Tính toán dao động uốn của dầm timoshenko bằng phương pháp phân tích dạng riêng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

TÍNH TỐN DAO ĐỘNG UỐN CỦA DẦM
TIMOSHENKO BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH
DẠNG RIÊNG

HỒNG MINH VŨ

Ngành kĩ thuật cơ điện tử

Giảng viên hướng dẫn: TS. Nguyễn Thị Vân Hương
Trường:

Cơ Khí

Tháng 12 năm 2022


CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

BẢN XÁC NHẬN CHỈNH SỬA LUẬN VĂN THẠC SĨ
Họ và tên tác giả luận văn: Hoàng Minh Vũ
Đề tài luận văn: Tính tốn dao động uốn của dầm Timoshenko bằng phương
pháp phân tích dạng riêng.
Chuyên ngành: Kỹ thuật cơ điện tử
Mã số SV: 20202873M
Tác giả, Người hướng dẫn khoa học và Hội đồng chấm luận văn xác nhận tác giả đã
sửa chữa, bổ sung luận văn theo biên bản họp Hội đồng ngày 28/12/2022 với các nội
dung sau:
- Sửa các lỗi chính tả và soạn thảo văn bản bao gồm kích thước cơng thức,

cách hành văn từ nói sang viết, dấu “.” đổi thành dấu “,” trong phần số ví dụ
trang 24,26…
- Cơng thức lên đặt các cụm để khơng bị nhảy nhiều dịng và ngắn gọn lại.
- Bổ sung kết luận cho từng chương.
Ngày ….. tháng ….. năm…..
Giáo viên hướng dẫn

Tác giả luận văn

CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG


ĐỀ TÀI LUẬN VĂN
“TÍNH TỐN DAO ĐỘNG UỐN CỦA DẦM TIMOSHENKO BẰNG PHƯƠNG
PHÁP PHÂN TÍCH DẠNG RIÊNG”
Giáo viên hướng dẫn
(kí và ghi rõ họ tên)

TS. Nguyễn Thị Vân Hương


Lời cảm ơn
Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn cũng như trong những năm học
vừa qua, tác giả luận văn đã nhận được sự chỉ bảo và hướng dẫn tận tâm của TS.
Nguyễn Thị Vân Hương. Tác giả xin gửi tới cô lời cảm ơn trân trọng và sâu sắc nhất.
Ngoài ra, tác giả luận văn cũng xin gửi lời cảm ơn tới các thầy giáo, cô giáo, các
nhà khoa học, cán bộ, nhân viên trường Cơ khí, trường Đại học Bách Khoa Hà Nội
đã tận tình giúp đỡ về mặt học thuật cũng như thủ tục hành chính trong thời gian học
tập và nghiên cứu tại Đại học Bách Khoa Hà Nội.
Nhân dịp này, tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè đã động viên,

khuyến khích, động viên và tạo điều kiện cho em trong quá trình học tập và quá trình
thực hiện nghiên cứu này.
Do hạn chế về kiến thức, kinh nghiệm, thời gian tìm hiểu và nghiên cứu thực hiện
luận văn nên chắc chắn cịn nhiều thiếu sót. Tác giả rất mong sẽ nhận được nhiều ý
kiến đóng góp của các nhà khoa học để tác giả có được cái nhìn sâu sắc hơn về vấn
đề này.

Hà Nội, 2022
Tác giả

Hoàng Minh Vũ


Tóm tắt nội dung luận văn
Trong luận văn này, sử dung phương pháp khai triển theo các dạng dao động riêng
tính tốn dao động uốn tự do và cưỡng bức của dầm Timoshenko. Chú ý rằng việc
tính tốn dao động tự do (tần số riêng dạng dao động riêng) của dầm Timoshenko
bằng phương pháp dạng dao động riêng được quan tâm từ những năm 50-60 của thế
kỷ 20 [5, 6]. Việc tính tốn dao động cưỡng bức của dầm Timoshenko bằng phương
pháp dạng dao động riêng là vấn đề còn tương đối thời sự, được quan tâm nghiên cứu
trong những năm gần đây [17, 18, 20, 26].
Sau đây là những nội dung chính được trình bày trong luận văn:
1. Sự khác nhau giữa tính tốn tần số riêng và dạng dao động riêng của dầm EulerBernoulli và dầm Timoshenko: Đối với dầm Euler-Bernoulli ta có cơng thức tổng
qt để tính các tần số riêng của dầm đồng chất thiết diện không đổi

 kπ 
ωk =  
 l 

2

EI
, với k = 1,2,3…
ρA

Đối với dầm Timoshenko ta khơng có cơng thức tổng quát để tính các tần số riêng
của dầm đồng chất thiết diện không đổi. Đối với dầm Timoshenko ta chỉ có thể xác
định tần số riêng qua việc giải các phương trình đại số phi tuyến. Do đó việc xác định
các hàm riêng của dầm Timoshenko đồng chất thiết diện không đổi phức tạp hơn
nhiều so với việc xác định các hàm riêng của dầm Euler-Bernoulli đồng chất thiết
diện không đổi. Đối với dầm Timoshenko đồng chất thiết diện khơng đổi, khái niệm
tần số cắt có một ý nghĩa hết sức quan trọng. Tần số cắt của dầm Timoshenko được
xác định bởi công thức sau

ωc =

k * GA
ρI

Do trị số của tần số cắt thường khá lớn, nên trong các bài tốn thực tế tần số của lực
kích động tác dụng lên dầm thường nhỏ hơn tần số cắt của dầm. Do đó khơng giảm
tổng qt người ta thường chỉ quan tâm đến các dạng dao động riêng ứng với các tần
số riêng nhỏ hơn tần số căt khi nghiên cứu dao động cưỡng bức.
2. Việc tính tốn dao động cưỡng bức của dầm Euler-Bernoulli đồng chất thiết diện
khơng đổi có thể thực hiện bằng phương pháp giải tích và là bài tốn tương đối đơn


giản. Do không thể xác định được các biểu thức giải tích tính tốn các tần số riêng
dao động uốn của dầm Timoshenko nên việc tính tốn dao động cưỡng bức của dầm
Timoshenko đồng chất thiết diện không đổi là bài tốn khá phức tạp chỉ có thể giải

quyết bằng phương pháp giải tích – số.
3. Trong luận văn này sử dụng các kết quả trong tài liệu [30] chúng tơi trình bày một
cách hệ thống việc tính tốn dao động uốn tự do và cưỡng bức của dầm Timoshenko
bằng phương pháp phân tích theo các dạng riêng. Một vài kết quả nhỏ nhưng mới của
luận văn là: Chứng minh điều kiện trực giao của các dạng riêng trong dao động uốn
của dầm Timoshenko một cách tương đối tổng quát và tính tốn mơ phỏng số thêm
một số thí dụ nhằm minh họa phương pháp tính trình bày trong luận văn.
HỌC VIÊN
( Kí và ghi rõ họ tên)

Hồng Minh Vũ


Mục Lục

MỞ ĐẦU .................................................................................................................... 1
CHƯƠNG 1. THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN DAO ĐỘNG UỐN
CỦA DẦM TIMOSHENKO .................................................................................... 2
1.1 Thiết lập phương trình dao động uốn của dầm Timoshenko................................ 2
1.2 Các điều kiện biên của dầm Timoshenko ............................................................. 5
1.3 Phương trình dao động uốn của dầm Timoshenko đồng chất thiết diện không đổi
.................................................................................................................................... 6
CHƯƠNG 2. DAO ĐỘNG TỰ DO CỦA DẦM TIMOSHENKO ĐỒNG CHẤT
THIẾT DIỆN KHÔNG ĐỔI ..................................................................................... 8
2.1 Tần số riêng và hàm dạng của dầm Timoshenko đồng chất thiết diện khơng đổi 8
2.1.1 Phương trình đặc trưng của dầm Timoshenko ..................................................... 8
2.1.2 Một số tính chất của phương trình đặc trưng ..................................................... 12
2.1.3 Cơng thức xác định bốn trị riêng của dầm Timoshenko ..................................... 13
2.1.4 Các hàm dạng riêng của dầm Timoshenko ........................................................ 14
2.2 Tần số riêng và dạng dao động riêng của một số loại dầm Timoshenko ........... 18

2.2.1 Dầm 2 đầu bản lề .............................................................................................. 18
2.2.2 Dầm một đầu ngàm một đầu tự do .................................................................... 32
2.2.3 Dầm hai đầu ngàm ............................................................................................ 43
2.3 Chứng minh điều kiện trực giao của các dạng riêng trong dao động uốn của dầm
Timoshenko .............................................................................................................. 54
2.3.1 Các phương trình dao động uốn tự do ............................................................. 54
2.3.2 Các điều kiện biên của dầm Timoshenko ........................................................ 56
2.3.3 Kết luận tính trực giao ..................................................................................... 57
CHƯƠNG 3. DAO ĐỘNG CƯỠNG BỨC CỦA DẦM TIMOSHENKO ĐỒNG
CHẤT, THIẾT DIỆN KHƠNG ĐỔI...................................................................... 59
3.1 Tính tốn dao động cưỡng bức của dầm Timoshenko đồng chất, thiết diện
không đổi bằng phương pháp khai triển theo dạng dao động riêng ......................... 59
3.2 Các thí dụ áp dụng .............................................................................................. 62
3.2.1 Tính tốn dao động uốn cưỡng bức của dầm Timoshenko hai đầu bản lề ...... 62
3.2.2 Dao động trong quá trình chuyển tiếp của dầm Timoshenko hai đầu bản lề
chịu tác dụng của một lực di chuyển ........................................................................ 70


CHƯƠNG 4. ĐIỀU KHIỂN DAO ĐỘNG CỦA DẦM TIMOSHENKO ĐỒNG
CHẤT THIẾT DIỆN KHÔNG ĐỔI BẰNG CÁC BỘ GIẢM CHẤN ĐỘNG LỰC
.................................................................................................................................. 80
4.1 Thiết lập phương trình dao động uốn của dầm Timoshenko có gắn nhiều bộ
giảm chấn động lực................................................................................................... 80
4.2 Rời rạc hóa phương trình dao động của dầm Timoshenko chứa nhiều bộ giảm
chấn bằng phương pháp Ritz-Galerkin ..................................................................... 82
4.3 Dạng ma trận của phương trình vi phân chuyển động của dầm lắp nhiều bộ giảm
chấn TMD ................................................................................................................. 86
4.4 Các thí dụ áp dụng .............................................................................................. 91
4.4.1 Giảm dao động uốn của dầm Timoshenko 2 đầu bản lề bằng nhiều bộ giảm
chấn động lực............................................................................................................ 91

4.4.2 Giảm dao động uốn của dầm Timoshenko một đầu ngàm một đầu tự do bằng
nhiều bộ giảm chấn động lực.................................................................................. 102
4.4.3 Ảnh hưởng của các bộ giảm chấn đến dao động uốn của dầm ......................... 104
Kết luận Chương 4.................................................................................................. 107
KẾT LUẬN ........................................................................................................... 108
TÀI LIỆU THAM KHẢO.................................................................................... 110


Danh mục hình vẽ
Hình 1.1 Hình dầm bị uốn .......................................................................................... 2
Hình 1.2 Các thành phần biến dạng của phần tử dầm Timoshenko ........................... 3
Hình 1.3 Phân tố dầm ................................................................................................. 3
Hình 1.4 Mặt cắt ......................................................................................................... 3
Hình 1.5 Dầm hai đầu bản lề ...................................................................................... 5
Hình 1.6 Dầm một đầu ngàm một đầu tự do ............................................................. 6
Hình 1.7 Dầm hai đầu ngàm ....................................................................................... 6
Hình 2.1 Dầm hai đầu bản lề .................................................................................... 18
Hình 2.2 Hàm dạng chuyển vị của dầm ................................................................... 25
Hình 2.3 Hàm dạng góc xoay mặt cắt ngang của dầm ............................................. 26
Hình 2.4 Hàm dạng chuyển vị của dầm ................................................................... 27
Hình 2.5 Hàm dạng góc xoay mặt cắt ngang của dầm ............................................. 27
Hình 2.6 Hàm dạng chuyển vị của dầm ................................................................... 29
Hình 2.7 Hàm dạng góc xoay mặt cắt ngang của dầm ............................................. 29
Hình 2.8 Hàm dạng chuyển vị của dầm ................................................................... 31
Hình 2.9 Hàm dạng góc xoay mặt cắt ngang của dầm ............................................. 31
Hình 2.10 Dầm một đầu ngàm một đầu tự do .......................................................... 32
Hình 2.11 Hàm dạng chuyển vị dầm ......................................................................... 38
Hình 2.12 Hàm dạng góc xoay của dầm................................................................... 39
Hình 2.13 Hàm dạng chuyển vị dầm ......................................................................... 40
Hình 2.14 Hàm dạng góc xoay của dầm................................................................... 41

Hình 2.15 Hàm dạng chuyển vị dầm ......................................................................... 42
Hình 2.16 Hàm dạng góc xoay của dầm................................................................... 43
Hình 2.17 Dầm hai đầu ngàm .................................................................................. 43
Hình 2.18 Hàm dạng chuyển vị của dầm ................................................................ 48
Hình 2.19 Hàm dạng góc xoay của dầm................................................................... 48
Hình 2.20 Hàm dạng chuyển vị của dầm ................................................................. 50
Hình 2.21 Hàm dạng góc xoay của dầm................................................................... 50
Hình 2.22 Hàm dạng chuyển vị của dầm ................................................................ 51
Hình 2.23 Hàm dạng góc xoay của dầm.................................................................. 52
Hình 2.24 Hàm dạng chuyển vị của dầm ................................................................ 53
Hình 2.25 Hàm dạng góc xoay của dầm.................................................................. 54
Hình 3.1 Dầm 2 đầu bản lề ....................................................................................... 62
Hình 3.2 Biên độ của dao động ................................................................................ 66
Hình 3.3 Dao động uốn tại vị trí x = l/2 ................................................................... 66
Hình 3.4 Dao động uốn tại vị trí x = l/4, x = l/2, x = 3l/4 ........................................ 67
Hình 3.5 Dao động xoay mặt cắt ngang tại vị trí x =l/4, x =l/2, x =3l/4 .................. 67
Hình 3.6 Dao động uốn tại vị trí x =l/4, x =l/2, x =3l/4 ........................................... 67
Hình 3.7 Dao động xoay mặt cắt ngang tại vị trí x =l/4, x =l/2, x ........................... 68


Hình 3.8 Dao động uốn tại vị trí x =l/4, x =l/2, x ..................................................... 68
Hình 3.9 Biên độ của dao động bậc 1, 2, 3 ............................................................... 69
Hình 3.10 Dao động uốn tại vị trí x =l/2 .................................................................. 69
Hình 3.11 Dao động xoay mặt cắt ngang tại vị trí x =l/2 ......................................... 69
Hình 3.12 Biên độ của dao động bậc 1, 2, 3............................................................. 70
Hình 3.13 Dao động uốn tại vịtrí x =l/2 ................................................................... 70
Hình 3.14 Dầm timosenco được đỡ bởi khớp bản lề................................................ 73
Hình 3.15 Dao động uốn w(x,t) của dầm tại vị trí x=0.5l ........................................ 76
Hình 3.16 Góc quay của mặt cắt ngang dầm so với trục thẳng đứng tại các vị trí x =
0.25l; x = 0.5l, x = 0.75l ........................................................................................... 76

Hình 3.17 Dao động uốn của dầm tại vị trí x = 0.25l, x = 0.5l, x = 0.75l ................ 76
Hình 3.18 Dao động lớn nhất của dầm tại các vị trí x = 0.5l. .................................. 77
Hình 3.19 Dao động uốn của dầm tại vị trí x=0.5l ................................................... 77
Hình 3.20 Dao động uốn w(x,t) của dầm tại vị trí x=0.5l ........................................ 78
Hình 3.21 Góc quay của mặt cắt ngang dầm so với trục thẳng đứng....................... 78
Hình 3.22 Dao động uốn của dầm tại các vị trí x = 0.25l, x = 0.5l, x = 0.75l .......... 79
Hình 4.1 Mơ hình dầm chịu kích động phân bố có gắn nhiều bộ giảm chấn TMD . 80
Hình 4.2 Các cấu trúc con ........................................................................................ 81
Hình 4.3 Mơ hình dầm 2 đầu bản lề chịu kích động phân bố có gắn nhiều bộ giảm
chấn TMD ................................................................................................................. 91
Hình 4.4 Dao động chuyển tiếp của dầm, Ω= ω1 rad/s, P0 = 100N ........................ 102
Hình 4.5 Dao động uốn bình ổn của dầm,Ω = ω1 rad/s, P0 = 100N ....................... 102
Hình 4.6 Dao động uốn của dầm ,Ω = ω1 rad/s, P0 = 200N ................................... 103
Hình 4.7 Dao động chuyển tiếp của dầm, Ω = 10 rad/s, P0 = 100N....................... 103
Hình 4.8 Dao động uốn bình ổn của dầm,Ω = 10 rad/s, P0 = 100N ....................... 104
Hình 4.9 Dao động uốn của dầm, Ω = 10 rad/s, P0 = 200N .................................. 104
Hình 4.10 Dao động uốn của dầm khi có giảm chấn,Ω = ω1rad/s, P0 = 100N ....... 105
Hình 4.11 Dao động của các bộ giảm chấn tại các vị trí, Ω = ω1rad/s, P0 = 100 ... 105
Hình 4.12 Dao động uốn của dầm khi có giảm chấn,Ω = ω1rad/s, P0 = 200N ...... 106
Hình 4.13 Dao động của các bộ giảm chấn tại các vị trí, Ω = ω1 rad/s, P0 = 200N 106
Hình 4.14 Dao động uốn của dầm khi có giảm chấn,Ω = 10rad/s, P0 = 100N ....... 107
Hình 4.15. Dao động của các bộ giảm chấn tại các vị trí,Ω = 10rad/s, P0 = 100N 107


Danh mục bảng
Bảng 2.1 Bộ tham số thứ nhất: Tham số của hệ ....................................................... 24
Bảng 2.2 Tần số dao động riêng của dầm Timoshenko .......................................... 25
Bảng 2.3 Bộ tham số thứ hai: Tham số của hệ ......................................................... 26
Bảng 2.4 Tần số dao động riêng của dầm Timoshenko ........................................... 27
Bảng 2.5 Bộ tham số thứ ba: Tham số của hệ .......................................................... 28

Bảng 2.6 Tần số dao động riêng của dầm Timoshenko ........................................... 28
Bảng 2.7 Bộ tham số thứ tư: Tham số của hệ .......................................................... 30
Bảng 2.8 Tần số dao động riêng của dầm Timoshenko ........................................... 30
Bảng 2.9 Bộ tham số thứ nhất của dầm .................................................................... 37
Bảng 2.10 Tần số dao động riêng của dầm Timoshenko (Hz).ωC =5319,7Hz......... 38
Bảng 2.11 Bộ tham số thứ hai của dầm .................................................................... 39
Bảng 2.12. Tần số dao động riêng của dầm Timoshenko (Hz).ωC =5319,7Hz........ 39
Bảng 2.13 Bộ tham số thứ ba của dầm ..................................................................... 41
Bảng 2.14 Tần số dao động riêng của dầm Timoshenko (Hz).ωC =5319,7Hz......... 42
Bảng 2.15 Bảng thông số [7] ..................................................................................... 47
Bảng 2.16 Tần số dao động riêng của dầm Timoshenko (Hz). ................................ 48
Bảng 2.17 Bảng thông số dầm [6] ............................................................................. 49
Bảng 2.18 Tần số dao động riêng của dầm Timoshenko (Hz). ................................ 49
Bảng 2.19 Bảng thông số [35] ................................................................................... 50
Bảng 2.20 Tần số dao động riêng của dầm Timoshenko (Hz). ................................ 51
Bảng 2.21 Bảng thông số dầm [32] ........................................................................... 52
Bảng 2.22 Tần số dao động riêng của dầm Timoshenko (Hz). ................................ 52
Bảng 3.1 Tham số của hệ ......................................................................................... 63
Bảng 3.2 Tần số dao động riêng của dầm Timoshenko (Hz) ................................... 64
Bảng 3.3 Các tham số được sử dụng cho tính tốn số.............................................. 75
Bảng 3.4 Tần số riêng của dầm [Hz] ......................................................................... 75
Bảng 3.5 Tần số riêng của dầm [Hz] ......................................................................... 78
Bảng 4.1 Tham số các bộ giảm chấn và lực kích động ............................................ 97
Bảng 4.2 Biên độ dao động tại các điểm khác nhau trên dầm khi
=
(Ω ω=
50( N / m)) ................................................................................. 98
1 ( rad ); p0
Bảng 4.3 Biên độ dao động tại các điểm khác nhau trên dầm khi
=

(Ω ω=
100( N / m)) ............................................................................... 98
1 ( rad ); p0
Bảng 4.4 Biên độ dao động tại các điểm khác nhau trên dầm khi
=
(Ω 39(
=
rad ); p0 50( N / m)) ................................................................................. 99
Bảng 4.5 Biên độ dao động tại các điểm khác nhau trên dầm khi
=
(Ω 39(
=
rad ); p0 100( N / m)) ............................................................................. 100


MỞ ĐẦU
Khi nghiên cứu dao động uốn của dầm, ta giả thiết rằng mặt cắt của dầm đối
xứng qua hai trục. Chẳng hạn mặt cắt của dầm có dạng hình trịn, hình chữ nhật,
hình chữ I. Khi mặt cắt của dầm khơng đối xứng qua hai trục thì dầm sẽ thực hiện
dao động uốn và xoắn đồng thời. Trong luận văn này khơng xét bài tốn dao động
uốn xoắn của dầm, mà chỉ xét bài toán dao động uốn của dầm. Khi bỏ qua lực quán
tính quay và biến dạng trượt của trục dầm ta có dầm Euler-Bernoulli. Nếu quan
tâm đến lực quán tính quay và biến dạng trượt của trục dầm ta có dầm Timoshenko.
Lý thuyết dao động uốn của dầm Euler-Bernoulli được giảng dạy trong
chương trình đào tạo của các trường đại học và được sử dụng nhiều trong kỹ thuật.
Trong khi đó lý thuyết dao động của dầm Timoshenko cịn ít được đề cập đến trong
các tài liệu kỹ thuật ở Việt Nam.
Trong lý thuyết dao động uốn của dầm Euler-Bernoulli bỏ qua biến dạng trượt
nên giữa lực cắt và mơ men uốn có quan hệ giải tích. Trong lý thuyết dao động
uốn của dầm Timoshenko khơng có quan hệ giải tích giữa lực cắt và mơ men uốn.

Do đó từ các biểu tích về dầm Timoshenko như phương trình dao động, biểu thức
tần số riêng.…người ta không thể suy ra các biểu thức tương ứng của dầm EulerBernoulli.
Do hệ phương trình đạo hàm riêng mơ tả dao động của dầm Timoshenko khá
phức tạp cho nên trước đây người ta hay sử dụng các phương pháp gần đúng tính
tốn dao động của dầm Timoschenko [1-4, 13]. Các phương pháp gần đúng hay
dùng là Phương pháp Ritz, Phương pháp phần tử hữu hạn, Phương pháp sai phân
hữu hạn. Gần đây việc sử dụng phương pháp dạng dao động riêng đã được quan
tâm nghiên cứu để tính tốn dao động tự do và dao động cưỡng bức của dầm
Timoshenko đồng chất thiết diện không đổi [18].
Trong luận văn này, sử dung phương pháp khai triển theo các dạng dao động
riêng tính tốn dao động uốn tự do và cưỡng bức của dầm Timoshenko. Chú ý rằng
việc tính tốn dao động tự do (tần số riêng dạng dao động riêng) của dầm
Timoshenko bằng phương pháp dạng dao động riêng được quan tâm từ những năm
50-60 của thế kỷ 20 [5, 6]. Việc tính tốn dao động cưỡng bức của dầm
Timoshenko bằng phương pháp dạng dao động riêng là vấn đề còn tương đối thời
sự, được quan tâm nghiên cứu trong những năm gần đây [17, 18, 20, 26].

1


CHƯƠNG 1. THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN DAO
ĐỘNG UỐN CỦA DẦM TIMOSHENKO

1.1 Thiết lập phương trình dao động uốn của dầm Timoshenko

Giả sử các mặt cắt của dầm luôn ln phẳng và vng góc với trục võng của dầm.
Trục hình học của dầm khi chưa biến dạng là nửa đường thẳng. Ta lấy đường thẳng
này làm trục x, còn trục z chọn vng góc với trục x (hình 1.1). Bỏ qua dao động
xoắn và dao động dọc trục. Dầm chỉ thực hiện dao động uốn theo phương z.
p(x,t)

x

x

ϕ

w
dx

Hướng dao động

z

Hình 1.1 Hình dầm bị uốn
Khác với bài tốn tĩnh, ở đây độ võng w, góc xoay ϕ, mơmen uốn M và lực
cắt Q là các hàm của toạ độ x và thời gian t

w ( x, t ) , ϕ ( x, t ) , Q ( x, t ) , M ( x, t )
Khác với dầm Euler-Bernoulli, trong lý thuyết dầm Timoshenko góc xoay
ϕ(x,t) là tổng của góc xoay ψ ( x, t ) sinh ra do biến dạng uốn thuần túy và góc xoay
θ ( x, t ) sinh ra do biến dạng trượt (hình 1.2)

tgϕ =

∂ w( x, t )
≈ ϕ ( x, t ) = ψ (x, t) + θ (x, t)
∂x

(1.1)

Bây giờ, để thiết lập các phương trình dao động uốn của dầm, ta tưởng tượng
tách một phân tố nhỏ của dầm có chiều dài dx như hình 1.3. Để thiết lập các phương
trình vi phân dao động uốn của dầm, ta áp dụng nguyên lý d’Alembert. Từ điều
kiện cân bằng các lực theo phương z ta có:

∂ 2w
∂Q
−dm 2 + Q +
dx − Q + p( x, t )dx =
0
∂x
∂t

(1.2)

trong đó w( x, t ) là biến dạng uốn của dầm, Q là lực cắt, p ( x, t ) là ngoại lực tác
dụng theo phương z lên một đơn vị chiều dài của dầm,
=
dm µ=
( x ) dx ρ A( x ) dx ,
với µ(x) là

2


ψ
ψ
ψ

Biến dạng uốn thuần túy do M

Biến dạng trượt
θ

Hình 1.2 Các thành phần biến dạng của phần tử dầm Timoshenko
khối lượng một đơn vị dài của dầm, ρ là khối lượng riêng của dầm, A là diện tích
mặt cắt của dầm

p(x,t)
Q(x,t)
A

M(x,t)
y

x

y

ϕ

y

z

dA

dz
x

z
d

d

z

b(z

z

Hình 1.3 Phân tố dầm

Hình 1.4 Mặt cắt

Từ điều kiện cân bằng mômen các lực lấy đối với tâm của phân tố, ta nhận được
phương trình

∂M
∂ Q  dx
∂ 2ψ
dx 
− Q +
+ dJ
=
τ ( x, t ) (1.3)
M+
dx − M − Q
dx

∂x
∂ x  2
2 
∂ t2
Trong đó τ ( x, t ) là mô men uốn tác dụng lên một phân tố của dầm, ψ ( x, t ) là
góc xoay của mặt cắt do biến dạng uốn uốn của dầm, Q là lực cắt, M là mô men
uốn, dJ là mơmen qn tính khối của phân tố đối với trục y (hình 1.4)
dJ = ∫ z 2 dm*

3


Nếu dầm là thanh đồng chất thì do dm* = ρ dA dx, ta có hệ thức
=
dJ ρ=
dx ∫ z 2 dA ρ I ( x ) dx

(1.4)

A

Trong đó I ( x) = ∫ z 2 dA là mômen quán tính mặt đối với trục y.
A

Từ các phương trình (1.2) và (1.3) ta suy ra

∂ 2w ∂ Q
+ p ( x, t )
ρ A( x) =
∂ t2 ∂ x

(1.5)

∂ 2ψ
∂M
ρ I ( x) 2 =−
Q
+ τ ( x, t )
∂x
∂t

(1.6)

Như đã biết [1, 2] biến dạng dọc của dầm sinh ra do uốn thuần túy có dạng

ε x = −z

∂ψ
∂x

(1.7)

Do đó theo định luật Hook, ứng suất dọc trục x có dạng

σ x = Eε x = − Ez

∂ψ
∂x

(1.8)

Từ lý thuyết đàn hồi tuyến tính ta có [2]
M = ∫ σ x zdA
A

Từ đó suy ra biểu thức mơ men uốn

∂ψ

∂ψ

M=
−E
z 2 dA =
− E I ( x)
∫A σ x zdA =
∂ x ∫A
∂x

(1.9)

Từ lý thuyết đàn hồi tuyến tính ta có [2]
=
Q

τ dA
∫=

*
τ tb A , τ tb = k Gθ

A

Trong đó G là mơđun đàn hồi trượt, k* là hệ số cắt hiệu chỉnh (shear correction
factor). Hệ số k* phụ thuộc vào hình dạng mặt cắt của dầm:

k *=

2
= 0,667 : khi mặt cắt có hình chữ nhật,
3

k *=

1
= 0,75 : khi mặt cắt có hình trịn,
4

Từ đó suy ra biểu thức tính lực cắt
∂ w

=
Q k=
* G A( x)θ k* G A( x) 
−ψ 
∂x


(1.10)
4

Thế phương trình (1.10) vào phương trình (1.5) ta được
ρ A( x)

∂ 2w
∂ 
∂ w

− k* G
A( x) 
−ψ   =
p ( x, t )

2
∂x
∂t
∂x


(1.11)

Thế các phương trình (1.9) và (1.10) vào phương trình (1.6) ta có

∂ 2ψ
∂ 
∂ψ 
∂w

ρ I ( x) 2 − k * GA( x) 

−ψ  − E
=
τ ( x, t ) (1.12)
I ( x)

∂x
∂ x 
∂t
∂x

Như thế ta có hệ hai phương trình đạo hàm riêng cấp hai (1.11) và (1.12)
mô tả dao động uốn của dầm Timoshenko. Hai hàm cần tìm là độ võng do biến
dạng uốn w ( x, t ) và góc xoay của mặt cắt do biến dạng uốn của dầm ψ ( x, t ) của
dầm. Để có thể xác định các hàm này từ các phương trình (1.11) và (1.12) ta cần
xác định các điều kiện biên của dầm.
1.2 Các điều kiện biên của dầm Timoshenko
Đối với các dầm đơn mỗi dầm có hai đầu. Các loại liên kết ở hai đầu dầm
cho ta các điều kiện biên. Ở đây ta xét một số loại dầm đơn cơ bản là dầm hai đầu
bản lề, dầm một đầu ngàm một đầu tự do và dầm hai đầu ngàm.
a) Đối với dầm hai đầu bản lề được mô tả trên hình 1.5 điều kiện biên tại x=0
cũng như tại x=l là: Độ võng bằng không, mô men uốn bằng khơng.
ρA, EI

x

l
z

Hình 1.5 Dầm hai đầu bản lề
Từ đó suy ra:

x = 0 : w ( 0, t ) = 0, 
 EI ( 0 )ψ ′(0) = 0

x = l : w ( l , t ) = 0,  EI ( l )ψ ′(l ) = 0

b) Đối với dầm một đầu ngàm, một đầu tự do trên hình 1.6 điều kiện biên ở
đầu x=0 là: Độ võng bằng khơng, góc xoay bằng không. Điều kiện biên ở đầu x=l
là: mômen uốn bằng không và lực cắt bằng không.

5


ρA, EI

x

l
z

Hình 1.6 Dầm một đầu ngàm một đầu tự do
Từ đó suy ra:
x=0: w(0, t ) = 0 , ψ (0, t ) = 0
x=l: EI(l)ψ ′(l ) = 0 , k *GA(l )[w '(l , t ) −ψ (l , t )] =
0
*) Đối với dầm hai đầu ngàm mơ tả trên hình 1.7 điều kiện biên ở hai đầu đều
là: Độ võng bằng khơng, góc xoay bằng khơng.
ρA, EI

x

l
z

Hình 1.7 Dầm hai đầu ngàm
Từ đó suy ra:
x = 0: w(0, t ) = 0 , ψ (0, t ) = 0
x = l: w(l , t ) = 0 , ψ (l , t ) = 0 .
1.3 Phương trình dao động uốn của dầm Timoshenko đồng chất thiết diện
không đổi
Đối với dầm đồng chất thiết diện không đổi, do A(x) và I(x) là các hằng số,
từ hệ hai phương trình dao động của dầm Timoshenko (2.11) và (2.12) ta suy ra
các phương trình đơn giản hơn như sau

∂ 2w
∂ ∂ w

−ψ  =
µ 2 − k* GA
p ( x, t )

∂x∂x
∂t


(1.13)

∂ 2ψ
∂ 2ψ
∂ w


−ψ  − EI
=
ρ I 2 − k* G A 
τ ( x, t )
∂t
∂ x2
∂x


(1.14)

trong đó µ = ρA.
Hệ phương trình dao động (2.13) và (2.14) của dầm Timoshenko có thể viết gọn lại
dưới dạng ma trận như sau:
6


M

∂ 2u ( x, t )
f ( x, t )
+ Ku ( x, t ) =
∂t 2

(1.15)

Trong đó

∂2
k

GA
−
*

ρ A 0 
∂x 2

,
=
M =
K
ρ I 

∂
 0
 − k * GA ∂x




∂2 
k * GA − EI 2 
∂x 
k * GA

 w( x, t ) 
 p ( x, t ) 
=
u( x, t ) =
, f 



ψ ( x, t ) 
 τ ( x, t ) 

∂
∂x

(1.16)

(1.17)

Kết luận Chương 1
Trong chương này, áp dụng nguyên lý d’Alembert thiết lập phương trình
đạo hàm riêng dao động uốn của dầm Timoshenko, sau đó trình bày các điều kiện
biên của dầm Timoshenko.

7


CHƯƠNG 2. DAO ĐỘNG TỰ DO CỦA DẦM
TIMOSHENKO ĐỒNG CHẤT THIẾT DIỆN KHÔNG ĐỔI

2.1 Tần số riêng và hàm dạng của dầm Timoshenko đồng chất thiết diện
khơng đổi
2.1.1 Phương trình đặc trưng của dầm Timoshenko

Từ phương trình (1.13), (1.14) cho p ( x, t ) = 0 và τ ( x, t ) =0, ta nhận được
phương trình dao động uốn tự do của dầm Timoshenko đồng chất thiết diện không
đổi

ρA
ρI

 ∂ 2 w ∂ψ 
∂ 2w
k
*
GA
0
−
 2 −
=
∂
x
x
∂ t2
∂



∂ 2ψ
∂ 2ψ
∂ w

−
−
ψ
−
=

k
*
G
A
EI
0


∂ t2
∂ x2
∂x


(2.1)
(2.2)

a) Quan hệ giữa các phương trình xác định độ võng và góc xoay
Trước hết ta tìm cách biến đổi hệ các phương trình (2.1) và (2.2) thành hai phương
trình tách rời nhau. Đạo hàm phương trình (2.2) theo x ta được

ρI

 ∂ 2 w ∂ψ 
∂ 3ψ
∂ 3ψ
−
−
−
=
k

G
A
EI
*
0
 2

∂x
∂ t 2∂ x
∂ x3
∂x

(2.3)

Từ hai phương trình (2.1) và (2.3) ta suy ra

∂ 2w
∂ 3ψ
∂ 3ψ
ρ A 2 + EI 3 − ρ I 2 =
0
∂t
∂x
∂t ∂ x

(2.4)

Mặt khác từ phương trình (2.1) ta có

∂ψ ∂ 2 w

ρ A ∂ 2w
=
−
∂ x ∂ x 2 k* GA ∂ t 2

(2.5)

Đạo hàm hai lần phương trình (2.5) theo x ta được

∂ 3ψ ∂ 4 w
ρ A ∂ 4w
=
−
∂ x3 ∂ x 4 k* GA ∂ t 2∂ x 2

(2.6)

Đạo hàm theo t hai lần phương trình (2.5) ta được

∂ 3ψ
∂ 4w
ρ A ∂ 4w
=
−
∂ x∂ t 2 ∂ x 2∂ t 2 k* GA ∂ t 4

(2.7)

Thế (2.6) và (2.7) vào phương trình (2.4) ta có

∂ 2w
∂ 4w ρ A ∂ 4w
∂ 2w
ρ A ∂ 4w
ρ A 2 + EI ( 4 − *
) − ρI( 2 2 − *
)=
0
∂t
∂x
∂ t ∂ x k GA ∂ t 4
k GA ∂ t 2∂ x 2

8


Rút gọn phương trình trên, ta được một phương trình đạo hàm riêng cấp bốn của
w(x,t)

∂ 4w
E
∂ 4w
∂ 2w ρ 2I ∂ 4w
EI
− ρ I (1 + * ) 2 2 + ρ A 2 + *
=
0
(2.8)
∂ x4
k G ∂ x ∂t

∂t
k G ∂ t4
Bằng cách biến đổi tương tự, đạo hàm phương trình (2.2) hai lần theo x ta được
 ∂ 3 w ∂ 2ψ 
∂ 4ψ
∂ 4ψ
ρ I 2 2 − k* G A  3 − 2  − EI 4 =
0
∂t ∂ x
∂x 
∂x
∂x

(2.9)

Đạo hàm phương trình (2.1) theo x ta được

 ∂ 3 w ∂ 2ψ 
∂ 3w
ρ A 2 − k* GA  3 − 2  =
0
∂t ∂ x
∂x ∂x 

(2.10)

Đem phương trình (2.10) trừ đi phương trình (2.9) ta có

EI

∂ 4ψ
∂ 4ψ
∂ 3w
ρ
ρ
−
I
+
A
=
0
∂ x4
∂ t 2∂ x 2
∂ t 2∂ x

(2.11)

Từ phương trình (2.2) ta suy ra

∂w
∂ 2ψ
∂ 2ψ
k* GA
= ρ I 2 + k* GAψ − EI
=0
∂x
∂t
∂ x2

(2.12)

Đạo hàm phương trình (2.12) hai lần theo t ta có

∂ 3w
ρ I ∂ 4ψ ∂ 2ψ
∂ 4ψ
EI
=
+
−
∂ x∂ t 2 k* GA ∂ t 4
∂ t 2 k* GA ∂ x 2∂ t 2

(2.13)

Thế biểu thức (2.13) vào phương trình (2.11) ta được

EI

∂ 4ψ
∂ 4ψ
ρ I ∂ 4ψ ∂ 2ψ
EI ∂ 4ψ
−
ρ
+
ρ
+
−
I

A
(
)=
0
∂ x4
∂ t 2∂ x 2
k *GA ∂ t 4 ∂ t 2 k *GA ∂ t 2∂ x 2

Từ đó suy ra một phương trình đạo hàm riêng cấp bốn của biến ψ ( x, t )

EI

∂ 4ψ
E
∂ 4ψ
∂ 2 w ρ 2 I ∂ 4ψ
−
ρ
I
(1
+
)
+
ρ
A
+
=
0
(2.14)
∂ x4

k *G ∂ t 2 ∂ x 2
∂ t 2 k *G ∂ t 4

Kết luận 1: Hệ hai phương trình đạo hàm riêng cấp hai vế trái phụ thuộc vào nhau
(2.1) và (2.2) có thể biến đổi về các phương trình đạo hàm riêng cấp bốn vế trái tách

=
x, t ), ψ ψ ( x, t ) . Cấu trúc
rời nhau (2.8) và (2.14). Trong đó các hàm cần =
tìm là w w(
các phương trình (2.8) và (2.14) giống nhau, nếu ta thay w = w( x, t ) bằng ψ = ψ ( x, t )
vào (2.8) ta được phương trình (2.14).
b) Phương trình đặc trưng của dầm Timoshenko

9


Do cấu trúc các phương trình (2.8) và (2.14) giống nhau, nên khi áp dụng
phương pháp tách cấu trúc nghiệm của hai phương trình (2.1) và (2.2) có thể được
tìm dưới dạng như sau

w( x, t ) = W( x) T (t ), ψ ( x, t ) = Ψ ( x) T (t )
Thế các biểu thức nghiệm (2.15) vào các phương trình (2.1) ta được
ρ AW( x)T − k * GAW ′′( x)T (t ) + k * GAΨ ′( x)T (t ) =
0

(2.15)

(2.16)

Chia hai vế phương trình (2.16) cho tích W(x)T(t) ta được
k * GAW ′′( x) k * GAΨ ′( x)
T
−
=
ρ AW( x)
ρ AW(x)
T (t )

Do vế trái của phương trình trên là hàm của x, còn vế phải là hàm của t nên
cả hai vế phải bằng một hằng số. Do có chủ ý trước ta ký hiệu hằng số đó là - ω 2 .

k * GAW ′′( x) k * GAΨ ′( x)
T
−
=
=
−ω 2
ρ AW( x)
ρ AW(x)
T (t )
Từ đó suy ra

T(t ) + ω 2T (t) =
0

k * GAW ′′( x) − k * GAΨ ′( x) + ω 2 ρ AW( x) =
0

(2.17)

(2.18)

Mặt khác khi thế các biểu thức nghiệm (2.15) vào các phương trình (2.2) ta được

0
k * GAW ′′( x) − k * GAΨ ′( x) + ω 2 ρ AW( x) =

(2.19)

Chia hai vế của (2.19) cho Ψ ( x )T (t ) ta được

EIΨ ′′( x) k * GAΨ ′( x) k * GA
T
+
−
=
=
−ω 2
T (t )
ρ I Ψ ( x)
ρ I Ψ (x)
ρI
Từ đó suy ra

T(t ) + ω 2T (t) =
0
EIΨ ′′(x)+k * GAW ′( x) + (ω 2 ρ I − k * GA)Ψ ( x) =
0

(2.20)

Từ phương trình (2.17) ta suy ra

=
T (t) B1 cos ωt + B2 sin ωt

(2.21)

Trong biểu thức (2.21), ω được gọi là tần số riêng của dầm, đây là một tham số
hết sức quan trọng.
Từ hai phương trình (2.18) và (2.20) ta suy ra hệ hai phương trình sau

10


k * GAW''( x) − k * GAW'( x) + ρω 2 AW( x) =
0
EI Ψ ''( x) + k * GAΨ '( x) + ( ρ I ω 2 − k * GA)Ψ ( x) =
0

(2.22)

Do các phương trình (2.8) và (2.14) có cấu trúc giống nhau, nên Ψ ( x ) =
cW( x) , với
c là hằng số. Từ đó ta có thể tìm nghiệm W( x) và Ψ ( x) của các phương trình (2.22)
dưới dạng:

W( x=
) ae sx , Ψ ( x=
) be sx

(2.23)

trong đó s được gọi là trị riêng.
Cần chú ý mối quan hệ giữa trị riêng và tần số riêng của dầm Timosheko và
dầm Eulet-Bernoulli khác nhau nên người đọc cần chú ý. Thế biểu thức nghiệm
(2.23) vào phương trình (2.22) ta được hệ phương trình đại số tuyến tính sau

 −(k * GAs 2 + ρ Aω 2 )
  a  0 
k * GAs
= 

2
2 
b
k
*
GAs
k
*
GA
EIs
ρ
I
ω
−
−
−


   0 

(2.24)

Để cho hệ phương trình đại số tuyến tính (2.24) có nghiệm khác không, định thức
hệ số phải bằng không. Từ đó ta có

k * GAs
−(k * GAs 2 + ρ Aω 2 )
=0
− k * GAs
k * GA − EIs 2 − ρ I ω 2

(2.25)

Khai triển định thức (2.25) ta được phương trình

0
−(k * GAs 2 + ρ Aω 2 )(k * GA − EIs 2 − ρ I ω 2 ) + k *2 G 2 A2 s 2 =
0.
⇒ k * GAEIs 4 + ( ρ I ω 2 k * GA + ρ IEAω 2 ) s 2 + ρ AI ω 4 − ρ AI ω k * GA =
Rút gọn phương trình trên ta được phương trình đặc trưng của dầm Timoshenko

s4 + ω 2 (

ρI
ρA 2
ρI ρ A 2 ρ A
ω −
)s + ω 2 ( .

)=
0
+
(2.26)
EI k * GA
EI k * GA
EI

Kết luận 2: Phương trình đặc trưng của dầm Timoshenko (2.26) là một phương
trình đại số bậc bốn của trị riêng s. Giải phương trình (2.26) ra ta sẽ nhận được bốn
trị riêng s1 , s2 , s3 và s4 .
Do phương trình đặc trưng của dầm Timoshenko (2.26) là phương trình trùng
phương nên ta có thể biến đổi như sau.
Đưa vào ký hiệu

b =ω 2 (

ρI
ρA
ρI ρ A 2 ρ A
), c =ω 2 ( .
), ξ =s 2
+
ω −
EI k * GA
EI k * GA
EI

(2.27)

Phương trình đặc trưng (2.26) của dầm Timoshenko được đưa về dạng
11


ξ 2 + bξ + c =
0

(2.28)

Nghiệm của phương trình trưng (2.28) có dạng như sau

ξ1 =

1
1
(−b − b 2 − 4c ), ξ 2 = (−b + b 2 − 4c )
2
2

(2.29)

Do ξ = s 2 nên từ (2.29) ta có thể tính 4 giá trị của trị riêng của dầm Timoshenko.
2.1.2 Một số tính chất của phương trình đặc trưng
Các trị riêng của phương trình đặc trưng phụ thuộc vào hai tham số b và c.
Theo (2.27) tham số b>0, cịn tham số c có thể dương, có thể âm và có thể bằng 0.
Tính chất 1: Khi c=0, tồn tại một tần số riêng của dầm xác định bởi công thức

ωc =
tần số

k * GA
ρI

(2.30)

ωc được gọi là tần số cắt (the cutoff frequency) của dầmTimoshenko. Đây là

một tham số hết sức quan trọng khi nghiên cứu dao động của dầm Timoshenko.
Thật vậy, từ (2.27) ta suy ra
c =ω 2 (

k * GA
ρI ρ A 2 ρ A
.
ω − ) =0 ⇒ ρ I ωc2 =k * GA ⇒ ωc =
EI k * GA
EI
ρI

Tính chất 2: Khi c ≠ 0 biệt thức ∆= b 2 − 4c luôn dương

∆= b 2 − 4c > 0

(2.31)

Thực vậy

∆= b 2 − 4c= (

ρI ρ A 2 4

ρI ρ A
ρA
+ * ) ω − 4ω 2 ( . * ω 2 −
)
EI k GA
EI k GA
EI

ρI
ρA 2 4
ρI ρ A
ρA 2
ω
(
) ω − 4ω 4 (
. *
)+4
=
+ *
EI k GA
EI k GA
EI
ρI
ρA 2 4
ρA 2
ω >0
(
) ω +4
=
− *

EI k GA
EI

Tính chất 3: Khi

ω < ωc ⇒ c < 0 ⇒ −b + b 2 − 4c > 0
ω > ωc ⇒ c > 0 ⇒ −b + b 2 − 4c < 0

(2.32)

Thực vậy, từ (2.27) và (2.30) ta có

ρ A ω2
=
c ω ( . * ω=
−
=
ω − 1) ω
− 1)
) ω
(
(
EI k GA
EI
EI k *GA
EI ωc2
2

ρI

ρA

2

ρA

2

ρA

ρI

2

2

12


Do đó: Khi ω < ωc ⇒ c < 0, , còn khi ω > ωc ⇒ c > 0 .
Theo (2.27) b>0, chú ý tính chất 2 ta suy ra

ω < ωc ⇒ c < 0 ⇒ −b + b 2 − 4c > 0,

ω > ωc ⇒ c < 0 ⇒ −b + b 2 − 4c < 0
.

2.1.3 Công thức xác định bốn trị riêng của dầm Timoshenko
Như đã định nghĩa ở trên, nghiệm của phương trình đặc trưng của dầm được
gọi là trị riêng của dầm. Từ các tính chất trên của phương trình đặc trưng của dầm

Timoshenko, ta dễ dàng suy ra biểu thức giải tích xác định các trị riêng của dầm
Timoshenko.
a) Xét biểu thức thứ nhất của nghiệm (2.29)

1
ξ1 =
− (b + b 2 − 4c )
2
Do (b + b 2 − 4c ) > 0 , nên ta có hai trị riêng của dầm Timoshenko ứng với

ξ1 ( ξ = s 2 )
s1 = i β , s2 = −i β

(2.33)

trong đó β là một số thực được xác định bởi công thức

β=
β
=

1
2

(

1
2

b + b 2 − 4c

ρI
ρA
ρI
ρA 2 4
ρA 2
)ω 2 + ( −
) ω +4
ω
+
EI k * GA
EI k * GA
EI

(2.34)

Kết luận 3: Từ biểu thức thứ nhất của phương trình (2.29) ta xác định được hai trị
riêng của dầm Timoshenko có dạng (2.33), trong đó β được xác định bởi biểu thức
(2.34).
b) Xét biểu thức thứ hai của nghiệm (2.29)

ξ2 =

1
(−b + b 2 − 4c )
2

Do công thức (2.32), ta phân chia thành 3 trường hợp xác định hai trị riêng còn lại của
dầm Timoshenko như sau:
Khi

ω < ωc ⇒ −b + b 2 − 4c > 0 ⇒ s3 =− s4 =

1
2

−b + b 2 − 4c =α

(2.35)

13


trong đó
=
α

1

(

2

ρI
ρA 2 4
ρ A 2 ρI
ρA
) ω +4
)ω 2
−

ω −( +
EI k * GA
EI
EI k * GA

(2.36)

Khi

ω > ωc ⇒ −b + b 2 − 4c < 0 ⇒ s3 = − s4 =

i
2

b − b 2 − 4c = iα '
(2.37)

trong đó

α='

1
2

(

ρI
ρA
ρI
ρA 2 4

ρA 2
+
ω
)ω 2 − ( −
) ω +4
EI k * GA
EI k * GA
EI

(2.38)

Khi
ω=
ω c ⇒ b 2 − 4c =
0

⇒ s3 =
− s4 =
iα ''

(2.39)

trong đó
α ''
=

1
2

(

ρI
EI

+

ρA
k * GA

)ω 2

(2.40)

Chú ý rằng, tham số ω trong các công thức (2.34), (2.36), (1.38) và (2.40) tham số
cần xác định. Tham số này dược gọi là tần số riêng của dầm Timoshenko và được xác
định từ các điều kiện biên của dầm Timoshenko.
Kết luận 4: Khi ω < ωc , 4 trị riêng của dầm Timoshenko được xác định bởi các công
thức (1.33) và (1.35).
Khi ω > ωc , 4 trị riêng của dầm Timoshenko được xác định bởi các công thức (2.33)
và (2.37).
Khi ω = ωc , 4 trị riêng của dầm Timoshenko được xác định bởi các công thức (1.33)
và (2.39).
2.1.4 Các hàm dạng riêng của dầm Timoshenko
Dựa vào bốn trị riêng của dầm Timoshenko xác định bởi các công thức (2.33) và
(2.35), (2.37), (2.39), nghiệm tổng quát của các phương trình vi phân (2.18) và (2.20)
được xác định như sau:
a) Trường hợp 1: 0 < ω < ωc
Chú ý đến (2.33) và (2.35), biểu thức nghiệm của các phương trình vi phân (2.18) và
(2.20) có dạng như sau

14