Động lực học chất điểm

Chửụng 2: ẹONG LệẽC HOẽC 41
Chng 2
NG LC HC CHT IM
ng Lc Hc nghiờn cu mi quan h gia s bin i trng thỏi chuyn
ng ca vt v nguyờn nhõn lm bin i trng thỏi ca chuyn ng ú. Chng
ny nghiờn cu mi quan h gia gia tc ca cht im, h cht im vi cỏc lc tỏc
dng lờn nú. Cỏc phng trỡnh ng lc hc rỳt ra ch c ỏp dng cho cỏc vt cú
kớch th
c nh cỏc cht im. Vỡ th, khi núi vt ta hiu vt ú l cht im.
Đ2.1 CC NH LUT NEWTON
C s ca ng Lc Hc l ba nh lut ca Newton. Isaac Newton nh Vt
Lý ngi Anh (1642 1727). Trong cụng trỡnh Cỏc tiờn toỏn hc ca trit hc t
nhiờn, cụng b nm 1687, ụng ó phỏt biu nhng nh lut c bn ca c hc c
i
n, thit lp c nh lut vn vt hp dn, nghiờn cu s tỏn sc ỏnh sỏng v khi
tho nhng c s ca cỏc phộp tớnh vi phõn v tớch phõn.
1 nh lut Newton th I:
Mt vt cụ lp, nghió l hon ton khụng chu tỏc dng ca cỏc vt khỏc, s
mói mói ng yờn (nu nú ang ng yờn) hoc chuyn ng thng u (nu nú ang
chuyn ng). Núi cỏc khỏc, mt vt cụ lp s b
o ton trng thỏi chuyn ng ca nú
(
). õy l mt thuc tớnh ca vt cht, v c gi l quỏn tớnh ca vt. Vỡ
th, nh lut I Newton cũn gi l nh lut quỏn tớnh.

= constv
Trờn thc t, khụng cú vt cụ lp tuyt i, m ch cú nhng vt chu tỏc dng
ca nhng lc cõn bng, khi ú nh lut I Newton cng nghim ỳng.
2 nh lut Newton th II:
a) Khỏi nim v lc: Trong cu
c sng, ta thy rừ nhiu hin tng vt ny tỏc dng

vo vt kia. Chng hn nh: khi nõng mt vt lờn cao, tay ta ó tỏc dng vo vt v vt
ó ố lờn tay ta; khi nam chõm gn inh st s hỳt inh st, . c trng cho
cỏc tỏc dng ú, ngi ta a ra khỏi nim v lc.
Lc l i lng vt lý c trng cho tỏc dng ca vt ny vo v
t khỏc, l s
o ca tỏc ng c hc do cỏc i tng khỏc tỏc dng vo vt. S o y c trng
cho hng v ln ca tỏc dng.
Lc c kớ hiu l F (Force). Trong h SI, lc cú n v l newton (N). Lc
l mt i lng vect (
) v l mt khỏi nim c bn ca ng Lc Hc.

F
- Phng ca lc
: cho bit phng tỏc dng.

F
- Chiu ca
: cho bit chiu tỏc dng.

F
42 Giáo Trình Vật Lý Đại Cương – Tập 1: Cơ – Nhiệt – Điện

- Độ lớn của : cho biết độ mạnh, yếu (cường độ) tác dụng.
→
F
- Điểm đặt của
: cho biết vị trí (điểm) chịu tác dụng.
→
F
Dưới tác dụng của lực, vật có thể thu gia tốc hoặc bị biến dạng. Chương này khơng

nghiên cứu sự biến dạng của vật, chỉ nghiên cứu quan hệ giữa gia tốc của chất điểm
với các lực tác dụng vào nó.
Nếu tổng vectơ của hai lực đặt vào chất điểm bằng khơng thì sự có mặt c
ủa
các tác động đo bởi các lực đó khơng được phản ánh trong chuyển động của chất
điểm. Hai lực như vậy được gọi là hai lực cân bằng.
Trong cơ học, ta phân biệt ba loại lực:
 Các lực hút tương hỗ giữa các vật – gọi là lực hấp dẫn.
 Các lực xuất hiện khi các vật tiếp xúc trực tiếp tác dụng lên nhau. Các
lực này có chung bản ch
ất là lực đàn hồi.
 Các lực là kết quả của sự tương tác giữa hai vật tiếp xúc nhau, chuyển
động tương đối với nhau. Các lực này gọi là lực ma sát.
Bản chất và đặc điểm của các lực này, được trình bày rõ hơn ở §2.2.
b) Khái niệm về khối lượng:
Mọi vật đều có xu hướng bảo tồn trạng thái chuyển động ban đầu c
ủa mình.
Thuộc tính đó gọi là qn tính của vật. Mức qn tính của vật được đặc trưng bởi một
đại lượng vật lý đó là khối lượng. Ta nói: khối lượng là số đo mức qn tính của vật.
Qn tính của vật thể hiện ở gia tốc mà nó thu được khi có ngoại lực tác dụng
và được định lượng bởi định luật II Newton: F = ma. Ta thấy, với cùng một l
ực tác
dụng, trạng thái chuyển động biến đổi càng nhỏ (gia tốc càng nhỏ) khi khối lượng
(qn tính) của vật càng lớn và ngược lại.
Khối lượng còn là đại lượng đặc trưng cho mức hấp dẫn giữa vật và các vật
khác. Theo Newton, lực hấp dẫn giữa Trái đất và vật là F = mg. Như vậy, đối với cùng
một vật, ta có thể viết:
amF
i
=

và
gmF
g
=
. Trường hợp thứ nhất, khối lượng là số
đo qn tính của vật, nên gọi là khối lượng qn tính và được kí hiệu là m
i
. Trường
hợp thứ hai, khối lượng là số đo tương tác hấp dẫn của vật với Trái đất, nên gọi là khối
lượng hấp dẫn và được kí hiệu là m
g
.
Tuy nhiên, trong sự rơi tự do, mọi vật đều có cùng gia tốc a = g như nhau nên
suy ra khối lượng qn tính và khối lượng hẫp dẫn bằng nhau về trị số:

mmm
gi
=
=
(2.1)
Hệ thức (2.1) là một trong những kết luận vững chắc nhất của vật lý hiện đại.
Trên cơ sở đó, ta đi đến khái niệm về khối lượng như sau: Khối lượng là số đo mức
Chöông 2: ÑOÄNG LÖÏC HOÏC 43
quán tính của vật và mức hấp dẫn của vật đối với vật khác. Trong hệ SI, đơn vị đo
khối lượng là kilôgam (kg) và là một trong bảy đơn vị cơ bản.
Khối lượng không phải là đại lượng bất biến. Thuyết tương đối hẹp của
Einstein đã chỉ ra rằng, khối lượng m của vật tăng theo vận tốc v của nó (xem chương
5) theo công thức:
2
2

0
c
v
1
m
m
−
=
(2.2)
Trong đó m
0
là khối lượng của vật lúc đứng yên (khối lượng nghỉ), c = 3.10
8
m/s là
vận tốc ánh sáng trong chân không. Tuy nhiên, trong phạm vi cơ học cổ điển, v << c
nên
, ta coi khối lượng là đại lượng bất biến.
0
mm ≈
c) Phát biểu định luật Newton thứ II:
Khi vật chịu tác dụng của ngoại lực
, nó sẽ thu một gia tốc theo hướng
của lực, tỉ lệ thuận với lực và tỉ lệ nghịch với khối lượng của vật:

→
F
→
a
m
F

a
→
→
= (2.3)
Nếu vật chịu tác dụng bởi nhiều lực thì
chính là hợp lực của các lực thành phần.
Khi đó (2.3) trở thành:
→
F
a
m
F FF
m
F
m
F
n21h
→→→
→
→
→
+++
===
∑
A
(2.4)
Định luật II Newton phát biểu ở dạng (2.3) và (2.4) là cơ sở của động lực học
chất điểm. Tuy nhiên, phạm vi áp dụng của nó chỉ đúng trong cơ học cổ điển (khối
lượng được coi là bất biến).
3 – Định luật Newton thứ III:

Nếu vật A tác dụng vào vật B một lực
thì vật B cũng tác dụng ngược trở lại
vật A một lực
. Hai lực này tồn tại đồng thời, cùng giá, bằng nhau về độ lớn nhưng
ngược chiều:
→
F
→
'F
'FF
→→
−
=
(2.5)
→
F được gọi là lực tác dụng vào vật thì F gọi là phản lực của vật. Lực và phản lực là
hai lực trực đối nhưng không cân bằng nhau, vì đặt vào hai vật khác nhau. Chúng có
cùng bản chất, cùng tồn tại và mất đi đồng thời.
→
'
Định luật III Newton khẳng định tác
dụng giữa các vật bao giờ cũng là “tương tác”
(có tính hai chiều). Điều này thể hiện mối liên
hệ biện chứng giữa các vậ
t.
BA
F'F
→→
=
AB

FF
→→
=
A
B
Hình 2.1: Lực và phản lực.
44 Giáo Trình Vật Lý Đại Cương – Tập 1: Cơ – Nhiệt – Điện

4 – Phương trình cơ bản của động lực học chất điểm:
Từ các định luật cơ học của Newton, ta khái qt nên một phương trình diễn
tả mối quan hệ giữa lực tác dụng (ngun nhân) và gia tốc của vật (kết quả):
→→
=
∑
amF
(2.6)
Phương trình (2.6) được gọi là phương trình cơ bản của Động Lực Học chất điểm. Từ
(2.6) suy ra:
• Khi ngoại lực
= 0 thì gia tốc = 0 và do đó : ta có chuyển động
thẳng đều. (2.6) thể hiện định luật Newton thứ nhất.
→
F
→
a
→→
= constv
• Khi ngoại lực
thì từ (2.6) ta tìm
lại (2.3): thể hiện định luật Newton thứ

hai.
0F ≠
→
→
t
F
M
→
n
F
→
n
a
→
a
→
t
a
Khi chất điểm chuyển động cong, vectơ gia
tốc được phân tích làm hai thành phần:
→
F
→→→
+=
nt
aaa hay
→→→
+=
nt
amamam

Suy ra:
, nghĩa là lực tác dụng
lên vật cũng được phân tích làm hai thành
phần:
t
FFF
→→→
=+
n
Hình 2.2: Lực tác dụng lên vật được
phân tích thành hai thành phần: tiếp
tuyến và pháp tuyến.
• Thành phần
gọi là lực tiếp
tuyến (vì nằm trên tiếp tuyến qũi đạo),
có tác dụng làm thay đổi độ lớn của
vectơ vận tốc (gây ra gia tốc tiếp tuyến).
→→
=
tt
amF
• Thành phần
gọi là lực pháp tuyến (vì nằm trên pháp tuyến qũi đạo),
có tác dụng làm thay đổi hướng của vectơ vận tốc (gây ra gia tốc pháp tuyến).
→→
=
nn
amF
Như vậy, vật chuyển động cong thì ngoại lực tác dụng phải có thành phần pháp tuyến:

R
mv
maF
2
nn
== (2.7)
Từ phương trình cơ bản (2.6) suy ra: nếu biết lực tác dụng vào vật (nghiã là
biết được ngun nhân) thì sẽ tìm được gia tốc của vật và từ đó biết được tính chất
chuyển động của vật (kết quả). Bài tốn xác định tính chất chuyển động của vật khi
biết các lực tác dụng vào vật được gọi là bài tốn thuận. Trong một số trường hợp đơn
giản, nế
u biết trước tính chất chuyển động của vật, ta có thể tìm được ngun nhân
gây nên tính chất của chuyển động ấy – bài tốn ngược.
Chöông 2: ÑOÄNG LÖÏC HOÏC 45
§2.2 – CÁC LỰC CƠ HỌC
Để tìm được tính chất chuyển động của một vật, ta phải xác định các lực tác
dụng lên nó. Vì vậy cần nghiên cứu bản chất và đặc điểm của các lực trong cơ học.
Trong tự nhiên tồn tại 4 loại lực tương tác: lực hấp dẫn, lực điện từ, lực tương
tác mạnh (lực hạt nhân) và lực tương tác yếu. L
ực hạt nhân và lực tương tác yếu có
bán kính tác dụng vi mô nên không xuất hiện trong cơ học cổ điển – cơ học của các
vật vĩ mô. Đối với vật thể vĩ mô, lực điện từ thể hiện dưới hai dạng: lực đàn hồi và lực
ma sát. Vì vậy trong cơ học cổ điển, xét về bản chất, có ba loại lực gọi là lực cơ h
ọc:
lực hấp dẫn, lực đàn hồi và lực ma sát. Về mặt hình thức, người ta chia các lực cơ học
làm hai loại: các lực trực tiếp tác dụng vào vật (lực hấp dẫn) và các lực liên kết với
chuyển động của vật (phản lực, lực ma sát, lực căng dây). Chúng ta sẽ lần lượt nghiên
cứu đặc điểm của các lực này.
1 – Lực hấp dẫn – Trọng lực:
Các vật trong vũ trụ đều hút lẫn nhau bằng các lực có cùng bản chất – gọi là

lực hấp dẫn. Newton là người đầu tiên phát hiện ra rằng, nguyên nhân làm cho quả táo
rơi xuống đất, Mặt Trăng quay quanh Trái Đất, hay nguyên nhân làm các hành tinh
quay xung quanh Mặt Trời đó chính là lực hấp dẫn. Ông đã thiết lập được biểu thức
định lượng của lực hấp d
ẫn và phát biểu thành định luật vạn vật hấp dẫn.
a) Định luật vạn vật hấp dẫn (định luật hấp dẫn):
Hai chất điểm bất kì luôn hút nhau một lực gọi là lực hấp dẫn. Lực này tỉ lệ
thuận với tích khối lượng của chúng và tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách giữa
chúng.
2
21
hd
r
mm
GF =
hay
→→
−= r
r
mm
GF
3
21
hd
(2.8)
G: gọi là hằng số hấp dẫn, G = 6,68.10
– 11
(Nm
2
/kg

2
).
Để tính lực hấp dẫn của một vật thể khối lượng m
1
bất kì lên một chất điểm
khối lượng m
2
, ta chia nhỏ vật thể đó thành những phần tử khối lượng dm
1
rồi vận
dụng (2.8), tích phân trên miền thể tích (V) của vật m
1
:
∫
=
)V(
2
1
2hd
r
dm
GmF
(2.9)
Kết quả tính tích phân (2.9) cho phép rút ra một số kết luận sau:
• Lực hấp dẫn của một quả cầu đồng nhất lên một chất điểm ở ngoài quả cầu tựa
hồ như toàn bộ khối lượng của quả cầu tập trung tại tâm của nó.
• Lực hấp dẫn của một quả cầu rỗng đồng nhất lên một chất
điểm ở trong quả cầu
luôn bằng không. Nói cách khác, vỏ cầu đồng nhất không hấp dẫn bất kì vật nào
bên trong nó.

46 Giáo Trình Vật Lý Đại Cương – Tập 1: Cơ – Nhiệt – Điện

Từ kết quả trên suy ra, lực
hấp dẫn của Trái Đất tác dụng lên
một vật nhỏ ở ngồi Trái Đất là:
2
hd
)hR(
mM
GF
+
=
(2.10)
O
với: M là khối lượng và R là bán kính
của Trái Đất, h là độ cao từ mặt đất
đến vật.
F
hd
Nếu vật nằm trong lòng Trái
Đất thì chỉ có phần nằm trong khối
cầu bán kính r (r < R) là tác dụng lực
hấp dẫn lên vật, do đó lực hấp dẫn
trong trường hợp này là:
2
hd
r
'mM
GF =

, với M’ là khối lượng
phần Trái đất nằm trong hình cầu bán
kính r. Coi mật độ khối lượng Trái
đất phân bố đều thì ta có:
r

O R
Hình 2.3: Phân bố lực hấp dẫn bên
trong và bên ngồi Trái Đất
3
3
R
r
M
V
'V
M'M
V
M
'V
'M
==⇒=
⇒ r).
R
Mm
G(F
3
hd
= (2.11)
Vậy: trong lòng Trái Đất, lực hấp dẫn tỉ lệ thuận với bán kính r; tại tâm Trái Đất, lực

hấp dẫn triệt tiêu; tại bề mặt Trái Đất, lực hấp dẫn đạt cực đại; bên ngồi Trái Đất, lực
hấp dẫn tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách từ tâm Trái Đất đến vật. Hình (2.3)
biểu diễn phân bố lực hấp dẫn của Trái Đất lên mộ
t vật nhỏ theo khoảng cách từ tâm
Trái Đất đến vật.
Trong trường hợp tổng qt, tích phân (2.9) khá phức tạp, nên ta có thể tính
gần đúng lực hấp dẫn giữa các vật thể bằng cách coi chúng là những chất điểm đặt
tại khối tâm của chúng.
Bảng 2.1: Lực hấp dẫn của các vật trong vũ trụ
Vật thể m
1
(kg) m
2
(kg) r (m) F
hd
(N)
Mặt trời – Trái đất
Mặt trời – Sao Thủy
Mặt trời – Sao Diêm vương
Trái đất – Mặt trăng
Trái đất – người
Người – người
2.10
30
2.10
30

2.10
30
6.10

24
6.10
24
60
6.10
24
3,3.10
23
1,1.10
24
7,4.10
22
60
60
1,5.10
11
5,8.10
10
6.10
12
3,8.10
8
6,37.10
6
1
3,6.10
22
1,3.10
22
4.10

18
2.10
20
600
2,4.10
– 7
Do trị số của G q nhỏ nên lực hấp dẫn chỉ đáng kể đối với vật có khối lượng
rất lớn (các thiên thể). Chính vì thế, trong cuộc sống, ta khơng phát hiện ra lực hấp dẫn
Chửụng 2: ẹONG LệẽC HOẽC 47
ca cỏc vt xung quanh. Bng 2.1 cho ta mt s giỏ tr ca lc hp dn gia cỏc vt
th khỏc nhau.
b) Trng lc gia tc ri t do:
Trng lc ca mt vt, theo ngha gn ỳng l lc hp dn ca Trỏi t tỏc
dng lờn vt ú, cú biu thc:
P = F
hd
=
2
r
Mm
G
= mg
t
h


h
g
(2.12)
Trong ú: M v m l khi lng ca Trỏi t v

vt; r khong cỏch t tõm ca Trỏi t n vt v:
2
hd
r
M
G
m
F
g ==
(2.13)
Hỡnh 2.4: Gia tc ri t do
ph thuc cao.
l gia tc ri t do hay gia tc trng trng.
Vỡ bỏn kớnh Trỏi t rt ln (R = 6400km), nờn
gn mt t, gia tc g coi nh khụng i (trng trng u):
2
o
R
M
Gg = 8,9

m/s
2
. (2.14)
Khi lờn cao, lc hp dn gim nờn gia tc g gim theo qui lut:

2
2
o
2

h
)hR(
R
g
)hR(
M
Gg
+
=
+
=
(2.15)
vi g
o
l gia tc ti mt t.
sõu h so vi mt t, t (2.11) suy ra gia tc ri t do l:
)
R
h
1(g
R
hR
gr)
R
GM
(g
00
3
=

==
(2.16)
Thc ra, vt luụn tham gia vo chuyn ng t quay ca Trỏi t, nờn ngoi
lc hp dn ca Trỏi t, nú cũn chu tỏc dng mt lc
- gi l lc quỏn tớnh li tõm
(chỳng ta s nghiờn cu sau). Hp lc:
(2.17)

Q

+= QFP
hd
l trng lc theo ngha chớnh xỏc.
Vy, theo ngha chớnh xỏc, trng lc ca mt vt l lc m Trỏi t hỳt nú khi cú k
n s t quay ca Trỏi t.
Vỡ lc quỏn tớnh li tõm
ph thuc vo v , nờn trng lc cng ph
thuc vo v , kộo theo tr s ca g thay i theo v . Cng xa xớch o, g cng
tng ( xớch o: g = 9,78 m/s

Q

P
2
; i cc: g = 9,83m/s
2
). Cỏc kt qu tớnh toỏn cho
48 Giáo Trình Vật Lý Đại Cương – Tập 1: Cơ – Nhiệt – Điện

thấy thành phần qn tính li tâm rất nhỏ, chỉ làm g thay đổi tối đa 0,5%, nên để

đơn giản, ta hiểu trọng lực theo nghĩa gần đúng, và khi đó, gia tốc rơi tự do g được
tính theo các cơng thức (2.14), (2.15) và (2.16). Trong đa số các trường hợp, để đơn
giản, ta thường chọn g = 10 m/s
→
Q
2
.
Ngồi ra, gia tốc g còn phụ thuộc vào phân bố mật độ khối lượng của Trái
Đất, nghĩa là phụ thuộc vào thành phần cấu trúc của lớp vỏ Trái Đất. Trước đây, người
ta đã căn cứ vào sự thay đổi của g tại các nơi khác nhau để thăm dò địa chất.
c) Trọng lượng:
Trọng lượng của một vật là lực mà vật ấy tác dụng lên giá đỡ hoặc dây treo
nó, do b
ị Trái Đất (hoặc rộng hơn là các thiên thể ) hút mà khơng được tự do chuyển
động.
Thuật ngữ “trọng lượng” và “trọng lực” thường hay bị lầm lẫn, thực ra chúng
là hai khái niệm hồn tồn khác nhau. Trọng lực là lực hút của Trái đất tác dụng lên
vật, có điểm đặt tại trọng tâm của vật; còn trọng lượng là lực mà vật tác dụng vào giá
đỡ hoặc dây treo, có điểm đặt tạ
i giá đỡ hoặc dây treo. Ở điều kiện bình thường, khi
vật đứng n so với mặt đất thì trọng lượng và trọng lực có cùng trị số. Nhưng khi
vật chuyển động có gia tốc, thì trị số của trọng lượng có thể lớn hơn hoặc nhỏ hơn trị
số của trọng lực P (hiện tượng tăng giảm trọng lượng – đọc thêm §6).
d) Đ
o khối lượng:
Để đo khối lượng của một vật, ta dùng một dụng cụ gọi là cái cân. Sơ đồ
Ngun lý hoạt động của cái cân được mơ tả ở hình (2.5).
Giả sử khối lượng vật cần cân là m, khối lượng chuẩn (quả cân) là m
o
. Vì ở

cùng một nơi, gia tốc rơi tự do là khơng đổi, nên:
o
o
oo
P
PP
ghaym
mm P
== =m

B
A
O
o
A
A
o
P
→

→
P
Khi cân thăng bằng ta có tỉ lệ:
A
A
o
o
P
P
=

Do đó : m = m
o
A
A
o
(2.18)
Đo chiều dài các cánh tay đòn OA, OB và biết
khối lượng của quả cân m
o
ta sẽ tính được khối lượng của vật.
Hình 2.5: Sơ đồ ngun
lý của cái cân.
Cái cân có sơ đồ ngun lý ở hình (2.5) được gọi là cân đòn. Trong đó, cánh
tay đòn OA là cố định, cánh tay đòn OB có các vạch chia sẵn tương ứng với khối
lượng m của vật. Di chuyển quả cân (thay đổi chiều dài cánh tay đòn OB) đến vị trí
cân thăng bằng, ta sẽ có số chỉ của khối lượng m.
Chöông 2: ÑOÄNG LÖÏC HOÏC 49
Nếu cố định chiều dài các cánh tay đòn bằng nhau thì phải thay đổi khối lượng
chuẩn m
o
cho đến khi cân thăng bằng. Lúc đó khối lượng m sẽ bằng tổng khối lượng
các quả cân. Đó chính là nguyên lý hoạt động của cân đĩa (cân Rôbécvan).
Đo khối lượng bằng phương pháp trên được gọi là phép cân. Mặc dù khi ta
cân vật ở các địa điểm khác nhau thì gia tốc g có khác nhau, nhưng (2.18) không phụ
thuộc vào gia tốc g nên phép cân không phụ thuộc vào địa điểm cân.
Một phương pháp đo khối lượng khác là dự
a vào lực kế lò xo (cân lò xo). Ta
biết độ giãn của lò xo tỉ lệ với lực đàn hồi. Nếu ta móc vật vào lò xo thì khi vật đứng
yên cân bằng (trong hệ qui chiếu gắn với Trái Đất), độ lớn của lực đàn hồi chính bằng

trọng lượng mg của vật. Do đó khối lượng của vật tỉ lệ với độ giãn của lò xo. Dựa vào
độ giãn của lò xo, ta có thể suy ra khối lượng củ
a vật. Phương pháp cân vật bằng các
cân lò xo khá tiện lợi, nhưng kết quả không thật chính xác vì phụ thuộc vào gia tốc g
(nghĩa là phụ thuộc vào địa điểm cân). Tuy nhiên, sai số là không đáng kể, nên trong
đời sống hàng ngày, cân lò xo được sử dụng khá rộng rãi.
2 – Lực đàn hồi:
Khi ngoại lực tác dụng làm biến dạng một vật thì bản thân vật sẽ xuất hiện
một lực có xu hướng chống lạ
i biến dạng đó. Lực ấy gọi là lực đàn hồi.
Xét biến dạng một chiều, lực đàn hồi tuân theo định luật Hooke: “Trong giới
hạn đàn hồi, lực đàn hồi tỉ lệ với độ biến dạng của vật”.
dh
Fk
→→
=− ∆A (2.19)
Trong đó k: là hệ số đàn hồi (hay độ
cứng) của vật, đơn vị đo là niutơn trên
mét (N/m); ∆
: là độ biến dạng của vật
(m); dấu “ – “ chứng tỏ lực đàn hồi
ngược với chiều biến dạng.
A
Độ cứng của một vật phụ thuộc vào chiều
dài ban đầu
, tiết diện ngang S và bản
chất của vật liệu làm ra nó:

A
A

S
Ek =
(2.20)
→
∆ A
ñh
→
F
Hình 2.6: Lực đàn hồi.
trong đó E là hệ số tỉ lệ đặc trưng cho vật liệu, gọi là suất Young. Từ (2.20) suy ra, với
cùng một loại vật liệu và cùng tiết diện ngang, vật nào càng ngắn thì càng cứng. Bảng
2.2 cho biết suất Young của một số vật liệu thông dụng.
Lực đàn hồi có bản chất là lực điện từ. Vì khi biến dạng, khoảng cách giữa
các phân tử thay đổi nên xuấ
t hiện các lực hút và lực đẩy tĩnh điện giữa các phân tử.
Lực đàn hồi thể hiện rõ nhất là ở các lò xo, các dây thun. Một số dạng khác
của lực đàn hồi, đó là lực căng dây, phản lực vuông góc của bề mặt tiếp xúc. Chúng ta
sẽ lần lượt tìm hiểu sâu hơn.

50 Giáo Trình Vật Lý Đại Cương – Tập 1: Cơ – Nhiệt – Điện

Bảng 2.2: Suất Young của vài vật liệu thơng dụng
Vật liệu Suất Young E (N/m
2
) Vật liệu Suất Young E (N/m
2
)
Đồng
Nhơm
Thép

Niken
(0,82 – 1,03).10
11
(6,3 – 7).10
10
(1,7 – 2,1).10
11
2,4.10
11
Cao su
Đá vơi
Gang
Bêtơng
(1,5 – 8).10
6
3,5.10
10
(1,1 – 1,5).10
11
(1,5 – 4).10
10
a) Lực căng dây:
Trong nhiều máy móc, một số chi tiết được nối với nhau bằng dây curoa, cáp
mềm, thừng,…, ta gọi chung là dây. Dây là vật khơng chống lại lực nén mà chỉ chống
lại lực kéo. Khi bị kéo căng, dây bị giãn một ít và bản thân nó xuất hiện lực đàn hồi
chống lại sự kéo căng đó. Lực đàn hồi trong
trường hợp này được gọi là lực căng dây.
Để đơ
n giản hố các tính tốn, người ta
thường coi dây như khơng bị giãn và khơng có

khối lượng. Khi đó lực căng có độ lớn bằng nhau
tại mọi điểm trên dây. Ta nói sợi dây truyền
ngun vẹn lực từ đầu này đến đầu kia.
Ví dụ: Xét vật m được treo ở đầu sợi dây,
đầu kia của sợi dây treo vào điểm cố định C (hình
2.7). Trong q trình chuyển động của vật, sợi
dây ln được căng thẳng. Tạ
i điểm A bất kì trên
dây, nó chịu tác dụng của hợp lực bằng khơng.
Nếu cắt đứt sợi dây tại A, muốn cho đoạn AC vẫn căng thẳng như trước, ta phải tác
dụng lên A một lực
. Ngược lại, muốn cho vật m vẫn có chuyển động như cũ, ta
phải tác dụng lên A một lực
. và cùng độ lớn, cùng giá nhưng ngược chiều
và được gọi là lực căng dây.
→
'T
→
T
→
T
→
'T
→
T
→
'T
A

A

A
m
Hình 2.7: Lực căng dây.
b) Phản lực vng góc của bề mặt tiếp xúc:
→
Q
→
N

(2)
(1)
Xét hai vật (1) và (2) tiếp xúc nhau, do áp lực của
vật (1) tác dụng vào vật (2) làm bề mặt của vật (2) bị biến
dạng. Khi đó vật (2) xuất hiện lực đàn hồi chống lại sự
biến dạng đó. Lực này tác dụng ngược trở lại vật (1) theo
hướng vng góc với bề mặt tiếp xúc nên được gọi là phản
lực vng góc hay phản lực pháp tuyến (hoặc ngắn gọn là
phản lực) của mặt tiếp xúc, và được kí hiệu là
.
→
N
Phản lực
của bề mặt tiếp xúc có bản chất là lực
đàn hồi, có độ lớn bằng với áp lực vng góc
. Cặp lực
→
N
→
Q
Hình 2.8: Phản lực

của mặt tiếp xúc.
Chöông 2: ÑOÄNG LÖÏC HOÏC 51
→
Q và luôn tồn tại và mất đi đồng thời, là cặp lực của định luật III Newton.
→
N
3 – Lực ma sát:
Khi một vật tiếp xúc với một vật khác và chúng có chuyển động tương đối với
nhau thì tại bề mặt tiếp xúc xuất hiện một lực có xu hướng chống lại chuyển động của
vật. Lực đó gọi là lực ma sát.
Nếu vật rắn chuyển độ
ng trong chất lỏng, khí thì xuất hiện lực ma sát nhớt
(ma sát ướt). Nếu vật rắn tiếp xúc với vật rắn khác thì ta có ma sát khô. Trong ma sát
khô, nếu vật này trượt hoặc lăn trên mặt vật kia, thì ta có ma sát trượt hoặc ma sát lăn;
còn nếu vật có xu hướng trượt (nhưng chưa trượt) thì ta có ma sát nghỉ. Dưới đây, ta
khảo sát đặt điểm của các ma sát.
a) Lực ma sát trượt:
Giả sử vật m trượt trên m
ặt sàn nằm ngang.
Trong quá trình chuyển động, vật m sẽ tác dụng vào
mặt sàn một lực
. Theo định luật III Newton, mặt
sàn sẽ tác dụng ngược trở lại vật m một phản lực liên
kết
→
F
→
R
. Do bề mặt tiếp xúc gồ ghề, nên phản lực
→

R

không vuông góc với mặt tiếp xúc. Nó được phân
tích thành 2 thành phần:
→→→
+= fNR
ms
(2.21)
→
v
→
P
ms
f
→
→
R
Hình 2.9: Lực ma sát trượt
→
N
Thành phần
vuông góc với mặt tiếp xúc, gọi là phản lực pháp tuyến (hay phản lực
vuông góc); thành phần
luôn ngược chiều chuyển động và có xu hướng chống lại
chuyển động của vật, gọi là lực ma sát trượt.
→
N
ms
f
→

Bảng 2.3: Hệ số ma sát trượt của vài vật liệu thông dụng
Mặt tiếp xúc
µ
Mặt tiếp xúc
µ
Thép – thép
Sắt – sắt
Thép – sắt
Ổ trượt có bôi trơn
0,18
0,34
0,2 – 0,4
0,02 – 0,08
Gỗ – gỗ
Cao su – đất cứng
Cao su – gang
Nước đá – nước đá
0,25 – 0,5
0,4 – 0,6
0,83
0,03
Đặc điểm của lực ma sát trượt:
• Xuất hiện tại bề mặt tiếp xúc khi hai vật trượt tương đối với nhau.
• Có phương tiếp tuyến với bề mặt tiếp xúc và hướng ngược chiều chuyển động.
• Có độ lớn tỉ lệ với áp lực vuông góc với bề mặt tiếp xúc, không phụ thuộc vào
diện tích mặt tiếp xúc: f
ms
= µQ = µ N (2.22)
52 Giaựo Trỡnh Vaọt Lyự ẹaùi Cửụng Taọp 1: Cụ Nhieọt ẹieọn

vi à: l h s t l, c gi l h s ma sỏt trt. Giỏ tr ca à ph thuc vo bn
cht ca hai vt tip xỳc v tớnh cht ca b mt tip xỳc. Bng 2.3 cho bit h s ma
sỏt trt ca vi vt liu thụng thng.
b) Lc ma sỏt ln:
Khi vt cú chuyn ng ln thỡ xut hin lc ma sỏt ln cn tr chuyn
ng
ca vt. Thc nghim chng t rng, lc ma sỏt ln cng t l vi ỏp lc vuụng gúc
vi mt tip xỳc v t l nghch vi bỏn kớnh R ca vt ln hỡnh tr hoc hỡnh cu:
f
ms ln
= à
L
N =
R
N
'
L
à (2.23)
vi à
L
l h s ma sỏt ln. à
L
nh hn à rt nhiu. Chớnh vỡ th m trong k thut,
gim ma sỏt, ti ch tip xỳc ta thay bng cỏc bi, bỏnh xe.
c) Lc ma sỏt ngh:
Trng hp ngoi lc tỏc dng khụng
mnh, ta thy vt vn ng yờn. iu ny
cú mõu thun vi nh lut II Newton hay
khụng? Thc ra khi vt cú xu hng trt, ti
b mt tip xỳc s xut hin lc ma sỏt ngh

,
cõn bng vi thnh phn tip tuyn
ca
ngoi lc, lm cho tng cỏc lc tỏc dng lờn
vt vn trit tiờu, kt qu vt khụng trt. Nu thnh phn F

t
F
t
tng lờn thỡ lc ma sỏt
ngh cng tng theo, cho n khi f
msn
= à N thỡ vt bt u trt.
t
F



F
m
n
F

msn
f


Hỡnh 2.10: Lc ma sỏt ngh
Vy ta cú: f
msn

à N (2.24)
Mt cỏch chớnh xỏc thỡ
lc ma sỏt ngh cc i luụn ln
hn lc ma sỏt trt. (y mt
vt no ú thỡ ta phi n lc
nhiu nht lỳc nú sp dch
chuyn. Khi nú bt u dch
chuyn, ta thy d y hn).
th hỡnh (2.11) biu din s bin
thiờn ca lc ma sỏt theo vn
tc tng i v. Khi vt bt
u
trt, lc ma sỏt ngh cc i
ln hn lc ma sỏt trt. Khi
vn tc v tng thỡ lc ma sỏt tng chm. Nu b qua cỏc chi tit nh ny, th (2.11a)
c thay bng th (2.11b). Khi ú, ta cú cụng thc (2.24).
v
F
ms
F
ms
v
a) b)
Hỡnh 2.11: s bin thiờn ca lc ma sỏt
theo vn tc.
d) Vai trũ ca ma sỏt:
Ma sỏt sinh ra do cỏc b mt tip xỳc g gh, cho dự cú lm nhn, vn cú
nhng ch g gh vi mụ. Ma sỏt cú th lm cn tr chuyn ng, mi mũn cỏc chi tit
mỏy.
gim bt tỏc hi ny, ngi ta thay ma sỏt trt bng ma sỏt ln, ngha l cỏc

trc mỏy u gn cỏc vũng cú bi v phi c bụi trn.
Chöông 2: ÑOÄNG LÖÏC HOÏC 53
Tuy nhiên, trong một số trường hợp, ma sát lại rất cần thiết. Không có ma sát,
con người và tất cả xe cộ đều không thể chuyển động được. Quan sát một chiếc ôtô đi
trên đoạn đường bùn lầy, ta thấy có lúc bánh xe quay rất nhanh mà ôtô không tiến lên
được. Đó là vì ma sát của đường không đủ lớn để giữ cho bánh xe khỏi trượt. Trong
trường hợp này, lực ma sát nghỉ đóng vai trò là ngoại lực phát động làm vật chuyển
độ
ng. Do đó các lốp xe phải có rãnh, gờ để tăng ma sát phát động.
Ma sát vừa có ích lại vừa có hại. Tùy theo mục đích sử dụng mà trong từng
trường hợp cụ thể, ta có thể làm tăng hoặc giảm ma sát.
e) Lực cản của môi trường:
v
Xét một vật rắn ở trong môi
trường lỏng hoặc khí. Nếu nó đứng yên thì
chỉ cần một lực rất nhỏ cũng làm cho nó
chuyển độ
ng (thí dụ một người không thể
làm nhúc nhích chiếc tàu mắc cạn, nhưng
nếu tàu đậu trên bến thì người ấy có thể
đẩy nó chuyển động dễ dàng). Có thể nói
rằng, chất lỏng và chất khí không có ma
sát nghỉ.
a)
b)
c)
Khi vật rắn chuyển động trong
môi trường chất lỏng, hay khí thì nó chịu
lực cản đáng kể, ta gọi là lực cản của môi
trường. Nguyên nhân của lực cản này, một

phần nhỏ là do ma sát, phần lớn là do sự
chênh lệch về áp suất ở mặt trước và sau
vật rắn.
d)
Hình 2.12: Lực cản phụ thuộc
hình dạng vật rắn.
Đặc điểm của lực cản môi trường:
• Tỉ lệ với tiết diện cản S – là tiết diện ngang lớn nhất của vật vuông góc với
phương chuyển động.
• Tỉ lệ với bậc nhất của vận tốc v - nế
u v nhỏ (vài m/s); và tỉ lệ với bình phương
vận tốc – nếu v lớn.
F = k
1
vS (khi v nhỏ) (2.25)
F = k
2
v
2
S (khi v lớn). (2.26)
Các hệ số k
1
, k
2
phụ thuộc vào bản chất môi trường, tính chất bề mặt của vật và nhất là
hình dạng của vật. Hình (2.12) ghi lại kết quả thực nghiệm về lực cản của những vật
có cùng tiết diện cản S, chuyển động trong không khí với cùng vận tốc v, nhưng có
hình dạng khác nhau. Nếu lực cản đối với vật hình trụ là lớn nhất bằng 1 thì lực cản
của v
ật có dạng (d) là nhỏ nhất, chỉ bằng 1/25. Ta gọi dạng (d) là dạng khí động học.

Thân các loài chim, cá đều có dạng này. Người ta cũng chế tạo thân máy bay, ô tô theo
dạng này để giảm tối đa lực cản môi trường.
54 Giáo Trình Vật Lý Đại Cương – Tập 1: Cơ – Nhiệt – Điện

§2.3 - PHƯƠNG PHÁP ĐỘNG LỰC HỌC
Trên cơ sở hiểu biết về bản chất và các đặc điểm của các lực cơ học, chúng ta
sẽ vận dụng các định luật Newton để khảo sát các bài tốn cơ bản của động lực học.
Phương pháp vận dụng các định luật Newton để khảo sát các bài tốn cơ học còn được
gọi là phương pháp động lực học.
Bài tốn thuận của cơ học là bài tốn
biết các lực tác dụng lên vật, tìm tính
chất chuyển động của nó. Để giải tường minh bài tốn này, cần phải biết thêm các
điều kiện ban đầu, tức là vị trí (toạ độ), vận tốc của vật ở một thời điểm nào đó được
qui ước làm gốc thời gian. Trình tự giải bài tốn này là:
• Xác định các lực tác dụng lên chất điểm.
• Vận dụng (2.6).
• Chiếu lên các trục toạ độ Ox, Oy, Oz cần thiết để tìm các thành phân a
x
,
a
y
, a
z
của vectơ gia tốc rồi sử dụng các điều kiện ban đầu, tìm phương
trình chuyển động của chất điểm.
Trong q trình nghiên cứu, đơi khi ta gặp bài tốn ngược của cơ học: biết
tính chất chuyển động của vật, xác định các lực tác dụng lên nó. Ví dụ nổi tiếng của
bài tốn này là việc Newton tìm ra lực hấp dẫn từ chuyển động của các hành tinh.
Trong kĩ
thuật, ta cũng thường hay gặp bài tốn ngược. Thí dụ: trong một ống phóng

điện tử (như đèn hình chẳng hạn), electron phải có qũi đạo và vận tốc xác định, người
kĩ sư phải tính các lực điện, lực từ tác dụng lên electron, để từ đó thiết kế các mạch
điện hợp lý. Trình tự giải bài tốn này là:
• Từ chuyển động của vật suy ra gia tốc c
ủa nó.
• Vận dụng (2.6) suy ra lực tác dụng lên vật.
Trên thực tế, nhiều bài tốn khơng thuần t là thuận hay ngược. Thí dụ trong
bài tốn thuận, thường ta khơng biết đầy đủ về lực ma sát, lực liên kết, để giải được,
phải có thêm các dữ kiện như hệ số ma sát hoặc biết một vài yếu tố của chuyển động.
Dưới đây là vài ví dụ điển hình.
Ví dụ 2.1: Vật có kh
ối lượng m được kéo trượt trên mặt sàn ngang bởi một lực
khơng đổi, tạo với phương ngang một góc α. Hệ số ma sát giữa vật và mặt sàn là µ.
Tính gia tốc của vật. Xác định góc α để gia tốc lớn nhất.
→
F
Giải
• Phân tích lực: Lực tác dụng lên vật gồm:
- Trọng lực
;
→
P
Chöông 2: ÑOÄNG LÖÏC HOÏC 55
- Phản lực của mặt sàn ;
→
N
y
O
x
→

F
ms
F
→

→
N
n
F
→

)
α

t
F
→

- Lực kéo
;
→
F
- Lực ma sát
.
ms
F
→
• Áp dụng (2.6) ta có:
→
P + + + = m (1)

→
N
→
F
ms
F
→ →
a
Chiếu (1) lên các trục Ox, Oy ta có:
→
P
Ox: F
t
– F
ms
= ma
x

Hình 2.13: Vật bị kéo trượt
trên mặt phẳng ngang.
hay: Fcosα – F
ms
= ma (2)
Oy: – P + N + F
n
= ma
y
= 0
⇒ N = P – Fsinα ⇒ F
ms

= µ.N = µ(P - Fsinα) (3)
Thay (3) vào (2), rút ra gia tốc của vật là:

g)sin(cos
m
F
m
mg)sin(cosF
a µ−αµ+α=
µ
−
α
µ+α
=
(2.27)
Từ (2.27) suy ra: khi lực kéo có độ lớn không đổi, gia tốc của vật là lớn nhất
khi (cosα + µ sinα)
max
. Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có:
(cosα + µ sinα)
2
≤ (1
2
+ µ
2
)(sin
2
α + cos
2
α)

⇒ cosα + µsinα
2
1 µ+≤ = const
⇒ (cosα + µsinα)
max
=
2
1 µ+ khi µ cosα = sinα
⇒ tgα = µ (2.28)
Vậy để gia tốc nhất thì lực kéo phải hợp với mặt nghiêng một góc α
o
sao tgα
o
= µ.
Ví dụ 2.2: Vật có khối lượng m được kéo trượt lên một mặt phẳng nghiêng có góc
nghiêng α so với mặt phẳng ngang bởi lực
hợp với mặt nghiêng một góc β. Hệ số
ma sát giữa vật và mặt phẳng nghiêng là µ.
→
F
a) Tìm gia tốc của vật. Từ đó suy ra lực kéo tối thiểu để vật có thể đi lên.
b) Giả sử lực kéo có độ lớn không đổi, hãy tìm góc β để gia tốc lớn nhất.
c) Trong trường hợp không có lực kéo, hãy tìm biểu thức tính gia tốc trượt xuống
của vậ
t. Từ đó suy ra góc α nhỏ nhất để vật bắt đầu trượt xuống.
56 Giaựo Trỡnh Vaọt Lyự ẹaùi Cửụng Taọp 1: Cụ Nhieọt ẹieọn

Gii

t
F

ms
f


P

n
P

t
P


n
F

F


)

y

x
O

N

Hỡnh 2.14: Vt b kộo lờn mt phng nghiờng.
Lc tỏc dng lờn vt gm:
Trng lc
; Phn lc phỏp tuyn ; Lc kộo v Lc ma sỏt .

P

N

F

ms
f
p dng (2.6) ta cú:
(1)

=+++ amfFNP
ms
Chiu (1) lờn phng Ox // mt phng nghiờng, ta cú:
P
t
+ 0 + F
t
f
ms
= ma mgsin + Fcos à N = ma (2)
Chiu (1) lờn phng Oy vuụng gúc vi mt nghiờng, ta cú:
P
n
+ N + F

n
= 0 mg cos + N +Fsin = 0
N = mgcos Fsin (3)
Thay (3) vo (2) F(cos +àsin) mg(sin + àcos) = ma.
T ú tớnh c gia tc ca vt l:
)cos(sing)sin(cos
m
F
a à+à+=
(2.29)
Suy ra, lc kộo nh nht (ng vi a = 0) vt bt u trt lờn dc:

à+

à
+

=
sincos
)cos(sinmg
F
min
(2.30)
Nu lc kộo cú hng song song mt nghiờng ( = 0) thỡ:
Chửụng 2: ẹONG LệẽC HOẽC 57
)cos(sing
m
F
a à+=
(2.31)

b) T (2.29) suy ra: khi lc kộo cú ln khụng i, gia tc ca vt l ln nht khi
(cos + à sin)
max
. p dng bt ng thc Bunhiacopxki, tng t nh vớ d 1, ta cú:
tg = à . Vy gia tc nht thỡ lc kộo phi hp vi mt nghiờng mt gúc
o
sao
cho tg
o
= à.
c) Nu khụng cú lc kộo, vt cú th s trt xung dc. Khi ú lc ma sỏt hng
ngc lờn trờn dc. Lm tng t nh cõu a, ta s thu c gia tc ca vt khi nú trt
xung dc: a = g(sin à cos) (2.32).
Vt thc s trt xung khi a 0. (2.32) sin à cos tg à.
Vy gúc nh nht vt bt u trt xung dc (khi khụng cú lc kộo) l:

min
= arctgà (2.33)
Vớ d 2.3: Thang mỏy chuyn ng vi
th vn tc nh hỡnh (2.15). Khi
lng ca thang mỏy l 500 kg, lc
cng ln nht ca dõy cỏp cho phộp s
an ton ca thang mỏy l T
max
= 12000
N. Tớnh trng ti ca thang mỏy.
10
13
2
5

v (m/s)
t (s)
Gii
Gi m v M l khi lng thang mỏy v
ti trng.
Hỡnh 2.1
5: th vn tc ca thang mỏy.
Lc tỏc dng lờn h (thang mỏy + ti)
gm:

P

T
m
M
- Trng lc
= (m + M) g ; P

x
- Lc cng dõy
ca dõy cỏp. v

p dng phng trỡnh (2.6):

(1)

+=+ a)Mm(TP
O
Chiu (1) lờn trc Ox thng ng, chiu
(+) hng lờn, ta cú:

P + T = (m + M)a
T = P + (m +M)a = (m + M)(g + a) (2)
Hỡnh 2.16 : Lc tỏc dng
lờn h (thang mỏy +ngi).
trong ú gia tc a cú giỏ tr i s, nú cú
giỏ tr dng hay õm tựy theo vect

hng lờn hay hng xung.

a
58 Giaựo Trỡnh Vaọt Lyự ẹaùi Cửụng Taọp 1: Cụ Nhieọt ẹieọn

Khi thang mỏy chuyn ng i lờn nhanh dn hoc i xung chm dn thỡ hng
lờn , suy ra a > 0, khi ú t (2) ta cú lc cng dõy ln nht :

a
T = T
max
= (m + M)(g + a
max
) v do ú:
m
ag
T
M
max
max

+
=

(3)
T th vt tc, suy ra:
5,2
2
5
t
v
a
max
==


=
m/s
2
.
Vy trng ti ca thang mỏy l:
kg460500
5,210
12000
m
ag
T
M
max
max
=
+
=
+

= .
Vớ d 2.4: Hai vt cú khi lng m
1
, m
2
buc
vo hai u si dõy, vt qua rũng rc. B qua
khi lng dõy v rũng rc. Coi dõy khụng gión.
Chng t hai vt chuyn ng ngc chiu vi
cựng ln gia tc. Tớnh gia tc ca cỏc vt v
lc cng dõy.

2
P

1
P

1
T

2
T
m
1




m

2
0
p dng s: m
1
= 6kg; m
2
= 4kg.
Gii
x
1
Ta cú:
(1)

=+
1111
amTP
x
2

=+
2222
amTP (2)
Chn trc Ox nh hỡnh v. Chiu (1) v (2) lờn
0x, ta cú: P
1
T
1
= m
1
a

1
(3)
x
P
2
T
2
= m
2
a
2
(4)
Gi x
1
v x
2
l ta ca m
1
v m
2
. Do dõy
khụng gión nờn chiu di dõy:
Hỡnh 2.17: H vt vt
qua rũng rc
A = x
1
+ x
2
+C = const. (5)
vi C l hng s biu din phn dõy vt qua rũng rc.

Ly o hm cp 2 ca (5) ta c: a
1
+ a
2
= 0 a
1
= a
2
= a (6)
Phng trỡnh (6) chng t hai vt luụn chuyn ng ngc chiu vi cựng ln gia
tc a.
Mt khỏc, dõy rt nh nờn T
1
= T
2
= T (7)
Thay (6) v (7) vo (3) v (4) ri tr v vi v, suy ra gia tc:
21
21
mm
g)mm(
a
+

=
(8)
Thay (8) vo (3) ta cú lc cng dõy: T = m
1
g m
1

a
1

Hay
21
21
mm
gmm
T
+
=
(9)
Thay s: m
1
= 6kg; m
2
= 4kg; g = 10m/s
2
vo (8) v (9) ta c: a = 2m/s
2
; T = 24N.


Chửụng 2: ẹONG LệẽC HOẽC 59
Đ2.4 NG LNG XUNG LNG
1 ng lng:
ng lng ca cht im l i lng vect bng tớch khi lng vi vn
tc ca cht im:
(2.34)

= vmp
T nh ngha (2.34), ta thy, vect ng lng
luụn cựng hng vi vect vn tc
. Trong h SI, ng lng cú n v l kgm/s.

p

v
i vi h cht im, ng lng ca mt h bng tng ng lng ca cỏc
cht im trong h:
(2.35)


=
ih
pp
eọ
2 Cỏc nh lớ v ng lng:
Gi
l tng cỏc lc tỏc dng lờn cht im, thỡ theo (2.6) ta cú:

F
dv d(mv) dp
ma m F hay F
dt dt dt




=

=== (2.36)
Ly o hm (2.35) theo thi gian t v s dng h thc (2.36), ta cú:





+=+==
iiii
fF)fF(
pd
pd
d
t
d
t
i
heọ

trong ú
v l tng cỏc ngoi lc v ni lc tỏc dng lờn cht im th i.
i
F

i
f

Theo nh lut III Newton, cỏc vt trong h tng tỏc nhau bng nhng cp lc trc
i, vỡ th
. Suy ra: 0f

i
=



==

FF
pd
i
d
t
heọ

nh lớ 1: o hm ca vect ng lng ca mt cht im (hay h cht im) theo
thi gian bng tng cỏc ngoi lc tỏc dng lờn cht im (hay h cht im) ú.



==

FF
pd
i
dt
heọ
(2.37)
Nu vit (2.36) hoc (2.37) di dng
, ri ly tớch phõn hai v, ta
c:

(2.38)
dtFpd

=
22 2
11
1
pt t
21
tt
p
dp Fdt hay p p p Fdt



===

60 Giáo Trình Vật Lý Đại Cương – Tập 1: Cơ – Nhiệt – Điện

Đại lượng gọi là xung lượng của ngoại lực trong thời gian từ t
∫
→
2
1
t
t
dtF
→
F
1

đến t
2
; còn
đại lượng
chính là độ biến thiên động lượng của vật. Vậy ta có thể phát
biểu (2.38) dưới dạng định lý sau:
→→→
−=∆
12
ppp
Định lí 2: Độ biến thiên động lượng của một chất điểm (hay hệ chất điểm) trong
khoảng thời gian
∆
t bằng xung lượng của ngoại lực tác dụng lên chất điểm (hay hệ
chất điểm) ấy trong khoảng thời gian đó.
3 – Ý nghĩa của động lượng và xung lượng:
Ta biết rằng, vận tốc là đại lượng đặc trưng cho chuyển động về mặt Động
Học. Nhưng khi khảo sát chuyển động của vật về mặt Động Lực Học, ta thấ
y vận tốc
của vật còn tùy thuộc vào cả khối lượng của nó. Động lượng là đại lượng bao hàm cả
vận tốc lẫn khối lượng, nên nó đặc trưng cho chuyển động về mặt Động Lực Học.
Trong các va chạm, động lượng đặc trưng cho khả năng truyền chuyển động.
Phương trình (2.36) chỉ là một dạng khác của phương trình cơ bản (2.6),
nh
ưng nó tổng qt hơn dạng (2.6). Vì thực ra, khối lượng của vật khơng phải là “bất
biến”, nó phụ thộc vào vận tốc, nhất là khi vận tốc cỡ vận tốc áng sáng (300000 km/s).
Tuy nhiên, trong khn khổ các hệ vĩ mơ, vận tốc của vật là khơng đáng kể so với vận
tốc ánh sáng, nên khối lượng của vật coi như khơng đổi. Nói tóm lại, phương trình
(2.36) là phương trình động lực học cho bất kỳ vậ
t nào, còn (2.6) chỉ là trường hợp

riêng của (2.36) khi vật có vận tốc nhỏ.
Từ (2.38) suy ra, với một lực khá lớn, nhưng tác dụng vào vật trong thời gian
rất ngắn thì chưa chắc đã làm thay đổi vận tốc của vật bằng một lực nhỏ nhưng thời
gian tác dụng lâu. Vậy xung lượng của lực trong khoảng thời gian
∆
t đặc trưng cho
tác dụng của lực vào vật trong khoảng thời gian ấy.
4 – Định luật bảo tồn động lượng:
Nếu hệ mà ta khảo sát là hệ cơ lập (hay hệ kín
= 0) thì từ (2.37) suy ra động
lượng của hệ khơng đổi. Ta có định luật bảo tồn động lượng: Tổng động lượng của
một hệ cơ lập được bảo tồn.
→
F

(2.39)
∑
→→→
== constpp
ihệ
Trên thực tế khơng có hệ nào cơ lập tuyệt đối cả! Tuy nhiên, định luật bảo
tồn động lượng vẫn được áp dụng trong các trường hợp sau:
• Hệ cơ lập theo một phương Ox nào đó. Trường hợp này hệ có ngoại lực tác
dụng, nhưng hình chiếu của ngoại lực lên phương Ox ln bằng khơng thì
động lượng của hệ theo phương Ox cũng được bảo tồn.
• Hệ có ngoại l
ực, nhưng tổng các ngoại lực triệt tiêu.
Chương 2: ĐỘNG LỰC HỌC 61
• Hệ có nội lực rất lớn so với ngoại lực. Trong các bài tốn về va chạm, đạn nổ,
thì trong thời gian va chạm là rất ngắn, ngoại lực là rất nhỏ so với nội lực, nên

hệ cũng được coi là kín và động lượng của hệ được bảo tồn.
Ví dụ 2.5: Một toa xe chở đầy cát đang chuyển động tự do
với vận tốc v = 9km/h trên đường ray nằm ngang. Khối
lượng cả toa xe là 1000kg. Một tảng đá khối lượng 10kg
bay với vận tốc u = 20m/s đến cắm vào xe cát theo hướng
tạo với phương ngang một góc 30
o
(hình 2.18). Tính vận
tốc của toa xe ngay sau đó.
→
v
α
→
u

Giải
Hệ kín theo phương ngang (Ox) nên động lượng
của hệ được bảo tồn theo phương này. Chọn chiều dương
là chiều chuyển động của toa xe, gọi u, v là vận tốc của tảng đá, toa xe lúc đầu; v’ là
vận tốc lúc sau của toa xe; M, m là khối lượng của toa xe và tảng đá, ta có:
Hình 2.18
p
hệ/Ox lúc đầu
= P
hệ/Ox lúc sau
⇒ Mv – mucosα = (M + m)v’
⇒
101000
30cos.20.105,2.1000
m

M
cosmuMv
'v
0
+
−
=
+
α−
=
= 2,3 m/s
5 – Một số ứng dụng của định luật bảo tồn động lượng:
a) Súng giật khi bắn:
Ta có thể giải thích hiện tượng súng giật khi bắn bằng cách vận dụng định luật
bảo tồn động lượng. Gọi M và m là khối lượng của súng và đạn;
là vận tốc
của súng và đạn khi đạn rời nòng. Hệ (súng + đạn) là hệ kín (vì tổng các ngoại lực triệt
tiêu) nên động lượng của hệ được bảo tồn. Mà trước khi bắn, động lượng của hệ bằng
khơng, nên sau khi bắn, ta cũng có:
→→
vvà V

0ppp
h
=+=
→→→
đạnsúngệ
hay
→→→→
−=⇒=+ v

M
m
V0vmVM
(2.40)
Dấu trừ trong (2.40) chứng tỏ súng chuyển động ngược chiều với đạn, ta nói súng bị
“giật”. Súng giật càng yếu khi khối lượng của súng càng lớn. Vì thế, khi bắn súng
trường hay súng AK, người ta phải tì chặt súng vào vai để người và súng tạo thành
một hệ có khối lượng M lớn. Nếu là súng cối hay pháo, thì phải có đế nặng để nó ít bị
giật lùi.
Ví dụ 2.6: Một khẩu đại bác có thể chuyển độ
ng theo phương ngang. Một viên đạn
được bắn khỏi nòng súng với vận tốc v
o
= 200m/s, hợp với phương ngang mơt góc α =
45
0
. Tính vận tốc của súng ngay khi đạn rời nòng súng, biết khối lượng của súng là
M = 2 tấn, của đạn là m = 5kg.
62 Giáo Trình Vật Lý Đại Cương – Tập 1: Cơ – Nhiệt – Điện

Giải
Hệ kín theo phương ngang nên động lượng của hệ được bảo tồn theo phương này. Từ
(3.26) suy ra vận tốc của súng là:
s/m35,0
2000
45cos.200.5
M
cosmv
V
0

0
==
α
=
Vậy, súng bị giật lùi với vận tốc 0,35m/s.
b) Chuyển động bằng phản lực:
Xét chuyển động của tên lửa: Giả sử ở thời điểm t, tên lửa có khối lượng m,
chuyển động với vận tốc
, thì động lượng của tên lửa là . Ở thời điểm
t + dt, vận tốc của tên lửa là
. Lúc này khối lượng của tên lửa giảm một
lượng dm và khối lượng nhiên liệu phụt về phiá sau là – dm (dm < 0). Gọi
là vận
tốc nhiên liệu, ta có động lượng của hệ ở thời điểm t’ là:
→
V
→→
= Vmp
1
→→→
+= VdV'V
→
v
→→→→→→
−++=−++= vmd)VdV)(mdm(v)md('V)mdm(p
2



→→→→

−++≈ vdmVdmVmdmV
Suy ra:
và
21
dp p p (V v)dm mdV
→→→ →→ →
=−= − +
dp (V v)dm mdV
dt dt dt
→→→ →
−
=+

Gọi là tổng ngoại lực tác dụng vào hệ thì theo (2.37)
→
F
dt
pd
F
→
→
= , do đó ta có:

dt
dm
.uF
dt
dm)Vv(
F
dt

Vd
m
→→
→→
→
→
+=
−
+= (2.41)
Trong đó:
là vận tốc tương đối của nhiên liệu phun ra so với tên lửa.
→→→
−= Vvu
(2.41) chính là phương trình chuyển động của tên lửa. Vế phải chính là tổng các lực
tác dụng lên tên lửa, trong đó số hạng thứ 2 có thứ ngun của lực nên được gọi là
phản lực.
Nếu ngoại lực rất nhỏ so với phản lực thì ta có:

dt
dm
u
dt
dm
)Vv(
dt
Vd
m
→→→
→
=−=

(2.42)
Chọn chiều dương là chiều chuyển động của tên lửa, ta có:
Chöông 2: ÑOÄNG LÖÏC HOÏC 63
mdV = – udm hay
dm dV
mu
=−
. (2.42a)
Giả sử vận tốc phụt khí của tên lửa không đổi (u = const), lấy tích phân hai vế (2.42a)
ta có:
V
ln m C
u
=
−+
(2.42b)
Ở thời điểm ban đầu (trước khi phóng), khối lượng của tên lửa là m = m
o
và vận tốc
V = 0. Thay điều kiện này vào (2.42b) ta tìm được hằng số tích phân C = ln m
o
. Từ đó
ta có vận tốc của tên lửa: V = uln
m
m
0
(2.43)
Phương trình (2.43) được gọi là phương trình Xiôncốpxki. Nó là một trong những
phương trình cơ bản, được sử dụng trong ngành khoa học không gian vũ trụ. Dựa vào
đó, ta có thể điều khiển được vận tốc của tên lửa.

Ví dụ 2.7: Tên lửa được phóng lên thẳng đứng từ mặt đất. Vận tốc khí phụt ra so với
tên lửa là 1000m/s. Tại thời điểm phóng, khối lượng tên lửa là 6000kg. Tính vậ
n tốc
của tên lửa sau 5 giây. Biết rằng, cứ mỗi giây khối lượng khí phụt ra là 200kg. Bỏ qua
sức cản không khí, có tính đến ảnh hưởng của trọng lực.
Giải
Áp dụng (2.41) ta có:
dt
dmu
P
dt
Vd
m
→
→
→
+=
với
là trọng lực tác dụng lên tên lửa; là vận tốc khí phụt ra so với tên lửa. Do tên
lửa phóng theo phương thẳng đứng, nên chiếu phương trình vectơ lên phương thẳng
đứng, chiều dương hướng lên, ta có:
→
P
→
u
dt
dm
umg
dt
dV

m −−=
hay dV = – gdt – u
m
dm

Tích phân hai vế và chú ý: từ thời điểm t
o
= 0 đến thời điểm t thì khối lượng tên lửa
biến thiên từ m
o
đến m và vận tốc tên lửa cũng biến thiên từ 0 đến V.
Ta có:
∫∫∫
−−=
m
m
t
0
V
0
0
m
dm
ugdtdV
⇒ V = – gt + u )
m
m
ln(
0
(*)

Với t = 5s thì khối lượng còn lại của tên lửa là: m = 6000 – 200.5 = 5000kg
Thay vào (*) ta có vận tốc tên lửa là: V = – 10.5 +1000.ln(6/5) = 132m/s.
64 Giaựo Trỡnh Vaọt Lyự ẹaùi Cửụng Taọp 1: Cụ Nhieọt ẹieọn

Đ2.5 MễMEN NG LNG MễMEN LC
Phng trỡnh (2.36) l mt trong nhng phng trỡnh c bn ca ng lc
hc. Trong nhiu trng hp, nht l khi kho sỏt cỏc chuyn ng quay, chuyn
ng di tỏc dng ca trng lc xuyờn tõm, ngi ta din t phng trỡnh ng
lc hc (2.36) di dng khỏc: ú chớnh l nh lớ v mụmen ng lng.
1 Mụmen ca mt vect i vi im O:
Cho mt vect cú gc ti A v mt im O c nh. Ta nh ngha
mụmen ca vect
i vi O l mt vect, kớ hiu l , c xỏc nh bi
tớch hu hng:
(2.44)

= ABu

u )u(M
o/







=

=

u,ru,OA)u(M
o/
Vect
cú: )u(M
o/

A

u
B

r
H
O
d

M
- Gc: ti O;
- Phng: vuụng gúc vi mt phng cha
(O,
);

u
- Chiu: tuõn theo qui tc inh c;

- ln: M
/O
= ursin = ud (2.45)
vi d = OH l cỏnh tay ũn chớnh bng
khong cỏch t O n giỏ ca
.

u
Hỡnh 2.19: Mụmen ca mt vect
T nh ngha trờn, ta cú cỏc tớnh cht
sau:
a) Nu
cú phng qua O thỡ = 0.

u
)u(M
o/

b) Nu
= thỡ = . , l s thc.

u

1
u )u(M
o/

)u(M
1
o/

c) Nu
= + thỡ = +

u

1
u

2
u )u(M
o/

)u(M
1
o/

)u(M
2
o/

2 Mụmen ng lng:
Mụmen ng lng ca cht im l vect
c xỏc nh bi:

L

=






=

v,rmp,rL (2.46)
Chöông 2: ÑOÄNG LÖÏC HOÏC 65
⇒ L = rpsinθ = mrvsinθ (2.47)

→
p
→
L
θ
→
r
M
O
với θ là góc giữa
→
r
và .
→
p

Phương, chiều, điểm đặt của vectơ
mômen động lượng được xác định như ở mục
1. Trong hệ (SI), đơn vị đo mômen động lượng
là kilôgram mét bình phương trên giây
(kgm
2
/s).
Hình 2.20: Mômen động lượng.
Mômen động lượng của hệ chất điểm
bằng tổng các mômen động lượng của từng chất điểm trong hệ:

(2.48)
∑∑
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
==
→→→→
iii
p,rLL
trong đó:
là vectơ bán kính hướng từ gốc O đến chất điểm thứ i; là
động lượng của chất điểm thứ i.
→
i
r
→→

=
iii
vmp
3 – Mômen lực:
Tương tự, mômen của lực
đối với điểm O là: (2.49)
→
F
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
==
→→→→→
F,r)F(MM
O/
Suy ra độ lớn của mômen lực: M
/O
( ) = r.F.sinθ = F.d (2.50)
→
F
Với d = Fsinθ là cánh tay đòn (khoảng cách từ O đến giá của lực
).
→
F
Phương, chiều, điểm đặt của vectơ mômen lực được xác định như ở mục 1.
Trong hệ (SI), đơn vị đo mômen lực là niutơn mét (Nm).
Trong các chuyển động quay tròn quanh tâm O, mômen lực còn được gọi là

mômen quay. Lực
luôn được phân tích thành hai thành phần: . Do đó
mômen lực:
. Vì thành phần pháp tuyến song
song với bán kính quĩ đạo
, nên [
→
F
→→→
+=
tn
FFF
/O
t
M(F)[R,F][R,F][R,F]
→→ →→ →→ →→
== +
n
→
n
F
R
→ →
R
, ] = 0. Do đó mômen lực trong trường hợp
này và được xác định bởi:
(2.51)
→
n
F

tO/t
O/
RFM]F,R[)F(M =⇒=
→→→→
Chỉ có thành phần tiếp tuyến của lực mới tạo ra mômen quay.
4 – Định lí về mômen động lượng:
Lấy đạo hàm (2.48) theo thời gian, ta có:

∑∑
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
==
→
→→
→

→→
→
dt
pd
,rp,
dt
rd
]p,r[
dt
d
dt
Ld
i
ii
i
ii