chuyên đề phương trình mũ
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (742.72 KB, 50 trang )
CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT.
CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH
MŨ VÀ LOGARIT.
Bài 1: Giải phương trình sau:
1 1
1
1
2 .4 . 16
8
x x x
x
Giải:
1 2.( 1) 4
3.(1 )
1
2 .2 . 2
2
x x x
x
6 4 4
2 2
x x
6 4 4
x
2
x
.
Bài 2: Giải phương trình sau:
2 2 3 3
2 .5 2 .5
x x x x
Giải:
•
Phương trình tương đương:
2 3
10 10
x x
2 3
x x
1
x
•
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất
1
x
Bài 3: Giải phương trình sau:
3
log
1
( 2) 2
2
x
x x x
Giải:
•
Đk:
2
x
( * )
Phương trình tương đương:
3
2 0
1
( ) 1(1)
2
log x
x
x
3
2
1
( ) 1(1)
2
log x
x
x
Giải phương trình (1) ta xét hai trường hợp
1.
1
1
2
x
3
2
x
(Loại)
CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT.
2.
1
0 1
2
x
(1)
3
log 0
x
1
x
(Loại)
•
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất:
2
x
Bải 4: Giải phương trình sau:
3 1
1 3
( 10 3) ( 10 3)
x x
x x
Giải:
Điều kiện :
1
x
và
3
x
•
Vì
( 10 3).( 10 3) 1
nên phương trình sẽ trở thành :
3 1
1 3
1
( ) ( 10 3)
10 3
x x
x x
3 1
1 3
( 10 3) ( 10 3)
x x
x x
2 2
9 1
x x
5
5
x
x
•
Đối chiếu điều kiện ta có phương trình có hai nghiệm
5
x
và
5
x
Bài 5: Giải phương trình:
2
3 3
log ( 1) ( 5).log ( 1) 2 6 0
x x x x
Giải:
•
ĐK:
1
x
Đặt :
3
log ( 1)
x t
Phương trình trở thành:
2
( 5) 2 6 0
t x t x
Ta có
2 2 2
( 5) 8 24 2 1 ( 1)
x x x x x
Vậy phương trình có hai nghiệm:
2
3
t
t x
•
Với
2
t
3
( 1) 2
log x
8
x
•
Với
3
log (3 1)
t t
3
log (4 )
t t
3 4
t
t
3 4 0
t
t
Xét
( ) 3 4
t
f t t
Ta thấy hàm số hàm số
( )
y f t
là hàm số đồng biến trên R nên phương trình: f(t)=0 có nghiệm
duy nhất. Dễ thấy t = 1
x = 2
•
Vậy phương trình có hai nghiệm là:
2
x
và
8
x
Bài 6: Giải phương trình :
(2 3) (2 3) 4
x x
CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT.
Giải:
•
Điều kiện:
0
x
( * )
Do:
(2 3) .(2 3) 1.
x x
(1)
1
(2 3) 4
(2 3)
x
x
Đặt
(2 3)
x
t
(
0
t
). Phương trình trở thành:
2
4 1 0
t t
2 3
2 3
t
t
1
1
x
x
•
Cả hai nghiệm đều thỏa mãn điều kiện ( * ).
Vậy phương trình có hai nghiệm
1
x
và
1
x
Bài 7: Giải phương trình :
(7 4 3) 3(2 3) 2 0
x x
Giải:
•
Từ pt đầu ta có:
(7 4 3) 3(2 3) 2 0
x x
2
(2 3) 3(2 3) 2 0
x x
2
3
(2 3) 2 0(1)
(2 3)
x
x
•
Đặt:
(2 3)
x
t
( 0)
t
•
Phương trình (1) trở thành:
3
2 3 0
t t
1
t
Vì vậy:
(2 3) 1
x
0
x
Bài 8: Giải phương trình
3
(3 5) 16(3 5) 2
x x x
CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT.
Giải:
•
Do
(3 5) .(3 5) 4
x x x
(với
0
x
)
•
Nên từ phương trình đầu ta có:
3
(3 5) 16(3 5) 2
x x x
2 4
3
2
(3 5) 2 (1)
(3 5)
x
x x
x
Chia cả 2 vế của phương trình (1) cho
3
2
x
Thì phương trình (1) trở thành:
(3 5) 2.2
1(2)
8.2
(3 5)
x x
x
x
•
Đặt:
(3 5)
2
x
x
t
( 0)
t
•
Phương trình (2) trở thành:
1 2
1
8
t
t
2
8 16 0
t t
4
t
•
Nên :
(3 5
( ) 4
2
x
4
(3 5)
2
log
x
log
.
Bài 9: Giải phương trình
3
3( 1)
1 12
2 6.2 1
2 2
x x
x x
Giải:
Phương trình tương đương:
3
3
8 12
2 6.2 1
2 2
x x
x x
3
3
8 2
2 6 2 1
2 2
x x
x x
2
2
2 4 2
2 2 2 6 2 1
2 2 2
x x x
x x x
2
2
2 4
2 2 4 1
2 2
x x
x x
2
2 2
2 2 1
2 2
x x
x x
3
2
2 1
2
x
x
CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT.
2
2 1
2
x
x
2 2
x
1
x
Bài 10: Giải phương trình
2 2
3 3 1 ( 1)
2 2 2 2
x x x x
Giải:
Đặt t = x-1 . Phương trình trở thành :
2 2
1
2 2 2 2
t t t t
2
2
2.2
2 2 2
2
t
t t
t
Đặt a =
2 ( 0)
t
a
( * )
3 2
3 2 0
a a a
0
1
2
a
a
a
Đối chiếu điều kiện ( * ) nhận a = 1 và a = 2
1
1
2 1
2 2
x
x
1
2
x
x
Vậy giá trị x cần tìm : x = 1 và x = 2
Bài 11: Giải phương trình
2 sin 2 2 3cos
(2 ) (2 )
x x
x x x x
Giải:
TH1
Nếu
2
2 1
x x
2
1 0
x x
1 5
2
1 5
2
x
x
Thì phương trình luôn đúng
TH2
CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT.
Nếu
1 5
2
.
1 5
2
x
x
Thì ta có:
sin 2 3cos
x x
sin( ) 1
3
x
.2
6
x k
Bài 12: Giải phương trình
2 2
3 5 2 2 4
( 3) ( 6 9)
x x x x
x x x
Giải:
TH1
Khi
3 1 4
x x
Thì phương trình luông đúng
TH2
Khi
4
x
PT trở thành:
2 2
3 5 2 2 2 8
( 3) ( 3)
x x x x
x x
2 2
3 5 2 2 2 8
x x x x
2
7 10
x x
5
2
x
x
Bài 13: Giải phương trình
2
0.5
log sin 5sin cos 2
1
4
9
x x x
Giải:
ĐK:
2
sin 5sin cos 2 0(*)
x x x
Phương trình tương đương:
1
2 2
4
2
log (sin 5sin cos 2) log 3
x x x
2
2 4
log (sin 5sin cos 2) log 3
x x x
2
sin 5sin cos 2 4
x x x
Thỏa ( * )
cos 0
5sin cos 0
x
x x
CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT.
2
1
(tan )
5
x k
x a m a
Bài 14: Giải phương trình
2
lg
1000
x
x x
Giải:
ĐK: x>0
PT trở thành:
2 2
(1000 )
lg x lg x
2
2 3 0
lg x lgx
1
3
lgx
lgx
1
10
1000
x
x
Bài 15: Giải phương trình
2
(3 2 ) 2(1 2 ) 0
x x
x x
Giải:
Ta có
2 2
(3 2 ) 4.4.(1 2 ) (2 1)
x x x
Nên phương trình có 2 nghiệm là :
3 2 2 1
2
2
x x
x
hoặc
3 2 2 1
1 2
2
x x
x
x
2 1
x
x
Ta có hàm số VT đồng biến nên x=0
Bài 16: Giải phương trình
2 2
3.25 (3 10)5 3 0
x x
x x
Giải:
Ta có :
2 2
(3 10) 4.3.(3 ) (3 8)
x x x
Nên phương trình có 2 nghiệm là:
2
10 3 3 8 1
5
6 3
x
x x
5
25
3
x log
CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT.
Hoặc :
2
18 6
5 3
6
x
x
x
5 25 75
x
x
Xét hàm số ở VT ta thấy hàm số đồng biến nên
2
x
Bài 17: Giải phương trình
2 2
2013 2013 2
sin x cos x
cos x
Giải:
Ta có :
2 2
2 2
2013 2013
sin x cos x
cos x sin x
2 2
2 2
2013 2013
sin x cos x
sin x cos x
Xét hàm đặc trưng:
( ) 2013
t
f t t
Hàm số đồng biến nên pt đúng khi:
2 2
cos sin
x x
cos2 0
x
4 2
k
x
Bài 18: Giải phương trình
3 3
2 2 2 2 4 4
4 2 4 2
x x x x x x
Giải:
ĐK
2
x
Phương trình tương đương:
3 3
2 2 4 4
16 .4 2 16.4 2
x x x x x x
3
2 1 1
16.4 (16 1) 2 (16 1)
x x x x
3
1 2
(16 1)(16.4 2 ) 0
x x x
3
1
2
16 1
16.4 2
x
x x
1
( )
2
x
N
x
Bài 19: Giải phương trình
3 5 6 2
x x
x
Giải:
Phương trình tương đương:
3 5 6 2
x x
x
Xét hàm số :
3 5 6
x x
y x
Ta có:
3 . 3 5 . 5 6
x x
y ln ln
Suy ra:
2 2
3 . 3 5 . 5 0
x x
y ln ln
nên y' đồng biến trên R
CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT.
Mặt khác:
lim 6
x
y
; lim
x
y
Do đó phương trình:
0
y
có nghiệm duy nhất
0
x x
Ta có:
lim
x
y
;
lim
x
y
;
lim
o
x x
y a
Nên đương thẳng
2
y
cắt đồ thị tại 2 điểm mà y(1)=2, y(0)=2 (Dựa vào bảng biến thiên)
Vậy phương trình có 2 nghiệm
1
x
và
0
x
.
Bài 20: Giải phương trình
1
5 .8 500
x
x
x
Giải:
ĐK
0
x
PT tương đương:
5 5
1
. 8 3 4
x
x log log
x
2
5 5
( 2 3) 3 2 0
x log x log
Ta có :
2 2 2
5 5 5 5 5
( 2 3) 4.3. 2 2 6 2 9 ( 2 3)
log log log log log
Nên:
1 2 5
3; 2
x x log
Bài 21: Giải phương trình
2
2
1
cot
sin
4 2 3 0
x
x
Giải:
ĐK
sin 0
x
Ta có :
2
0
cot x
;
2
1
1
sin x
Nên :
2
2
1
0 1
4 2 4 2 3
cot x
sin x
Do đó:
0
VT
Nên PT đúng khi :
2
2
0
1
cot x
sin x
2
x k
Bài 22: Giải phương trình
(7 4 3) 3(2 3) 2 0
x x
Giải:
Phương trình tương đương:
2
(2 3) 3(2 3) 2 0
x x
3
(2 3) 2.(2 3) 3 0
x x
(2 3) 1
x
0
x
CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT.
Bài 23: Giải phương trình
s inin s
( 7 4 3) ( 7 4 3) 4
xx
Giải:
•
Đặt
( 7 4 3)
sinx
t
Phương trình trở thành:
1
4
t
t
2
4 1 0
t t
2 3
2 3
t
t
( 7 4 3) 2 3
( 7 4 3) 2 3
sinx
sinx
1
1
sinx
sinx
•
Vậy phương trình có các nghiệm:
2
x k
( ).
k Z
Bài 24: Giải phương trình
2 2
2 1 2 2
2 9.2 2 0
x x x x
Giải:
•
Phương trình biến đổi thành:
2 2
2
2.2 9 4.2 0
x x x x
Chia hai vế cho
2
2
x
ta được:
2 2
2( )
2.2 9.2 4 0
x x x x
2
2
2 4
1
2
2
x x
x x
2
2
2 0
1 0( )
x x
x x L
1
2
x
x
•
Vậy phương trình có hai nghiệm
1
x
và
2
x
CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT.
Bài 25: Giải phương trình
3 1
125 50 2
x x x
Giải:
Phương trình tương đương:
3 2 3
5 5 .2 2 .2
x x x x
3 2
5 5
2 0
2 2
x x
5
1
2
x
0
x
Bài 27: Giải phương trình
2 2
2 2 2( 2 2) 2
3 2 2 25
x x x x
x x
Giải:
Đặt:
2
2 2
x x t
(
0
t
)
Phương trình trở thành:
2
3 (2 ) 27
t t
t
( * )
2
3 (2 ) 27
t t
t
Xét hai hàm số:
2
( ) 3 (2 )
t t
f t
và
( ) 27
g t t
Ta có
( ) 3 . 3 2.2 . 2 0( )
t t
f a ln ln t
,
( ) 1 0
f b
Vậy phương trình ( * )có nghiệm duy nhất
dễ thấy f(2)=g(2)
2
t
2
2 2 2
x x
( 2) 0
x x
0
x
và
2
x
Bài 28: Giải phương trình
2 2
2
(2 2) (2 2) 1
log x log x
x x
Giải:
ĐK : x > 0
Phương trình tương đương:
2
2
2
log
2
log
(2 2) 1
(2 2)
x
x
x
x
2
2
2
log 2
log
log
(2 2)
(2 2) 1 . 0.
(2 2)
x
x
x
x
CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT.
2
2
log
log 2
(2 2) 1, (1)
(2 2) , (2)
x
x
x
2
• (1) log 0 1
x x
•
Đặt
2
log 2
t
x t x
2
(2) (2 2) 2
t t
(4 2 2) 1
t
0
t
2
log 0
x
1
x
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1
Bài 29: Giải phương trình
3 4 5 14 8
x x x x
Giải:
•
Vì
8 0
x
nên phương trình tương đương:
3 4 5 1
14. 1
8 8 8 8
x x x x
3 1 5 1
14. 1 0
8 2 8 8
x x x x
•
Xét hàm số:
3 1 5 1
( ) 14. 1
8 2 8 8
x x x x
f x
trên R.
•
Dễ thấy
( )
f x
nghịch biến trên R.
•
Mặt khác:
(2) 0
f
. Suy ra phương trình có nghiệm duy nhất
2
x
.
Bài 30: Giải phương trình
2 2 1 2
3 3 4 2
x x
x x
Giải:
Điều kiện:
1.
x
Đặt:
2 2 1 1.
u x
Ta có:
2
2 2 3.
u u x
Phương trình đã cho tương đương:
2 2 1 2
3 2 3 3 2 ,
x x
x x x
Hay
2 2
3 2 3 2 (1).
u x
u u x x
Xét hàm số :
2
( ) 3 2 ,
t
f t t t
Với
1
t
Ta có
( ) 3 ·ln3 2 2 0
t
f t t
1.
t
Từ phương trình
(1)
, ta có
u x
, hay
2 2 1 .
x x
CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT.
Giải phương trình này, ta được hai nghiệm
1
x
và
3.
x
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm
1
x
và
3.
x
Bài 31: Giải phương trình
2
3 1
x
x x
Giải:
Cách 1:
Vì:
2 2 2
1 | | 1 0
x x x x x x
Nên:
2
(1) ln( 1) ln3
x x x
2
( ) ln( 1) ln3 0
f x x x x
Ta có:
2
1
( ) ln3 0
1
f x
x
x
0
x
Cách 2:
Vì :
2
1 0
x x
Nên:
2 2 2 2
( 1)( 1) 3 ( 1) 1 3
x x
x x x x x x x x
Suy ra hệ:
2
2
1 3
1 3
x
x
x x
x x
2
2 1 3 3
2 3 3
x x
x x
x
x
2 2
4(1 (3 3 ) ) (3 3 )
x x x x
2 2
2 2
1 1
4 4( 2) ( 2) ( 3 )
x
t t t
t t
2 2
( 1) 0
t
Bài 32: Giải phương trình
( 3 2) ( 3 2) ( 5)
x x x
Giải:
Đặt :
3 2; 3 2; 5
a b c
Ta thấy
a c b
Nếu
0
x
thì
1 1 1
VT VP
(Phương trình không đúng)
Nếu
0
x
thì
x x x x x
b c a b c
(Phương trình vô nghiệm)
Nếu
0
x
thì
x x x x x
a c a b c
(Phương trình vô nghiệm)
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT.
Bài 33: Giải phương trình:
3 1
4.3 3 1 9
x x x
Giải:
Đặt
3 0
x
cos
PT trở thành:
3 2
4cos 3cos 1
cos
2
3 1
cos cos
2 2
cos3 0
cos 3 1 cos (1)
Ở PT(1) ta có :
1 ; 1
VT VP
Nên hệ đúng khi:
2
2
cos3 0
cos 3 1
1
cos
1
cos
Vậy
3 1 0
x
x
Bài 34: Giải bất phương trình:
2 3 5 38
x x x
Giải:
Xét hàm số
( ) 2 3 5
t t t
f t
, dễ thấy hàm số f(t) đồng biến trên
.
Nên ta có bất phương trình đã cho được viết lại thành:
( ) (2) 2
f x f x
Bài 35: Giải bất phương trình:
1 2.2 3.3 6
x x x
Giải:
Chia 2 vế cho
6
x
ta được:
1 1 1
2. 3. 1
6 3 2
x x x
Xét hàm số:
1 1 1
( ) ( ) 2.( ) 3.( )
6 3 2
x x x
f x
Hàm số trên nghịch biến trên R
Mà
(2) 1
f
Nên BPT đúng khi:
2
x
Vậy tập nghiệm của BPT là S=(-
;2)
CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT.
Bài 36: Giải bất phương trình:
3 4 5
x x x
Giải:
Chia cả 2 vế cho
5
x
ta được:
3 4
1
5 5
x x
Xét hàm số:
3 4
( ) ( ) ( )
5 5
x x
f x
Dễ thấy hàm số nghịch biến
Mà
(2) 1
f
Nên BPT đúng khi
2
x
Vậy tập nghiệm của BPT là S=( 2;+
)
Bài 37: Giải bất phương trình:
2
4 2 2
3 ( 4)3 1
x x
x
Giải:
•
Khi
| | 2
x
thì ta có:
2
4 0
x
Nên:
2
4 0
3 3 1
x
và
2 2
( 4).3 0
x
x
Do đó
1
VT
(BPT đúng)
•
Khi
| | 2
x
thì ta có:
2
4 0
x
Nên:
2
4 0
3 3 1
x
và
2 2
( 4).3 0
x
x
Do đó
1
VT
(BPT vô nghiệm )
•
Vậy tập nghiệm của BPT là
\ ( 2;2)
S R
Bài 38: Giải bất phương trình:
3 .2 3 2 1
x x
x x
Giải:
•
Dễ thấy:
1
2
x
không là nghiệm của phương trình.
•
Phương trình tương đương:
2 1
3
2 1
x
x
x
•
Ta có: Hàm số
3
x
y
đồng biến trên
R
Hàm số
2 1
2 1
x
y
x
nghịch biến trên mỗi khoảng (-
;
1
)
2
và
1
(
2
;+
).
•
Vậy phương trình chỉ có 2 nghiệm:
1
x
.
CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT.
Bài 39: Giải bất phương trình:
2 2 2
2 3 2 2 2 1
3 4 5 14
x x x x x x
Giải:
Cách 1:
•
Đặt
2
2 1
t x x
(
0
t
)
Phương trình viết lại thành:
2 1
( ) 3 4 5 14 0(1)
t t t
f t
*Nhận xét: Hàm số
( )
y f t
là hàm số đồng biến với
t
[
0; +
). Nên phương trình (1) có
nghiệm duy nhất mà f(0) = 0
t = 0
x = -1
•
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất
1
x
Cách 2: Sử dụng BDT.
Ta có:
2 2
2 2
2 2
2 3 ( 1) 2 2
2 2 ( 1) 1 1
2 1 ( 1)
3 3 3 9
4 4 4 4
5 5 5
x x x
x x x
x x x
2 2 2
2 3 2 2 2 1
3 4 5 14
x x x x x x
Dấu "=" xảy ra khi x=-1.
Bài 40: Giải bất phương trình:
1 1 2
3
2 2 3 2
x x
Giải:
Cách 1:
•
Đặt
2
x
t
Với (
0
t
)
Phương trình trở thành:
3
2
2
2 3 2(1)
t
t
Ta có
3
2 2
2 2
2 3 2
t t t
t t
(Áp dụng bất đẳng thức cô si cho 3 số dương)
Như vậy trong phương trình (1):
VT VP
Dấu "=" xảy ra khi
3
2
2
2
t t
t
•
Với
3
1
2 .
3
t x
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất
1
3
x
Cách 2:
Đặt:
2 0
x
t t
thì phương trình trở thành:
CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT.
3
2
2
2 3 2
t
t
3
3
2 3 2 2 0
t t
2
3 3 3
( 2)(2 2 4) 0
t t t
Tới đây các bạn tiếp tục nhé.
Bài 41: Giải bất phương trình:
2 1 3 2
2
3
8
2 2
log (4 4 4)
x x
x x
Giải:
•
Ta có
2 1 3 2 2
2
4
2 2 2(2 ) 8
2
x x x
x
VT
(Áp dụng BĐT cô si cho hai số dương)
2
3 3
8 8
8
(4 4 4) 3
VP
log x x log
Như vậy:
8
8
VT
VP
.
Dấu "= " xảy ra khi:
2
2
2
4
2
2
4 4 4 3
x
x
x x
1
2
x
•
Phương trình có nghiệm duy nhất
1
2
x
Bài 42: Giải bất phương trình:
5
log ( 3)
2
x
x
Giải:
•
ĐK: x>0.
•
Phương trình tương đương:
5 2
log ( 3) log (*)
x x
Đặt:
2
log 2
t
t x x
. Vậy:
5
(*) log (2 3)
t
t
2 1
3. 1(**).
3 5
t t
•
Xét hàm số:
2 1
( ) 3. .
3 5
t t
y f t
CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT.
•
Ta có:
2 1
( ) .ln0.4 3. .ln0.2 0
3 5
t t
f t
t R
. Suy ra
( )
f t
giảm trên R.
•
Mặt khác:
(1) 0
f
do đó ( * * ) có nghiệm duy nhất
1 2
t x
.
Bài 43: Giải bất phương trình:
3 4 0
x
x
Giải:
Xét hàm số
( ) 3 4
x
f x x
có
( ) 3 3 1 0
x
f x ln
x
Hàm số đồng biến
Phương trình có nghiệm duy nhất
1
x
Bài 44: Giải bất phương trình:
2 2
log 3 log 7
2
x x x
Giải:
Ta có :
3
3
log x
x
3
2 2 2
3 3
(3 ) 3
log x
log log log x
x
2 2
7
7
log log x
x
2
2
log x
x
Đặt :
2
t log x
từ đó ta có :
2 3 7 2
t t t
Pt
1
t
2
x
Bài 45: Giải bất phương trình:
2
3 1
2
3
1
log ( 3 2 2) 2
5
x x
x x
Giải:
•
ĐK :
1
x
hoặc
2
x
•
Đặt
2
3 2 ( 0)
t x x t
2 2
3 1 1
x x t
Pt
2
1
3
1
log ( 2) 2
5
t
t
•
Xét hàm số
2
1
3
1
( ) log ( 2) ( )
5
t
f t t
CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT.
•
Có
2
1 1
( ) .2 .5 0
( 2) 3 5
t
f t t
t ln
0
t
Hàm số đồng biến
0
t
•
Mặt khác:
(1) 0
f
nên phương trình trên có nghiệm duy nhất :
1
t
3 5
2
x
Bài 46: Giải phương trình
3 9
1
( 9 ) 2
2
x
log log x x
Giải:
ĐK
0
x
PT tương đương:
9
1
log 9 9
2
x x
x
9
1
log
2
x
1
3
x
Bài 47: Giải phương trình
2 3
4 8
2
( 1) 2 4 (4 )
log x log x log x
Giải:
ĐK:
4 4
x
và
1
x
Phương trình tương đương:
2 2 2 2
log | 1| log 4 log (4 ) log (4 )
x x x
2 2
log | 4( 1)| log [(4 )(4 )]
x x x
2
| 4( 1) | 16
x x
2
2
( 4; 1)
4( 1) 16
( 1;4)
4( 1) 16
x
x x
x
x x
2 2 6
2
x
x
Bài 48: Giải phương trình
2 2 2
2 3 6
( 1). ( 1) ( 1)
log x x log x x log x x
CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT.
Giải:
ĐK:
2
2
2
1 0
1 0
1 0
x x
x x
x
Nhận thấy không có x nào thỏa điều kiện bài toán, vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Bài 49: Giải phương trình
2 2
2 1 1
(2 1) (2 1)
x x
log x x log x
=4
Giải:
ĐKXĐ:
0 2 1 1
0 1 1
x
x
1
2
x
PT
2 1 1
1 log ( 1) 2 (2 1) 4
x x
x log x
Đặt
2 1
log ( 1)
x
x t
, PT trở thành :
2
3 0
t
t
2
3 1 0
t t
( 2)( 1) 0
t t
2
5
4
x
x
Bài 50: Giải phương trình
3
2 7
(1 )
log x log x
Giải:
ĐK
0
x
Đặt:
7
u log x
7
u
x
Pt có dạng:
3
2
log (1 7 )
u
u
3
1 7 2
u u
3
1 7
1
2 2
u
u
CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT.
Xét hàm số
3
1 7
( )
2 2
u
u
f u
Hàm số nghịch biến trên R
Mặt khác:
(3) 1
f
nên PT chỉ có duy nhất 1 nghiệm u=3
Vậy
3
7 343
x
Bài 51: Giải phương trình
84
6 4
2 ( )
log x x log x
Giải:
ĐK
0
x
PT tương đương:
8
4 4
6 4
log ( )
x x log x
Đặt
4
4
u log x
4
4
u
x
PT có dạng:
6
log (4 4 )
u u
u
4 2 6
u u u
2 1
1
3 3
u u
Xét hàm số
2 1
( )
3 3
u u
f u
Hàm số nghịch biến trên R nên PT có nghiệm duy nhất
Mà
(1) 1
f
nên
1
u
Vậy
4
4 256
x
Bài 52: Giải phương trình :
2
2 2
1 1 2
1 1
2 2
2
x x
x x
x
Giải:
•
Đk:
0
x
•
Phương trình viết lại thành:
2 2
1 1 2
1
2
2 2 1
x
x x
x
2
2
1
1
( 1)
2
2
1 1
2 2 ( 1)
x x
x x
2
2
1
1
( 1)
2
2
1 1
2 2 ( 1) (1)
x x
x x
CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT.
2
2
1 1
( ) (( 1) )
f f
x x
Xét hàm số đặc trưng
( ) 2
t
f t t
là hàm số đồng biến trên R \{
0
}
Nên phương trình (1)
2
2
1 1
( 1)
x x
2
x
•
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất
2
x
Bài 53: Giải phương trình:
2 2 4 2 1
3 3 6 7 1 2.3
x x
x x
Giải:
•
Phương trình biến đổi thành:
2 2 1 2
3( 1) 4 2 (3 1) (1)
x
x
*Nhận xét:
2
2
VT
VP
Vậy phương trình (1) có nghiệm khi hệ phương trình:
2
1
1 0
3 1
x
x
có nghệm
•
Hệ phương trình có nghiệm chung
1
x
.
•
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là
1
x
Bài 54: Giải phương trình:
2 1 2
4 .3 3 2 .3 2 6
x x x
x x x x
Giải:
Phương trình biến đổi thành
2 2
2(2 3) 3 (2 3) 0
x
x x x x
2
(2 3)(3 2) 0
x
x x
3
1
3
2
2
x
x
x log
Bài 55 Giải phương trình:
1 | |
4 2 . 2 0
sinx sinx y
cosxy
Giải:
•
Phương trình viết lại thành:
2 | | 2
4 2.2 . 2 0
sinx sinx y
cosxy cos xy cos xy
2 | | 2
(2 ) 2 0(1)
sinx y
cosxy cos xy
*Nhận xét:
2 | | 2 2
(2 ) 0;2 1 0
sinx y
cosxy cos xy cos xy
Vậy phương trình (1) xảy ra dấu " = " khi:
CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT.
2 0
0
1
sinx
cosxy
y
cosxy
2 1
0
sinx
y
0
x k
y
•
Vậy nghiệm của phương trình là:
( ; ) ( ;0)
x y k
Với
k Z
Bài 56 Giải phương trình:
2
2
6
2
2
2.9
x
log
log
x x
Giải:
ĐK: x>0.
Đặt:
2
log 2.2
2
t
x
t x
Vậy phương trình trở thành:
2
log 6
2
2.9 (2.2 ) (2.2 )
t t t
2.9 6.6 4.4
t t t
2
3 3
3. 2 0
2 2
t t
3
1
2
3
2
2
t
t
3
1
2
3
2
2
t
t
1.5
0
log 2
t
t
1.5
log 2
2
2.2
x
x
Bài 57 Giải phương trình:
2
2 1 | |
2 (2 )
cos x x
x
CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT.
Giải:
•
Ta có
2
2 2
cos x
VT
2 1 | | 2
(2 ) 2 2
x
VP x x
Dấu " = " xảy ra khi:
2
1
0
cos x
x
0
x
•
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất
0
x
Bài 58 Giải phương trình:
2 2
2
3 5
log x log x
x
Giải:
•
Đk:
0
x
•
Đặt
2
2
t
t log x x
Phương trình trở thành:
3 4 5
t t t
3 4
1
5 5
t t
Phương trình này có nghiệm duy nhất t = 2
4
x
•
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất
4
x
Bài 59 Giải phương trình:
2 2
2
2
4
2
(4 4 3)
tan xy cot xy
log x x
Giải:
•
Nhận xét:
2 2
tan cot 2tan .cot
2 2 4
xy xy xy xy
VT
2
2 2
4 4
4
((2 1) 2) log 2
VP
log x
Dấu " = " xảy ra khi
tan cot
1
2
xy xy
x
cos2 0
1
2
xy
x
cos 0
1
2
y
x
•
Vậy phương trình có nghiệm (x; y) =
1
( ; )
2 2
k
(
k Z
)
Bài 60: Giải phương trình:
2 2
3 3
( 1) 2
log x x log x x x
CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT.
Giải:
•
ĐK:
0
x
Phương trình biến đổi thành:
2
2
3
1
( ) 2
x x
log x x
x
2
3
1
( 1) 1 ( 1)
log x x
x
Ta có :
3 3
1
( 1) 3 1
VT log x log
x
(Áp dụng BĐT cô si cho hai số dương
1
;
x
x
)
2
1 ( 1) 1
VP x
Dấu "=" xảy ra khi x = 1
•
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất
1
x
Bài 61: Giải phương trình
1 (1 )
x
e ln x
Giải:
ĐK:
1
x
Đặt
ln( 1)
x t
1
1
t
x
e x
e t
Nhận thấy hệ đối xứng.
x t
e x e t
Xét hàm số
( )
a
f a e a
Có
( ) 1 0
a
f a e
a
Suy ra hàm số đồng biến nên hàm số có nghiệm thì sẽ có nghiệm duy nhất
x=t
x=0
Bài 62: Giải phương trình
2
2 1 log ( 1)
x
x
Giải:
Bài này cách giải tương tự bài 62.
Với
2
( 1)
t log x
Ta có
2 1
2 1
t
x
x
t
2 2
x t
x t
Xét hàm số luôn đồng biến .
Suy ra phương trình có nghiệm thì có nghiệm duy nhất
x=t
x=1 hoặc x=0
