Bài tập toán III Đại Số Tuyến Tính

GV: Th.S Lê Thế Sắc
1

BÀI TẬP TUẦN 1
Dạng 1: Các phép toán véc tơ
Bài 1. Cho các véc tơ
1
2 ,
3
u
 
 

 
 
 

3
1 ,
2
v

 
 

 
 

 

2

w 3
1
 
 
 
 
 

 
.
1. Tính
,
u v


w,
u v
 

2 3
u v w
 
;
2.
u
có phải là tổ hợp tuyến tính của
v
và
w
không?

Bài 2. Cho
1
1
2 ,
3
u

 
 

 
 
 

2
3
4 ,
2
u
 
 

 
 
 

2
6
6
v

 
 

 
 
 
. Véc tơ
v
có thuộc


1 2
,
span u u
không? Tại sao?
Dạng 2: Các phép toán ma trận
Bài 3. Cho 2 ma trận
3 0 1
2 1 1
1 0 3
A
 
 

 
 

 
và
1 1 3

2 0 0
1 4 1
B

 
 

 
 
 
.
Hãy tìm: a) 3A; b) A + B; c) A – 3B; d)


3 ;
T
T
A B e) AB; f)
.
T T
B A

Bài 4. Tính Ax theo 2 cách:
1 2 4 2
. 2 3 1 2
4 1 2 3
a Ax
   
   
 

   
   

   

2 1 0 0 1
1 2 1 0 1
.
0 1 2 1 1
0 0 1 0 2
b Ax
   
   
   

   
   
   

Dạng 3: Biểu diễn hệ phương trình tuyến tính
Bài 5. Viết các hệ phương trình sau dưới dạng ma trận và dạng véc tơ:
2 3 1
. 2 5 7
3 1
x y z
a y z
x y
  



   


 


1
2 5
.
2 2 1
2 4 7
x y z
x y
b
x y z
x y z
  


  


  


  


Dạng 4: Tìm điểu kiện của tham số để hệ có nghiệm
Bài 6. Tìm số m sao cho tồn tại X thỏa mãn:

2 1 3 6
1 0 5 6
,
3 2 1
0 1 3 2
X
m
  
   
   
   

   
 
   
   
sau đó tìm X.
GV: Th.S Lê Thế Sắc
2

Bài 7. Tìm điều kiện của tham số thực a,b,c,m để các hệ sau có nghiệm:
2 1
2 2 0
.
2 3 2
4 2 2
x y z t
x y z t
a
x y z t

x y z m
   


   


    


  


2
. 2
2
x y z a
b x y z b
x y z c
  


   


   


2 1
. 2 3 2

4 5 1
x y z
c x y mz
x y z m
  


  


   


Dạng 5: Phương pháp khử Gauss – Jordan giải hệ phương trình

Bài 8. Giải hệ sau bằng phương pháp khử Gauss- Jordan:
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 3 4 5
2 2 3 1
1.
3 2 2 1
4 3 2 5
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
   



   


   


    


2 2
3 5
2.
5 7
2 3 3 14
x y z
x y z
x y z
x y z
  


  


   


  



2 7 3 1 6
3. 3 5 2 2 4
9 4 1 7 2
x
y
z
t
 
   
 
   
 

   
 
   
 
   
 

1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 3 5 6 0
4. 3 4 6 7 0
3 4 0
x x x x
x x x x

x x x x
   


   


   


1 2 3
1 2 3
1 2
2 1
5. 2 2
2 3 2
x x x
x x x
x x
   


   


  


Dạng 6: Giải và biện luận hệ bằng phương pháp khử Gauss – Jordan
Bài 9. Giải và biện luận hệ các hệ phương trình sau theo tham số a:



 
 
2
3 2
4 3
1 3
1. 1 3
1 3
x y a z a a
x a y z a a
a x y z a a

    


    


    







 
3 2 3 0

2. 2 3 1
4 7 3
x a y a z
x ay z
a y z

    

   


   


3 5 4
3. 3 2
9 7 8 0
ax y z
x ay z
x y az
  


  


  


2 1

4. 2 3 1
2 2 1
x y az
x ay z
x y z
  


   


  


1 2 3
1 2 3
2
1 2 3
2 1
5. 2 2
2 4
ax x x
x ax x a
x x ax a
  


  



  




1 1
6. 3 2 1
2 3 2
a x y z
x y z
ax y z

   

  


  


1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 3 4 1
2 3 4 3
7.
3 4 2 5
4 2 7
x x x x

x x x x
x x x x
x x x mx
   


   


   


   


1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 2 3 5
3 2 3 5 1
6 4 3 5 7 3
8.
9 6 5 9 5
3 2 4 2
x x x x x
x x x x x
x x x mx x
x x x mx
    



    


    


   


Bài 10. Giải và biện luận các hệ phương trình sau theo các tham số a và b:

 
2 2
. 2 1
2
x y az
a x y a z
x y z b
  


   


   


2 3
. 2 9

3 3
x ay z
b x ay z
x y b
   


  


 


GV: Th.S Lê Thế Sắc
3

Bài 11. Giải và biện luận hệ phương trình sau theo các tham số
1 2 3
, ,
b b b
:
1
2
3
2 2
2 5 4
4 9 8
x y z b
x y z b
x y z b

  


  


  


Dạng 7: Định nghĩa ma trận nghịch đảo
Bài 12. Chứng minh các khẳng định sau:
a. Nếu A là ma trận vuông thỏa mãn
2
3 0
A A I
  
thì ma trận A khả nghịch và
1
3
A I A

 
;
b. Nếu A khả nghịch và ACAB

thì CB

.
Dạng 8: Phương pháp Gauss – Jordan tìm ma trận nghịch đảo
Bài 13. a. Tìm ma trận nghịch đảo của A bằng phương pháp Gauss – Jordan:

1 0 0
2 1 3 ;
0 0 1
A
 
 

 
 
 

b. Tìm ma trận X thỏa mãn phương trình:
1 2 3
1 2 0
1 0 0
AX
 
 

 
 
 
.
Bài 14. Tìm ma trận X thỏa mãn phương trình:
1 1 1
1 2 3
1 2 2 .
0 1 2
1 2 3
X

 
 
 

 
 
 
 
 

Bài 15. Cho 2 ma trận
2 3 6
15 4 12
9 6 5
A

 
 

 
 

 
và
3 2 5
14 3 12
8 6 5
B

 

 

 
 

 
. Tính


1
.
A B


Bài 16. Giải các phương trình ma trận sau :

1 2 1 0
.
3 4 1 1
a X
   

   
   

1 2 1 2 1 3
. .
1 3 3 4 0 1
b X
     


     
     









GV: Th.S Lê Thế Sắc
4

BÀI TẬP TUẦN 2
Dạng 1: Liên hệ giữa ma trận và định thức
Bài 17. Cho ma trận A có cỡ 44 và detA =
2
1
, hãy tìm det(2A), det(−A), det(A
2
) và det(A
−1
).
Dạng 2: Tính định thức bằng cách sử dụng công thức phần phụ đại số
Bài 18. Tính định thức theo 3 cách (quy tắc 6 phần tử, đưa về ma trận tam giác và công thức phần
phụ đại số):

0 0 1

. 0 2 5
4 0 4
a
 
 
 

. b




Bài 19. Tìm ma trận phụ hợp C của các ma trận sau. Hãy tìm detB nhờ các phần phụ đại số của nó.

2 1
.
3 6
a A
 

 
 

1 2 3
. 4 5 6
7 0 0
b B
 
 


 
 
 

Bài 20. Sử dụng công thức phần phụ đại số, tính định thức của ma trận sau:















404
6203
5030
121
b
a
A

Dạng 3: Tính định thức bằng cách sử dụng các tính chất
Bài 21. Sử dụng các phép toán hàng để chỉ ra rằng "định thức Vandermonde" bằng:

2
2
2
1
det 1 ( )( )( )
1
a a
b b a b b c c a
c c
 
 
   
 
 
 

Bài 22. Tính nhanh định thức của các ma trận sau:
101 201 301
. 102 202 302
103 203 303
a
 
 
 
 
 

2
2

1
. 1
1
t t
b t t
t t
 
 
 
 
 

2 2
. 2 2
2 2
a b c a a
c b b c a b
c c c a b
 
 
 
 
 
 
 
 

Bài 23. Biết
5.
a b c

d e f
g h i

Tính các định thức sau:
GV: Th.S Lê Thế Sắc
5

. 2 2 2 ;
a b c
a d e f
g h i

2 2 2
. ;
a d b e c f
b d e f
g h i
  


. 2 2 2
g h i
c d e f
a b c

Bài 24. Tính định thức của các ma trận sau bằng cách đưa về ma trận tam giác trên:

1 2 3 0
2 6 6 1
.

1 0 0 3
0 2 0 7
a A
 
 
 

 

 
 

2 1 0 0
1 2 1 0
.
0 1 2 1
0 0 1 2
b B

 
 
 
 

 
 
 

 

Dạng 4: Tính định thức bằng cách kết hợp các phương pháp
Bài 25. Tính định thức của các ma trận sau:
2 2 0 5
1 4 2 7
.
6 3 5 8
5 1 7 2
a
2 1 7 5
3 2 6 1
.
5 8 1 9
7 2 6 3
b
1 1 3 5
3
.
2 1 3 5
2 7 0
a x b
c
y
 
 

 
 
 
 

0
0
.
0
0
x y z
x z y
d
y z x
z y x

Dạng 5: Ứng dụng của định thức tìm ma trận nghịch đảo
Bài 26. Sử dụng công thức phần phụ đại số tìm ma trận nghịch đảo của ma trận:

0 1 2
A= 2 3 3
4 4 4
 
 
 
 
 

Bài 27. Dùng tiêu chuẩn về định thức tìm điều kiện của m để ma trận sau khả nghịch:

2 1 0 0
3 2 0 0
1 1 1 1
2 1 0
A

m
 
 
 

 
 

 

Dạng 6: Ứng dụng của định thức giải hệ phương trình
Bài 28. Giải các hệ phương trình sau bằng quy tắc Cramer:
2 4 31
. 5 2 29
3 10
x y z
a x y z
x y z
  


  


  


2 3 4 20
. 3 5 16
5 7 4 7

x y z
b x y z
x y z
  


  


  


6 5 2 4 4 0
9 4 13 0
.
3 4 2 2 1 0
3 9 2 11 0
x y z t
x y z t
c
x y z t
x y t
    


    


    



   



GV: Th.S Lê Thế Sắc
6

Bài 29. Tìm m để hệ sau có duy nhất 1 nghiệm. Tìm nghiệm đó bằng quy tắc Cramer:



1 1
3 2 1
2 3 2
m x y z
x y z
mx y z
   


  


  


Dạng 7: Chứng minh một tập là không gian con
Bài 30. Tập con nào sau đây cùng với phép toán cộng và nhân thông thường trong
3

R
là không
gian con của
3
R
.
a. Mặt phẳng chứa các vectơ
( , , )
x y z
sao cho
x y


b. Mặt phẳng chứa các vectơ
( , , )
x y z
sao cho
0
x


c. Tập




3
W , , 0
x y z R xyz
  

d. Tập tất cả các tổ hợp tuyến tính của


1,4,0
u  và


2,2,2
v 
e. Tập




3
W , , 0
x y z R x y z
    

f. Tập




3
W , ,
x y z R x y z
   

Bài 31. Cho




3
W , ,
x y z R x y z m
    
. Tìm m để W là một không gian con của
3
.
R

Bài 32. Kí hiệu


2 2,
M R
 là tập các ma trận vuông cấp hai với phần tử thực và G là tập các ma
trận khả nghịch của


2 2,
M R
 . Chứng minh rằng G không là không gian con của


2 2,
M R

 .
Dạng 8: Mô tả bốn không gian con của ma trận
Bài 33. Hãy mô tả các không gian cột của các ma trận sau:
1 2
. 0 0
0 0
a A
 
 

 
 
 

1 0
. 0 2
0 0
b B
 
 

 
 
 

1 0
. 2 0
0 0
c C
 

 

 
 
 

Bài 34. Mô tả không gian cột và không gian hàng của ma trận sau:

1 2 3
2 4 6
1 4 6
A
 
 

 
 

 

Từ đó chỉ ra các véc tơ




0;0;6
u C A
  và





2;2;3 .
T
v C A
  

GV: Th.S Lê Thế Sắc
7

Bài 35. Mô tả 4 không gian con liên quan đến ma trận











880
440
242
B
Bài 36. Tìm điều kiện của vế phải để các hệ sau có nghiệm?

1 1
2 2

3 3
1 4 2
. 2 8 4
1 4 2
x b
a x b
x b
   
 
   
 

   
 
   
 
  
 
   

1
1
2
2
3
1 4
. 2 9
1 4
b
x

b b
x
b
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 

Bài 37. Cho
1 2 3
2 4 6
1 4 6
A
 
 

 
 


 

a. Với giá trị nào của a,b,c thì v = (a,b,c) thuộc không gian C(A);
b. Với giá trị nào của a,b,c thì v = (a,b,c) thuộc không gian N(A)
Bài 38. Xây dựng 1 ma trận mà không gian cột chứa véc tơ (1,1,5) và (0,3,1) còn không gian
nghiệm chứa véc tơ (1,1,2).











GV: Th.S Lê Thế Sắc
8

BÀI TẬP TUẦN 3
Dạng 1: Tìm hạng của ma trận
Bài 39. Tìm hạng của các ma trận sau đây:
a. Ma trận cấp 3

4 có tất cả các phần tử đều bằng 1;
b. Ma trận cấp 3

4 với
1;

ij
a i j
  

c. Ma trận cấp 3

4 với
j
ij
a )1( .
Bài 40. Biện luận theo m hạng của các ma trận sau:
a.
6 4 2
3 2 1
9 6
A
m
 
 
   
 
 
 
b.
1 0 1
1 1 2
1 1
B
m
 

 

 
 
 

Bài 41. Tìm hạng của ma trận sau:
1 4 0
. 2 11 5
1 2 10
a A
 
 

 
 

 

2 1 3 2 4
. B 4 2 5 1 7
2 1 1 8 2
b
 
 
 
 
 
 


 

3 1 3 2 5
5 3 2 3 4
.
1 3 5 0 7
7 5 1 4 1
c C

 
 

 

 
  
 

 

Bài 42. Tìm m sao cho hạng của ma trận sau là nhỏ nhất :
3 1 1 4
4 10 1
1 7 17 3
2 2 4 3
m
 
 
 
 

 
 
.
Bài 43. Tìm hạng của ma trận
, , :
T T
A A A AA


1 1 5
.
1 0 1
a A
 
 

 
 
 

2 0
. 1b A

 
 
 
 
 

 

Dạng 2: Tìm nghiệm tổng quát của hệ
0
Ax


Bài 44. Tìm nghiệm đầy đủ của của các hệ
0,
Ax


0
Bx

với:

1 3 5
2 6 10
A

 

 

 

1 3 5
2 6 7
B


 

 

 

Bài 45. Tùy theo m hãy tìm nghiệm tổng quát của phương trình Ax = 0 biết:

1 1 2 2
2 2 4 4
1 2 2
A
m
 
 

 
 
 

GV: Th.S Lê Thế Sắc
9

Dạng 3: Tìm nghiệm tổng quát của hệ
Ax b


Bài 46. Tìm nghiệm tổng quát của các hệ phương trình sau:
1 3 1 2 1
. 2 6 4 8 3

0 0 2 4 1
x
y
a
z
t
 
   
 
   
 

   
 
   
 
   
 

1 3 4
1 2 3
1 3 4
2 3 2
. 3 2 5
2 4 9 10
x x
b x x x
x x x
  



  


  


1
2
3
4
2 3 5 7 1
. 4 6 2 3 2
2 3 11 15 1
x
x
c
x
x
 

   
 
   
 
 
   
 
   
  

 
   
 

Bài 47. Biết nghiệm tổng quát đối với







3
1
Ax
là















1
0
0
1
cx
. Hãy tìm ma trận A.
Bài 48. Tìm nghiệm đặc biệt, từ đó suy ra nghiệm tổng quát của hệ Ax = b với
3 2 1
5 3 0
0 1 5
A

 
 
 
 
 

 
,
biết rằng hệ trên có một nghiệm riêng
(0,1,1)
p
x  .
Dạng 4: Mối liên hệ giữa hạng của ma trận và số nghiệm của hệ
Bài 49. Cho hệ phương trình:
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 3

3 2
2 3
x x ax
x x ax
x x x b
  


  


  


a. Xác định a và b để hệ có nghiệm duy nhất;
b. Xác định a và b để hệ có vô số nghiệm.
Bài 50. Tìm điều kiện đối với
1
,
b
2
,
b
3
b
để hệ sau có nghiệm. Tìm nghiệm khi có điều kiện đó:
1
2
3
2 2

2 5 4
4 9 8
x y z b
x y z b
x y z b
  


  


  


Dạng 5: Kiểm tra sự phụ thuộc tuyến tính, độc lập tuyến tính của hệ véc tơ
Bài 51. Cho các véc tơ


1
1, 3,2, 4 ;
v
  



2
3,4, 1,3 ;
v  



3
2,7, 2,5 ;
v  


4
2, 6,4, .
v m
 
1. Xét sự phụ thuộc tuyến tính của hệ véc tơ tùy theo giá trị của m;
2. Tìm m để
4
v
là tổ hợp tuyến tính của
1
,
v

2
,
v

3
.
v

Bài 52. Kiểm tra tính độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính của các hệ véc tơ sau:
a.







1 2 3
1,3,2 ; 2,1,3 ; 3,2,1 ;
v v v  
b.






1 2 3
1, 3,2,1 , 2,1, 3,0 , 3,2,0,1 .
v v v     


GV: Th.S Lê Thế Sắc
10

Dạng 6: Kiểm tra hệ véc tơ là cơ sở của không gian cho trước
Bài 53. Hệ vectơ nào sau đây là cơ sở của R
3
?
a.







1,2,2 ; 1,2,1 ; 0,8,0 ;

b.


1,1, 1 ;



2,3,4 ;



4,1, 1 ;




0,1, 1 ;


c.







1,2,2 ; 1,2,1 ; 0,8,6 .

Dạng 7: Tìm một cơ sở và số chiều của một không gian véc tơ
Bài 54. Tìm một cơ sở cho mỗi không gian con sau đây của R
4
:
a. Tất cả các vectơ mà các thành phần của chúng đều bằng nhau;
b. Tất cả các vectơ mà tổng các thành phần của chúng bằng 0.
Bài 55. Cho các vectơ






1 2 3
2,1,3 , 3, 1,4 , 2,6,4 .
v v v   

Ký hiệu W là không gian con của
R
3
sinh bởi các véc tơ
1 2 3
, , .
v v v
Tìm một cơ sở và số chiều của W.
Bài 56. Hãy tìm một cơ sở và số chiều của các không gian con sau đây:
a.





4
1
, , , , ;
V x y z t R z x y t x y
     

b.




2
0, , ,0 ; , ;
V x y x y R
 
c.




4
3
, , , .
V x y z t R x y z
   

Bài 57. Tìm cơ sở và số chiều của 4 không gian con chủ yếu liên quan đến ma trận:
1 2 4
.
2 4 8
a A
 
 

 
 
 

1 2 4
.
2 8
b B
 
 

 

 

1 3 0 5
. 2 6 1 16
5 15 0 25
c E
 
 


 
 
 

0 1 2 3 4
. 0 1 2 4 6
0 0 0 1 2
d F
 
 

 
 
 











GV: Th.S Lê Thế Sắc
11

BÀI TẬP TUẦN 4
Dạng 1: Tìm giá trị riêng, véc tơ riêng của một ma trận

Bài 58. Hãy tìm các giá trị riêng và các vectơ riêng của các ma trận sau:
1 4
.
2 3
a A
 

 
 

3 1
.
1 1
b B

 

 
 

0 0 1
. C 0 2 0
3 0 0
c
 
 

 
 
 

4 5 1
. 1 0 1
0 1 1
d D

 
 
 
 
 

 

Dạng 2: Sử dụng các tính chất của giá trị riêng, véc tơ riêng
Bài 59. Hãy xác định hàng thứ hai của
0 1
* *
A
 

 
 
sao cho A có các giá trị riêng là 4 và 7.
Bài 60. Tìm tất cả các véc tơ riêng và giá trị riêng của ma trận A
100
+ A + 2I biết
1 1
2 2
A

 

 
 
.
Bài 61. Cho A là ma trận vuông cấp 2 với


8
tr A

và
det 12.
A

Hãy tìm các giá trị riêng của A
Bài 62. Cho

là giá trị riêng của ma trận A tương ứng với véc tơ riêng
.
x
Chứng minh rằng:
1.
2

là giá trị riêng của
2
A

2.

1


là giá trị riêng của
1
A


3.
1


là giá trị riêng của
.
A I


Bài 63. Cho A là ma trận vuông cấp 2 có 2 giá trị riêng là
1
3


và
2
4.


Tính



det .
A I


Bài 64. Cho A là ma trận vuông cấp 3 có 3 giá trị riêng là
1
1,



2
2,



3
3.



1. Tính


det 2 ;
A



det . ;
T

A A



1
det
A I


2. Tìm hạng của ma trận A.
Dạng 3: Chéo hóa ma trận và ứng dụng
Bài 65. Kiểm tra tính chéo hóa của ma trận sau:

2 2 2
. A 2 2 2
2 2 2
a
 
 

 
 
 

1 1
.
1 1
b B

 


 

 

Bài 66. Chéo hoá ma trận A và tính
2013
A

biết :
2 1
1 2
A
 

 
 

Bài 67. Chéo hoá ma trận B và tính
k
B
biết:
3 1
0 2
B
 

 
 

Dạng 4: Tìm phần bù trực giao của một không gian con
GV: Th.S Lê Thế Sắc
12


Bài 68.
a. Cho S là không gian con của
3
R
chỉ chứa véc tơ không. Hãy tìm
;
S


b. Cho S là không gian con của
3
R
sinh bởi véc tơ


1,1,1 .
Hãy tìm
;
S


c. Cho S là không gian con sinh bởi các véc tơ


1

2,0,0
u  và


2
0,0,3 .
u  Hãy tìm
.
S


Bài 69. Cho các vectơ v
1
= (1, 0, -2, 1), v
2
= (0, 1, 3, -2). Ký hiệu W là không gian con của R
4

gồm tất cả những tổ hợp tuyến tính của v
1
, v
2
.
a. Hãy tìm W

;
b. Tính số chiều của W

.
Dạng 5: Tìm cơ sở của phần bù trực giao

Bài 70. Cho hệ phương trình sau:
1 2 3 4
1 2 3 4
2 3 0
2 3 0
x x x x
x x x x
   


   


a. Tìm cơ sở và số chiều của không gian nghiệm S của hệ;
b. Tìm cơ sở và số chiều của
.
S


Bài 71. Giả sử P là không gian nghiệm của phương trình:
3 4 0.
x y z
  

a. Tìm một cơ sở của P;
b. Tìm véc tơ
u P

và véc tơ
v P


 sao cho


6,4,5 .
u v 
Bài 72. Cho S là không gian sinh bởi các véc tơ


1,2,3
u  và


0,1,2
v  . Tìm một cơ sở và số
chiều của
.
S


Bài 73.
a. Hãy tìm một cơ sở của không gian con S trong R
4
sinh bởi tất cả các nghiệm của:

1 2 3 4
– 0;
x x x x
  

b. Hãy tìm một cơ sở của phần bù trực giao S

.
Dạng 6: Phương pháp trực giao hóa Gram - Schmidt
Bài 74. Hãy tìm các vectơ trực giao A, B, C bằng phương pháp Gram-Schmidt từ
, , :
a b c








1, 1,0,0 ; 0,1, 1,0 ; 0,0,1, 1
a b c
     

Bài 75. Cho các véc tơ






1 2 3
1, 0, 0, 0 , 2, 1, 0, 0 , 3, 2, 1, 0 .
v v v  
a. Chứng minh hệ véc tơ



1 2 3
, ,
v v v
độc lập tuyến tính;
b. Dùng trực giao hóa Gram – Schmidt xây dựng tập trực giao


1 2 3
, ,
u u u
từ


1 2 3
, , .
v v v

GV: Th.S Lê Thế Sắc
13

BÀI TẬP TUẦN 5
Dạng 1: Chứng minh ánh xạ là phép biến đổi tuyến tính và tìm ảnh
Bài 76. Cho M là ma trận vuông cấp 2 và
1 2
3 4
A
 


 
 

Ánh xạ T được định nghĩa bởi T(M) = AM. Hãy chỉ ra rằng T là phép biến đổi tuyến tính.
Bài 77. Cho ánh xạ
2 3
: R R
T

xác định như sau:





1 2 3
T
v xu yu x y u
   

trong đó








1 2 3

, , 1,0,0 , 1,1,0 , 1,1,1 .
v x y u u u
   

Chứng minh rằng T là một biến đổi tuyến tính. Tìm ma trận chính tắc của T.
Bài 78. Cho


1 2 3
, ,
E v v v

là một cơ sở của
3
R
với
1
1
1 ,
1
v
 
 

 
 
 

2
1

1 ,
0
v
 
 

 
 
 

3
1
0 .
0
v
 
 

 
 
 

Cho T là phép biến đổi tuyến tính từ R
3
vào R
3
xác định bởi:










1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 1 3 2 2 3 3
2 – 2
T x v x v x v x x x v x x v x x v
       

a. Tìm ma trận chính tắc của T
b. Với


1, 1, 1 ,
v
 
tìm T(v)
c. T có khả nghịch không?
Bài 79. Cho ánh xạ
2 3
:
T R R
 xác định như sau:

1 2 3
( ) ( ) 2
T v x y u xu yu
   

trong đó
1 2 3
1 1 1
1 , 1 , 0
1 0 0
u u u
     
     
  
     
     
     
,
x
v
y
 

 
 
.
a. Chứng minh T là phép biến đổi tuyến tính.
b. Tìm ma trận chính tắc của T.
Bài 80. Giả sử T là phép biến đổi tuyến tính biến (1,1) thành (2,2), biến (2,0) thành (0,0).
Tìm T(v) trong các trường hợp sau:
a) v = (2,2) b) v = (3,1)
c) v = (-1,1) d) v = (a,b)
Bài 81. Cho
1 2 3

{ , , }
e e e
là cơ sở chính tắc của
3
R
, T là phép biến đổi tuyến tính từ
3
R
vào
3
R
,
thoả mãn điều kiện:
GV: Th.S Lê Thế Sắc
14


     
1 2 3 1 2 3
3 4 1
3 , 2 1 , 2
3 4 0
T e e e T e e T e
     
     
     
     
     
     

a. Tìm ma trận chính tắc của T
b. Với
1
2
3
v
 
 

 
 
 
thì
( ) ?
T v


Bài 82. Cho {e
1
, e
2
} là cơ sở chính tắc của R
2
. Cho T là phép biến đổi tuyến tính từ R
2
vào R
2
thoả
mãn điều kiện









1 2 1 2
= 1, 1 , 2 0, 1 .
T e e T e e
  

a. Tìm ma trận chính tắc của T.
b. Chứng minh rằng T khả nghịch và tìm ma trận chính tắc của T
-1
.
c. Tìm vectơ u R
2
sao cho




2, 1 .
T u
 

Dạng 2: Tìm ma trận chuyển cơ sở và ma trận của phép biến đổi tuyến tính
Bài 83. Cho E = {(1, 2); (2, 3)} và F = {(1, 1); (2, 1)} là 2 cơ sở của
2

.
R

a. Tìm ma trận chuyển cơ sở từ E sang F và từ F sang E.
b. Biết tọa độ của vectơ v theo cơ sở E là (1, -1), tìm tọa độ của v theo cơ sở F.
Bài 84. Trong không gian R
2
cho hai cơ sở :

1 2 1 2
1 2 2 3
, , ' ' ,
2 3 1 4
B u u B u u
   

       
     
   
       
       
   

a. Tìm ma trận chuyển từ cơ sở B sang cơ sở B’
b. Cho w = 3u
1
– 5u
2
. Tính tọa độ của w trong cơ sở B’.
Bài 85. Cho phép biến đổi tuyến tính

2 2
:
T R R

có ma trận trong cơ sở
1 2
1 2
,
1 1
E u u
 
   
  
 
   
   
 
là
1
0
A

 

 

 
. Tìm ma trận B của T trong cơ sở
1 2
1 0

,
2 1
F v v
 
   
  
 
   

   
 
.
Bài 86. Cho phép biến đổi tuyến tính

2 2
1 2 1 2 2
:
( , ) ( 2 ,3 )
T R R
x x x x x




a. Tìm ma trận chính tắc của T
b. Tìm ma trận của T trong cơ sở
1 2
1 0
,
1 1

F v v
  
   
  
 
   
 
   
 

Bài 87. Cho phép biến đổi tuyến tính
GV: Th.S Lê Thế Sắc
15


2 2
1
1
1 2
:
2
( )
2
T R R
x
x
v T v
x x
x


 
 
 
 
 

 
 


a. Tìm ma trận chính tắc của T.
b. Tìm ma trận của T theo cơ sở F = {w
1
= (1, 2), w
2
= (2, 3)}.

GV: Th.S Lê Thế Sắc
16

BÀI TẬP TUẦN 5
Dạng 1: Phương pháp xấp xỉ bình phương tối thiểu
Bài 88. Cho dữ liệu
T 0 1 2 3
B 2 3 5 7
Dùng phương pháp bình phương tối thiểu tìm đường thẳng b = C + Dt gần tập hợp điểm này nhất.
Bài 89. Hãy tìm parabol tốt nhất để căng b = 4, 2, -1, 0, 0 tại thời điểm t = 0, 1, 2, 3, 4
Bài 90. Cho dữ liệu
T -2 -1 0 1 2
B 4 2 -1 0 0
Dùng phương pháp bình phương tối thiểu:
a. Tìm đường thẳng tốt nhất dạng b = C + Dt
b. Tìm đường thẳng tốt nhất dạng b = Dt
c. Tìm parabol tốt nhất dạng b = C + Dt + Et

2

d. Tìm parabol tốt nhất dạng
2
b Dt Et
 

Dạng 2: Giải gần đúng hệ phương trình
Bài 91. Tìm chuẩn của các ma trận sau:







20
05,0
A ,
1 2 3
5 6 7
2
B
 
 
 
  
 
 


 

Bài 92. Cho hệ phương trình:
1 2 3
1 2 3
1 2 3
5 3 1
4 2 3
2 4 3
x x x
x x x
x x x
  


  


   


a. Giải hệ bằng phương pháp khử Gauss.
b. Giải hệ bằng phương pháp lặp Jacobi với độ chính xác
1 25


,
.
c. Giải hệ bằng phương pháp lặp Seidel, tính lặp 4 lần.
Lấy x

(0)
= (0, 0, 0)
Bài 93. Giải hệ sau đây bằng phương pháp lặp Jacobi, tính lặp ba lần và cho biết sai số :

1 2 3
1 2 3
1 2 3
1,02 0,05 0,10 0,795
0,11 1,03 0,05 0,849
0,11 0,12 1,04 1,398
x x x
x x x
x x x
  


   


   


Bài 94. Giải hệ sau bằng phương pháp lặp Gauss-Seidel, tính lặp 3 lần
GV: Th.S Lê Thế Sắc
17

1 2 3
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4

10 5 16
10 2 6 3
2 4 20 10 24
2 3 25 31
x x x
x x x x
x x x x
x x x x
  


   


    


     


Với )2,1;1,1;8,0;9,0(
)0(
x .