SÁNG KIẾN GIẢI MỘT VÀI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BẰNG CÁCH ĐẶT ẨN PHỤ

GIẢI MỘT VÀI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
BẰNG CÁCH ĐẶT ẨN PHỤ
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI :
Phương trình lượng giác là một trong những chủ đề quan trọng của lượng
giác trong chương trình THPT. Nhưng nó cũng là một trong những vấn đề mà
phần lớn các em học sinh thấy khó tiếp thu và vận dụng. Không thể phủ nhận
cách lượng giác hóa một phương trình đại số nhiều lúc khiến cho quá trình giải
bài toán trở nên thuận lợi hơn. Tuy nhiên nói về phương trình và hệ phương
trình đại số như phương trình bậc nhất một ẩn, phương trình bậc hai một ẩn, hệ
phương trình bậc nhất hai ẩn, hệ phương trình bậc hai hai ẩn,…là những kiến
thức mà các em học sinh đã được học ở THCS và một phần ở lớp 10. Vậy nên,
nếu ta chuyển những bài toán giải phương trình lượng giác về giải phương trình
hoặc hệ phương trình đại số bằng cách đặt ẩn phụ nhiều khi sẽ phù hợp với đa số
các em học sinh hơn bởi ở đây ta tuân thủ nguyên tắc “quy lạ về quen” để giải
một bài toán. Bên cạnh đó, việc giải một số phương trình lượng giác bằng cách
đặt ẩn phụ hay còn gọi là đại số hóa một phương trình lượng giác cũng được
xem như là một trong những cách nhìn khác nhau về giải phương trình lượng
giác, thỏa mãn được tính sáng tạo, không bằng lòng với những cách giải đã có
khác của các em học sinh. Nó giúp cho các em học sinh thấy được mối quan hệ
giữa lượng giác và đại số. Từ đó các em học sinh có thêm hứng thú trong việc
học tập môn lượng giác nói chung và phương trình lượng giác nói riêng. Đó là
những lí do để tôi viết chuyên đề “Giải một vài phương trình lượng giác bằng
cách đặt ẩn phụ”, với chuyên đề này tôi còn mong nó giúp cho các em học sinh
có một tài liệu học tập và ôn tập tốt hơn về chủ đề giải phương trình lượng giác.
II. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ:
Càng nắm được nhiều công thức lượng giác, các tính chất của hàm số
lượng giác và cách biến đổi lượng giác các em học sinh càng có thể sử dụng một
cách có hiệu quả cách đặt ẩn phụ để giải một phương trình lượng giác. Ở đây tôi
quan tâm tới việc sử dụng ít nhất các công thức lượng giác, ít phép biến đổi
lượng giác nhất và đưa về phương trình hoặc hệ phương trình đại số một cách
nhanh nhất và có tính khả thi nhất trong việc giải ra đáp số của bài toán.

Để vận dụng được chuyên đề này một cách hiệu quả trước tiên các em
học sinh cần nắm vững một số kiến thức:
1) Về lượng giác: :
- Các tính chất của hàm số lượng giác, công thức lượng giác cơ bản, công
thức cộng, công thức nhân đôi, nhân ba, tổng thành tích, tích thành tổng,
…
- Biết giải các phương trình lượng giác cơ bản.
2) Về đại số:
1
- Biết giải và biện luận phương trình bậc nhất, bậc hai một ẩn.
- Giải và biện luận hệ phương trình.
- Nắm vững một số định lí như Cauchy, Lagrange, Roll,…
III. NỘI DUNG ĐỀ TÀI :
1. Cơ sở lý luận :
Biểu thức lượng giác và biểu thức đại số có nhiều mối quan hệ biện
chứng với nhau, ta có thể thấy mối quan hệ đó qua bảng tóm tắt vài
điều dễ thấy như sau:
Công thức lượng giác Đặt ẩn phụ Điều kiện Biểu thức đại số
2
1
cos x
= 1+tan
2
x
tan=t x
Î ¡t
2
2
1
1

cos
= +t
x
cos2x = 2cos
2
x - 1
osx=t c
1 1- £ £t
cos2x = 2t
2
- 1
cos2x = 1 – 2sin
2
x
sin=t x
1 1- £ £t
cos2x = 1 - 2t
2
tan2x =
2
2tan
1 tan-
x
x

tan x=t
1¹ ±t
tan2x =
2
2

1-
t
t
3
sin3 3sin 4sin= -x x x
sin=t x
1 1- £ £t
3
sin3 3 4= -x t t
cos3x = 4cos
3
x - 3cosx
osx=t c
1 1- £ £t
cos3x = 4t
3
– 3t
2
2
2
tan
sin
1 tan
=
+
x
x
x
tan x=t
Î ¡t

2
2
2
sin
1
=
+
t
x
t
2
2
1
cos
1 tan
=
+
x
x
tan x=t
Î ¡t
2
2
1
cos
1
=
+
x
t

2
tan
sin cos
1 tan
=
+
x
x x
x
tan x=t
Î ¡t
2
sin cos
1
=
+
t
x x
t
2
1 cos2
sin
2
-
=
x
x
cos2=t x
1 1- £ £t
2

1
sin
2
-
=
t
x
2
1 cos2
cos
2
+
=
x
x
cos2=t x
1 1- £ £t
2
1
cos
2
+
=
t
x
2
1 cos2
tan
1 cos2
-

=
+
x
x
x
cos2=t x
1 1- < £t
2
1
tan
1
-
=
+
t
x
t
2
2tan
sin 2
1 tan
=
+
x
x
x

tan x=t
Î ¡t
sin2x =

2
2
1+
t
t
2
2
1 tan
os2
1 tan
-
=
+
x
c x
x
tan x=t
Î ¡t
2
2
1
os2
1 t
-
=
+
t
c x
2
tan tan

tan( )
1 tan tan
a b
a b
a b
+
+ =
-
tan
tan
a
b
=
=
x
y
1¹xy
tan( )a b+ =

1
+
-
x y
xy
2
1
1
cos a
-
= tan

2
α
2
1
cos a
=t
1³t
tan
2
α = t
2
- 1
….
Chú ý: Ta cần xét
cos 0=x
trước khi đặt ẩn phụ
tan=t x
để tránh làm mất
nghiệm của phương trình .
2. Nội dung thực hiện các phương pháp của đề tài :
2.1) Dạng phương trình bậc nhất, phương trình đưa về phương trình bậc
nhất đối với một hàm số lượng giác:
Ở đây tôi chỉ nói đến những phương trình bậc nhất và phương trình đưa
về phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác ở dạng đơn giản. Các
dạng này không nên đặt ẩn phụ mà nên đưa về dạng phương trình lượng giác cơ
bản để giải(tránh phức tạp hóa bài toán).
2.2) Dạng phương trình bậc hai, phương trình đưa về phương trình bậc hai
đối với một hàm số lượng giác:
A) Dạng phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác:
Bảng tóm tắt cách giải:

TT Phương trình ban đầu
Đặt ẩn
phụ
Điều kiện
Phương trình
mới
1 asin
2
x + bsinx + c = 0(
0¹a
) sinx = t
1£t
2
0+ + =at bt c
2 acos
2
x + bcosx + c = 0(
0¹a
) cosx = t
1£t
2
0+ + =at bt c
3 atan
2
x + btanx + c = 0(
0¹a
) tanx = t
,
2
p

p¹ + Î ¢x k k
2
0+ + =at bt c
4 acot
2
x + bcotx + c = 0(
0¹a
) cotx = t
,p¹ Î ¢x k k
2
0+ + =at bt c
Ví dụ 1. Giải phương trình
2
cos 2cos 3 0
2 2
+ - =
x x

Giải:
Đặt
x
os , 1
2
= £t c t
ta được phương trình
2
1
2 3 0
3( )
t

t t
t loaïi
é
=
ê
+ - = Û
ê
=-
ë
Với t = 1 ta được
x x
os 1 2
2 2
p= Û =c k
4 ,pÛ = Îx k k Z
.
Ví dụ 2. Giải phương trình

2
3cot 2cot 1 0+ - =x x
3
Gii:
t
cot=t x
, ta c phng trỡnh
2
1
3t 2t 1 0
1
3

ộ
=-
ờ
+ - =
ờ
ờ
=
ờ
ở
t
t
( )
3
cot 1
4
1
1
cot
arccot
3
3
p
p
p
ộ
ộ
ờ
= +
=-
ờ

ờ
ị ẻ
ờ
ờ
ổử
ờ
ờ
=
ữ
ỗ
= +
ờ
ờ
ữ
ỗ
ở
ữ
ỗ
ố ứ
ờ
ở
Â
x k
x
k
x
x k
Vớ d 3. Tỡm m phng trỡnh sau cú nghim
2
1 1

cos 4 cos4 - 0
2 2
- - =x x m
Gii:
t
cos4 , 1= Êt x t
.
Khi ú, ta c phng trỡnh
2 2
1 1 1 1
- 0 -
2 2 2 2
- - = - =t t m t t m
.
t
2
1 1
( ) t -
2 2
= -f t t
,
1 1- Ê Êt
1
'( ) 2
2
ị = -f t t
,
1 1
'( ) 0 2 0
2 4

= - = =f t t t
Ta cú
1 9
( 1) 1, ( ) , (1) 0
4 16
- = =- =f f f
Vỡ
( )=y f t
liờn tc trờn
[ ]
1;1-
nờn
[ ]
[ ]
1;1
1;1
9
minf(t) , maxf(t)=1
16
-
-
=-
v
[ ]
9
( ) 1, 1;1
16
- Ê Ê " ẻ -f t t
Vy phng trỡnh cú nghim khi ch khi giỏ tr ca m thuc min giỏ tr ca
( )=y f t

hay
9
1
16
- Ê Êm
Nhn xột: õy l mt trong nhng dng toỏn gii phng trỡnh lng giỏc n
gin. Cỏch t n ph gii bi toỏn dng ny ụi khi lm phc tp húa vn
ngoi tr nhng bi toỏn cú cha tham s nh vớ d 3. Tng t nh trờn ta
hon ton cú th nh ngha v a ra cỏch gii phng trỡnh bc ba, bc bn i
vi mt hm s lng giỏc( loi phng trỡnh cú cỏch gii c bit).
Bi tp vn dng:
Gii phng trỡnh :
1)
2
2sin 5sin 7 0- - =x x
4
2)
2
2 2
5cos 7cos 2 0
3 3
- + =
x x
3)
2
tan tan 6 0
2 2
- - =
x x
4)

2
cot 5cot 6 0- + =x
5)
4 2
cos 3cos 2 0
3 3
- + =
x x
6)
1005 2010
tan 2tan 1 0- + =x x
7)
2012 1006
cos 2 1 sin 2x- =x
8) Chứng minh phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của m:
2
cos 1 cos= -x m x
9) Xác định m để phương trình sau có nghiệm
2
sin sin 1 0+ - + =x m x m
B) Dạng phương trình đưa về phương trình bậc hai đối với một hàm số
lượng giác
Đây là dạng bài toán rất đa dạng, phong phú. Sau đây là một số loại
phương trình thường gặp:
1) Dạng phương trình lượng giác đơn giản áp dụng công thức lượng giác cơ
bản hoặc công thức nhân
TT Phương trình ban đầu Đặt ẩn phụ Điều kiện Phương trình mới
1 asin
2
x + bcosx + c = 0,

0¹a
cosx = t
1£t
2
(1 ) 0- + + =a t bt c
2 acos
2
x + bsinx + c = 0,
0¹a
sinx = t
1£t
2
(1 ) 0- + + =a t bt c
3 acos2x + bsinx + c = 0,
0¹a
sinx = t
1£t
2
(1 2 ) 0- + + =a t bt c
4 acos2x + bcosx + c = 0,
0¹a
cosx = t
1£t
2
(2 1) 0- + + =a t bt c
5 atanx + bcotx + c = 0,
0¹a
tanx = t
0¹t
1

0+ + =at b c
t
6
sin3 sin2 sin 0+ + =a x b x c x
cos =x t
1£t
2
sin ( ) 0+ + =x At Bt C
…. …. … … …
Ví dụ 1. Giải phương trình
2
6cos 5sin 7 0+ - =x x
Giải:
2
6cos 5sin 7 0+ - =x x
2 2
6(1 sin ) 5sin 7 0 6sin 5sin 1 0Û - + - = Û - + =x x x x
Đặt
2
sin ,0 1= £ £t x t
phương trình trở thành
5
2
6 5 1 0- + =t t
. Phương trình này có nghiệm
1
3
=t
và
1

2
=t
Với
1
3
=t
ta được
1
arcsin 2
1
3
sin ( )
1
3
arcsin 2
3
p
p p
é
ê
= +
ê
= Û Î
ê
ê
= - +
ê
ë
¢
x k

x k
x k
Với
1
2
=t
ta được
1
sin
2
=x
2
6
( )
5
2
6
p
p
p
p
é
ê
= +
ê
Û Î
ê
ê
= +
ê

ë
¢
x k
k
x k
Vậy nghiệm của phương trình là
1 1
arcsin 2 , arcsin 2
3 3
p p p= + = - +x k x k
,
2
6
p
p= +x k
,
5
2
6
p
p= +x k
.Î ¢k
Ví dụ 2. Giải phương trình
cos2 -3cos 2 0+ =x x
Giải:
2 2
os2x - 3cosx + 2 = 0 2cos 1 3cos 2 0 2cos 3cos 1 0Û - - + = Û - + =c x x x x
Đặt
osx, t 1= £t c
ta được phương trình

2
1
2 3 1 0
1
2
é
=
ê
- + = Û
ê
ê
=
ê
ë
t
t t
t
Với
1 cos 1 2 ,p= Þ = Û = Î ¢t x x k k
Với
1 1
cos 2 ,
2 2 3
p
p= Þ = Û =± + Î ¢t x x k k
Vậy nghiệm của phương trình là
2p=x k
,
2 ,
3

p
p=± + Î ¢x k k
.
Ví dụ 3. Giải phương trình
tan - 2cot 1 0+ =x x
Giải:
Điều kiện của phương trình là
,
2
p
¹ Î ¢
k
x k
Đặt
tan=t x
,
0¹t
. Khi đó phương trình trở thành
2
1
2
1 0 2 0
2
é
=
ê
- + = Û + - = Û
ê
=-
ë

t
t t t
t
t
Với
1 tan 1 ,
4
p
p= Þ = Û = + Î ¢t x x k k
Với
2 tan -2 arctan(-2) ,p=- Þ = Û = + Î ¢t x x k k
Vậy nghiệm của phương trình là
4
p
p= +x k
,
arctan(-2) ,p= + Î ¢x k k
Ví dụ 4. Giải phương trình
2 2
tan 1/ os
4 2 80 0+ - =
x c x
6
Gii:
2 2 2 2
tan 1/ os 2tan tan
4 2 80 0 2 2.2 80 0+ - = + - =
x c x x x
t
2

tan
2 , 0= >
x
t t
. Khi ú ta c phng trỡnh
2
8
2 80 0
10( )
t
t t
t loaùi
ộ
=
ờ
+ - =
ờ
=-
ở
Vi
2
tan 3 2
8 2 8 2 tan 3= ị = = =
x
t x
tanx= 3 , .
3
p
p = + ẻ Âx k k
Vớ d 5. Gii phng trỡnh

4 6
cos - cos2 2sin 0+ =x x x
(*)
Gii:
(*)
2 3
1 os2x 1 os2x
os2x+2 0
2 2
ổ ử ổ ử
+ -
ữ ữ
ỗ ỗ
- =
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ
c c
c
( ) ( )
2 3
1 os2x 4cos2 1 os2x 0 + - + - =c x c
t cos2x = t,
1 1- Ê Êt
c phng trỡnh:
( )
2
3

1 4 (1 ) 0+ - + - =t t t
2 3
2 3 2
1 2 4 (1 ) 0
(1 ) (1 ) 0 (1 ) (1 1 ) 0
+ + - + - =
- + - = - + - =
t t t t
t t t t
2
2 ( )
(1 ) (2 ) 0
1
cos2 1 2 2 , .
t loaùi
t t
t
x x k x k kp p
ộ
=
ờ
- - =
ờ
=
ở
ị = = = ẻ Â
Vớ d 6. [ Vụ ch New York 1973 ] Gii phng trỡnh
8 8
97
sin cos

128
+ =x x
.
Gii:
8 8
97
sin cos
128
+ =x x
4 4
1 cos2 1 cos2 97
2 2 128
ổ ử ổ ử
- +
ữ ữ
ỗ ỗ
+ =
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ
x x
( ) ( )
4 4
97
cos2 1 cos2 1
8
+ + - =x x
.

t
cos2=t x
,
1Êt
ta c
( ) ( )
2
4 4
4 2
2
3
97 81
4
1 1 2 12 0
27
8 8
4
ộ
ờ =
ờ
+ + - = + - =
ờ
ờ
=-
ờ
ở
t
t t t t
t
2

3
4
=t
7
2
3 1 cos4 3
cos 2
4 2 4
+
Þ = Û =
x
x
( )
1
cos4 4 2
2 3 12 2
p p p
pÛ = Û =± + Û =± + Î ¢
k
x x k x k
.
Ví dụ 7. [TSĐH Khối A-1976] Với giá trị nào của m thì phương trình
2
os2x+sin cos 1 0+ + =c x m x
có nghiệm?
Giải:
Cách 1:
2 2
cos2 sin cos 1 0 cos cos 1 0+ + + = Û + + =x x m x x m x
Đặt

osx,-1 t 1= £ £t c
, ta được
2
2
1
1 0
+
+ + = Û - =
t
t mt m
t
( vì t = 0 không
thỏa phương trình)
Xét
2
1
( )
+
=-
t
f t
t
. Ta có
2
2
1
'( )
-
=
t

f t
t
2
2
1
'( ) 0 0 1
-
= Û = Û =±
t
f t t
t
.
Bảng biến thiên của
( )=y f t
trên đoạn
[ ]
1;1-
:

Dựa vào bảng biến thiên của
( )=y f t
trên đoạn
[ ]
1;1-
suy ra phương trình đã
cho có nghiệm khi chỉ khi
2£ -m
hoặc
2³m
Vậy

2³m
thì phương trình đã cho có nghiệm.
Nhận xét: Cách giải và biện luận phương trình bằng cách sử dụng đồ thị rất
thuận lợi cho việc giải bài toán dạng này. Tuy nhiên, ta cần lưu ý với học sinh
xét trường hợp hệ số của m bằng 0(ở ví dụ trên là xét t = 0) trước khi đưa ra
được phương trình
( )=m f t
( vì trường hợp này học sinh rất hay quên). Với ví
dụ trên nếu học sinh không xét trường hợp t = 0 cũng không ảnh hưởng đến kết
quả bài toán nhưng nếu là bài toán khác học sinh rất dễ lầm và dẫn đến mất
nghiệm của bài toán. Ví dụ như với bài toán trên ta thay phương trình đã cho
8
thnh
2
os2x+sin cos 1 0+ - + =c x m x m
thỡ cỏc em d lm mt nghim ca bi
toỏn.
Cỏch 2: Cỏch gii ng dng tam thc bc hai ó c gim ti trong chng
trỡnh sỏch giỏo khoa hin nay. Tuy vy, ta vn cú th a ra cỏch gii theo
hng ny cỏc em hc sinh khỏ, gii cú iu kin tham kho lm phong phỳ
cỏch gii quyt vn , tha món c tớnh linh ng v sỏng to ca cỏc em.
Gii:
Phng trỡnh ó cho cú nghim khi ch khi
2
( ) 1= + +f t t mt
cú ớt nht mt
nghim trong on
[ ]
1;1-
2

f(-1)f(1) 0
(2+m)(2-m) 0
0
4 0
af(-1)>0
(2+m)(2-m) 0 m 2
2 0
af(1)>0
(voõ nghieọm)
2 0
S
-1< 1
2
1 1
2
m
m
m
m
ộ
Ê
ờ
ờ
ộ
Ê
ờ
ờ
ỡ
D
ù

ờ
ờ
ù
ỡ
ù
-
ù
ờ
ờ
ù
ù
ù
ờ
ù
ờ
Ê ù
ù
+ >
ờ
ù
ù
ờ

ớ
ù
ờ
ù
ờ
ù
ớ

- >
ờ
ù
ờ
ù
ù
ờ
ù
ờ
ù
ù
<
ù
ờ
-
ờ
ù
ù
- < <
ù
ù
ợ
ờ
ờ
ù
ờ
ờ
ù
ợ
ở

ở
Vy phng trỡnh cú nghim khi
2m
.
Chỳ ý: Khụng phi lỳc no gp dng bi toỏn cú cha tham s nh trờn ta cng
dựng cỏc cỏch gii ó núi m phi linh hot tng bi toỏn, chng hn nh vớ d
8 sau õy
Vớ d 8. Xỏc nh a phng trỡnh
4
2 sin (1 ).cos2 3 0 - + + + =a x a x a
cú
nghim.
Gii:
Nu a = 0, cú phng trỡnh cos2x + 3 = 0 (vụ nghim)
Nu
0ạa
ta cú
4
2 sin (1 ).cos2 3 0 - + + + =a x a x a
( )
2
2
1- cos2 2(1 )cos2 2 6 0
cos 2 - 2(1 2 ).cos2 3 6 0
- + + + =
+ + + =
x a a x a
a x a x a
t cos2x = X,
1ÊX

c phng trỡnh
aX
2
- 2(1+2a)X+3a+6=0
phng trỡnh ny cú
2 2 2
' 1 4 4 (3 6) 2 1 ( 1)D = + + - + = - + = -a a a a a a a
9
1
2
1 2 1 2
1 2 1
3 ( )
a a a
X
a a
a a
X lo aïi
a
é
+ - + +
ê
= =
ê
Þ
ê
+ + -
ê
= =
ê

ë
Phương trình có nghiệm khi:
2
1 1
+
- £ £
a
a

2 2 2
1
1 0 0
0
2 2
1 0 0
0
ì ì
+ +
ï ï
ì
é
£ -
ï
ï ï
+ ³ ³
ï
ï ï
ê
ï
ï ï

ï ï ï
ê
Û Û Û
>
í í í
ë
ï ï ï
+
ï ï ï
- £ £
ï ï ï
<
ï
î
ï ï
ï ï
î î
a a
a
a a
a
a
a
a a
1Û £ -a
Vậy giá trị cần tìm của a là
1£ -a
.
Bài tập vận dụng
Giải phương trình:

1) [ĐHNN_97]
os2 5sin 2 0+ + =c x x
2)
tan 2 cot 1 2+ = +x x
3) [ĐHY_97]
4 6
os sin os2x+ =c x x c
4) [CĐSP HN_97]
2
cos2 sin 2sin 1 0+ + + =x x x
5)
sin3 18sin 2 5sin 0- + =x x x
6) [ĐHDL Phương Đông_96]
4 4
sin (1 sin ) 17+ - =x x
7) [ĐHAN Khối D_99]
2 2
sin cos
9 9 10+ =
x x
8) [HVBCVT II_97]
6 2
cos sin 1+ =x x
9) [HVKTMM_99]
8 8
17
sin os
32
+ =x c x
10) [ĐHNT_95]

8 8 2
17
sin cos cos 2
16
+ =x x x
11) [ĐHPCCC_00] Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình sau đây có
nhiệm
cos2 cos 2 1 0+ + + =x m x m
12) [TSĐH_84] Cho phương trình
6 6
2 2
cos sin
tan 2
cos sin
+
=
-
x x
m x
x x
a) Giải phương trình khi
1
4
=m
b) Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm?
10
2) Dạng phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx:
(
2 2
sin cos , 0+ = + ¹a x b x c a b

)
Cách 1:
Cách thường dùng là đặt
tan
2
=
x
t
đưa phương trình về dạng phương trình bậc
nhất hoặc bậc hai theo ẩn số t như sau:
Đặt
2
2 2
2 1-
tan ( 2 , ) sin ,cos
2 1 1
p p= ¹ + Î Þ = =
+ +
¢
x t t
t x k k x x
t t
, ta được
phương trình
2
2
2 2
2 1
( ) 2 0
1 1

-
+ = Û + - + - =
+ +
t t
a b c c b t at c b
t t
Chú ý: Với cách làm này, học sinh rất hay quên xét trường hợp
x
os 0
2
=c
xem
nó có thỏa phương trình đã cho hay không? Sau đó xét
x
os 0
2
¹c
mới tiến hành
bước đặt ẩn phụ. Vì vậy giáo viên cần lưu ý với học sinh ở điểm này.
Ví dụ: Giải phương trình
sin3 3cos3 3- =x x
Giải:
Vì
3x
os 0
2
=c
thỏa phương trình nên
2
,

3 3
p p
= + Î ¢
k
x k
là nghiệm của
phương trình (
3x
os 0
2
= Þc

sin3 3 os3x -x c
=
2
3 3x 3
2sin os 3(2cos 1)
2 2 2
- -
x x
c
=
3
2(sin ).0 3(2.0 1) 3
2
- - =
x
) (1)
Xét
3x

os 0
2
¹c
. Đặt
3
tan
2
=
x
t
, ta được phương trình
2
2 2
2 2
2 1
3 = 3
1 1
2 3(1 ) 3(1 )
-
-
+ +
Û - - = +
t t
t t
t t t
2 3 3Û - =t
3Û =t
Khi đó
3 3 2 2
tan 3 ,

2 2 3 9 3
p p p
p= Û = + Û = + Î ¢
x x k
k x k
(2)
Từ (1), (2) ta có nghiệm của phương trình là
2
3 3
p p
= +
k
x
,
2 2
,
9 3
p p
= + Î ¢
k
x k
11
Cách 2: Đặt
sin
cos
ì
=
ï
ï
í

ï
=
ï
î
u x
v x
khi đó ta có hệ
2 2
1
ì
+ =
ï
ï
í
ï
+ =
ï
î
au bv c
u v
( Với
1 , 1- £ £u v
)
So với cách giải ở trên, cách giải đưa về hệ phương trình có nhược điểm là phức
tạp hơn, học sinh thường gặp khó khăn ở khâu kết luận nghiệm của phương trình
nếu các em không nắm vững cách sử dụng đường tròn lượng giác(bảng kê số)
nhưng có ưu điểm là giúp các em có thêm cách nhìn nhận về hướng giải quyết
vấn đề và giúp học sinh không hay quên làm mất nghiệm(chẳng hạn cách giải ở
ví dụ 1 trên các em hay quên xét
3x

os 0
2
=c
thỏa phương trình nên hay làm mất
nghiệm
2
,
3 3
p p
= + Î ¢
k
x k
).
Giải:
Đặt
sin3
cos3
ì
=
ï
ï
í
ï
=
ï
î
u x
v x
( Với
1 , 1- £ £u v

)
Khi đó ta được hệ phương trình
( )
2
2 2 2
2
3 3
3 3 3 3
1 2 3 1 0
3 3 1
ì
ï
= +
ì ì
ï ï
ï
- = = +
ï ï
ï
Û Û
í í í
ï ï ï
+ = + + =
+ + =
ï ï ï
î î
ï
î
u v
u v u v

u v v v
v v
0
1
ì
=
ï
ï
Û
í
ï
=-
ï
î
u
v
hoặc
3
2
1
2
ì
ï
ï
=
ï
ï
ï
í
ï

ï
=-
ï
ï
ï
î
u
v
- Với
0
1
ì
=
ï
ï
í
ï
=-
ï
î
u
v
sin3 0
2
,
cos3 -1
3 3
p p
ì
=

ï
ï
Þ Û = + Î
í
ï
=
ï
î
¢
x
k
x k
x
.
- Với
3
2
1
2
ì
ï
ï
=
ï
ï
ï
í
ï
ï
=-

ï
ï
ï
î
u
v
3
sin3
2 2
2
,
9 3
1
cos3
2
p p
ì
ï
ï
=
ï
ï
ï
Þ Û = + Î
í
ï
ï
=-
ï
ï

ï
î
¢
x
k
x k
x
.
Vậy nghiệm của phương trình là
2
3 3
p p
= +
k
x
,
2 2
,
9 3
p p
= + Î ¢
k
x k
Bài tập vận dụng
Giải phương trình:
1) [ĐH Huế Khối D-CPB-99]
3sin 2 cos2 2+ =x x
2) [ĐHGT_00]
2 2(sin cos )cos 3 cos2+ = +x x x x
3) [ĐHKTCN TPHCM_00]

2 2
cos 3sin2 1 sin- = +x x x
4) [CĐHQ-CPB-96]
3
4sin 1 3sin 3 cos3- = -x x x
5) [ĐHSP QN_98]
sin 3cos sin 3 cos 2+ + + =x x x x
12
6) [ĐHMTCN HN_1996]
cos7 cos5 - 3sin2 1-sin 7 sin5=x x x x x
3) Dạng phương trình đẳng cấp, phương trình đưa về phương trình đẳng
cấp
Dạng
2 2
sin sin cos cos 0+ + + =a x b x x c x d
Cách 1:
- Xét
cos 0=x
xem có thỏa phương trình hay không? Nếu thỏa phương trình thì
,
2
p
p= + Î ¢x k k
là nghiệm của phương trình.
- Xét
osx 0¹c
, chia cả hai vế của phương trình cho
2
osc x
ta được phương trình

2 2 2
(1 ) 0 ( ) 0+ + + + = Û + + + + =at bt c d t a d t bt c d
, với
tan=t x
Cách 2:
- Xét
cos 0=x
xem có thỏa phương trình hay không? Nếu thỏa phương trình thì
,
2
p
p= + Î ¢x k k
là nghiệm của phương trình.
- Xét
osx 0¹c
, đặt
tan=t x
ta có
2
2
2
sin
1
=
+
t
x
t
,
2

2
1
cos
1
=
+
x
t
,
2
sin cos
1
=
+
t
x x
t
. Khi đó phương trình trở thành
2
2 2 2
1
0
1 1 1
+ + + =
+ + +
t t
a b c d
t t t
Cách 3:
Giải phương trình

2 2
sin sin cos cos+ + =a x b x x c x d
Đặt
sin
( 1 , 1)
cos
ì
=
ï
ï
- £ £
í
ï
=
ï
î
u x
u v
v x
ta được hệ phương trình
2 2
2 2
1
ì
ï
+ + =
ï
í
ï
+ =

ï
î
au buv cv d
u v
Áp dụng phương pháp đồng bậc giải hệ trên như sau
2 2
2 2
1
ì
ï
+ + =
ï
í
ï
+ =
ï
î
au buv cv d
u v
2 2 2 2
2 2
( )
1
ì
ï
+ + = +
ï
Û
í
ï

+ =
ï
î
au buv cv d u v
u v
2 2
2 2
( ) ( ) 0
1
ì
ï
- + + - =
ï
Û
í
ï
+ =
ï
î
a d u buv c d v
u v
2
2 2
( ) 0
1
ì
ï
æö æö
ï
÷ ÷

ç ç
- + + - =
ï
÷ ÷
ç ç
ï
÷ ÷
ç ç
Û
è ø è ø
í
ï
ï
ï
+ =
ï
î
u u
a d b c d
v v
u v
13
2
2 2
( ) 0
1
0
ỡ
ù
ổử ổử

ù
ữ ữ
ỗ ỗ
- + + - =
ù
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ù
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ
ù
ù
ù
ù
+ =
ớ
ù
ù
ạ
ù
ù
ù
ù
ù
ù
ợ
u u
a d b c d
v v

u v
v
hoc
2
0
1
0
ỡ
- =
ù
ù
ù
ù
=
ớ
ù
ù
=
ù
ù
ợ
a d
u
v
Chỳ ý: - Nu v = 0 khụng tha h, ta cú
2 2
2 2
( ) ( ) 0
1
ỡ

ù
- + + - =
ù
ớ
ù
+ =
ù
ợ
a d u buv c d v
u v
2
( ) ( ) 0
ổử ổử
ữ ữ
ỗ ỗ
- + + - =
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ
u u
a d b c d
v v
- Ngoi ra, cỏc dng phng trỡnh ng cp bc ba hoc bc bn i vi
sinx, cosx cng cú th gii tng t nh trờn.
Vớ d 1. Gii phng trỡnh
2 2
2sin 5sin cos os 2- - =-x x x c x
Gii:

t
sin
( 1 , 1)
cos
ỡ
=
ù
ù
- Ê Ê
ớ
ù
=
ù
ợ
u x
u v
v x
ta c h phng trỡnh
2 2 2 2
2 2
2 5 2( )
1
ỡ
ù
- - =- +
ù
ớ
ù
+ =
ù

ợ
u uv v u v
u v
2 2
2 2
4 5 0
1
ỡ
ù
- + =
ù

ớ
ù
+ =
ù
ợ
u uv v
u v
2
2 5 1 0
ổử ổử
ữ ữ
ỗ ỗ
- + =
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ

u u
v v
( vỡ
0=v
khụng tha h nờn
0ạv
)

2
1
4 5 1 0
1
4
ộ
ờ
=
ổử ổử
ờ
ữ ữ
ỗ ỗ
- + =
ữ ữ ờ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ
ờ
=
ờ
ở

u
u u
v
u
v v
v
tanx 1
4
( ).
1
1
tanx
arctan
4
4
p
p
p
ộ
ờộ
= +
=
ờờ
ị ẻ
ờờ
ổử
ờờ
=
ữ
ỗ

= +
ờờ
ữ
ỗ
ở
ữ
ỗ
ố ứ
ờ
ở
Â
x k
k
x k
Hoc gii theo cỏch sau:
Vỡ
cos 0=x
khụng tha phng trỡnh nờn
cos 0ạx
, t
tan=t x
ta c
14
2
2
2 2 2
1
2 5 1
2 4 5 1 0
1

1 1 1
4
ộ
=
ờ
- - =- - + =
ờ
ờ
+ + +
=
ờ
ở
t
t t
t t
t t t
t
tanx 1
4
( ).
1
1
tanx
arctan
4
4
p
p
p
ộ

ờộ = +
=
ờờ
ị ẻ
ờờ
ổử
ờờ
=
ữ
ỗ
= +
ờờ
ữ
ỗ
ở
ữ
ỗ
ố ứ
ờ
ở
Â
x k
k
x k
Vớ d 2. [HL_96] Gii phng trỡnh
3 3 2
4sin 3cos 3sin sin cos 0+ - - =x x x x x
Gii:
3 3 2
4sin 3cos 3sin sin cos 0+ - - =x x x x x

3 3 2
3
4sin 3cos 3sin sin cos
0
os
+ - -
=
x x x x x
c x
(Vỡ
cos 0=x
khụng tha phng
trỡnh)
3 2
2
3 2 2
3 2
1
4tan 3 3tan tan 0
cos
4tan 3 3tan (1 tan ) tan x 0
tan tan 3tan 3 0
+ - - =
+ - + - =
- - + =
x x x
x
x x x
x x x
t

tan=t x
ta c phng trỡnh
3 2 2
1
3 3 0 ( 1)( 3) 0
3
ộ
=
ờ
- - + = - - =
ờ
=
ở
t
t t t t t
t
Suy ra

tan 1 ,
4
p
p= = + ẻ Âx x k k

tan 3 ,
3
p
p= = + ẻ Âx x k k
Vy nghim ca phng trỡnh l
4
p

p= +x k
,
,
3
p
p= + ẻ Âx k k
.
Vớ d 3. Gii phng trỡnh
4 2 2 4
3cos 4sin cos sin 0- + =x x x x
Gii:
Do
cos 0=x
khụng tha phng trỡnh nờn chia hai v ca phng trỡnh cho
4
cos 0ạx
ta c
2 4
3 4tan tan 0- + =x x
t
2
tan , 0= t x t
. Phng trờn tr thnh
15
2
2
2
1 tan 1
4 3 0
3

tan 3
é
é
= =
ê
ê
- + = Û Þ Û
ê
ê
=
=
ê
ë
ë
t x
t t
t
x
4
3
p
p
p
p
é
ê
=± +
ê
ê
ê

=± +
ê
ë
x k
x k
(
Î ¢k
).
Bài tập vận dụng:
Giải phương trình :
1)
2 2
4cos sinxcosx+3sin 3+ =x x
2) [ĐHAN_1998] a)
1
3sin cos
cos
+ =x x
x
b)
1
4sin 6cos
cos
+ =x x
x
3) [ĐHNT_96]
3 3 2
cos 4sin 3cos sin sin 0- - + =x x x x x
4) [ĐH Huế_98]
3 2

cos sin - 3sin cos 0+ =x x x x
5) [CĐSPTW1_01]
3 3
4cos 2sin 3sin 0+ - =x x x
6) [ĐHD TPHCM_97]
3
sin sin 2 sin3 6cos+ =x x x x
7) [HVKTQS_96]
3
2cos sin3=x x
8) [ĐHY HN_99]
3
sin cos - 4sin 0+ =x x x
9) [ĐHQGHN_96]
1 3sin2 2tan+ =x x
10)
4 2 2 4
sin 3sin cos 2cos 0- + =x x x x
11) [ĐHTS Nha Trang Đợt I_00]
2 2
cos sin cos - 2sin 0- - =x x x x m
(1)
a) Giải phương trình (1) khi m =1
b) Giải và biện luận (1) theo m
12) [ĐHKTCN TPHCM_98] Cho phương trình
2 2
sin (2 2)sin cos - ( 1)cos+ - + =x m x x m x m
a) Tìm m để phương trình có nghiệm.
b) Giải phương trình khi m = -2.
4) Dạng

(sin cos ) sin cos 0± + + =a x x b x x c
(Dạng
(sin cos ,sin cos )±F x x x x
)
Cách 1:
Nếu đặt
2
1
sin cos sin cos
2
-
= + Þ =
t
t x x x x
được phương trình
2
1
0
2
-
+ + =
t
at b c
,
2 2- £ £t
Nếu đặt
2
1-
sin - cos sin cos
2

= Þ =
t
t x x x x
được phương trình
2
1
0
2
-
+ + =
t
at b c
,
2 2- £ £t
Cách 2:
16
Đặt
2 2
( ) 0
sin
( 1 , 1)
cos
1
ì
ì ì
± + + =
= ± =
ï
ï ï
ï ï ï

- £ £ Þ Þ
í í í
ï ï ï
= =
+ =
ï ï
î î
ï
î
a u v buv c
u x u v s
u v
v x uv p
u v
Ví dụ 1. Giải phương trình 2(sinx + cosx) + sin2x - 2 =0
Giải:
Cách 1:
Đặt
2
sin cos sin 2 1, 2= + Þ = - £t x x x t t
. Khi đó ta được phương trình
2 2
1
2 -1 -2 0 2 3 0
3 2( )
t
t t t t
t loaïi
é
=

ê
+ = Û + - = Û
ê
=- <-
ë
Với t = 1 ta được
( )
2
2
sinx + cosx 1 2sin( ) 1 sin( )
4 4 2
2
p
p p
p
p
é
=
ê
= Û + = Û + = Û Î
ê
ê
= +
ê
ë
¢
x k
x x k
x k
Vậy nghiệm của phương trình là

( )
2 ,
2
p
p p= = + Î ¢x k x k k
Cách 2:
Đặt
( )
sin
1 , 1
cos
ì
=
ï
ï
- £ £
í
ï
=
ï
î
u x
u v
v x
, ta được hệ phương trình
2 2 2 2
2( ) 2 2 0 1 ( ) 1 ( )
1 ( ) 2 1 ( ) 2( ) 3 0
ì ì ì
+ + - = = - + = - +

ï ï ï
ï ï ï
Û Û
í í í
ï ï ï
+ = + - = + + + - =
ï ï ï
î î î
u v uv uv u v uv u v
u v u v uv u v u v
1 0
1 ( )
0 1
1
1
0
3 1
( )
3 2
4 0
é é
ì ì
+ = =
ï ï
ï ï
ê ê
ì
= - +
ï
í í

ï
ê ê
ï ï
ì
= =
+ =
ï
ï
ï ï
î î
ï ï
ê ê
é
+ =
Û Û Û Û
í í
ê ê
ê
ï ï
ì ì
=
+ =- =
ï ï
ï
î
ê ê
ï
ï ï
ê
ï

+ =- <-
í í
ê ê
ë
ï
î
ï ï
= =
ê ê
ï ï
î î
ë ë
u v u
uv u v
uv v
u v
u v
uv
u v u
vn
u v
uv v
•
0
1
ì
=
ï
ï
í

ï
=
ï
î
u
v
sin 0
2 ,
cos 1
p
ì
=
ï
ï
Þ Û = Î
í
ï
=
ï
î
¢
x
x k k
x
•
1
0
ì
=
ï

ï
í
ï
=
ï
î
u
v
sin 1
2 ,
cos 0
2
p
p
ì
=
ï
ï
Þ Û = + Î
í
ï
=
ï
î
¢
x
x k k
x
Vậy nghiệm của phương trình là
( )

2 ,
2
p
p p= = + Î ¢x k x k k
Ví dụ 2. Chứng minh rằng với mọi m phương trình sau luôn luôn có nghiệm
1 1
sinx osx
+ =m
c
Giải:
Điều kiện của phương trình là
,
2
p
¹ Î ¢
k
x k
, khi đó
17
1 1
sin cos sin cos sin cos - sin cos 0
sin cos
+ = + = + =m x x m x x x x m x x
x x
t
2
1
sin cos
sin cos
2

- 2 2, 1
ỡ
ù
-
ù
=
ù
ù
= + ị
ớ
ù
ù
Ê Ê ạ
ù
ù
ợ
t
x x
t x x
t t
Ta c phng trỡnh
( )
2 2
( 1) 0 2 0 2
2
- - = - - =
m
t t mt t m
t
2

( ) 2= - -f t mt t m
- Nu m = 0: (2) cú nghim t = 0 tha iu kin bi toỏn
- Nu
0ạm
:
( )=y f x
liờn tc trờn
[ ]
1;1-
v
( 1) (1) 2.( 2) 4 0- = - =- <f f
nờn (2) cú ớt nht 1 nghim thuc
( )
1;1 2; 2
ộ ự
- è -
ờ ỳ
ở ỷ
.
Vy vi mi giỏ tr ca m phng trỡnh ó cho luụn luụn cú nghim.
Bi tp vn dng
Gii phng trỡnh
1) [HAN_98]
(1 cos )(1 sin ) 2+ + =x x
2) [HGT CS TPHCM_99]
3 3
3
1 sin cos sin 2
2
+ + =x x x

3) [H Hu_D00]
sin cos 2sin 2cos 2+ + =x x x x
4) [HNN HN_97]
cot tan sin cos- = +x x x x
5) [H Cụng on_97]
2(sin cos ) tan cot+ = +x x x x
6) [HM_99]
1 tan 2 2 sin+ =x x
7) [HCSND_Khi A_00]
3 3
cos sin sin 2 sin cos+ = + +x x x x x
8) [HTH TPHCM_Khi A,B_94] Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca m phng
trỡnh
sin - cos 4sin 2+ =x x x m
cú nghim.
9) [HL, HSP TPHCM_01] Cho phng trỡnh
2 2
2cos2 sin cos sin cos (sin cos )+ + = +x x x x x m x x
a) Gii phng trỡnh khi m = 2
b) Tỡm m phng trỡnh cú ớt nht mt nghim trong
0;
2
p
ộ ự
ờ ỳ
ờ ỳ
ở ỷ
10) [HQG TPHCM_Khi A_t II_00] Cho phng trỡnh
3 3
cos sin 2- =x x m

(1)
a) Gii phng trỡnh (1) khi m = -1, bng cỏch t n ph
cos sin= -t x x
18
b) Tỡm m phng trỡnh (1) cú ỳng 2 nghim
;
4 4
p p
ộ ự
ờ ỳ
ẻ -
ờ ỳ
ở ỷ
x
.
5) Dng
2 2 2
(sin 2 ,sin , os )F x x c x
hoc
2 2 2
( os 2 ,sin , os )F c x x c x
S dng cụng thc lng giỏc c bn, cụng thc nhõn ụi, a phng
trỡnh ó cho v phng trỡnh bc hai i vi mt hm s lng giỏc.
Vớ d 1. Gii phng trỡnh
2 2
3 3
sin sin 3
2 2
+ =
x

x
(*)
Gii:
(*)
2 2 2
3 3 3 3
sin 4sin cos
2 2 2 2
+ =
x x x
2 2 2
3 3 3 3
sin 4sin 1 sin
2 2 2 2
ổ ử
ữ
ỗ
+ - =
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
x x x
4 2
3 3 3
4sin 5sin 0
2 2 2
- + =
x x

t
2
3
sin (0 1)
2
= Ê Ê
x
t t
c phng trỡnh:
2
2 2
3 1 3
4 5 0 ,
2 2 4
3 1 3
sin 2sin 1 1 cos3 1
2 2 2
cos3 0 3 ,
2 6 3
p p p
p
- + = = =
ị = = - =
= = + = + ẻ Â
t t t t
x x
x
x x k x k k
2 2
3 3 3 3 3

sin 2sin 1 cos3
2 4 2 2 2
1 2 2 2
cos3 - cos ,
2 3 9 3
p p p
= ị = - =
= = = + ẻ Â
x x
x
x x k k
Vy nghim ca phng trỡnh l
6 3
p p
= +x k
,
2 2
,
9 3
p p
= + ẻ Âx k k
Vớ d 2. Gii phng trỡnh
2 2
1 7
os 2 2sin 0
4 4
- + =c x x
Gii:
2 2 2 2
2 2 2 4 2

4 2
1 7
os 2 2sin 0 os 2 8sin 7 0
4 4
(1 2sin ) 8sin 7 0 4sin 12sin 8 0
sin 3sin 2 0
- + = - + =
- - + = - + =
- + =
c x x c x x
x x x x
x x
t
2
sin ,0 1= Ê Êt x t
ta c phng trỡnh
2
1
3 2 0
2( )
t
t t
t loaùi
ộ
=
ờ
- + =
ờ
=
ở

19
2
sin 1 sin 1 , .
2
p
pị = = = + ẻ Âx x x k k
Bi tp vn dng
Gii phng trỡnh:
1)
2 2
os 2 os 4 2+ =c x c x
2)
2 2
1
sin sin 2
2
+ =x x
3)
2 2
os 2 8cos 1 0+ - =c x x
4)
2 2
os os 2 1+ =c x c x
5) [HBK HN_1994]
2 2
4sin 2 6sin 9 3cos2
0
osx
+ - -
=

x x x
c
6) Dng
(tanx,cotx,sin2x,cos2x,tan2x)F

Cỏch thng dựng l t t = tanx, khi ú
2
2 2 2
2 1- 2
sin 2 ,cos2 ,tan 2
1 1 1
= = =
+ + -
t t t
x x x
t t t
Chỳ ý: Tng t nh phộp th trang 11-12, vi cỏch lm ny hc sinh thng
hay quờn xột trng hp
cos 0=x
xem nú cú tha phng trỡnh ó cho hay
khụng? Sau ú xột
cos 0ạx
mi tin hnh bc t n ph t = tanx. Vy ta cn
lu ý vi hc sinh im ny.
Vớ d 1: [TSH A_2003] Gii phng trỡnh
2
os2x 1
cot 1 sin sin 2
1+tanx 2
- = + -

c
x x x
Gii:
iu kin
sin 2 0
tanx -1
ỡ
ạ
ù
ù
ớ
ù
ạ
ù
ợ
x
D thy
cos 0=x
khụng tha phng trỡnh nờn
cos 0ạx
, ta t t = tanx
Khi ú phng trỡnh tr thnh
2
2
2
2 2
1
1 1 1 1 2
1
1 (1 )

1+t 2 1 2 1
-
-
+
- = + - -
+ +
t
t t
t
t t t
2
2
1 2 1
1
- - +
=
+
t t t
t t
2 2
(1 )(1 ) (1 ) - + = -t t t t
2 2
(1 )(1 (1 )) 0 (1 )(2 1) 0 - + - - = - - + =t t t t t t t
2
1 0
2 1( nghieọm)
t
t t voõ
ộ
- =

ờ

ờ
- +
ở
Vi t = 1 ta cú
tan 1 ,
4
p
p= = + ẻ Âx x k k
(Tha iu kin)
20
Vậy nghiệm của phương trình là
,
4
p
p= + Î ¢x k k
.
Bài tập vận dụng:
Giải phương trình:
1) [ĐHTC_97]
( ) ( )
1 tan 1 sin 2 1 tan- + = +x x x
2) [ĐHQG HN_D00]
1 3tan 2sin 2+ =x x
3) [HVNH TPHCM_98]
2 cos 2tan
2
+ =
x

x
4) [ĐHQG_96]
1 3sin2 2tan+ =x x
5) [Viện ĐHM_96]
1 tanx
1 sin 2
1 tanx
-
= +
+
x
6) [CĐSP TPHCM_01]
2sin 2 3tan 1= +x x
7) [ĐHBK HN_01]
sin 2 2tan 3+ =x x
8) [Viện ĐHM HN_98]
cos tan 1
2
+ =
x
x
2.3) Dạng phương trình đưa về phương trình lượng giác thường gặp bằng
cách đặt ẩn phụ theo cung, góc của hàm số lượng giác
Dễ thấy các phương trình đã nói ở trên đều giải quyết theo hướng đặt ẩn
phụ đối với hàm số lượng giác nhưng không phải khi nào cách làm trên cũng
gặp thuận lợi. Trong một số trường hợp khác, ta có thể đặt ẩn phụ đối với
cung(góc) của hàm số lượng giác. Sau đó, đưa phương trình về các dạng phương
trình lượng giác thường gặp để giải.
Ví dụ 1. [ĐHQG HN_Khối A_99] Giải phương trình
3

8cos ( ) cos3
3
p
+ =x x
Giải:
Đặt
3 3
p p
= + Þ = -t x x t
. Ta được phương trình
3
8cos cos(3 ) cos3p= - =-t t t
3 3
8cos 3cos 4cosÛ = -t t t
2
3cos (4cos 1) 0Û - =t t
cos 0Û =t
hoặc
1
cos
2
=±t
. Giải ta được nghiệm của phương trình là
6
p
p= +x k
,
p=x k
,
,

3
p
p= + Î ¢x k k
.
Ví dụ 2. [HVCN BCVT_99] Giải phương trình
3
tan ( ) tan 1
4
p
- = -x x
Giải:
Điều kiện:
cos( ) 0,cos 0
4
p
- ¹ ¹x x
21
t
4 4
p p
= - = +t x x t
. Ta c phng trỡnh
3
1 tan
tan tan 1 1
4 1 tan
p
ổ ử
+
ữ

ỗ
= + - = -
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
-
t
t t
t
vi
tan 1ạt
3 3 4 2
2tan
tan tan tan 2tan tan (tan 1)(tan 2tan 2) 0
1 tan
= - = + - + =
-
t
t t t t t t t t
t
tan 0
tan -1
ộ
=
ờ

ờ
=

ở
t
t
(tha iu kin)
tan 0
tan -1
4
p
p
p
ộ
=
ộ
=
ờ
ờ

ờ
ờ
ờ
=
=- +
ở
ờ
ở
t k
t
t
t k
(

ẻ Âk
)
, ,
4
p
p pị = + = ẻ Âx k x k k
.
Bi tp vn dng:
Gii phng trỡnh:
1) [HQG TPHCM_Khi B_98]
3
sin ( ) 2 sin
4
p
- =x x

2)
3
3 3
sin 2sin
4 2 4 2
p p
ổ ử ổ ử
ữ ữ
ỗ ỗ
+ = +
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ

ố ứ ố ứ
x x
3)
3
3
cos 3 8cos ( )
2 6
p p
ổ ử
ữ
ỗ
- = -
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
x x

4)
3
3
tan ( ) cot 1 0
4
p
- + + =x x
2.4) Mt s dng phng trỡnh lng giỏc khỏc
õy cng l nhng dng toỏn khỏ a dng, phong phỳ, phc tp v hay cú
trong cỏc k thi tuyn sinh cao ng, i hc hoc thi tuyn hc sinh gii. Mun
gii c cỏc dng phng trỡnh lng giỏc ny thng phi kt hp linh hot

cỏc cỏch gii trờn v nhiu cỏch gii c bit khỏc tựy thuc vo tng bi toỏn.
Vớ d 1.Gii phng trỡnh
( )
2
2
1 5
cot tan cot 2 0
cos 2
+ + + + =x x x
x
Gii:
iu kin:
( )
2
p
ạ ẻ Âx k k
t
tan cot+ =x x t
thỡ
( )
2
2 2
2 , tan cot 2 tan cot + + = +t x x x x
c phng trỡnh
22
2 2
5
1 0 2 5 2 0
2
+ + = Û + + =t t t t

( )
2
1
2
t
t loaïi
é
=-
ê
Û
ê
ê
=-
ê
ë
Với t = -2 ta được
2
1
tan cot 2 tan 2 0 tan 2tan 1 0
tan
+ =- Û + + = Û + + =x x x x x
x
( ) ( )
2
tan 1 0 tan -1 -
4
p
pÛ + = Û = Û = + Î ¢x x x k k
Ví dụ 2.[ĐH Luật HN_98] Giải phương trình
( ) ( )

cos cos
7 4 3 7 4 3 4+ + - =
x x
Giải:
Đặt
( )
cos
7 4 3 , 0= - >
x
t t
. Khi đó ta được phương trình
2
1
4 4 1 0 2 3+ = Û - + = Û = ±t t t t
t
(Thỏa điều kiện t > 0)
Với
( )
( ) ( )
cos
cos 1
2 3 7 4 3 2 3 2 3 2 3 cos -1
-
= + Þ - = + Û - = - Û =
x
x
t x
(1)
Với
( )

( )
cos
cos
2 3 7 4 3 2 3 2 3 2 3 cos 1= - Þ - = - Û - = - Û =
x
x
t x
(2)
Từ (1), (2) ta có
cos 1 ,p=± Û = Î ¢x x k k
.
Vậy nghiệm của phương trình là
,p= Î ¢x k k
Ví dụ 3.Giải phương trình
4 2 2
2sin 7sin cos 6cos 0- + =x x x x
Giải:
Đặt
( )
2
sin 0 1= £ £x t t
được phương trình
2 2
2 7cos . 6cos 0- + =t x t x
Phương trình bậc hai theo ẩn t này có
2 2 2
49cos 48cos os xD = - =x x c
=>
7cos osx 3
osx

4 2
7cos osx
2 osx
4
é
-
ê= =
ê
ê
+
ê
= =
ê
ë
x c
t c
x c
t c
2 2
3 3
sin cos 1- cos cos
2 2
Þ = Û =x x x x
23
( )
2
cos -2
2cos 3cos-2 0
1
cos

2
x loaùi
x
x
ộ
=
ờ
ờ
+ =
ờ
=
ờ
ở
1
cos 2 , .
2 3
p
p= = + ẻ Âx x k k
sin
2
x = 2cosx

1- cos
2
x = 2cosx
( )
2
cosx=-1- 2
cos x+2cosx-1=0
osx=-1+ 2

loaùi
c
ộ
ờ

ờ
ờ
ở
( )
osx = -1+ 2 arc os -1+ 2 2 , .p = + ẻ Âc x c k k
Vớ d 4. Gii phng trỡnh
4
6
2
cos2
3 1 4tan 7
cos
ổ ử
ữ
ỗ
+ + =
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
x
x
x
.

Gii:
t
2
cos2
1
cos
= +
x
u
x
v
2
tan=v x
(
0v
).
Khi ú phng trỡnh ó cho tr thnh
4 3
3 4 7+ =u v
.
Ta cú
( )
2
2
2 2 2
cos2 cos2 1 2cos
1 tan 2
cos cos cos
+
+ = + + = = =

x x x
u v x
x x x
.
S dng bt ng thc Cụ si, ta c
( )
( )
4
4
4 3
3
3
3 3 12
1 1 1 4
3 4 7
1 1 3
4 2 12
ỡ
ù
+
ỡ
ù
+ + +
ù
ù ù
ị +
ớ ớ
ù ù
+ +
+

ù ù
ợ
ù
ợ
u u
u u
u v
v v
v v
ng thc xy ra khi ch khi
4
3
1
1 tan 1
4
1
p
p
ỡ
ù
=
ù
ị = ị = = +
ớ
ù
=
ù
ợ
u
v x x k

v
( )
ẻ Âk
.
Vớ d 5. [Olympic 30/4] Gii phng trỡnh

1 3sin
2
2 1 3sin log (1 9sin )
-
+ + = -
x
x x
Gii:
t
1 3sin 1
3sin 1 2 ,2
2 3
-
= ị = - >
x
t x t t
. Phng trỡnh tr thnh:
2
2 2 1 log (3 1) (1)- + = -
t
t t
t
2
log (3 1) 2 3 1= - ị = -

u
u t t
v ta cú h phng trỡnh
2 2 1 2 2
2 3 1 0 2 3 1 0
ỡ ỡ
ù ù
- + = + = +
ù ù

ớ ớ
ù ù
- + = - + =
ù ù
ợ ợ
t t u
u u
t u t u
t t
(2)
Do hm s
( ) 2= +
x
f x x
tng trờn
Ă
nờn
24
(2)
2 3 1 0

ỡ
=
ù
ù

ớ
ù
- + =
ù
ợ
u
t u
t
(3)
Do hm s
( ) 2 3 1= - +
t
g t t
gim trong
1
;2 , (1) 0
3
ổ ự
ỗ
ỳ
=
ỗ
ỗ
ỳ
ố

ỷ
g
. Vy (3) cú nghim duy
nht
1.= =u t
Suy ra
( )
1
arcsin(- ) 2
1
3
sin
1
3
arcsin(- ) 2
3
p
p p
ộ
ờ
= +
ờ
=- ẻ
ờ
ờ
= - +
ờ
ở
Â
x k

x k
x k
Vớ d 6. Tỡm m phng trỡnh sau cú nghim
2 2
cos 2 - cos cos 2 - cos+ + =x x x x m
Gii:
t
2
2 os , osx= - =u c x v c
(
1 2, 1 1Ê Ê - Ê Êu v
). Bi toỏn tr thnh:
Tỡm m h sau cú nghim:
2 2
(1)
( ) 2 (2)
1 2 (3)
ỡ
+ + =
ù
ù
ù
ù
+ =
ớ
ù
ù
ù
Ê Ê
ù

ợ
u v uv m
I u v
u
Phng trỡnh (1) tng ng vi:
2
( )
1
2
+
+ + - =
u v
u v m
2
( ) 2( ) 2( 1) 0 + + + - + =u v u v m
1 2 3 + =- +u v m
, vi
3
2
-m
.
H (I) tng ng vi mt trong hai h (II)v (III):
2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
( ) 2 ,( ) 2
1 2 1 2
ỡ ỡ
ù ù
+ =- + + + =- - +
ù ù

ù ù
ù ù
+ = + =
ớ ớ
ù ù
ù ù
ù ù
Ê Ê Ê Ê
ù ù
ợ ợ
u v m u v m
II u v III u v
u u
25
B
u+v=0
d
1
v
u
o
2
2
2
(C)
u+v=2
A
C
d
2

I