bài tập chuỗi fourier

Bài tập Giải tích 2 – Bộ môn Toán – Lý – Khoa Vật Lý – ðHSP TpHCM
CHUỖI FOURIER

Bài 1: Khai triển thành chuỗi Fourier các hàm số sau, biết chúng là những hàm tuần
hoàn với chu kỳ T = 2π.
1.
1, 0
( )
2,0
x
f x
x
π
π
− ≤ <

=

≤ ≤

2.
sin(2 ),0
( )
0, 2
t t
s t
x
π
π π
≤ <


=

≤ ≤


3.
2 , 0
( )
0,0
x x
f x
x
π π
π
+ − ≤ <

=

≤ ≤

4.
, 0
( )
,0
x
f x
x x
π π
π π

− ≤ <

=

− ≤ ≤


5.
1, 0
( ) 0,0
2
1,
2
x
f x x
x
π
π
π
π

− − ≤ <


= ≤ ≤



< ≤



6.
0, 0,
2
( )
1,0
2
x x
f x
x
π
π π
π

− ≤ < ≤ ≤


=


≤ <



7.
1, 0
( )
1,0
x
f x

x
π
π
− − ≤ <

=

≤ ≤

, sử dụng khai triển này tính tổng của chuỗi:
0
( 1)
2 1
n
n
n
∞
=
−
+
∑

8.
( ) sinf x x=
, trên ñoạn [-
π
;
π
]. Sau ñó tính tổng:
1 1 1

...
1.3 3.5 5.7
+ + +


Bài 2: Khai triển thành chuỗi Fourier các hàm số sau:
1.
1,0
2
( )
0,
2
x
f x
x
π
π
π

≤ <


=


≤ ≤


2.
( ) ,0

2
f x x x
π
π
= + ≤ ≤

a .theo các hàm cosin a .theo các hàm cosin
b. theo các hàm sin b. theo các hàm sin
3.
( )
( ) ,0f x x x x
π π
= − ≤ ≤
theo các hàm số sin
4.
( ) sin ,0f x x x
π
= ≤ ≤
theo các hàm số cos
5.
( ) cos ,0f x x x
π
= ≤ ≤
theo các hàm số sin
6.
( ) ,0
x
f x e x
π
= ≤ ≤

.
7.
1,0 1
( )
2 ,1 2
x
f x
x x
≤ <

=

− ≤ ≤

a. theo các hàm số sin b. theo các hàm cosin.

Bài 4: Xét hàm số
2
( )
2
x
f x x= −
trên [0; 2].
a) Biểu diễn f(x) dưới dạng chuỗi hàm:
0
( ) .cos
n
n
f x a nx
+∞

=
=
∑
với a
n
là các hệ
số thực.
b) Tìm khai triển Fourier nếu f(x) là hàm tuần hòan với chu kỳ T = 4.
c) Biểu diễn f(x) dưới dạng chuỗi hàm:
1
( ) .sin
3
n
n
n x
f x B
π
+∞
=
 
=
 
 
∑
với B
n
là các
hệ số thực.

Bài 5: Cho f(x) = x – x

2
;
]1,0[∈∀x
.
a) Biểu diễn f(x) dưới dạng chuỗi hàm:
∑
+∞
=
=
0
sin.)(
n
n
xncxf
π
với c
n
là

các hệ
số thực.
b) Biểu diễn f(x) dưới dạng chuỗi hàm:
0
( ) .cos
2
n
n
n x
f x a
π

+∞
=
 
=
 
 
∑
với a
n
là

các hệ số thực.

Bài 6. Cho hàm số
( ) ; [0,3].f x x x= ∀ ∈

a) Biểu diễn f(x) dưới dạng chuỗi hàm:
∑
+∞
=
=
0
cos.)(
n
n
nxcxf
với c
n
là các hệ
số thực.

b) Sử dụng kết quả trên, tính tổng của chuỗi số :
...
5
1
3
1
1
22
+++

c) Biểu diễn f(x) dưới dạng chuỗi hàm:
0
( ) .cos
3
n
n
x
f x d n
π
+∞
=
 
=
 
 
∑
với d
n
là
các hệ số thực.

d) Biểu diễn f(x) dưới dạng chuỗi hàm:
1
( ) .sin
4
n
n
n x
f x B
π
+∞
=
 
=
 
 
∑
với B
n
là các
hệ số thực.