Bài giảng: Phép quay và Phép đối xứng tâm (Hình học 11 - Chương I: PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG)

Bản quyền thuộc Nhóm Cự Mơn của Lê Hồng Đức
Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là:
1. Tài liệu dễ hiểu  Nhóm Cự Mơn ln cố gắng thực hiện điều này.
2. Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc  Đăng kí “Học tập từ xa”.

BÀI GIẢNG QUA MẠNG

HÌNH HỌC 11
CHƯƠNG I. PHÉP DỜI HÌNH
VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG

§4 Phép quay và phép đối xứng tâm


Các em học sinh đừng bỏ qua mục “Phương pháp tự học tập hiệu quả”

Học Toán theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12
Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC
Địa chỉ: Số nhà 20  Ngõ 86  Đường Tô Ngọc Vân  Hà Nội
Email:
Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689

1


PHƯƠNG PHÁP HỌC TẬP HIỆU QUẢ
Phần: Bài giảng theo chương trình chuẩn
1. Đọc lần 1 chậm và kĩ có thể bỏ quả nội dung các HOẠT ĐỘNG
Đánh dấu nội dung chưa hiểu
2. Đọc lần 2 toàn bộ:
Ghi nhớ bước đầu các định nghĩa, định lí.

Định hướng thực hiện các hoạt động
Đánh dấu lại nội dung chưa hiểu
3. Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện có thứ tự:
Đọc  Hiểu  Ghi nhớ các định nghĩa, định lí
Chép lại các chú ý, nhận xét
Thực hiện các hoạt động vào vở
4. Thực hiện bài tập lần 1
5. Viết thu hoạch sáng tạo
Phần: Bài giảng nâng cao
1. Đọc lần 1 chậm và kĩ
Đánh dấu nội dung chưa hiểu
2. Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện các ví dụ
3. Đọc lại và suy ngẫm tất cả chỉ với câu hỏi “Vì sao họ lại nghĩ được cách
giải như vậy”
4. Thực hiện bài tập lần 2
5. Viết thu hoạch sáng tạo

Dành cho học sinh tham dự chương trình “Học tập từ xa”: Sau mỗi bài
giảng em hãy viết yêu cầu theo mẫu:
Nôi dung chưa hiểu
Hoạt động chưa làm được
Bài tập lần 1 chưa làm được
Bài tập lần 2 chưa làm được
Thảo luận xây dựng bài giảng
gửi về Nhóm Cự Mơn theo địa chỉ để nhận
được giải đáp.

2

Đ4

phép quay và phép đối xứng tâm
bài giảng theo chơng
chơng trình chuẩn

1. định nghĩa phép quay

Định nghĩa: Trong mặt phẳng cho điểm O cố định và góc lợng giác không đổi.
Phép phép biến hình biến mỗi điểm M thành ®iĨm M' sao cho OM =
OM' vµ (OM, OM') = đợc gọi là phép quay tâm O với góc quay .
Kí hiệu Q O hay Q(O, ).
A .
Hoạt động: Nêu cách tìm ảnh của điểm M qua phép quay Q
O

Thí dụ 1: Với hình vuông ABCD, ta nhận thấy:
Q ( A , 90 0 ) (B) = D;
Q ( A , 90 0 ) (D) = B.
Q ( C , 90 0 ) (B) = D;

Q ( C , 90 0 ) (D) = B.

D
O

B

C

Q ( O, 90 0 ) (A) = D; Q ( O, 90 0 ) (D) = C; Q ( O, 90 0 ) (C) = B; Q ( O, 90 0 ) (B) = A;

 Q ( O, 90 0 ) (ABCD) = DCBA.
Q ( O, 180 0 ) (A) = C; Q ( O, 180 0 ) (D) = B; Q ( O, 180 0 ) (C) = A; Q ( O, 180 0 ) (B) =

D;
 Q ( O, 180 0 ) (ABCD) = CBAD.
Hoạt động: Phép đồng nhất có phải là phép quay không ?

2. Định lí

Định lí: Phép quay là một phép dời hình.
Hoạt động:

1. HÃy chứng minh định lí.y chứng minh định lí.
2.

Cho hình ngũ giác đều ABCDE tâm O. HÃy chứng minh định lí.y chỉ ra một số phép quay biến
ngũ giác đó thành chính nó.
3. phép đối xứng tâm

Định nghĩa: Phép đối xứng qua điểm O là một phép dời hình
biến mỗi điểm M

thành M' đối xøng víi M qua O, tøc lµ OM + OM ' = 0 .
KÝ hiƯu §O hay SO.
O.
ThÝ dơ 2: Với hình vuông ABCD tâm O, ta nhận thấy:
ĐO(A) = C, §O(B) = D, §O(C) = A, §O(D) = B ĐO(ABCD) = CDAB.
Hoạt động: Nêu cách tìm ảnh của điểm M qua phép đối xứng tâm

Hoạt động: Chứng tỏ r»ng phÐp quay t©m

t©m O.

O, gãc quay  = 1800 là phép đối xứng

Biểu thức toạ độ của phép đối xứng tâm: Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ
Oxy, cho điểm I(a; b). Phép đối xứng tâm ĐI biến ®iĨm M(x; y) thµnh ®iĨm M'(x';
y') víi:

3


 x ' 2a  x
.

 y ' 2b  y
Hoạt động: HÃy chứng minh định lí.y chứng minh kết quả trên.

Thí dụ 3: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm toạ độ điểm M là điểm đối xứng với
điểm M(1; 2) qua:
a. Gèc O.
b. §iĨm I(3; 1).
c. §iĨm I(2; 3).
Giải
a. Ta có ngay M(1; 2).
b. Sử dụng công thức trung điểm ta đợc M(7; 0).
c. Sử dụng công thức trung điểm ta đợc M(3; 4).

Thí dụ 4: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đờng thẳng (): ax + by + c = 0 và
điểm I(x0; y0). Phép đối xứng tâm ĐI biến đờng thẳng () thành đờng thẳng (').
Viết phơng trình của '.

Giải
Với mỗi điểm M(x0; y0)  () (tøc lµ Ax0 + By0 + C = 0), suy ra tồn tại điểm
M(x; y) (') sao cho:
x
2 a  x
x 2 a  x


 
.
2 b y
y 2 b y
y
Do đó, đờng thẳng (') sẽ có phơng trình:
('): A(2a x) + B(2b y) + C = 0  ('): Ax + ByC2aA2bB =
0.
Tâm đối xứng của một hình: Điểm O đợc gọi là tâm đối xứng của hình H nếu
phép đối xứng tâm ĐO biến hình H thành chính nó, tức là ĐO(H) = H.
Thí dụ 5: Chỉ ra các tâm đối xứng của các hình sau đây:
a. Hình gồm hai đờng thẳng cắt nhau.
b. Hình gồm hai đờng thẳng song song.
c. Hình gồm hai đờng tròn bằng nhau.
d. Đờng elip.
e. Đờng Hypecbol.

Giải
a. Tâm đối xứng là giao điểm của hai đờng thẳng đó.
b. Tâm đối xứng là một điểm O bất kì nằm trên đờng thẳng song song và cách
đều hai đờng thẳng đó.
c. Tâm đối xứng là trung điểm của đoạn thẳng nối hai tâm của hai đờng tròn.
d. Tâm đối xứng là giao điểm của hai trục đối xứng.
e. Tâm đối xứng là giao điểm của hai đờng tiệm cận.
0

0

0
0



4. ứng dụng của phép quay

Bài toán 1: Cho hai tam giác đều OAB và OA'B' nh hình vẽ. Gọi C và D lần lợt là
trung điểm của các đoạn thẳng AA' và BB'. Chứng minh rằng OCD là tam giác đều

Giải
Xét phép quay Q tâm O với góc quay bằng một góc
lợng giác (OA, OB). Rõ rằng Q biến đoạn AA' thành
đoạn BB'.
Do đó:
OC = OD và CÔD = 600 OCD đều.

4

A

C A'
B
D

O

B'


Bài toán 2: Cho đờng tròn (O ; R) và hai điểm A, B cố định. Với mỗi điểm M, ta
xác định điểm M' sao cho MM' = MA MB . Tìm quỹ tích điểm M' khi điểm
M chạy trên (O ; R).

Giải Bạn đọc tự vẽ hình
Gọi I là trung điểm của AB thì I cố định và


MA MB =2 MI



Do đó, MM ' = MA  MB khi vµ chØ khi MM ' = 2 MI , tức là MM' nhận I làm
trung điểm hay phép đối xứng tâm Đ I biến điểm M thành M'.
Vậy khi M chạy trên đờng tròn (O ; R) thì quỹ tích M' là ảnh của đờng tròn đó
qua ĐI.
Nếu ta gọi O' là điểm đối xứng của O qua điểm I thì quỹ tích của M' là đ ờng
tròn (O ; R).
Bài toán 3: Cho hai đờng tròn (O ; R) và (O 1 ; R1) lần lợt tại M và M1 sao cho A

là trung điểm của MM1.

Giải Bạn đọc tự vẽ hình
Giả sử ta đà dựng đợc đờng thẳng d thoả mÃn yêu cầu bài toán. Gọi Đ A là phép
đối xứng qua A thì ĐA biến điểm M thành điểm M1 và biến đờng tròn (O ; R)
thành đờng tròn (O' ; R).
Vì M nằm trên (O ; R) nên M1 nằm trên (O' ; R).
Mặt khác, M1 lại nằm trên (O1 ; R1) nên M1 là giao điểm khác A của hai đờng
tròn (O' ; R) và (O1 ; R1).
Từ đó, suy ra cách dựng:
Dựng đờng tròn (O' ; R) ®èi xøng víi (O ; R) qua A (O' lµ ®iĨm ®èi xøng
víi O qua A).
 LÊy giao ®iĨm M1 của hai đờng tròn (O' ; R) và (O1 ; R1), M1 khác A.
Đờng thẳng d là đờng thẳng ®i qua A vµ M1.

5


Giáo án điện tử của bài giảng này giá: 750.000đ.
1. Liên hệ thầy LÊ HỒNG ĐỨC qua điện thoại 0936546689
2. Bạn gửi tiền về:
LÊ HỒNG ĐỨC
Số tài khoản: 1506205006941
Chi nhánh NHN0 & PTNT Tây Hồ
3. 3 ngày sau bạn sẽ nhận được Giáo án điện tử qua email.

LUÔN LÀ NHỮNG GAĐT
ĐỂ BẠN SÁNG TẠO TRONG TIẾT DẠY

6

B. phơng pháp giải Các dạng toán thờng gặp
Bài toán 1: Tìm phép quay (phép đối xứng tâm) biến hình (H1) thành hình (H2).
Phơng pháp áp dụng
Sử dụng định nghĩa và tính chất của phép quay (phép đối xứng tâm).
Ví dụ 1: Cho hai đờng tròn (C1) và (C2) lần lợt có tâm O1, O2 và đều có bán kính
R. Tìm phép đối xứng tâm biến (C1) thành (C2).
Hớng dẫn: Phép đối xứng tâm biến (C1) thành (C2) thì cũng sẽ biến O1 thành O2,


Giải

do đó nó phải là phép đối xứng tâm O với O là trung điểm của O1O2.

Gọi O là trung điểm của O1O2.
M1
Lấy M1 tuỳ ý thuộc (C1) và gọi M2 là ảnh của
M qua ĐO, ta có:
OM1 = OM2,
O
MÔO1 = MÔO2 đối đỉnh
O1
O2
OO1 = OO1,
 M1OO1 =  M2OO2 (c.g.c)
(C2) M2
(C1)
O2M2 = O1M1 = R M2(C2)
Ngợc lại: lấy M2 là một điểm tuỳ ý thuộc (C 2) và gọi M1 là tạo ảnh của nó qua

ĐO chứng minh tơng tự ta đợc M1(C1).
Vậy (C2) là ảnh của (C1) qua Đo.
Bài toán 2: Giải bài toán định tính.
Phơng pháp áp dụng
Ta thờng gặp các dạng yêu cầu sau:
Dạng 1: Chứng minh (H1) là ảnh của (H2) qua phép quay tâm O với góc
quay (hoặc qua phép đối xứng tâm O), ta thực hiện theo các bớc:
Bớc 1:
Lấy điểm M1 tuỳ ý thuéc (H1), ta ®i chøng minh:
M2 = Q O (M1) (H2) (hoặc M2 = SO(M1) (H2)).
Bớc 2:
Ngợc lại, lÊy ®iĨm M2 t ý thc (H2), ta ®i chøng minh:
M1 = Q O (M2)  (H1) (hc M1 = SO(M2)  (H1)).
D¹ng 2: Chøng minh tÝnh chÊt K, ta thực hiện theo các bớc:
Bớc 1:
Xác định một hoặc nhiều phép quay (hoặc phép đối xứng
tâm) để thiết lập mối liên kết giữa các yếu tố.
Bớc 2:
Sử dụng các tính chất của phép quay để giải các yêu cầu
của bài toán.
Ví dụ 1: Cho hai tam giác vuông cân OAB và OA'B' có chung đỉnh O sao cho
O nằm trên đoạn thẳng AB' và nằm ngoài đoạn thẳng A'B (hình bên).
Gọi G và G' lần lợt là trọng tâm các tam giác OAA' và OBB'. Chứng
minh rằng GOG' là tam giác vuông cân.

Hớng dẫn: Từ hình vẽ chúng ta dễ nhận thấy rằng cần sử
dụng phép quay để thực hiện bài toán trên. Cụ
thể:
0
Q90

O (A) B
900
QO (A ') B'

B
A'

0

 Q90
O ( OAA ') OBB '.

B'

O

A

7


Giải

Xét phép quay Q tâm O góc quay 900, ta cã ngay:
0
0
OBB' = Q 90
(OAA')  G' = Q 90
(G)
O

O
0
GÔG' = 90 và OG' = OG.
Vậy, ta đợc GOG' là tam giác vuông cân.

Bài toán 3: Giải bài toán định lợng.
Phơng pháp áp dụng
Bằng việc thiết lập đợc các phép quay (phép đối xứng tâm) thích hợp, ta có thể
tính toán đợc các yếu tố trong một hình.
Ví dụ 1: Cho ABC có AM và CN là các trung tuyÕn. Chøng minh r»ng nÕu


= BCN
= 300 th× ABC đều.
BAM

Hớng dẫn: Sử dụng các phép đối xứng tâm.
Giải



0
Tứ giác ACMN có NA
M = MCN = 30 nên nội tiếp trong một đờng tròn


0
tâm O bán kính R và MON = 2 NAM = 60 .
Xét các phép đối xứng tâm N và tâm M.
O1

B
O2
S(N): A B và (O)  (O1)  B( O1) v× A(O).
S(M): C  B và (O) (O2) B( O2) vì C(O)
N
M
Trong OO1O2, ta cã nhËn xÐt:
OO1 = OO2 = 2R,


0
MON = 2 BAM = 60 ,
C
A
O
suy ra OO1O2 là tam giác đều.
Mặt khác:
O1B + O2B = R + R = 2R = O1O2 nên B là trung điểm của O1O2.
Từ đó suy ra hai ABC và OO1O2 đồng dạng (vì cùng đồng dạng với BMN)
và vì OO1O2 đều nên ABC đều.

Bài toán 4: Tìm tập hợp điểm M.
Phơng pháp áp dụng
Bớc 1:
Tìm một phép quay Q O (hoặc phép đối xứng tâm SO), biến điểm E
di động thành điểm M .
Bớc 2:
Tìm tập hợp (H) của các điểm E.
Bớc 3:
Kết luận tập hợp các điểm M là ảnh của (H) trong phép quay Q O

(hoặc phép đối xứng tâm SO).
Ví dụ 1: Cho đờng tròn (O ; R), đờng thẳng () và điểm I. Tìm điểm A trên
(O; R) và điểm B trên sao cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB.
Giải
Ta thực hiện nh sau:
Dựng ' = ĐI() và giả sử ' cắt (O; R) tại A.
Nối IA cắt tại B.
Khi đó I là trung điểm của đoạn thẳng AB.
8


Bài toán chỉ có nghiệm khi đờng thẳng ' cắt ®êng trßn (O; R).
VÝ dơ 2: Cho hai ®iĨm B và C cố định trên đờng tròn (O ; R) và một điểm A
thay đổi trên đờng tròn đó. HÃy dùng phép đối xứng tâm để chứng
minh rằng trực tâm H của ABC nằm trên một đờng tròn cố định.

Hớng dẫn: Chúng ta đà từng sử dụng phép tịnh tiến, phép đối xứng trục để thực hiện
bài toán quỹ tích trên, và để tận dụng kết quả đà biết đó các em chỉ cần
tìm một phép đối xứng tâm biến đờng tròn (O) thành đờng tròn (O').

Giải

A
Gọi I là trung điểm BC và vẽ đờng kính AM.
Ta có:
H
BH AC vµ MC  AC  BH // MC.
(1)
CH  AB vµ MB  AB  CH // MB.
(2)

B
C
Tõ (1) và (2) suy ra:
I
BHCM là hình bình hành I là trung điểm HM.
M
Vậy, trực tâm H của ABC nằm trên một đờng tròn cố định (O'; R) = ĐI((O; R)).
Ví dụ 3: Cho đờng tròn (O) và dây cung AB cố định, M là một điểm di động
trên (O), M không trùng A, B. Hai đờng tròn (O1), (O2) qua M, theo
thø tù tiÕp xóc víi AB t¹i A và B. Gọi N là giao điểm thứ hai của (O 1),
(O2).
a. Chứng minh rằng đờng thẳng MN luôn qua một điểm cố định.
b. Tìm tập hợp N khi M di động trên (O).
Hớng dẫn: Ta lần lợt chứng minh:



a. MN luôn cắt AB tại một điểm cố định I.
b. N (O') = S(I)(O).

Giải

M
a. Gọi I là giao ®iĨm cđa MN vµ AB, ta cã:
IA2 = IM . IN = IB2
(1)
O2
O1
IA = IB, do đó I là trung điểm AB.
O

Vậy đờng thẳng MN luôn qua một điểm cố
N
định I là trung điểm AB.
I
A
b. Gọi P là điểm chung thø hai cđa MN vµ (O), ta
P B
cã:
O’
2
IP . IM = IA . IB = IA (2)
Tõ (1) vµ (2) suy ra:
IP . IM =  IM . IN  IP =  IN  N = S(I)(P)
V× tËp hợp các điểm P là đờng tròn (O) qua hai điểm A và B nên tập hợp các
điểm N là đờng tròn (O') bỏ đi hai điểm A và B với (O') = S (I)(O).
Bài toán 5: Dựng hình.
Phơng pháp áp dụng
Ta luôn thực hiện theo 4 bớc đà biết.
Ví dơ 1: Cho phÐp quay Q t©m O víi gãc quay và cho đờng thẳng d. HÃy nêu
cách dựng ¶nh d' cña d qua phÐp quay Q.
 Gi¶i
LÊy hai điểm phân biệt A, B trên đờng thẳng d, khi ®ã ta dùng:
A' = QO(A) vµ B' = QO(B).
Nèi A' và B', đó chính là đờng thẳng d'.

9


Ví dụ 2:

Cho phép đối xứng tâm Đ O và đờng thẳng d không đi qua O. HÃy nêu
cách dựng ảnh d' của đờng thẳng d qua ĐO. Tìm cách dựng d' mà chỉ
sử dụng compa một lần và thớc thẳng ba lần.

Giải
a.

Lấy hai điểm phân biệt A, B trên đờng thẳng d, khi đó ta dựng:
d
d'
A' = ĐO(A) và B' = ĐO(B).
A
Nối A' và B', đó chính là đờng thẳng d'.
B'
b.
Có thể thực hiện đợc, cụ thể:
O
Lấy điểm A trên d, dùng thớc thẳng dựng tia AO.
Dùng compa dựng đờng tròn (O; OA), đờng tròn này cắt
A'
B
đờng thẳng d tại B và tia AO tại A'.
Dùng thớc thẳng dựng tia BO cắt đờng tròn tại B'.
Dùng thớc thẳng nối A' với B' ta đợc đờng thẳng d' cần dựng.
Ví dụ 3: Cho hai đờng thẳng (d1) và (d2), hai điểm A, G không thuộc (d 1), (d2).
HÃy dựng ABC có trọng tâm G và hai đỉnh B và C lần lợt thuộc (d1)
và (d2).
Giải
Phân tích: Giả sử đà dựng đợc ABC có trọng tâm G, hai đỉnh B và C lần lợt
thuộc (d1), (d2). Gọi M là trung điểm cạnh BC thì M đợc xác định bởi:

3
AM = AG .
A
2
Thực hiện phép ®èi xøng t©m M:
S(M): C  B, (d2)  (d’2).
Ta có B(d2).
G
Vậy B là giao điểm của (d2) và (d1).
Cách dựng: Ta lần lợt thực hiện:
B
C

3
M
(d
)
(d2)
(d2)
- Dựng AM = AG .
1
2
- Dựng đờng thẳng (d2) với (d2) = S(M)[(d2)] và giả sử (d2) cắt (d1) tại B
- Dựng điểm C với C = S(M)(B)
thì ABC là tam giác cần dựng.
Chứng minh: Dựa vào cách dựng ta có:
- B(d1);
- B(d2);
- S(M)[(d’2)] = (d’2) vµ C = S(M)(B)  C(d2)


3 
- M là trung điểm cạnh BC và AM = AG G là trọng tâm ABC.
2
Biện luận: Số nghiệm hinh của bài toán bằng số điểm chung của (d1) và (d2).
Bài toán 6: Hệ toạ độ đối với phép đối xứng tâm và phép quay.
Phơng pháp áp dụng
Sử dựng kết quả: Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho điểm I(a; b). Phép
đối xứng tâm ĐI biến điểm M(x; y) thành điểm M'(x'; y') với:
x
x ' 2 a

.
y
y ' 2 b

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm toạ độ điểm M là điểm đối xứng với
điểm M(1; 2) qua:
a. Gèc O.
b. §iĨm I(1; 2).
c. §iĨm I(4; 1).

VÝ dô 1:

10


Giải
a. Ta có ngay M(1; 2).
b. Sử dụng công thức trung điểm ta đợc M(1; 6).

c. Sử dụng công thức trung điểm ta đợc M(9; 4).
Ví dụ 2: Tìm tọa độ ảnh của điểm M(1; 0) qua phép quay:
a. T©m O gãc quay 900.
b. T©m O gãc quay 900.
0
c. Tâm O góc quay 135 .

Giải
y
M1

0

a. Từ hình vẽ, ta suy ra Q 90
= M1(0; 1).
O (M)
0

b. Tõ h×nh vÏ, ta suy ra Q O 90 (M) = M2(0; 1).

M3

M
1 x

0

c. Tõ h×nh vÏ, ta suy ra Q O 90 (M) = M3(x3; y3) víi:

x3 = OM3.sin450 = OM.sin450 =  1. 2 =  2 ,

2
2
y3 = OM3.sin450 = OM.sin450 = 1. 2 = 2 .
2
2


2 2
;
VËy, ta ®ỵc M 3  
.
2 
 2

O
M2

 NhËn xÐt: Nh vậy, việc tìm toạ độ của điểm qua một phép quay phức tạp hơn
Ví dụ 3:

hẳn so với phép đối xứng tâm. Và khi gặp những yêu cầu này để tơng minh các em học sinh tốt nhất hÃy vẽ hình ra.
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, xác định phơng trình đờng thẳng (d1) đối
xứng với đờng thẳng (d): x2y + 2 = 0 qua ®iĨm I(1; 1).

 Híng dÉn: Để nhận đợc phơng trình một đờng thẳng chúng ta ®Ịu biÕt r»ng cã

thĨ lùa chän mét trong ba c¸ch:
a. Cách 1: Biết một điểm mà đờng thẳng đó đi qua cïng ph¬ng cđa
nã. Nh vËy, ta sÏ thùc hiƯn:
 Bằng việc sử dụng công thức toạ độ của phép đối xứng tâm

ta tìm một điểm mà (d1) đi qua.
Sử dụng tính chất của phép đối xứng tâm biến đờng thẳng
thành đờng thẳng song song hoặc trùng với nó, tøc (d 1) song
song víi (d).
b. C¸ch 2: BiÕt hai điểm phân biệt mà đờng thẳng đó đi qua.
c. Cách 3: Sử dụng phơng pháp quỹ tích.
Trờng hợp đặc biệt, khi tâm đối xứng I thuộc đờng thẳng (d) thì (d 1)
sẽ trùng với (d).

Giải
Ta có thể trình bày theo các cách sau:
Cách 1: Lấy một điểm A(0; 1)(d), gọi A1 là điểm đối xứng với A qua I th× A1(2; 1).
 V× (d1)//(d): x2y + 2 = 0  (d): x2y + C = 0.
 V× A1(d1)  C = 0.
Vậy phơng trình đờng thẳng (d1): x2y = 0.
Cách 2: Lấy hai điểm A(0; 1) và B(2; 2) thuéc (d) ta cã:
11


ĐI(A) = A1(2; 1) và ĐI(B) = B1(0; 0)
Khi đó, phơng trình đờng thẳng (d1) đợc xác định bởi:
qua A1 (2;1)
x 2 y 1
(d1): 
 (d1):
 (d1): x  2y = 0.

0 2 0 1
qua B1 (0;0)
Cách 2: Với mỗi đểm M(x, y)(d) thì tồn tại điểm M 1(x1, y1)(d1) nhận I làm

trung điểm, ta đợc:
2
x 2 x
x x


 
.
2
y  y
 y 2  y
(I)
Thay (I) vµo phơng trình của (d), ta đợc:
(2x1)2(2y1) + 2 = 0  x12y1 = 0.
(1)
ViÕt l¹i (1) díi d¹ng: x2y = 0.
(2)
Đó chính là phơng trình đờng thẳng (d1).
Ví dụ 4:

1

1

1

1

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm phơng trình của đờng thẳng (d1) là
ảnh của đờng thẳng (d): x + y  2 = 0 qua phÐp quay t©m O gãc quay

900.

Giải Bạn đọc tự vẽ hình

Ta có hai cách trình bày sau:
Cách 1: Lấy hai điểm A(2; 0) vµ B(0; 2) thuéc (d) vµ gäi:
A1 = Q 90
 A1(0; 2);
B1 = Q 90
 B1(2; 0).
O (A)
O (B)
Khi ®ã, phơng trình đờng thẳng (d1) đợc xác định bởi:
qua A1 (0; 2)
x y
(d1): 
 (d1):
 1  (d1): x  y + 2 = 0.
qua
B
(

2;0)
2 2

1
0

0

0

Cách 2: Lấy điểm A(2; 0) (d) và Q 90
= A1(0; 2).
O (A)
Khi đó, phơng trình đờng thẳng (d1) đợc xác định bởi:
qua A1 (0; 2)
qua A1 (0;2)

(d1): 
 (d1): 
 (d1): x  y + 2 = 0.
(d1 )  (d)
 vtpt n(1;  1)

 NhËn xÐt: Nh vËy, trong lêi gi¶i cđa ví dụ trên để thuận lợi chúng ta đà chọn
Ví dụ 5:

các điểm là giao điểm của (d) với các trục toạ độ.
Yếu cầu: Các em hÃy xây dựng phơng pháp tổng quát để thực hiện
dạng toán trên.
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đờng tròn (C): x2 + y24x2y + 3 =
0. Xác định phơng trình đờng tròn (C1) ®èi xøng víi ®êng trßn (C) qua
®iĨm E(1; 2).

Híng dÉn: Để nhận đợc phơng trình một đờng tròn chúng ta ®Ịu biÕt r»ng cã thĨ

lùa chän mét trong hai c¸ch:
a. Cách 1: Biết toạ độ tâm và độ dài bán kính của nó. Do đó, bằng
việc sử dụng công thức toạ độ của phép đối xứng tâm ta tìm đợc

toạ độ tâm I1 của đờng tròn (C1) là ảnh tâm I của đờng tròn (C)
qua phép đối xứng tâm E. Tõ ®ã:

12


Tâm I1
(C1 ) :
, với R là bán kính đờng tròn (C).
Bkính R
b. Cách 2: Sử dụng phơng pháp quỹ tích.

Giải

Ta có thể trình bày theo các cách sau:
Cách 1: Xét đờng tròn (C) có tâm I(2, 1) và bán kính R = 2 .
Gọi I1 là tâm đờng tròn (C1).
Vì (C) và (C1) đối xứng qua điểm E nên E là trung điểm II1, do đó I1(0, 3).
Phơng trình đờng tròn (C1) đợc cho bởi:
tam I ( 0,3)

(C1): 
 (C1): x2 + (y3)2 = 2.

2
bkinh R 
C¸ch 2: Với mỗi M(x, y)(C1) M1(x1, y1)(C) sao cho M đối xứng với M1 qua
E
x1, y1 thoả m·n:


1

( x 1 
2) 2
 (y

x 1  x 2
y
 y 4
1


( x 1

2)

2 
x 1
y
4 
1


2

 (y

1



1

1)

2



1)

2

2

2

x
y

 x2 + (y3)2 = 2.
Vậy phơng trình đờng tròn (C1): x2 + (y3)2 = 2.
C. bµi tËp rÌn lun
Bµi tËp 1. Cho tam giác đều ABC với (AB, AC) = (BC, BA) = (CA, CB) = 60 0.
HÃy kể tên những phép dời hình biến tam giác ABC thành thành chính nó.
Bài tập 2. HÃy chỉ ra các phép dời hình biến hình vuông ABCD thành thành chính
nó.
Bài tập 3. Cho hai ®iĨm ph©n biƯt A, B. Chøng minh r»ng nÕu phÐp dêi h×nh f
sao cho f(A) = B, f(B) = A thì f là phép đối xứng trục hoặc là phép đối xứng tâm.
Bài tập 4. Chứng minh rằng hợp thành của một số phép quay với tâm quay trùng

nhau là một phép quay.
Bài tập 5. Chứng minh rằng:
a. Hợp thành cđa hai phÐp ®èi xøng trơc cã trơc ®èi xøng đồng quy là một phép
quay.
b. Mỗi phép quay đều có thể xem là hợp thành của hai phép đối xứng trục có
trục đối xứng cắt bằng nhiều cách.
Bài tập 6. Cho tam giác đều ABC với (AB, AC) = (BC, BA) = (CA, CB) = 600. Gọi
QA, QB là các phép quay góc quay 600. Gọi f là phép hợp thành của QB và QA.
a. Phép f biến các điểm A, B, C thành điểm nào ?
b. Phép f là phép gì ?
c. Phép hợp thành của QA và QB là phép gì ?
Bài tập 7. Cho hai phép quay QA, QB có tâm quay là hai điểm phân biệt A, B vµ
cã cïng gãc quay 900. Gäi f lµ hợp thành của Q A và QB, f là hợp thµnh cđa Q B vµ
QA. H·y chøng tá r»ng f và f là những phép đối xứng tâm và nêu rõ cách xác định
tâm đối xứng của các phép đó.
Bài tập 8. Về phía ngoài hình bình hành ABCD dựng các hình vuông có cạnh lần
lợt là AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng bốn tâm của hình vuông đó là đỉnh của
một hình vuông.
Bài tập 9. Cho đờng tròn (O) và một điểm I không nằm trên đờng tròn đó. Với
mỗi điểm A thay đổi trên đờng tròn, ta xét hình vuông ABCD có tâm là I. Tìm quỹ
tích các điểm B, C, D.
Bài tập 10. Cho hai đờng thẳng (d) và (d) song song và một điểm A không ở trên
(d) và (d). HÃy dựng điểm B trên (d) và điểm C trên (d) sao cho ABC là tam giác
đều, có các đỉnh đợc kí hiệu theo hớng d¬ng.
13


Bài tập 11. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm toạ độ điểm M là điểm đối xứng với
điểm M(2; 5) qua:
a. Gốc O.

b. Điểm I(2; 1).
c. Điểm I(1; 1).
Bài tập 12. Tìm tọa độ ảnh của điểm M(4; 0) qua phÐp quay:
a. T©m O gãc quay 900.
b. T©m O góc quay 900.
c. Tâm O góc quay 1350.
Bài tập 13. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm phơng trình đờng thẳng (d) đối xứng
với đờng thẳng (d): x2y + 2 = 0 qua:
a. Gèc O.
b. §iĨm I(2; 0).
c. §iĨm I(1; 1).
Bài tập 14. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm phơng trình của đờng thẳng (d1) là
ảnh của đờng thẳng (d): x + 2y  4 = 0 qua phÐp quay tâm O góc quay 900.
Bài tập 15. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đờng tròn (C): x2 + (y1)2 = 4.
Tìm phơng trình của đờng tròn (C1) là ảnh của đờng tròn (C) qua phép quay tâm O
góc quay 900.
D. hớng
hớng dẫn đáp sốp số
Bài tập 1.
Gọi f là phép dời hình thoả mÃn điều kiện đầu bµi, tøc:
f(ABC)  {ABC, ACB, BCA, BAC, CAB, CBA}ABC, ACB, BCA, BAC, CAB, CBA}
tõ ®ã, dƠ thÊy cã 6 phÐp dời hình biến ABC thành một trong 6 tam giác kể trên.
Ta lần lợt có:
Nếu f(ABC) = ABC thì f là phép đồng nhất.
Nếu f(ABC) = ACB thì f là phép đối xứng qua đờng trung trực của cạnh
BC.
Nếu f(ABC) = BCA thì f là phép quay tâm O (với O là tâm của ABC) góc
quay 1200.
Nếu f(ABC) = BAC thì f là phép đối xứng qua đờng trung trực của cạnh
AB.

Nếu f(ABC) = CAB thì f là phép quay tâm O (với O là tâm của ABC) góc
quay 1200.
Nếu f(ABC) = CBA thì f là phép đối xứng qua đờng trung trực của cạnh
AC.
Bài tập 2.
Gọi O là tâ hình vuông ABCD và f là phép dời hình thoả mÃn điều
kiện đầu bài, tøc:
f(O) = O,
f(A)  {ABC, ACB, BCA, BAC, CAB, CBA}A, B, C, D}.
Ta lần lợt có:
Nếu f(A) = A thì f là phép đồng nhất hoặc phép đối xứng trục AC.
Nếu f(A) = B thì f là phép đối xứng qua đờng trung trực của cạnh AB hoặc
phép quay t©m O gãc quay (OA, OB).
 NÕu f(A) = C thì f là phép đối xứng qua đờng thằng BD hoặc phép đối
xứng tâm O.
Nếu f(A) = D thì f là phép đối xứng qua đờng trung trực của cạnh AD hoặc
phép quay tâm O góc quay (OA, OD) = 3(OA, OB).
Bài tập 3.
Gọi I là trung điểm cđa AB vµ f(I) = I’, suy ra:
AI

BI
'


 I  I.
BI AI '
A, B, I ' thẳng hàng

Khi đó, gọi d là đờng trung trực của AB thì f(d) = d.

Với hai điểm C, C thuộc d và đối xứng qua I, chỉ có thể xảy ra các trơng hợp:
Nếu f(C) = C thì f(ABC) = BAC nên f là phép đối xứng trục d.
Nếu f(C) = C thì f(ABC) = BAC nên f là phép đối xứng t©m I.

14


Bài tập 4.
kỳ:

Với các phép quay tâm O là Q , Q , ta cã nhËn xÐt vỊ ®iĨm M bÊt

(OM,OM1 ) 
(OM1 ,OM 2 ) 
; Q (M1) = M2  
.
Q (M) = M1  
OM OM1
OM1 OM 2
Tõ ®ã, suy ra:
(OM,OM 2 )   
 Q ( Q (M)) = Q (M) .

OM OM 2
VËy, hỵp thành của hai phép quay Q , Q cùng tâm O là một phép quay.
Kết luận hợp thành của một số phép quay với tâm quay trùng nhau là một phép
quay với tâm đó và có góc quay bằng tổng các góc quay của các phép quay đà cho.
Bài tập 5.
Bạn đọc tự vẽ hình theo thứ tự các bớc thực hiện
a. Gọi Đa, Đb theo thứ tự là các phÐp ®èi xøng trơc a, b cã a  b = {ABC, ACB, BCA, BAC, CAB, CBA}O} và f là

hợp thành của Đa và Đb.

Với hai điểm A, B theo thø tù thuéc a, b sao cho gãc AOB
kh«ng tï và đặt:

= (OA, OB), khi đó = AOB
là góc giữa a và b.
Với mọi điểm M khác O, giả sử Đa(M) = M1 và Đb(M1) = M2.
Gọi H, K theo thứ tự là trung điểm MM 1, M1M2, ta cã:
OM = OM1 = OM2,
(1)
(OM, OM2) = (OM, OM1) + (OM1, OM2)
= 2(OH, OM1) + (OM1, OK) = 2(OH, OK) = 2.
(2)
Vậy, hợp thành f của hai phép đối xứng trục Đa, Đb là phép quay tâm O góc quay

2.
b. Với phép quay Q tâm O, lấy đờng thẳng a đi qua O và gọi b Q (a) , ta có ngay:
2

Q Đ b (Đ a ) .
Và vì có nhiều cách chọn đờng thẳng a nên có nhiều phép đối xứng trục Đ a và
Đb có hợp thành là Tv .

Bài tập 6.
a. Gọi C là điểm đối xứng với C qua AB, ta lần lợt có:
A
C
QB(A) = C’, QA(C’) = B  f(A) = B.
O’

QB(B) = B, QA(B) = C  f(B) = C.
O
QB(C) = A, QA(A) = A  f(C) = A.
tõ ®ã, kÕt luËn f biến các điểm A, B, C thành B, C, A.
b. Từ kết quả câu a) là f(ABC) = BCA, nếu gọi O là tâm của ABC thì
B f chính làC
phép quay tâm O góc quay 1200.
c. Thực hiện tơng tự câu a), phép hợp thành của QA và QB là phép quay tâm O góc
quay 1200, trong đó O là tâm của ABC.
Bài tập 7.
Lấy điểm O nh hình bên sao cho OAB vuông cân tại O. Ta lần lợt:
a.
Với phép dời hình f, ta có:
QA là hợp thành của hai phép đối xứng trục Đ AO và ĐAB.
M2
QB là hợp thành của hai phép đối xứng trục Đ AB và ĐBO.
Suy ra f là hợp thành của bốn phép đối xứng trục theo
thứ tự ĐAO, ĐAB, ĐAB và ĐBO, tức là hợp thành của hai phép
B
A
đối xứng trục ĐAO và ĐBO.
M
Mặt khác, ta nhận thấy:
M1

O

15

OA OB f là phép quay tâm O góc quay 1800
f là phép đối xứng tâm O.
Từ hình vẽ ta thấy điểm O đợc xác định sao cho OAB vuông cân tại O và:
(AO, AB) = (BA, BO) = 450 hoặc nói cách khác (OB, OA) = 900.
b.
Tơng tự, phép dời hình f là phép đối xứng tâm O sao cho OAB vuông
cân tại O và (OA, OB) = 900.
Bài tập 8.
Gọi O1, O2, O3, O4 lần lợt là
B1
tâm các hình vuông có cạnh là AB, BC, CD,
O2
DA và I là tâm hình bình hành ABCD thì I là
tâm đối xứng của ABCD và vì:
B
C
O1
A1B song song và bằng DC 1 nên A1BC1D là A1
hình bình hành, suy ra I là trung điểm
O1O3.
I
D O3
Tơng tự, I cũng là trung điểm của O2O4.
A
Từ đó, suy ra O1O2O3O4 là hình bình hành.
Mặt khác, bằng việc sử dụng phÐp quay
O4
víi gãc quay 900 chóng ta dƠ nhËn thÊy
D1
IO1O2 vuông cân tại I.

Vậy, ta đợc O1O2O3O4 là hình vuông.
Bài tập 9.
Ta lần lợt có nhận xét:
Đ I (A) C
(C3)
C  (C1) = §I((C)).

A
D
A

(O)

0

O
Q90
0
I (A) B
 B  (C 2 ) Q90
I

P
I ((C)).
(C1)
A  (O)
0
Q I 90 (A) D
C
B

 D  (C3 ) Q I 900 ((C)).

(C
)
2
A  (O)
Bµi tập 10.
Bạn đọc tự vẽ hình theo thứ tự các bớc thực hiện
Phân tích: Giả sử đà dựng đợc tam giác đều ABC theo hớng dơng. thực hiện phép
quay tâm A, gãc 600.
0
: B  C
Q 60
A
(d)  (d1)
V× B(d) nên C(d1).
Vậy C là điểm chung của (d1) và (d). ta cịng cã B = Q A600 (C).
C¸ch dùng: Ta lần lợt thực hiện:
0
- Dựng đờng thẳng (d1) với (d1) = Q 60
thì (d1) là đờng thẳng qua K và
A
vuông góc với AK.
- (d1) cắt (d) tại C.
0
- Dựng điểm B víi B = Q A60 (C). Tam gi¸c ABC là tam giác phải dựng.
Chứng minh: Theo cách dựng ta cã:
- B(d), C(d’).
- AC = AB vµ ( AC , AB ) = 600 ABC là tam giác đều và ( AB , AC )
= 600.

Biện luận: Vì (d)//(d) nên ta luôn có một và chỉ một điểm chung C củay (d 1) và
(d). Do đó bài toán có một nghệm hình.
M3 M1
Bài tập 11.
a. M(2; 5). b. M(6; 3).
c. M’(0; 3).
Bµi tËp 12.
M
O
4 x
16

M2

C1


0

a. Tõ h×nh vÏ, ta suy ra Q 90
= M1(0; 4).
O (M)
0

b. Tõ h×nh vÏ, ta suy ra Q O 90 (M) = M2(0; 4).
0

c. Tõ h×nh vÏ, ta suy ra Q O 90 (M) = M3(x3; y3) víi:

x3 = OM3.sin450 = OM.sin450 =  4. 2 = 2 2 ,

2
y3 = OM3.sin450 = OM.sin450 = 4. 2 = 2 2 .
2
Vậy, ta đợc M 3 2 2; 2 2 .
Bài tập 13.
a. Phép đối xứng tâm O biến mỗi điểm M(x; y) thành điểm M(x; y).
Do đó bằng viƯc thay x bëi x vµ y bëi y vµo phơng trình của (d), ta đợc:
(x) 2(y) + 2 = 0  x  2y  2 = 0.
§ã chính là phơng trình đờng thẳng (d) cần tìm.
b. Nhận xét rằng I thuộc (d) nên phép đối xứng tâm I biến đờng thẳng (d) thành
chính nó, tức (d): xy + 2 = 0.
c. Ta có các cách trình bày sau:
Cách 1. Với mỗi đểm M(x; y)(d) tồn tại điểm M1(x1; y1)(d1) nhận I làm trung
điểm, ta đợc:
x x1 2
 x 2  x1
 
.
(I)

 y  y1 2
y 2 y1
Thay (I) vào phơng trình của (d), ta đợc:
(2x1)2(2y1) + 2 = 0 x12y1 = 0.
(1)
Viết lại (1) dới dạng: x2y = 0.
(2)
Đó chính là phơng trình đờng thẳng (d).
Cách 2: Lấy một điểm A(0; 1)(d), gọi A là điểm đối xứng với A qua I th× A’(2; 1).
 V× (d’)//(d): x2y + 2 = 0  (d): x2y + C = 0.

 V× A’(d’) C = 0.
Vậy phơng trình đờng thẳng (d): x2y = 0.
Bài tập 14.
Bạn đọc tự vẽ hình
Ta có hai cách trình bày sau:
Cách 1: Lấy điểm A(4; 0) (d) và Q 90
= A1(0; 4).
O (A)
Khi đó, phơng trình đờng thẳng (d1) đợc xác định bởi:
qua A1 (0;4)
qua A1 (0;4)
(d1): 
 (d1): 
 (d1): 2x  y + 4 = 0.
(d1 )  (d)
(d1 ) :2x  y  C 0
Cách 2: Lấy hai điểm A(4; 0) và B(0; 2) thuéc (d) vµ gäi:
A1 = Q 90
 A1(0; 4);
B1 = Q 90
B1(2; 0).
O (A)
O (B)
Khi đó, phơng trình đờng thẳng (d1) đợc xác định bởi:
qua A1 (0; 4)
x y
(d1): 
 (d1):
 1  (d1): 2x  y + 4 = 0.
qua

B
(

2;0)
2 4

1
Bài tập 15.
Đờng tròn (C) có tâm I(0; 1) và bán kính R = 2.
90
Gọi I1 = Q O (I) , ta cã ngay I1(1; 0).
Khi ®ã, phơng trình đờng tròn (C1) đợc xác định bởi:





0

0

0

0

17


T©m I1 ( 1; 0)
(C1): 

 (C1): (x + 1)2 + y2 = 4.
BkÝnh R 2

18