Các phương pháp định giá quyền chọn và áp dụng trên thị trường chứng khoán việt nam

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC THƯƠNG MẠI

BÁO CÁO TỔNG KẾT

ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP TRƯỜNG

TÊN ĐỀ TÀI: Các phương pháp định giá quyền chọn và áp dụng trên thị trường chứng

khoán Việt Nam
Mã số đề tài: CS20 - 06

Chủ nhiệm đề tài: ThS. Lê Văn Tuấn
Thành viên tham gia: TS. Nguyễn Thu Thủy

ThS. Ngô Duy Đô

Hà Nội, Tháng 5/2021

0


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC THƯƠNG MẠI

BÁO CÁO TỔNG KẾT

ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP TRƯỜNG

TÊN ĐỀ TÀI: Các phương pháp định giá quyền chọn và áp dụng trên thị trường chứng

khoán Việt Nam
Mã số đề tài: CS20 - 06

Chủ nhiệm đề tài: ThS. Lê Văn Tuấn
Thành viên tham gia: TS. Nguyễn Thu Thủy

ThS. Ngô Duy Đô

Xác nhận của Trường Đại học Thương mại

Hà Nội, Tháng 5/2021

1

Chủ nhiệm đề tài


THÀNH VIÊN THAM GIA NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI

TT

Đơn vị công tác

Họ và tên
ThS. Lê Văn Tuấn

1

Bộ mơn Tốn
(chủ nhiệm)

2

TS. Nguyễn Thu Thủy
(thành viên)

Bộ mơn Tốn

3

ThS. Ngơ Duy Đơ
(thành viên)

Bộ mơn Toán

2


MỤC LỤC

Danh mục thuật ngữ……………………………….……………………….……………………...4
Thông tin kết quả nghiên cứu……………………………………………………………………..5
Lời nói đầu..........................................................................................................................7
Chương mở đầu: Tổng quan nghiên cứu đề tài.................................................................8
Chương 1: Tóm lược một số vấn đề lý luận về chủ đề nghiên cứu
1.1. Các loại quyền chọn trên thế giới…………………………………………………………10
1.2. Các phương pháp định giá quyền chọn…………………………………………………..12
1.3. Tổng quan tình hình khách thể nghiên cứu ở Việt Nam và thế giới...........................28
Chương 2: Phương pháp nghiên cứu và Kết quả nghiên cứu
2. 1. Số liệu........................................................................................................................31

2. 2. Ứng dụng trên TTCK Việt Nam.................................................................................32
Chương 3: Kết luận và kiến nghị.......................................................................................44
Tài liệu tham khảo.............................................................................................................45
Phụ lục.
A. Giới thiệu phần mềm R……………………………………………………………….………46

3


DANH MỤC THUẬT NGỮ

Tiếng Việt

Tiếng Anh

Độ biến động

Volatility

Giá thực hiện

Exercise price/ strike price

Lợi nhuận

Pay-off

Mơ hình cây nhị thức

Binomial Tree Model

Quyền chọn

Option

Quyền chọn kiểu Á

Asian Option

Quyền chọn kiểu Âu

European Option

Quyền chọn kiểu Mỹ

American Option

Quyền chọn rào chắn

Barrier Option

Tài sản gốc

Underlying asset

Thời điểm đáo hạn

Exercise time/ expiry time

Xác suất phi rủi ro

Risk-Free Rate

4


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC THƯƠNG MẠI

THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU
ĐỀ TÀI NCKH CẤP TRƯỜNG

1. Thông tin chung:
- Tên đề tài: Các phương pháp định giá quyền chọn và áp dụng trên thị trường chứng
khoán Việt Nam
- Mã số: CS20 - 06
- Chủ nhiệm: Lê Văn Tuấn
- Cơ quan chủ trì: Trường Đại học Thương Mại
- Thời gian thực hiện: Từ ngày 01 tháng 8 năm 2020 đến hết tháng 3 năm 2021.
2. Mục tiêu:
Nghiên cứu các phương pháp định giá quyền chọn và áp dụng trên thị trường chứng
khốn Việt Nam
3. Tính mới và sáng tạo:
Áp dụng trên TTCK Việt Nam
4. Kết quả nghiên cứu:
Tài liệu hướng dẫn về các phương pháp định giá quyền chọn cho sinh viên khoa Tài
chính – Ngân hàng, trường Đại học Thương mại
Đưa ra khuyến nghị về việc lựa chọn phương pháp định giá quyền chọn cho các chuyên
gia phân tích tài chính, nhà đầu tư
5. Cơng bố sản phẩm khoa học từ kết quả nghiên cứu của đề tài:

Ứng dụng mơ hình cây nhị phân định giá quyền chọn cho thị trường chứng khốn Việt
Nam (Tạp chí Cơng thương, tháng 4/2021)

5


6. Hiệu quả, phương thức chuyển giao kết quả nghiên cứu và khả năng áp dụng:
Phương thức chuyển giao:
- Đề tài là tài liệu tham khảo
- Tác giả có thể trình bày cụ thể các kỹ thuật liên quan đối với các đối tượng có nhu cầu
Địa chỉ ứng dụng:
- Sinh viên và giảng viên khoa Tài chính – Ngân hàng, trường Đại học Thương mại
- Các chuyên gia phân tích tài chính, nhà đấu tư.

Ngày 15 tháng 5 năm 2021
Chủ nhiệm đề tài
(ký, họ và tên)

6


LỜI NÓI ĐẦU

Tại trường Đại học Thương mại, lý thuyết về quyền chọn được giảng dạy cho sinh viên
ngành tài chính từ nhiều năm nay. Tuy nhiên, các phương pháp và công cụ để định giá
quyền chọn vẫn chưa được giảng dạy. Sinh viên và giảng viên rất cần những nghiên cứu
đầy đủ về định giá quyền chọn để có thể vận dụng trong học tập, thực hành - để tiếp cận
khái niệm quyền chọn không chỉ trên lý thuyết mà còn trong ứng dụng thực tiễn.
Với mong muốn cung cấp hệ thống hoá cở sở lý thuyết và thực hành ứng dụng về định
giá quyền chọn, chúng tôi đã đăng kí Đề tài NCKH cấp cơ sở: Các phương pháp định giá

quyền chọn và áp dụng trên thị trường chứng khốn Việt Nam.
Trong q trình làm đề tài, các tác giả đã nhận được sự hỗ trợ, động viên từ Bộ mơn
Tốn, Phịng QLKH – Trường Đại học Thương mại, các tác giả xin được bày tỏ sự biết
ơn tới những ủng hộ này.
Cuối cùng, các tác giả rất mong nhận được những kiến phản biện từ các đồng nghiệp, các
bạn sinh viên-học viên, và các chuyên gia làm việc trong lĩnh vực kinh tế.
Xin trân thành cảm ơn!
Tháng 5/2021
Các tác giả

7


Chương mở đầu
TỔNG QUAN NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI
1.1. Tính cấp thiết nghiên cứu của đề tài
Tại Việt Nam, cho đến thời điểm hiện tại, thị trường chứng khoán vẫn chưa cho phép
giao dịch sản phẩm phái sinh quyền chọn, mặc dù đã hội tụ nhiều yếu tố hỗ trợ, gồm có:
-

Thị trường chứng khốn Việt Nam đã ra phát triển gần 20 năm (từ ngày
28/7/2000)
Nghị định 42/2015/NĐ-CP “Về chứng khoán phái sinh và thị trường chứng khoán
phái sinh” đã ra đời được 5 năm
Hợp đồng tương lai chỉ số VN30 - sản phẩm đầu tiên của thị trường chứng khoán
phái sinh - được giao dịch được gần 2 năm (từ ngày 10/8/2018).

Vì vậy, đây là thời điểm chín muồi để thực hiện giao dịch quyền chọn trên thị trường
chứng khoán Việt Nam. Nhiệm vụ ngay trước mắt là cần những nghiên cứu, đánh giá về
việc áp dụng quyền chọn; lý thuyết, công cụ về định giá quyền chọn để các nhà phân

tích, nhà đầu tư có thể tiếp cận với cơng cụ tài chính có nhiều ứng dụng này.
Tại trường Đại học Thương mại, lý thuyết về quyền chọn được giảng dạy cho sinh viên
ngành tài chính từ nhiều năm nay. Tuy nhiên, các công cụ để định giá quyền chọn vẫn
chưa được giảng dạy. Sinh viên và giảng viên rất cần những nghiên cứu đầy đủ về định
giá quyền chọn để có thể vận dụng trong học tập, thực hành - để tiếp cận khái niệm
quyền chọn không chỉ trên lý thuyết mà còn trong ứng dụng thực tiễn.
Trên đây là những lý do để nhóm tác giả đăng ký thực hiện đề tài: Các phương pháp định
giá quyền chọn và áp dụng trên thị trường chứng khoán Việt Nam.
1.2. Xác lập và tuyên bố vấn đề trong đề tài
Nghiên cứu các phương pháp định giá quyền chọn và áp dụng trên thị trường chứng
khoán Việt Nam
1.3. Các mục tiêu nghiên cứu
- Mục tiêu chung: Nghiên cứu các phương pháp định giá quyền chọn và áp dụng trên thị
trường chứng khoán Việt Nam
- Mục tiêu cụ thể:
+ Các phương pháp định giá quyền chọn kiểu Âu
+ Các phương pháp định giá quyền chọn kiểu Mỹ
+ Nghiên cứu áp dụng trên TTCK Việt Nam
+ Tài liệu hướng dẫn về các phương pháp định giá quyền chọn cho sinh viên khoa Tài
chính – Ngân hàng, trường Đại học Thương mại
8


+ Đưa ra khuyến nghị về việc lựa chọn phương pháp định giá quyền chọn cho các
chuyên gia phân tích tài chính, nhà đầu tư.
1.4. Phạm vi nghiên cứu
- Giới hạn trong hai loại quyền chọn kiểu Âu và kiểu Mỹ
- Giới hạn trong ba phương pháp: dùng mơ hình Black-Scholes, dùng mơ hình Cox-RossRubinstein và mơ phỏng Monte Carlo.
- Giới hạn nghiên cứu ứng dụng trên phần mềm R
- Giới hạn áp dụng trên TTCK Việt Nam; dữ liệu là 3 tháng gần nhất.

1.5. Ý nghĩa của nghiên cứu
- Đối với lĩnh vực giáo dục và đào tạo: Là tài liệu tham khảo hữu ích cho giảng viên, sinh
viên và các đối tượng quan tâm
- Đối với lĩnh vực khoa học và cơng nghệ có liên quan: Đưa ra các phương pháp định giá
quyền chọn
- Đối với phát triển kinh tế-xã hội: Là tài liệu tham khảo cho chuyên gia phân tích tài
chính, nhà đấu tư
- Đối với tổ chức chủ trì và các cơ sở ứng dụng kết quả nghiên cứu: Là tài liệu tham khảo
hữu ích cho giảng viên, sinh viên và các đối tượng quan tâm
1.6. Tổng quan tình hình khách thể nghiên cứu ở Việt Nam và thế giới
Nghiên cứu trên thế giới
Định giá quyền chọn là một mảng kinh điển trong tài chính định lượng trên thế giới. Ba
phương pháp cơ bản để định giá quyền chọn là: dùng mơ hình Black-Scholes (1973),
dùng mơ hình Cox-Ross-Rubinstein (cịn gọi là mơ hình cây nhị phân – 1979) và mơ
phỏng Monte Carlo (1977,1996,2001). Mơ hình Black-Scholes chỉ áp dụng cho quyền
chọn kiểu Âu, hai phương pháp còn lại áp dụng cho nhiều loại quyền chọn. Cơ sở lý
thuyết của các phương pháp này có thể xem trong (Capinski, 2003).
Các hướng phát triển của định giá quyền chọn được trình bày chi tiết trong (Gong, 2011),
cụ thể là:
-

Sử dụng mơ hình Heston với giả thiết tài sản gốc tn theo mơ hình Black-Scholes
nhưng độ biến động là ngẫu nhiên.
Ứng dụng mơ hình GARCH để mơ hình hóa độ biến động
Sử dụng tính chất động lượng của phân phối log-chuẩn cắt cụt
Sử dụng quá trình ngẫu nhiên diffusion với bước nhảy

9

Ở hướng thực hành trên phần mềm R, (Daróczi, 2013) trình bày các phương pháp BlackScholes và Cox-Ross-Rubinstein để định giá quyền chọn; phương pháp mơ phỏng Monte
Carlo có thể xem trong (Iacus, 2011) .
Nghiên cứu ở Việt Nam
Tại Việt Nam, khái niệm quyền chọn được giảng dạy cho sinh viên ngành tài chính tại
hầu hết các trường đại học khối ngành kinh tế. Lý thuyết về định giá quyền chọn cũng
được giảng dạy cho sinh viên học về tài chính định lượng tại nhiều trường. Nhiều giáo
trình trình bày về định giá các loại quyền chọn theo các phương pháp khác nhau, chẳng
hạn (Dũng, 2014).
Bên cạnh đó, cũng xuất hiện nhiều cơng trình nghiên cứu về việc ứng dụng quyền chọn
cho thị trường chứng khoán Việt Nam.
Trong (Thủy, 2011), các tác giả đưa ra tình hình chung của TTCK Việt Nam, những khó
khăn và thuận lợi trong việc triển khai giao dịch quyền chọn trên TTCK Việt Nam.
Hướng sử dụng mơ hình Black-Scholes để định giá quyền chọn có thể xem trong một số
tài liệu. Trong đó, (Thái, 2013) ứng dụng mơ hình Black-Scholes để định giá quyền chọn
cho chỉ số VN30, các tác giả cũng thực hiện một số kiểm định để kiểm tra các giả thiết
của mô hình Black-Scholes. Trong (Đào, 2019), các tác giả đã sử dụng mơ hình GARCH
để mơ hình hóa độ biến động. Trong (Tuyen, 2013), các tác giả đã sử dụng một mở rộng
của mơ hình Black-Scholes, đó là giả thiết tài sản gốc tuân theo chuỗi Markov, để áp
dụng định giá quyền chọn cho chỉ số VN-Index; các tác giả cũng đã chứng tỏ rằng mơ
hình Markov là phù hợp với dữ liệu của TTCK Việt Nam.
Hướng sử dụng mơ hình Cox-Ross-Rubinstein (mơ hình cây nhị phân) có thể xem trong
(Trung, 2011), tuy nhiên, trong bài viết này các tác giả chỉ trình bày cơ sở lý thuyết của
mơ hình.
Chúng tơi chưa tìm thấy cơng trình nghiên cứu về định giá quyền chọn của Việt Nam sử
dụng phương pháp mô phỏng Monte Carlo.
1.7. Kết cấu báo cáo nghiên cứu
Chương mở đầu: Tổng quan nghiên cứu đề tài
Chương 1: Tóm lược một số vấn đề lý luận về chủ đề nghiên cứu
Chương 2: Phương pháp nghiên cứu và Kết quả nghiên cứu
Chương 3: Kết luận và kiến nghị

Phụ lục. A. Giới thiệu phần mềm R
10


Chương 1.
TĨM LƯỢC MỘT SỐ VẤN ĐỀ LÍ LUẬN VỀ CHỦ ĐỀ NGHIÊN CỨU
1.1. Các loại quyền chọn trên thế giới
Quyền chọn (Option)1.
Quyền chọn là một hợp đồng giữa hai bên – người mua và người bán – trong đó cho
người mua quyền nhưng không phải là nghĩa vụ, để mua hoặc bán một tài sản nào đó vào
một ngày trong tương lai với giá được thỏa thuận ngày hôm nay. Người mua quyền chọn
trả cho người bán một số tiền gọi là giá hay phí quyền chọn. Người mua quyền chọn
được quyền, nhưng khơng có nghĩa vụ tham gia vào các giao dịch đó, trong khi người
bán phải gánh chịu nghĩa vụ tương ứng để thực hiện giao dịch. Vì vậy, sự thiệt hại của
người mua quyền chọn được giới hạn tại mức phí quyền chọn, trong khi sự mất mát của
người bán quyền chọn là không giới hạn. Giá của một quyền chọn xuất phát từ sự khác
biệt giữa giá tham chiếu và giá trị của tài sản cơ sở cộng với phí quyền chọn dựa trên thời
gian cịn lại cho đến hết thời hạn của quyền chọn.
Có hai loại quyền chọn: quyền chọn mua (Call option) và quyền chọn bán (Put option).
Một quyền chọn mua cho phép người mua quyền chọn (hay còn gọi là người nắm giữ
quyền chọn) được quyền mua tài sản cơ sở (tài sản cơ sở có thể là cổ phiếu, trái phiếu,
tiền tệ hay hàng hóa) ở một mức giá cụ thể, trong khi một quyền chọn bán cho phép
người mua quyền chọn được quyền bán tài sản cơ sở ở một mức giá cụ thể. Việc thực
hiện hợp đồng vào thời điểm nào còn tùy thuộc vào kiểu quyền chọn.
Trong một hợp đồng quyền chọn, người mua và người bán quyền chọn ở các vị thế
quyền chọn (option position) khác nhau và tùy thuộc vào lựa chọn chiến lược quyền chọn
là mua hay bán tài sản cơ sở. Có bốn vị thế quyền chọn như sau:
(i)

(ii)

(iii)

(iv)

Người mua quyền chọn mua ở vị thế trường thế quyền chọn mua (Long
Call option) được mua một tài sản cơ sở ở một giá xác định trong vòng
một quãng thời gian xác định. Những người ở vị thế mua quyền chọn
mua hy vọng cổ phiếu sẽ tăng đáng kể trước khi quyền chọn đáo hạn;
Người mua quyền chọn bán ở vị thế trường thế quyền chọn bán (Long
Put option) cho phép người nắm giữ quyền được bán một tài sản ở một
giá xác định trong một khoảng thời gian xác định. Người mua quyền
chọn bán hy vọng giá cổ phiếu sẽ sụt giảm trước khi quyền chọn đáo
hạn;
Người bán quyền chọn mua ở vị thế đoản thế quyền chọn mua (Short
Call option), là người được nhận phí quyền chọn và phải có nghĩa vụ
đáp ứng khi người mua quyền chọn quyết định thực hiện hợp đồng.
Người ở vị thế bán quyền chọn mua kỳ vọng tài sản cơ sở sẽ giảm giá
và người mua quyền chọn khơng có cơ hội thực hiện quyền chọn; và
Người bán quyền chọn bán ở vị thế đoản thế quyền chọn bán (Short Put
option) là người được nhận phí quyền chọn và phải có nghĩa vụ đáp ứng

1

Quyền chọn là một loại chứng khoán phái sinh phổ biến trên thế giới; tuy nhiên, hiện tại ở VN, trên TTCK vẫn
chưa giao dịch quyền chọn.

11

khi người mua quyền chọn quyết định thực hiện hợp đồng. Người ở vị
thế bán quyền chọn bán kỳ vọng tài sản cơ sở sẽ tăng giá và người mua
quyền chọn khơng có cơ hội thực hiện quyền chọn.
Hợp đồng quyền chọn có thơng số kỹ thuật sau đây:
-

các loại (mua hoặc bán),
khối lượng và loại của các tài sản cơ sở,
hiện giá/giá thực hiện (tức là giá mà tại đó các giao dịch cơ sở sẽ xảy ra khi thực
hiện quyền chọn),
ngày hết hạn (ngày cuối cùng các quyền chọn có thể được thực hiện),
các điều khoản thanh tốn.

1.1.1. Quyền chọn kiểu Âu (European Option)
Quyền chọn mua kiểu Âu (European Call) là một hợp đồng cho phép nhà đầu tư mua một
đơn vị của một hàng hóa hay tài sản S nào đó (gọi là tài sản gốc-underlying asset) với
một giá K đã được cố định (gọi là giá thực hiện-exercise price hay strike price) tại một
thời điểm T trong tương lai cũng đã được cố định, gọi là (thời điểm đáo hạn-exercise
time hay expiry time).
Nếu thay chữ mua bằng chữ bán trong định nghĩa này, thì ta được một quyền chọn bán
kiểu Âu (European Put).
1.1.2. Quyền chọn kiểu Mỹ (American Option)
Quyền chọn mua kiểu Mỹ (American Call) là một hợp đồng cho phép nhà đầu tư mua
một đơn vị của một tài sản S với một giá thực hiện X đã được cố định tại mọi thời điểm
cho đến một thời điểm đáo hạn T trong tương lai cũng đã được cố định.
Quyền chọn bán kiểu Mỹ (American Put) cũng được định nghĩa tương tự, nhưng thay
chữ mua bằng chữ bán.
Sự khác nhau giữa quyền chọn kiểu Âu và quyền chọn kiểu Mỹ là quyền chọn kiểu Mỹ
cho quyền mua (nếu là Call) hoặc bán (nếu là Put) vào thời điểm T hoặc mọi thời điểm
trước đó, trong khi quyền chọn kiểu Âu chỉ cho quyền mua/bán tại đúng thời điểm T. Vì

sự khác nhau này, việc đánh giá giá trị của quyền chọn kiểu Mỹ nói chung sẽ phức tạp
hơn so với quyền chọn kiểu Âu, tuy rằng trong nhiều trường hợp thì giá của quyền chọn
kiểu Mỹ và kiểu Âu sẽ gần như nhau, thậm chí đúng bằng nhau.
1.1.3. Quyền chọn kiểu Á (Asian Option)
Quyền chọn châu Á là một loại quyền chọn mà giá được tính là giá trung bình của tài sản
trong một khoản thời gian, ngược lại với những loại quyền chọn khác (kiểu Mỹ và châu
Âu) khi mà giá được tính là giá vào thời điểm đáo hạn. Loại quyền chọn này giúp người
mua có thể mua (hoặc bán) tài sản với giá trung bình thay vì giá thị trường.
Có nhiều cách hiểu khái niệm giá trung bình và cần được làm rõ trong hợp đồng quyền
chọn. Thường thì thì giá trung bình chính là giá trung bình cộng hoặc trung bình nhân
của tài sản trong một khoản thời gian xác định được ghi rõ trong hợp đồng.
12


1.1.4. Quyền chọn rào chắn (Barrier Option)
Quyền chọn rào chắn là loại quyền chọn mà giá trị khi đáo hạn của chúng phụ thuộc vào
việc giá của tài sản cơ sở có chạm đến một mức nhất định, cịn gọi là mức chặn, trong
một khoảng thời gian xác định hay khơng.
Nói cách khác, quyền chọn này về cơ bản giống như các quyền chọn tiêu chuẩn, nhưng
chỉ đem lại kết quả một khi nó được "kích hoạt" hay là giá tài sản cơ sở chạm đến mức
chặn. Mức giá chặn có thể là một giá trị cao hơn giá hiện hành của tài sản cơ sở (rào chắn
chiều lên) hoặc thấp hơn giá hiện hành của tài sản cơ sở (rào chắn chiều xuống).
1.2. Các phương pháp định giá quyền chọn
1.2.1. Cơng thức Black-Scholes2
Nói đến quyền chọn thì khơng thể khơng đề cập đến mơ hình Black-Scholes. Cho đến
nay, mơ hình nổi tiếng cũng như phổ biến nhất trong thế giới tài chính là mơ hình định
giá quyền chọn Black-Scholes. Nhà kinh tế học Steve Ross trong cuốn từ điển kinh tế
Palgrave đã viết “lý thuyết định giá quyền chọn là lý thuyết thành công nhất không chỉ
trong ngành tài chính, mà cịn trong tất cả các ngành kinh tế”. Năm 1973, Black &
Scholes đã công bố công thức định giá quyền chọn trong nghiên cứu “Định giá quyền

chọn và nợ phải trả công ty” mà ngày nay được gọi là mơ hình Black-Scholes.
Ký hiệu giá quyền chọn tại thời điểm t (0 ≤ t ≤ T) là: C(t, S) và P(t, S).
Giá của quyền chọn mua kiểu Âu là:
C(t, S) = S.(d1) – K.e-r(T-t).(d2)
trong đó
𝑑1 =

𝑆

𝜎2

𝐾

2

ln ( ) + (𝑟 +

) (𝑇 − 𝑡)

𝜎 √𝑇 − 𝑡
Giá của quyền chọn bán kiểu Âu là:

; 𝑑2 = 𝑑1 − 𝜎√𝑇 − 𝑡

P(t, S) = K.e-r(T-t).(-d2) – S.(-d1)
Trong các công thức trên:
 là phân phối tích lũy của phân phối chuẩn N(0, 1).
𝜎 là độ biến động (volatility) hiệu chỉnh theo năm của giá của tài sản gốc3 (được giả định
là không đổi theo thời gian).
r là xác suất phi rủi ro (Risk-Free Rate)4.

2

Mơ hình Black-Scholes, ra đời năm 1973, là một cột mốc quan trọng trong định giá quyền chọn (giải Nobel 1997)
tuy nhiên trước thời điểm 1973, đã có rất nhiều cơng trình nghiên cứu về vấn đề này, khởi đầu là của Louis
Bachelier (1900).
3
Trong thực hành, 𝜎 = √252𝜎𝑆𝐷 , với 𝜎𝑆𝐷 là độ lệch chuẩn của loga-lợi suất của S (theo ngày).
4
Lãi suất phi rủi ro là lãi suất (hiệu chỉnh theo năm) của một tài sản khơng có rủi ro (giá trị khơng có thật, mang
tính lý thuyết). Trong thực hành người ta thường lấy r là lãi suất của trái phiếu chính phủ khơng trả lãi suất (zerocoupon bond), với trái phiếu trả lãi suất cần phải tính triết khấu; hoặc lãi suất liên ngân hàng. Ở Mỹ thường dùng

13


1.2.2. Mơ hình cây nhị thức
Mơ hình định giá quyền chọn cây nhị thức, cịn gọi là mơ hình Cox-Ross-Rubinstein
(viết tắt là CRR), được : Cox, John C., Stephen A. Ross, and Mark Rubinstein công bố
năm 1979 trong bài báo “Option Pricing: A Simplified Approach”. Đối với các quyền
chọn kiểu Âu cho các cổ phiếu khơng trả cổ tức, thì mơ hình này là một sự xấp xỉ rời rạc
của mơ hình Black-Scholes, và khi các bước thời gian trong mơ hình CRR tiến tới 0, thì
kết quả cho bởi mơ hình CRR tiến tới kết quả cho bởi mơ hình Black-Scholes. Vì mơ
hình CRR là một mơ hình rời rạc, với thuật tốn tính dễ đưa vào máy tính, nên nó cũng
có thể được coi như là một phương pháp tính gần đúng giá quyền chọn cho theo cơng
thức của Black-Scholes. Ứng dụng của mơ hình CRR khơng chỉ dừng lại ở chỗ làm
phương pháp tính cho cơng thức Black-Scholes, mà nó cịn sử dụng được để tính tốn với
những loại quyền chọn mà mơ hình Black-Scholes khơng áp dụng được, trong đó có
quyền chọn kiểu Mỹ và quyền chọn kiểu Bermuda.
Giả sử một quyền chọn trên cổ phiếu S có lợi nhuận cho bởi cơng thức: D(T) = f(S(T)),
với f là hàm cho trước. Với quyền chọn mua kiểu Âu: f(S) = (S – X)+; quyền chọn bán
kiểu Âu: f(S) = (X – S)+.

a) Trường hợp quyền chọn kiểu Âu
Cây 1 bước:
Giả sử giá cổ phiếu ở thời điểm 1 là S(1) nhận hai giá trị
𝑆 𝑢 = 𝑆(0)(1 + 𝑢)
{ 𝑑
𝑆 = 𝑆(0)(1 + 𝑑)
với xác suất p và 1 – p.
Tồn tại x(1) và y(1) sao cho
𝑥(1)𝑆 𝑢 + 𝑦(1)(1 + 𝑟) = 𝑓(𝑆 𝑢 )
{
𝑥(1)𝑆 𝑑 + 𝑦(1)(1 + 𝑟) = 𝑓(𝑆 𝑑 )
Giải hệ ta được 𝑥(1) =

𝑓(𝑆 𝑢 )−𝑓(𝑆 𝑑 )
𝑆 𝑢 −𝑆 𝑑

; 𝑦 (1) = −

(1+𝑑)𝑓(𝑆 𝑢 )−(1+𝑢)𝑓(𝑆 𝑑 )
(𝑢−𝑑)(1+𝑟)

Do đó, giá của quyền chọn tại thời điểm 0 là
(1 + 𝑑 )𝑓 (𝑆 𝑢 ) − (1 + 𝑢)𝑓(𝑆 𝑑 )
𝑓 (𝑆 𝑢 ) − 𝑓 (𝑆 𝑑 )
𝐷 (0) = 𝑥 (1)𝑆 (0) + 𝑦 (1) =
𝑆(0) −
(𝑢 − 𝑑 )(1 + 𝑟)
𝑆𝑢 − 𝑆𝑑
Từ đó ta chứng minh được
D(0) = E*((1 + r)-1f(S(1))).

Trong đó, E* là kỳ vọng theo xác suất trung hòa rủi ro 𝑝∗ =

𝑟−𝑑
𝑢−𝑑

.

Cây 2 bước:
Tại thời điểm 2, S(2) có thể nhận một trong ba giá trị
lãi suất của tín phiếu kho bạc (Treasury bill –một loại trái phiếu chính phủ zero-coupon có kỳ hạn < 1 năm) kỳ hạn 3
tháng. Các vấn đề liên quan đến ước lượng lãi suất phi rủi ro có thể xem trong: A. Damodaran. What is the risk free
rate? A Search for the Basic Building Block

14


𝑆 𝑢𝑢 = 𝑆(0)(1 + 𝑢)2 , 𝑆 𝑢𝑑 = 𝑆(0)(1 + 𝑢)(1 + 𝑑), 𝑆 𝑑𝑑 = 𝑆(0)(1 + 𝑑)2
và S(1) có hai giá trị
𝑆 𝑢 = 𝑆(0)(1 + 𝑢), 𝑆 𝑑 = 𝑆(0)(1 + 𝑑)

Hình 1. Sơ đồ cây nhị phân 2 bước
Lăp lại các tính tốn của cây 1 bước cho hai cây được khoanh trong hình trên, suy ra
D(1) có hai giá trị
1
1
[𝑝∗ 𝑓(𝑆 𝑢𝑢 ) + (1 − 𝑝∗ )𝑓(𝑆 𝑢𝑑 )],
[𝑝 𝑓(𝑆 𝑑𝑢 ) + (1 − 𝑝∗ )𝑓(𝑆 𝑑𝑑 )]
1+𝑟
1+𝑟 ∗
Suy ra

𝐷 (1) =

1
[𝑝 𝑓(𝑆(1)(1 + 𝑢)) + (1 − 𝑝∗ )𝑓(𝑆(1)(1 + 𝑑))] ≔ 𝑔(𝑆(1))
1+𝑟 ∗

với
𝑔 (𝑥 ) =

1
[𝑝 𝑓(𝑥(1 + 𝑢)) + (1 − 𝑝∗ )𝑓(𝑥(1 + 𝑑))]
1+𝑟 ∗

Lặp lại tính toán của cây 1 bước cho cây gốc, ta được
𝐷 (0) =

1
[𝑝 𝑔(𝑆(0)(1 + 𝑢)) + (1 − 𝑝∗ )𝑔(𝑆(0)(1 + 𝑑))]
1+𝑟 ∗

Suy ra
𝐷 (0) =

1
[𝑝 𝑔(𝑆 𝑢 ) + (1 − 𝑝∗ )𝑔(𝑆 𝑑 )]
1+𝑟 ∗
1
=
[𝑝2 𝑓(𝑆 𝑢𝑢 ) + 2𝑝∗ (1 − 𝑝∗ )𝑓(𝑆 𝑢𝑑 ) + (1 − 𝑝∗ )2 𝑓(𝑆 𝑑𝑑 )]
(1 + 𝑟)2 ∗

Vậy
D(0) = E*((1 + r)-2f(S(2))).

15


Cây 3 bước:
Lăp lại các tính tốn tương tự như cây 2 bước, ta có các kết quả cho cây 3 bước
D(3) = f(S(3))
1
[𝑝 𝑓(𝑆(2)(1 + 𝑢)) + (1 − 𝑝∗ )𝑓(𝑆(2)(1 + 𝑑))] ≔ 𝑔(𝑆(2))
1+𝑟 ∗
1
𝐷 (1) =
[𝑝 𝑔(𝑆(1)(1 + 𝑢)) + (1 − 𝑝∗ )𝑔(𝑆(1)(1 + 𝑑))] ≔ ℎ(𝑆(1))
1+𝑟 ∗
1
[𝑝 ℎ(𝑆(0)(1 + 𝑢)) + (1 − 𝑝∗ )ℎ(𝑆(0)(1 + 𝑑))]
𝐷 (0) =
1+𝑟 ∗
𝐷 (2) =

với
1
[𝑝 𝑓(𝑥(1 + 𝑢)) + (1 − 𝑝∗ )𝑓(𝑥(1 + 𝑑))]
1+𝑟 ∗
1
ℎ(𝑥) =
[𝑝 𝑔(𝑥(1 + 𝑢)) + (1 − 𝑝∗ )𝑔(𝑥(1 + 𝑑))]

1+𝑟 ∗

𝑔 (𝑥 ) =

Suy ra
𝐷 ( 0) =

1
[𝑝 ℎ(𝑆 𝑢 ) + (1 − 𝑝∗ )ℎ(𝑆 𝑑 )]
1+𝑟 ∗
1
=
[𝑝2 𝑔(𝑆 𝑢𝑢 ) + 2𝑝∗ (1 − 𝑝∗ )𝑔(𝑆 𝑢𝑑 ) + (1 − 𝑝∗ )2 𝑔(𝑆 𝑑𝑑 )]
(1 + 𝑟)2 ∗
1
=
[𝑝∗3 𝑓(𝑆 𝑢𝑢𝑢 ) + 3𝑝∗2 (1 − 𝑝∗ )𝑓(𝑆 𝑢𝑢𝑑 ) + 3𝑝∗ (1 − 𝑝∗ )2 𝑓(𝑆 𝑢𝑑𝑑 )
3
(1 + 𝑟)
+ (1 − 𝑝∗ )3 𝑔(𝑆 𝑑𝑑𝑑 )]

Cây N bước:
Kết quả tổng quát cho cây N bước là
𝑁

1
𝑁 𝑘
∑
(
) 𝑝∗ (1 − 𝑝∗ )𝑁−𝑘 𝑓(𝑆(0)(1 + 𝑢)𝑘 (1 + 𝑑)𝑁−𝑘 )

𝐷 (0) =
𝑁
(1 + 𝑟)
𝑘
𝑘=0

Vậy
D(0) = E*((1 + r)-Nf(S(N))).

Công thức Cox–Ross–Rubinstein.
Vì lợi nhuận của quyền chọn mua với giá thực hiện X thỏa mãn f(x) = 0 với 𝑥 ≤ 𝑋 nên
tổng trên chỉ bắt đầu từ m sao cho 𝑆(0)(1 + 𝑢)𝑚 (1 + 𝑑)𝑁−𝑚 > 𝑋
16


Do đó
𝑁

1
𝑁
∑ ( ) 𝑝∗𝑘 (1 − 𝑝∗ )𝑁−𝑘 (𝑆(0)(1 + 𝑢)𝑘 (1 + 𝑑)𝑁−𝑘 − 𝑋)
𝐶 𝐸 (0) =
𝑁
(1 + 𝑟)
𝑘
𝑘=𝑚

Hay
CE(0) = x(1)S(0) + y(1)
với

𝑁

1
𝑁 𝑘
∑
(
) 𝑝∗ (1 − 𝑝∗ )𝑁−𝑘 (1 + 𝑢)𝑘 (1 + 𝑑)𝑁−𝑘
𝑥 (1) =
𝑁
(1 + 𝑟)
𝑘
𝑘=𝑚

𝑁

1
𝑁 𝑘
∑
(
) 𝑝∗ (1 − 𝑝∗ )𝑁−𝑘
𝑦(1) = −𝑋
𝑁
(1 + 𝑟)
𝑘
𝑘=𝑚

Ta có
𝑁

𝑁

𝑘=𝑚

𝑘=𝑚

𝑁
1+𝑢 𝑘
1 + 𝑑 𝑁−𝑘
𝑁
) ((1 − 𝑝∗ )
)
𝑥 (1) = ∑ ( ) (𝑝∗
= ∑ ( ) (𝑞)𝑘 (1 − 𝑞)𝑁−𝑘
𝑘
1+𝑟
1+𝑟
𝑘
với 𝑞 = 𝑝∗

1+𝑢
1+𝑟

Ta có cơng thức cho giá quyền chọn mua và bán kiểu Âu là
𝐶 𝐸 (0) = 𝑆(0)[1 − Φ(𝑚 − 1, 𝑁, 𝑞)] − (1 + 𝑟)−𝑁 𝑋[1 − Φ(𝑚 − 1, 𝑁, 𝑝∗ )]
𝑃𝐸 (0) = −𝑆(0)Φ(𝑚 − 1, 𝑁, 𝑞) + (1 + 𝑟)−𝑁 𝑋Φ(𝑚 − 1, 𝑁, 𝑝∗ )
trong đó Φ(𝑚, 𝑁, 𝑝) là hàm phân phối tích lỹ của phân phối nhị thức với N lần thử và xác
suất thành công mỗi lần thử là p
𝑚

𝑁

Φ(𝑚, 𝑁, 𝑝) = ∑ ( ) (𝑝)𝑘 (1 − 𝑝)𝑁−𝑘
𝑘
𝑘=0

Ví dụ 1 (Mơ hình cây nhị phân 1 bước). Xét vấn đề định giá một quyền chọn mua kiểu
Âu để mua một chứng khoán với giá 21 (ngàn) trong 3 tháng. Giá chứng khoán hiện tại
là 20 (ngàn). Ta giả định đơn giản rằng tại thời điểm cuối của thời kỳ 3 tháng, giá chứng
khoán là một trong hai giá trị: 22 (ngàn) hoặc 18 (ngàn). Điều đó có nghĩa là quyền chọn
sẽ có một trong hai giá trị tại cuối thời kỳ 3 tháng. Nếu giá chứng khốn tăng lên 22
(ngàn) thì giá trị quyền chọn sẽ là 1 (ngàn); nếu giá chứng khốn hạ xuống 18 (ngàn) thì
giá trị quyền chọn sẽ là 0.

17


Việc sử dụng sự thay đổi giá chứng khoán là căn cứ tốt nhất để định giá quyền chọn
trong hoàn cảnh này. Yêu cầu duy nhất của giả định là không tồn tại các cơ hội cơ lợi. Ta
đưa ra một danh mục đầu tư bao gồm chứng khoán và quyền chọn mà không chắc chắn
về giá trị của danh mục đầu tư tại cuối thời kỳ 3 tháng. Sau đó, ta cho rằng, vì danh mục
đầu tư khơng có rủi ro nên lợi nhuận kiếm được phải bằng lãi suất phi rủi ro. Điều này
cho phép ta tính được chi phí của việc tạo ra danh mục đầu tư và sau đó tính được giá của
quyền chọn. Vì có 2 đối tượng chứng khoán (chứng khoán và quyền chọn) và chỉ có 2 kết
quả có thể xảy ra, nên luôn tạo ra được danh mục đầu tư không rủi ro.
Xét một danh mục đầu tư bao gồm một vị thế mua ∆ cổ phiếu của chứng khoán và vị thế
bán một quyền chọn mua. Ta tính giá trị của ∆ sao cho danh mục đầu tư khơng có rủi ro.
Nếu giá chứng khoán tăng từ 20 (ngàn) lên 22 (ngàn), thì giá trị cổ phiếu là 22∆ và giá trị
của quyền chọn là 1, vì thế tổng giá trị của danh mục đầu tư là 22∆-1. Nếu giá chứng
khoán giảm từ 20 (ngàn) xuống 18 (ngàn) thì giá trị cổ phiếu là 18∆ và giá trị quyền chọn
là 0, vì thế tổng giá trị danh mục đầu tư là 18∆. Danh mục đầu tư khơng có rủi ro nếu giá
trị ∆ được lựa chọn sao cho giá trị cuối cùng của danh mục đầu tư tương tự nhau trong cả

hai trường hợp. Nghĩa là 22∆-1=18∆ hay ∆=0,25.
Do đó danh mục đầu tư phi rủi ro là: vị thế mua 0,25 cổ phiếu, vị thế bán 1 quyền chọn.
Nếu giá chứng khốn tăng lên 22 (ngàn) thì giá trị của danh mục đầu tư là: 22×0,231=4,5. Nếu giá chứng khốn giảm xuống cịn 18 (ngàn) thì giá trị của danh mục đầu tư là
18×0,25=4,5. Bất kể giá chứng khốn có tăng lên hay giảm xuống, thì giá trị của danh
mục đầu tư luôn luôn là 4,5 vào cuối thời kỳ tồn tại của quyền chọn.
Nếu khơng có các cơ hội cơ lợi thì danh mục đầu tư phi rủi ro phải chịu lãi suất phi rủi
ro. Giả sử rằng lãi suất phi rủi ro là 12%/năm. Vì vậy, giá trị danh mục đầu tư của ngày
hôm nay phải bằng giá trị hiện tại của 4,5, hay: 4,5e-0,12×3/12 = 4,367.
Giá trị của chứng khốn ngày hơm nay là 20 (ngàn). Giả sử giá quyền chọn được ký hiệu
là f. Giá trị danh mục đầu tư ngày hơm nay là: 20×0,25-f = 5-f, suy ra 5-f =4,367 hay
f=0,633.
Điều đó cho thấy rằng trong điều kiện khơng có cơ lợi, giá trị hiện tại của quyền chọn là
0,633.
18


Tổng qt.
Ta sẽ trình bày cách giải tổng qt hóa của ví dụ trên bằng cách xem xét một loại chứng
khốn có giá là S0 và một quyền chọn trên chứng khốn đó có giá hiện hành là f. Giả sử
quyền chọn kéo dài trong khoảng thời gian T và trong suốt thời kỳ tồn tại của quyền chọn
thì giá chứng khốn có thể dịch chuyển tăng từ S0 lên một mức giá mới là S0u hoặc giảm
từ S0 xuống mức giá mới là S0d, trong đó u > 1 và d < 1. Tỷ lệ tăng của giá chứng khốn
khi có biến động tăng là u – 1, tỷ lệ giảm của giá chứng khốn khi có biến động giảm là 1
– d. Nếu giá chứng khoán dịch chuyển tăng lên S0u thì ta giả sử lợi nhuận của quyền
chọn là fu. Nếu giá chứng khoán dịch chuyển giảm xuống S0d thì ta giả sử lợi nhuận của
quyền chọn là fd.

Ta giả sử có một danh mục đầu tư gồm một vị thế mua ∆ cổ phiếu và một vị thế bán một
quyền chọn. Ta sẽ tính giá trị ∆ sao cho danh mục đầu tư khơng có rủi ro.
Nếu giá chứng khốn tăng thì giá trị danh mục khi kết thúc thời kỳ tồn tại của quyền

chọn là: S0u∆ - fu
Nếu giá chứng khốn giảm thì giá trị của danh mục khi kết thúc thời kỳ tồn tại của quyền
chọn là: S0d∆ - fd
Hai giá trị này bằng nhau khi S0u∆ - fu = S0d∆ - fd hay ∆=

𝑓𝑢 −𝑓𝑑
𝑆0 𝑢−𝑆0 𝑑

(1)

Trong trường hợp này, danh mục đầu tư sẽ khơng có rủi ro và sẽ đạt được lãi suất phi rủi
ro. Phương trình (1) cho thấy ∆ là tỷ lệ giữa thay đổi giá của quyền chọn trên thay đổi giá
chủa chứng khoán khi ta di chuyển giữa các nút.
Ký hiệu lãi suất phi rủi ro là r, thì giá trị hiện tại của danh mục đầu tư là: (S0u∆ - fu)e-rT
Chi phí để thành lập danh mục đầu tư là: S0∆ - f
Do đó S0∆ - f = (S0u∆ - fu)e-rT hay f = S0∆ - (S0u∆ - fu)e-rT
Thay ∆ từ phương trình (1) và đơn giản hóa, ta được: f = e-rT(pfu + (1-u)fd) (2)
Trong đó 𝑝 =

𝑒 𝑟𝑇 −𝑑
𝑢−𝑑

(3)

19


Phương trình (2) và (3) cho phép định giá một quyền chọn bằng cách sử dụng mơ hình
cây nhị phân 1 bước.
Quay lại trường hợp các giá trị cụ thể của ví dụ 1, ta có u = 1,1; d = 0,9; r = 0,12; T =

0,25; fu = 1; fd = 0.
Từ phương trình (3) ta có 𝑝 =

𝑒 0,12×3/12 −0,9
1,1−0,9

= 0,6523

Từ phương trình (2) ta có f = e-0.12×0,25(0,6523×1 + 0,3477×0) = 0,633
Ví dụ 2 (Mơ hình nhị phân 2 bước). Giả sử giá chứng khoán là 20 (ngàn) và cứ trong
mỗi bước có thể tăng lên 10% hoặc giảm xuống 10%; mỗi bước dài 3 tháng và lãi suất
phi rủi ro là 12%/năm. Ta sẽ định giá quyền chọn với giá thực hiện là 21 (ngàn).

Mục tiêu của phân tích là để tính giá quyền chọn tại nút đầu tiên của cây. Điều này có thể
thực hiện bằng các tính tốn tương tự như Ví dụ 1. Ta tính được các giá trị của cây, mỗi
nút có cả giá chứng khoán và giá quyền chọn (số trên là giá chứng khoán, số dưới là giá
quyền chọn).

Giá quyền chọn ở các nút cuối cùng của cây có thể được tính một cách dễ dàng, chúng là
các phần thưởng thu được từ quyền chọn. Ở nút D, giá chứng khoán là 24,2 và giá quyền
chọn là 24,2-21=3,2; tại nút E và F, quyền chọn thuộc vùng lỗ nên giá trị của nó là 0.
20


Tại nút C, giá của quyền chọn là 0, vì nút C dẫn đến nút E hoặc F và tại cả hai nút này
giá của quyền chọn đền bằng 0. Để tính giá quyền chọn tại nút B, ta xem nhánh cấy tại
nút B như là cây 1 bước.

Ta có u = 1,1; d = 0,9; r = 1,12; T = 0,25 nên p = 0,6523.
Từ phương trình (2) ta có giá của quyền chọn tại nút B là: e-0,12×3/12(0,6523×3,2 +

0,3477×0) = 2,0257
Vấn đề cịn lại là tính giá quyền chọn tại nút đầu tiên A. Ta đã có giá trị của quyền chọn
tại nút B là 2,0257 và tại nút C là 0, do đó từ phương trình (2) ta có giá trị quyền chọn tại
nút A là: : e-0,12×3/12(0,6523×2,0257 + 0,3477×0) = 1,2823
b) Trường hợp quyền chọn kiểu Mỹ
Với quyền chọn kiểu Mỹ, quyền chọn có thể thực hiện tại bấy kỳ thời điểm n thỏa mãn
0 ≤ 𝑛 ≤ 𝑁, với lợi nhuận f(S(n)) (chỉ thực hiện được một lần). Giá quyền chọn kiểu Mỹ
tại thời điểm n ký hiệu là DA(n).
Trước hết, ta phân tích giá quyền chọn kiểu Mỹ sau 2 bước thời gian. Nếu nó chưa được
thực hiện, ta có DA(2) = f(S(2)), với ba giá trị phụ thuộc vào S(2). Tại thời điểm 1, người
nắm giữ quyền chọn có hai lựa chọn: thực hiện ngay lập tức với lợi nhuận f(S(1)); hoặc
đợi đến thời điểm 2, khi giá quyền chọn sẽ là f(S(2)). Ở trường hợp sau, ta có thể xem
f(S(2)) là quyền chọn kiểu Âu 1-bước được định giá ở thời điểm 1, giá trị của nó tại thời
điểm 1 là
1
[𝑝 𝑓(𝑆(1)(1 + 𝑢)) + (1 − 𝑝∗ )𝑓(𝑆(1)(1 + 𝑑))]
1+𝑟 ∗
Vì người nắm giữ quyền chọn kiểu Mỹ tại thời điểm 1 có hai lựa chọn nên ta có
1
[𝑝 𝑓(𝑆(1)(1 + 𝑢)) + (1 − 𝑝∗ )𝑓(𝑆(1)(1 + 𝑑))]}
1+𝑟 ∗
≔ 𝑓1 (𝑆(1))

𝐷 𝐴 (1) = 𝑚𝑎𝑥 {𝑓(𝑆(1)),

với

21

𝑓1 (𝑥) = 𝑚𝑎𝑥 {𝑓 (𝑥),

1
[𝑝 𝑓(𝑥(1 + 𝑢)) + (1 − 𝑝∗ )𝑓(𝑥(1 + 𝑑))]}
1+𝑟 ∗

Tương tự, giá của quyền chọn kiểu Mỹ tại thời điểm 0 là
𝐷 𝐴 (0) = 𝑚𝑎𝑥 {𝑓(𝑆(0)),

1
[𝑝 𝑓 (𝑆(0)(1 + 𝑢)) + (1 − 𝑝∗ )𝑓1 (𝑆(0)(1 + 𝑑))]}
1+𝑟 ∗ 1

Tổng quát, giá của quyền chọn kiểu Mỹ với hàm lợi nhuận f, thực hiện ở thời điểm N,
được xác định qua công thức truy hồi
𝐷 𝐴 (𝑁) = 𝑓(𝑆(𝑁))
𝐷 𝐴 (𝑁 − 1) = 𝑚𝑎𝑥 {𝑓(𝑆(𝑁 − 1)),

1
[𝑝 𝑓(𝑆(𝑁 − 1)(1 + 𝑢)) + (1 − 𝑝∗ )𝑓(𝑆(𝑁
1+𝑟 ∗

− 1)(1 + 𝑑))]} ≔ 𝑓𝑁−1 (𝑆(𝑁 − 1))
𝐷 𝐴 (𝑁 − 2) = 𝑚𝑎𝑥 {𝑓(𝑆(𝑁 − 2)),

1
[𝑝 𝑓 (𝑆(𝑁 − 2)(1 + 𝑢))
1 + 𝑟 ∗ 𝑁−1

+ (1 − 𝑝∗ )𝑓𝑁−1 (𝑆(𝑁 − 2)(1 + 𝑑))]} ≔ 𝑓𝑁−2 (𝑆(𝑁 − 2))

…
1
[𝑝 𝑓 (𝑆(1)(1 + 𝑢)) + (1 − 𝑝∗ )𝑓2 (𝑆(1)(1 + 𝑑))]}
1+𝑟 ∗ 2
≔ 𝑓1 (𝑆(1))

𝐷 𝐴 (1) = 𝑚𝑎𝑥 {𝑓(𝑆(1)),

𝐷 𝐴 (0) = 𝑚𝑎𝑥 {𝑓(𝑆(0)),

1
[𝑝 𝑓 (𝑆(0)(1 + 𝑢)) + (1 − 𝑝∗ )𝑓1 (𝑆(0)(1 + 𝑑))]}
1+𝑟 ∗ 1

1.2.3. Phương pháp mô phỏng Monte Carlo
Cho X là biến ngẫu nhiên, giả sử ta cần tính E(g(X)), với g là hàm đã biết. Ta giả lập n số
ngẫu nhiên x1, …, xn từ phân phối của X. Khi đó
1

𝐸(𝑔(𝑋 )) ≈ ∑𝑛𝑖=1 𝑔(𝑥𝑖 ) = 𝑔̅𝑛 .
𝑛

Cơng thức trên có từ luật số lớn, và đúng khi 𝐸 |𝑔(𝑋 )| < ∞. Hơn nữa, theo định lý giới
hạn trung tâm ta có
𝑑
1
𝑔̅𝑛 → 𝑁 (𝐸(𝑔(𝑋 )), 𝑉𝑎𝑟(𝑔(𝑋 )))
𝑛

Vì 𝑃(|𝑍| < 1.96) ≈ 0.95 với 𝑍~𝑁(0,1) nên ta có khoảng tin cậy 95% cho ước lượng

của 𝑔̅𝑛 là
𝜎
𝜎
(𝐸(𝑔(𝑋 )) − 1.96
, 𝐸(𝑔(𝑋 )) + 1.96 )
√𝑛
√𝑛
với 𝜎 = √𝑉𝑎𝑟(𝑔(𝑋)). Đại lượng này được ước lượng qua công thức

22


𝑛

1
∑(𝑔(𝑥𝑖 ) − 𝑔̅𝑛 )2
𝜎̂ 2 =
𝑛−1
𝑖=1

Như vậy, ta có khoảng ước lượng 95% của E(g(X)) là
(𝑔̅𝑛 − 1.96

𝜎̂
√𝑛

, 𝑔̅𝑛 + 1.96

𝜎̂
√𝑛

)

a) Quyền chọn kiểu Âu
Ký hiệu lợi nhuận của quyền chọn là X = f(ST).
Ký hiệu giá của quyền chọn tại thời điểm t là C(t, St) = Pt, giá quyền chọn phụ thuộc vào
hàm lợi nhuận f và tài sản cơ sở S. Tại thời điểm T, PT = C(T, ST) = f(ST) = X.
Từ phương trình Black – Scholes ta có cơng thức của giá quyền chọn là
𝐶 (𝑡, 𝑥) = 𝑒 −𝑟(𝑇−𝑡) 𝐸𝑓(𝑍𝑇𝑡,𝑥 )
1

Trong đó 𝑍𝑇𝑡,𝑥 = 𝑥𝑒𝑥𝑝 {(𝑟 − 𝜎 2 ) (𝑇 − 𝑡 ) + 𝜎√𝑇 − 𝑡𝑢)} với 𝑢~𝑁(0,1).
2

Ta có các khả năng sau:
 Quyền chọn mua kiểu Âu: f(x) = max(0, x – K)
 Quyền chọn bán kiểu Âu: f(x) = max(0, K – x)
Thuật tốn để tính giá quyền chọn:
1. Giả lập M lần u và áp dụng tính 𝑍𝑇𝑡,𝑥
2. Với mỗi giả lập 𝑍𝑇𝑡,𝑥 tính 𝑓(𝑍𝑇𝑡,𝑥 )
3. Tính trung bình các giá trị trên và nhân với 𝑒 −𝑟(𝑇−𝑡)
b) Quyền chọn kiểu Á
Quyền chọn mua kiểu Á có lợi nhuận là
1 𝑇
𝑋 = max(0, ∫ 𝑆𝑡 𝑑𝑡 − 𝐾)
𝑇 0
Dạng rời rạc là
𝑁

1

∑ 𝑆(𝑡𝑖 ) − 𝐾)
𝑋 = max(0,
𝑁+1
𝑖=0

với 𝑡𝑖 = 𝑖∆𝑡, 𝑖 = 0, … , 𝑁; ∆𝑡 =

𝑇
𝑁

Tương tự, quyền chọn bán kiểu Á có lợi nhuận là

23


1 𝑇
𝑋 = max(0, 𝐾 − ∫ 𝑆𝑡 𝑑𝑡 )
𝑇 0
Dạng rời rạc là
𝑁

1
∑ 𝑆(𝑡𝑖 ))
𝑋 = max(0, 𝐾 −
𝑁+1
𝑖=0

với 𝑡𝑖 = 𝑖∆𝑡, 𝑖 = 0, … , 𝑁; ∆𝑡 =

𝑇

𝑁

c) Quyền chọn kiểu Mỹ
Phương pháp giả lập Broadie – Glasserman
Có nhiều cách tiếp cận khác nhau theo phương pháp mô phỏng Monte Carlo để định giá
quyền chọn kiểu Mỹ. Phương pháp tiêu biểu đầu tiên cần được nhắc tới là phương pháp
giả lập Broadie – Glasserman được Broadie, M. và Glasserman, P. công bố năm 1997
trong bài báo “Pricing American-style securities using simulation”. Trong bài báo này,
các tác giả đã chứng tỏ là không thể nhận được ước lượng không chệch của giá trị của
quyền chọn kiểu Mỹ qua giả lập. Lý do chính là vì tất cả các kịch bản giả lập là bởi sự rời
rạc tự nhiên của chúng, do đó - phụ thuộc vào khởi tạo cửa từng đường giả lập – vẫn có
xác suất khác không để đảo ngược quyết định (thực thi hay không) ở mỗi bước của giả
lập.
Ký hiệu r là xác suất phi rủi ro, T là thời gian đáo hạn, K là giá thực thi, ST và S0 là giá
cổ phiếu ở thời điểm đáo hạn là thời kỳ đầu.
Mục tiêu là cần ước lượng giá trị
𝐶 = 𝑚𝑎𝑥𝜏 𝐸{𝑒 −𝑟𝜏 max(𝑆𝜏 − 𝐾, 0)}
trên tập tất cả các điểm thời gian dừng 𝜏 ≤ 𝑇.
Trong thực hành, chỉ có một tập hữu hạn các điểm thời gian trên lưới. Vì vậy, với lưới
thời gian 0 = t0 < t1 < … < td = T, ý tưởng là giả lập 𝑆1 = 𝑆𝑡1 , 𝑆2 = 𝑆𝑡2 , … , 𝑆𝑇 = 𝑆𝑡𝑑 xuất
phát từ giá trị S0 và ước tính giá trị của quyền chọn sử dụng phiên bản rời rạc hóa của
cơng thức ở trên
𝐶 = 𝑚𝑎𝑥𝑖=0,…,𝑑 𝐸{𝑒 −𝑟𝑡𝑖 max(𝑆𝑖 − 𝐾, 0)}.
Phương pháp giả lập này sinh ra một cây mà tại mỗi bước b, một nhánh mới được tạo. Vì
vậy, chẳng hạn xuất phát từ S0, b giá trị mới của S1 được giả lập là 𝑆11 , 𝑆12 , … , 𝑆1𝑏 , với các
𝑗

giá trị tương lai có thể của cổ phiếu tại thời điểm t1. Tiếp theo, với mỗi giá trị 𝑆1 ở thời
24