BÀI GIẢNG SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG

Chương 1
SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
Nội dung
•
Định nghĩa
•
Biểu diễn số phức trên hệ tọa độ
•
Các dạng biểu diễn số phức
•
Các phép tính
•
Các tính chất
•
Các dạng biểu diễn số phức
•
Ứng dụng số phức để phân giải mạch điện ở trạng thái thường trực
Định nghĩa số phức
•
i,j: đơn vị ảo (i
2
=j
2
=-1)
•
a: phần thực, a= Re[z]
•
b : phần ảo, b= Im[z]
•
a=0 z= jb: số thuần ảo⇒
•

b=0 z=a: số thực⇒
•
z*= a – jb: số liên hợp phức
•
z.z* = |z|
2
=a
2
+b
2
Biểu diễn số phức trên hệ tọa độ
•
Toạ độ Descartes và cực
•
Toạ độ cực
)2(
tan
zar
1
22





=
=+=
−
a
b

b
ϕ
(3)
sin.zr.sin =b
cos.zr.cos =a





=
=
ϕϕ
ϕϕ
•
Công thức liên hệ qua lại từ dạng đại số sang hệ toạ độ cực
Công thức Euler
(5)
2
e
sin
2
e
cos

sincos
sincos

j
j








−
=
+
=
⇒





−=
+=
−
−
−
j
e
e
je
je
j
j
j

j
ϕϕ
ϕϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕϕ
ϕϕ
Các dạng biểu diễn số phức
•
Dạng lượng giác
•
Dạng mũ và cực
–
Dạng mũ
–
Dạng cực
•
Kí hiệu:
(4) )sin.(cos
)sin.(cossin.cos.
ϕϕ
ϕϕϕϕ
jz
jrjrrz
+=
+=+=
(6) .
)sin.(cos

ϕ
ϕϕ
j
ez
jz
jbaz
=
+=
+=
(7)
ϕ
∠= zz
ϕ
∠=)arg(z
Ví dụ1
Biểu diễn các số phức sau trên hệ tọa độ vuông góc và chuyển chúng sang dạng cực.
•
i) 1 – j
•
ii) – 3 + 2j
4
2
41
1
tantan
2)1(1
11
2222
π
π

ϕ
−∠⇒





−=
−
==
=−+=+=
−−
a
b
baz
0
0000101
2222
3.14613
3.1461807.33180
3
2
tan180tan
13)2()3(
∠⇒






=+−≈+
−
=+






=
=+−=+=
−−
a
b
baz
ϕ
Ví dụ2
Chuyển các số phức sau sang dạng lượng giác và dạng đại số (hệ Descartes)
•
i) 2 ∠(0)
•
ii) 3∠(π)
•
iii) 1∠(π /2)
20sin0cos2
sincos
=+=
+=
)j.(
)j.(zz

ϕϕ
202
00sin2sin
20cos.2cos
=+=+⇒





==
==
jjba
zb=
.za=
ϕ
ϕ
3sincos3
sincos
−=+=
+=
)j.(
)j.(zz
ππ
ϕϕ
303
0180sin3sin
3180cos.3cos
−=+−=+⇒






==
−==
jjba
zb=
.za=
ϕ
ϕ
j)
π
j
π
.(
)j.(zz
=+=
+=
2
sin
2
cos1
sincos
ϕϕ
jjjba
zb=
.za=
=+=+⇒






==
==
10
190sin1sin
090cos.1cos
ϕ
ϕ
Các phép tính
Phép cộng Phép trừ
z = z
1
+ z
2
= (a
1
+ a
2
) + j (b
1
+ b
2
) z = z
1
- z
2
= (a

1
– a
2
) + j(b
1
– b
2
)
Phép chiaPhép nhân
Với:
ϕ
ϕ
j
errjbaz .=∠=+=
1
.
111111
ϕ
ϕ
j
errjbaz =∠=+=
2
222222
.
ϕ
ϕ
j
errjbaz =∠=+=
Các phép tính
Phép lũy thừa Phép khai căn

Một số phép tính đặc biệt
z + z* = a + jb + a - jb = 2a = 2.Re[z]
z.z
*
= z
*
.z =|z|
2
22*
*
.
1
ba
jba
zz
z
z
+
−
==
j
j
j
j
−==
2
1
Các tính chất
Ví dụ3
Ví dụ4

Ứng dụng phân tích mạch điện
Phương pháp 1
Phương pháp 2
Trạng thái mạch điện
Quá trình điều hòa Quá trình quá độ
Quá trình xác lập điều hòa t ∞
Biểu diễn đại lượng điều hòa
Biểu diễn đại lượng điều hòa
Ví dụ
Tìm biên độ phức các hàm sau:
•
u(t)=5cos(10t+90
0
) (V)
•
i(t)=3sin(20t-30
0
) (A)
)(303
)(905
0
0
AII
VUU
m
m


−∠=∠=
∠=∠=

•
•
ϕ
ϕ
Các tính chất
Nhân với hằng số Đạo hàm
Tích phân Công trừ
Định luật Kitchoff
Quan hệ dòng-áp trên RLC ở trạng thái xác lập điều hòa
Ứng dụng phân tích mạch điện
Phương pháp 1
Đối với mạch điện chỉ có 1 kích nguồn thích tác động
•
Đọc kỹ yêu cầu bài toán, phân tích các thông số và sơ đồ mạch điện
•
Áp dụng định luật Kirchoff viết phương trình mạch điện
•
Áp dụng cách biểu diễn đại lượng điều hòa phức hóa phương trình mạch điện
•
Giải phương trình phức hóa, suy ra kết quả
Ví dụ7
Cho mạch điện gồm R, L, và C mắc nối tiếp như hình bên dưới. Xác định dòng điện
i(t) khi mạch ở trạng thái thường trực bằng phương pháp 1.
•
Khi mạch xác lập điều hòa, i(t) biến thiên tuần hoàn với tần số gốc ω. Vì vậy ta có thể áp dụng phương pháp biên độ
phức để phân giải mạch điện.
•
Áp dụng định luật Kirchoff 2 ta có:
•
Đổi sang biên độ phức:

•
Thay vào phương trình trên ta được:
•
Ta chỉ việc đổi biên độ phức sang miền thời gian một cách dễ dàng
)()(
1
)('.)(
)()()()(
tedtti
C
tiLtRi
tetututu
CLR
=++⇔
=+
∫
Cj
LjR
E
I
EI
Cj
ILjIR
m
m
ω
ω
ϕ
ϕ
ω

ω
1
1
++
∠
=⇒
∠=++
•
•••
•
↔
∠↔
IRtRi
Ete
m
)(
)(
ϕ
•
•
↔
↔
∫
I
Cj
dtti
C
ILjtiL
ω
ω

1
)(
1
)('.
Ứng dụng phân tích mạch điện
Phương pháp 2
Đối với mạch điện chỉ có 1 kích nguồn thích tác động
•
Đọc kỹ yêu cầu bài toán, phân tích các thông số và sơ đồ mạch điện
•
Áp dụng quan hệ dòng áp RLC, phức hóa mạch điện mạch điện
•
Áp dụng định luật Ohm, viết phương trình mạch điện phức hóa
•
Giải phương trình phức hóa, suy ra kết quả