Bài toán mệnh đề và biến đổi

Mệnh đề và một số bài toán biến đổi
Lê Trần Hoài Nam
Cácbạn thân mến! Qua các cuộc thi, hẳnta đã tiếp xúc khá nhiều bài toán mang tính chất
biến đổi trạng thái,để đưa trạng thái nguồn về trạng thái đích. Lối giải quyết thườngmù
tịt. Để giải chúng, ta cần trải qua một số nhận xét, mà tôi tạmgọi là bổ đề. Việc tìm ra
mệnh đề bổ trợ sẽ soi sáng đường chochúng ta đi đến kết quả, có thể là chặt bớt nhánh
trong một rừng tìmkiếm, có khi là tìm điều kiện tồn tại nghiệm, và đôi khi chúng còngiúp
bạn đến cỡ 90% bài toán. Chúng tra hãy cùng lướt qua một số vídụ.
Bàitoán 1 : Lưới đèn (Đề toàn quốc 1995)
Đề:
1lưới đèn N*N bóng ,mỗi bóng có 2 trạng thái: sáng (1) và tắt (0). Vídụ 1 trạng thái của
lưới với N=3.
1 0 1
1 1 0
0 0 1
Mỗihàng và cột đều có 1 công tắc. Khi ấn sẽ thay đổi trạng thái của tấtcả các bóng (0 →1,
1 → 0)trên hàng (cột) đó.
Nhiệmvụ là phải biến đổi 1 trạng thái nguồn thành trạng thái đích qua 1số ít nhất S lần biến
đổi.
Dữliệu cho trong file ′battat.inp′ cho số N và trạng thái đầu A, trạngthái đích B, kết quả in
ra ở file ′battat.out′ gồm số S và các bướcbiến đổi. Nếu không thể biến A thành B, S = -1.
Vídụ:
Battat.inp 3
10 1
11 0
00 1
00 0
10 0
01 1
Battat.out
2

h1c2
Giải:
Trướchết ta có đưa ra vài bổ đề:
1/ số cách ấn mỗi cách tối đa là 1.
2/ thứ tự các cách ấn là không quan trọng.
3/ nếu A[i,j]=B[i,j] thì nếu cách nhấn hàng i song hành với cáchnhấn cột j (i=1..m,j=1..n)
vàngược lại.
Dođó ta sẽ phân hoạch được tập A={hàng 1, hàng 2,.., hàng N, cột 1, cột2,..,cột N} thành 2
tập con (trong trường hợp có đáp án cho bài toán, tứcS ≠-1).
Tadễ dàng chứng minh điều này:
Tacó tất cả các cột dều phụ thuộc vào hàng 1, và tất cả các hàng dềuphụ thuộc vào cột 1 →
đpcm.
Tasẽ lập 1 mảng 2 chiều C [1..2,1..N] với
c[1,i]=1 nếu hàng i thuộc tập hợp 1 và =2 nếu tuơng tự
c[2,i]=1 nếu cột i thuộc tập hợp 1 và =2 nếu tuơng tự.
t[i]là số phần tử thuộc tập hợp i (i=1..2).
Ta xây dựng C bằng cách lần lượt so sánh tất cảcác phần tử của A và B theo thứ tự từ trên
xuống, từ trái qua.
Bước 1:
Bước 2 :
S:=max(t[1],t[2]); { lấy tập hợp nhiều phần tử nhất,
in ra tất cả ′h - ′i ( ′c - ′i) nếu những hàng (cột) thuộc tập nhiều phần tử nhất
(tập 1 hay tập 2) }
Baitoán 2 : Party Lamps (IOI 1998 tai Bồ Đào Nha)
Đề:
Để thắp sáng buổi dạ hội tại Cuộc thiOlympic Tin học quốc tế năm 1998, chúng ta có một
bộ gồm N ngọn đènmàu đánh số từ 1 đến N. Các ngọn đèn được nối với nhau bằng bốnnút:
nút 1
khibấm nút này, tất cả các ngọn đèn đều đổi trạng thái: các ngọnđèn đang ở chế độ ON sẽ
chuyển thành OFF và tất cả các ngọn đènở chế độ OFF sẽ chuyển thành ON.

nút 2
thayđổi trạng thái của tất cả các ngọc đèn mang số lẻ.
nút 3
thayđổi trạng thái của tất cả các ngọn đèn mang số chẵn.
nut 4
thayđổi trạng thái của tất cả các ngọn đèn được đánh số dạng 3K+1(với K≥0), ví dụ: 1,4,7,
…
Cómột chiếc máy đếm C ghi lại tổng số lần bấm nút.
Khi buổi dạ tiệc bắt đầu, tất cả các đèn đều ở trạng thái ON vàmáy đếm C được đặt ở 0.
Bàitoán Cho trước giá trị đếm máy C ghi đượcvà thông tin trạng thái cuối cùng của một số
ngọn đèn. Hãy viết chươngtrình xác định trạng thái cuối cùng có thể (không lặp lại) của
Nngọn đèn theo thông tin cho trước.
Input File PARTY.IN chứa bốn dòng: số ngọn đèn N, số lần bấm đèn C và trạng thái
cuốicùng của một số ngọn đèn.
Dòng đầu tiên chứa số N và dòng thứ hai chứa giá trị cuối cùng máyđếm C ghi nhận. Dòng
thứ ba chứa số ngọn đèn ở trạng thái cuối cùnglà ON, các thông tin được ngăn cách bằng
ký tự trống, cuối dòng cósố nguyên -1. Dòng thứ tư chứa số ngọn đèn ở trạng thái cuối
cùnglà OFF, các thông tin cũng được ngăn cách bằng ký tự trống và kếtthúc bằng số
nguyên -1.
party.inp
10
1
-1
7 -1
Trong ví dụ này có tất cả 10 ngọn đènvà chỉ một nút đã được bấm. Ngọn đèn số 7 ở trạng
thái cuối cùnglà OFF.
Output File PARTY.OUT phải chứa tất cả các trạng thái cuối cùng (không lặp lại) có thể
củatất cả các ngọn đèn. Mỗi trạng thái phải được thể hiện trên mộtdòng riêng. Các trạng
thái có thể được sắp xếp tuỳ ý.
Mỗi dòng có N ký tự trong đó ký tự đầutiên chỉ trạng thái của ngọn đèn số 1 và chữ số cuối

cùng chỉ trạngthái của ngọn đèn N. Số 0 chỉ ngọn đèn ở trạng thái OFF và số 1chỉ ngọn
đèn ở trạng thái ON.
Party.out 0000000000
0110110110
0101010101
Trong trường hợp này, các ngọn đèn cóthể ở ba trạng thái:
tất cả các ngọn đèn đều ở trạng thái OFF;
hoặc các ngọn đèn 1, 4, 7, 10 ở trạng thái OFF và các ngọn đèn 2, 3, 5, 6, 8, 9 ở trạng thái
ON;
hoặc các ngọn đèn 1, 3, 5, 7, 9 ở trạng thái OFF và các ngọn đèn 2, 4, 6, 8, 10 ở trạng thái
ON.
Ràngbuộc Các tham số N và C thỏa mãn điều kiện:10 ≤ N ≤ 100, 1 ≤C ≤10000
Số ngọn đèn có trạng thái cuối cùng là ON nhỏ hơn hoặc bằng 2.
Số ngọn đèn có trạng thái cuối cùng là OFF nhỏ hơn hoặc bằng 2.
Có ít nhất một trạng thái cuối cùng cho các ngọn đèn trong file chạythử.
Giải:
ở bài này, ta cũng có nhận xét 1/ của bài 1. Nhận xétthứ 2 sau đây là quan trọng nhất:
2/ Với c>4, tồn tại 2 lần bấm giốngnhau trong c lần bấm.
Bạn đọc dễ dàng chứng minh điều này.
Như vậy, nếu c>4 thì nhấn c lần tươngđương với nhấn c-2 lần;
Cứ như vậy, ta sẽ đơn giản c>4 → c=3 hoặc c= 4. Ta có thể tính c đơn giản như sau:
ifc>4 then c:= 4-c mod 2;
Tiếptục đơn giản c,với c nhận được(c≤4),ta sinh tất cả các tổ hợpchập Ai c, c-2, c-4 (chỉ
lấy phần tử c-2,c-4 nếu chúng ≤0) phần tử từtập các cách nhấn A={1,2,3,4}.
Vídụ với c=2, ta sẽ có các tập hợp Ai (i=1..T) với T là số tổ hợp tìmđược lần lượt là:
{},{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4};
Nhưvậy, Tmax=Max{T(4),T(3),T(2),T(1)}= C
4

0

+ C
4
2
+ C
4
4
=1+6+1=8; một con số khá
nhỏ?.
Talập sẵn tất cả các tổ hợp các cách nhấn:
A*={{},{1},{2},{3},{4},{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4},{1,2,3},{1,2,4},{1,3,4},
{2,3,4},{1,2,3,4}}
Vớimỗi Ai với |Ai|=c, ta lần lượt biến các bóng đèn đã cho trước trạngthái (ban đầu là toàn
ON) xem có phù hợp hay không. Nếu đúng, ta ghinhận.
Bàitoán 3 : Xoayđồng hồ (Vô địch Hunggary 1991)
Đề:
Cho 9 cái đồng hồ,mỗi cái có 4 trạngthái chỉ giờ: 0,3,6,9 (hình 1) đánh số từ 1 đến 9
Cho 9 cách quay bộ đồng hồ như hình 2, dượcđánh số từ 1 đến 9 từ trên xuống, từ trái qua
phải. Các ô bôi đenxác định đồng hồ tương ứng sẽ quay kim giờ 1 góc 90 độ.
Ví dụ cách chọn sẵn ở hình 2 gồm cácđồng hồ 1,2,4,5.
Cho trước 1trạng thái của bộ đồng hồ, hãy xác lập 1 số ít nhất số lần biếnđổi để đưa tất cả
các đồng hồ về 0 giờ.
Trongfile dongho.inp gồm trạng thái của 9 cái đồng hồ (0..3 tương ứng0,3,6,9 giờ).
output
Trongfile dongho.out gồm:
- dòng đầu tiên là số lần biến đổi N.
- N dòng tiếp theo lần lượt là số hiệu của các cách nhấn.
ví dụ:
dongho.inp
1 0 1

2 1 1
01 3
dongho.out
9
1 1 3 3 4 6 7 7 7
Giải:
Ta có thể vét cạn tất cả các cấu hình, trong trường hợp xấu nhất là 4
9
(khá nhỏ)
Tuy nhiên,ta có thể rútngắn thời gian tìm kiếm bằng 1 định lí:
Tồn tại duy nhất đúng 1 cách quay tất cảcác đồng hồ về 0 giờ.
Thật vậy, với bổ đề sau, ta có thể dễ dàngchứng minh định lí.
1/ thứ tự các cách nhấn là không quan trọng.
2/ số cách nhấn mỗi cách tối đa là 3.
3/ Từbất kì cấu hình nguồn nào, qua 1 số hữu hạn bước,ta đều đưa đưađược về cấu hình
đích bất kì.
C/m:
Trước hết, ta đưa ra 3 nhận định:
- Sốtrạng thái của bộ 9 đồng hồ là 4
9
.
- Nếugọi bộ cách biến đổi là ″tối giản″ nếu không có cách nào biếnquá 3 lần
thì ta sẽ có 4
9
bộ tối giản.
- Từmột cấu hình bất kì A đều tồn tại 1 cách bộ tối giản C để đưa vềtrạng thái bất kì B.
c/m:
Ta lấy đồng hồ số 1 làm gốc, ta xét sự chênh lệch của 9 đồnghồ F với đồng hồ 1 (khi đó
F[1] sẽ =0).
Độ chênh lệch là số góc vuông, theo thứtự vòng tròn cùng chiều kim đồng hồ, số 3 (9 giờ)

đứng trước số0 (0 giờ).
Đầu tiên, ta tạo cho các đồng hồ cáckhoảng cách tương ứng với đồng hồ 1 độ lệch cố định
nào đó (từ 0 đến 3) với cấu hìnhB, gọi là cấu hình D.
ví dụ:
với B= 2 3 0
1 1 0
1 0 3
thì ta có thểđưa về: D= 1 2 3
0 0 3
0 3 2 { Mỗiđồng hồ thuộc D đều trễ hơn so với B 1 góc vuông }
bằng cách thayđổi từng khoảng cách của từng đồng hồ một bởi các tổ hợp cách:
Đồng hồ 1:2 4 9
-----------2 :1 2 3 4 5 6 8 8
-----------5 :2 4 6 8 1 9
tương tự cho cácđồng hồ còn lại.
Sau khi đã cóD, ta lại xét các trường hợp khoảng cách D và B, dựa vào đó, tasẽ san bằng
khoảng cáchgiữa B và D bằng tổ hợp biến đổi:
Kcách = 0: {}
-----------1: { 11 1 2 2 3 3 3 4 4 5 5 5 6 6 7 7 7 8 8 9 9 } (1) /* Ta sử dụng trình quay lui để
tính giùm bước này*/
-----------2: { 11 3 3 5 5 7 7 9 9 } (2) /* Ta gấp 2 và đơn giản cấu hình (1) */
-----------3: { 12 2 3 4 4 5 6 6 7 8 8 9 } /* ởđây ta cộng gộp đơn giản (1) và(2), rồi đơn giản
*/
Vậy là ta đã cócấu hình B, tập hợp tất cả các cách biến đổi trên lại thành tập E, đơngiản E
ta được C. Bổ đề số 3 đã được chứng minh xong.
Như vậy, ta có sựánh xạ song ánh từ tập 4
9
cách biến đổi đến 4
9
cấu hình bộ đồng hồ.

Vậy tồn tại duynhất một cách biến đổi để đưa một cấu hình bất kì đến cấu hìnhđích (Toàn
0 giờ) (đpcm).