BIẾN ĐỔI LAPLACE

Chương 4
BIẾN ĐỔI LAPLACE
Nội dung
•
Định nghĩa biến đổi Laplace
•
Các tính chất của biến đổi Laplace
•
Các định lý giới hạn
•
Các định lý Heaviside
•
Biến đổi Laplace của hàm tuần hoàn
•
Tích chập và công thức Duhamel (skip)
•
Biến đổi Laplace ngược (reference)
•
Ứng dụng phép biến đổi Laplace
•
Dạng toán tử của các định luật Ohm trong Lý thuyết mạch
Định nghĩa
•
Cho hàm f(t) thỏa mãn các điều kiện Dirichlet với t ≥ 0. Biến đổi Laplace của f(t)
là hàm F(s) như sau:
•
Khi đó, biến đổi Laplace ngược của hàm F(s) là hàm f(t). Ký hiệu:
f(t) = L
–1
[F(s)]
[ ]

∫
∞
−
==
0
)()()( dtetfsFtf
st
L
Ví dụ
Biến đổi Laplace của các hàm căn bản
Biến đổi Laplace của các hàm căn bản
Các tính chất
•
Tính tuyến tính
•
Thay đổi tỉ lệ thời gian
•
Phép dịch trong miền thời gian
•
Phép dịch trong miền s
•
Vi phân trong miền thời gian
•
Tích Phân Trong Miền Thời Gian
•
Vi phân trong miền s
•
Tích phân trong miền s
Tính tuyến tính
L {af

1
(t) + bf
2
(t)} = a L {f
1
(t)} + b L {f
2
(t)}
= aF
1
(s) + bF
2
(s)
Thay đổi tỉ lệ thời gian






=
a
s
F
a
atf
1
)]([L
Phép dịch trong miền thời gian
L {f(t-a) u(t-a)} = e

-as
F(s), a ≥ 0
L
-1
{e
-as
F(s)} = f(t-a) u(t-a)
L {f(t) u(t-a)} = e
-as
L {f(t+a)}, a ≥ 0
Phép dịch trong miền s
L {e
at
f(t)}=F(s-a)
L
-1
{F(s-a)} = e
at
f(t)
Vi phân trong miền thời gian
L {f’(t) } = s L {f(t)} – f(0) = sF(s) – f(0)
L {f
n
(t)} =s
n
F(s) – s
n-1
f(0) – s
n-2
f’(0) - … - sf

(n-2)
(0) – f
(n-1)
(0)
Tích Phân Trong Miền Thời Gian
)(
1
)}({
1
)(
0
sF
s
tf
s
dxxf
t
==






∫
LL
∫
=







t
dxxfsF
s
0
)()(
1
1-
L
Vi phân trong miền s
Tích phân trong miền s
( )
( )
sFtft
sFtft
nnn
)1()](.[
')](.[
−=
−=
L
L
∫ ∫
∞ ∞
==







s s
dstfdxxF
t
tf
)}({)(
)(
LL
Tích chập
L {f(t) * g(t)} = F(s).G(s)
Công thức Duhamel




+
+
= →=
+
+
−
)()0()('*)(
)()0()(*)('
)()().(.)(
1
tghtgth
thgthtg

tfsHsGssF
Laplace
Ví dụ
Biến đổi Laplace của hàm tuần hoàn
•
Nếu f(t) là hàm tuần hoàn với chu kỳ T, f(t+T)=f(t), trên đoạn từ [0, ∞) và
liên tục từng đoạn trong miền tuần hoàn thì:
0
1
)(
)()}({
0
>
−
==
−
−
∫
; s
e
dtetf
sFtf
Ts
T
st
L
Ví dụ
Biến đổi Laplace ngược
Phương pháp đối chiếu gốc ảnh
Từ các bảng đối chiếu các công thức biến đổi Laplace, ta tìm được f(t).

)()( sFtf
Laplace
 →
)()(
1
tfsF
Laplace
 →
−
Ví dụ
Biến đổi Laplace ngược
Các định lý HEAVISIDE
Ví dụ
Biến đổi Laplace ngược
Các định lý HEAVISIDE
Ví dụ
Biến đổi Laplace ngược
Các định lý HEAVISIDE
Ví dụ
Ứng dụng phép biến đổi Laplace
Giải ptvptt hệ số hằng
Ví dụ
Ứng dụng phép biến đổi Laplace
Phân giải bài toán mạch điện
Phương pháp 1
Phương pháp 2