chuyên đề phương trình mũ - logarit

Chuyên ñề ôn thi tốt nghiệp. “Phương trình mũ – Lôgarit

Biên soạn: Đỗ Cao Long
Trang 1/8

Chuyên ñề: PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH MŨ CƠ BẢN

Lý thuyết:
Đa số các phương trình mũ cơ bản ñều biến ñổi về dạng
•
(
)
(
)
(
)
(
)
f x g x
a a f x g x
= ⇔ =
•
(
)
(
)
log
f x
a
a c f x c

= ⇔ = , với
0, 1, 0
a a c
> ≠ >

Một số Phương pháp giải các phương trình mũ cơ bản:
1. Phương pháp Đưa (biến ñổi) về cùng một cơ số
Dạng 1.1: Biến ñổi về dạng
(
)
(
)
f x g x
a a
=

Lưu ý các công thức .
x y x y
a a a
+
= ;
(
)
(
)
y x
x y xy
a a a
= = ;
x

x y
y
a
a
a
−
= ;
1
x
x
a
a
−
= .
•
Bài tập
1: Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau:
a)
2
7 12
2 1
x x− +
=
b)
3
1 1

5 .
5 125
x x
x
−
   
=
   
   

c)
1 2
2 .5 0,2.10
x x x
− −
=
d)
(
)
2 2
4
6 6 1
5
1
2 .3 6
6
x x x− − −
=

e)

1
9 8 lg9
.
4 27 lg27
x x
−
   
=
   
   
f)
1 1
5 10 .2 .5
x x x x
− − +
=

g)
2 1
2
5 5 5
x
x
− +
=
h)
5 17
7 3
32 0,25.128
x x

x x
+ +
− −
=

i)
( )
( )
( )
4 2
4
2
4
2
5 . 0,2 125. 0,04
x
x
x
x
x
x
−
−
+
−
+
=
j)
1 2
4 .5 5.20

x x x
+ −
=

k)
( )
1
3
2 4 . 0,125 4 2
x x
x
=
l)
3 2cos2 1 cos2 1/2
4 7.4 4 0
x x
+ +
− − =

Dạng 1.2: Biến ñổi về dạng
(
)
f x
a c
=

•
Bài tập
2: Gi
ả

i các ph
ươ
ng trình sau:
a)
4
1 2x 3
2
5.4 2 16 3
x
x
+
+ −
+ − =
b)
(
)
2 1
1
2 3.2 7
x
x
+
−
− =

c)
3 3 1 1
2 .3 2 .3 192
x x x x
+ −

− =
d)
2
2 3 1
3
3 9 27 675
x
x x− −
− + =

Dạng 1.3
: Bi
ế
n
ñổ
i v
ề
d
ạ
ng
(
)
(
)
. .
f x f x
m a nb
=
. (m, n là các s
ố

th
ự
c)
Sau
ñ
ó
ñư
a v
ề
d
ạ
ng
( )
( )
(
)
f x
f x
f x
a n a n
m b m
b
 
= ⇔ =
 
 
(Có D
ạ
ng 1.2).
Nhận dạng

: Ph
ươ
ng trình lo
ạ
i này có 2 c
ơ
s
ố
khác nhau. Hãy chuy
ể
n các s
ố
h
ạ
ng ch
ứ
a l
ũ
y
th
ừ
a v
ớ
i c
ơ
s
ố
b
ằ
ng nhau v

ề
cùng m
ộ
t v
ế
, sau
ñ
ó bi
ế
n
ñổ
i cho s
ố
m
ũ
c
ủ
a các l
ũ
y th
ừ
a
ñ
ó b
ằ
ng
nhau và làm ti
ế
p nh
ư

trên.
•

Bài tập
3: Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau:
a)
4 3 2
3 5 3 5
x x x x
+ + +
− = −
b)
1 2 4 3
7.3 5 3 5
x x x x
+ + + +
− = −

Chuyên ñề ôn thi tốt nghiệp. “Phương trình mũ – Lôgarit

Biên soạn: Đỗ Cao Long
Trang 2/8

c)
2lg 4 1 lg4 lg4 1 lg4
2 7 7 3.4

x x x x
− −
− = −
d)
2 1 1
1 1
3.4 .9 6.4 .9
3 4
x x x x
+ + +
+ = −

e)
2 2 2 2
1 1 2
2 3 3 2
x x x x
− − +
− = −
f)
0,5 3,5 2 1
9 2 2 3
x x x x
+ + −
− = −

Dạng 1.4: Biến ñổi về phương trình tích
• Bài tập : Giải các phương trình sau:
a)
2 2

5 3 2.5 2.3
x x x x
= + +
b)
2 2 2
.2 8 2 2
x x
x x
+
+ = +

c)
2 2 2 2
.6 6 .6 6
x x x x
x x
− + −
+ = +
d)
3
8 .2 2 0
x x
x x
−
− + − =

Hướng dẫn: a)
(
)
(

)
2 2
5 3 5 3 5 3
x x x x x x
− = − +

2. Phương pháp ñặt ẩn số phụ (ñưa phương trình mũ về phương trình ñại số bậc hai,
bậc 3, bậc cao theo ẩn số phụ)
Dạng 2.1: Biến ñổi về dạng
(
)
(
)
2
. . 0
f x f x
m a na p
+ + =
. (1)
Phương pháp:
Trước khi giải cần lưu ý “ñiều kiện xác ñịnh” của (1).
Bước 1: Đặt
(
)
, 0
f x
t a t
= >
. Ta có
( )

(
)
( )
2
2
2
f x f x
t a a= = .
PT ñã cho trở thành
2
. . 0 (*)
0
mt nt p
t

+ + =

>

.
Bước 2: Giải (*), tìm nghiệm
0
t
>
.
B
ướ
c 3: V
ớ
i t tìm

ñượ
c, gi
ả
i ph
ươ
ng trình
(
)
f x
a t
=

ñể
tìm x.
B
ướ
c 4: K
ế
t lu
ậ
n (nghi
ệ
m c
ủ
a (1)).
•
Bài tập
4: Gi
ả
i các ph

ươ
ng trình sau:
a)
2 5 2
3 3 2
x x+ +
= +
b)
2 2
1 3
9 36.3 3 0
x x− −
− + =

c)
2 4
3.2 7.2 20
x x
− =
d)
1
27 13.9 13.3 27 0
x x x+
− + − =

e)
1 3
3
64 2 12 0
x x

+
− + =
f)
2 3 3
8 2 12 0
x
x x
+
− + =

g)
(
)
(
)
10
5 10
3 3 84
x x
−
+ =
h)
4 8 2 5
2
3 4.3 28 2log 2
x x+ +
− + =

i)
( )

2 1
2 1 2
3 3 1 6.3 3
x
x x x
+
+ +
= + − +

Dạng 2.2: Biến ñổi về dạng
(
)
(
)
. . 0
f x f x
m a n a p
−
+ + =
hay
( )
( )
1
. . 0
f x
f x
m a n p
a
+ + =
(2)

Phương pháp:
Trước khi giải cần lưu ý “ñiều kiện xác ñịnh” của (2).
Bước 1: Đặt
(
)
, 0
f x
t a t
= >
. Ta có
( )
( )
1 1
f x
f x
a
t
a
−
= =
.
PT ñã cho trở thành
( )
2
. . 0 (*)
0, 0
0
mt p t n
n
mt p t

t
t

+ + =
+ + = > ⇔

>

.
Bước 2: Giải (*), tìm nghiệm
0
t
>
.
Bước 3: Với t tìm ñược, giải phương trình
(
)
f x
a t
=
ñể tìm x.
Bước 4: Kết luận (nghiệm của (2)).
Chuyên ñề ôn thi tốt nghiệp. “Phương trình mũ – Lôgarit

Biên soạn: Đỗ Cao Long
Trang 3/8

• Bài tập 5: Giải các phương trình sau:
a)
1

3 18.3 29
x x+ −
+ =
b)
2 2
2 2 15
x x+ −
− =

c)
1 2
5 5.0,2 26
x x− −
+ =
d)
2 2
sin cos
2 4.2 6
x x
+ =

e)
(
)
(
)
5 24 5 24 10
x x
+ + − =
f)

(
)
(
)
7 48 7 48 14
x x
+ + − =

g)
2
2 10 9
4
2
x
x
−
+
=
h)
2 2
1 1
10 10 99
x x
+ −
− =

i)
(
)
(

)
3
3 5 16 3 5 2
x x
x
+
+ + − =
j)
(
)
(
)
2
5 1 6 5 1 2
x x
x
+
− + + =

k)
(
)
(
)
3
5 21 7 5 21 2
x x
x
+
− + + =

l)
(
)
(
)
7 4 3 3 2 3 2 0
x x
− − − + =

Dạng 2.3: Biến ñổi về dạng
( )
( )
(
)
( )
2 2
. . . . 0
f x
f x f x
m a n ab p b
+ + =
. (m, n, p là các s
ố
th
ự
c)
(3)
Ph
ươ
ng pháp:

Tr
ướ
c khi gi
ả
i c
ầ
n l
ư
u ý “
ñ
i
ề
u ki
ệ
n xác
ñị
nh” c
ủ
a (3).
B
ướ
c 1: Chia c
ả
hai v
ế
c
ủ
a (3) cho
(
)

2
f x
b , (ho
ặ
c
(
)
2
f x
a ), ta
ñượ
c:
(
)
( )
(
)
(
)
( )
(
)
( )
2 2
2 2 2
.
. . . 0
f x f x f x f x
f x f x f x
a a b b

m n p
b b b
+ + =

(
)
( )
( )
2
. . 0
f x
f x
f x
a a
m n p
b
b
 
⇔ + + =
 
 

(
)
(
)
2
0
f x f x
a a

m n p
b b
   
⇔ + + =
   
   
.
Phương trình này có Dạng 2.1, ñã biết cách giải.
Bước 2: Đặt
(
)
, 0
f x
a
t t
b
 
= >
 
 
. Ta có
( ) ( )
2
2
2
f x f x
a a
t
b b
 

   
= =
 
   
 
   
 
.
PT ñã cho trở thành
2
. . 0 (*)
0
mt nt p
t

+ + =

>

.
Bước 3: Giải (*), tìm nghiệm
0
t
>
.
B
ướ
c 4: V
ớ
i t tìm

ñượ
c, gi
ả
i ph
ươ
ng trình
(
)
f x
a
t
b
 
=
 
 

ñể
tìm x.
B
ướ
c 5: K
ế
t lu
ậ
n (nghi
ệ
m c
ủ
a (3)).

•
Bài tập
6: Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau:
a)
2 4 2 2
3 45.6 9.2 0
x x x
+ +
+ − =
b)
1 1 1
4 6 9
x x x
− − −
+ =

c)
2 2 2
7.4 9.14 2.49 0
x x x
− + =
d)
2 1
9 6 2
x x x
+

+ =

e)
2 1 1
10 25 4,25.50
x x x
+ =
f)
2 2 2
2 6 9 3 5 2 6 9
3 4.15 3.5
x x x x x x
− + + − − +
+ =


3. Phương pháp lôgarit hóa
Nh
ậ
n d
ạ
ng: Ph
ươ
ng trình lo
ạ
i này th
ườ
ng có d
ạ
ng

(
)
(
)
(
)
. .
f x g x h x
a b c d
=
.
Nói chung, là trong ph
ươ
ng trình có ch
ứ
a nhi
ề
u c
ơ
s
ố
khác nhau và s
ố
m
ũ
c
ũ
ng khác
nhau.
Cách gi

ả
i: L
ấ
y lôgarit c
ơ
s
ố
a (ho
ặ
c b, ho
ặ
c c) c
ả
hai v
ế
.
Chuyên ñề ôn thi tốt nghiệp. “Phương trình mũ – Lôgarit

Biên soạn: Đỗ Cao Long
Trang 4/8

Ta ñược
( ) ( ) ( )
(
)
log . . log
f x g x h x
a a
a b c d
=

(
)
(
)
(
)
log log log log
f x g x h x
a a a a
a b c d
⇔ + + =

(
)
(
)
(
)
log log log
a a a
f x g x b h x c d
⇔ + + =
.
Biết
log ;log ;log
a a a
b c d
là các số thực. Giải phương trình thu ñược theo ẩn x.
• Bài tập: Giải các phương trình sau:

a)
2
1
2 3
x x
−
=
b)
7 5
5 7
x x
=

c)
2
3 .8 6
x
x
x
+
=
d)
4. Phương pháp sử dụng tính ñồng biến, nghịch biến của hàm số.
(Phương pháp ñánh giá hai vế).
•
••
•
Dạng “sử dụng tính ñơn ñiệu”
- Thường biến ñổi phương trình ñã cho về dạng
(

)
(
)
f x g x
=
, hay
(
)
f x c
=

Với phương trình
(
)
(
)
f x g x
=
, chúng ta thường gặp trường hợp
x a
=
là nghiệm của
phương trình, còn với mọi
x a
≠
thì
(
)
f x b
>

và
(
)
g x b
<
. Nghĩa là mọi
x a
≠
không
phải là nghiệm của phương trình
(
)
(
)
f x g x
=
.
Việc chứng minh
(
)
f x b
>
và
(
)
g x b
<
ta sử dụng tính ñơn ñiệu của hàm
(
)

y f x
=
và
hàm
(
)
y g x
=
.
Ví dụ: Giải phương trình
a)
2
2 2 2
3 2 2
x x
x x
− +
= + −
b)
1
4
3
x
x
 
= +
 
 

a) Nhận xét:

Thông thường ñể ñánh giá các tam thức bậc hai chúng ta thường biến ñổi nó về dạng tổng
của các bình phương. Ở ñây ta biến ñổi
(
)
( )
2
2 2
2 2 2 1 1 1 1
x xx x x
− + = − + + = − +
.
Lời giải:
Vì
( )
2
1 0
x
− ≥
nên
( )
2
2
2 2 1 1 1
x x x
− + = − + ≥
. Suy ra
2
2 2 1
3 3 3
xx − +

≥ =
. (1)
Còn vế phải
(
)
( )
2
2 2
2 2 3 2 1 3 1 3
x
x x x x
+ − = − − + = − − ≤
. (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra phương trình ñã cho
( )
2
2 2
2
2
3 3
1 0 1
2 2 3
x x
x x
x x
− +

=

⇔ ⇔ − = ⇔ =


+ − =



Vậy phương trình ñã cho có nghiệm duy nhất
1
x
=
.
b)
Nh
ậ
n xét: Hàm s
ố

1
3
x
y
 
=
 
 
ngh
ị
ch bi
ế
n trên
ℝ

, còn hàm s
ố

4
y x
= +
ñồng biển trên
ℝ
.
Nếu dùng ñồ thị chúng ta co thể nhận thấy hai ñồ thị này chỉ cắt nhau tại nhiều nhất 1 ñiểm nên
phương trình ñã cho có nhiều nhất 1 nghiệm.
Lời giải:
Dễ nhận thấy
1
x
= −
là một nghiệm của phương trình, ta sẽ chứng minh nghiệm này duy
nhất.
Chuyên ñề ôn thi tốt nghiệp. “Phương trình mũ – Lôgarit

Biên soạn: Đỗ Cao Long
Trang 5/8

Với mọi
1
x
> −
ta có :
1
1 1

3
3 3
x −
   
< =
   
   
(1) (do hàm s
ố

1
3
x
y
 
=
 
 
ngh
ị
ch bi
ế
n trên
ℝ
)
4 1 4 3
x
+ > − + =
(2)
So sánh (1) và (2) ta nh

ậ
n th
ấ
y m
ọ
i
1
x
> −
không th
ỏ
a mãn ph
ươ
ng trình
ñ
ã cho. Ngh
ĩ
a là
m
ọ
i
1
x
> −
không ph
ả
i là nghi
ệ
m c
ủ

a ph
ươ
ng trình
ñ
ã cho.
T
ươ
ng t
ự
ta ch
ứ
ng minh
ñượ
c, m
ọ
i
1
x
< −
không ph
ả
i là nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình
ñ
ã cho.

V
ậ
y,
1
x
= −
là nghi
ệ
m duy nh
ấ
t c
ủ
a ph
ươ
ng trình
ñ
ã cho.
•

Bài tập
: Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau:
a)
2
3
2 6 9
4

x
x x
 
= − + −
 
 
b)
2
cos 2
3 3
x
x
= +

c)
2
2
1
2
x x
x
x
−
= +
d)
4
2
16 2 2
x x
x

−
− = +

•♥ Một số bài toán có cách giải khác
Bài toán
ñư
a
ñượ
c v
ề
d
ạ
ng
(
)
(
)
f u f v u v
= ⇔ =
, trong
ñ
ó
f
là hàm luôn
ñồ
ng bi
ế
n ho
ặ
c

ngh
ị
ch bi
ế
n trên t
ậ
p xác
ñị
nh c
ủ
a nó.
•

Bài tập
: Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau
a)
( )
2
2
1
2 2 1
x x x
x
− −
− = −
b)

( )
2 2
2
1
4 2 1
x x x
x
+ −
− = +

c)
( )
2
2 2
1
1
4 2 2 1
x
x x x
+
+ −
+ = +
d)
(
)
(
)
5 3 5 3 4
x x
x

− + − =

Chuyên ñề ôn thi tốt nghiệp. “Phương trình mũ – Lôgarit

Biên soạn: Đỗ Cao Long
Trang 6/8

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT CƠ BẢN

Lý thuyết:
Đa số các phương trình mũ cơ bản ñều biến ñổi về dạng
•
( ) ( )
( ) ( )
(
)
( ) ( )
0, 0
log log
a a
f x g x
f x g x
f x g x

> >

= ⇔

=



hoÆc

•
( ) ( )
log
c
a
f x c f x a
= ⇔ =
, v
ớ
i
0, 1
a a
> ≠
.
Ngoài ra cần học thuộc và sử dụng ñúng các công thức biến ñổi lôgarit.
Một số Phương pháp giải các phương trình lôgarit cơ bản:
1. Phương pháp Đưa (biến ñổi) về cùng một cơ số
Dạng 1.1: Biến ñổi về dạng
(
)
(
)
log log
a a
f x g x
=

Lưu ý: Nếu các em học sinh tìm ñiều kiện xác ñịnh của phương trình
(
)
(
)
log log
a a
f x g x
=

thì cần giải hệ (hoặc nêu ra)
(
)
( )
0
0
f x
g x

>


>


.
Còn nếu giải theo phép biến ñổi
( ) ( )
( ) ( )
(

)
( ) ( )
0, 0
log log
a a
f x g x
f x g x
f x g x

> >

= ⇔

=


hoÆc
thì
không cần nêu hệ ñiều kiện xác ñịnh ở trên.
Khuyến khích: Thường các em dễ mắc lỗi và hiểu không kỹ về phép biên ñổi, do vậy khuyên
các em nên nêu ra hệ ñiều kiện xác ñịnh của phương trình trước khi giải. Vì có nhiều
phương trình chứa nhiều lôgarit.
• Bài tập 1: Giải các phương trình sau
a)
(
)
2
2
log 4 7 2
x x

− + =
b)
2 1
2
2
2log log log 9
x x x
+ + =

c)
3 1
3
3
log log log 6
x x x
+ + =
d)
(
)
3 1/3
log 2 log 2 1 0
x x
− + − =

e)
( ) ( )
3
2
1
2log 36 log 1 log 6 2log3 log2

3
x x x− + + = + + +

f)
( )
( )
1
log lg2 log 2 1 log6
2
x x+ + + =
g)
3 3
3 3
2log 1 log
7 1
x x
x x
− −
+ =
− −

h)
2
log 1 3log 1 log 1 2
x x x
+ + − = − −

i)
(
)

(
)
(
)
2
3 1 9
3
log 2 54 log 3 2log 4
x x x
− + + = −

j)
(
)
(
)
2
log 3 12 19 log 3 4 1
x x x
+ + − + =
k)
(
)
3 3 3
log 5 log 2 log 3 20 0
x x
− − − − =

m)
(

)
(
)
log 2 19 log 3 20
1
log
x x
x
− − −
= −

n)
( ) ( )
( )
2 2
1
log 10 25 log 6 3 2log 5 log 3
2
x x x x x− + + − + = − +

Chuyên ñề ôn thi tốt nghiệp. “Phương trình mũ – Lôgarit

Biên soạn: Đỗ Cao Long
Trang 7/8

2. Phương pháp ñặt ẩn số phụ (ñưa phương trình mũ về phương trình ñại số bậc
hai, bậc 3 theo ẩn số phụ)
Lưu ý: Ngoài việc ñặt ñiều kiện ñể biểu thức
(
)

log
a
f x
có nghĩa là
(
)
0
f x
>
, chúng ta cần
chú ý ñến ñặc ñiểm của phương trình ñang xét (chứa căn bậc hai, chứa ẩn ở mẫu) và phải ñặt
ñiều kiện cho phương trình có nghĩa.
Các phép biến ñổi cần chú ý:
2
log 2 log
n
a a
x n x
=
với ñiều kiện
0
x
≠
.
• Bài tập 2: Giải các phương trình sau
a)
4 log 3 log
x x
− =
b)

2
2 1
2
2
log 3log log 2
x x x
+ + =

c)
2
2 2
2
log log 2
1
log 1
x x
x
− −
=
+
d)
(
)
( )
log 6
1
2 3log 6 1
x
x
−

=
− −

e)
(
)
(
)
1
3 3
log 3 1 .log 3 3 6
x x+
− − =
f)
2 4
1 log 4log 2 4
x x
+ + − =

g)
(
)
( )
( )
2
1 log 1
2
2
1 log 1
1 log 1

x
x
x
+ −
+ =
+ −
+ −
h)
( )
3 2 3
4
4
log log 9 2 log 1
log
x
x
 
− = + −
 
 

i)
2 6 2
log log log 3 9
x x
− = −
j)
(
)
(

)
3
log 10 .log 0,1 log 3
x x x
= −

k)
(
)
2 2
4 4
4log 2log 1 0
x x
− + + =
l)
( ) ( )
2 2
1
log 100 log 10 14 log
x x
x
+ = +

m)
( )
2
2 2
2
6
log 7 5 log

7
log
x x
x
x
+ = + −
 
+
 
 

n)
( )
2 2
2 0,5 8 2 2
2
log 2log 3log 1 2log .log
4 2
x
x x x
 
+ − =
 
 

p)
(
)
2
9 3 3

2log log .log 2 1 1
x x x
= + −

3. Phương pháp mũ hóa
• Bài tập 3 : Giải các phương trình sau:
a)
2 3
log log 1
x x
+ =
b)
3 5
log log lg15
x x
+ =

c)
(
)
(
)
3 5
log 1 log 2 1 2
x x
+ + + =
d)
(
)
2 5

log log 3
x x
= +

Gợi ý: a) Đặt
2
t
x
=
, ta có
3 3 3
log log 2 log 2
t
x t= =

Phương trình ñã cho trở thành
2 3
log 2 log 2 1
t t
+ =

(
)
3 3
log 2 1 1 log 2 1
t t t
⇔ + = ⇔ + =
6
3 3
1 1

log 3
1 log 2 log 6
t⇔ = = =
+
.
Vậy phương trình a) có nghiệm
6
log 3
2
x
=
.
Chuyên ñề ôn thi tốt nghiệp. “Phương trình mũ – Lôgarit

Biên soạn: Đỗ Cao Long
Trang 8/8

4. Phương trình lôgarit nhiều cấp (tầng)
Phương pháp: Hạ từng cấp một từ ngoài vào trong theo tính chất
( ) ( )
log
c
a
f x c f x a
= ⇔ =

•

Bài tập 4
: Gi

ả
i các ph
ươ
ng trình sau:
a)
(
)
(
)
log log log 0
x
=
b)
( )
(
)
(
)
2
3 4 3
log log log 3 0
x
− =

c)
( )
( )
( )
4 3 2 3
1

log 2log 1 log 1 3log
2
x
+ + =
d)
2
3 1 1
2 2
log log 3log 5 2
x x
 
− + =
 
 

e)
(
)
(
)
2
3 2
log log 4 0
x
− =
f)
(
)
(
)

4 2 2 4
log log log log 2
x x
+ =

5. Phương pháp biến ñổi về phương trình tích
•

Bài tập 5
: Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau:
a)
3 27
3 .log 6 6 log
x x x x
+ = +
b)
2
2 4
2 .log 2 4 4log
x x x x
+ = +

c)
( ) ( )
2 2
1 1

log 4 log 4 .log 2log
2 2
x x x x
   
− + − + = +
   
   

d)
(
)
2 2 2 2
6 1/6
log 5 2 3 log 5 2 3 2
x x x x x x x x
− − − − − = +

6. Phương pháp sử dụng tính ñơn ñiệu của hàm số
Chú ý d
ạ
ng: log log
a a
u u v v
− = −
, có d
ạ
ng
(
)
(

)
f u f v u v
= ⇔ =
trong tr
ườ
ng h
ợ
p f là
hàm s
ố

ñồ
ng bi
ế
n (ho
ặ
c ngh
ị
c bi
ế
n) trên t
ậ
p xác
ñị
nh c
ủ
a nó. Và ph
ươ
ng pháp
ñ

ánh giá hai v
ế

c
ủ
a ph
ươ
ng trình.
•

Bài tập 6
: Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau:
a)
2
log 3
x x
= −
b)
(
)
(
)
2
log 6 4 log 2
x x x x
+ − − = + +

c)
1
3
log 4
x x
= −
d)
2
2
3
2
3
log 3 2
2 4 5
x x
x x
x x
+ +
= + +
+ +

e)
(
)
(
)
2
log 12 log 3 5
x x x x

− − + = + +
f)
(
)
2 2
3 3
log 1 log 2
x
x x x x
+ + − = −

G
ợ
i ý:
a)
Đ
i
ề
u ki
ệ
n xác
ñị
nh:
0
x
>
.
Nh
ậ
n th

ấ
y
2
x
=
là nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình a). Ta ch
ứ
ng minh nghi
ệ
m này duy nh
ấ
t.
Th
ậ
t v
ậ
y, v
ớ
i m
ọ
i
2
x
>

, ta có :
•

2 2
log log 2 1
x
> =
(do hàm s
ố

2
log
y x
=

ñồ
ng bi
ế
n trên kho
ả
ng
(
)
0;
+∞
) (1)
•

3 3 2 1
x

− < − =
(2)
So sánh (1) và (2) suy ra m
ọ
i
2
x
>

ñề
u không th
ỏ
a mãn ph
ươ
ng trình a), nên không ph
ả
i là
nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình.
Làm t
ươ
ng t
ự
ta ch
ứ

ng minh
ñượ
c m
ọ
i
0 2
x
< <
c
ũ
ng không ph
ả
i là nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng
trình.
V
ậ
y, ph
ươ
ng trình có nghi
ệ
m duy nh
ấ
t
2

x
=
.

♥ Chuyên ñề và các dạng toán Ôn thi ñại học, cao ñẳng sẽ biên soạn sau. Hẹn các em
vào dịp tới. Chúc các em học và ôn tập tốt !