Lí thuyết chia hết trong tập số tự nhiên và mối liên hệ với một số nội dung môn toán ở tiểu học

i

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG
KHOA GIÁO DỤC TIỂU HỌC VÀ MẦM NON
-----------------------

TRẦN THANH LOAN

LÍ THUYẾT CHIA HẾT TRONG TẬP SỐ
TỰ NHIÊN VÀ MỐI LIÊN HỆ VỚI MỘT SỐ
NỘI DUNG MÔN TỐN Ở TIỂU HỌC

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
NGÀNH: GIÁO DỤC TIỂU HỌC

Phú Thọ, 2021


ii

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG
KHOA GIÁO DỤC TIỂU HỌC VÀ MẦM NON
-----------------------

TRẦN THANH LOAN

LÍ THUYẾT CHIA HẾT TRONG TẬP SỐ
TỰ NHIÊN VÀ MỐI LIÊN HỆ VỚI MỘT
SỐ NỘI DUNG MÔN TỐN Ở TIỂU HỌC

PHẦN MỞ ĐẦU

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
NGÀNH: GIÁO DỤC TIỂU HỌC

GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN: TS. NGUYỄN TIẾN MẠNH

Phú Thọ, 2021


iii

LỜI CẢM ƠN
Trải qua thời gian nghiên cứu và thực hiện, đến nay đề tài khóa luận tốt
nghiệp: “ Lí thuyết chia hết trong tập số tự nhiên và mối liên hệ với một số
nội dung mơn tốn ở Tiểu học” của em đã hồn thành. Để có được kết quả
như ngày hôm nay là nhờ sự hướng dẫn trực tiếp, chỉ bảo tận tình của giáo
viên hướng dẫn, các thầy cô giáo trong khoa Giáo dục Tiểu học và Mầm non,
thư viện trường Đại học Hùng Vương đã tận tình giảng dạy, giúp đỡ em trong
suốt quá trình học tập, nghiên cứu và bảo vệ tốt khóa luận của mình.

Đặc biệt em xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành nhất tới Ts.Nguyễn
Tiến Mạnh người đã trực tiếp hướng dẫn và giúp đỡ em trong suốt thời
gian nghiên cứu và hồn thành khóa luận này. Do thời gian thực hiện
q trình nghiên cứu cịn hạn chế nên đề tài chắc chắn khơng tránh
khỏi những thiếu sót. Vì vậy, em rất mong nhận được những ý kiến
trao đổi, đóng góp tận tình của thầy cơ giáo và các bạn.

Những ý kiến trao đổi, đóng góp của thầy cơ và các bạn sẽ giúp
cho khóa luận của em được hồn thiện hơn. Em xin kính chúc các
thầy cơ giáo ln mạnh khỏe, hạnh phúc để tiếp tục dìu dắt chúng

em trên con đường học tập và nghiên cứu khoa học.
Em xin chân thành cảm ơn!

Sinh viên

Trần Thanh Loan


iv

LỜI CAM ĐOAN
Em xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Tiến Mạnh, khóa
luận tốt nghiệp “Lí thuyết chia hết trong tập số tự nhiên và mối liên hệ với
một số nội dung mơn Tốn ở Tiểu học” được hoàn thành theo sự nhận thức
vấn đề của riêng tác giả, khơng trùng với bất kì khóa luận nào khác.

Trong q trình làm khóa luận, em đã kế thừa những thành tựu
của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Phú Thọ, tháng

năm 2021

Sinh viên

Trần Thanh Loan


v

DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT

GV

Giáo viên

HS

Học sinh

SGK

Sách giáo khoa

TDTG

Thặng dư thu gọn


vi

PHẦN MỞ ĐẦU.........................................................................................................................................1
1.Tính cấp thiết của đề tài....................................................................................................................1
2. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn.......................................................................................................2
2.1. Ý nghĩa khoa học............................................................................................................................ 2
2.2. Ý nghĩa thực tiễn.............................................................................................................................2
3. Mục tiêu nghiên cứu.........................................................................................................................3
4. Nhiệm vụ nghiên cứu.......................................................................................................................3
5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu...............................................................................................3
5.1. Đối tượng..........................................................................................................................................3
5.2. Phạm vi nghiên cứu.......................................................................................................................3
6. Phương pháp nghiên cứu..............................................................................................................3

7. Cấu trúc của đề tài.............................................................................................................................4
PHẦN NỘI DUNG.....................................................................................................................................5
CHƯƠNG 1. LÍ THUYẾT CHIA HẾT TRONG TẬP SỐ TỰ NHIÊN.............................................5
1.1. Quan hệ chia hết và phép chia có dư......................................................................................5
1.1.1. Quan hệ chia hết.........................................................................................................................5
1.1.2. Phép chia với dư.......................................................................................................................11
1.2. Ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất......................................................................12
1.2.1. Ước chung lớn nhất.................................................................................................................12
1.2.2. Bội chung nhỏ nhất..................................................................................................................15
1.3. Số nguyên tố và định lí cơ bản của số học.........................................................................17
1.3.1. Số nguyên tố...............................................................................................................................17
1.3.2. Định lí cơ bản của số học......................................................................................................18
1.3.3. Hàm ( n ), hàm ( n ) và hàm euler ( n )................................................................................19
1.4. Quan hệ đồng dư..........................................................................................................................24
1.4.1. Định lí Euler và định lí Fermat..............................................................................................24
1.4.2. Ứng dụng quan hệ đồng dư trong bài toán chia hết....................................................26
1.4.3. Ứng dụng quan hệ đồng dư trong bài tốn tìm số dư................................................30
1.4.4. Ứng dụng quan hệ đồng dư trong nhận biết các dấu hiệu chia hết......................32
TIỂU KẾT CHƯƠNG 1..........................................................................................................................34
CHƯƠNG 2. KHAI THÁC MỘT SỐ DẠNG TỐN VỀ LÍ THUYẾT CHIA HẾT TRONG TẬP
SỐ TỰ NHIÊN..........................................................................................................................................35
2.1. Giải và khai thác một số dạng toán về dấu hiệu chia hết..............................................35
2.1.1. Dạng 1: tìm số các số có k chữ số phân biệt được thành lập từ những chữ số cho trước thỏa

mãn điều kiện chia hết........................................................................................................................35
2.1.2. Dạng 2: thay các kí hiệu bởi chữ số thích hợp để được số tự nhiên thỏa mãn các điều kiện

chia hết.....................................................................................................................................................41
2.1.3. Dạng 3: thay các kí hiệu bởi chữ số thích hợp để được số tự nhiên thỏa mãn các điều kiện

chia có dư................................................................................................................................................45


vii
2.2. Các bài tốn về vận dụng tính chất chia hết của một tổng và một hiệu..................49
2.3. Tìm chữ số tận cùng...................................................................................................................53
2.3.1. Dạng 1: xác định số chẵn, số lẻ...........................................................................................53
2.3.2. Dạng 2: xác định một chữ số tận cùng.............................................................................55
2.4. Vận dụng tính chất chia hết và chia có dư để giải bài tốn có lời văn.....................59
2.5. Dạng tốn về tìm thương, số chia, số dư trong phép chia euclid..............................63
TIỂU KẾT CHƯƠNG 2..........................................................................................................................66
CHƯƠNG 3. MỐI LIÊN HỆ VỚI MỘT SỐ NỘI DUNG MƠN TỐN Ở TIỂU HỌC................67
3.1. Liên hệ với dạy học về phép chia...........................................................................................67
3.1.1. Phân tích cơ sở tốn học.......................................................................................................67
3.1.2. Liên hệ với dạy học phép chia hết......................................................................................74
3.1.3. Liên hệ với dạy học phép chia có dư................................................................................79
3.2 liên hệ với dạy học các dấu hiệu chia hết............................................................................84
3.2.1. Liên hệ với dạy học dấu hiệu chia hết cho 2..................................................................86
3.2.2. Liên hệ với dạy học dấu hiệu chia hết cho 5..................................................................87
3.2.3. Liên hệ với dạy học dấu hiệu chia hết cho 3..................................................................88
3.2.4. Liên hệ với dạy học dấu hiệu chia hết cho 9..................................................................89
3.3. Liên hệ với dạy học một số dạng bài tập.............................................................................90
TIỂU KẾT CHƯƠNG 3........................................................................................................................100
KẾT LUẬN..............................................................................................................................................101
TÀI LIỆU THAM KHẢO.......................................................................................................................102


1

PHẦN MỞ ĐẦU

1.Tính cấp thiết của đề tài.
Tốn học ra đời gắn liền với đời sống con người và lịch sử phát triển của
xã hội, nó có một ý nghĩa lý luận và thực tiễn vô cùng to lớn và quan trọng.
Tốn học là một mơn khoa học gây nhiều hứng thú cho học sinh, nó là một
mơn học khơng thể thiếu trong quá trình học tập, nghiên cứu và cả trong
cuộc sống hàng ngày. Khả năng giáo dục nhiều mặt của mơn tốn ở tiểu học
là vơ cùng to lớn. Nó có nhiều khả năng để phát triển tư duy logic, bồi dưỡng
và phát triển những thao tác trí tuệ cần thiết để nhận thức thế giới hiện thực
như: Trừu tượng hóa, khái qt hóa, phân tích và tổng hợp, so sánh, dự
đốn, chứng minh và bác bỏ. Nó có vai trị quan trọng trong rèn luyện
phương pháp suy nghĩ, suy luận, giải quyết vấn đề có căn cứ khoa học, tồn
diện, chính xác; có tác dụng trong việc phát triển trí thơng minh, tư duy độc
lập, linh hoạt, sáng tạo trong việc hoàn thành và rèn luyện trong mọi lĩnh vực
hoạt động của con người góp phần giáo dục ý chí và những đức tính tốt như:
Cần cù, nhẫn nại, có ý thức vượt qua khó khăn,…
Giáo dục Tiểu học là bậc học nền tảng của hệ thống giáo dục quốc dân. Mục
tiêu của giáo dục Tiểu học được xác định : “Giáo dục Tiểu học nhằm giúp học
sinh hình thành những cơ sở ban đầu cho sự phát triển đúng đắn và lâu dài về
đặc điểm trí tuệ, thể chất, thẩm mĩ, đạo đức và các kĩ năng cơ bản để học sinh
tiếp tục bậc học trung học cơ sở”. Ở bậc Tiểu học các em được học đầy đủ 9
mơn trong đó tốn học đóng vai trò quan trọng và cần thiết. Những tri thức,
những kĩ năng và phương pháp tốn học đã trở thành cơng cụ để học tập các
mơn học khác. Mơn tốn ở Tiểu học bao gồm 5 chủ đề chính và nội dung trọng
tâm được xác định là các kiến thức và kĩ năng cơ bản về số học. Các kiến thức
số học bao gồm ( Số tự nhiên, dãy số, số thập phân) được xây dựng theo quan
điểm đồng tâm và được phân bố theo các khối lớp một cách hợp lí, phù hợp với
đặc điểm sinh lí, lứa tuổi và nhận thức của các em.


2

Trong sách giáo khoa toán Tiểu học, “phép chia” bắt đầu xuất hiện ở lớp 2
và đến lớp 4 thì các dấu hiệu chia hết cho 2, 5, 3 và 9 được giới thiệu cho học
sinh. Các “Dấu hiệu chia hết” là phần rất quan trọng và không thể thiếu vì nó
là cơ sở để giải rất nhiều dạng tốn ở Tiểu học như: Viết các số tự nhiên theo
dấu hiệu chia hết, dùng dấu hiệu chia hết để điền vào chữ số chưa biết, các
bài toán về vận dụng tính chất chia hết của một tổng và một hiệu, vận dụng
tính chất chia hết và chia có dư để giải bài tốn có lời văn,…Các tính chất và
dấu hiệu chia hết giúp các em dễ dàng vận dụng để thực hiện các phép tính
trên số tự nhiên một cách nhanh và chính xác.
Dạng tốn chia hết rất phong phú và đa dạng, có ý nghĩa rất quan trọng đối
với các em học sinh, phải bằng cách giải thông minh, tìm ra các biện pháp
hữu hiệu và phù hợp với trình độ kiến thức tốn học ở bậc học để giải quyết
loại toán này. Với ý nghĩa như vậy, việc hướng dẫn học sinh nắm được lí
thuyết, phương pháp giải các bài toán về phép chia hết là vấn đề quan trọng

Do vai trị khoa học của lí thuyết chia hết trong tốn học và trong
dạy học, chúng tơi chọn đề tài: “Lí thuyết chia hết trong tập số tự
nhiên và mối liên hệ với một số nội dung môn toán ở Tiểu học”.
2. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn.
2.1. Ý nghĩa khoa học.
Làm rõ thêm cơ sở toán học của lí thuyết chia hết trong tập số tự
nhiên thơng qua việc phân tích, khai thác những vấn đề lí thuyết, bài
tập và mối liên hệ với một số nội dung trong mơn Tốn ở Tiểu học.

2.2. Ý nghĩa thực tiễn
Trên cơ sở phân tích làm rõ mối liên hệ giữa cơ sở tốn học
của lí thuyết chia hết với một số nội dung trong mơn Tốn ở Tiểu
học, khóa luận có thể được sử dụng như một tài liệu tham khảo hữu
ích dành cho giáo viên, sinh viên ngành Giáo dục Tiểu học.

3

3. Mục tiêu nghiên cứu.
Phân tích, khai thác những kiến thức dạng tốn liên quan đến lí thuyết chia

hết và chỉ ra mối liên hệ của chúng với một số nội dung trong mơn
Tốn ở Tiểu học.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu.
- Nghiên cứu cơ sở toán học về các vấn đề: Quan hệ chia hết và
phép chia có dư; Ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất; Số
nguyên tố và Định lí cơ bản của số học; Quan hệ đồng dư.
- Khai thác một số bài tốn về lí thuyết chia hết trong tập số tự nhiên
như: Giải và khai thác một số dạng toán về dấu hiệu chia hết; Các bài tốn
về vận dụng tính chất chia hết của một tổng và một hiệu; Tìm chữ số tận
cùng; Vận dụng tính chất chia hết và chia có dư để giải các bài tốn có lời
văn; Dạng tốn về tìm thương, số chia, số dư trong phép chia Euclid.
-

Phân tích làm rõ sự thể hiện cơ sở tốn học của lí thuyết chia hết với một

số nội dung mơn toán ở Tiểu học: Liên hệ với dạy học về phép chia; Liên hệ với
dạy học các dấu hiệu chia hết; Liên hệ với dạy học một số dạng bài tập.

5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu.
5.1. Đối tượng.
Lí thuyết chia hết
5.2. Phạm vi nghiên cứu.
Khóa luận giới hạn việc nghiên cứu lí thuyết chia hết trên tập

số tự nhiên liên quan đến chương trình mơn tốn ở Tiểu học.
6. Phương pháp nghiên cứu.
Để thực hiện các nhiệm vụ và mục tiêu đặt ra của khóa luận, chúng tơi sử
dụng các kiến thức về một số lĩnh vực của tốn học như: lí thuyết chia hết và
chia có dư trên tập số tự nhiên, Định lí Euler, Định lí Fermat. Đầu tiên chúng tơi
nghiên cứu và tìm hiểu về: Lí thuyết chia hết trên tập số tự nhiên, ứng dụng của
quan hệ đồng dư trong bài toán chia hết và tìm số dư, ứng dụng của định lí Euler
và định lí Fermat, nội dung chương trình mơn tốn ở tiểu học, một số tài liệu
mơn tốn ở Tiểu học (SGK, sách bài tập,…). Tiếp theo, chúng tơi phân tích,


4

khai thác những vấn đề lí thuyết và bài tập liên quan đến lí thuyết
chia hết, trên cơ sở đó chỉ ra mối liên hệ, sự thể hiện của cơ sở tốn
học này trong nội dung mơn Tốn ở Tiểu học.
7. Cấu trúc của đề tài.
Ngoài phần mở đầu, bảng các kí hiệu, chữ viết tắt, danh mục bảng biểu, mục

lục, kết luận kiến nghị và tài liệu tham khảo, phần nội dung gồm 3
chương: CHƯƠNG 1. LÍ THUYẾT CHIA HẾT TRONG TẬP SỐ TỰ
NHIÊN. CHƯƠNG 2. KHAI THÁC MỘT SỐ DẠNG TỐN VỀ LÍ
THUYẾT CHIA HẾT TRONG TẬP SỐ TỰ NHIÊN.
CHƯƠNG 3. MỐI LIÊN HỆ VỚI MỘT SỐ MỘI DUNG MƠN TỐN Ở
TIỂU HỌC.


5

PHẦN NỘI DUNG

CHƯƠNG 1. LÍ THUYẾT CHIA HẾT TRONG TẬP SỐ TỰ
NHIÊN
1.1. Quan hệ chia hết và phép chia có dư.
1.1.1. Quan hệ chia hết.
1.1.1.1. Định nghĩa về chia hết.
Định nghĩa: “Cho a và b là hai số tự nhiên, b ≠ 0. Ta nói rằng a
chia hết cho b nếu có một số tự nhiên q sao cho a = bq. Số tự nhiên
q gọi là thương trong phép chia a cho b. Nếu a chia hết cho b, ta kí
hiệu là a ⋮ b, khi đó ta cũng nói là b chia hết a và kí hiệu là b|a”[12].
Ví dụ: 35 = 7.5 vậy 35 ⋮ 7 hay 7 | 35.
Dựa vào cách ghi số của một số tự nhiên trong hệ g – phân, ta tìm thấy dấu
hiệu chia hết cho một số tự nhiên a đặc biệt nào đó, dựa vào các chữ số của
số bị chia. Để đơn giản ta giới hạn việc trình bày trong hệ thập phân.

Cho hai số tự nhiên a và b trong đó b khác số 0, ta ln tìm được
hai số tự nhiên q và r duy nhất sao cho:
a = b × q + r (0 ≤ r < b)
Nếu r = 0 thì ta có phép chia hết.
Ví dụ: Phép chia 12 cho 3 là phép chia hết: 12 chia cho 3 được 4.

Tính chất:
“Nếu a chia hết cho b và b chia hết cho c thì a chia hết cho c”[16].
Chứng minh
Vì a ⋮ b nên có q ∈ N để a = bq
Vì b ⋮ c nên có p ∈ N để b = cp
Từ đó a = bq = c (pq). Theo định nghĩa ta có a ⋮ c.
Nếu a ⋮ b, a ⋮ b, … , a ⋮ b và x , x , … , x là những số tự nhiên
tùy ý thì ta có:
ax+ax+⋯+ax ⋮b

6

Chứng minh
Theo giả thiết tồn tại các số
q , q , … , q ∈ N sao cho a = bq , … , a = bq
Từ đó a x + a x + ⋯ + a x

= b(q x + q x + ⋯ + q x )

Và điều này lại chứng tỏ a x + a x + a x ⋮
b Hệ quả: Trong một đẳng thức
a+a+⋯+a =m+m+⋯+m
Nếu đã biết tất cả các số hạng, trừ một số hạng nào đó, chia hết
cho b thì chính số hạng còn lại cũng chia hết cho b.
1.1.1.2. Dấu hiệu chia hết cho 2 và 5.
Số tự nhiên a chia hết cho 2 ( tương ứng cho 5) khi và chỉ khi chữ
số hàng đơn vị của nó chia hết cho 2 ( tương ứng cho 5). Cụ thể:
a) Số tự nhiên a chia hết cho 2 khi và chỉ khi nó có chữ số hàng
đơn vị là 0, 2, 4, 6 hoặc 8.
b) Số tự nhiên a chia hết cho 5 khi và chỉ khi chữ số hàng đơn vị
cùa nó là 0 hoặc 5.
Giả sử =

Chứng minh
Khi đó có thể viết = 10 + ⋯ + 10 +

…

Hay = 10( 10

+

10 +⋯+ )+ =10. +

Vì 10 chia hết cho 2 và 5 nên điều kiện cần và đủ để a chia hết cho 2 (hoặc 5)

là:
c chia hết cho 2 (hoặc 5).Đpcm.
1.1.1.3. Dấu hiệu chia hết cho 3 và 9.
Một số chia hết cho 3 (tương ứng chia hết cho 9) khi và chỉ khi tổng các chữ

số đó chia hết cho 3 (tương ứng cho 9).
Chứng minh
Trước hết nhận xét rằng một lũy thừa bất kì của 10 chia cho 3 hoặc
cho 9 đều có dư bằng 1. Thật vậy, theo cơng thức nhị Niutơn ta có:

10 =(9+1) = 9 +
Hay

9

+⋯+

9+1


7

10 = 9.(9

+ 9

)+1=9. +1.

+⋯+

Vì vậy với số tự nhiên a ta có thể viết:
=

10 +

=

(9.

10

+⋯+ .10 +

+1)+ (9.

+ 1) + ⋯ +

(9+1)+

Hay
=9(+
=9. +(

+ ⋯) + (
+

+

+⋯+

+ )

+ ⋯ + + ).

Đẳng thức cuối cùng chứng tỏ rằng a chia hết cho 3 (tương ứng cho
9) khi và chỉ khi + + ⋯ + + chia hết cho 3 (tương ứng cho 9).Đpcm.

a) Chia hết cho 3.
15 có tổng các chữ số: 1 + 5 = 6 chia hết cho 3 ⇒ 15 chia hết cho 3

138 có tổng các chữ số là: 1 + 3 + 8 = 12 chia hết cho 3 ⇒ 138 chia
hết cho 3 b) Chia hết cho 9.
18 có tổng các chữ số: 1 + 8 = 9 chia hết cho 9 ⇒ 18 chia hết cho 9
189 có tổng các chữ số là: 1 + 8 + 9 = 18 chia hết cho 9 ⇒ 189 chia hết cho 9

1.1.1.4. Dấu hiệu chia hết cho 4 và 25.
Số tự nhiên a chia hết cho 4 (hoặc 25) khi và chỉ khi số tạo bởi hai
chữ số cuối cùng của nó tạo thành số chia hết cho 4 (hoặc 25).
Chứng minh
Thật vậy, số tự nhiên a =
được viết thành
cc
…cc

= 10+
10 +⋯+ 10 + .10+
=10 ( 10

+⋯+ )+ 10+ =100. + .10+

Vì 100 chia hết cho 4 và 25 nên a chia hết cho 4 (hoặc 25) khi và
chỉ khi c . 10 chia hết cho 4 (hoặc 25) nghĩa là khi và chỉ khi c c chia
hết cho 4 (hoặc 25).Đpcm
Quy tắc cơ bản để xét chia hết cho 4 là nếu số tạo thành bởi hai chữ số tận
cùng của một số chia hết cho 4 thì số ban đầu chia hết cho 4; điều này là do 100
chia hết cho 4 và do đó việc thêm vào hàng trăm, hàng nghìn, v.v. chỉ đơn giản


8

là thêm một số khác chia hết cho 4. Nếu bất kỳ số nào kết thúc bằng một
số có hai chữ số mà ta biết là chia hết cho 4 (ví dụ: 24, 04, 08, v.v.), thì số
tự nhiên sẽ chia hết cho 4 bất kể số nào đứng trước hai chữ số cuối cùng.

Ngồi ra, người ta có thể chỉ cần chia đơi số đã cho, sau đó kiểm
tra kết quả để tìm xem nó có chia hết cho 2. Nếu đúng, số ban đầu
chia hết cho 4. Ngoài ra, kết quả của phép chia này cũng giống như
lấy số ban đầu chia cho 4. Ví dụ: Quy tắc chung
2092 (Số ban đầu)

2092 (Chỉ lấy hai chữ số cuối của số, loại bỏ đi các chữ số khác)
92 ÷ 4 = 23 (Kiểm tra xem số đó có chia hết cho 4 khơng)
2092 ÷ 4 = 523 (Nếu số thu được chia hết cho 4 thì số ban đầu chia
hết cho 4) Cách khác

1720 (Số ban đầu)
1720 ÷ 2 = 860 (Chia số ban đầu cho 2)
860 ÷ 2 = 430 (Kiểm tra xem kết quả vẫn cịn có chia hết cho 2 khơng)
1720 ÷ 4 = 430 (Nếu kết quả chia hết cho 2 thì số ban đầu chia hết cho 4)

Ví dụ:
Với trường hợp phép chia hết cho 4 ta phải xét 2 trường hợp gồm:

Nếu số lớn hơn 99:
Một số chia hết cho 4 khi 2 chữ số cuối của số đó là số 0 hoặc
tổng 2 số cuối cùng chia hết cho 4.
Ví dụ: 14676 chia hết cho 4 vì 2 chữ số cuối cùng 76 tạo thành một số chia hết
cho 4 (76/4 = 19). Số 345 200 cũng chia hết cho 4 vì 2 chữ số cuối là số không.

Nếu số nhỏ hơn 99:
Số chỉ chia hết cho 4 khi ta nhân đôi chữ số hàng chục và cộng thêm chữ số
hàng đơn vị, nếu kết quả này chia hết cho 4 thì số ban đầu sẽ chia hết cho 4.

Ví dụ: số 64, số hàng chục ở đây là 6, chúng ta cần nhân đôi số này và cộng

thêm chữ số cuối: 2 × 6 + 4 = 16, 16 chia hết cho 4 do đó 64 chia hết cho 4.

Hoặc số 96 = 9 × 2 + 6 = 24 : 4 = 6 nên 96 chia hết cho 4.
Số 47 = 4 × 2 + 7 = 15 khơng chia hết cho 4 nên 47 không chia hết cho 4.


9

1.1.1.5.Dấu hiệu chia hết cho 11.
“Số tự nhiên a chia hết cho 11 khi và chỉ khi tổng các chữ số hàng

chẵn trừ các chữ số hàng lẻ (hoặc ngược lại) là bội của 11”[16].
Chứng minh
Trước hết ta nhận xét rằng một lũy thừa của 10 sẽ có dạng 11q hoặc 11q−1.

Thật vậy:
10 =(11−10) =11 − 11
10 = 11. (11
− 11

+⋯+(−1)
+⋯+(−1)

11 + (−1)
) + (−1)

= 11. + (−1) .
Như vậy 10 = 11. q + 1 nếu n chẵn và 10 = 11. q − 1 nếu n lẻ.
Do đó số tự nhiên a = c c … c c
=
+ (11 − 1) + (11

có thể viết thành
+1)+⋯+ (11

+ (−1) )

Hay a = (c + c + ⋯ ) − (c + c + ⋯ ) + 11q.
Lưu ý nếu phép trừ trên khơng thực hiện được trong N thì ta đổi
vai trò của tổng chữ số hàng chẵn và tổng chữ số hàng lẻ.
Đẳng thức cuối cùng chứng tỏ a chia hết cho 11 khi và chỉ khi

(c + c + ⋯ ) − (c + c + ⋯ ) chia hết cho 11. Đpcm.
Ví dụ: Số 9873215 chia hết cho 11 vì:
(5+2+7+9)−(1+3+8)=23−12=11.
1.1.1.6. Một số dấu hiệu chia hết mở rộng
Dấu hiệu chia hết cho 4.
- Các số có hai chữ số tận cùng tạo thành số chia hết cho 4 thì chia hết cho 4.

- Các số chia hết cho 4 thì hai chữ số tận cùng của nó tạo thành
số chia hết cho 4.
Dấu hiệu chia hết cho 25.
- Các số có hai chữ số tận cùng tạo thành số chia hết cho 25 thì chia hết cho

25.
- Các số chia hết cho 25 thì chữ số tận cùng của nó tạo thành số chia hết cho

25.


10

Dấu hiệu chia hết cho 8.
- Các số có ba chữ số tận cùng tạo thành số chia hết cho 8 thì chia hết cho 8.

- Các chữ số chia hết cho 8 thì ba chữ số tận cùng của nó tạo
thành số chia hết cho 8.
Dấu hiệu chia hết cho 125.
- Các số có ba chữ số tận cùng tạo thành số chia hết cho 125 thì
chia hết cho 125.
- Các số chia hết cho 125 thì ba chữ số tận cùng của nó tạo thành
số chia hết cho 125.

Dấu hiệu chia hết cho 11.
- Các số có hiệu giữa tổng các chữ số hàng chẵn và tổng các chữ
số hàng lẻ chia hết cho 11 thì chia hết cho 11.
- Các số chia hết cho 11 khi hiệu giữa tổng các chữ số hàng chẵn
và tổng các chữ số hàng lẻ của nó chia hết cho 11.
Trong các bài toán nâng cao về chia hết, học sinh Tiểu học khơng chỉ gặp các bài tốn về các dấu hiệu
chia hết cho 2; 5; 3; 9; 4; 25; 8; 125; 11 mà các em còn thường gặp các bài toán chia hết cho 6; 12; 15;
18; 24; 36; 45; 99. Đối với các bài toán này, đầu tiên học sinh cần đi tìm điều kiện chia hết cho các số
trên. Khi tìm điều kiện chia hết cho một số, ta phải phân tích số đó thành tích của các số, sao cho các số
này chỉ chia hết cho 1 và chính nó. Khi đó, ta có:

6=2x3
24 = 3 x 8

12 = 3 x 4
36 = 4 x 9

15 = 3 x 5
45 = 5 x 9

18 = 2 x 9
= 9 x 11

Như vậy, ta có điều kiện chia hết cho 6; 12; 15; 18; 24; 36; 45; 99
cụ thể như sau:
-

Điều kiện chia hết cho 6

Một số tự nhiên chia hết cho 6 khi số đó chia hết cho cả 2 và 3.

-

Điều kiện chia hết cho 12.

Một số tự nhiên chia hết cho 12 khi số đó chia hết cho cả 3 và 4.
-

Điều kiện chia hết cho 15.

Một số tự nhiên chia hết cho 15 khi số đó chia hết cho cả 3 và 5.


11

-

Điều kiện chia hết cho 18.

Một số tự nhiên chia hết cho 18 khi số đó chia hết cho cả 3 và 6.
-

Điều kiện chia hết cho 24.

Một số tự nhiên chia hết cho 24 khi số đó chia hết cho cả 3 và 8.
-

Điều kiện chia hết cho 36.

Một số tự nhiên chia hết cho 36 khi số đó chia hết cho cả 4 và 9.
-

Điều kiện chia hết cho 45.

Một số tự nhiên chia hết cho 45 khi số đó chia hết cho cả 5 và 9.
-

Điều kiện chia hết cho 99.

Một số tự nhiên chia hết cho 99 khi số đó chia hết cho 9 và 11.
1.1.2. Phép chia với dư.
Định lí: Với bất kì hai số tự nhiên a, b, b ≠ 0. Tồn tại duy nhất các
số tự nhiên q và r sao cho:
= +,0≤

≤

Chứng minh
a) Tồn tại. Xét tập hợp:
M = {x ∈ N | bx ≤ a}
Rõ ràng M là tập con của N có các tính chất:
M ≠ ∅ vì 0 ∈ M
M bị chặn trên vì rõ ràng x ≤ a với mọi x ∈ M.
Vậy M có số lớn nhất chẳng hạn đó là q, điều này có nghĩa là q
∈ M nhưng q + 1 không thuộc M hay: bq ≤ a ≤ b(q + 1)0 = bq + b
Đặt r = a − bq thì ta có:
a = bq + r và 0 ≤ r ≤ b.
b) Duy nhất: Giả sử có hai cặp số q, r và q , r mà:
a = bq + r 0 ≤ r ≤ b
a = bq + r 0 ≤ r ≤ b
Từ đó suy ra bq + r = bq + r

Nếu q ≠ q thì ta có thể giả sử q > q hay q = q + m


12

Với m ∈ N, m ≠ 0. Thay vào đẳng thức trên, ta được:
bq + bm + r = bq + r hay r = bm + r ≥ b. Mâu thuẫn.
Vậy q = q và do đó cũng có r = r
Định nghĩa: Đẳng thức a = bq + r, 0 ≤ r ≤ b gọi là phép chia có dư của
a cho b, q gọi là số thương hụt, r gọi là số dư của phép chia a cho b.

Chú ý: Phép chia hết là trường hợp đặc biệt của phép chia có
dư khi số dư r = 0.
Ví dụ: phép chia 7 cho 2 là phép chia có dư: 7 chia cho 2
được 3 (dư 1). Trong một phép chia có dư thì:
+ Số dư bao giờ cũng nhỏ hơn số chia
+ Trong phép chia có số chia là a (a >1) thì số dư lớn
nhất là a − 1. + Số dư nhỏ nhất trong phép chia có dư là 1
+ Số bị chia ln lớn hơn số chia
+ Muốn tìm số bị chia = (Thương x Số chia) + Số dư
+Muốn tìm số chia = (Số bị chia − Số dư) : Thương.

1.2. Ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất.
1.2.1. Ước chung lớn nhất.
1.2.1.1. Ước và bội.
1. Cho hai số tự nhiên a và b, b ≠ 0. Khi a chia hết cho b, ta cịn
nói a là bội của b, hay b là ước của a.
2. Ước chung và bội chung.
Nếu số tự nhiên b là ước đồng thời của các số a , a , … , a thì b gọi là một

ước chung của a , a , … , a .
Nếu số tự nhiên a là bội đồng thời của các số b , b , … , b thì a
gọi là một

bội chung của b , b , … , b .
1.2.1.2. Ước chung lớn nhất.
Giả sử a , a , … , a là những số tự nhiên khơng đồng thời bằng 0. Khi đó tập
hợp M các ước chung của a ,a , … , a khác rỗng và bị chặn trên. Thật vậy, vì ta


13

ln có 1 ∈ M và tập hợp M bị chặn trên bởi số khác 0 nhỏ nhất trong các số
a , a , … , a . Do đó tồn tại số lớn nhất trong các ước chung của a , a , … , a .

1. Định nghĩa: Số lớn nhất d trong các ước chung của a , a , … , a
gọi là ước chung lớn nhất của các số đó và kí hiệu là:
d = ƯCLN (a , a , … , a )
2. Ví dụ: a = 16, a = 15
Tập hợp các ước chung của a , a gồm: 1,3. Vậy
3 = ƯCLN (6,15)
a = 60, a = 42
Tập M các ước chung của a , a là M = {1, 2, 3, 6}
3. Số nguyên tố cùng nhau và số nguyên tố sánh đôi.
-

Nếu ƯCLN (a , a , … , a ) = 1 thì ta nói rằng các số a , a , … , a

nguyên tố cùng nhau.
-

Nếu ƯCLN (a , a ) = 1 với mọi chỉ số i, j = 1, 2,…,n ; i ≠ j thì ta nói

a , a , … , a là nguyên tố sánh đơi hay đơi một ngun tố
cùng nhau. Ví dụ: 3 và 4 là nguyên tố cùng nhau
2,6,5 nguyên tố cùng nhau nhưng không nguyên
tố sánh đôi 3,5,7 nguyên tố sánh đôi.
Chú ý: Rõ ràng các nguyên tố sánh đơi thì ngun tố cùng nhau, nhưng
ngược lại có những nguyên tố cùng nhau nhưng không nguyên tố sánh đôi.

1.2.1.3. Các tính chất của ƯCLN.
a) Tính chất 1: Nếu b\a thì ƯCLN(a, b) = b
Thật vậy theo giả thiết thì b là một ước chung của a và b và rõ ràng mọi
ước chung của a và b đều không vượt quá b. Vậy b là ƯCLN của a và b.

b) Tính chất 2: Nếu a = bq + r thì ƯCLN(a, b) = ƯCLN(b, r)