Chương 3: Ứng dụng biến đổi Laplace

Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh
Bộ mơn Toán Ứng dụng
-------------------------------------------------------------------------------------

Hàm phức và biến đổi Laplace

Chương 3: Ứng dụng biến đổi Laplace

• Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (9/2007)

1


Nội dung

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

0.1 – Giải phương trình và hệ phương trình vi phân.
0.2 – Ứng dụng vào giải tích mạch điện.

2


0.1 Giải phương trình hoặc hệ phương trình vi phân.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Để giải phương trình hoặc hệ phương trình vi phân với hàm
cần tìm là y(t) cùng với các điều kiện ban đầu:
1. Lấy biến đổi Laplace hai vế của phương trình đã cho
thu được phương trình theo Y(s).
2. Giải phương trình tìm Y(s).

3. Lấy biến đổi Laplace ngược tìm y(t).
L {y (t )} = Y (s )
L {y ' (t )} = sY (s ) − y (0)
L {y '' (t )} = s 2Y (s ) − sy (0) − y ' (0)

3


0.1 Giải phương trình hoặc hệ phương trình vi phân.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ
Giải phương trình vi phân y ' (t ) + 2 y (t ) = 1 với điều kiện
ban đầu y (0) = 4.
L {y ' (t ) + 2 y (t )} = L {1}
1
sY (s ) − y (0) + 2Y (s ) =
s
4s + 1
Y (s ) =
s (s + 2)
1 7 −2t
y (t ) = + e
2 2

1
7
Y (s ) = +
2s 2(s + 2)

4


0.1 Giải phương trình hoặc hệ phương trình vi phân.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ
Giải phương trình vi phân y '' (t ) + 4 y (t ) = 9t với điều kiện
ban đầu y (0) = 0; y ' (0) = 7.
L {y '' (t ) + 4 y (t )} = 9L {t }

9
s Y (s ) − sy (0) − y (0) + 4Y (s ) = 2
s
9
2
s Y (s ) − 7 + 4Y (s ) = 2
s
7s 2 + 9
9 / 4 19/ 4
Y (s ) = 2 2
Y (s ) = 2 + 2
s (s + 4)
s
s +4
9 19
y (t ) = t + sin 2t
4
8
2

'

5


0.1 Giải phương trình hoặc hệ phương trình vi phân.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ
Giải phương trình vi phân
y '' (t ) − 3 y ' (t ) + 2 y (t ) = 4t + 12e −t
'
với điều kiện ban đầu y (0) = 6; y (0) = −1.

4
12
s Y (s ) − sy (0) − y (0) − 3sY (s ) + 3 y (0) + 2Y (s ) = 2 +
s +1
s
2

'

3 2
2
3
2
Y (s ) = + 2 +
+

−
s s
s + 1 s −1 s − 2
y (t ) = 3 + 2t + 2e −t + 3e t − 2e 2t
6


0.1 Giải phương trình hoặc hệ phương trình vi phân.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ
Giải hệ phương trình vi phân
x '(t ) − 2x (t ) + 3 y (t ) = 0

 y '(t ) + 2x (t ) − y (t ) = 0
với điều kiện ban đầu x (0) = 8; y (0) = 3.

7


0.1 Giải phương trình hoặc hệ phương trình vi phân.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

L {x ' (t ) − 2x (t ) + 3 y (t )} = 0


 L {y ' (t ) + 2x (t ) − y (t )} = 0

sX (s ) − x (0) − 2 X (s ) + 3Y (s ) = 0


 sY (s ) − y (0) + 2 X (s ) −Y (s ) = 0
8s − 17

 X (s ) = s 2 − 3s − 4


Y (s ) = 3s − 22


s 2 − 3s − 4
 x (t ) = 5e −t + 3e 4t


 y (t ) = 5e −t − 2e 4t


5
3

 X (s ) = s + 1 + s − 4

Y (s ) = 5 − 2

s +1 s − 4

8


0.1 Giải phương trình hoặc hệ phương trình vi phân.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ
Giải hệ phương trình vi phân
 x '(t ) − 2 y (t ) = 1

 y '(t ) + 2x (t ) = t
với điều kiện ban đầu x (0) = 0; y (0) = 0.

9


0.1 Giải phương trình hoặc hệ phương trình vi phân.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

 L {x ' (t ) − 2 y (t )} = L {1}


L {y ' (t ) + 2x (t )} = L {1}



1/ 2 1/ 2

 X (s ) = s 2 + s 2 + 4


Y (s ) = −1/ 4 + 1/ 4s

s


s2 + 4

1

 sX (s ) − 2Y (s ) = s


sY (s ) + 2 X (s ) = 1


s2
t sin 2t

 x (t ) = 2 + 4

 y (t ) = −1 + cos2t

4
4

10


0.1 Giải phương trình hoặc hệ phương trình vi phân.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ
Giải hệ phương trình vi phân
 y '(t ) + x ' (t ) = t



 y ''(t ) − x (t ) = e −t

x (0) = 0; y (0) = 3, y ' (0) = −2.
với điều kiện ban đầu

11


0.1 Giải phương trình hoặc hệ phương trình vi phân.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1

 sY (s ) − y (0) + sX (s ) − x (0) = s 2


s 2Y (s ) − sy (0) − y ' (0) − X (s ) = 1


s +1

1 1 1/ 2 1 s − 3

 X (s ) = s + s 3 + s + 1 + 2 s 2 + 1


 Y (s ) = 1 − 1/ 2 − 1 s − 3

s s +1 2 s2 +1


1 −t 1
3

 x (t ) = 1 − 2 e − 2 cost + 2 sin t


t 2 1 −t 1
 y (t ) = 2 + + e + cost - 3 sin t


2 2
2
2

12


0.2 Ứng dụng trong giải tích mạch điện.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Quan hệ dịng – áp trong miền t:
Trở:

VR (t ) = R.iR (t )

Cuộn cảm: VL (t ) = L

Tụ:

d (iL (t ))
dt

d (VC (t ))
iC (t ) = C
dt
13


0.2 Ứng dụng trong giải tích mạch điện.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Trong trường hợp tổng quát: quan hệ dòng – áp là quan hệ vi
– tích phân. Việc giải phương trình sẽ gặp nhiều khó khăn.

Cách giải quyết: dùng biến đổi Laplace đưa về biểu thức đại
số.

14


Mạch với trở :
L

15


Mạch với cuộn cảm :
L

R
V ( s ) = ( Ls ) I ( s ) − i (0) L
16


Mạch với tụ :
L

17


Thiết lập mối quan hệ giữa dòng-áp
trong miền s (qua định luật Kirchoff)

18


0.2 Ứng dụng vào giải tích mạch điện
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ: Tìm tổng trở tương đương Z(s)

2H

1H
1
F
4

1

F
2

19


0.2 Ứng dụng vào giải tích mạch điện
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Giải: Chuyển qua miền s.

2s

1s
4
s

2
s

4
2
(s + )
s
s = 2s + 4 − 4
Z s = 2s +
4
2
s2 + 6
+ (s + )

s
s
20


0.2 Ứng dụng vào giải tích mạch điện
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ: Tìm tổng trở tương đương Z(s)

1Ω

2H

1F
1
F
2

4H

1F

1H
1Ω

21


0.2 Ứng dụng vào giải tích mạch điện

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Giải: Chuyển từ miền t sang miền s:

1

1
s

2s

4s

2
s

1
s

s

1
2 2
⋅
1 4 s 2 + 5s
4s
= 1 + 2s + +
Z (s) = 1 + 2s + s s + s +
2 2
s

4s + 1
4s + 1
+
s s

22


0.2 Ứng dụng vào giải tích mạch điện.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ. Tìm tổng dẫn tương đương Y(s)

4H

2H

1
F
10

1
F
5

1Ω

23

0.2 Ứng dụng vào giải tích mạch điện.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Giải. Chuyển sang miền s

4s

2s

10
s

5
s

1

1
1
1
s s
Y (s) =
= +
+ +
Z ( s ) 4 s 2 s + 1 10 5
24


0.2 Ứng dụng vào giải tích mạch điện.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ. Tìm i(t), biết i(0) = 2A, Vc(0) = 4V

i(t )
6u (t )

1H

Vc (t )
4Ω
1
F
13

25