹ thuật cân bằng hệ số:
Ví dụ 1: Cho
, , 0a b c 
thỏa mãn
1a b c  
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1 1 1
P a b c
a b c
     

Giải
Ta có
1 1 1
2, 2, 2a b c
a b c
     
. Suy ra
6P 
. Vậy
Min 6P 
Trong cách giải trên ta đã mắc sai lầm ở chỗ đẳng thức xảy ra khi
1a b c  
và do đó
3a b c  

mâu thuẫn với giả thiết
1a b c  
.
Cách giải đúng là :
Ta có
1
9 6a
a
 
. Đẳng thức xảy ra khi
1 1
9
3
a a
a

  
1
9 6b
b
 
. Đẳng thức xảy ra khi
1 1
9
3
b b
b
  
1
9 6c
c
 
. Đẳng thức xảy ra khi
1 1
9
3
c c
c
  
Suy ra
   
1 1 1 1 1 1
9 18 18 8 10a b c a b c a b c
a b c a b c
                
. Đẳng thức

xảy ra khi
1
3
a b c  
. Vậy
Min 10P 
khi
1
3
a b c  
Đến đây ta có thắc mắc làm thế nào tìm ra số 9 và áp dụng như trên? Để trả lời câu hỏi này ta có
nhận xét: Vai trò của
, ,a b c
trong bài toán là như nhau nên dự đoán
Min P
xảy ra khi
1
3
a b c  
. Bây
giờ ta tiếp tục tìm hệ số 9 bằng cách sử dụng
1
2ma m
a
 
trong đó m là số dương sao cho đẳng thức
xảy ra khi
1
9
1

3
ma
a
m
a




 





Ví dụ 2: Cho
, , 0 , 3a b c a b c   
. Chứng minh
4 1 4 1 4 1 3 5a b c     
Giải
Phân tích ta sẽ sử dụng dạng:
2
x y
xy


. Như vậy
 
1 1 4 1
4 1 4 1 .

2
a m
a a m
m m
 
   
. Vấn
đề là m bằng bao nhiêu thì phù hợp? Dự đoán đẳng thức xảy ra khi
1a b c  
. Do đó ta sẽ tìm m sao cho
4 1a m 
và
1a 
, dễ thấy
5m 
là giá trị cần tìm. Ta giải bài toán như sau:
Ta có
 
1 1 4 1 5 2 3
4 1 4 1 5 .
2
5 5 5
a a
a a
  
    
. Đẳng thức xảy ra khi
1a 
2 3
4 1

5
b
b

 
. Đẳng thức xảy ra khi
1b 
2 3
4 1
5
c
c

 
. Đẳng thức xảy ra khi
1c 
Suy ra
2 3 2 3 2 3
4 1 4 1 4 1 3 5
5 5 5
a b c
a b c
  
        
.
Đẳng thức xảy ra khi
1a b c  
Ví dụ 3: Chứng minh rằng nếu
5xy yz zx  
thì

2 2 2
3 3 10x y z  
Giải
Phân tích:
2 2
2x y xy
  
 
. Đẳng thức xảy ra khi
x y
2 2
2x z xz
  
 
. Đẳng thức xảy ra khi
2 2
x z
 

2 2
2y z yz
  
 
. Đẳng thức xảy ra khi
2 2
y z
 

Bây giờ ta cần chọn
, ,

  
thỏa mãn
3
2 1
 

 

 






. Giải hệ này ta được
1
1; 2;
2
  
  
. Ta
trình bày lại cách giải : Ta có:
2 2
2x y xy 
. Đẳng thức xảy ra khi
x y
2 2
1
2 2

2
x z xz 
. Đẳng thức xảy ra khi
2 2
1
2
2
x z
2 2
1
2 2
2
y z yz 
. Đẳng thức xảy ra khi
2 2
1
2
2
y z
Suy ra
 
2 2 2
3 3 2 10x y z xy xz yz     
. Đẳng thức xảy ra khi
1; 2x y z  
Ví dụ 4: Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn
47
12
x y z  
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

thức
2 2 2
3 4 5P x y z  
Giải
Phân tích : Để sử dụng giả thiết ta ghép
2
3 2 3x m mx 
trong đó
0m 
. Tương tự
2
4 2 4y n n y 
;
2
5 2 5z p pz 

 
, 0n p 
.
Suy ra
 
2 2 2
3 4 5 2 3 2 4 2 5x y z mx n y pz m n p       
. Đến đây ta cần tìm
, ,m n p
sao cho
3 4 5m n p 
và để ý đẳng thức xảy ra khi
2
2

2
3
4
5
47
12
m x
n y
p z
x y z










  


. Như thế ta tìm
, ,m n p
bằng cách giải hệ:
2
2
2
2

5 5
3 4 5
; ; 5
5 5
3 4
3
1; ;
5 5
4 3
4 ;
25 25
3 4
; ; 5
5
47
3 4
47
12
12
m n p
m p n p p z
m x
z y x
n y x z y z
m n p
p z
x y z
x y z

  


  






  

  
    
  
  
  


 

  
 

  


.
Khi đó
 
2 2 2
25 25 25 25 235 235

3 4 5 2 3. 2 4. 2 5.5 5 10
3 4 3 4 12 12
x y z x y z x y z
 
            
 
 
Việc trình bày lại lời giải dành cho bạn !!!
BÀI TẬP
1. Cho
, , 0 , 1x y z x y z   
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
 
1 1 1
2 3P x y z
x y z
 
     
 
 
2. Tìm giá trị lớn nhất của
2 3 5 2y x x   
3. Cho
, , 0, 1x y z xy yz zx   
. Chứng minh rằng
2 2 2
10 10 4x y z  
4. Cho
1, 1a b 
. Chứng minh rằng

1 1a b b a ab   
5. Cho
, , 0, 1a b c a b c   
. Chứng minh rằng
6a b b c c a     
6. Kỹ thuật ghép nhóm:
Trong phần này bạn phải nắm vững một số bất đẳng thức cơ bản thường gặp và phải sử dụng được kỹ
thuật cân bằng hệ số .
Ví dụ 1: Cho
, , 0a b c 
. Chứng minh rằng
2 2 2
a b c
a b c
b c a
    
Giải
Ta có
2
2
a
b a
b
 
. Đẳng thức xảy ra khi
a b
2
2
b
c b

c
 
. Đẳng thức xảy ra khi
b c
2
2
c
a c
a
 
. Đẳng thức xảy ra khi
c a
Suy ra
2 2 2 2 2 2
2 2 2
a b c a b c
a b c a b c a b c
b c a b c a
             
. Đẳng thức xảy ra khi
a b c 
Ví dụ 2: Cho
, , 0a b c 
. Chứng minh rằng
 
3 3 3
2 2 2
1
2 2 2 3
a b c

a b c
a b b c c a
    
  
Giải
Ta có
 
3
2
1 2
. 2
2 9 3
a
a a b a
a b
  

( Hãy suy nghĩ vì sao có số
1
9
? )
 
3
2
1 2
. 2
2 9 3
b
b b c b
b c

  

 
3
2
1 2
2
2 9 3
c
c c a c
c a
  

Suy ra
   
3 3 3
2 2 2 2 2 2
2 1
2 2 2
2 2 2 3 9
a b c
a b c a b c ab bc ca
a b b c c a
           
  
   
2 2 2 2 2 2
1 2
3 9
a b c a b c ab bc ca        

Đến đây không khó để chứng tỏ
2 2 2
a b c ab bc ca    
. Do đó ta có điều cần chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi
a b c 
Ví dụ 3: Cho
, , 0a b c 
. Chứng minh rằng
     
 
3 3 3
1
2
a b c
a b c
b c a c a b a b c
    
  
Giải
Ta có
 
 
3
3
3
a
mb n c a mna
b c a
   


. Đẳng thức xảy ra khi
 
 
3
a
mb n c a
b c a
  

mà ta
dự đoán trong bài toán trên đẳng thức xảy ra khi
a b c 
nên
 
 
3
1
2
1
4
m
a
ma n a a
a a a
n





   






Do đó
 
 
3
1 1 3
2 4 2
a
b c a a
b c a
   

 
 
3
1 1 3
2 4 2
b
c a b b
c a b
   

 
 

3
1 1 3
2 4 2
c
a b c c
a b c
   

Suy ra
     
       
3 3 3
3 1 1 1
2 2 2
2 2 4 2
a b c
a b c a b c a b c a b c
b c a c a b a b c
             
  
Đẳng thức xảy ra khi
a b c 
BÀI TẬP
1. Cho
, , 0a b c 
. Chứng minh rằng
5 5 5
3 3 3
a b c
a b c

bc ca ab
    
2. Cho
, , 0a b c 
. Chứng minh rằng
3 3 3
2 2 2
a b c
a b c
b c a
    
3. Cho
, , 0a b c 
. Chứng minh rằng
3 3 3
a b c
ab bc ca
b c a
    
4. Cho
, , 0a b c 
. Chứng minh rằng
5 5 5 3 3 3
3 3 3
a b c a b c
b c a b c a
    
.
5. Cho
, , 0a b c 

. Chứng minh rằng
     
 
3 3 3
2 2 2
1
4
a b c
a b c
b c c a a b
    
  
6. Cho
, , 0a b c 
.Chứng minh rằng
           
 
3 3 3
1
4
a b c
a b c
a b b c b c c a c a a b
    
     
7. Cho
, , 0a b c 
. Chứng minh rằng
3 3 3
2 2 2

a b c
a b c
c a b
    
8. Cho
, , 0a b c 
. Chứng minh rằng
2 2 2
2
a b c a b c
b c c a a b
 
  
  
BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIAKOVSKI
Dạng 1:
 
   
2
2 2 2 2
ax by a b x y   
. Đẳng thức xảy ra khi
ay bx
 
   
2
2 2 2 2 2 2
ax by cz a b c x y z      
. Đẳng thức xảy ra khi
a b c

x y z
 

Ví dụ 1: Cho
, , 0a b c 
. Chứng minh rằng
2 2 2
2
a b c
a b c
b c c a a b
 
    
 
  
 
Giải
Ta có
. . .
a b c
a c c b c c a b c
b c c a a b
       
  
Do đó
   
2 2
2
2 2 2
a b c

a b c a b c
b c c a a b
 
      
 
  
 

2 2 2
2
a b c
a b c
b c c a a b
 
     
 
  
 
. Đẳng thức xảy ra khi
a b c 
Dạng 1 này có thể rìm thấy nhiều trong các sách tham khảo .
Dạng 2:
 
2
2 2
a b
a b
x y x y

 


với
, 0x y 
còn a, b tùy ý. Đẳng thức xảy ra khi
a b
x y

Ví dụ 1: chứng minh rằng
 
2
2 2 2
a b c
a b c
x y z x y z
 
  
 
với
, , 0x y z 
Giải
Ta có
   
2 2
2 2 2 2
a b a b c
a b c c
x y z x y z x y z
  
    
  

. Đẳng thức xảy ra khi
a b c
x y z
 
Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi số dương a, b, c ta có
2 2 2
2
a b c a b c
b c c a a b
 
  
  
Giải
Ta có
 
 
2
2 2 2
2 2
a b c
a b c a b c
b c c a a b a b c
 
 
   
    
. Đẳng thức xảy ra khi
a b c 
Ví dụ 3: Chứng minh rằng
1 1 1 9

x y z x y z
  
 

, , 0x y z 
.
Giải
Ta có
 
2
2 2 2
1 1 1
1 1 1 1 1 1 9
x y z x y z x y z x y z
 
      
   
. Đẳng thức xảy ra khi
a b c 
Ví dụ 4: Chứng minh rằng
3
, , 0
2
a b c
a b c
b c c a a b
    
  
Giải
Ta có

 
 
2
2 2 2
2
a b c
a b c a b c
b c c a a b ab ca bc ab ca bc ab bc ca
 
     
       
Mặt khác
   
2
3a b c ab bc ca    
. Từ đó suy ra điều phải chứng minh
Ví dụ 5: Cho
, , 0a b c 
chứng minh rằng
1 1 1 1
2 2 3 3a b b a a b
  
 
Giải
Ta có
 
2
2 2 2
1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 2

.
2 9 9 9a b a b b a b b a b
 
 
 
     
 
 
  
 
 
 
2
2 2 2
1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 2
.
2 9 9 9b a a b b b a a b a
 
 
 
     
 
 
  
 
 
Công các bất đẳng thức lại ta được điều cần chứng minh.
BÀI TẬP
1. Cho

, , 0a b c 
. Chứng minh
2 2 2
a b c
a b c
b c a
    
2. Cho
, , 0a b c 
. Chứng minh
3 3 3
2 2 2
a b c
a b c
b c a
    
3. Cho
, , 0a b c 
. Chứng minh
3 3 3 2 2 2
2
a b c a b c
b c c a a b
 
  
  
4. Cho
, , 0a b c 
. Chứng minh
1 1 1 1 1 1

2 3 2 3 2 3 6 6 6a b c b c a c a b a b c
    
     
Trên đây là những kỹ thuật thường gặp trong những bài toán đơn giản hy vọng rằng trong thời gian ngắn
các em làm quen và áp dụng được vào các bài toán . ( Chú ý một điều là đẳng thức xảy ra khi nào ? )
Chúc các em có một kỳ thi như ý !!!
Vì thời gian rất gấp nên tài liệu chắc chắn có nhiều chỗ không chính xác vì vậy các em lưu hành nội bộ
không nên phổ biến rộng . Có gì thắc mắc các em liên hệ qua YM : pkl_py