Chương 2: Biến đổi Laplace ngược

1
Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh
Bộ môn Toán Ứng dụng
-------------------------------------------------------------------------------------
Hàm phức và biến đổi Laplace
Chương 2: Biến đổi Laplace ngược
•
Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (9/2007)
2
Nội dung
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
0.1 – Biến đổi Laplace ngược.
0.2 – Tính chất của biến đổi Laplace ngược.
3
0.1 Định nghĩa biến đổi Laplace ngược
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Xét phương trình vi phân cấp hai
'' '
; (0) 0; (0) 1.− = − = =y y t y y
Áp dụng biến đổi Laplace phương trình trên ta được
''
{ - } {- }L y y L t=
sử dụng các tính chất của phép biến đổi Laplace xuôi
''
{ }- { } {- }L y L y L t⇔ =
2
2
1
( ) 1 ( )s Y s Y s
s
⇔ − − = −

2
1
( )Y s
s
⇔ =
2
1
{ ( )} { }L y t L t
s
⇒ = =
Vậy nghiệm của phương trình vi phân là
( ) .y t t=
4
0.1 Định nghĩa biến đổi Laplace ngược
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Định nghĩa biến đổi Laplace ngược
Biến đổi Laplace ngược của hàm là một hàm liên
tục trên và thỏa
( )f t
[0,+ )
∞
Ký hiệu phép biến đổi Laplace ngược là
{ ( )} ( )=L f t F s
( )F s
1
( ) { }
−
=f t L F
0
{ ( )} ( ) ( )

+∞
−
= =
∫
st
L f t f t e dt F s
1
{ ( )} ( )
−
=L F s f t
5
0.1 Định nghĩa phép biến đổi Laplace ngược
-----------------------------------------------------------------
Ví dụ
Tìm biến đổi Laplace ngược của hàm
3
2
( ) =F s
s
Giải
Dựa vào các biến đổi Laplace xuôi cơ bản ta thấy
2
3
2!
( ) { ( )}f t t L f t
s
= ⇒ =
Vậy biến đổi Laplace ngược của hàm đã cho là
1 2
{ ( )}L F s t

−
=
6
0.1 Định nghĩa phép biến đổi Laplace ngược
-----------------------------------------------------------------
Ví dụ
Tìm biến đổi Laplace ngược của hàm
3
2
( )
( 5)
=
−
F s
s
Giải
Sử dụng tính chất dời theo s, ta có
2
3
2!
( ) { ( )}f t t L f t
s
= ⇒ =
Vậy biến đổi Laplace ngược của hàm đã cho là
1 5 2
{ ( )}
t
L F s e t
−
=

5
3
2!
{ ( )}
( 5)
t
L e f t
s
=
−
7
0.1 Định nghĩa phép biến đổi Laplace ngược
-----------------------------------------------------------------
Ví dụ
Tìm biến đổi Laplace ngược của hàm
2
3
( )
9
=
+
F s
s
Giải
Dựa vào các biến đổi Laplace xuôi cơ bản ta thấy
2
3
( ) sin3 { ( )}
9
f t t L f t

s
= ⇒ =
+
Vậy biến đổi Laplace ngược của hàm đã cho là
1
{ ( )} sin3L F s t
−
=
8
0.1 Định nghĩa phép biến đổi Laplace ngược
-----------------------------------------------------------------
Ví dụ
Tìm biến đổi Laplace ngược của hàm
2
1
( )
2 5
−
=
− +
s
F s
s s
Giải
2 2
1 1
2 5 ( 1) 4
s s
s s s
− −

=
− + − +
Vậy biến đổi Laplace ngược của hàm đã cho là
1
{ ( )} os2
t
L F s e c t
−
=
9
0.2 Tính chất của biến đổi Laplace ngược
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
1. Tính tuyến tính
Giả sử các biến đổi Laplace ngược
tồn tại và liên tục trên và c là hằng số. Khi
đó
[0,+ )
∞
1 1
1 2
{ ( )}; { ( )}L F s L F s
− −
1 1 1
1 2 1 2
1. { ( ) ( )}= { ( )}+ { ( )}L F s F s L F s L F s
− − −
+
-1 -1
1 1
2. { ( )} { ( )}L cF s cL F s=

10
0.2 Tính chất của biến đổi Laplace ngược
-----------------------------------------------------------------
Ví dụ
Tìm biến đổi Laplace ngược của hàm
2 2
5 6 3
( )
6
9 2 8 10
= − +
−
+ + +
s
F s
s
s s s
Giải
1 1 1 1
2 2
1 3 1
{ ( )} 5 { } 6 { } { }
6 2
9 4 5
− − − −
= − +
−
+ + +
s
L F s L L L

s
s s s
1 6 -2
3
{ ( )} 5 6 cos3 sin
2
t t
L F s e t e t
−
= − +
11
0.2 Tính chất của biến đổi Laplace ngược
-----------------------------------------------------------------
Ví dụ
Tìm biến đổi Laplace ngược của hàm
2
3 2
( )
2 10
+
=
+ +
s
F s
s s
Giải
2 2 2 2
3 2 3( 1) 1 3( 1) 1
2 10 ( 1) 9 ( 1) 9 ( 1) 9
+ + − +

= = −
+ + + + + + + +
s s s
s s s s s
1 -
1
{ ( )} 3 os3 sin3
3
t t
L F s e c t e t
− −
= −
12
0.2 Tính chất của biến đổi Laplace ngược
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2. Tính chất dời theo s
1 - 1
{ ( ) { ( )}
at
L F s a e L F s
− −
+ =
Ví dụ
Tìm biến đổi Laplace ngược của hàm
2
( )
4 13
=
+ +
s

F s
s s
2 2 2 2 2 2
2 2 2
4 13 ( 2) 9 ( ) 3 ( )
2
2 2 3
+ −
= = −
+ + +
+
+ ++ + +
s s s
s s s s s
2 21 - -
2
{ ( )} co
3
s3 - sin3
t t
e eL F s t t
−
=
13
0.2 Tính chất của biến đổi Laplace ngược
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
3. Tính chất dời theo t
1 -
{ ( )} ( ) ( )
as

L e F s f t a u t a
−
= − −
Qui tắc để tìm Laplace ngược của hàm có chứa
as
e
−
1. bỏ thừa số
as
e
−
2. Tìm Laplace ngược của hàm còn lại.
3. Dời hàm theo t vừa tìm được về phía phải a đơn vị, sau đó ngắt
bỏ phía trái nếu a>0.
14
0.2 Tính chất của biến đổi Laplace ngược
-----------------------------------------------------------------
Ví dụ
Tìm biến đổi Laplace ngược của hàm
5
2
( )
9
−
=
−
s
s
F s e
s

Giải
-1
2
{ } cosh 3
-9
=
s
L t
s
-1 5
2
{ } cosh 3( 5) ( 5)
-9
−
= − ⋅ −
s
s
L e t u t
s
15
0.2 Tính chất của biến đổi Laplace ngược
-----------------------------------------------------------------
Ví dụ
Tìm biến đổi Laplace ngược của hàm
3
2
8
( )
4
−

=
+
s
e
F s
s
Giải
-1
2
8
{ } 4sin 2
4
=
+
L t
s
-1 3
2
8
{ } 4sin 2( 3) ( 3)
4
−
= − ⋅ −
+
s
L e t u t
s
16
0.2 Tính chất của biến đổi Laplace ngược
-----------------------------------------------------------------

Ví dụ
Tìm biến đổi Laplace ngược của hàm
2
2
( )
3 2
−
=
− +
s
e s
F s
s s
Giải
2
2 1
2 1
3 2
= −
− −
− +
s
s s
s s
-1 2
2
{ } 2
3 2
⇒ = −
− +

t t
s
L e e
s s
( )
-1 2( )
2
2 2 2
{ } 2 (
3
2)
2
− − −
⇒ = −
− +
−
s t t
s
L e e
s
e u t
s
17
0.2 Tính chất của biến đổi Laplace ngược
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
4. Tính chất đổi thang đo
s
L F as L F a
a a
− −

= >
1 1
1
{ ( )} { ( )}; 0.
5. Biến đổi Laplace ngược của đạo hàm
1 ' 1
{ ( )} { ( )}L F s t L F s
− −
= − ⋅
1 ( ) 1
{ ( )} ( 1) { ( )}
n n n
L F s t L F s
− −
= − ⋅
hoặc công thức thường sử dụng
1 ( )
1
{ ( )}
{ ( )}
( 1)
n
n n
L F s
L F s
t
−
−
=
−

18
0.2 Tính chất của biến đổi Laplace ngược
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Trong một số trường hợp để tìm Laplace ngược, ta làm như sau:
1. Tìm đạo hàm cấp n (tùy theo từng bài toán n =1 hoặc 2, …)
2. Tìm Laplace ngược của đạo hàm ở bước 1.
3. Chia kết quả cho (-1)
n
.t
n