Nâng cao kỹ năng giải một số dạng phương trình lượng giác

PHẦN I : ĐẶT VẤN ĐỀ .
Phương trình lượng giác là một trong những dạng toán thường xuất hiện
trong đề thi đại học và thi học sinh giỏi. Đa số học sinh đã giải quyết được
những dạng phương trình lượng giác cơ bản, tuy nhiên học sinh chưa thực sự
giải quyết tốt khi gặp các phương trình lượng giác trong đề thi. Việc cung cấp
cho học sinh một số phương pháp giải phương trình lượng giác là một việc làm
cần thiết. Chính vì thế tôi chọn đề tài “ Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải
một số dạng phương trình lượng giác”
PHẦN II: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
1.Cơ sở lý luận của vấn đề
a) Phương trình lượng giác cơ bản:
+) sinx= m
⇔




+−=
+=
παπ
πα
2
2
kx
kx
).( zk ∈
Với
m
1≤
và sin
α

=m (có thể lấy
=
α
arcsinm).
+) cosx= m
πα
2kx +±=⇔

).( zk ∈
Với
m
≤
1 và cos
α
=m (có thể lấy
=
α
arccosm).
+) tanx= m
⇔
x=
πα
k
+
, với tan
α
=m ( có thể lấy
α
=arctanm)
).( zk ∈

+) cotx= m
⇔
x=
πα
k
+
, với cot
α
= m ( có thể lấy
=
α
arccotm)
).( zk ∈
b) Một số dạng phương trình lượng giác đơn giản.
+) Phương trình bậc nhất hoặc bậc hai đối với f(x) ( f(x) là một biểu thức lượng
giác nào đó). Đặt ẩn phụ: t= f(x)
+)Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx: asinx+ bcosx= c (a
2
+b
2

≠
0)
Biến đổi vế trái về dạng: Csin(x+
α
) hoặc Ccos(x+
β
)
+) Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx.
asin

2
x+ bsinxcosx+ ccos
2
x= 0 ( a
2
+ b
2
+ c
2

≠
0)
Chia hai vế cho cos
2
x( với cosx
≠
0), hoặc chia hai vế cho sin
2
x( với sinx
≠
0)
+) Phương trình dạng: asin
2
x+bsinxcosx+ ccos
2
x= d. (a
2
+b
2
+c

2

0≠
).
Viết: d= d(sin
2
x+ cos
2
x) rồi đưa về dạng phương trình thuần nhất bậc hai đối
với sinx và cosx.
+) Phương trình dạng: a(sinx+ cosx)+ bsinxcosx+ c= 0
Đặt: t= sinx+ cosx=
)
4
cos(2)
4
sin(2
ππ
−=+
xx
(đk:
t

2≤
)
1

2
1
cossin

2
−
=⇒
t
xx

⇒
phương trình bậc hai ẩn t.
+) Phương trình dạng: a(sinx- cosx)+ bsinxcosx+ c= 0
Đặt: t= sinx- cosx=
)
4
cos(2)
4
sin(2
ππ
+−=−
xx
(đk:
t
2≤
).

2
1
cossin
2
t
xx
−

=⇒

⇒
phương trình bậc hai ẩn t.
Phương pháp giải phương trình lượng giác thông qua sơ đồ sau






2. Thực trạng vấn đề .
Khi gặp bài toán giải lượng giác ở phức tạp, học sinh rất lúng túng trong
cách giải quyết.Tuy nhiên khi nắm bắt được quy luật của một số dạng toán thì
khó khăn sẽ được giải quyết.
3. Giải pháp và tổ chức thực hiện
Để thực hiện đề tài này, tôi phân thành 4 phương pháp. Mỗi phương pháp
tôi đưa ra một số các ví dụ và các bài tập áp dụng, các ví dụ này chủ yếu trong
2
Phương pháp giải phương trình lượng giác
Phương pháp giải
phương trình lượng giác
đưa về phương trình tích
Phương pháp giải
phương trình
không mẫu mực
Phương pháp giải phương
trình lượng giác: Đại số
hóa bằng cách đặt ẩn phụ
Biến đổi

tổng
thành
tích
Biến đổi
tích
thành
tổng
Phương
trình bậc 1
đối với sinx
và cosx
Phương
trình thuần
nhất bậc 2
đối với sinx
và cosx
Phương
trình đối
xứng đôí
vơí sinx,
cosx
Phương trình
bậc 1, bậc 2
đối với các
hàm số lượng
giác
Phương trình lượng giác cơ bản
Phương pháp giải phương
trình đưa về phương trình
lượng giác đã biết cách giải

các đề thi đại học, đề thi học sinh giỏi các năm gần đây và một số bài tập tương
tự. Sau đây là một số phương pháp giải phương trình lượng giác
1.Phương pháp1: Sử dụng các biến đổi lượng giác đưa về phương trình
lượng giác đã biết cách giải.Rất nhiều phương trình lượng giác chỉ cần sử dụng
các công thức lượng giác như các công thức hạ bậc, góc nhân đôi, công thức
biến đổi tổng thành tích, tích thành tổng thì sẽ biến đổi đưa về phương trình
lượng giác đã biết cách giải.
Ví dụ 1.(Đại học khối D - 2007) .Giải phương trình
(sin
2
x
+cos
2
x
)
2
+
3
cosx =2 (1a)
Giải:
Phương trình (1a) tương đương với :

2
sin
2
cos
22
xx
+

+2sin
2
x
cos
2
x
+
3
cosx =2

⇔
1+ sinx +
3
cosx
⇔

2
1
sinx +
2
3
cosx =
2
1
⇔
cos(x-
6
π
) =
2

1


⇔







+−=−
+=−
π
ππ
π
ππ
2
36
2
36
kx
kx
⇔








+−=
+=
π
π
π
π
2
6
2
2
kx
kx
(k
∈
z)

Vậy nghiệm của phương trình là : x=
2
π
+k2
π
, x= -
6
π
+k2
π
(k
)z∈
.

Ví dụ 2 . Giải phương trình :
sin2xcosx +
3
cos3x =2- cos2xsinx (3a)
Giải:
Phương trình (3a) tương đương với :

2
1
(sin3x +sinx ) +
3
cos3x = 2-
2
1
(sin3x - sinx)
⇔
sin3x +
3
cos3x= 2
⇔

2
1
sin3x +
2
3
cos3x = 1

⇔
cos(

x3
6
−
π
)= 1
⇔
x3
6
−
π
= k2
π
⇔
x =
18
π
-
3
2
π
k
(k
∈
z)
Vậy phương trình có nghiệm là: x=
18
π
-
3
2

π
k
(k
∈
z)
Ví dụ 3 (Đại học khối A - 2005). Giải phương trình:
cos
2
3xcos2x - cos
2
x = 0 (4a)
3
Giải
Phương trình (4a) tương đương với :
(1 + cos6x) cos2x - (1 + cos2x) = 0
⇔
cos2x + cos6x cos2x - 1- cos2x = 0

⇔
cos6x cos2x -1= 0
⇔
2
1
(cos4x + cos8x )- 1= 0
⇔
cos8x+ cos4x- 2= 0

⇔
2cos
2

4x + cos4x - 3 = 0
⇔
14cos
14cos
2
3
4cos
=⇒




=
−=
x
x
x
.
+) cos4x = 1
⇔
4x = k2
π
⇔
x =
2
π
k
(k
∈
z).

Vậy phương trình có nghiệm là: x=
2
π
k
(k
∈
z).
Ví dụ4 (Đại học dự bị khối B- 2003).
Giải phương trình:
1
1cos2
)
42
(sin2cos)32(
2
=
−
−−−
x
x
x
π
(5a)
Giải
Đk: cosx
2
1
≠
(*)
Phương trình (5a) tương đương với:

(2-
3
)cosx - [1- cos(x-
2
π
)] = 2cosx- 1

⇔
(2-
3
)cosx - 1+ cos(x-
2
π
) = 2cosx - 1

⇔
(2-
3
)cosx - 1+ sinx = 2 cosx 1

⇔
2 cosx - 1-
3
cosx + sinx = 2 cosx - 1

⇔
sinx =
3
cosx
⇔

tanx =
3
⇔
x=
3
π
+ k
π
( k
z∈
).
Kết hợp với điều kiện (*)
Vậy phương trình có nghiệm là: x=
3
π
+(2k
’
+ 1)
π
( k
’
∈
z).
Ví dụ 5 (Dự bị khối A- 2002 ).Giải phương trình :
cos( 2x+
)
4
π
+ cos( 2x-
4

π
)+ 4sinx = 2+
2
(1- sinx) (6a)
4
Giải:
Phương trình (6a) tương đương với :
2 cos2x.cos
4
π
+ 4 sinx +
2
sinx - 2 -
2
= 0

⇔
2
cos2x + ( 4 -
2
)sinx - 2 -
2
= 0

⇔
2
2
sin
2
x - (4 +

2
) sinx + 2 = 0 (*)

⇔






+=
+=
⇔=⇔





=
=
π
π
π
π
2
6
5
2
6
2

1
sin
2sin
2
1
sin
kx
kx
x
x
x
(k
∈
z).
Vậy phương trình có nghiệm là: x=
π
π
2
6
k+
, x=
π
π
2
6
5
k+
(k
∈
z).

Ví dụ 6:(HSG-2011) Giải phương trình.
(1+ sinx) (1- 2sinx)+ 2(1+ 2sinx) cosx= 0. (7a)
Giải.
Phương trình(7a) tương đương với:
1- sinx-2sin
2
x+ 2cosx+ 2sin2x= 0

⇔
cos2x+ 2sin2x= sinx2- 2cosx

⇔

xxxx cos
5
2
sin
5
1
2sin
5
2
2cos
5
1
−=+
Đặt:
,
5
1

sin =
α

5
2
cos =
α

⇒
sin
α
cos2x+ cos
α
sin2x= sin
α
sin2x- cos
α
cosx

)cos()2sin( xx +−=+⇔
αα

)
2
sin()2sin(
π
αα
−+=+⇔ xx

⇔







++−−=+
+−+=+
π
π
απα
π
π
αα
2
2
2
2
2
2
kxx
kxx

⇔








+−=
+−=
3
2
3
2
3
2
2
παπ
π
π
k
x
kx
(k
)z∈
Vậy phương trình có nghiệm là: x=-
π
π
2
2
k+
hoặc x=
3
2
3
2

3
παπ
k
+−
(k
)z∈

*Một số bài tập tương tự
Giải các phương trình sau :
1.(Đại học khối B- 2004). 5 sinx- 2 = 3( 1 - sinx ) tan
2
x
5
2.( Đại học khối B- 2003 ) . cotx - tanx + 4 sin2x =
x2sin
2

3. (Đại học khối A - 2009).
)sin1)(sin21(
cos)sin21(
xx
xx
−+
−
=
3
4.(Đại học khối D- 2009).
3
cos5x - 2 sin3x cos2x -sinx= 0
5.(Đại học khối A - 2002). Tìm nghiệm thuộc khoảng (0;2

π
) của phương
trình : 5( sinx +
)
2sin21
3sin3cos
x
xx
+
+
= cos2x +3
6.(Đại học khối D - 2005) . cos
4
x +sin
4
x +cos(x-
)
4
π
.sin(3x-
)
4
π
-
2
3
= 0
7. 4sin
2
2

x
-
3
cos2x = 1 + cos
2
( x-
4
3
π
)
8.(Đại học khối B- 2009) . sinx + cosx.sin2x +
3
cos3x= 2 ( cos4x + sin
3
x)
9. tanx= cotx+
x
x
2sin
4cos2
.
2. Phương pháp2: Phương pháp đặt ẩn phụ.
Một số phương trình lượng giác có thể đưa ẩn phụ vào để chuyển về
phương trình đại số đã biết cách giảỉ, với cách đặt: t= sinu(x); t= cosu(x);
t= sinu(x)+ cosu(x) ( Chú ý đk ẩn phụ). Hoặc đưa ẩn phụ vào để chuyển về
phương trình lượng giác đơn giản hơn( ẩn phụ là biểu thức đại số ẩn x như:
t=
3
2x
, t=

26
x
+
π
).
Ví dụ 1. Giải phương trình :
3(sinx +cosx)+ 2sin2x+ 3= 0 (2b).
Giải.
Phương trình ( 2b) tương đương với:
3( sinx + cosx )+ 4 sinx cosx + 3 = 0 (2b
/
)
Đặt sinx + cosx = t (
t
≤

2
)
⇒
sinx.cosx =
2
1
2
−t
Phương trình ( 2b
/
) trở thành:
3t + 2t
2
- 2+3 = 0

⇔
2t
2
+3t+ 1 = 0
⇔
)/(
2
1
1
mt
t
t




−=
−=
+) Với t= -1
⇒
sinx + cosx = -1
⇔
2
sin( x +
4
π
) = - 1
6

⇔

sin(x +
)
4
π
= -
2
1
= sin(-
)
4
π
⇔




+=
+−=
ππ
π
π
2
2
2
kx
kx
(k
∈
z)
+)Với t = -

2
1
⇒
sinx + cosx = -
2
1
⇔
2
sin( x +
)
4
π
= -
2
1

⇔
sin( x +
4
π
) = -
22
1
⇔







+−−=
+−+
−
=
π
π
π
π
2)
22
1
arcsin(
4
3
2)
22
1
arcsin(
4
kx
kx
Vậy phương trình có các nghiệm là:
x=-
2
π
+k2
π
, x=
π
+k2

π
, x=
+
−
4
π
arcsin(-
22
1
)+k2
π
, x=
4
3
π
+arcsin(-
22
1
)
(k
)z∈

Ví dụ 2 . Giải phương trình : sin2x+ 2tanx= 3 ( 3b)
Giải:
ĐK: cosx
0≠

Đặt tanx= t
⇒
sin2x=

2
1
2
t
t
+
. Phương trình (3b) trở thành:

2
1
2
t
t
−
+ 2t= 3
⇔
2t
3
- 3t
2
+ 4t- 3= 0
⇔
t= 1.
+) Với t= 1
⇔
tanx= 1
π
π
kx +=⇔
4

(k
)z∈
Vậy phương trình có nghiệm là: x=
π
π
k+
4
(k
)z∈
Ví dụ 3: Giải phương trình:
3cosx+ 4sinx+
6
1sin4cos3
6
=
++ xx
(4b)
Giải.
Đặt: 3cosx+ 4sinx+1= t
⇒
3cosx+ 4sinx= t- 1(
).ot ≠
Phương trình (4b) trở thành: t- 1+
6
6
=
t

⇔
t

2
- t+ 6= 6t

⇔
t
2
-7t+ 6= 0



=
=
⇔
1
6
t
t
+) Với t= 6
⇒
4sinx+ 3cosx+ 1= 6
⇔
4sinx+ 3cosx= 5
7

⇔
1sin
5
4
cos
5

3
=+ xx
⇔
sin
1sincoscos
=+
xx
αα
(sin
5
3
=
α
, cos
5
4
=
α
)

⇔
sin(x+
)
α
= 1
π
π
α
2
2

kx +=+⇔
⇔
x= -
π
π
α
2
2
k++
(k
)z∈
+)Vớit=1
⇒
3cosx+4sinx=0
0sin
5
4
cos
5
3
=+⇔ xx
0)sin( =+⇔
α
x

(sin
5
3
=
α

, cos
5
4
=
α
)
πα
kx
=+⇒

πα
kx
+−=⇒
(k
)z∈
.
Vậy phương trình có nghiệm là: x=-
π
π
α
2
2
k++
, x=-
πα
k
+
(k
)z∈

Ví dụ4: Giải phương trình:
sin
3
x - 6 sin
2
xcosx + 11sinxcos
2
x - 6 cos
3
x =0 (4b)
Giải:
+) Nếu cosx = 0
⇒
x=
2
π
+k
π
(k
∈
z)
Phương trình trở thành :
±
1 = 0 vô lý . Vậy cosx
≠
0 .
Chia cả 2 vế của phương trình ( 4b) cho cos
3
x
≠

0
khi đó phương trình (4b) trở thành:
tan
3
x- 6tan
2
x+11tanx-6=0 (4b
/
)
Đặt: tanx=t.
(4b
/
)
⇔
t
3
- 6t
2
+11t - 6 = 0
⇔
( t- 1)( t
2
- 5t +6) =0

⇔
(t- 1) (t-2) ( t- 3) = 0
⇔







=
=
=
3
2
1
t
t
t
+)Với t=1
⇒
tanx =1
⇒
x=
4
π
+k
π
(k
∈
z)
+)Với t =2
⇒
tanx = 2
⇒
x=
α

+ l
π
(l
∈
z , tan
α
=2)
+)Với t= 3
⇒
tanx= 3
⇒
x=
β
+m
π
(m
∈
z ,tan
β
= 3)
Vậy nghiệm của phương trình là: x=
4
π
+k
π
, x=
α
+l
π
, x=

β
+m
π
( k, l, m
∈
z ; tan
α
=2 ;tan
β
=3).
Ví dụ5 . Giải phương trình: sin(2x+
1)
6
cos()
6
−−=
ππ
x

Giải.
Đặt: x-
2
2
6
2
6
πππ
+=+⇒= txt
8







+±=
+=
⇒




=
=
⇔
=−⇔−=+
π
π
π
π
π
kt
kt
t
t
ttt
3
2
2

1
cos
0cos
0cotcos21cos)
2
2sin(
2
+) t=
π
π
π
ππ
π
π
kxkxk +=⇒+=−⇒+
3
2
262
+) t=
π
π
π
ππ
π
π
2
2
2
36
2

3
kxkxk +=⇔+=−⇒+
(k
)z∈
+) t=-
π
π
π
ππ
π
π
2
6
2
36
2
3
kxkxk +
−
=⇔+−=−⇒+
Vậy các nghiệm của phương trình là:
).(2
6
,2
2
,
3
2
zkkxkxkx ∈+
−

=+=+=
π
π
π
π
π
π
Ví dụ6 (HSGT-2009)
Giải phương trình:
)
4
sin(.2sin)
4
3sin(
ππ
+=− xxx

Giải.
Đặt:
4
π
+= xt
.Phương trình đã cho trở thành:

242
02sin
0cos.sin
1sin
0sin
0sinsin

sin2cos3sinsin)
2
2sin()3sin(
2
3
πππ
π
π
kxktt
tt
t
t
tt
tttttt
+−=⇒=⇔=⇔
=⇔



=
=
⇔=−⇔
−=−⇔−=−
Vậy các nghiệm của phương trình là:
).(
24
zkkx ∈+−=
ππ

. (*) Một số bài tập tương tự:

Bài 1: Giải các phương trình sau:
9
1. (HVQHQT- 2000) . cos
2
x + cos
2
2x + cos
2
3x + cos
2
4x =
2
3
2. ( Đại học dự bị khối B- 2004). 4(sin
3
x + cos
3
x) = cosx + 3sinx
3. (ĐHGTVT - 2001) . sin
4
x + sin
4
( x+
4
π
) + sin
4
(x -
4
π

) =
8
9
.
4. (ĐHQGNH - 2000) . 2sinx + cotx = 2sin2x + 1
5. 2sin
3
x + 4 cos
3
x = 3sinx
6. 8 cos
3
( x+
3
π
) = cos3x
7. 4cos
3
x +3
2
sin2x = 8 cosx
8.
2
sin3
2
x
cos(
22
3 x
+

π
) +
2
sin3
2
x
cos
2
x
=sin
2
x
cos
2
2
x

+sin
2
(
22
π
+
x
)cos
2
x
Bài 2: Cho phương trình:
cos
6

x + sin
6
x = msin2x
a) Giải phương trình khi m=1
b) Tìm m để phương trình có nghiệm
Bài 3: Cho phương trình :
(2sinx-1)( 2cos2x +2 sinx + m) =3 - 4cos
2
x
a) Giải phương trình khi m=1
b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có đúng 2 nghiệm thoả
mãn: 0
π
≤≤ x
Bài 4: Cho phương trình .
m(sinx+ cosx) +1+
2
1
(tanx +cotx+
xsin
1
+
xcos
1
) =0
a) Giải phương trình khi m=
2
1
b) Xác định m nguyên để phương trình có nghiệm trong khoảng (0;
2

π
).
3.Phương pháp3: Giải phương trình lượng giác đưa về phương trình tích.
Rất nhiều phương trình lượng giác chỉ cần biến đổi lượng giác cơ bản để
nhóm thừa số chung đưa về phương trình tích, đây là hướng ra đề chủ yếu trong
các đề thi đại học mấy năm gần đây. Phương pháp này không phức tạp về tính
toán, về thủ thuật biến đổi nhưng đòi hỏi phải vận dụng linh hoạt các công thức
lượng giác để tạo các biến thức chung.
Một số kỹ năng nhóm thừa số chung đơn giản nhưng rất hiệu quả:
10
+) cos
2
x = 1 -sin
2
x =( 1- sinx)(1+ sinx)
+) sin
2
x = 1- cos
2
x =( 1- cosx)(1+ cosx)
+) cos2x = cos
2
x - sin
2
x =(cosx-sinx)(cosx+sinx)
+) 1+ sin2x =1+2sinxcosx=( sinx+cosx)
2
+) 1- sin2x = 1- 2 sinxcosx =(sinx-cosx)
2
Ví dụ 1: (Đại học khối D- 2008). Giải phương trình :

2sinx( 1 + cos2x)+sin2x = 1+2cosx (3a)
Giải.
Phương trình (3a) tương đương với:
2sinx( 1+ 2cos
2
x - 1) + 2sinxcosx =1 +2cosx

⇔
4sinxcos
2
x + 2sinxcosx =1+ 2 cosx

⇔
2 sinxcosx ( 1+ 2cosx) = 1 + 2cosx

⇔
(1 + 2 cosx) (2 sinxcosx - 1) = 0

⇔




=−
=+
01cossin2
01cos2
xx
x

⇔




=
−=
12sin
2
1
cos
x
x

⇔










+=
+−=
+=
π
π

π
π
π
π
kx
kx
kx
4
2
3
2
2
3
2
(k
∈
z)
Vậy các nghiệm của phương trình là:
x=
3
2
π
+k2
π
, x=-
3
2
π
+k2
π

, x=
4
π
+k
π
( k
∈
z)
Ví dụ 2: (ĐHkB-2002 ) Giải phương trình:
sin
2
3x - cos
2
4x = sin
2
5x - cos
2
6x (3b)
Giải.
Phương trình (3b) tương đương với:
sin
2
3x + cos
2
6x = sin
2
5x + cos
2
4x

⇔
2
6cos1 x−
+
2
12cos1 x+
=
2
10cos1 x−
+
2
8cos1 x+

⇔
cos12x - cos6x = cos8x - cos10x

⇔
- 2sin9x.sin3x = 2sin9x.sinx

⇔
2sin9x ( sinx+ sin3x ) =0
11

⇔




−=
=

xx
x
3sinsin
09sin
⇔






++=
+−=
=
ππ
π
π
23
23
9
kxx
kxx
kx
⇔









+=
=
=
2
2
9
π
π
π
π
kx
kx
kx
(k
∈
z).
Vậy các nghiệm của phương trình là: x =
9
π
k
, x =
2
π
k
(k
∈
z).
Ví dụ 3: (Đại học khối A- 2003 ). Giải phương trình .

cotx -1 =
x
x
tan1
2cos
+
+sin
2
x -
2
1
sin2x (3c)
Giải.
Điều kiện xác định:





≠
≠
≠
0sin
0cos
1tan
x
x
x
(*)
Với điều kiện (*) phương trình (3c) tương đương với:

x
x
sin
cos
- 1 =
x
xx
tan1
sincos
22
+
−
+ sin
2
x -
2
1
2sinxcosx
⇔

x
xx
sin
sincos −
=
[ ]
xx
xxxxx
sincos

)sin)(cossin(coscos
+
+−
- sinx(cosx- sinx)
⇔

x
xx
sin
sincos −
= cosx ( cosx - sinx) -sinx (cosx -sinx)
⇔
(cosx - sinx) ( 1 -sinxcosx + sin
2
x) = 0
⇔




=+−
=−
0sincossin1
0sincos
2
xxx
xx
+) cosx -sinx = 0
⇔
tanx = 1

⇔
x=
4
π
+ k
π
(k
∈
z)
+) 1 - sinxcosx +sin
2
x = 0
⇔
1 -
2
1
sin2x + sin
2
x = 0

⇔
2 - sin2x + (1 - cos2x) = 0
⇔
sin2x + cos2x = 3 (vô nghiệm)
Vậy nghiệm của phương trình là: x=
4
π
+ k
π
(k

∈
z)
Ví dụ 4: (ĐHQG HN-99). Giải phương trình.
cos
6
x + sin
6
x = 2( cos
8
x + sin
8
x) (3d)
12
Giải.
Phương trình (3d) tương đương với:
2cos
8
x + 2sin
8
x - cos
6
x -sin
6
x = 0

⇔
cos
6
x ( 2 cos
2

x - 1) - sin
6
x ( 1- 2sin
2
x) = 0

⇔
cos
6
x .cos2x - sin
6
x .cos2x = 0

⇔
cos2x ( cos
6
x - sin
6
x ) = 0

⇔
cos2x ( cos
2
x - sin
2
x )( 1- sin
2
x.cos
2
x) =0

⇔
cos
2
2x ( 1 - sin
2
x.cos
2
x) = 0
⇔
cos
2
2x (1 -
4
1
sin
2
2x) = 0
⇔
cos2x = 0
⇔
2x =
2
π
+k
π

⇔
x=
4

π
+ k
2
π
( k
∈
z)
Vậy phương trình có nghiệm là: x =
4
π
+ k
2
π
(k
∈
z).
Ví dụ5. (Đại học khối A- 2011). Giải phương trình:

xx
x
xx
2sinsin2
cot1
2cos2sin1
2
=
+
++
(3e)
Giải.

ĐK: x
≠
k
π
( k
∈
z)
Phương trình (3e) tương đương với:
sin
2
x( 1+ sin2x+ cos2x ) =
2
sinxsin2x

⇔
sinx ( 2cosx + 2sinxcosx ) = 2
2
sinxcosx

⇔



=+
=
2sincos
0cos
xx
x
⇔







=+
+=
1)
4
sin(
2
π
π
π
x
kx

⇔







+=
+=
π

π
π
π
mx
kx
2
4
4
(m, k
)z∈
.
Vậy phương trình có nghiệm là: x =
π
π
k+
4
, x =
π
π
m2
4
+
(m, k
z∈
).
Ví dụ 6. (Đại học khối B- 2011). Giải phương trình:
sin2xcosx +sinxcosx = cos2x+ sinx+ cosx
Giải:
sin2xcosx +sinxcosx = cos2x+ sinx+ cosx

⇔
2sinxcos
2
x- sinx+ sinxcosx= cos2x+ cosx

⇔
sinx(2cos
2
x-1)+ cosx(sinx-1)- cos2x=0

⇔
cos2x(sinx-1)+ cosx(sinx-1)= 0

⇔
(cos2x+ cosx)(sinx-1) = 0
13







+=
+=
⇔



=

−=
⇔
π
π
ππ
2
2
3
2
3
1sin
cos2cos
kx
kx
x
xx
Vậy các nghiệm của phương trình là:
).(
3
2
3
,2
2
zkkxkx ∈+=+=
ππ
π
π
Ví dụ7 (HSGT-2010). Giải phương trình:
cos2x+ cos3x- sinx- cos4x= sin6x. (3f)
Giải.

(3f)
⇔
(cos2x-cos4x)- sinx+ (cos3x-2sin3x.cos3x)

⇔
(2sinxsin3x- sinx)- (2sin3xcos3x- cos3x)= 0.

⇔
(2sin3x- 1)(sinx- co3x) = 0

⇔







−=
=
)
2
cos(3cos
2
1
3sin
xx
x
π

⇔












+−=
+=
+=
+=
π
π
ππ
ππ
ππ
kx
kx
kx
kx
4
28
3
2

18
5
3
2
18
(k
)z∈
.
Vậy phương trình có nghiệm là:
x=
3
2
18
ππ
k+
, x=
3
2
18
5
ππ
k+
, x=
28
ππ
k+
, x=-
π
π
k+

4
(k
∈
z).
(*) Một số bài tập tương tự:
Giải các phương trình sau:
1. Đại học khối A-2010).
x
xxx
tan1
4
sin()cossin1(
+
+++
π
=
2
1
cosx
2 ( Đại học khối D- 2011) .
3tan
1sincos22sin
+
−−+
x
xxx
=0
3.(Đại học khối D-2004) . (2cosx - 1) (2 sinx+ cosx) =sin2x - sinx
4.(Đại học khối B - 2005) . 1+ sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0
5. (Đại học khối D - 2010). sin2x - cos2x + 3 sinx - cosx - 1 = 0

6. (Đại học khối A- 2007) . (1 + sin
2
x) cosx + ( 1+ cos
2
x) sinx=1+sin2x
7. (Đại học khối B-2010). (sin2x + cos2x) cosx + 2 cos2x -sinx = 0
14
4. Phương pháp 4 : Phương pháp đánh giá.
Xét phương trình: f(x)= g(x) (c).
Trong đó f(x)
≥
A; g(x)
≤
A , suy ra (c)
⇔



=
=
Axg
Axf
)(
)(

+)Chú ý một số bất đẳng thức cơ bản:
-1
≤
sinx
≤

1
⇒
sin
n
x
≤
sin
2
x
-1
≤
cosx
≤
1
⇒
cos
n
x
≤
cos
2
x (n
≥
2)
Ví dụ 1. Giải phương trình sau:
cos2x + cos
4
3x
- 2 = 0 (4a)
Giải.

Phương trình (4a) tương đương với:
cos2x + cos
4
3x
= 2
Do: cos2x
≤
1; cos
4
3x
≤
1
⇒
cos2x + cos
4
3x

≤
2

⇒
cos2x + cos
4
3x
= 2
⇔







=
=
1
4
3
cos
12cos
x
x

⇔






=
=
3
8
π
π
k
x
kx

⇔

x=k8
π
(k
∈
z).
Vậy nghiệm của phương trình là: x=k8
π
(k
∈
z).
Ví dụ 2. Giải phương trình sau:
sinx.cos4x = 1
Giải
sinx.cos4x = 1
23sin5sin =−⇔ xx

Do: -1
≤
sin5x
≤
1, -1
≤
- sin3x
≤
1 nên sin5x-sin3x
2≤
Phuwowng trình đã cho tương đương với:
π
π
ππ

ππ
2
2
3
2
6
5
2
10
13sin
15sin
tx
k
x
k
x
x
x
+=⇒







+
−
=
+=

⇔



−=
=
.
Vậy phương trình có nghiệm là: x =
π
π
2
2
t
+
(k
∈
z).
Ví dụ 3. Giải phương trình :
cos
2012
x + sin
2012
x = 1
15
Giải.
Ta có: sin
2
x ( 1- sin
2010
x)

≥
0 ( vì -1
≤
sinx
≤
1)
cos
2
x (1 - cos
2010
x )
≥
0 ( vì -1
≤
cosx
≤
1)
Nên sin
2
x
≥
sin
2012
x và cos
2
x
≥
cos
2012
x

Do đó : sin
2012
x + cos
2012
x
≤
sin
2
x + cos
2
x =1
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi :






=−
=−
0)cos1(cos
0)sin1(sin
20102
20102
xx
xx
⇔












=
=




=
=
1cos
0cos
1sin
0sin
2010
2
2010
2
x
x
x
x
⇔




=
=
0cos
0sin
x
x
⇔
x = k
2
π
(k
∈
z)
Vậy nghiệm của phương trình là : x = k
2
π
(k
∈
z)
Qua ví dụ 3, ta có bài toán tổng quát:
Giải phương trình : sin
n
x + cos
n
x = 1 ( n
≥
2, n
∈

z).
Ví dụ 4. Giải phương trình :
cos
5
x + sin
5
x + cos2x + sin2x = 1 +
2
(4a)
Giải.
Ta có: cos2x + sin2x =
2
sin( 2x +
4
π
)
≤

2
cos
2
x( 1- cos
3
x )
≥
0 (vì -1
≤
cosx
≤
1)

sin
2
x ( 1 -cos
3
x )
≥
0 ( vì - 1
≤
sinx
≤
1)
Nên : cos
5
x + sin
5
x
≤
cos
2
x + sin
2
x = 1
Phương trình (4a) dẫn tới hệ:






=+

=+
22sin2cos
1sincos
55
xx
xx
⇔






=+
=−
=−
22sin2cos
0)sin1(sin
0)cos1(cos
32
32
xx
xx
xx

⇔









=+





=



=
=
22sin2cos
1
1sin
0cos
xx
cox
x
x
Hệ phương trình vô nghiệm, Phương trình đã cho vô nghiệm .
Ví dụ 5. Giải phương trình:
cos3x +
x3cos2
2
−

=2 (1+sin
2
2x) (4b)
Giải:
16
Ta có: 2(1+ sin
2
2x)
≥
2
∀
x ( vì 0
≤
sin
2
2x
≤
1)
1.cos3x+ 1.
x3cos2
2
−

≤
)3cos23)(cos11(
2222
xx −++
= 2
∀
x.

(áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpki )
Phương trình (4b) dẫn tới hệ sau:






=−+
=+
23cos23cos
2)2sin1(2
2
2
xx
x

⇔





−=
=
xx
x
3cos23cos
02sin
2

⇔



=
=
13cos
02sin
x
x

⇔







=
=
3
2
2
π
π
lx
kx

(k,l
∈
z)
⇔
x=2n
π
(n
∈
z).
Vậy nghiệm của phương trình là: x= 2n
π
( n
∈
z)
Ví dụ 6: (ĐH Y Thái Bình) . Giải phương trình:
sin
2
x +
x
x
4sin3
3sin
2
(cos3x.sin
3
x + sin3x.cos
3
x) = sinx.sin
2
3x.

Giải:
Đk: sin4x
≠
0
⇒
x
≠
k
4
π
, k
∈
z
Ta có: cos3x.sin
3
x + sin3x.cos
3
x =
4
3
sin4x
Khi đó phương trình đã cho trở thành:
sin
2
x +
4
1
sin
2
3x = sinx.sin

2
3x
⇔
(sinx-
2
1
sin
2
3x)
2
+
4
1
( sin
2
3x - sin
4
3x) = 0

⇔
( sinx -
2
1
sin
2
3x)
2
+
4
1

sin
2
3x.cos
2
3x = 0 (4c)
Do (sinx -
2
1
sin
2
3x)
2

≥
0 Và sin
2
3x.cos
2
3x
≥
0.
17
Nên phương trình (4c) dẫn tới hệ sau:





=
=−

03cos.3sin
03sin
2
1
sin
22
2
xx
xx

⇔














∈
















+=
+=
+=
⇔





=
=
=⇒





=
=

⇔



=
=
⇔



=
=
),,(
2
6
5
2
6
36
2
1
sin
03cos
3
0sin
03sin
0sin
03sin
2
2

zmtk
tx
tx
k
x
x
x
mx
tx
k
x
x
x
x
x
π
π
π
π
ππ
π
π
π
.
kết hợp điều kiện suy ra phương trình có nghiệm là:
x=
6
π
+k2
π

, x =
6
5
π
+k2
π
(k
∈
z)
Vậy nghiệm của phương trình là: x=
6
π
+k2
π
, x =
6
5
π
+k2
π
(k
∈
z).
(*) Bài tập tương tự: Giải các phương trình sau:
1) sin3x - cos10x =2
2) cos
8
x + sin
10
x = 1

3) sin
n
x +cos
n
x = 1 (n
≥
2, n
∈
z)
4) sin
n
x + cos
m
x =1 (m,n
≥
2, m,n
∈
z)
5) (cos2x - sin4x)
2
= 6 + 2sin3x (ĐHAN -97)
6) sin
3
x + cos
3
x = 2- sin
4
x
7) sinx +
x

2
sin2 −
+ sinx
x
2
sin2 −
= 3

4. Kiểm nghiệm
Để kiểm tra hiệu quả của đề tài tôi đã tiến hành kiểm tra trên hai đối tượng có
chất lượng tương đương là lớp 11M và 11N. Trong đó lớp 11N chưa được rèn
18
luyện kỹ về các phương pháp này, sau đó cho kiểm tra 45 phút với câu hỏi như
nhau.

ĐỀ KIỂM TRA(45 phút)
Giải các phương trình lượng giác sau:
1 (2đ). 5sinx - 2 = 3(1- sinx) tan
2
x
2 (2đ).
0
3tan
1sincos22sin
=
+
−−+
x
xxx

3 (2đ).
2
sin
2
1
3
cos
4
1
22
xx
=+
4 (2đ). cos
3
x+ sin
3
x = 1
5 (2đ) . 2cos(2x-
5
3
π
) = 3sin(x+
5
π
) + 5.
Kết quả thu được như sau:
Lớp Sĩ số Điểm < 5
Điểm ∈[5; 8)
Điểm
≥

8
Số lượng % Số lượng % Số lượng %
11M 39 9 23,1% 20 51,3% 10 25,6%
11N 47 28 59,6% 17 36,2% 2 4,2%
PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT.
Trong quá trình dạy học, đối với mỗi thể loại kiến thức, nếu giáo viên biết tìm
ra những cơ sở lý thuyết, biết phát huy và sáng tạo cái mới và hướng dẫn học
sinh vận dụng một cách hợp lý vào việc giải các bài tập tương ứng thì sẽ tạo
được điều kiện để học sinh củng cố và hiểu sâu về lý thuyết cùng với việc thực
19
hành giải toán một cách hiệu quả hơn, tạo được sự hứng thú, phát huy được tính
chủ động và sự sáng tạo trong việc học của học sinh
Qua đề tài này tôi thu được một số bài học :
-Phải cho học sinh tiếp xúc với nhiều bài toán với những cách giải
khác nhau.
- Rèn luyện cho học sinh phân tích bài toán để tìm lời giải tối ưu nhất.
- Rèn luyện cho học sinh cách trình bày một cách chặt chẽ , cô đọng.
Trên đây là một số kinh nghiệm mà tôi đã rút ra và áp dụng trong quá trình dạy
học nhằm ngày càng giúp ích được nhiều hơn trong học tập môn toán của học
sinh. Tuy nhiên còn nhiều vấn đề cần hoàn thiện, rất mong được tiếp thu những
ý kiến đóng góp của các đồng nghiệp để bổ sung vào đề tài nhằm hoàn thiện đề
tài tốt hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn.

XÁC NHẬN CỦA
THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Nguyễn Tuấn Anh
Thanh Hóa, ngày 15 tháng 05 năm 2013
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình
viết, không sao chép nội dung của người

khác.
Tác giả
Lê Thị Duyên
20