bất đẳng thức và cách chứng minh

1


BðT và cực trị thường gây khó khăn cho không ít thí sinh trong các kì thi ðH – Cð . Trong bài
viết này tôi xin giới thiệu với các bạn một kĩ thuật quen thuộc mà chúng ta thường gặp trong chứng
minh BDT ñó là kĩ thuật “ðưa về một biến”
Ví dụ 1. Cho
5
0, 0 và
4
x y x y> > + =
. Chứng minh :
4 1
5
4x y
+ ≥
(1)
Lời giải: Ta có
5
4 5 4
4
x y y x+ = ⇒ = −
4 1
(1) 5
5 4x x
⇒ ⇔ + ≥
−
.
Xét
( )

4 1 5
, 0;
5 4 4
f x x
x x
 
= + ∈
 
−
 
( )
( )
( )
2 2
4 4
' , ' 0 1
5 4
f x f x x
x
x
⇒ = − + = ⇔ =
−

Từ bảng biến thiên ta ñược:
( ) ( )
5
0;
4
min 1 5f x f
 

 
 
= =
, từ ñó suy ra
4 1
5
4x y
+ ≥
.
ðẳng thức xảy ra khi
1
1,
4
x y= =
.

Ví dụ 2. Cho
, 3;2x y
 
∈ −
 
thỏa
3 3
2x y+ =
. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức
2 2
P x y= +
.
Lời giải.
Từ giả thiết ta suy ra ñược

3
3
2x y= − thay vào P ta ñược
(
)
2
3
3 2 3 2 2
3 3
3
(2 ) (2 ) ( )P y y t t f t= − + = − + =

Tr
ong ñó ta ñã ñặt
3
t y= . Vì
3 3 3
3;2 27;8 27 2 8 6 29x x y y
   
∈ − ⇒ ∈ − ⇒
− ≤ − ≤ ⇔ − ≤ ≤
   
,
do
3
27;8 6; 8y t
   
∈ − ⇒ ∈ −
   
.

Xét hàm số
( )f t
trên 6;8D
 
= −
 
, ta có:
3 3
2 2
'( )
3 3. 2
f t
t t
= −
−

3 3
'( ) 0 2 1f t t t t⇒
= ⇔ − = ⇔ =
.
Dựa vào bảng biến thiên ta có ñược
3
min min ( ) (0) (2) 4
D
P f t f f= = = =

ðạt ñược khi
{
}
3

, 0, 2x y ∈
.
3
max max ( ) ( 6) 4 36
D
P f t f= = − = +
. ðạt
ñược khi
{
}
3
, 3;2x y ∈ −
.
Nhận xét:
* Cách giải trên chỉ ñòi hỏi chúng ta kĩ thuật khảo sát hàm số. Cái khó của bài toán trên là ñiều kiện
hạn chế của
, 3;2x y
 
∈ −
 
! Nếu ,x y không bị ràng buộc bởi ñiều kiện này thì bài toán trở nên ñơn
giản và ta có thể giải bài toán trên theo cách chuyển qua tổng và tích của
,x y
.
t

6−

0

1

2

8

'f


−
|| + 0
−
|| +

f