bài giảng chuỗi FOURIER VÀ BIẾN ĐỔI FOURIER

Chương 3
CHUỖI FOURIER
VÀ BIẾN ĐỔI FOURIER
Nội dung
•
Một số dạng tín hiệu quan trọng
•
Khái niệm hàm tuần hoàn
•
Chuỗi Fourier
•
Tích phân Fourier – Biến đổi Fourier
•
Phân tích phổ tín hiệu
Một số dạng tín hiệu quan trọng
•
Tín hiệu xung vuông góc Π(t)
•
Hàm dốc (Ramp function)
•
Hàm bước nhảy đơn vị u(t)
•
Hàm xung lực đơn vị
•
Tín hiệu Sgn(t)
•
Tín hiệu xung tam giác
•
Hàm mũ suy giảm
•
Hàm mũ tăng dần

•
Xung hàm mũ
•
Tín hiệu xung cosin
•
Cặp phân bố δ(t) chẵn lẻ
•
Phân bố lược
•
Dãy xung vuông lưỡng cực
•
Dãy xung vuông đơn cực
•
Tín hiệu sin suy giảm theo hàm mũ
•
Tín hiệu Sinc
•
Tín hiệu Sinc2
•
Tín hiệu Gausse
Một số dạng tín hiệu quan trọng
Tín hiệu xung vuông góc Π(t) Hàm dốc r(t)
•
Hàm dốc r(t-a) nhân với hệ
số K cho hàm K.r(t-a), dạng
sóng là đường thẳng có độ
dốc K và gặp trục t ở a
2
1
−

2
1
1
0
)()( ttx
Π=







<
>
=∏=
2
1
t, 1
2
1
, 0
)()(
t
ttx
c
0
)(.)(
b
ct

atx
−
Π=
b
a
⇔
)(.)(
b
ct
atx
−
Π=



<
≥
=
0,0
0,
)(
t
tt
tr
0

r(t)
0 a
r(t-a)




<
≥
=−
at
att
atr
,0
,
)(
K
1

Một số dạng tín hiệu quan trọng
Hàm bước nhảy đơn vị u(t)
0
)(tu
1
1/2



<
>
===
0t, 1
0t, 0
)(1)()( ttutx
0

)(
τ
−
tXu
τ
)()(
τ
−=
tXutx
)(tx
0
X
τ
[ ]
[ ]
)(1).()(1.
)().()(.)(
ττ
τ
ττ
τ
−−−=
−−−=
tttt
X
tuttut
X
tx
Một số dạng tín hiệu quan trọng
Tính chất hàm xung lực

Raadttadtta
∈==
∫∫
∞
∞−
∞
∞−
;)(.)(.
δδ
)(
)(1
)(1)()( t
dt
td
ttud
t
o
δττδ
=⇔==
∫
x(t). δ(t) = x(0).δ(t)
x(t).δ(t – t0) = x(t0). δ(t – t0)
)0()().( xdtttx
=
∫
∞
∞−
δ
)()().(
00

txdttttx
=−
∫
∞
∞−
δ
)(.
0
0
tt
t
t
δδ
=








δ(-t) = δ(t)
)()().()().()()( txdtxdtxttx
=−=−=∗
∫∫
∞
∞−
∞
∞−

ττδτττδτδ
x(t)*δ(t - t0) = x(t-t0)
Hàm xung lực đơn vị
1
δ(t)
0
t
1)(
0t,
0t, 0
)(
=



=∞
≠
=
∫
∞
∞−
dtt
t
δ
δ
∫
∞+
∞−
=−




=∞
≠
=−
1)(
t,
t, 0
)(
0
0
0
0
tt
t
t
tt
δ
δ
1
δ(t – t0)
0
t
t0
Một số dạng tín hiệu quan trọng
Tín hiệu Sgn(t) Tín hiệu xung tam giác
1
−
1
0

)tSgn()t(x
=
t





<−
=
>
==
0t,1
0t,0
0t,1
)t(Sgn)t(x
t
1
−
1
1
0
)()( ttx
Λ=





>

≤−
=
1t khi, 0
1t khi, ||1
)(
t
tx
t
X
0



<
>≥
=
−
0t, 0
0,0t, .
)(
α
α
t
eX
tx
t
0;)(1)1()(
>−=
−
α

α
tetx
t
x(t)
0
X
Hàm mũ suy giảm Hàm mũ tăng dần
Một số dạng tín hiệu quan trọng
0,
2
.)(
>












−
∏=
−
α
α
T

T
t
eXtx
t
T0








Π=
0
0
/
).cos(.)(
ωπ
ω
t
tXtx
t
0
2
ω
π
0
2
ω

π
−
0
X
Xung hàm mũ Tín hiệu xung cosin
Một số dạng tín hiệu quan trọng
Tín hiệu sin suy giảm theo hàm mũ
Tín hiệu Gausse
|
|
-1
1
1
2
)(
t
etx
π
−
=
2
t
e)t(x
π−
=
X
-X
-t
0
ω

π
ω
π
2
ω
π
3
ω
π
4



<
≥
=
−
0,0
0,sin
)(
0
t
tteX
tx
t
ω
α
Một số dạng tín hiệu quan trọng
Cặp phân bố δ(t) chẵn lẻ







−++=
)
2
1
()
2
1
(
2
1
)(|| ttt
δδ






−−+=
)
2
1
()
2
1

(
2
1
)( ttt
δδ
|
|
||(t)
0
t
2
1
2
1
−
2
1
0 t
2
1
2
1
−
2
1
)t(
2
1
−
Một số dạng tín hiệu quan trọng

Tính chất phân bố lược
( )
∑
∞
∞−=
−=
n
ntnxttx )().().(
δ
( )
∑
∞
∞−=
−=∗
n
ntxttx )()(
( ) ( )
tt
=−
( ) ( )
tnt =+
∑
∞
∞−=
−=








n
nt
t
)(.||
τδτ
τ
0
t
)(||| t
. . . . . .
1
2 3 4 5
-1-2-3
-4
-5
( )
∑
∞
∞−=
−=
n
ntt )(|||
δ
Phân bố lược
Một số dạng tín hiệu quan trọng
Dãy xung vuông lưỡng cực
Dãy xung vuông đơn cực
)(tx

0
t
. . . .
. . . .
2
T
T
T
−
2
T
−
)(tx
0
t
. . . . . .
T
X
2T
-T
-T
τ
Một số dạng tín hiệu quan trọng
Tín hiệu Sinc
Tín hiệu Sinc2
Sinc(t)
1
0
0
ω

π
0
2
ω
π
0
3
ω
π
0
4
ω
π
0
ω
π
−
0
2
ω
π
−
0
3
ω
π
−
0
4
ω

π
−





=
≠
==
0,1
0,
sin
)()(
0
0
0
t
t
t
t
tSinctx
ω
ω
ω
Sinc2(t)
1
0
0
ω

π
0
2
ω
π
0
3
ω
π
0
ω
π
−
0
2
ω
π
−
0
3
ω
π
−





=
≠

==
0,1
0,
)(
sin
)(
2
0
0
2
0
2
t
t
t
t
tSinctx
ω
ω
ω
Ví dụ
Khái niệm hàm tuần hoàn
Khái niệm Lưu ý
•
Không phải tất cả các hàm
tuần hoàn đều có chu kỳ cơ
bản
•
Nếu ω = n2π/2p thì 2π/ω =
2p/n là chu kỳ cơ bản của

cos(nπt/p) và sin(nπt/p). Và
lúc đó n.(2p/n) = 2p cũng là
chu kỳ của hàm cos(nπt/p)
và sin(nπt/p)
•
Hàm tuần hoàn thì không
cần xác định trên tất cả các
giá trị của biến độc lập
f(t)
0 p 2p 4p 6p
t
•
f(t+2p) = f(t)
Với 2p: chu kỳ của f(t)
•
f (t + 2p) = f (t + 2p + 2p)
= f (t + 4p) . . .
= f(t+2np)
Số 2p là chu kỳ cơ bản
Chuỗi Fourier
•
Chuỗi lượng giác:
∑
∞
=
++
1
0
))sin()cos((
2

n
nn
nxbnxa
a
p
xn
b
p
x
b
p
x
b
p
xn
a
p
x
a
p
x
aa
p
xn
b
p
xn
aa
nn
n

nn
ππππππ
ππ
sin
2
sinsincos
2
coscos
2
1
)sincos(
2
1
21210
1
0
++++++++=
++
∑
∞
=
•
Chuỗi lượng giác mở rộng:
Ta thấy nếu chuỗi hàm lượng giác có tổng f(x) hay hội tụ về f(x)
trong một miền nào đó thì f(x) phải là hàm tuần hoàn chu kỳ là 2π.
Tương tự nếu chuỗi trên hội tụ đến hàm f(x) thì hàm f(x) cũng tuần
hoàn với chu kỳ T = 2p.
Công thức Euler mở rộng
0;0cos )(
2pd

d
≠=
∫
+
ndt
p
tn
a
π
0sin )(
2pd
d
=
∫
+
dt
p
tn
b
π
nmdt
p
tn
p
tm
c
≠=
∫
+
;0cos.cos )(

2pd
d
ππ
0;cos )(
2pd
d
2
≠=
∫
+
npdt
p
tn
d
π
0sin.cos )(
2pd
d
=
∫
+
dt
p
tn
p
tm
e
ππ
nmdt
p

tn
p
tm
f
≠=
∫
+
;0sin.sin )(
2pd
d
ππ
0;sin )(
2pd
d
2
≠=
∫
+
npdt
p
tn
g
π
Định lý Dirichlet
•
Nếu f(t) là hàm tuần hoàn, bị chặn và có một số điểm xác
định không liên tục trong một chu kỳ của nó thì khi đó
chuỗi Fourier của f(t) sẽ hội tụ đến f(t) tại tất cả những
điểm mà f(t) liên tục. Còn tại những điểm mà f(t) không
liên tục, chuỗi Fourier của nó sẽ hội tụ đến giá trị trung

bình của giới hạn trái và giới hạn phải của f(t) tức nếu tại
điểm t=t0 hàm số bị gián đoạn thì:
2
)()(
2
)(lim)(lim
)(
00
0
00
+−
+−
+
=
+
==
→→
tftf
tftf
ttS
tttt
n
Chuỗi Fourier (khai triển Fourier)
Cho hàm số f(t) tuần hoàn với chu kỳ T = 2p thỏa điều
kiện Dirichlet. Khi đó hàm f(t) có thể biểu diễn dưới dạng
chuỗi Fouier theo công thức sau:
∑
∞
=









++=
1
0
sincos
2
1
)(
n
nn
p
tn
b
p
tn
aatf
ππ














==
==
==
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
+ +
+ +
+ +
pd
d
Td
d
n
pd
d
Td
d
n
pd
d
Td
d
dt

T
tn
tf
T
dt
p
tn
tf
p
b
dt
T
tn
tf
T
dt
p
tn
tf
p
a
dttf
T
dttf
p
a
2
2
2
0

2
sin)(
2
sin)(
1
2
cos)(
2
cos)(
1
)(
2
)(
1
ππ
ππ
Lưu ý
•
Tại điểm hàm f(t) không liên tục thì chuỗi đó bằng trung
bình của giới hạn trái và phải
•
Thành phần a0 chính là trị trung bình của hàm f(t) trong
một chu kỳ. Vì thế nó chính là thành phần DC của tín
hiệu điện.
•
Người ta hay chọn đoạn lấy tích phân trong khoảng (-p,
p) hoặc từ (0, T).
∫
−
=

p
p
dttf
p
a ).(
1
0
∫
−
=
p
p
n
dt
p
tn
tf
p
a
π
cos)(
1
∫
−
=
p
p
n
dt
p

tn
tf
p
b
π
sin)(
1
Ví dụ
•
Tìm khai triển Fourier của hàm f(x) bên
dưới. Biết f(x)=f(x+2π)
•
Nhận xét: hàm f(x) tuần hoàn với chu kỳ T=2p=2π và thỏa định lý
Dirichlet, nên có thể khai triển Fourier.
•
Áp dụng công thức, ta tìm các hệ số Fourier:
•
Vậy khai triển Fourier của hàm f(x) có
dạng:
Ví dụ
Định lý 1
•
Nếu f(t) là hàm tuần hoàn
chẵn theo t thì bn=0
•
Khi đó:
Định lý 2
•
Nếu f(t) là hàm tuần
hoàn lẽ theo t thì an=0

•
Khi đó:
∫∫
==
−
pp
p
dttf
p
dttf
p
a
0
0
).(
2
).(
1
∫∫
==
−
pp
p
n
dt
p
tn
tf
p
dt

p
tn
tf
p
a
0
cos)(
2
cos)(
1
ππ
∫∫
==
−
pp
p
n
dt
p
tn
tf
p
dt
p
tn
tf
p
b
0
sin)(

2
sin)(
1
ππ