MỘT SỐ ĐỀ THI CAO HỌC TOÁN

Đặng Xuân C)ơng - Cao học 12 - Giải tích - Đại học Vinh
K nim hố 2005

!"#$%&"'()"*+",+&" &
/0123#"4.$"56)"7$35
8!3#"59:";<"5!$")5="3#5>:"7$?-"@:A
4!)"BCD"E"/F"'&"E"G.35"D5H)
4I"-5$"-JKL3"M$35"):&"56)"3NA"OPPP
QR3S""T$U$"-V)5
@#+35S"/&%3
Thời gian làm bài: 180 phút
"8WJOX!! "!#$%!&'!()*! RRf
2
: !!+(,! $!+/01!2(3+
( )





=+
+
+
=
0 0
0
,
22
22
22
2

yx
yx
yx
yx
yxf
!045
045
6"!782!290(!:$;0!2<+!+=6! f 2>;0!
2
R ?
-"!782!290(!@(%!A$!+=6!()*! f 2B$!C$D*!
( )
0,0 ?
E"!FG*!*$H0!(I$!2<!!+=6!+(5J$
!!! !!!!!!!!!
n
n
n
x
x






+

+

=
1
1
12
1
0
8WJ"YX!K9!($L5!
1
l M
{ }






<=


=1
,;:
n
nnn
xNnCxxx
N
( )
,,
1
1

=
=
n
nn
yxyxd !
( )
2
1
1
2
2
,





=


=n
nn
yxyxd
!AO$!
{ }
n
xx = N!
{ }

n
yy = !2(5I+!
1
l ?
P(301!*$0(!>Q01
6"
1
d R!
2
d :S0!:TU2!:)!+V+!*;2>$+!2>;0!
1
l N
-"!@(/01!1$60!
( )
11
,dl !CSW!C=!N!@(%!:$?
+"!K(/01!1$60!
( )
21
,dl !@(/01!CSW!C=?
8WJ"ZX!#$%!&'!!
[ ]
1,0
C !:)!@(/01!1$60!CX0(!+(5Y0!+V+!()*!&Z!2([+!:$;0!2<+!2>;0!
[ ]
1,0 !AO$!+(5Y0!&5\
A)!!]^
[ ]

1,0

C
[ ]
1,0
C !-$40! x !2()0(!
Ax
!+(,! $!
( )( ) ( )
txttAx
2
= !AO$!*_$! x
[ ]
1,0
C !A)!
[ ]
1,0t
6"!P(301!*$0(!>Q01!]!:)!V0(!`B!25W40!290(!:$;0!2<+?!F90(! A
-"!P(301!2a!>Q01!
[ ]
( )
1,0
CA !:)!@(/01!1$60!+,0!Cb01!+=6!
[ ]
1,0
C ?
8WJ"[X!á0(!`B! YXf : !2c!@(/01!16$0!2/\/!7!A),!@(/01!1$60!2/\/!d!CTU+!1_$!:)!Cb01!045!AO$
2e\!Cb01!]!-f2!@G!26!+b
( )
Af !Cb01!2>,01!d?!P(301!*$0(!>Q01! YXf : !:)!Cb01!@($!A)!+(g!@($
( )
( )

fAfA
!AO$!*_$! XA ?
Đặng Xuân C)ơng - Cao học 12 - Giải tích - Đại học Vinh
K nim hố 2005
E
!"#$%&"'()"*+",+&" &
/0123#"4.$"56)"7$35
8!3#"59:";<"5!$")5="3#5>:"7$?-"@:A
4!)"BCD"E"/F"'&"E"G.35"D5H)
4I"-5$"-JKL3"M$35"):&"56)"3NA"OPPP
QR3S""4.$"M\
@#+35S"/&%3
Thời gian làm bài: 180 phút
8WJ"OX!#_$!
1+n
E h)!@(/01!1$60!A8+2i!2f2!+%!+V+!C6!2(3+!*I2!Y0!+b!-e+!
n
!AO$!(L!&Z!2([+?!F>,01
1+n
E !+(,!+V+!C6!2(3+!
( )
xu
k
!AO$!
nk
0
!CTU+!`V+!CX0(!0(T!&65^
0
0
=u N

( )
xu
k
M
( )( ) ( )
121 + kxxxx L !AO$!
nk
0
?
6"!P(301!*$0(!>Q01!+V+!C6!2(3+!
{ }
n
k
k
u
0=
!:e\!2()0(!*I2!+i!&.!+=6!
1+n
E ?
-"!jkW!+(301!2a!2l0!2B$!m5W!0(f2!*I2!\(8\!-$40!Cn$!25W40!290(!
!+=6!
1+n
E !2(o!*k0!
1
+n
C$H5!@$L0!
( )
k
k
ux = R! nk ,,2,1,0

K= ?!o)! !:)!*I2!&,01!V0(?
+"!7V+!CX0(!V0(!`B!!

^
1+n
E
1+n
E ! $!C$H5!@$L0!

( )
[ ]
( ) ( )
xpxpxp += 1 N!
( )
1n
pxE
+
?
jkW!+(301!*$0(!

!:)!*I2!V0(!`B!25W40!290(!?!FG*!0(p0!A)!%0(!+=6

?!FG*!+V+!C6!2(3+
( )( )
xu
k
N nk ,,2,1,0 K= ?
8WJ"YX!6"!P(,!#!:)!*I2!0(b*!7W+:$+?!P(301!*$0(!>Q01!*_$!0(b*!+,0!#!+q01!:)!0(b*!7W+:$+?
-"!#_$!
x !:)!\(S0!2'!&$0(!+=6!0(b*!7W+:$+!#?!jkW!2G*!2f2!+%!+V+!0(b*!+,0!+=6!#!Cr01

+f5!AO$!#?
! +"!P(301!2a!>Q01!*_$!0(b*!+,0!+f\!(s5!(B0!015W;0!2Z!CH5!:)!0(b*!7W+:$+?
8WJ"ZX"F6!1_$!*I2!2>Tt01!:)!015W;0!2Z!045!0b!@(/01!+(36!*I2!2>Tt01!+,0!2([+!&[!0),?
6"!P(301!*$0(!>Q01!2>Tt01!+V+!&&b!(s5!2g!
Ô !A)!2>Tt01!+V+!:O\!Cl01!mT!
p
 !uAO$!\!:)!&Z
0155W;0!2Z!"!!:)!2>Tt01!+V+!&Z!015W;0!2Z?
-"!P(,!7!:)!*I2!2>Tt01!015W;0!2Z!-f2!@G?!P(301!2a!>Q01!!7 Ô!(,v+!7
p
 !uAO$!\!:)!*I2!&Z
015W;0!2Z!0),!Cb"?
8WJ"[X!#$%!&'!\(8\!-$40!Cn$!25W40!290(!
!+=6!@(/01!1$60!w
x
!CZ$!!AO$!+i!&.!Ci0!AX!+b!*6!2>0!:)^
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
815
231
411
A



=




6"!FG*!1$V!2>X!>$;01!A)!A8+!2i!>$;01!+=6! ?

-"!FG*!*I2!+i!&.!+=6!w
x
!*)!CZ$!AO$!0b!*6!2>e0!+=6!
!+b!mB01!26*!1$V+!?!o$42!*6!2>e0!Cb?
+"!#$V!2>X!>$;01!+=6! !+b!2(6W!Cn$!@(/01!@($!26!2(6W!Cn$!+i!&.?
Đặng Xuân C)ơng - Cao học 12 - Giải tích - Đại học Vinh
K nim hố 2005
x
!"#$%&"'()"*+",+&" &
/0123#"4.$"56)"7$35
8!3#"59:";<"5!$")5="3#5>:"7$?-"@:A
4!)"BCD"E"/F"'&"E"G.35"D5H)
4I"-5$"-JKL3"M$35"):&"56)"3NA"Y]]]
QR3S""T$U$"-V)5
@#+35S"/&%3
Đề số 1
Thời gian làm bài: 180 phút
8WJOX!!P(,!()*!&Z!!
( )





=+
+
+
=
0 0
0

,
22
22
22
2
yx
yx
yx
yx
yxf
!045
045
K(%,!&V2!290(!:$;0!2<+!A)!290(!@(%!A$!+=6!()*!&Z!Ck!+($!2>;0!*$H0!`V+!CX0(!+=6!0b?
8WJ"YX"FG*!*$H0!(I$!2<!A)!290(!2n01!+=6!+(5J$!()*!!
( )
( )


=



1
1
3
2
1
n
n
n

n
x
!?
8WJ"ZX!#$%!&'!
( ){ }
niRxxxxR
in
n
,,2,1,:,,,
21
LK == y!A)!
( )
1,0p ?!ob$!*J$!2e\
( )
n
xxx ,,
1
K= N!
( )
n
yyy ,,
1
K= !26!Cv2!!
( )

=
=
n
i
p

ii
yxyxd
1
, N!
( )

=
=
n
i
ii
yxyx
1
, !P(301!*$0(
>Q01^
6"!u dR
n
, "!:)!@(/01!1$60!*;2>$+!CSW!C=?
-"!á0(!`B!Cl01!0(f2! :
d
i u dR
n
, "
( )
,
n
R !:$;0!2<+?
8WJ"[X!P(,!()*! :f
ĂĂ!`V+!CX0(! $
()

(
]











+
=

=
nn
Axifn
xif
xf
n
1
,
1
1

1,0 0
R
K,2,1=n

oO$!*J$!

Nn !26!Cv2!!

=
=
n
k
An
n
kf
1
!u
n
A
:)!()*!Cv+!2>T01!+=6!]
0
"?
P(301!*$0(!>Q01
6"! ff
n
!2>;0 Ă ?
b) f!@(%!29+(!hi-z!2>;0! Ă !A)!290(!29+(!\(p0!hi-z!
( )
fxdx

Ă
!?
+"!j)*
2

f @(/01!@(%!29+(!hi!-z!2>;0! Ă ?
8WJ"^X!!K9!($L5!
[ ]
1,0
C !:)!@(/01!1$60!2f2!+%!+V+!()*!:$;0!2<+!!
[ ]
:0,1x Ă !AO$!-f2!@G
yx,
[ ]
1,0
C !26!Cv2!
( )
[ ]
( ) ( )
0,1
,sup
t
dxyxtyt

=?!!P(301!*$0(!>Q01
6"!á0(!`B!
[ ] [ ]
1,01,0
: CCf !+(,! $!
()
[ ]
() ()
dssxtxf
t

=
0
R! x
[ ]
1,0
C !:)!V0(!`B!25W40!290(!:$;0
2<+?!F90(!+(5Y0!+=6!f.
-"!
[ ]
( )
dC ,
1,0
!@(/01!\(%$!:)!@(/01!1$60!+,*\6+2?
Đặng Xuân C)ơng - Cao học 12 - Giải tích - Đại học Vinh
K nim hố 2005
{
!"#$%&"'()"*+",+&" &
/0123#"4.$"56)"7$35
8!3#"59:";<"5!$")5="3#5>:"7$?-"@:A
4!)"BCD"E"/F"'&"E"G.35"D5H)
4I"-5$"-JKL3"M$35"):&"56)"3NA"Y]]]
QR3S""T$U$"-V)5
@#+35S"/&%3
Đề số 2
Thời gian làm bài: 180 phút
8WJ"OX!6"!K(%,!&V2!&[!(I$!2<!+=6!+(5n$^!!
1
(1)
ln
n

n
n

=


?
-"!FG*!*$H0!(I$!2<!+=6!+(5J$^!!!
1
2
n
n
x
n

=

?
+"!F90(!2n01!+=6!+(5n$!:qW!2(c6^!
2
1
(1)
n
n
nnx


=
+

8WJ"YX!K|!($L5!
{ }
2
2
1
:
nn
n
lxx

=


=<




C ?!!}v2!
( )
,sup
nn
n
pxyxy

=
N
( )
1
2

2
1
,
nn
n
dxyxy

=

=



!AO$!
{ }
n
xx = N!
{ }
n
yy = !2(5I+!
2
l
6"!P(301!*$0(!>Q01!\R!m!:)!+V+!*z2>$+!2>;0!
2
l ?
-"!á0(!`B!Cl01!0(f2!
d
I ^!!
22
(,)(,)ldlp !!:)!V0(!`B!:$;0!2<+?

8WJ"ZX 6"!!P(,!()*!~!
!!C,!CTU+R!(s5!(B0!(?!@?!0!2>;0!2e\!(U\!]R!Cv2
()
f(x) f(x)n
0 f(x)n
n
fx


=



045
045
!A)!!
f
n
f !(?!@?!0
P(301!*$0(!>Q01! lim()
AnA
x
IfdLIfd
àà

= ?
-"!#$%!&'!E!:)!2e\!+,0!+=6!@(/01!1$60!2/\/!7?!P(301!*$0(!>Q01!2e\!E!Cb01!@($!A)!+(g!@($
E!+(36!2f2!+%!+V+!C$D*!1$O$!(B0!+=6!0b?
8WJ"[X"á0(!`B!~^!E!!!F!2c!@(/01!1$60!CX0(!+(5Y0!E!A),!@(/01!1$60!CX0(!+(5Y0!F!CTU+!1_$!:)!-X
+(v0!045!2l0!2B$!*I2!(Q01!&Z!P!>!!&6,!+(,!!

()fxC !AO$!*_$!`!!E!*)! 1x ?!P(301!*$0(
>Q01!CD!~^!E!!!F!!-X!+(v0R!!C$H5!@$L0!+S0!A)!C=!:)!~!:$;0!2<+?
§Æng Xu©n C)¬ng - Cao häc 12 - Gi¶i tÝch - §¹i häc Vinh
Kỷ niệm hè 2005
5
!"#$%&"'()"*+",+&" &
/0123#"4.$"56)"7$35
8!3#"59:";<"5!$")5="3#5>:"7$?-"@:A
4!)"BCD"E"/F"'&"E"G.35"D5H)
4I"-5$"-JKL3"M$35"):&"56)"3NA"Y]]]
QR3S""4.$"M\
@#+35S"/&%3
Thêi gian lµm bµi: 180 phót
"8WJ"OX!#$%!&'!o!:)!@(/01!1$60!A8+!2i!2([+!0!+($H5!A)! VVf
→: !:)!V0(!`B!25W40!290(?
6"!P(301!*$0(!
( ) ( )
nfimf =+ kerdimdim !?
-"!#$%!&'! f !Ci0!+f5?!P(301!*$0(!! f :)!2[!Cr01!+f5!+=6!o?
+"!#$%!&'!! ff =
2
?!P(301!*$0(! Vfimf =⊕ ker ?
m"!#$%!&'!*_$!A8+!2i!@(V+!@(/01!+=6!o!CH5!:)!A8+!2i!>$;01!+=6! f ?!P(301!*$0(!>Q01! f
CTU+!`V+!CX0(! $!!
( )
xxf α= !uα !:)!&Z!2([+!+(,!2>TO+"?
8WJ"YX"#$%!&'!7!:)!0(b*!7W+:$+!+f\!*!A)!d:)!0(b*!7W+:$+!+f\!0?!P(301!*$0(!>Q01^
6"!N(b*!+,0!+=6!0(b*!7!!:)!0(b*!7W+:$+?
-"!7!+(g!+b!*I2!&Z!(s5!(B0!0(b*!+,0?
+"!7

≅ d!@($!A)!+(g!@($!*M0?
m"!7
×d!:)!0(b*!7W+:$+!+f\!*×0!@($!A)!+(g!@($!!u*R0"M ?
8WJ"ZX!#$%!&T!7!:)!*I2!A)0(!1$6,!(,V0!+b!Ci0!AX!?!MI2!IC;60!]
≠ !7!+=6!7!CTU+!1_$!:)!IC;60!2Z$
CB$!!045!+A)!+(g!045!+V+!IC;60!+=6!7!+(36!]!+(90(!:)!7!A)!-%0!2(p0!]?!MI2!IC;60!P!+=6!7!CTU+
1_$!:)!015W;0!2Z!045!A)!+(g!045!AO$!5RA!
X∈ !2(G!29+(!5?A P∈ !@8,!2(z,!5 P∈ !(,v+!A P∈ ?!#$%!&'!I
:)!IC;60!+=6!7?!P(301!*$0(!>Q01^
6"!7/I!:)!*I2!*$H0!015W;0!@($!A)!+(g!@($!I!:)!!IC;60!2Z$!CB$?
-"!!7/I!:)!*I2!2>Tt01!@($!A)!+(g!@($!I!:)!!IC;60!2Z$!CB$!?
+"!N45!I!:)!!IC;60!2Z$!CB$!2(G!I!:)!!IC;60!2Z$!CB$?
§Æng Xu©n C)¬ng - Cao häc 12 - Gi¶i tÝch - §¹i häc Vinh
Kỷ niệm hè 2005
6
!"#$%&"'()"*+",+&" &
/0123#"4.$"56)"7$35
8!3#"59:";<"5!$")5="3#5>:"7$?-"@:A
4!)"BCD"E"/F"'&"E"G.35"D5H)
4I"-5$"-JKL3"M$35"):&"56)"3NA"Y]]O
QR3S""T$U$"-V)5
@#+35S"/&%3
§Ò sè 1
Thêi gian lµm bµi: 180 phót
8WJ"OX!P(,!+(5n$!()*^!!
( )
( )
1
1
21

3
n
n
n
x
n
∞
=
−
−
∑
?!u "
6"!FG*!*$H0!(I$!2<!+=6!+(5J$!u "
-"!F90(!2n01!+=6!+(5n$!u "!2>,01!@(,%01!(I$!2<!+=6!0b?
8WJ"YX"P(,!()*!&Z!
( )
1
y cos 0
,
x
0 0
x
fxy
x

≠

=



=

045
045
6"!FG*!2f2!+%!+V+!C$D*!1$V0!C,B0!+=6!~?
-"!Fe\!+V+!C$D*!1$V0!C,B0!+=6!~!@(/01!Cb01!2>,01!w
E
!0(T01!*.!2>,01!2e\!
{ }
(0,):yy∈¡ ?
8WJ"ZX"P(,!mkW!()*
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
()
[ ] [ ]
[ ]
K,2,1,
1,0 0
1,0
1
=





∉
∈
= n
x
xnx

n
xf
n
!045
045
P(301!*$0(!>Q01
6"
( )
lim
n
x
fxx
→∞
= !AO$!!
[ ]
1,0∈∀x
-"!
1
lim
2
n
x
If
→∞
= !2>,01!Cb!
n
If !:)!29+(!\(p0!hi-z!+=6!
n
f !2>;0!wR!
[ ]

nx !:)!\(S0!015W;0!+=6! nx ?
8WJ"[X"#$%!&'!!
∞
l !:)!2e\!2f2!+%!+V!mkW!&Z!2([+!-X!+(v0!N!
0
c !:)!2e\!2f2!+%!+V+!mkW!&Z!2([+!(I$!2<!2O$
•?
6"!P(301!*$0(!>Q01!+/01!2(3+
!!!!!!!!!!!!!
sup
n
n
xx
∈
=
N
!AO$!
{ }
n
xx = !∈!
∞
l !`V+!CX0(!*I2!+(5Y0!2>;0!
∞
l ?
-"!P(301!*$0(!>Q01!
0
c !:)!@(/01!1$60!+,0!Cb01!2>,01!
∞
l AO$!+(5Y0!0b$!2>;0?
+"!P(,!V0(!`B!! Rlf →

∞
: `V+!CX0(! $!+/01!2(3+!
()
1
3
n
n
n
x
fx
∞
=
=
∑
!R!AO$!*_$!!
{ }
n
xx = !∈
∞
l R!jkW!+(301!*$0(!>Q01!f!!:)!*I2!\($4*!()*!25W40!290(R!:$;0!2<+!2>;0!
∞
l !A)!290(!
f ?
8WJ"^X"#$%!&'!E!:)!@(/01!1$60!CX0(!+(5Y0!(s5!(B0!+($H5R!B!:)!(G0(!+S5!Ci0!AX!Cb01!2>,01! E?
P(301!*$0(!>Q01!AO$!*_$!`!∈!ER!CH5!2l0!2B$!W!∈!B!&6,!+(,! xy− !M!mu`R!B"?
§Æng Xu©n C)¬ng - Cao häc 12 - Gi¶i tÝch - §¹i häc Vinh
Kỷ niệm hè 2005
7
!"#$%&"'()"*+",+&" &
/0123#"4.$"56)"7$35

8!3#"59:";<"5!$")5="3#5>:"7$?-"@:A
4!)"BCD"E"/F"'&"E"G.35"D5H)
4I"-5$"-JKL3"M$35"):&"56)"3NA"Y]]O
QR3S""T$U$"-V)5
@#+35S"/&%3
§Ò sè 2
Thêi gian lµm bµi: 180 phót
8WJ"OX!FG*!*$H0!(I$!2<!+=6!+(5J$!()*!
( )
( )
∑
∞
=
+
−
1
1
1
n
n
n
xn
?u "
782!290(!@(%!A$!+=6!2n01!+(5J$!u "!2B$!0(s01!C$D*!2>,01!*$H0!(I$!2<!+=6!0b?
8WJ"YX! "!782!290(!:$;0!2<+!+=6!()*!&Z!
( )






=
≠
=
0 0
0
y
1
sin
,
y
yx
yxf
045
045
E"!P(301!*$0(!>Q01!2e\!+V+!C$D*!1$V0!C,B0!+=6!()*! f !@(/01!Cb01!R!@(/01!*.!2>,01
2
R !0(T01!*.!2>,01!_?
8WJ"ZX!P(,!mkW!()*
!! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!
()
[ ] [ ]
[ ]
K,2,1,
1,0 0
1,0
1
=






∉
∈
= n
x
xnx
n
xf
n
!045
045
P(301!*$0(!>Q01
6"
( )
lim
n
x
fxx
→∞
= !AO$!!
[ ]
1,0∈∀x
-"!
1
lim
2
n
x

If
→∞
= !2>,01!Cb!
n
If !:)!29+(!\(p0!hi!-z!+=6!
n
f !2>;0!wR!
[ ]
nx !:)!\(S0!015W;0!+=6
nx?
8WJ"[X"#$%!&'!!
∞
l !:)!2e\!2f2!+%!+V!mkW!&Z!2([+!-X!+(v0!N!
0
c !:)!2e\!2f2!+%!+V+!mkW!&Z!2([+!(I$!2<!2O$
•?
6"!P(301!*$0(!>Q01!+/01!2(3+!
( )
nnNn
yxyxd −=
∈
sup, !AO$!
{ }
n
xx = N!
{ }
n
yy = ! ∈!
∞
l !`V+

CX0(!*I2!*;2>$+!2>;0!
∞
l !A)!*;2>$+!CTU+!&$0(! $!*I2!+(5Y0!2>;0!
∞
l ?
-"P(301!*$0(!>Q01!
0
c !:)!2e\!+,0!Cb01!2>,01!
∞
l ?
+"!P(,!V0(!`B!! Rlf →
∞
: ! $!+/01!2(3+!
()
∑
∞
=
=
1
2
n
n
n
x
xf !AO$!*_$!!
{ }
n
xx = !2(5I+!
∞
l ?!jkW

+(301!*$0(!>Q01!f !:)!*I2!\($4*!()*!25W40!290(!R!:$;0!2<+!2>;0!!
∞
l !A)!290(! f ?
8WJ"^X!#$%!&'!E!:)!@(/01!1$60!CX0(!+(5Y0!R!
∗
E !:)!@(/01!1$60!+V+!\($4*!()*!25W40!290(!:$;0!2<+
2>;0!E!A)!a!:)!*I2!C$D*!2(5I+!E?!P(301!*$0(!>Q01!V0(!`B!! CE
a
→Φ
∗
: !CTU+!+(,! $!+/01!2(3+
( ) ( )
aff
a
=Φ N!
∗
∈∀ Ef !!:)!V0(!`B!25W40!290(!:$;0!2<+!2>;0!E!A)! a
a
=Φ ?
Đặng Xuân C)ơng - Cao học 12 - Giải tích - Đại học Vinh
K nim hố 2005
8
!"#$%&"'()"*+",+&" &
/0123#"4.$"56)"7$35
8!3#"59:";<"5!$")5="3#5>:"7$?-"@:A
4!)"BCD"E"/F"'&"E"G.35"D5H)
4I"-5$"-JKL3"M$35"):&"56)"3NA"Y]]O
QR3S""4.$"M\
@#+35S"/&%3
Thời gian làm bài: 180 phút

8WJ"OX!P(,!o!:)!@(/01!1$60!2f2!+%!+V+!C6!2(3+!*I2!Y0!+b!-e+!
n
!AO$!(L!&Z!2([+!A)! ^
VV

!:)
V0(!`B!-$40!*J$!C6!2(3+!2()0(!CB,!()*!+=6!0b?
6"!P(301!*$0(!>Q01!
!:)!*I2!\(8\!-$40!Cn$!25W40!290(!+=6!@(/01!1$6!A8+!2i!o?
-"!FG*!1$V!2>X!>$;01!A)!A8+!2i!>$;01!+=6!
?
!8WJ"YX"P(,!V0(!`B!!
23
:f ĂĂ!`V+!CX0(! $
!!!!!!!!!!!!!!!
( ) ( )
myxyxyxyxf ++= 2,,2,
6"!FG*!*!CD! f !:)!V0(!`B!25W40!290(!?
-"!FG*! fker !A)!
( )
imfdim !2>,01!2>Tt01!(U\! f !V0(!`B!25W40!290(?
8WJ"ZX"6"!P(301!*$0(!>Q01!*_$!A)0(!+,0!+=6!A)0(!&Z!015W;0!
 !CH5!+b!mB01!
mÂ
!AO$!
m
Â
?
-"!FG*!2f2!+%!+V+!2[!Cl01!+f5!+=6!A)0(!
 [5]!+V+!&Z!2([+!+b!mB01!

5ba + !AO$!!6R!-!:)!+V+
&Z!015W;0?
"8WJ"[X!P(,!K!:)!*I2!2>Tt01!+b!Cv+!&Z!015W;0!2Z!p?!P(301!*$0(!V0(!`B!
p
xx !
( )
Kx !:)!*I2
2[!Cl01!+f5!@(V+!@(/01!+=6!2>Tt01!K?!Fc!Cb!(kW!+(301!*$0(!CX0(!:9!Fz+*6!-8^!oO$!*_$!&Z
015W;0!6!A)!&Z!015W;0!2Z!\!26!+b!!!!
( )
paa
p
mod ?
8WJ"^X"782!0(b*! Ô "+V+!&Z!(s5!2g!AO$!\(8\!+I01!2(/01!2(Tt01?
6"!P(301!*$0(!>Q01!Ô !@(/01!\(%$!:)!0(b*!7W+:$+?
-"N(b*!2(Ti01! Ô/ Â !+b!Cr01!+f5!AO$! Ô!(6W!@(/01?
Đặng Xuân C)ơng - Cao học 12 - Giải tích - Đại học Vinh
K nim hố 2005
9
!"#$%&"'()"*+",+&" &
/0123#"4.$"56)"7$35
8!3#"59:";<"5!$")5="3#5>:"7$?-"@:A
4!)"BCD"E"/F"'&"E"G.35"D5H)
4I"-5$"-JKL3"M$35"):&"56)"3NA"Y]]Y
QR3S""T$U$"-V)5
@#+35S"/&%3
Thời gian làm bài: 180 phút
8WJ"OX!782!&[!(I$!2<!CH5!+=6!!+(5J$!()*!
( )

=
+
1
22
1
n
xnn
x
?
8WJ"YX"P(,!()*!&Z
( )
( ) ( )
( ) ( )





=

+=
0,0, 0
0,0,
1
cos
,
22
3
yx

yx
yx
x
yxf
!045
045
6"782!290(!@(%!A$!+=6!()*! f 2B$!C$D*!
( )
0,0 ?
-"!782!290(!:$;0!2<+!+=6!+V+!CB,!()*!>$;01!+=6! f 2B$!C$D*!
( )
0,0 ?
8WJ"ZX"K(%,!&V2!290(!@(%!29+(!w$z*60R!@(%!29+(!hi-z!A)!290(!+V+!29+(!\(p0!Cb!u045!+b!"!CZ$!AO$
()*
( )








=
=
n
xe
n
x
yxf

x
1

1
sinx
,
045
045
R!
K,3,2,1=n !2>;0!C,B0!
[ ]
1,0 ?
8WJ"[X!#$%!&'!
{ }
{ }
<=
nnn
xRxl sup: N
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
( ){ }
KKK ,2,1,,0,0,1,0,,0 === neA
n
P(301!*$0(!>Q01!^
6"!PV+!+/01!2(3+!
( )


=
=
1

1
,
n
nn
yxyxd R!
( )
nnn
yxyxd =

sup, !AO$!
{ }
n
xx = N!
{ }
n
yy =
:S0!:TU2!`V+!CX0(!*;2>$+!2>;0!
1
l N

l ?
-"!

ll
1
!0(T01!
( )

dl ,
1

!@(/01!Cb01!2>,01!
( )

dl , ?
+"!S\60]!2>ù!*e2!2>,01!
( )
11
, dl !0(T01!@(/01!2>ù!*e2!2>,01!
( )

dl , R!2>,01!Cb!S\60]!:)!2e\
(U\!2f2!+%!+V+!2n!(U\!25W40!290(!(s5!(B0!+=6!]?
m"!á0(!`B!
( ) ( )
1
1
,,: ll


!AO$!
() { }
,
2
n
n
n
x
xxxl

==


!:)!V0(!`B!25W40!290(
:$;0!2<+?!F90(!
!!u!
nn
xx sup=

N!


=
=
1
1
n
n
xx "!!AO$!
{ }
n
xx = "?
8WJ"^X!P(301!*$0(!>Q01!
{ }
n
A !!:)!mkW!+V+!2e\!*.!2>,01!@(/01!1$60!*;2>$+!CSW!C=!7!&6,!+(,
XA = !2(G!AO$!*_$! n !2(G!
I

=

=
1n
n
AX ?
Đặng Xuân C)ơng - Cao học 12 - Giải tích - Đại học Vinh
K nim hố 2005

!"#$%&"'()"*+",+&" &
/0123#"4.$"56)"7$35
8!3#"59:";<"5!$")5="3#5>:"7$?-"@:A
4!)"BCD"E"/F"'&"E"G.35"D5H)
4I"-5$"-JKL3"M$35"):&"56)"3NA"Y]]Y
QR3S""4.$"M\
@#+35S"/&%3
Thời gian làm bài: 180 phút
+$"OX !6"!!P(,!\(8\!-$40!!Cn$!25W40!290(!
!+=6!
3
Ă !CZ$!AO$!+i!&.!Ci0!AX!+b!*6!2>e0!:)^
815
231
411

jkW!2G*!1$V!2>X!>$;01!A)!Az+2i!>$;01!+=6 ?
-"!P(301!2a!>Q01!045!
A !:)!*6!2>e0!A5/01!\(S0!2'!2([+!2(a6!*k0!
2
0AI+=!2(G! A !@(/01
+b!1$V!2>X!>$;01!2([+?!Fc!Cb!&5W!>6!@(/01!2l0!2B$!*6!2>e0!A5/01! A !+f\!x!!\(S0!2'!2([+!2(a6!*k0
2
0AI+=!uF>,01!Cb!I!:)!*6!2>e0!Ci0!AX!+ù01!+f\!AO$! A "?
+$"YX!!P(,!0(b*!#!A)!]52#!:)!0(b*!2f2!+%!+V+!2[!Cr01!+f5!+=6!#!AO$!\(8\!2,V0!0(p0!V0(!`B?
oO$!*J$!6!
!#R!`82!V0(!`B!~
6!
^!#! !#
!`!! a !6
-
`6
6"!P(301!*$0(!>Q01!~
6!
:)!*I2!2[!Cr01!+f5!+=6!#R!A)!26!1_$!!Cb!:)!2[!Cr01!+f5!2>,01!`V+
CX0(! $!!6?
-"!P(301!*$0(!>Q01!2e\!2f2!+%!+V+!2[!Cr01!+f5!2>,01!+=6!#!:e\!2()0(!*I2!0(b*!+,0R!@|
($L5!:)!I02#!+=6!0(b*!]52#?!ji0!0s6R!I02#!!]52#?
+"!P(301!*$0(!>Q01!*I2!0(b*!+,0!j!+=6!#!:)!TO+!+(5Y0!+=6!#!@($!A)!+(g!@($!~
6
uj"!M!j
AO$!*_$!~
6!
!I02#?
m"!P(301!*$0(!>Q01!045!#!@(/01!1$6,!(,V0!2(G!I02#!@(/01!2(D!:)!PW+:$+R!m,!Cb!]52#
+q01!@(/01!:)!PW+:$+?

+$"ZX!P(,!2e\!7!M!
3
:,
xy
xy
yx








Z
R!2>,01!Cb!
3
 !:)!2>Tt01!+V+!:O\!Cl01!mT!!!!!!!!!2(z,
*,m5:!x?
6"!P(301!*$0(!>Q01!7!+ù01!AO$!\(8\!+I01!A)!0(p0!*6!2>e0!!:e\!2()0(!*I2!2>Tt01?
-"!FG*!Cv+!&Z!+=6!2>Tt01!7?
+$"[X" 6"!P(301!*$0(!>Q01!045!K!:)!*I2!2>Tt01!2(G!A)0(!C6!2(3+!K[`]!:)!*I2!A)0(!+(90(?
-"!P(301!*$0(!>Q01!*$H0!015W;0!P!@(/01!\(%$!:)!2>Tt01!2(G!P[`]!@(/01!:)!A)0(!+(90(?
+"!#_$!I!M!<`R!E>!:)!Imz6:!&$0(! $!(6$!\(S0!2'!`!A)!E!2>,01!A)0(!
 [`]?!P(301!*$0(!>Q01!I
1l*!2f2!+%!+V+!C6!2(3+!AO$!(L!&Z!2[!m,!:)!&Z!015W;0!+(ẵ0!A)!I!@(/01!\(%$!:)!Imz6:!+(90(?
Đặng Xuân C)ơng - Cao học 12 - Giải tích - Đại học Vinh
K nim hố 2005

!"#$%&"'()"*+",+&" &

/0123#"4.$"56)"7$35
8!3#"59:";<"5!$")5="3#5>:"7$?-"@:A
4!)"BCD"E"/F"'&"E"G.35"D5H)
4I"-5$"-JKL3"M$35"):&"56)"3NA"Y]][
QR3S""T$U$"-V)5
@#+35S"/&%3
Thời gian làm bài: 180 phút
8WJ"OX!!P(,!()*!&Z
( )





=









+
=
0y 0
0y
y
x

1lny
,
2
2
2
!045
045
yxf
P(301!*$0(!>Q01
6"! ),(
''
yxf
xy
A)! ),(
''
yxf
ỹ
!@(/10:$;0!2<+!2B$!C$D*!uR"?
-"! )0,0(
''
xy
f M )0,0(
''
yx
f ?
8WJ"YX"6"!FG*!*$H0!(I$!2<!+=6!+(5J$!()*!!
( )
nxx
n
n

n
n
+


=
sin
4
2
1
?
-"F90(!2n01!+=6!+(5J$!()*!
( )
2
2
1


=

+
n
n
xnn !2>,01!*$H0!(I$!2<!+=6!0b?
8WJ"ZX"#$%!&'!u7R!m"!:)!@(/01!1$60!*;2>$+!R! XXf
: !:)!*I2!V0(!`B!:$;0!2<+?!P(301!*$0(!>Q01
6"!Fe\!(U\!
( ){ }
xxfXxA == : !!:)!Cb01?
-"!N45!7!:)!2e\!+,*\6+2!A)! A !!2(G!2l0!2B$!&Z!+>!&6,!+(,! xxxfd )),(( !AO$!*_$!

Xx

?
8WJ"[X!#$%!&'!
{ }
n
f !:)!mkW!+V+!()*!C,!CTU+!2>;0!]!A &6,!+(, +<



=
àdf
n
A
n
1
. P(301!*$0(
>Q01!()*!


=1n
n
f !@(%!29+!2>;0!]!A)!
àà dfdf
A
n
n
n
A
n

=

= 11
.
8WJ"^X!K9!($L5!
[ ]
2
1,0
C !:)!@(/01!1$60!25W40!290(!+V+!()*!@(%!A$!:$;0!2<+!C40!+f\!(6$!2>;0!C,B0
[R ]?!oO$!*J$! x
[ ]
2
1,0
C !26!Cv2!!
( ) ( )
[ ]
)(''max1'0
1,0
txxxx
t

++= ?
6"!P(301!*$0(!>Q01!+/01!2(3+!2>;0!`V+!CX0(!*I2!+(5Y0!2>;0!
[ ]
2
1,0
C N
-"!P(301!*$0(!>Q01!2,V0!2'!]^!
[ ]
2
1,0
C
[ ]
2
1,0
C !+(,! $!+/01!2(3+
( )
)('')(' txtxtAx += !AO$!*_$
x
[ ]
2
1,0
C !R!
[ ]
1,0t !25W40!290(!0(T01!@(/01!:$;0!2<+?
Đặng Xuân C)ơng - Cao học 12 - Giải tích - Đại học Vinh
K nim hố 2005
E
!"#$%&"'()"*+",+&" &
/0123#"4.$"56)"7$35
8!3#"59:";<"5!$")5="3#5>:"7$?-"@:A

4!)"BCD"E"/F"'&"E"G.35"D5H)
4I"-5$"-JKL3"M$35"):&"56)"3NA"Y]][
QR3S""4.$"M\
@#+35S"/&%3
Thời gian làm bài: 180 phút
8WJ"OX!P(,!0!:)!&Z!015W;0!mTi01R!P
0
uw"!!:)!2e\!(U\!2f2!+%!+V+!C6!2(3+!Y0!`!AO$!(L!&Z!2([+!+b!-e+
@(/01!ATU2!q5V!0?
6"!P(301!*$0(!P
0
uw"!!+ù01!AO$!\(8\!+I01!C6!2(3+!A)!\(8\!0(p0!C6!2(3+!AO$!*I2!&Z!:)!*I2
@(/01!1$60!A8+!2i!2([+?
-"!P(301!*$0(!>Q01!(L!A8+!2i!
n
xxx )1(,,)1(,1,1
2

K !:)!*I2!+i!&.!+=6! P
0
uw"?!FG*!&Z
+($H5!+=6!P
0
uw"?
8WJ"YX!#$%!&'!o!:)!@(/01!16$!A8+!2i!0!+($H5!2>;0!2>Tt01!K!A)!o

!:)!@(/01!1$60!+,0!+=6!o!AO$!&Z
+($H5!-Q01!*R!
nm
<<0

?
! 6"P(301!*$0(!>Q01!2l0!2B$!@(/01!1$60!+,0!o
E
!+=6!o!&6,!+(,!oM
21
VV ?!FG*!&Z!+($H5
+=6!o
E
?
-"!jkW!0ờ5!+V+(!`pW!m[01!@(/01!1$60!A8+!2i!2(Ti01!
1
/VV !A)!2G*!&Z!+($H5!+=6!@(/01
1$60!Cb?
8WJ"ZX!#$%!&'!
*
Ê !:)!0(b*!0(p0!+V+!&Z!\(3+!@(V+!@(/01R!j!:)!2e\!(U\!+V+!&Z!\(3+!+=6!
*
Ê !!!0Q*
2>;0!2><+!2([+!A)!2><+!%,!R! Ă :)!0(b*!+I01!+V+!&Z!2([+R! Â :)!0(b*!+I01!+V+!&Z!015W;0?
6"!P(301!*$0(!>Q01!j!:)!TO+!+(5Y0!+=6!
*
Ê ?
-"!P(301!*$0(!>Q01!
 !:)!TO+!+(5Y0!+=6! à ?
+"!P(301!*$0(!>Q01!0(b*!2(Ti01!
*
Ê /!j!Cr01!+f5!AO$!0(b*! Ă /! Â ?
8WJ"[X!#$%!&'! !:)!A)0(!+V+!&Z!015W;0!?!he\!29+(!CH!+V+!oM  ì  ?
6"!P(301!*$0(!>Q01!o!+ú01!AO$!\(8\!2,V0!+I01!A)!0(p0!`V+!CX0(! $!^
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!u6R-"+u`RW"Mu6+`R-+W"

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!u6R-"?u`RW"Mu6`R-W"!:)!*I2!A)0(!1$6,!(,V0!+b!Ci0!AX!?!FG*!TO+!+=6!@(/01!2>,01
A)0(!Cb?
-"!P(301!*$0(!>Q01!o!+ự01!AO$!\(8\!+I01!A)!\(8\!0(p0!`V+!CX0(! $
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!u6R-"+u`RW"Mu6+`R-+W"
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!u6R-"?u`RW"Mu6`R6W+-`+-W"!:)!*I2!A)0(!16$,!(,V0!+b!Ci0!AX!?!FG*!TO+!+=6!@(/01
2>,01!A)0(!Cb?
§Æng Xu©n C)¬ng - Cao häc 12 - Gi¶i tÝch - §¹i häc Vinh
Kỷ niệm hè 2005
x
!"#$%&"'()"*+",+&" &
/0123#"4.$"56)"7$35
8!3#"59:";<"5!$")5="3#5>:"7$?-"@:A
4!)"BCD"E"/F"'&"E"G.35"D5H)
4I"-5$"`a"-H)"-5$"):&"56)"3NA"Y]]^
QR3S""T$U$"-V)5
@#+35S"/&%3
Thêi gian lµm bµi: 180 phót
8WJ"OX "!782!290(!:$;0!2<+!A)!@(%!A$!+=6!()*!&Z^
( )
322
22
(;)(0;0)
,
0 (;)(0;0)
xxy
xy
fxy
xy
xy


−
≠

=
+


=

045
045!
E"!P(,!+(5J$!()*^!
( )
1
1
2
2
n
n
n
x
∞
=
+
∑
!!u "
6"!FG*!*$H0!(I$!2<R!(I$!2<!CH5!+=6!+(5n$!u "
-"!F90(!2n01!+=6!+(5n$!u "!2>,01!*$H0!(I$!2<!+=6!0b?
8WJ"YX"#$%!&'!
1

l M
{ }






∞<∈∈=
∑
∞
=1
,;:
n
nnn
xNnCxxx
?
6"!P(301!*$0(!>Q01!+/01!2(3+!!
1
n
n
xx
∞
=
=
∑
!AO$!
{}
n
xx= !∈!

1
l!`V+!!CX0(!*I2!+(5Y0!2>;0
1
l?
-"!P(301!*$0(!>Q01!V0(!`B!~^!
1
l!→!_!AO$!
() { }
1
1
f,
2
n
n
n
n
x
xxxl
∞
=
=∀=∈
∑
!:)!V0(!`B!25W40!290(
:$;0!2<+?!F90(!
f?
8WJ"ZX"#g6!&'!7!:)!*I2!@(/01!1$60!*z2>$+R!K!:)!*I2!2e\!+,*\6+2!+=6!7R!6!A)!-!:)!(6$!C$D*!2(5I+
7\!K?!P(301!*$0(!>Q01!2l0!2B$!(6$!2e\!*.!UR!o!2>,01!7!&6,!+(,!U!∩!o!M!φR!!K!⊆!UR!{6R!-y!⊂!o?
§Æng Xu©n C)¬ng - Cao häc 12 - Gi¶i tÝch - §¹i häc Vinh
Kỷ niệm hè 2005
{

!"#$%&"'()"*+",+&" &
/0123#"4.$"56)"7$35
8!3#"59:";<"5!$")5="3#5>:"7$?-"@:A
4!)"BCD"E"/F"'&"E"G.35"D5H)
4I"-5$"-JKL3"M$35"):&"56)"3NA"Y]]^
QR3S""T$U$"-V)5
@#+35S"/&%3
Thêi gian lµm bµi: 180 phót
8WJ"OX!6"!P(,!()*!&Z!
2
:f →
¡¡!`V+!CX0(! $
( )
22
22
22
0
,
0 0
xy
xy
xy
fxy
xy

+≠

+
=



+=

045
045!
P(301!*$0(!>Q01!()*!~u`R!W"!:$;0!2<+!2(z,!-$40!`!@($!+Z!CX0(!W!A)!:$;0!2<+!2(z,!-$40!W!@($
+Z!CX0(!-$40!`!0(T01!@(/01!:$;0!2<+!2(z,!(6$!-$40!u`R!W"
-"!#$%!&'!#!⊂!
2
¡ A) :fG→ ¡ X!P(301!*$0(!>Q01!045!()*!~u`R!W":$;0!2<+!2(z,!-$40!`!AO$
*J$!W!+Z!CX0(!A)!+b!CB,!()*!>$;01!2(z,!-$40!W!-X!+(v0!2>;0!*$H0!#R!2(G!~u`R!W"!:$;0!2<+!2>;0!#?
8WJ"YX"6"!K(%,!&V2!&[!(I$!2<!+=6!+(5J$!&Z^!
1
2
4
1
1
n
n
n
dx
x
+
∞
=
+
∑
∫
?
-"!FG*!*$H0!(I$!2<!A)!290(!2n01!+=6!+(5J$!()*^!

0
(23)
nnn
n
x
∞
=
+
∑
?
8WJ"ZX"6"!P(301!*$0(!>Q01!2e\!(U\!+V+!&Z!2([+! ¡ "AO$!()*!m^! ¡ × ¡ →" ¡ !+(,! $!!!!!!!!!!!!mu`R
W"!M!
33
xyxy−+−R!!AO$!*_$!`R!W!∈! ¡ !:)!@(/01!1$60!*z2>$+!CSW!C=?
-"!P(301!*$0(!>Q01!V0(!`B!Cl01!0(f2!I
m
!^!u
¡ R!
"!→!u¡ R!m"!!2ừ!@(/01!1$60!+V+!&Z!2([+
AO$!*z2>$+!@(,%01!+V+(!2(/01!2(Tt01!A),!@(/01!1$60!*z2>$+!u
¡ R!m"!:)!V0(!`B!:$;0!2<+!0(T01
@(/01!:$;0!2<+!CH5?
8WJ"[X"6"!P(301!*$0(!>Q01!@(/01!1$60!+V+!&Z!2([+!AO$!!2/\/!!2(/01!2(Tt01!:)!@(/01!1$60!2(a6
*k0!2$;0!CH!C4*!CTU+!2(3!(6$?
-"!#$%!&'!~^!u•^! ]!→! ¡ ":)!()*!-X!+(v0R!C,!CTU+!hz-z&15z?!K9!($L5!E!M!u•!N! ]!A)!E
0!
M
u
11
,

1nn+
]!!AO$!0!
≥! ?!P(301!*$0(!>Q01^
6"!j)*!~!@(%!29+(!hz-z&15z!2>;0!E!A)!E
0
!AO$!*_$!0!
≥! ?
-"!
1
n
n
EE
fdfdµµ
∞
=
=
∑
∫∫
?
8WJ"^X"6"!#$%!&'!7!A)!d!:)!(6$!@(/01!1$60!B606+(R!d
*
!:)!@(/01!1$60!:$;0!(U\!+=6!d!A)!!!]^!7!→
d!:)!2,V0!2'!25W40!290(?!P(301!*$0(!>Q01!045!AO$!*_$!mkW!{`
0
y!⊂!7!&6,!+(,!!!!!!`
0!
→!•!A)!AO$!*_$
~!∈!d
*
!26!+b!~[]u`

0
"]!→!•!@($!0!→!∞R!2(G!~!:$;0!2<+?
-"!P(301!*$0(!>Q01!2>,01!@(/01!1$60!CX0(!+(5Y0
2
l M
{ }
2
1
:;,
nnn
n
xxxnx
∞
=

=∈∈<∞


∑
CN
!AO$!+(5Y0!
1
2
2
1
n
n
xx
∞
=


=



∑
R!`!M! {`
0
y∈!
2
l R!(G0(!+S5
Cb01!B'u•R!>"!!M!
{ }
{ }
:
n
xxxr=≤!AO$!>!>!•!@(/01!:)!2e\!+,*\6+2?
Đặng Xuân C)ơng - Cao học 12 - Giải tích - Đại học Vinh
K nim hố 2005
5
!"#$%&"'()"*+",+&" &
/0123#"4.$"56)"7$35
8!3#"59:";<"5!$")5="3#5>:"7$?-"@:A
4!)"BCD"E"/F"'&"E"G.35"D5H)
4I"-5$"-JKL3"M$35"):&"56)"3NA"Y]]^
QR3S""4.$"M\
@#+35S"/&%3
Thời gian làm bài: 180 phút
8WJ"OX!FG*!2f2!+%!+V+!*6!2>e0!A5/01!+f\!(6$!]!2>;0!2>Tt01!+V+!&Z!2([+!
Ă "&6,!+(,!]

E
!M!?
8WJ"YX"P(,!V0(!`B!
32
:f ĂĂ!`V+!CX0(! $!^!!~u`R!W"!M!uE`!-!WR!`!+!WR!`!-!EW!+!E6"?
6"!FG*!6!CD!~!:)!V0(!`B!25W40!290(?
-"!FG*!Kz>u~"!A)!I*u~"!2>,01!2>Tt01!(U\!~!:)!V0(!`B!25W40!290(?
8WJ"ZX"P(301!*$0(!>Q01^
6"!Pb!m5W!0(f2!*I2!Cl01!+f5!2c!0(b*!+I01!+V+!&Z!(s5!2ỷ!
Ô "C40!0(b*!+I01!+V+!&Z
015W;0! Â ?
-"!N(b*!+I01!+V+!&Z!(s5!2ỷ!
Ô !@(/01!\(%$!:)!0(b*!PW+:$+?
+"!N(b*!2(Ti01!
Ô /! !@(/01!Cr01!+f5!AO$!0(b*!+I01!+V+!&Z!(s5!2ỷ!Ô ?
8WJ"[X"K9!($L5! Â [$]!:)!A)0(!+V+!&Z!\(3+!mB01!6!+!-$R!AO$!6R!-!:)!+V+!&Z!015W;0!!uAO$!\(8\!+I01!A)
0(p0!&Z!\(3+"?
6"!P(301!*$0(!>Q01R!V0(!`B!~!`V+!CX0(! $!~u6!+!-$"!M!6!-!-$!:)!*I2!2[!Cr01!+f5!+=6!A)0(
 [$]?
-"!FG*!2f2!+%!+V+!2[!Cr01!+f5!+=6! Â [$]?
+"!M/!2%!A)0(!2(Ti01!
 [$]/!]R!2>,01!Cb!]!:)!Imz6:!+=6!A)0(!  [$]R!1l*!+V+!&Z!\(3+!mB01
6!+!-$R!AO$!6R!-!:)!+V+!&Z!015W;0!+(r0?
8WJ"^X"P(,!7!:)!*I2!*$H0!015W;0?!P(301!*$0(!>Q01R!7!:)!*I2!2>Tt01!@($!A)!+(g!@($!7!+(g!+b!(6$
Imz6:!2S*!2(Tt01!:)!{y!A)!7?
Đề Thi Tuyển Sinh Sau đại học năm 1998
1
Môn Đại Số
Thời gian 180'
Câu 1. Cho (G, ã) là một nhóm hữu hạn. Định nghĩa quan hệ trên G

bởi:
x y (g G, g
1
xg = y).
Với mỗi x G, đặt H
x
= {g G | g
1
xg = x} và O
x
= {g
1
xg | g
G}.
a) Chứng tỏ là một quan hệ t-ơng đ-ơng trên G.
b) Với mỗi tập con A của G, ký hiệu |A| là số phần tử của A. Chứng
tỏ rằng O
1
G
= {1
G
},H
x
là một nhóm con của G và |G| = |H
x
|. |O
x
|,
với mọi x G.
c) Chứng tỏ nếu |G| = p

n
, với p là một số nguyên tố và n là số tự
nhiên khác 0, thì tồn tại một phần tử g G sao cho gx = xg, x G.
Câu 2. Giả sử M
n
(R) là vành các ma trận vuông thực cấp n.
a) Chứng minh rằng, ma trận A là -ớc bên phải của 0 trong M
n
(R)
khi và chỉ khi det(A)=0.
b) Cho tập hợp N gồm tất cả các ma trận của M
n
(R) mà mọi phần
tử từ dòng thứ hai trở đi đều bằng 0. Chứng minh rằng, N là một vành
con của M
n
(R) và mọi phần tử khác 0 của N đều là -ớc bên phải của
không trong N.
c) Chứng minh rằng, trong N tồn tại vô số đơn vị trái.
Câu 3. Cho A là một ma trận m hàng và n cột với các phần tử thuộc
tr-ờng K. Hạng của A ký hiệu là r
A
, đ-ợc định nghĩa là cấp cao nhất
của các định thức con khác 0 của A.
a) Chứng minh rằng, r
A
bằng số cực đại các vector cột độc lập tuyến
tính của A.
b) Cho hệ ph-ơng trình tuyến tính
A

x
1
.
.
.
x
n


=


b
1
.
.
.
b
n


,b
i
K ().
1
Send from ROBINHOOD - Typeset By PCT
E
Xv.5

1
Cho B là ma trận m hàng n+1 cột nhận đ-ợc từ A bằng cách ghép thêm
cột


b
1
.
.
.
b
n


vào thành cột cuối. Chứng minh rằng, () có nghiệm khi và
chỉ khi r
A
= r
B
.
Bài 4. Giả sử V là một không gian vector phức gồm tất cả các đa thức
của x với hệ số phức, f(x) là một đa thức đã cho có bậc r hữu hạn, V
n+1
là không gian con của V gồm các đa thức có bậc không v-ợt quá n. Xét
ánh xạ:
: V V
g fg

gf

trong đó f

,g

là các đạo hàm của f,g t-ơng ứng.
a) Chứng minh rằng, là phép biến đổi tuyến tính của V. Tìm ker
và chứng tỏ rằng
(V
r+1
)=(V
r
).
b) Tìm dim((V
r+1
)).
2
Đề Thi Tuyển Sinh Sau đại học năm 1998
Môn Giải Tích
Thời gian 180'
Câu 1.
a) Khảo sát sự hội tụ đều của chuỗi hàm


n=1
1
n
2
2
n
(x

n
+ x
n
)
trên miền hội tụ đã đ-ợc chỉ ra là
1
2
|x|2.
b) Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm


n=1
(
n
n +1
)
n
2
x
n
.
Câu 2. Cho C
[a,b]
là tập các hàm liên tục trên đoạn [a, b].
a) Đặt
d(x, y) = max
atb
|x(t) y(t)|,x,y C
[a,b]
.

Chứng minh rằng, d là một metric trên C
[a,b]
và với metric d, C
[a,b]
là một
không gian đầy đủ.
b) Đặt
(x, y)=

b
a
|x(t) y(t)|dt, x, y C
[a,b]
.
Chứng minh rằng, là một metric trên C
[a,b]
và với metric đó C
[a,b]
là
một không gian không đầy đủ.
Câu 3.
a) Đặt
C
0
[0, 1] = {x C
[0,1]
: x(0) = 0},
trong đó C
[0,1]
là không gian định chuẩn các hàm liên tục trên [0, 1] với

chuẩn "max". Chứng minh rằng, C
0
[0, 1] là không gian con đóng của
C
[0,1]
và
A : C
0
[0, 1] C
0
[0, 1]
x Ax
3
cho bởi
(Ax)(t)=
1
2
[x(t
2
)+tx(1)],t [0, 1]
là một ánh xạ tuyến tính liên tục. Tính A.
b) Giả sử X, Y là hai không gian Banach và A : X Y là một toán
tử tuyến tính. Biết rằng với mọi y

Y

, ta có y

A X

. Chứng minh
rằng, A L(X, Y ).
Câu 4. Cho H là một không gian Hilbert.
a) Giả sử A L(H) là một toán tử tự liên hợp. Chứng minh rằng,


A
2


= A
2
, với A = A A.
b) Cho (A
n
)
nN
L(H) thỏa mãn điều kiện
sup
nN
|A
n
x, y| < +
với mọi x, y H. Chứng minh rằng, sup
nN
A < +.
4
Đề Thi Tuyển Sinh Sau đại học năm 1999
Môn Đại Số
Thời gian 180'

Câu 1. Cho n là một số nguyên d-ơng với
n = p
r
1
1
p
r
h
h
trong đó p
i
là các số nguyên tố và r
i
> 1. Cho G là một nhóm giao hoán
(với phần tử đơn vị e)cón phần tử. Giả sử tính chất () sau đây đ-ợc
thỏa mãn:
"Với mỗi -ớc số d của n, tập hợp {x G | x
d
= e} có nhiều nhất d
phần tử."
Chứng tỏ rằng, với mỗi 1 i h, tồn tại a
i
G thỏa mãn a
p
r
i
i
i
= e
và a

p
r
i
1
i
i
= e. Suy ra a
i
có bậc là p
r
i
i
.
Câu 2. Cho A là vành giao hoán, có đơn vị. Đặt
R = {I | I là idean cực đại của A},
N =

IR
I.
Chứng tỏ:
a) Với mỗi idean I của A, I Rkhi và chỉ khi A/I là một tr-ờng.
b) N = {x A |y A, z A, (1 xy)z =1}.
c) Giả sử A có tính chất: x A, n>1 thuộc N sao cho x
n
= x.
Chứng tỏ rằng idean nguyên tố của A cũng cực đại.
Câu 3. Cho A, B là các ma trận vuông cấp n có các phần tử thuộc vào
tr-ờng K. Chứng tỏ:
rank(A) + rank(B) n rank(AB) min{rank(A), rank(B)}.
Câu 4. Cho E là một không gian vector hữu hạn chiều trên tr-ờng K có

đặc số khác 2 và f là một dạng song tuyến tính đối xứng trên E. Với
mỗi không gian con U của E, đặt U

= {x E | f(x, y)=0, y U};
U đ-ợc gọi là hoàn toàn đẳng h-ớng nếu f(x, x)=0, x U. Không
5
gian con hoàn toàn đẳng h-ớng đ-ợc gọi là cực đại nếu nó không chứa
trong một không gian hoàn toàn đẳng h-ớng khác.
a) Chứng tỏ rằng U là một không gian con hoàn toàn đẳng h-ớng khi
và chỉ khi U U

.
b) Cho U, V là các không gian hoàn toàn đẳng h-ớng. Chứng tỏ rằng
với mọi x U V , không gian con V + Kx là hoàn toàn đẳng h-ớng.
c) Chứng tỏ rằng mỗi không gian con hoàn toàn đẳng h-ớng đ-ợc
chứa trong một không gian con hoàn toàn đẳng h-ớng cực đại. Suy ra
các không gian con hoàn toàn đẳng h-ớng cực đại có cùng một số chiều.
6
Đề Thi Tuyển Sinh Sau đại học năm 2000
Môn Đại Số
Thời gian 180'
Câu 1. Ký hiệu GL(n, R
n
) là nhóm nhân các ma trận thực không suy
biến cấp n. Chứng tỏ:
a) Tập hợp SL(n, R
n
) các ma trận thực cấp n có định thức bằng 1 là
một nhóm con chuẩn tắc của GL(n, R
n

).
b)
ánh xạ
f : GL(n, R
n
) R

A det(A)
từ nhóm GL(n, R
n
) vào nhóm nhân các số thực khác 0 là một toàn cấu.
Suy ra nhóm th-ơng GL(n, R
n
)/SL(n, R
n
) đẳng cấu với nhóm R

.
Câu 2. Cho R = Z
p
[x] là tập hợp mọi đa thức một biến x có hệ số
trong tr-ờng Z
p
các số nguyên modulo p, với p là một số nguyên tố. Xét
f Rvới:
f =
1+[x
p1
+(x + 1)
p1

+ ããã+(x + p 1)
p1
].
a) Chứng tỏ rằng mọi phần tử của Z
p
là nghiệm của ph-ơng trình
f(x)=0. Do đó f =0.
b) Suy ra công thức sau:
1
k
+ ããã+(p 2)
k
+(p 1)
k


0 mod(p) nếu k 0 mod(p 1),
1 mod(p) nếu k 0 mod(p 1).
Câu 3. Cho A, B là các ma trận vuông cấp n có số hạng trong tr-ờng
K. Chứng tỏ:
|rank(A) rank(B)|rank(A + B) rank(A) + rank(B).
Câu 4. Cho V là một không gian vector thực. Tập D đ-ợc gọi là một
đa tạp tuyến tính của V nếu D = W + x
0
, với W là một không gian
vector con của V và x
0
V, số chiều của W đ-ợc gọi là số chiều của
D. Chứng tỏ rằng
7

a) Với x
0
,x
1
, ,x
n
là một hệ vector cho tr-ớc trong V thì tập hợp
D = {x = a
0
x
0
+ a
1
x
1
+ ããã+ a
n
x
n
| a
0
+ a
1
+ ããã+ a
n
=1}
là một đa tạp tuyến tính của V chứa các vector x
0
,x
1

, ,x
n
.
b) Tập hợp các nghiệm của một hệ ph-ơng trình tuyến tính t-ơng thích
n ẩn hạng r với hệ tử thuộc tr-ờng số thực R lập thành một đa tạp tuyến
tính có số chiều là n r trong không gian vector R
n
.
8
Đề Thi Tuyển Sinh Sau đại học năm 2000
Môn Giải Tích
Thời gian 180'
Câu 1. Cho (X, d) là một không gian metric. Ta đặt
(x, y)=
d(x, y)
1+d(x.y)
,x,y X.
Hãy chứng minh:
a) (X, ) là một không gian metric.
b) Không gian (X, ) đầy đủ khi và chỉ khi (X, d) đầy đủ.
c) Cho A là một tập compact trong (X, d). Chứng minh rằng, A cũng
là một tập compact trong (X, ).
Câu 2. Cho f 0 là hàm đo đ-ợc trên tập A. Với mỗi n N ta đặt
f
n
(x)=

f(x) nếu f(x) <n
n nếu f(x) n.
Chứng minh lim

n

A
f
n
dà =

A
fdà.
Câu 3. Ký hiệu X = C
[0,1]
là không gian định chuẩn với chuẩn max.
a) Giả sử x X, với mỗi n N ta đặt
x
n
(t)=x(t
1+
1
n
), t [0, 1].
Chứng minh rằng, dãy (x
n
)
n
hội tụ về hàm x trong X.
b) Đặt A : X X cho bởi công thức x Ax, (Ax)(t)=x(0)
tx(t), với mọi t [0, 1]. Chứng minh A tuyến tính liên tục và tính A.
Câu 4. Cho X là một không gian định chuẩn và f X

,f=0. Ký

hiệu = inf{x : x X, f(x)=1}. Chứng minh rằng, f =
1

.
Câu 5. Cho H là một không gian Hilbert với {e
n
,n N} là một cơ sở
trực chuẩn của H.
Đặt A : H H xác định bởi
x H, Ax =


n=1
x, e
n+1
e
n
.
Chứng minh rằng, A tuyến tính, liên tục. Tìm A và xác định toán tử
liên hợp A

.
9
Đề Thi Tuyển Sinh Sau đại học năm 2001
Môn Giải Tích
Thời gian 180'
Câu 1 1) Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số sau đây:


n=1

ln(1+n)
n

,>1.
2) Cho f : R R là hàm số xác định bởi:
f =



0, nếu x/ (0, 1],

n, nếu x (
1
n +1
,
1
n
], với n N.
Tính

R
fdà và suy ra f khả tích trên R, trong đó à là độ đo Lebesgue
trên R.
Câu 2. Cho X là một không gian metric compact và f : X X là
một ánh xạ liên tục. Giả sử (K
n
) là một dãy giảm các tập đóng không
rỗng của X.
Chứng minh rằng, f(

n=1
K
n
)=


n=1
f(K
n
).
Câu 3. Ký hiệu C
[0,1]
là không gian định chuẩn các hàm số liên tục trên
[0, 1] với chuẩn max. Đặt
M = {x C
[0,1]
: x(0) = 0, 0 x(t) 1, t [0, 1]}.
1) Chứng minh rằng M là một tập đóng và bị chặn trong C
[0,1]
.
2) Xét hàm số f : C
[0,1]
R xác định bởi công thức f(x)=

1
0
x
2
(t)dt. Chứng minh rằng, f liên tục trên tập M nh-ng f không đạt

đ-ợc giá trị bé nhất trên M.
Câu 4. Giả sử X là không gian định chuẩn thực và f : X R là
một phiếm hàm tuyến tính. Chứng minh rằng, f X

khi và chỉ khi tập
M = {x X : f(x) 1} là một tập đóng trong X.
Câu 5. Cho H là một không gian Hilbert với cơ sở trực chuẩn {e
n
, : n N}
và X là một không gian Banach. Giả sử A L(H, X) sao cho


n=1
Ae
n

2
<
10