Giải toán điện xoay chiều bằng giản đồ vecto và số phức newstudy vn

A. PHƯƠNG PHÁP DÙNG GIẢN ĐỒ VECTƠ.
I. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Ta có thể xem các đại lượng tức thời của dòng điện xoay chiều hình sin như
một dao động điều hòa. Như vậy có thể biểu diện chúng bằng những vecto.
Dựa và tính chất mạch điện ta có thể chuyển từ các phép tính đại số thành các
phép tính vectơ ( hay phép tính hình học)
Ví dụ:
Đối với đoạn mạch ghép nối tiếp ta có tính chất: cường độ dòng điện qua các
đoạn mạch là như nhau, còn điện áp toàn mạch bằng tổng điện áp các đoạn mạch
thành phần.
i = I
0
cos(ωt)
u = U
0
cos( ωt +φ)
Có thể biểu diễn bằng hình học như sau:
u
r
=
1 2 3
u u u+ +
ur uur uur
1
I
U
U
1
U
2
O

U
3
I
U
U
1
U
2
O
U
3
hay
Đối với mạch song song ta có tính chất: điện áp các đoạn mạch bằng nhau,
còn cường độ dòng điện ở mạch chính bằng tổng cường độ dòng điện ở các mạch
thành phần.
u = U
o
cos(ωt)
i = I
0
cos(ωt +φ) :
Ta biểu diễn bằng hình học như sau:
1 2
i i i= +
r r ur
Đối với một mạch điện phức tạp ta
có thể phân chia mạch điện thành các
đoạn nhỏ có cấu trúc đơn giản ( chỉ có các
phần tử ghép nối tiếp hay song song) để
lập các giản đồ vecto trước khi phối hợp

chúng lại.
Với phương pháp hình học, ta có thể giải nhanh một số bài toán điện xoay
chiều mà nếu dùng phương pháp đại số ta phải tốn khá nhiều thời gian
2
I
U
I
1
I
2
O
φ
II. MỘT SỐ BÀI TOÁN VÍ DỤ.
1/ Công suất, hệ số công suất và điện áp hiệu dụng các đoạn mạch.
Bài 1.
Một đoạn mạch điện gồm một cuộn dây ghép nối tiếp với một tụ điện. Hai
đầu mạch có một điện áp xoay chiều có điện áp hiệu dụng U. Biết giá trị hiệu dụng
của điện áp các đoạn mạch như sau: U
d
= U
C
= U. Tìm hệ số công suất của mạch
điện.
Giải:
Ta có u = u
d
+ u
c

Nhận xét: cuộn dây có điện trở thuần, nếu không thì u

L
+ u
C
sẽ bằng 0
Ta có giản đồ vectơ như sau:
Tam giác AMB là tam giác cân có đường cao AI
Suy ra góc φ = 30
0

Vậy hệ số công suất của mạch cosφ =
3
2
= 0,865
Bài 2.
Một mạch điện gồm một cuộn dây độ tự cảm L có điện trở thuần r, ghép nối
tiếp với một điện có điện dung C. Hai đầu mạch được một điện áp xoay chiều có
giá trị hiệu dụng không đổi U = 100V tần số góc ω. Dùng vôn kế xoay chiều ta đo
điện điện áp hai đầu cuộng dây là U
1
=
100 3.V
; điện áp hai bản tụ là U
2
= 100V.
Tìm hệ số công suất của mạch điện.
Giải:
Dùng phương pháp giản đồ vectơ :
1 2
U U U= +
ur uur uur

Ta biết u
1
= u
L
+ u
r
; u
2
= u
C
. Nên ta có thể vẽ các vecto biểu diễn chúng như sau:
3
I
U
d
U
C
A
B
M
φ)
U
Vì U = U
2
= 100V nên tam giác ABM là tam
giác cân, đường cao BH chia cạnh đáy AM
thành hai phần bằng nhau. Ta có
2
100 3 3
ˆ

cos
2 2.100 2
U
MAB
U
= = =
Suy ra góc
0
ˆ
30MAB =
Góc
0 0
ˆ
ˆ
30 60M MAI= = =
Vậy φ = 30
0
Hệ số công suất cosφ =
3
0,86
2
=
Bài 3.
Một mạch điện có sơ đồ như sau:
Hai đầu AB có một điện áp xoay chiều tần số ω xác định.
Ta có giá trị hiệu dụng của điện áp các đoạn như sau:
U
AB
= U
NB

= 130V; U
MB
= 50
2
.(V)
Biết u
MB
vuông pha với u
AN
.
Tìm hệ số công suất của mạch
Giải:
Ta có u
AB
= u
AN
+ u
NB
. Ta thấy AN
là đoạn mạch RC nên u
AN
trễ pha so với i;
NB là đoạn mạch rL nên u
NB
sớm pha so
với i
Biểu diễn bằng giản đồ vectơ:
Từ U = U
NB
suy ra tam giác ABN

là tam giác cân tại B nên đường cao BH
chia AN thành hai phần bằng nhau
U
AN
/2, và vì u
MB
vuông pha với u
AN
nên
ta được
4
φ
U
I
U
1
U
2
A
M
B
H
R
C
L
A B
N
M
r
B

A
N
M
U
L
U
C
U
R
U
r
φ)
α)
U
H
U
AN
U
NB
I
U
MB
U
R
= U
C
Tam giác AMN vuông cân. Suy ra góc α =
ˆ
MAN
= 45

0
Nên U
r
= U
MB
cos45
0
= 50V
U
L
=
2 2
NB r
U U−
= 120V
U
R
= U
C
= U
L
– U
MB
sinα = 70V
Vậy hệ số công suất của mạch điện cosφ =
0.923
R r
U U
U
+

=
Bài 4.
Một mạch điện có sơ đồ:
Điện áp xoay chiều u
AB
có giá trị hiệu dụng U
không đổi; R
V
=
∞
. Khi R = R
1
thì vôn kế chỉ
U
1
= 120V; khi R = R
2
thì vôn kế chỉ giá trị U
2
= 90V. Trong hai trường hợp trên công suất
tiêu thụ vẫn bằng P.
a) Tìm điện áp hiệu dụng U.
b) Biết R
1
= 45Ω; R
2
= 80Ω. Tìm P
Giải:
Vôn kế chỉ giá trị hiệu dụng U
LC

vì vậy u
V
luôn vuông pha với u
R
.
Ta có giản đồ vectơ:
R V
U U U= +
ur uuur uuur
trong hai trường hợp
Từ biểu thức công suất tiêu thụ phụ thuộc R: P =
RI
2
=
2
2 2
2
2 2
( )
( ) 0
L C
L C
U
P R
R Z Z
U
R R Z Z
P
=
+ −

⇒ − + − =
Áp dụng định lý Viét ta được:
R
1
.R
2
= (Z
L
–Z
C
)
2
(1)
Và R
1
+R
2
=
2
U
P
(2)
5
R
C
L
A
B
V
U

U
1
U
2
φ
1
φ
2
φ
1
A B
M
M’
U
R2
U
R1
a) Từ (1) ta có tanφ
1
.tanφ
2
=
2
1 2
( )
1
.
L c
z z
R R

−
=
nên φ
1
+ φ
2
=
2
π
Tam giácAMB = tam giác BM’A. Như vậy có thể nói U
R1
= U
2
= 90V
Điện áp hiệu dụng toàn mạch: U =
1
2 2 2 2
1 2 1
150
R
U U U U V
+ = + =
b) Từ (2) ta có
2 2
1 2
150
45 80
U
P
R R

= =
+ +
= 180W.
2/ Bài toán R,L,C mắc nối tiếp có U
L
hay U
c
đạt cực đại.
Bài 1.
Mạch điện có sơ đồ như hình vẽ:
Trong đó có cuộn dây thuần cảm kháng,
độ tự cảm L biến đổi được.
Hai đầu mạch điện có một điện áp xoay chiều tần số xác định, giá trị hiệu dụng U
= 200V
a) Điều chỉnh L đến giá trị L
0
thì thấy chỉ số vôn kế V
1
cực đại và chỉ số vôn kế
V
2
là U
2
= 300V. Tìm số chỉ vôn kế V
1
lúc này.
b) Điều chỉnh L đến giá trị L
M
thì chỉ số vôn kế V
2

cực đại bằng 400V. Tìm số
chỉ vôn kế V
1
và hệ số công suất của mạch điện lúc này.
Giải:
a) Nhận xét: R; C và tần số dòng điện không đổi nên tổng trở đoạn AN là Z
1
xác định vì vậy U
1
= I.Z
1
cực đại khi cường độ dòng điện I cực đại.
Ta có
2
2
1
U
I
R L
C
ω
ω
=
 
+ −
 ÷
 
nên I cực đại khi Lω = 1/ωC ,
suy ra U
L

= U
C
= 300V
và U
R
= U = 200V
Vậy vôn kế V
1
có số chỉ là
U
1
=
2 2 2 2
200 300 360,5
R L
U U V+ = + =
6
R
C
L
A B
N
M
V
1
V
2
U I
U
1

=U
R
U
2
U
C
=U
L
φ
1
b) Vôn kế V
2
có số chỉ cực đại tức U
L
cực đại
Ta có thể biểu diễn giản đồ vectơ như sau:
Z
C
và R xác định nên góc φ
1
không đổi khi L
biến đổi, như vậy góc α cũng không đổi
Hệ thức lượng giác trong tam giác ABN
ˆ
sin
sin
L
U U
A
α

=
ˆ
sin
sin
L
U
U A
α
⇒ =
Như vậy, khi sinA = 1 thì U
L
cực đại, tam giác ABN vuông tại A.
Áp dụng định lý Pythagore ta tìm được U
1
=
2 2
2
U U−
= 346.1V
Bài 2.
Một mạch điện gồm: điện trở
thuần R = 50Ω ; cuộn dây thuần cảm có
độ tự cảm L =
1
2
π
H và một tụ điện có
điện dung biến đổi được, ghép theo sơ đồ
như hình vẽ.
Hai đầu mạch có điện áp xoay chiều u = 100

2
sin100πt.(V).
a) Tìm giá trị C
0
của tụ điện để điện áp hiệu dụng U
MN
cực đại
b) Tính U
AM
;U
MN
;U
NB
và công suất tiêu thụ trong mạch ứng với giá trị C
0
.
Giải.
Ta có giá trị Z
L
= Lω = 50Ω
tanφ
R,L
=
1
L
Z
R
=
,
4

R L
π
ϕ
⇒ =
Biểu diễn bằng giản đồ vectơ như sau:
U
MN
= U
C
cực đại khi
ˆ
A
= 90
0
( chứng minh như trên)
7
U
I
U
1
U
R
=U
2
U
L
U
C
φ
1

A
N
B
α
R
C
L
A B
N
M
I
U
RL
U
U
C
φ
r,L
U
L
A
U
R
φ)
B
N
M
α
Tam giác AMN vuông tại M, ta có α + φ
R,L

= 90
0
nên α =
,
4
R L
π
ϕ
=
. Suy ra tam giác ABN vuông cân.
a) Tìm C
0
.
Dựa vào giản đồ vectơ ta có U
c
= 2U
L
⇒ Z
C
= 2Z
L
= 100Ω
4
0
1 10
C
C F
Z
ω π
−

= =
b) Tìm U
AM
, U
NM
, U
MB

U
AM
= U
R
=
50 2
2
U
=
.(V) vì tam giác AMB vuông cân tại M
U
NM
= U
C
=
2 100 2U =
(V)
U
MB
= U
R
= 50

2
(V).
Công suất tiêu thụ trong mạch
2
R
U
P
R
=
= 100W
Bài 3.
Một mạch điện gồm cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm L, một tụ điện có
điện dung C, một điện trở thuần R nối tiếp. Hai đầu mạch nối với một điện áp xoay
chiều u = U
0
cosωt.(V), trong đó tần số ω biến đổi; khi ω = ω
0
thì U
R
đạt cực đại;
khi ω = ω
1
thì U
L
cực đại; khi ω = ω
2
thì U
C
cực đại, hãy lập biểu thức tính ω
0

; ω
1
;
ω
2
theo R,L,C và xác định mối liên hệ giữa ω
0
, ω
1
, ω
2
.
Giải:
Loại bài toán này nếu dùng giản đồ vecto để giải thì sẽ gặp khó khăn trong khâu
biện luận dẫn đến kết quả. Nhưng nếu dùng phương pháp giải tích thì việc tính
toán dẫn đến kết quả dễ dàng hơn.
Thật vậy với biểu thức: U
R
=
2 2
.
1
( )
U R
R L
C
ω
ω
+ −
U

R
cực đại khi
2 2
1
( )R L
C
ω
ω
+ −
cực tiểu => ω
0
=
1
LC
8
Với biểu thức U
L
=
2 2
.
1
( )
U L
R L
C
ω
ω
ω
+ −
=

2
2
2 2
.
1
( )
U L
R
L
C
ω ω
+ −
Đặt y =
2
2
2 2
1
( )
R
L
C
ω ω
+ −
và đặt x =
2
1
ω

Ta được phương trình y =
2 2 2

2
1 2
( ) 0
L
x R x L
C C
+ − + =
U
L
cực đại khi y cực tiểu, tức đạo hàm y’ = 0
Ta tìm được kết quả là ω
1
=
2 2
2
2LC R C−
Tương tự với biểu thức U
C
=
2 2
1
( )
U
C R L
C
ω ω
ω
+ −
Ta tìm được ω
2

=
2
2
1
2
R
LC L
−
=
2
2
2
2
L R C
L C
−
Dễ dàng nhận thấy ω
0
2
= ω
1
.ω
2
3. Mạch điện R,L,C mắc hổn hợp
Bài 1.
Cho mạch điện như hình vẽ :
Biết cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm L, điện dung
của tụ điện là C, và điện trở thuần R.
Đặt vào hai đầu mạch một điện áp xoay chiều
có biểu thức u = U

2
cosωt.(V).
a) Tìm biểu thức tổng trở toàn mạch.
b) Tìm độ lệch pha của u so với i.
c) Tìm điều kiện để cường độ dòng điện I không phụ thuộc R.
d) Nếu chỉnh điện dung C = C
1
thì U
C
cực đại. Tìm C
1
Giải :
a) Tổng trở của mạch
9
L
R
A
B
N
C
Gọi U
NB
là U
1
, ta có I
R
=
1
U
R

; I
L
=
1
L
U
Z
và i
L
trễ pha π/2 so với i
R

Giản đổ vecto biểu diễn như sau:
Như vậy I
2
= I
2
R
+I
L
2
Suy ra tổng trở Z
1
2
=
2 2
2 2
L
L
R Z

R Z+
Cường độ dòng điện i trể pha so với u
1
một góc là φ
1
, ta có sinφ
1
=
1L
L
I Z
I Z
=

U
AN
= U
C
; u
c
trễ pha so với i một góc π/2. Ta có giản đồ vecto như sau:
Theo tính chất mạch nối tiếp ta có:

1C
U U U= +
ur uuur uur
=> U
2
= U
C

2
+ U
1
2
– 2U
C
U
1
cosα
Mà cosα = sinφ
1
Thay các giá trị và chia hai vế cho I ta được
Z
2
= Z
C
2
+ Z
1
2
– 2.Z
1
2
C
L
Z
Z
Hay Z
2
=

2 2
2
2 2 2
1 L
L R
C C
R L
ω
ω
ω
   
− +
 ÷  ÷
   
+
b) Độ lệch pha của u so với i.
Dựa vào giản đồ vecto ta có
1 1
1
1 1 1 1
sin
tan tan
cos cos
C C
U U U
U U
ϕ
ϕ ϕ
ϕ ϕ
−

= = −
2 2
2
( ) .
tan
.
C L C L
L
R Z Z Z Z
R Z
ϕ
− +
=
> 0 nên u trễ pha so với i
c) Điều kiện I không phụ thuộc R.
Ta có I =
U
Z
, để I không phụ thuộc R thì Z không phụ thuộc R
Từ biểu thức Z
2
= Z
C
2
+ Z
1
2
– 2.Z
1
2

C
L
Z
Z
= Z
C
2
+ Z
1
2
(1 – 2
C
L
Z
Z
)
Và Z
1
2
=
2 2
2 2
L
L
R Z
R Z+
ta suy ra để Z không thuộc R thì 1 - 2
C
L
Z

Z
= 0 => Z
L
= 2Z
C

10
U
1
I
R
I
I
L
φ
1
I
U
U
1
U
C
φ
1
φ
α
Vậy khi LCω
2
= 2 thì I không phụ thuộc R và có giá trị là I =
U

Z
=
C
U
Z
d) Tìm C
1
để U
C1
cực đại
Hệ thức lượng giác
µ
sin
sin
C
U
U
O
α
=
=> U
C
=
µ
sin
sin
U
O
α
Sinα là hằng số nên U

C
cực đại khi sinÔ = 1=> Ô = 90
0
Hệ thức lượng trong tam giác vuông cho ta:
U
Cmax
=
1
1
sin
U
ϕ
=> Z
c
=
1
1
L
L
Z
Z
Z
Z
=
=> LC
1
ω
2
= 1
Vậy

1
2
1
C
L
ω
=
Bài 2.
Một điện trở R, hai tụ điện có điện
dung C và C’ và một cuộn dây có độ tự
cảm L được lắp như sơ đổ sau:
Một điện áp xoay chiều u = U
0
cosωt.(V)
được đặt vào hai đầu A,B của đoạn mạch
a) Tính tổng trở của cả mạch đó
b) Cho tần số ω biến đổi từ 0 đến giá trị ω = ω
0
thì xảy ra một hiện tượng đặc biệt
trong đoạn mạch. Tính ω
0
và mô tả hiện tượng đó.
( Trích Đề thi chọn học sinh giỏi quốc gia môn Vật lí năm học 1986 – 1987)
Giải:
Đặt u
c’
= u
1
; u
MN

= u
2
; u
R
= u
2
. Ta có i
L
và i
C
ngược pha nhau, ta có giản đồ
vecto như sau:
Có hai trường hợp :
11
L
R
A
B
M
C
C’
N
U
2
I
L
I
I
C
Nếu

Z
L
>Z
C
U
2
I
L
I
I
C
Nếu
Z
L
< Z
C
I
U
U
1
U
C
φ
1
φ
α
O
Ta có I
2
= I

C
– I
L
=>
2
2
.
1 1 1
L C
C L L C
Z Z
Z
Z Z Z Z Z
= − ⇒ =
−
hay như trường hợp 2 thì
2
C L
L C
Z Z
Z
Z Z
=
−
a) Tổng trở toàn mạch.
Tính chất mạch ghép nối tiếp cho ta: u = u
1
+ u
2
+ u

3
biểu diễn dưới dạng
giản đồ vecto như sau:
Xét trường hợp 1: có Z
L
> Z
C
tức ω lớn
Theo giản đồ vecto ta có
U
2
= (U
1
+ U
2
)
2
+ U
3
2
=> Z
2
= (Z
C’
+ Z
2
)
2
+ R
2

Z =
2
2
2
1
' 1
L
R
C LC
ω
ω ω
 
+ +
 ÷
−
 
Trường hợp 2: Có Z
L
< Z
C
tức ω nhỏ
Ta có U
2
= (U
2
– U
1
)
2
+ U

3
2
=> Z
2
= (Z
2
– Z
C’
)
2
+ R
2
Từ giản đồ vecto 1 ta suy
2
2
.
1
L C
C L
Z Z
L
Z
Z Z LC
ω
ω
= =
− −
Vậy Z =
2
2

2
1
' 1
L
R
C LC
ω
ω ω
 
+ +
 ÷
−
 
b) Theo biểu thức tổng trở ta thấy nếu LCω
2
= 1 thì Z =
∞
thì I = 0. Khi đó
0
1
LC
ω ω
= =
=> Z
L
= Z
C
trong mạch LC có dòng dao động duy
trì, ta gọi là hiện tượng cộng hưởng dòng
Bài 3.

Để đo điện trở R
0
và độ tự cảm của một
ống dây, người ta bố trí sơ đồ mạch điện thí
nghiệm như sau:
12
I
U
U
1
U
2
U
3
I
U
U
1
U
2
U
3
B
LR
0
A
M
C
N
R

1
R
2
r
T
Trong đó đã biết điện trở R
2
, điện dung C. R
1
,
r là những biến trở. T là tai nghe, nếu điện thế
hai điểm N,M khác nhau thì T phát ra tiếng hú.
Điều chỉnh biến trở R
1
và r sao cho tai nghe T không còn hú. Lập biểu thức liên
hệ giữa R
0
; L và C, r, ω
Giải:
Khi tai nghe T không còn tiếng hú nghĩa là không có dòng điện chạy qua
loa tai nghe: N,M cùng điện thế, ta có mạch cầu cân bằng
Ta có dòng điện i
1
qua ống dây và qua biến trở R
1
như nhau; dòng điện i
2
qua R
2
và qua tụ C như nhau, có thể vẽ giản đồ vecto như sau

Ta có U
R
= R
0
.I
1
; U
MB
= R
1
I
1
;
U
AN
= R
2
I
2
=>
0
,
R MB
U U
uuur uuuur
đồng pha
=> AF//MB => 2 tam giác AFM và MGB
đồng dạng.
Tỷ số đồng dạng cho ta
2

0
0
1
R
L
Cr
R Cr L
ω
ω
ω
= ⇒ =
(1)
Mặt khác ta có U
AM
= U
AN
=> I
1
.
2 2
0
( )R L
ω
+
= I
2
.R
2
U
MB

= U
NB
=> R
1
.I
1
= I
2
.
2 2
1
( )r
C
ω
+
Lập tỷ số và bình phương ta được:
( )
2 2 2 2 2
1 2 0
1
( ) ( ) ( )R R r R L
C
ω
ω
 
= + +
 ÷
 
(2)
Hệ phương trình (1) và (2) cho ta tìm được

1 2
2
( ) 1
CR R
L
Cr
ω
=
+

(1) => R
0
= LCrω
2
=
( )
2 2
1 2
2
1
C R R r
Cr
ω
ω
+
13
U
C
A
N,M

r.I
2
U
MB
U
AN
U
R
U
L
B
F
G
Tóm lại ta có thể dùng giản đồ vecto có thể giải một bài toán điện xoay
chiều khá đơn giản, đặc biệt là đối với loại mạch điện ghép hổn hợp. Tuy nhiên
một số bài toán điện xoay chiều có cấu trúc mạch phức tạp thì phương pháp
giản đồ vecto lại không thuận tiện, thậm chí bị bế tắt. Nhưng bằng phương pháp
dùng số phức ta có thể giải nó tốt hơn.
Chúng ta thử tìm hiểu phương pháp dùng số phức để giải bài toán điện
xoay nhiều như thế nào?
B. PHƯƠNG PHÁP DÙNG SỐ PHỨC
I. CƠ SỞ TOÁN HỌC.
Ta biết, trong tập hợp các số thực ta không thể lấy căn bậc hai của một số
âm. Điều này làm hạn chế việc thực hiện các phép tính, do đó người ta mở rộng tập
hợp các số thực thành tập hợp các số phức.
1. Biểu diễn số phức.
Ta đưa vào dạng đơn vị j, gọi là đơn vị ảo ( trong toán học ký hiệu là i) với
j
2
= -1

Mỗi số phức được viết dưới dạng : z* = a + bj ( a, b là hai số thực). Như vậy mỗi
số phức có hai phần: a là phần thực, b là phần ảo. Ta có thể biểu diễn một số phức
dưới các dạng sau:
a) Dạng đại số:
z* = a + jb
b) Dạng hình học:
Chọn mặt phẳng (P) xác định bởi hai trục
tọa độ
Ox
;
Oy
. Đơn vị trên trục Ox là 1
gọi là trục thực, đơn vị trên trục Oy là j
gọi là trục ảo. Số phức z* = x + yj biểu
diễn bằng vecto
OM
như sau:
14
O
x
1
r
y
M
x
)φ
y
j
2 2
r x y

= +
c) Dạng lượng giác của số phức:
Từ dạng hình học, ta suy ra x = rcosφ; y = rsinφ.
Như vậy z* = r(cosφ +jsinφ) gọi là dạng lượng giác của số phức.
d) Dạng logarit.
Ta biết công thức Ơle cosφ + jsinφ = e
jφ

vì vậy z* có thể viết dưới dạng z* = re
jφ
2. Một số phép tính với số phức.
Các phép tính với số phức thông thường như phép cộng, nhân, chia có thể
thực hiện ở tất cả các dạng biểu diễn, tuy nhiên tùy theo yêu cầu của bài toán ta
thấy một dạng biểu diễn này đó thì tiện lợi hơn dạng kia.
Ví dụ: Có hai số phức có dạng đại số z
1
* = a
1
+ b
1
j và z
2
* = a
2
+ b
2
j
Ta có:
Phép cộng: z
1

* + z
2
* = (a
1
+ a
2
) + (b
1
+ b
2
)j
Phép nhân: z
1
*.z
2
* = (a
1
+ b
1
j)(a
2
+ b
2
j) = (a
1
a
2
– b
1
b

2
) + (a
1
b
2
+ a
2
b
1
)j
Nhưng biểu diễn dưới dạng z
1
* = r
1
e
jφ
1

; z
2
* = r
2
e
jφ
2
thì
z
1
*.z
2

* = r
1
.r
2
e
j(φ
1
+ φ
2
)
Với
22
bar
+=
và tanφ =
a
b
;
Dạng z = re
jφ
dùng để tính tích hay thương hai số phức thì tiện lợi hơn. Tuy nhiên
trong phép chia số phức dưới dạng đại số người ta thường nhân mẫu và tử với với
số phức liên hợp của mẫu z = a + bj là
bjaz
−=
để ta được mẫu là một số thuần
thực vì z.
z
= a
2

+ b
2
.
II. PHƯƠNG PHÁP DÙNG SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN MẠCH ĐIỆN
XOAY CHIỀU.
15
Một vấn đề cơ bản khi giải quyết các bài toán mạch điện là phải xác định
tổng trở của mạch điện (tương tự việc tìm điện trở tương đương của mạch điện của
dòng điện không đổi). Đối với mạch điện của dòng điện xoay chiều ta có thể giải
quyết bài toán trên bằng phương tiện giản đồ vectơ khá thuận lợi nhưng với các
mạch điện phức tạp thì gặp nhiều khó khăn. Ta có thể đơn giản hóa cách giải bằng
cách sử dụng phương tiện số phức.
Ta biết, công thức Ơle cho thấy một đại lượng biến thiên đều hòa theo thời
gian
a = Acos(ωt +φ) có thể biểu diễn bằng một số phức a* = Ae
(ωt + φ)
hay a* =
A[cos(ωt + φ) + jsin(ωt + φ)]. Với những đại lượng biến thiên điều hòa cùng tần số
ω ta có thể biểu diễn đơn giản là a* = Ae
jφ
= A(cosφ + j.sinφ) để tính toán gọn gàn
hơn.
Như vậy trong bài toán điện xoay chiều cường độ dòng điện và điện áp là các
đại lượng biến thiên dao động điều hòa cùng tần số ω nên ta có thể biểu diễn i* =
I
0
e
jφ
1
và u* = U

0
e
jφ
2
hoặc biểu diễn dưới dạng đại số: i* = I
0
(cosφ
1
+ jsinφ
1
) và u* =
U
0
(cosφ
2
+ jsinφ
2
).
Và xác định φ = φ
2
– φ
1
là độ lệch pha của điện áp so với cường độ dòng
điện
1/ Đối với mạch điện R,L,C nối tiếp.
Ta có u* = u
R
* + u
L
* + u

C
* với việc biểu diễn số phức bằng hình học ta suy
ra có thể biểu diễn tổng trở Z bằng số phức: z* = R + (Z
L
– Z
C
)j
Định luật Ohm cho mạch R,L,C nối tiếp được viết dưới dạng i* =
*
*
z
u
hay u*
= i*.z*
2/ Đối với mạch gồm nhiều đoạn ghép nối tiếp thì
- Tổng trở toàn mạch Z* = z
1
* + z
2
* +z
3
* . . ;
- Tính chất U* = u
1
* + u
2
* + u
3
* . .
3/ Đối với mạch gồm nhiều đoạn mạch ghép song song.

16
- Tổng trở toàn mạch là Z* thỏa công thức
*
1
*
1
*
1
*
1
321
zzzZ
++=
- Tính chất: I* = i
1
* + i
2
* + i
3
* . .
4/ Đối với mạch gồm nhiều phần tử ghép hổn hợp, thì ta phân tích thành các đoạn
mạch đơn giản ( gồm các phần tử chỉ ghép nối tiếp, hoặc chỉ ghép song song) rồi áp
dụng cách tính như trên.
Ta cũng có thể chuyển đổi dạng mạch tam giác sang dạng mạch sao tương
đương theo các công thức:
***
*.*
*
321
21

zzz
zz
Z
A
++
=
***
*.*
*
321
31
zzz
zz
Z
B
++
=
***
*.*
*
321
32
zzz
zz
Z
C
++
=
Tóm lại, khi biểu diễn các đại lượng tức thời của dòng điện xoay chiều dưới
dạng số phức thì các công thức liên hệ giữa các đại lượng này có dạng giống như

đối với dòng điện không đổi.
III. MỘT SỐ BÀI TOÁN VÍ DỤ.
1. Mạch điện xoay chiều RLC không phân nhánh
Bài 1.
Mạch điện có sơ đồ như sau:
Cho biết R = 30Ω; C =
F
µ
π
200
; L =
H
π
1
và r = 20Ω.
Đặt vào mạch một điện áp xoay chiều có biểu thức u = 100
2
cos100πt.(V)
a) Viết biểu thức cường độ dòng điện qua mạch.
17
A
B
C
Z
1
*
Z
2
*
Z

3
*
A
B C
Z
A
*
Z
B
*
Z
C
*
L,rR
A B
M
N
C
b) Tính độ lệch pha điện áp đoạn AN và NB.
c) Tìm công suất nhiệt tỏa ra trên mạch và trên cuộn dây.
Giải:
Ta có Z
L
= Lω = 100Ω và Z
C
=
Ω= 50
1
ω
C

.
a) Tổng trở Z viết dưới dạng số phức
z* = (R + r) + (Z
L
– Z
C
)j = 50 + 50j
hay z* = 50
2
e
j π/4

và biểu thức u dưới dạng phức u* = 100
2
.
Cường độ dòng điện qua mạch viết dưới dạng phức: i* =
*
*
z
u
=
4
250
2100
π
j
e
= 2.
4
π

j
e
−
Vậy biểu thức cường độ là i = 2cos(100πt -
A).
4
π
.
Nhận xét cường độ trễ pha π/4 so với điện áp toàn mạch.
b) Tổng trở đoạn AN và đoạn NB
z*
AN
= 30 - 50j = 58,3e
-j1,03
z*
NB
= 20 + 100j = 102e
j1.373
Độ lệch pha giữa điện áp u
AN
và u
NB
:
rad
NBAN
403,2−=−=∆
ϕϕϕ
Vậy điện áp đoạn AN trễ pha 2,403 rad (138
0
) so với đoạn NB.

c) Công suất tiêu thụ trên mạch AB
P = U.I cosφ = 100.
2
. cos π/4 = 100W
Công suất tiêu thụ trên đoạn cuộn dây
P
NB
= r.I
2
= 20.(
2
)
2
= 40W
Bài 2.
Mạch điện gồm một điện trở R = 50Ω, cuộn dây thuần cảm L = 0,1H, tụ điện
có điện dung C = 20μF mắc nối tiếp. Đặt vào hai đầu mạch một điện áp u = [50 +
18
100
2
cos100πt + 50
2
cos300πt].(V). Tìm biểu thức của cường độ dòng điện i và
điện áp hai bản điện C.
Giải:
Nhận xét điện áp u gồm ba thành phần u
0
= 50V ; u
1
= 100

2
cos(100πt).V
và u
2
= 50
2
cos(300πt).V
Thành phần u
0
có i
0
= 0 ; u
c0
= 50V.
Thành phần u
1
tác dụng gây tổng trở Z
1
* = 50 – 127,6j
Ta có u
1
* = 50
2
(V)
i
1
*=
*
1
*

1
u
Z
=
100 2
50 127,6 j−
= 0,376 + 0,96j
i
1
= 1,03.cos(100πt + 1,2) A
u
c1
* = i
1
*.Z
c
* = (0,376 + 0,96j)(-160j) = 153.6 – 60j
u
c1
* = 160cos(100πt – 0,37) .(V)
Thành phần u
2
gây ra tổng trở Z
2
* = 50 – 41.2j
Ta có u
2
* = 50
2
(V)

i
2
* =
*
2
*
2
50 2
50 41.2
u
Z j
=
−
= 0.772 - 0.636j
i*
2
= 1.4cos(300πt - 0,69).(A)
u
c2
* = i
2
*.Z
c
* = - 33.7 – 40,92j
u
c2
= 75cos(300πt – 2.26).(V)
Vậy cường độ dòng điện trong mạch là
i = i
1

+ i
2
= cos(100πt + 1.2) + 1.4cos(300πt - 0.69)
và điện áp hai bản tụ điện là
u
c
= u
c0
+ u
c1
+ u
c2
= {50 + 160cos(100πt – 0.37) + 75cos(300πt – 2.26)}.(V)
Bài 3.
Một mạch RLC nội tiếp, cuộn dây thuần cảm, được đặt vào một mạng điện
xoay chiều có dạng u = U
0
cosωt.(V), có U
0
xác định, tần số ω biến đổi. Tìm mối
liên hệ giữa ω và các đại lượng R, L, C sao cho
19
a) Điện áp hiệu dụng hai đầu điện trở R cực đại.
b) Điện áp hiệu dụng hai bản tụ điện cực đại.
c) Điện áp hiệu dụng hai đầu cuộn cảm cực đại.
Giải:
Áp dụng phương pháp dùng số phức.
Ta có u* = U
0
và tổng trở của mạch là Z* = R + (Lω -

1
C
ω
)j
Cường độ dòng điện qua mạch i* =
0
1
( )
U
R L j
C
ω
ω
+ −
a) Điện áp hai đầu điện trở R:
u
R
* = i*.R =
0
1
( )
R
U
R L j
C
ω
ω
+ −
=U
0

2 2
1
( )
1
( )
R R L j
C
R L
C
ω
ω
ω
ω
 
− −
 
 
+ −
Điện áp hiệu dụng của điện trở U
R
=
0
2
R
U
Mà U
0R
=
0
2 2

1
.
1
( )
U R
R L
C
ω
ω
+ −
Biểu thức này cho thấy U
R
cực đại khi mẫu số cực tiểu. Suy ra Lω -
1
C
ω
= 0
Vậy ω
2
=
2
0
1
LC
ω
=

b) Điện áp hai bản tụ cực đại:
Ta có u
C

* = i*.(-
1
j
C
ω
) =
0 0
2
1
( )
1
1
1
( )
j
C
U U
R Cj LC
R L j
C
ω
ω ω
ω
ω
−
=
+ −
+ −
=
2

0
2 2 2
( 1)
( 1) ( )
LC RC j
U
LC RC
ω ω
ω ω
− −
− +
Giá trị hiệu dụng của tụ điện U
c
=
0
2
C
U
20
Mà U
oC
= U
0
2 2 2
1
( 1) ( )LC RC
ω ω
− +
Xét biểu thức trong dấu căng: ( LCω
2

-1)
2
+ (RCω)
2
= L
2
C
2
ω
4
+ (R
2
C
2
–
2LC)ω
2
+ 1
Đặt x = ω
2
ta có một phương trình bậc hai có hệ số a>0 nên đồ thị có một điểm cực
tiểu ứng với phương trình f(x) = 0 có một nghiệm kép. Lúc này U
0C
cực đại.
Nghiệm kép của phương trình x
1
= x
2
= ω
1

2
=
2 2 2
2 2 2
2 1
2 2
LC R C R
L C LC L
−
= −
Hay
2
2
1
1
1
2
R C
LC L
ω
 
= −
 ÷
 
c) Điện áp hai đầu cuộn cảm cực đại
Ta có u
L
* = i*.(
L j
ω

) =
2
0 0 0
2
2
2
2 2 2
1
1
1
1 1
1
( ) 1
(1 )
R
j
L j
LC L
U U U
R
R
R L j j
C L LC
LC L
ω
ω ω
ω
ω ω ω
ω ω
− +

= =
+ − − + −
− +
Giá trị hiệu dụng hai đầu cuộn cảm U
L
=
0
2
L
U
Mà U
oL
= U
0
2
2
2 2 2
1
1
(1 ) ( )
R
LC L
ω ω
− +
Xét biểu thức trong dấu căng ở mẫu
2
2
2 2 2
1
(1 ) ( )

R
LC L
ω ω
− +
=
2
2 2 4 2 2
1 1 2 1
( ) 1
R
L C L LC
ω ω
+ − +
Đặt x =
2
1
ω
ta được phương trình f(x) =
2
2
2 2 2
1 2
( ( ) 1
R
x x
L C L LC
+ − +
đồ thị có một điểm
cực tiểu ứng với nghiệm kép của phương trình f(x) = 0 là
x

1
= x
2
=
2
2
2
2 2
2
1
2
R
LC L
L C
ω
−
=
21
Suy ra ω
2
2
=
2
1
1
2
LC
R C
L
−

. Ta thấy ω
0
2
= ω
1
.ω
2
* Với cách giải này ta cũng có thể tìm L hay C để U
L
hay U
c
cực đại trong các bài
toán mạch RLC nối tiếp có U và ω không đổi.
Bài 4.
Sơ đồ một máy biến áp không có lõi sắt, có
tải là R
2
và tụ C
2
nối tiếp. Cho biết R
1
= 100Ω ; R
2
=
500Ω; L
1
=
5
H
π

; L
2
= 3L
1
. Hệ số hỗ cảm của hai
cuộn dây M =
7
H
π

điện dung của tụ điện
4
2
10
;
18
C F
π
−
=
.
Đặt vào cuộn sơ cấp điện áp u = 10
2
cos(100πt)(V).
Tìm biểu thức của cường độ dòng điện sơ cấp và cường độ dòng điện thứ cấp.
Giải:
Áp dụng phương pháp dùng số phức. Ta thấy:
Ở cuộn sơ cấp có suất điện động tự cảm e
tc1
= jωL

1
.i
1
* và suất điện động hỗ
cảm e
hc1
= jωM.i
2
*.
Ở cuộn thứ cấp có suất điện động tự cảm e
tc2
= jωL
2
.i
2
* và suất điện động hỗ
cảm e
hc2
= jωM.i
1
*.
Áp dụng định luật Kiếc-xốp ( Kirchoff) cho mạch sơ cấp:
U = (R+L
1
ωj).i
1
* + jMω.i
2
* (1)
[R

2
+ (L
2
ω -
2
1
C
ω
)j].i
2
* + jMω.i
1
* = 0 (2)
Thay bằng số:
22
L
1
R
1
R
2
M
U~
C
2
L
2
(100 + 500j).i
1
* + 700j.i

2
* = 10 (1’)
700j.i
1
* + (500 – 300j).i
2
* = 0 (2’)
Giải hệ phương trình này ta tìm được: i
1
* = (5.32 – 6.044j)10
-3
(A)
và i
2
* = (- 2.936 – 9.21j)10
-3
(A)
Viết dưới dạng theo biến thời gian
i
1
= 8.1cos(100πt – 0,85).(mA)
i
2
= 9,7cos(100πt + 4,4).(mA)
2. Mạch điện xoay chiều phức tạp.
Bài 1.
Một điện có sơ đồ:
Đặt vào hai đầu AB một điện áp
u = 100
2

cos100πt (V)
Biết R
1
; R
2
; L và C
a) Lập biểu thức tính tổng trở Z
AB
.
b) Viết biểu thức tức thời cường độ dòng điện ở mạch chính.
c) Tính điện áp hiệu dụng hai điểm MN
Áp dụng bằng số: R
1
= 50Ω; R
2
= 100Ω ; L =
1
H
π
; C =
100
2
F
µ
π
Giải.
Dùng phương pháp số phức.
Ta có tổng trở các nhánh: Z
1
* = R

1
+ Lωj
Z
2
* = R
2
-
1
j
C
ω
Gọi Z* là tổng trở của mạch. Áp dụng công thức tính điện trở tương đương
* * *
1 2
1 1 1
Z Z Z
= +
Thay bằng số ta được :
23
L
R
1
A B
M
N
CR
2
1 1 1
* 50 100 100 200Z j j
= +

+ −
=
1 1 1 1 1 2 2 4
50 1 2 2 4 50 5 20
j j
j j
 
− +
 
+ = +
 
 
+ −
 
 
Z* =
500
(3 2 )
13
j+
Z =
500
13
Ω
b) Cường độ dòng điện mạch chính
1
2
* 1 1
* 2
1

*
u
i U
Z R L j
R j
C
ω
ω
 
 ÷
= = +
 ÷
+
 ÷
−
 
Áp dụng bằng số
i* = 100
2
(
6 4
1000
j−
) = 0,2
2
(3 -2j)
Viết dưới dạng biến số thời gian
i = 0,72
2
cos(100πt – 0,59).(A)

c) Tìm U
MN
Ta có cường độ dòng điện qua nhánh 1
i
1
* =
*
1 1
* 2u U
Z R L j
ω
=
+
Điện áp hai điểm AM: u*
AM
= R
1
.i*
1
=
1
1
2RU
R L j
ω
+
Tương tự ta có điện áp hai điểm AN: u*
AN
= R
2

.i*
2
=
2
2
2
1
R U
R j
C
ω
−
Điện áp hai điểm M,N: u
MN
* = u
AN
* - u
AM
*
u
MN
* =
2 1
1
2
2
1
R R
U
R L j

R j
C
ω
ω
 
 ÷
−
 ÷
+
 ÷
−
 
Thay bằng số
24
u
MN
* =
100 50
100 2
100 200 50 100j j
 
−
 ÷
− +
 
= 80
2
j
Vậy giá trị hiệu dụng của điện áp hai điểm MN: U
MN

= 80V
Bài 2.
Một mạch điện xoay chiều có sơ đồ như sau:
Cho biết u
AB
= 200cos100πt (V);
L =
4
1 10
( );H C F
π π
−
=
;
R
1
= 2R
2
= 200Ω; R
a
= 0
a) Tính tổng trở đoạn mạch AB
b) Tìm số chỉ ampe kế.
Giải:
Biểu diễn các trở kháng thành phần dưới dạng số phức:
Z
L
*
= 100j ; Z
C

*
= -100j ; u
AB
*
= 200
a) Do R
a
= 0 nên mạch điện có cấu trúc gồm ba đoạn mạch nối tiếp nhau có thể
tóm tắt như sau: Z
L
*
nt Z
DM
*
nt Z
MB
*
; đoạn mạch DM gồm tụ C // R
1
và đoạn MB
gồm tụ C // R
2
Ta có Z
DM
*
=
*
1
*
1

.
C
C
R Z
R Z+
=
200( 100 )
40(1 2 )
200 100
j
j
j
−
= −
−
Tương tự
*
2 *
*
2
.
C
DM
C
R Z
Z
R Z
= =
+
50(1- j)

Ta có
* * * *
AB L DM MB
Z Z Z Z= + +
= 100j + 40(1 – 2j) + 50(1 – j) = 90 – 30j
Vậy Z
AB
=
2 2
90 30+
30 10 94,87= ≈ Ω
b) Xét nút N giả sử dòng điện chạy có chiều như hình vẽ
I
1
*
+ I
a
*
= I
2
*
=> I
a
*
= I
2
*
– I
1
*

Ta có
*
*
*
200 2
(3 )
90 30 3
AB
AB
U
I j
Z j
= = = +
−
* * *
2 400
. 40(1 2 ). (3 ) (1 )
3 3
DM DM
U Z I j j j= = − + = −
=>
*
1
2
(1 )
3
I j= −
25
C

R
1
A
B
M
N
C
R
2
A
L
D
C
R
1
A
B
M
N
C
R
2
A
L
D
I
aI
1
I
2