Tập só hữu tỉ và mối liên hệ với một số nội dung môn toán ở tiểu học

1

TRƢỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƢƠNG
KHOA GIÁO DỤC TIỂU HỌC VÀ MẦM NON

LƢU THỊ THU HẰNG

TẬP SỐ HỮU TỈ VÀ MỐI LIÊN HỆ VỚI MỘT SỐ NỘI
DUNG MƠN TỐN Ở TIỂU HỌC

ĐỀ CƢƠNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Ngành: Giáo dục Tiểu học

Ph

Thọ


i

TRƢỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƢƠNG
KHOA GIÁO DỤC TIỂU HỌC VÀ MẦM NON

LƢU THỊ THU HẰNG

TẬP SỐ HỮU TỈ VÀ MỐI LIÊN HỆ VỚI MỘT SỐ NỘI
DUNG MƠN TỐN Ở TIỂU HỌC

ĐỀ CƢƠNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Ngành: Giáo dục Tiểu học

NGƢỜI HƢỚNG DẪN: T.S. NGUYỄN TIẾN MẠNH
Ph

Thọ


ii

LỜI CAM ĐOAN
Kết quả nghiên cứu khóa luận: “Tập số hữu tỉ và mối liên hệ với một số
nội dung mơn Tốn ở Tiểu học” là thành quả của việc tự tìm hiểu, tự nghiên cứu
dƣới sự chỉ bảo của giáo viên hƣớng dẫn và tham khảo những tài liệu có liên
quan.
Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tôi, không trùng
với đề tài của tác giả nào khác. Tất cả các số liệu và kết quả nghiên cứu trong
khóa luận này là trung thực.

Phú thọ, ngày...tháng...năm 2020
Ngƣời viết
LƣuThị Thu Hằng


iii

LỜI CẢM ƠN
Sau thời gian nghiên cứu và thực hiện, đến nay khố luận của em đã hồn
thành. Để hồn thành đƣợc đề tài này đầu tiên em xin bày tỏ lịng kính trọng và
biết ơn chân thành, sâu sắc tới thầy giáo TS. Nguyễn Tiến Mạnh – ngƣời đã
tận tình hƣớng dẫn em hồn thành khóa luận này.
Em xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu Trƣờng Đại học Hùng Vƣơng,

ban lãnh đạo và các thầy cô giáo trong Khoa Giáo dục Tiểu học và Mầm non đã
tạo điều kiện và giúp đỡ em thực hiện việc nghiên cứu.
Cuối cùng, em xin kính chúc các q thầy cơ cùng tồn thể các bạn ln
mạnh khỏe, hạnh phúc, hồn thành thắng lợi các nhiệm vụ đƣợc giao và luôn
thành công trong cuộc sống.
Mặc dù đã cố gắng học tập, nghiên cứu, song năng lực có hạn, do đó trong
q trình thực hiện khóa luận khơng tránh khỏi những thiếu sót. Em rất mong
nhận đƣợc ý kiến đóng góp của thầy cơ để khóa luận này ngày càng hồn thiện
hơn.
Xin chân thành cảm ơn!
Phú thọ, tháng năm 2020
Sinh viên

Lƣu Thị Thu Hằng


iv

MỤC LỤC
PHẦN MỞ ĐẦU ................................................................................................... 1
1. Tính cấp thiết của đề tài ..................................................................................... 1
2. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn ............................................................................ 4
2.1. Ý nghĩa khoa học............................................................................................. 4
2.2. Ý nghĩa thực tiễn ............................................................................................. 4
3. Mục tiêu nghiên cứu ........................................................................................... 4
4. Nhiệm vụ nghiên cứu ......................................................................................... 4
5. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu ...................................................................... 5
5.1. Đối tƣợng nghiên cứu ...................................................................................... 5
5.2. Phạm vi nghiên cứu ......................................................................................... 5
6. Phƣơng pháp nghiên cứu .................................................................................... 5

7. Cấu trúc khóa luận .............................................................................................. 5
PHẦN NỘI DUNG
CHƢƠNG 1: TẬP SỐ HỮU TỈ
1.1. Tổng quan về số hữu tỉ....................................................................................6
1.2. Xây dựng tập số hữu tỉ từ tập số nguyên, quan hệ thứ tự............................... 7
1.2.1. Xây dựng tập số hữu tỉ từ tập số nguyên..................................................... 7
1.2.2. Quan hệ thứ tự..............................................................................................8
1.3. Xây dựng tập số hữu tỉ không âm từ tập số tự nhiên, quan hệ thứ tự.............9
1.3.1. Xây dựng tập số hữu tỉ không âm từ tập số tự nhiên...................................9
1.3.2. Quan hệ thứ tự............................................................................................11
1.4. Xây dựng tập số hữu tỉ từ tập số hữu tỉ không âm........................................12
1.5. Các phép toán trên tập số hữu tỉ....................................................................19
1.5.1. Phép cộng...................................................................................................19


v

1.5.2. Phép trừ......................................................................................................20
1.5.3. Phép nhân...................................................................................................20
1.5.4. Phép chia....................................................................................................20
1.5.5. Tạo sao khi cộng/ trừ hai phân số ta cộng tử số với nhau và giữ nguyên
mẫu số……...…………………………………………………………………...23
1.5.6. Tại sao khi cộng hai phân số không cùng mẫu ta phải quy đồng………..25
1.5.7. Tại sao khi nhân phân số ta nhân tử số với tử số và mẫu số với mẫu số. .27
1.5.8. Tại sao khi chia phân số ra nhân phân số thứ nhất với phân số thứ hai
đảo ngƣợc……………………………………………………………….……...29
1.6. Biểu diễn số hữu tỉ dƣới dạng thập phân......................................................30
1.6.1. Phân số thập phân...................................................................................... 31
1.6.2. Số thập phân hữu hạn, vơ hạn tuần hồn...................................................31
CHƢƠNG KHAI THÁC MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ SỐ HỮU TỈ

2.1. Khai thác dạng tốn về khái niệm và tính chất của số hữu tỉ........................35
2.1.1. Dạng toán về khái niệm số hữu tỉ.............................................................. 35
2.1.2. Khai thác các dạng tốn về tính chất số hữu tỉ.......................................... 37
2.2. Khai thác dạng toán về quan hệ thứ tự..........................................................41
2.2.1. So sánh hai phân số cùng mẫu số...............................................................41
2.2.2. So sánh hai phân số có cùng tử số............................................................. 42
2.2.3. So sánh hai phân số có tử và mẫu bất kì....................................................43
2.2.4. Viết số hữu tỉ xen giữa...............................................................................44
2.3. Khai thác dạng toán về biểu diễn số hữu tỉ………………………………...47
2.4. Khai thác dạng toán về số thập phân………………………………………48
2.5. Khai thác dạng toán về phân số ở Tiểu học..................................................51


vi

2.5.1. Khai thác dạng toán về khái niệm phân số................................................ 51
2.5.2. Khai thác dạng toán về so sánh phân số.................................................... 52
2.5.3. Các bài toán về cấu tạo phân số...........................................................................................55
2.5.4. Bài tốn có lời văn.......................................................................................................................62
CHƢƠNG 3: MỐI LIÊN HỆ VỚI NỘI DUNG DẠY HỌC PHÂN SỐ
Ở TIỂU HỌC
3.1. Mục tiêu dạy học phân số ở Tiểu học………………..............………………66
3.2. Nội dung dạy học phân số ở Tiểu học…………………............…………....66
3.3. Mối liên hệ với nội dung dạy học phân số……………........................…….....68
3.3.1. Các nội dung cơ bản…………………………….....................................……....68
3.3.2. Các cách tiếp cận phân số…………………………………………..……70
3.3.3. Mối liên hệ giữa đọc, viết phân số và hình thành khái niệm phân
số….............................................................................................................................................................….74
3.4. Rút gọn phân số…………………………………………………………....77
3.5. So sánh phân số………………………………………………….....................78

3.6. Mối liên hệ với nội dung dạy học các phép toán phân số……………..….83
3.7. Mối liên hệ với nội dung dạy học giải toán phân số……………............…....87
3.8. Một số vƣớng mắc của học sinh trong quá trình học, làm bài liên quan
đến phân số…………………………………………………………………......90


1

PHẦN MỞ ĐẦU
1.Tính cấp thiết của đề tài
Giáo dục Tiểu học là bậc học quan trọng đối với sự phát triển của trẻ em, là
thời gian hình thành nhân cách và năng lực trí tuệ cho trẻ. Bậc học tiểu học là
bậc đặt ra nền móng cung cấp những tri thức khoa học ban đầu về tự nhiên xã
hội, trang bị các phƣơng pháp kĩ năng ban đầu về hoạt động nhận thức và hoạt
động thực tiễn. Chất lƣợng giáo dục phụ thuộc rất nhiều vào kết quả đào tạo ở
Tiểu học. Mỗi mơn ở Tiểu học đều góp phần vào việc hình thành và phát triển
những cơ sở ban đầu của nhân cách con ngƣời Việt Nam.
Mục tiêu của Giáo dục tiểu học là: “Mục tiêu của giáo dục tiểu học nhằm
giúp học sinh hình thành những cơ sở ban đầu cho sự phát triển đúng đắn và
lâu dài về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mỹ và các kỹ năng cơ bản để học sinh
học tiếp cấp trung học cơ sở.” [Luật Giáo dục]. Chƣơng trình giáo dục phổ
thơng 2018 đề ra mục tiêu “Chương trình giáo dục tiểu học giúp học sinh hình
thành và phát triển những yếu tố căn bản đặt nền móng cho sự phát triển hài
hòa về thể chất và tinh thần, phẩm chất và năng lực; định hướng chính vào giáo
dục về giá trị bản thân, gia đình, cộng đồng và những thói quen, nề nếp cần
thiết trong học tập và sinh hoạt”. Mỗi mơn học, hoạt động trong CTGDPT 2018
đều có mục tiêu rõ ràng nhằm hƣớng tới mục tiêu toàn cấp học. Đối với mơn
Tốn ở tiểu học, thời lƣợng dạy học đứng thứ hai sau môn học Tiếng Việt. Mơn
Tốn tiểu học đƣợc xác định ở giai đoạn giáo dục cơ bản với mục tiêu:
Thứ nhất: Góp phần hình thành và phát triển năng lực toán học với yêu cầu cần

đạt: thực hiện đƣợc các thao tác tƣ duy ở mức độ đơn giản; nêu và trả lời đƣợc câu
hỏi khi lập luận, giải quyết vấn đề đơn giản; lựa chọn đƣợc các phép tốn và cơng
thức số học để trình bày, diễn đạt (nói hoặc viết) đƣợc các nội dung, ý tƣởng, cách
thức giải quyết vấn đề; sử dụng đƣợc ngơn ngữ tốn học kết hợp với ngơn ngữ
thơng thƣờng, động tác hình thể để biểu đạt các nội dung toán


2

học ở những tình huống đơn giản; sử dụng đƣợc các cơng cụ, phƣơng tiện học
tốn đơn giản để thực hiện các nhiệm vụ học tập toán đơn giản.
Thứ hai: Có những kiến thức và kĩ năng tốn học cơ bản ban đầu, thiết yếu
về: Số và phép tính: Số tự nhiên, phân số, số thập phân và các phép tính trên
những tập hợp số đó. Hình học và Đo lƣờng: Quan sát, nhận biết, mơ tả hình
dạng và đặc điểm (ở mức độ trực quan) của một số hình phẳng và hình khối
trong thực tiễn; tạo lập một số mơ hình hình học đơn giản; tính tốn một số đại
lƣợng hình học; phát triển trí tƣởng tƣợng khơng gian; giải quyết một số vấn đề
thực tiễn đơn giản gắn với Hình học và Đo lƣờng (với các đại lƣợng đo thông
dụng). Thống kê và Xác suất: Một số yếu tố thống kê và xác suất đơn giản; giải
quyết một số vấn đề thực tiễn đơn giản gắn với một số yếu tố thống kê và xác
suất.
Thứ ba: Cùng với các môn học và hoạt động giáo dục khác nhƣ: Đạo đức,
Tự nhiên và xã hội, Hoạt động trải nghiệm,… góp phần giúp học sinh có những
hiểu biết ban đầu về một số nghề nghiệp trong xã hội.
Mục tiêu là rất rõ ràng, CTGDPT mới 2018 cũng đã định hƣớng rất cụ thể về
phƣơng pháp dạy học, kiểm tra đánh giá kết quả học tập mơn học song Tốn là
mơn học trừu tƣợng, khó khăn với nhận thức của nhiều học sinh tiểu học.
Toán tiểu học xoay quanh các trục nội dung: số và phép tính, hình học và đo
lƣờng, xác suất thống kê. Trong đó số và phép tính chiếm tỷ trọng dạy lớn nhất
trong các trục nội dung đó. Phần số, ngồi số tự nhiên đƣợc dạy chủ yếu thì số

hữu tỉ cũng là phần kiến thức, kĩ năng quan trọng, tuy chiếm tỷ lệ dạy ít hơn số
tự nhiên nhƣng đây là phần gây khó khăn nhiều nhất cho tƣ duy, nhận thức, kĩ
năng tính tốn của học sinh tiểu học. Mặt khác Toán học ngày càng có nhiều
ứng dụng trong cuộc sống, những kiến thức và kĩ năng toán học cơ bản đã giúp
con ngƣời giải quyết các vấn đề trong thực tế cuộc sống một cách có hệ thống
và chính xác, góp phần thúc đẩy xã hội phát triển. Một trong những loại số quen
thuộc trong Toán học đƣợc trang bị cho HS ngay từ bậc Tiểu học là số hữu tỉ.
Ngày nay, số hữu tỉ đƣợc sử dụng mọi lúc, mọi nơi trong đời sống xã hội. Việc


3

dạy cho học sinh tiểu học nắm đƣợc các kiến thức liên quan đến số hữu tỉ một
cách vững vàng là vơ cùng cần thiết.
Có khá nhiều nghiên cứu của các nhà khoa học về tập số hữu tỉ, tuy nhiên
nghiên cứu mối liên hệ có tập số hữu tỉ với các nội dung dạy học có liên quan ở
tiểu học cũng khơng có nhiều. Nhƣng có thể kể đến nghiên cứu rất hay về sự
chuyển đổi sƣ phạm của khái niệm phân số ở bậc tiểu học của Dƣơng Hữu
Tòng, đại học Cần Thơ. Tại nghiên cứu này, tác giả đã hệ thống hóa những vấn
đề có liên quan đến nội dung số hữu tỉ trong chƣơng trình tiểu học. Tác giả nêu
“Trong mơn Tốn ở nhà trường tiểu học, khái niệm phân số được GV truyền thụ
từ những gì SGK, sách giáo viên (SGV) ghi chép mà khơng nhắc đến đối tượng
này xuất hiện như thế nào hay có ý nghĩa gì trong lịch sử hình thành của nó.
Phân số có vị trí, vai trị quan trọng trong các mạch kiến thức tốn ở tiểu học,
đồng thời nó là cơ sở để mở rộng các loại số khác: hỗn số, số thập phân, số hữu
tỉ,…Do đó, nhiệm vụ đặt ra đối với GV tiểu học là cần làm sao cho HS có những
hiểu biết đúng đắn về khái niệm phân số, đặc biệt là hình thành khái niệm ban
đầu về phân số. Như vậy, nghiên cứu sự chuyển đổi sư phạm trong dạy học khái
niệm phân số cho phép làm sáng tỏ khái niệm này ở các cấp độ tri thức khác
nhau: tri thức bác học, tri thức cần giảng dạy, tri thức soạn giảng, tri thức được

dạy. Tuy nhiên, chúng tơi chỉ trình bày ở đây sự chuyển đổi sư phạm khái niệm
phân số với hai cấp độ: tri thức bác học và tri thức cần giảng dạy.”[ Tạp chí
Khoa học 2012:22b 80-88] [10]
Thực tế cho thấy việc dạy học về phân số và số thập phân cũng gặp khó khăn
cho cả GV và HS. Do vai trị khoa học của số hữu tỉ tỏng tốn học và trong dạy
học mơn Tốn, chúng tơi chọn đề tài “ Tập số hữu tỉ và mối liên hệ với một số
nội dung mơn tốn ở Tiểu học” làm khóa luận tốt nghiệp của mình.


4

2. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
2.1. Ý nghĩa khoa học
Làm rõ thêm cơ sở toán học của tập số hữu tỉ thơng qua việc phân tích, khai
thác những vấn đề lí thuyết, bài tập và mối liên hệ với một số nội dung mơn
Tốn ở Tiểu học.
2.2. Ý nghĩa thực tiễn
Trên cơ sở phân tích, làm rõ mối liên hệ giữa cơ sở toán học của tập số hữu tỉ
với một số nội dung mơn Tốn ở Tiểu học, khóa luận có thể đƣợc sử dụng nhƣ
một tài liệu tham khảo hữu ích dành cho giáo viên, sinh viên ngành Giáo dục
Tiểu học.
3. Mục tiêu nghiên cứu
Phân tích, khai thác những kiến thức cơ sở, các dạng toán về số hữu tỉ và liên
hệ với việc dạy học phân số trong mơn Tốn ở Tiểu học.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Tìm hiểu tập số hữu tỉ qua cách xây dựng tập số từ tập số nguyên, tập số
hữu tỉ không âm.
- Nghiên cứu quan hệ thứ tự trên tập số hữu tỉ cùng các phép toán trong tập
số hữu tỉ.
- Phân tích, biểu diễn số hữu tỉ dƣới dạng số thập phân.

- Khai thác những bài toán liên quan đến: khái niệm và tính chất của số hữu
tỉ, quan hệ thứ tự, biểu diễn số hữu tỉ.
- Phân tích làm rõ sự thể hiện cơ sở tốn học của tập số hữu tỉ đối với
những nội dung liên quan trong mơn Tốn ở Tiểu học: phân số.


5

5. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
5.1. Đối tượng nghiên cứu
Tập số hữu tỉ (khái niệm, quan hệ thứ tự, các phép tốn, biểu diễn).
5.2. Phạm vi nghiên cứu
Khóa luận giới hạn nghiên cứu các những tính chất cơ bản của quan hệ thứ
tự, biểu diễn số hữu tỉ dƣới dạng thập phân, các phép toán trên tập số hữu tỉ mà
chúng liên quan trực tiếp đến chƣơng trình mơn Tốn ở Tiểu học.
6. Phƣơng pháp nghiên cứu
Phân tích, tổng hợp các tài liệu có liên quan đến vấn đề nghiên cứu. Hệ thống
hóa các tài liệu liên quan đến tập số hữu tỉ, chƣơng trình giáo dục tiểu học. Làm
sáng tỏ các thuật ngữ liên quan đến khóa luận. Xây dựng cơ sở khoa học về mặt
lí luận cho khóa luận
Tơi tiến hành nghiên cứu và tìm hiểu về: cơ sở toán học của tập số hữu tỉ
(khái niệm, quan hệ thứ tự, biểu diễn, các phép toán); nội dung chƣơng trình
mơn tốn ở tiểu học; một số tài liệu mơn tốn ở tiểu học (sách giáo khoa, sách
bài tập,…) Tiếp theo, tơi phân tích, khai thác những vấn đề lí thuyết và bài tâp
liên quan đến số hữu tỉ để làm rõ hơn cơ sở toán học, lịch sử toán học của tập số
hữu tỉ, trên cơ sở đó chỉ ra mối liên hệ, sự thể hiện của những vấn đề cơ sở toán
học này trong nội dung mơn Tốn ở Tiểu học.
7. Cấu tr c khóa luận
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, khóa luận
gồm 3 chƣơng.

Chƣơng 1: Tập số hữu tỉ
Chƣơng 2: Khai thác một số dạng toán về số hữu tỉ


6

Chƣơng 3: Mối liên hệ với nội dung dạy học phân số trong mơn Tốn ở Tiểu
học


7

PHẦN NỘI DUNG
CHƢƠNG 1: TẬP SỐ HỮU TỈ
1.1. Tổng quan về số hữu tỉ
Một trong những quan điểm xây dựng chƣơng trình và sách giáo khoa Tốn
tiểu học ở Việt Nam thời gian gần đây là tiếp cận đƣợc xu thế hiện đại của toán
học thế giới theo phƣơng thức phù hợp với thực tế giáo dục của đất nƣớc. Các
kiến thức cơ bản của tốn học đƣợc trình bày dƣới những quan điểm của toán
học cao cấp, toán học hiện đại.
Bài luận này cho ta thiểu thêm về một tập số đã mở ra một kỉ nguyên mới
cho thế giới nói chung cũng nhƣ cho lĩnh vực tốn học nói riêng đó là số hữu tỉ.
Trong tốn học, số hữu tỉ x là các số có thể biểu diễn dƣới dạng phân số
Trong đó a và b là các số nguyên với
Một cách tổng quát:

. Tập hợp số hữu tỉ ký hiệu là Q

{

}

Tập hợp các số hữu tỉ là một tập hợp không đếm đƣợc.
Trong R là tập hợp số thực, nếu số đó khơng phải là số hữu tỉ đƣợc gọi là số
vô tỉ.
Tập hợp các số hữu tỉ khơng đồng nhất hồn tồn với tập hợp các phân số
Vì mỗi một số hữu tỉ có thể đƣợc biểu diễn dƣới dạng nhiều phân số khác
nhau.
Ví dụ nhƣ:

Các số trên đều biểu diễn cùng một số hữu tỉ.


8

1.2. Xây dựng tập số hữu tỉ từ tập số nguyên quan hệ thứ tự.
1.2.1. Xây dựng tập số hữu tỉ từ tập số nguyên
Trong toán học hiện đại, ngƣời ta xây dựng tập hợp các số hữu tỉ nhƣ trƣờng
các thƣơng của Z
Xét tập tích Decaters:

Ví dụ:
Tập A = {1,2}, B = {p, q, r} thì A x B = {(1,p), (1,q), (1,r), (2,p), (2,q),
(2,r)} Trên công thức trên, xác định một quan hệ tƣơng đƣơng

Lớp tƣơng đƣơng của cặp

đƣợc kí hiệu là

và gọi là thƣơng của a cho

b:
Tập các lớp này (tập thƣơng) đƣợc gọi là tập các số hữu tỉ và kí hiệu là Q.
Q(

gọi là phân số với a là tử số, b là mẫu số)

Ví dụ 1.2.1.
̅̅̅̅̅

̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅

̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
{(̅̅̅̅̅
)
(̅̅̅̅̅̅
) ̅̅̅̅̅̅

()

̅̅̅̅̅̅̅̅

̅̅̅̅̅̅̅̅

} {()

}

9

1.2.2. Quan hệ thứ tự
,
Cho

Q, ta nói:

a)

nhỏ hơn

, kí hiệu

nếu

b)

nhỏ hơn hoặc bằng , kí hiệu

nếu

c)

lớn hơn , kí hiệu

là một số hữu tỉ âm

d)

lớn hơn hoặc bằng , kí hiệu

, nếu

nếu

Các quan hệ ta
trong đó

là một số hữu tỉ dƣơng
hoặc

hoặc

gọi chung là các bất đẳng thức,

và

ta gọi là các bất đẳng thức nghiêm ngặt hay bất đẳng

thức chặt.

Nếu ad

bc

Chứng minh: Ta dễ dàng kiểm tra đƣợc quan hệ thứ tự khơng phụ thuộc đại
diện.
Ta kiểm tra 3 tính chất
(i) Phản xạ:

vì ab

(ii) Phản xứng:

ab

=> ad

cb (1)

=> ad

cb (2)

Từ (1) (2) suy ra: ad = cb
(iii) Bắc cầu:
=> ad

bc


10

=> cf de
bcde

=> adcf
=> af

be

Ví dụ 1.2.2.1.

Ví dụ 1.2.2.2. Cho 2 số :

=

;

=

Hãy so sánh α và β:
Ta có:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

Vậy
Nhận xét: Các phép tốn trên khơng phụ thuộc đại diện.
Chẳng hạn:
Nếu

thì:

hay

=

1.3. Xây dựng tập số hữu tỉ không âm từ tập số tự nhiên, quan hệ thứ tự
1.3.1. Xây dựng tập số hữu tỉ không âm từ tập số tự nhiên
Cũng nhƣ xây dựng tập số hữu tỉ từ tập số nguyên, ta xây dụng tập số hữu tỉ
không âm từ tập số tự nhiên N

Ví dụ:


11

Tập A = {1,2}, B = {p, q, r} thì A x B = {(1,p), (1,q), (1,r), (2,p), (2,q), (2,r)}
Trên cơng thức trên, xác định một quan hệ tƣơng đƣơng

Vì tập N tập các số tự nhiên lớn hơn 0, nên tập các lớp này (tập thƣơng) đƣợc

gọi là tập các số hữu tỷ khơng âm và kí hiệu là . Trên tập N x N * định nghĩa các
phép tốn:

Khi đó:
Nếu:
Thì

và
và

Do đó các phép tốn trên có thể đƣợc chuyển sang thành các phép toán trên
tập các lớp tƣơng đƣơng nói trên, nghĩa là tập Q.
Cách xây dựng tập số hữu tỉ không âm này mang phong cách kiến thiết của
đại số hiện đại. Nhƣng nếu không biết trƣớc, thậm chí hiểu sâu sắc bản chất của
các phân số mà nhân loại đã sáng tạo ra bằng trực giác thì liệu có tạo ra đƣợc
cách xƣng dựng hiện đại nhƣ vậy. Sau đây cùng tìm hiểu về quá trình nhận ra
phân số của nhân loại cũng nhƣ kiến tạo phân số trong tốn học phổ thơng.
Bắt đầu từ một đoạn thẳng AB có độ dài là 1 đơn vị độ dài. Dựa trên tính liên
tục của đƣờng thẳng, ngƣời ta có thể phân chia đoạn thẳng này ra thành n phần
bằng nhau, và bảo rằng mỗi đoạn nhỏ đó có độ dài là
đơn vị đo độ dài, đoạn
thẳng CD tạo bởi m. các đoạn nhỏ đó sẽ có độ dài là m.
=
đơn vị độ dài.

12

Tiếp tục, chia AB thành nq phần bằng nhau, thì CD lúc này sẽ gồm mq đoạn
nhỏ. Do đó CD phải có độ dài là mq.
=
. Từ đó, ngƣời ta nhận ra đƣợc
=
, khái quát xa hơn là = khi và chỉ khi ad = bc
Ví dụ 1.3.1.

1.3.2. Quan hệ thứ tự
Cho
,

Q, ta nói:

e)

nhỏ hơn

, kí hiệu

f)

nhỏ hơn hoặc bằng , kí hiệu

nếu

g)

lớn hơn , kí hiệu

là một số hữu tỉ âm

h)

lớn hơn hoặc bằng , kí hiệu

Các quan hệ ta
trong đó
và

, nếu

là một số hữu tỉ dƣơng

nếu

hoặc

hoặc

gọi chung là các bất đẳng thức,
ta gọi là các bất đẳng thức nghiêm ngặt hay bất đẳng

thức chặt.
nếu ad

nếu

bc


13

Chứng minh:
Hoàn toàn tƣơng tự nhƣ xác định quan hệ thứ tự trên tập sỗ hữu tỉ xuất phát
từ tập số nguyên, ta dễ kiểm tra đƣợc quan hệ thứ tự khơng phụ thuộc vào đại
diện
Ta kiểm tra 3 tính chất
(i) Phản xạ:
(ii) Phản xứng:

vì ab ab
=> ad

cb (1)

=> ad

cb (2)

Từ (1) (2) suy ra: ad = cb
(iii) Bắc cầu:
=> ad
=> cf
=> adcf
=> af

b
c
d
e

bcde
be

1.4. Xây dựng tập số hữu tỉ từ tập số hữu tỉ không âm
Ta xây dụng tập số hữu tỉ từ tập số hữu tỉ không âm :
Q+ Q+ =
Trên công thức trên, xác định một quan hệ tƣơng đƣơng:
(a, b)

(c, d)  a + d = b + c

Trong toán học và đời sống hàng ngày ta thƣờng gặp những câu hỏi nhƣ:
Tìm thƣơng của phép chia sau đâu:
a) 87 : 5;