toán cấp 3 - chuyên đề phương trình lượng giác

Giáo viên : Thầy Đỗ Kim Sơn WWW.ToanCapBa.Net 5/20/2014

 !"#$%



 Nhóm học sinh lớp 10 Toán
Phạm Trung Vinh
Nguyễn Phúc Nghiệp
WWW.ToanCapBa.Net
Trang 1
KHÓA: 2009-2012
Giáo viên : Thầy Đỗ Kim Sơn WWW.ToanCapBa.Net 5/20/2014
Kính thưa quý thầy cô và các bạn! Như chúng ta đã biết, lượng giác là một phần quan
trọng trong toán phổ thông nói chung và toán chuyên nói riêng.Và hôm nay chúng em mang đến
quyển chuyên đề này không ngoài mục đích học tập, rèn luyện thêm kiến thức và khả năng làm
toán. Không chỉ dừng lại ở các bài toán lượng giác, quyển chuyên đề còn bàn đến những ứng
dụng to lớn của lượng giác vào việc giải một số bài toán đại số.
Ở đa số các bài toán, chúng em đều có phần nhận xét cá nhân, những suy nghĩ và hướng
đi mới. Do vậy mỗi phần, mỗi chương sẽ thực sự thể hiện cả một quá trình tìm tòi và suy nghĩ
của chúng em. Sự tìm tòi có thể khác nhau nhưng đều có chung một mục đích: đó là đi đến sự
tiến bộ.
Mặc dù đã hết sức cố gắng nhưng quyển chuyên đề khó có thể tránh được những thiếu
sót. Rất mong tài liệu này sẽ nhận đựơc sự góp ý của thầy cô và các bạn.
Một lần nữa, chúng em xin cảm ơn thầy Đỗ Kim Sơn đã đọc và cho góp ý, cũng như bỏ
qua những thiếu sót trong lần viết chuyên đề này của chúng em.
Tập thể học sinh lớp 10 Toán 2009 - 2012
Phần đầu của chuyên đề ta sẽ xét các vấn đề chung của phương trình lượng giác (những
kiến thức cơ bản về lượng giác, điều kiện tồn tại nghiệm của phương trình lượng giác và các bài
toán liên quan đến việc tìm số k nguyên trong công thức biểu diễn nghiệm của phương trình).
Trong chương này chúng tôi phân loại phương trình lượng giác theo cách giải nó. Phần

cuối của chương dành để trình bày các phương pháp giải các hệ phương trình lượng giác cơ bản
nhất.
 !"#$%&'()
WWW.ToanCapBa.Net
Trang 2
Giáo viên : Thầy Đỗ Kim Sơn WWW.ToanCapBa.Net 5/20/2014
&'()*+, /
•
2 2
sin cos 1
α α
+ =
•
sin
tan
cos
α
α
α
=
( với
2
k
π
α π
∀ ≠ +
,k ∈ Z )
•
cos
cot

sin
α
α
α
=
( với
x k
π
∀ ≠
,k ∈ Z )
•
2
2
1
tan 1
cos
α
α
+ =
( với
2
k
π
α π
∀ ≠ +
,k ∈ Z )
•
2
2
1

cot 1
sin
α
α
+ =
( với
x k
π
∀ ≠
,k ∈ Z )
•
tan cot 1
α α
=
( với
2
k
π
α
∀ ≠
,k ∈ Z )
#,012034504/
•
( )
sin 2 sinx k x
π
+ =
•
( )
cos 2 cosx k x

π
+ =
•
( )
tan tanx k x
π
+ =
•
( )
cot cotx k x
π
+ =
#'6/
•
( )
sin sinx x
− = −
•
( )
cos cosx x
− =
•
( )
tan tanx x
− = −
•
( )
cot cotx x
− = −
#-7/

•
( )
sin sinx x
π
− =
•
( )
cos cosx x
π
− = −
•
( )
tan tanx x
π
− = −
•
( )
cot cotx x
π
− = −
#/
WWW.ToanCapBa.Net
Trang 3
Giáo viên : Thầy Đỗ Kim Sơn WWW.ToanCapBa.Net 5/20/2014
•
sin cos
2
x x
π
 

− =
 ÷
 
•
cos sin
2
x x
π
 
− =
 ÷
 
•
tan cot
2
x x
π
 
− =
 ÷
 
•
cot tan
2
x x
π
 
− =
 ÷
 

#,012483/
•
sin cos
2
x x
π
 
+ =
 ÷
 
•
cos sin
2
x x
π
 
+ = −
 ÷
 
•
tan cot
2
x x
π
 
+ = −
 ÷
 
•
cot tan

2
x x
π
 
+ = −
 ÷
 
#,0124/
•
( )
sin sinx x
π
+ = −
•
( )
cos cosx x
π
+ = −
•
( )
tan tanx x
π
+ =
•
( )
cot cotx x
π
+ =
9):/
•

( ) ( )
sin sin cos sin cos ,x y x y y x x y
± = ± ∀ ∈
¡
•
( ) ( )
cos cos cos sin sin ,x y x y x y x y
± = ∀ ∈
m ¡
•
( )
tan tan
tan , ,
1 tan tan 2
x y
x y x y x y k
x y
π
π
±
 
± = ∀ ± ≠ +
 ÷
 
m
WWW.ToanCapBa.Net
Trang 4
Giáo viên : Thầy Đỗ Kim Sơn WWW.ToanCapBa.Net 5/20/2014
•
( ) ( )

cot cot 1
cot , ,
cot cot
x y
x y x y x y k
y x
π
± = ∀ ± ≠
±
m
9);'9/
•
sin 2 2sin cosx x x=
•
2 2 2 2
cos2 cos sin 2cos 1 1 2sinx x x x x
= − = − = −
•
2
2tan 2
tan 2 ,2
1 tan cot tan 2
x
x x x k
x x x
π
π
 
= = ∀ ≠ +
 ÷

− −
 
•
( )
2
cot 1 cot tan
cot 2 ,2
2cot 2
x x x
x x x k
x
π
− −
= = ∀ ≠
9)'9/
•
1 cos
sin
2 2
x x
−
= ±
•
1 cos
cos
2 2
x x
+
= ±
•

1 cos 1 cos
tan
2 1 cos sin
x x x
x x
− −
= ± =
+
9);-/
•
3
sin3 3sin 4sinx x x
= −
•
3
cos3 4cos 3cosx x x
= −
•
3
2
3tan tan
tan3 ,3
1 3tan 2
x x
x x x k
x
π
π
−
 

= ∀ ≠ +
 ÷
−
 
•
( )
3
2
cot 3cot
cot3 ,3
3cot 1
x x
x x x k
x
π
−
= ∀ ≠
−
9)-</
•
( )
2
1
sin 1 cos2
2
x x
= −
WWW.ToanCapBa.Net
Trang 5
Giáo viên : Thầy Đỗ Kim Sơn WWW.ToanCapBa.Net 5/20/2014

•
( )
2
1
cos 1 cos2
2
x x
= +
•
2
1 cos2
tan
1 cos2 2
x
x x k
x
π
π
−
 
= ∀ ≠ +
 ÷
+
 
•
( )
2
1 cos2
cot
1 sin 2

x
x x k
x
π
+
= ∀ ≠
−
•
3
3sin sin3
sin
4
x x
x
−
=
•
3
3cos cos3
cos
4
x x
x
+
=
9)
tan
2
x
t

=

/
•
2
2
sin
1
t
x
t
=
+
•
2
2
1
cos
1
t
x
t
−
=
+
•
2
2
tan ,
1 2 2

t x
x x k
t
π
π
 
= ∀ ≠ +
 ÷
−
 
9)-='>?>/
•
( ) ( ) ( )
1
sin cos sin sin
2
x y x y x y x y
= + + − >
 
 
•
( ) ( ) ( )
1
cos sin sin cos
2
y x x y y x y x
= + − − >
 
 
•

( ) ( )
1
cos cos cos cos
2
x y x y x y
= + + −
 
 
•
( ) ( )
1
sin sin cos cos
2
x y x y x y
= − + − −
 
 
9)-='>>?/
WWW.ToanCapBa.Net
Trang 6
Giáo viên : Thầy Đỗ Kim Sơn WWW.ToanCapBa.Net 5/20/2014
•
sin sin 2sin cos
2 2
x y x y
x y
+ −
+ =
•
cos cos 2cos cos

2 2
x y x y
x y
+ −
+ =
•
sin sin 2cos sin
2 2
x y x y
x y
+ −
− =
•
cos cos 2sin sin
2 2
x y x y
x y
+ −
− = −
•
( )
sin
tan tan ,
cos cos 2
x y
x y x y k
x y
π
π
±

 
± = ∀ ≠ +
 ÷
 
•
( )
( )
sin
cot cot ,
sin sin
y x
x y x y k
x y
π
±
± = ∀ ≠
0=@#. A7/
•
sin cos 2 sin 2 cos
4 4
x x x x
π π
   
+ = + = −
 ÷  ÷
   
•
sin cos 2sin 2 cos
4 4
x x x x

π π
   
− = − = − +
 ÷  ÷
   
•
tan cot 2cot 2
2
x x x x k
π
 
+ = − ∀ ≠
 ÷
 
•
2
tan cot
sin 2 2
x x x k
x
π
 
− = ∀ ≠
 ÷
 
•
4 4
3 1
sin cos cos4
4 4

x x x
+ = +
•
6 6
5 3
sin cos cos4
8 8
x x x
+ = +
•
2
1 sin 2cos
4 2
x
x
π
 
+ = −
 ÷
 
•
2
1 sin 2sin
4 2
x
x
π
 
− = −
 ÷

 
•
2 cos
4
1 tan
cos
x
x
x
π
 
−
 ÷
 
+ =
•
2 sin
4
1 tan
cos
x
x
x
π
 
−
 ÷
 
− =
WWW.ToanCapBa.Net

Trang 7
Giáo viên : Thầy Đỗ Kim Sơn WWW.ToanCapBa.Net 5/20/2014
&'()2/
•
sin sin sin 4cos cos cos
2 2 2
A B C
A B C
+ + =
•
cos cos cos 1 4sin sin sin
2 2 2
A B C
A B C
+ + = +
•
tan tan tan tan tan tanA B C A B C
+ + =
•
cot cot cot cot cot cot 1A B B C C A
+ + =
•
2 2 2
cos cos cos 1 2cos cos cosA B C A B C
+ + = −
•
2 2 2
sin sin sin 2 2cos cos cosA B C A B C
+ + = +
•

sin 2 sin 2 sin 2 4sin sin sinA B C A B C+ + =
•
cos2 cos2 cos2 1 4cos cos cosA B C A B C
+ + = − −
•
cot cot cot cot cot cot
2 2 2 2 2 2
A B C A B C
+ + =
•
tan tan tan tan tan tan 1
2 2 2 2 2 2
A B B C C A
+ + =
 *"+,-.$/$01&'
Cũng giống như khi giải các phương trình khác, việc đặt điều kiện khi giải phương trình
lượng giác rất quan trọng. Ngoài các điều kiện thông thường đối với mẫu số, các biểu thức trong
căn của các căn bậc chẵn có mặt trong phương trình, riêng đối với phương trình lượng giác cần
lưu tâm đặc biệt đến các diều kiện sau :
• Để tan x có nghĩa, điều kiện là
( )
2
x k k
π
π
≠ + ∈¢
• Để cot x có nghĩa, điều kiện là
( )
x k k
π

≠ ∈¢
Lược đồ chung để giải các phương trình lượng giác, cũng giống như khi giải các phương
trình khác thường được tiến hành như sau :
• Đặt điều kiện để phương trình có nghĩa.
• Giải phương trình bằng các lược đồ quen thuộc tương ứng.
• So sánh nghiệm tìm được với điều kiện đã đặt ra để loại bỏ đi các nghiệm ngoại lai.
WWW.ToanCapBa.Net
Trang 8
Giáo viên : Thầy Đỗ Kim Sơn WWW.ToanCapBa.Net 5/20/2014
B:C6DE/
• Đối với các họ nghiệm theo tan và cot, nếu một vế của phương trình không chứa ẩn thì ta
không cần đặt điều kiện.
• Để làm mất dấu trừ trước các hàm số lượng giác, ta dùng các cung đối cho hàm sin, tan
và cot, dùng cung bù cho hàm cos.
 2,34-"$05$%+67/$01&'
Các bài toán liên quan đến số k trong công thức nghiệm của phương trình lượng giác nảy
sinh trong các trường hợp sau đây :
• Tìm nghiệm của phương trình lượng giác trong một miền cụ thể cho trước nào đó của
biến.
• Giải một số phương trình lượng giác dạng đặc biệt.
Thông thường đối với các bài toán dạng xác định số k ta thường tiến hành như sau :
• Giải phương trình lượng giác như bình thường.
• Với nghiệm tìm được, để xác định số k tương ứng ta phải giải một bất phương trình đơn
giản: Tìm nghiệm nguyên k thỏa mãn một bất phương trình.
• Thay giá trị k tìm được vào công thức nghiệm sẽ suy ra các nghiệm cần tìm.
Nhìn chung, việc xác định cụ thể các giá trị của tham số k nguyên trong công thức nghiệm
của phương trình lượng giác xuất hiện trong nhiều bài toán giải phương trình lượng giác. Nếu để
ý thì dưới hình thức này hay hình thức khác thực chất đó là giải phương trình lượng giác có kèm
theo một diều kiện phụ nào đó.
Việc xác định các giá trị của tham số k qui về việc tìm nghiệm nguyên của một bất phương

trình cụ thể nào đó.
8 !/$01&'$9:/
FG2, /
•
( ) ( )
2
sin sin 1
2
n
u v k
u v u v n n
u v k
π
π
π π
= +

= ⇔ ⇔ = − + ∀ ∈

= − +

¢
•
( )
2
cos cos
2
u v k
u v k
u v k

π
π
= +

= ⇔ ∀ ∈

= − +

¢
•
( )
tan tan ,
2
v l
u v k l
u v k
π
π
π

≠ +

= ⇔ ∀ ∈


= +

¢
WWW.ToanCapBa.Net
Trang 9

Giáo viên : Thầy Đỗ Kim Sơn WWW.ToanCapBa.Net 5/20/2014
•
( )
cot cot ,
v l
u v k l
u v k
π
π
≠

= ⇔ ∀ ∈

= +

¢
FG2'H-G/
•
( )
sin 0u u k k
π
= ⇔ = ∀ ∈
¢
•
( )
sin 1 2
2
u u k k
π
π

= ⇔ = + ∀ ∈
¢
•
( )
sin 1 2
2
u u k k
π
π
= − ⇔ = − + ∀ ∈
¢
•
( )
cos 0
2
u u k k
π
π
= ⇔ = + ∀ ∈
¢
•
( )
cos 1 2u u k k
π
= ⇔ = ∀ ∈
¢
•
( )
cos 1 2u u k k
π π

= − ⇔ = + ∀ ∈
¢
•
( )
tan 0u u k k
π
= ⇔ = ∀ ∈
¢
•
( )
tan 1
4
u u k k
π
π
= ⇔ = + ∀ ∈
¢
•
( )
tan 1
4
u u k k
π
π
= − ⇔ = − + ∀ ∈
¢
•
( )
cot 0
2

u u k k
π
π
= ⇔ = + ∀ ∈
¢
•
( )
cot 1
4
u u k k
π
π
= ⇔ = + ∀ ∈
¢
•
( )
cot 1
4
u u k k
π
π
= − ⇔ = − + ∈ ¢
; ",I-<J2:2C6*+K#/
Có dạng:
( )
( )
( )
( )
sin 1
sin 0

cos 2
cos 0
; 0
tan 0
tan 3
cot 0
cot 4
b
u
a
a u b
b
u
a u b
a
a
a u b b
u
a
a u b
b
u
a
−
=
+ =
−
=
+ =
≠ →

+ = −
=
+ =
−
=
WWW.ToanCapBa.Net
Trang 10
Giáo viên : Thầy Đỗ Kim Sơn WWW.ToanCapBa.Net 5/20/2014
Đối với các phương trình (1) và (2) cần có thêm điều kiện
1
b
a
−
≤
Chọn α sao cho
[ ]
[ ]
sin ; ;
2 2
cos ; 0;
tan ; ;
2 2
cot ; 0;
b
a
b
a
b
a
b

a
π π
α α
α α π
π π
α α
α α π
− −
 
= ∈
 
 
−
= ∈
− −
 
= ∈
 
 
−
= ∈
⇒ đưa về các họ nghiệm cơ bản để giải.
< ",I-<2:2C6*+K#/
Có dạng:
2
2
2
2
sin sin 0
cos cos 0

; 0
tan tan 0
cot tan 0
a u b u c
a u b u c
a
a u b u c
a u b u c
+ + =
+ + =
≠
+ + =
+ + =
. Đặt
sin
1
cos
tan
cot
u t
t
u t
u t
u t
=

≤

=


=
=

⇒ Phương trình bậc hai at
2
+ bt + c = 0
Giải phương trình tìm t (xét điều kiện nếu có) ⇒ các họ nghiệm cơ bản, giải tìm x
= A0/
K,I ",.
L/Phương trình bậc nhất hoặc bậc hai đối
với f(x),trong đó f(x) là một biểu thức lượng giác
nào đó.
Đặt ẩn phụ t = f(x).
3/Phương trình bậc nhất đối với
sin x
và
cos x
.
L/
Biến đổi vế trái về dạng
( )
sinC x
α
+
với
2 2
C a b= +
,α là số thực sao cho
2 2
cos

a
a b
α
=
+
và
2 2
sin
b
a b
α
=
+
.
3/
• Tìm nghiệm thỏa
cos 0
2
x
=
.
WWW.ToanCapBa.Net
Trang 11
Giáo viên : Thầy Đỗ Kim Sơn WWW.ToanCapBa.Net 5/20/2014
• Với
cos 0
2
x
≠
thì đặt

tan
2
x
t
=
ta có:
2
2
sin
1
t
x
t
=
+
;
2
2
1
cos
1
t
x
t
−
=
+
.Đưa
phương trình đã cho thành phương
trình bậc hai theo ẩn t.

M/Phương trình đối xứng với
sin x
và
cos x

:
•
( )
sin cos sin cos 0a x x b x x c
+ + + =
•
( )
sin cos sin cos 0a x x b x x c
− + + =
Đặt
sin cos 2 sin 2; 2
4
t x x x
π
 
 
= ± = ± ∈ −
 ÷
 
 
thì
2
1
sin cos
2

t
x x
 
−
= ±
 ÷
 
N/Phương trình thuần bậc hai đối với
sin x
và
cos x

:
2 2
sin sin cos cos 0a x b x x c x
+ + =
Với a
2
+ b
2
+ c
2
≠ 0
L/
• Tìm nghiệm thỏa
cos 0x
=
.
• Với
cos 0x

≠
thì chia hai vế của
phương trình cho
2
cos x
dể đưa
phương trình đã cho về dạng phương
trình bậc hai theo ẩn
tan x
.
3/
•
Tìm nghiệm thỏa
sin 0x
=
•
Với
sin 0x
≠
thì chia hai vế của
phương trình cho
2
sin x
dể đưa
phương trình đã cho về dạng phương
trình bậc hai theo ẩn
cot x
.
O/Phương trình thuần bậc ba đối với
sin x

và
cos x

:
3 3 2 2
sin cos sin cos sin cosa x b x c x x d x x
+ + + +
sin cos 0e x f x
+ + =

Cách giải tương tự như phương trình thuần
nhất bậc hai nhưng chia hai vế cho
3
cos x

hoặc
3
sin x
và chú ý áp dụng các hằng đẳng
thức lượng giác cơ bản.
> P=+9)G2/
Kết hợp công thức nghiệm trong các PTLG chẳng những giúp cho ta có thể loại được nghiệm
ngoại lai mà còn có thể có được một công thức nghiệm đơn giản hơn, từ đó việc giải quyết bài
toán trở nên đơn giản hơn (giống như bài toán mà ta vừa xét ở trên). Đôi lúc việc kết hợp công
thức nghiệm cũng tương tự như việc giải một hệ phương trình lượng giác cơ bản bằng phương
pháp thế. Ở đây ta không đề cặp đến phương pháp này mà ta chỉ nói đến hai phương pháp chủ
yếu sau :
Q  R*+/
WWW.ToanCapBa.Net
Trang 12

Giáo viên : Thầy Đỗ Kim Sơn WWW.ToanCapBa.Net 5/20/2014
* 0G2, /
• Đường tròn lượng giác: là đường tròn có bán kính đơn vị
R = 1
và trên đó ta đã chọn một
chiều dương
( )
+
(thông thường chiều dương là chiều ngược chiều kim đồng hồ)
• Cung lượng giác:
»
AB
(với A, B là 2 điểm trên đường tròn lượng giác) là cung vạch bởi
điểm M di chuyển trên đường tròn lượng giác theo một chiều nhất định từ A đến B.
• Góc lượng giác: khác với góc bình thường góc lượng giác có một chiều nhất định
*",-S#ATU5#*+/
• Biểu diễn các điểm ngọn của cung lượng giác biết số đo có dạng
α + k
π
:
Ta đưa số đo về dạng
2
α k
m
π
+
.
Bài toán có m ngọn cung phân biệt tương ứng với k từ 0 đến
( )
m 1

.
8?@; Trên đường tròn lượng giác, ta lấy điểm A làm gốc. Định những điểm M biết
sđ
»
4 2
AB k
π π
= +
.
A9)
Ta có sđ
»
2
4 2 4 4
AB k k
π π π π
= + = +
.Suy ra có 4 điểm ngọn cung phân biệt ứng với:

( )
¼
3
+ 1:
4
k AM
π
= =

( )
¼

5
+ 2 :
4
k AM
π
= =

( )
¼
7
+ 3:
4
k AM
π
= =
Đề ý ta thấy rằng trên đường tròng lượng giác các điểm ngọn cung là đỉnh của hình vuông
0 1 2 3
M M M M
.
WWW.ToanCapBa.Net
Trang 13
( )
¼
+ 0:
4
k AM
π
= =
Giáo viên : Thầy Đỗ Kim Sơn WWW.ToanCapBa.Net 5/20/2014
BCD$ Trên đường tròn lượng giác các điểm ngọn cung là đỉnh của một đa giác đều

m cạnh.
-Q S#ATUV#QAWA9)>@#/
Ta biểu diễn từng góc (cung) trên đường tròn lượng giác. Từ đó suy ra công thức tổng quát.
8?@< Biểu diễn góc lượng giác có số đo sau dưới dạng một công thức tổng quát:
3
x k
x k
π
π
π
=



= ± +


A9)
Ta biểu diễn các điểm ngọn cung của
2
2
x k k
π
π
= =
0: 0k x= =
1:k x
π
= =
Ta biểu diển các điểm ngọn cung của

3
x k
π
π
= ± +
0:
3
k x
π
= = ±
4
1:
3
k x
π
= = ±
Trên đường tròn lượng giác, ta nhận thấy có 6 điểm ngọn cung phân biệt, Do đó công thức tổng
quát là:
2
6 3
k k
x
π π
= =
BCD$ Qua bài toán này ta thấy r| vai trò của việc kết hợp các góc lượng giác dưới
dạng một công thức tổng quát đơn giản hơn. Hơn nữa, đây còn là bài toán về việc giải hệ phương
trình lượng giác cơ bản bằng phương pháp biểu diễn trên đường tròn lượng giác.
Bài toán giải PTLG dùng phương pháp kết hợp nghiệm bằng đường tròn lượng giác để loại các
nghiệm ngoại lai.
WWW.ToanCapBa.Net

Trang 14
Giáo viên : Thầy Đỗ Kim Sơn WWW.ToanCapBa.Net 5/20/2014
Ta xét một số bài toán sau :
EF$; Giải phương trình :
2
sin (sin cos ) 1
0
cos sin 1
x x x
x x
+ −
=
+ −
A9)
Điều kiện :
2
cos sin 1 0x x+ − ≠
2
sin sin 0x x⇔ + ≠

sin 0
sin 1
x
x
≠

⇔

≠


2
x k
x k
π
π
π
≠


⇔

≠ +


( )
1
Với điều kiện đó phương trình tương đương :

( )
sin cos sin 1 0x x x+ − =
2
sin sin cos 1 0x x x⇔ + − =
⇔
cos (sin cos ) 0x x x− =
cos 0
sin cos
x
x x
=


⇔

=

2
4
x k
x k
π
π
π
π

= +

⇔


= +


,
k ∈Z
( )
2
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là :
2
x k
π

π
= +
và
2
2
x k
π
π
= − +
,(
k ∈Z
)
WWW.ToanCapBa.Net
Trang 15
Giáo viên : Thầy Đỗ Kim Sơn WWW.ToanCapBa.Net 5/20/2014
BCD$ Đây là một bài có công thức nghiệm đơn giản cho phép ta có thể biểu diễn
một cách chính xác trên đường tròn lượng giác. Tuy nhiên ta hãy xét thêm bài toán sau để thấy r|
màu sắc của bài toán biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác.
EF$< Giải phương trình sau :

sin 4
1
cos6
x
x
=
A9)
Điều kiện để phương trình có nghĩa là :
cos6 0x
≠

6
2
x k
π
π
⇔ ≠ +
12 6
k
x
π π
⇔ ≠ +
,
k
∈
Z
(1)
Với điều kiện (1) phương trình tương đương :

sin 4 cos 6x x=
⇔
cos6 cos 4
2
x x
π
 
= −
 ÷
 
( )
6 4 2

2
6 4 2
2
x x m
m
x x m
π
π
π
π

= − +

⇔ ∈


= − +


¢
20 5
4
m
x
x m
π π
π
π

= +


⇔


= − +


m∈Z
So sánh các nghiệm này với điều kiện ban đầu ta được nghiệm của phương trình là :
20 5
m
x
π π
= +
và
5 1m n≠ +
,
n∈Z
BCD$ta nhận thấy đối với bài toán này việc biểu diễn bằng đường tròn lượng giác
đã ttrở nên khó khăn và khó chính xác. Do đó ta hãy xem phương pháp hai.
WWW.ToanCapBa.Net
Trang 16
Giáo viên : Thầy Đỗ Kim Sơn WWW.ToanCapBa.Net 5/20/2014
G H$01&'I.$#&F$JKL
Q ,CK,I/
Dạng phương trình này có cơ sở là một số tổng hữu hạn ở dạng phức tạp được đưa về dạng
giản đơn.
Cần chú ý là ở đây chỉ nêu các trường hợp con, s~ dụng các công thức đơn giản hơn để
thu gọn các tổng tích phức tạp rồi áp dụng chúng vào việc giải phương trình lương giác chứ
không đưa ra các phương pháp tổng quát. Bởi vì phần này sẽ được đề cập đến một cách r| ràng

và đầy đủ ở chương sau:“ Lượng giác ứng dụng vào giải toán Giải tích”.
B:C69)?'+A7#,$/
1.
cot g 2cot g 2xx tgx− =
2.
2
cot g
sin 2
x tgx
x
+ =
3.
1
cot g cot g 2x
sin 2
x
x
− = −
-Q B:C6>X#)2U/
•
( )
1
1
sin sin
2 2
sin sin 2 sin
sin
2
n a
na

S a a na
a
+
= + + + =
Nhìn vào kết quả ta cũng có thể đoán được là ta cần nhân 2 vế với
sin
2
a
•
2
1
sin sin
2 2
cos cos 2 cos
2sin
2
n na
a
S a a na
a
+
−
= + + + =
Cũng tương tự như
1
S
ta nhân 2 vế với
sin
2
a

.
•
3
2
1 1 1 1
cot cot 2
sin sin 2 sin 2 sin 2 2
n
n
a
S g g a
a a a a
= + + + + = −
!; áp dụng
1
cot g cot g 2x
sin 2
x
x
− = −
!< ta có đẳng thức cần chúng minh tương đương với :
WWW.ToanCapBa.Net
Trang 17
Giáo viên : Thầy Đỗ Kim Sơn WWW.ToanCapBa.Net 5/20/2014
cos
1 1 1 cos2
2

sin sin 2 sin 2 sin 2
sin

2
n
n n
a
a
a
a a a a
−
+ + + + =
Xét vế trái có :
2
2cos 1
cos
1 cos
2
2
sin
sin 2sin cos 2sin cos
2 2 2 2 2
a
a
a
a a a a a
a
 
− −
−
 ÷
 
+ = = −

Hoàn toàn tương tự ta được :
VT
cos2
sin 2
n
n
a
a
=
•
( )
( )
4
1 1 1 1

cos cos2 cos2 cos3 cos 1 cos sin
S tgna tga
a a a a n a na a
= + + + = −
−
Nhân 2 vế với sin a
•
( )
5
2
sin 1
cos cos2 cos
1
cos cos cos sin .cos
n n

n a
a a na
S
a a a a a
+
= + + + + =
Ta có :
( ) ( )
sin 1 sin 1
cos sin .cos
cos sin .cos 2sin .cos
k k k
k a k a
ka a ka
a a a a a
+ − −
= =
( )
1
sin 1
sin
sin .cos sin .cos
k k
k a
ka
a a a a
−
+
= −
( )

sin 1
sin .cos
n
n a
S
a a
+
⇒ =
•
( )
6
2 2 3 1
tgna
S tgatg a tg atg a tg n atgna n
tga
= + + + − = −
‚p dụng :
( )
( )
1
1 1
tg n a
tgna
tg n atgna
tga tga
−
− − = − −

tgna
S n

tga
⇒ = −
•
7
2 2
1 1 1 1
cot cot
2 2 2 2 2 2 2 2
n n n n
a a a a
S tg tg tg g ga= + + + = −
‚p dụng :
cot g 2cot g 2xx tgx− =
WWW.ToanCapBa.Net
Trang 18
Giáo viên : Thầy Đỗ Kim Sơn WWW.ToanCapBa.Net 5/20/2014
•
8
2
2 2 2 2 2
2
1 1 1 1 1

sin
cos 4 cos 4 cos 4 sin
2 2 2 2
n n
n n
S
a a a a

a
a
= + + + = −
‚p dụng :
2 2 2
1 1 1
4sin 4cos sin 2x x x
+ =
Q B:C6?)2U/
•
( ) ( )
( )
1
1
2cos 2 1
2cos 1 2cos2 1 2cos 2 1
2cos 1
n
n
T a a a
a
−
+
= − − − =
+
Nhân 2 vế với
( )
2cos 1a +
•
1

2
1
1 1 1 2
1 1 1
cos cos 2 cos2
2
n
n
tg a
T
a
a a a
tg
−
−
    
= + + + =
 ÷ ÷  ÷
    
!; nhân 2 vế với
2
a
tg
!< ta xét vế trái:
VT
2
2 2 2 1
2 1
2cos
2cos 2cos 2 2cos 2

2
. .
cos cos2 cos2 cos2
n
n
a
a a a
a a a a
−
−
=
2 2
1
2 cos cos cos2 cos 2
2
sin sin .
2 2 cos2
n n
n
a
a a a
a a
VT
−
−
⇒ =
1
1
cos sin 2
2

sin cos2
2
n
n
a
a
VT
a
a
−
−
⇒ = =
VP
•
3
2 1
cos cos cos
2 1 2 1 2 1
2 sin
2 1
n
n
T
n n n
n
π π π
π
= =
+ + +
+

Nhân 2 vế với
sin
2 1n
π
+
!MN Ở các công thức này ta có một mƒo nhỏ. Đó là chỉ cần nhìn kết quả của vế phải là
ta đã có thể biết được cách chứng minh. Tuy nhiên có nhiều trường hợp ta chỉ có vế trái thì ta
phải làm sao? Ta cần s~ dụng đến các công thức ở mục a). do đó ta cần ghi nhớ các công thức ở
mục a.
WWW.ToanCapBa.Net
Trang 19
Giáo viên : Thầy Đỗ Kim Sơn WWW.ToanCapBa.Net 5/20/2014
8?@ Giải phương trình :
1
1 1
sin 2 sin
n
i
i
x x
=
=
∑
A9)
Điều kiện để phương trình có nghiệm :
sin 2 0; 1,
i
x i n≠ =

‚p dụng

3
S
ta được nghiệm của phương trình là :
( )
1
2
; 2 ,
1 2
n
k
x x l k l
π
π
+
= = ∈
−
Z
BCD$ Ta nhận thấy nhờ có đẳng thức
3
S
mà việc giải bài toán này trở nên dễ dàng
hơn. Mặt khác cần chú ý rằng đối với các bài toán có điều kiện phức tạp như vậy ta chỉ cần đặt
điều kiện tổng quát. Sau đó khi đã có được nghiệm rồi ta thế vào điều kiện tổng quát ban đầu để
loại đi các nghiệm ngoại lai.
O H$015$P
2
0
f
f
g

g
g
≥

= ⇔

=

Khi giải các PHTL mà ẩn số nằm dưới dấu căn, các điều kiện ràng buộc thường ở dưới
dạng các bất phương trình lương giác. Dĩ nhiên ta có thể xem như là một hệ thống gồm các
PTLG và bất PTLG. Nhưng r| ràng đây là một dạng khó, phức tạp dễ mắc phải sai lầm mà ta có
thể thấy ở các bài toán dưới đây :
EF$; (64II - Bộ đề thi Tuyển sinh)Giải phương trình :
cos2 1 sin 2 2 sin cosx x x x+ + = +
(1)
A9)
(1)
( )
2
2 2
cos sin cos sin 2 cos sinx x x x x x⇔ − + + = +
• Xét
cos sin 0x x
+ =
là nghiệm
1
4
tgx x k
π
π

⇔ = − ⇔ = − +
(
k
∈
Z
)
• Xét
( ) ( )
( )
cos sin >0 cos sin >0
2
cos sin 0 cos sin 0
x x x x
x x x x
+ +
 
 
⇔
 
+ ≥ − ≥
 
 
WWW.ToanCapBa.Net
Trang 20
Giáo viên : Thầy Đỗ Kim Sơn WWW.ToanCapBa.Net 5/20/2014
Với điều kiện (2) thì
( )
1 cos sin cos sin 2x x x x⇔ − + + =

2 2

2cos 2 cos sin 4x x x⇔ + − =

2 2
cos sin 2 cosx x x⇔ − = −

2
cos 4cos 5 0x x⇔ + − =

[ ]
( )
cos 1 1,1 2 ,x x k k
π
⇔ = ∈ − ⇔ = ∈Z
Th~ lại với điều kiện (2) : Do
cos 1 sin 0x x
= ⇒ =
thoả (2).
Vậy
4
x k
π
π
−
= +
;
2x k
π
=
với
k ∈Z

.
BCD$
Hãy th~ quan sát xem tại sao ta phải xét 2 trường hợp riêng là:
cos sin 0x x
+ =
và
cos sin >0x x
+
mà không gộp điều kiện lại là :
cos sin 0x x
+ ≥
.
Nếu ta đặt :
cos sina x x
= +
và
cos sinb x x
= −
thì điề kiện của bài toán khi ta chỉ xét 1
trường hợp là :
0 0
0 0
a a
ab b
≥ ≥
 
⇔
 
≥ ≥
 

Phép biến đổi này hoàn toàn sai vì nếu
0a =
thì
<0b∀
ta vẫn có hệ
0
0
a
ab
≥


≥

được thoả
mãn. Do đó ta cần phải thật cẩn thận trong phương trình dạng này.
EF$< (66II.2-Bộ đề thi tuyển sinh). Tìm m để phương trình sau có nghiệm :
1 2cos 1 2sinx x m+ + + =
A9)
Hàm số y =
1 2cos 1 2sinx x m+ + + =
là hàm tuần hoàn với chu kì
2
π
nên ta chỉ cần tìm m
để phương trình có nghiệm
[ ]
,x
π π
∈ −

.
WWW.ToanCapBa.Net
Trang 21
Giáo viên : Thầy Đỗ Kim Sơn WWW.ToanCapBa.Net 5/20/2014
Từ đó
[ ]
,
1
cos
2
1
sin
2
x
x
x
π π

∈ −



≥ −



≥ −


2

6 3
x
π π
−
⇒ ≤ ≤
.
Xét biểu thức:
( )
2
2
1 2cos 1 2sinf y x x= = + + +
( ) ( )
2 2 sin cos 2 1 2 sin cos 4sin cosf x x x x x x⇔ = + + + + + +
Đặt
3 1 2
sin cos , 2 ,
2 6 3
t x x x
π π
 
− −
 
= + ∈ ∀ ∈
 
 
 
 
Khi đó
2
2 2 2 2 2 1f t t t= + + + −

( )
2
2 2 1
' 2 >0
2 2 1
t
f
t t
+
⇒ = +
+ −
( )
3 1
/ , 2
2
f t
 
−
⇒ ↑
 
 
Min⇒
3 1
1 3
2
f f
 
−
= = +

 ÷
 ÷
 
và
Max
( ) ( )
2 4 1 2f f= = +
Phương trình có nghiệm
Min Maxy 1+ 3 2 1 2y m m⇔ ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ +
BCD$Phương pháp này có thể gọi là phương pháp miền giá trị. Bởi vì thật ra tập giá
trị của m chính là miền giá tri của hàm
f
.
Đây là hàm đồng biến trong trong tập xác định của nó nên Max và Min của hàm số cũng
chính là giá trị 2 đầu của miền giá trị.
Q R.$4-///")/$01&'
L ",?C6/
Với điều kiện
f
x D∈
thì phương trình :
( ) ( )
( )
( )
0
. 0
0
f x
f x g x
g x


=
= ⇔

=


Hay phương trình :
( ) ( )
( )
( )
0
. 0
0
f g
x D D
f x
f x g x
g x
∈ ∩




=
= ⇔



=





WWW.ToanCapBa.Net
Trang 22
Giáo viên : Thầy Đỗ Kim Sơn WWW.ToanCapBa.Net 5/20/2014
3 ",'HYC6/
Đặt f(x) = t, đưa phương trình về dạng phương trình đại số: f(t) = 0, giải tìm t, sau đó thế t = f(x),
giải tìm x.
!MN Nếu thuận lợi ta cũng nên tìm điều kiện của t, khi đó ta chỉ cần nhận các nghiệm t thích
hợp để giải tìm x V';$*'#0G-Z-#:0H,I)2C6Q. Nếu
điều kiện của t tìm quá khó khăn thì ta không cần phải xác định điều kiện này, nhưng khi đó gần
như ta phải xét hết các nghiệm t tìm được để giải tìm x.
M ",HV.)Q[",>C609;2/
• ",H/ Phương trình
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
1 1
2 2
1 1
1 2 1 2
2 2
f x c
f x c
f x c
f x f x c c

f x c
≥
≥
=

+ = + ¬ →

=


• H-G/
Phương trình :
sin 1 sin 1
sin .cos 1
cos 1 cos 1
u u
u v
v v
= = −
 
= ⇔ ∨
 
= = −
 
(có 6 phương trình dạng này)
• ",>C609;2/
Phương trình :
( ) ( )
( )
( )

( )
( )
1
2
1
0
1 2
0
2
0
0
0
f x
f x
f x
f x f x
f x
≥
≥
=

+ = ¬ →

=



• Đặc biệt :
( ) ( )
( )

( )
2 2
0
0
0
f x
f x g x
g x
=

+ = ⇔   

   
=


N ",'6*</
Phương trình :
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
f x c
g x c
f x c
f x g x
g x c
≥
≤

=

= ¬ →

=


, các tính chất : f(x) ≥ c và g(x) ≤ c, ta có thể
dùng các bất đẳng thức đại số hay các bất đẳng thức lượng giác để chứng minh.
S !L/$01&'7:/
 ",I-<J'65WC\5C\/
L/",I09U2C6
8?@; Giải phương trình sau
( )
4 4
4 sin cos 3sin 4 2x x x+ + =
.(1)
A9)
WWW.ToanCapBa.Net
Trang 23
Giáo viên : Thầy Đỗ Kim Sơn WWW.ToanCapBa.Net 5/20/2014
( )
2
1
1 4 1 sin 2 3 sin 4 2
2
x x
 
⇔ − + =
 ÷

 

( )
( )
1 cos 4
4 2 3 sin 4 2
2
3sin 4 cos4 1
sin 4 sin
6 6
4 2
6 6
7
4 2
6 6
12 2
4 2
x
x
x x
x
x k
k
x k
x k
k
x k
π π
π π
π

π π
π
π π
π π
−
 
⇔ − + =
 ÷
 
⇔ + = −
−
   
⇔ + =
 ÷  ÷
   
−

+ = +

⇔ ∈


+ = +


−

= +

⇔ ∈



= +


¢
¢
8?@< Giải phương trình lượng giác sau :
3
4sin 1 3sin 3 cosx x x− = −
.(1)
A9)
( )
( )
3
1 3sin 4sin 3cos 1x x x⇔ − − = −

( )
( )
sin3 3 cos3 1
sin 3 sin
3 6
3 2
3 6
7
3 2
3 6
2
18 3
2

2 3
x x
x
x k
k
x k
x k
k
x k
π π
π π
π
π π
π
π π
π π
⇔ − = −
−
   
⇔ − =
 ÷  ÷
   
−

− = +

⇔ ∈


− = +




= +

⇔ ∈


= +


¢
¢
3/",IU2C6
WWW.ToanCapBa.Net
Trang 24
Giáo viên : Thầy Đỗ Kim Sơn WWW.ToanCapBa.Net 5/20/2014
Đối với dạng toán này, nếu ta dùng phương pháp đặt ẩn phụ thì việc tìm điều kiện cho ẩn
phụ là rất quan trọng. Nó có thể ảnh hưởng đến kết quả của cả bài toán. Chính vì thế, khi gặp
những phương trình có tham số nói chung và phương trình lượng giác có tham số nói riêng thì
khi đặt ẩn phụ ta phải chú ý đến điều kiện của ẩn phụ.
Ta sẽ xét một vài ví dụ minh họa sau :
8?@; Tìm m để phương trình
( )
2sin cos 1 1x m x m+ = −
có nghiệm thuộc
;
2 2
π π
−

 
 
 
.
A9)
Ta nhận thấy với mọi m thì m + (1 – m) = 1 ≠ 0, vậy với mọi m thì
cos 0
2
x
=
không thể thỏa
mãn (1). Nên đặt
tan
2
x
t=
, thì (1) có dạng :
( )
2
2
2 2
2 1
2 1 4 1 2
1 1
t t
m m f t t t m
t t
−
+ = − ⇔ = − + =
+ +

Khi
2 2
x
π π
−
≤ ≤
thì
1 1t
− ≤ ≤
Vậy bài toán trên trở thành tìm m để hệ
( ) ( )
( )
2
4 1 2 2
1 1 3
f t t t m
t

= − + =


− ≤ ≤


có nghiệm.
Ta có
( )
' 2 4f t t= −
và có bảng biến thiên sau :
0

2
2
6
f(t)
f'(t)
t
1
-1
Vậy hệ (1) và (3) có nghiệm ⇔ min f(t) ≤ 2m ≤ max f(t) với -1 ≤ t ≤ 1
⇔ -2 ≤ 2m ≤ 6 ⇔ -1≤ m ≤ 3
WWW.ToanCapBa.Net
Trang 25