phương trình lượng giác, ôn thi đại học 2014

Kiến thức cơ bản - Luợng giác

1

Chuyên đ II
ề

PH・・NG TRÌNH L・・NG GIÁC

Trong chủ đề lượng giác, tác giả không trình bày những dạng toán giảm tải của
chương trình như: “ phương pháp đánh giá, dùng bất đẳng thức để giải, chuyển
đổi phương trình về dạng hệ phương trình, bất phương trình lượng giác, hệ
phương trình lượng giác, hệ bất phương trình lượng giác…”.

Để giỏi phương trình lượng giác, các em cần:

1. Nắm vững các công thức lượng giác;
2. Chia phương trình lượng giác ra thành từng loại và rèn luyện từng phần;
3. Giải nhiều bài tập để rút kinh nghiệm.

Dạng 1. Phương trình lượng giác cơ bản

1.
cosu cosv u v k2
     

2.
 
k

u v k2
sinu sinv u 1 v k
u v k2
  

      

    


3.
tanu tanv u v k
    

4.
cotu cotv u v k
    

Một số trường hợp đặc biệt:
cosx 0 x k
2

     

cosx 1 x k2
    

cosx 1 x k2
       

tanx 1 x k
4

     

tanx 1 x k
4

       

tanx 0 x k
    




sinx 0 x k
    

sinx 1 x k2
2

     

sinx 1 x k2
2

       

cotx 1 x k

4

     

cotx 1 x k
4

       

cotx 0 x k
2

     


Ví dụ 1. Giải phương trình:
2sin 2x 4sinx 1
6

 
  
 
 

Lời giải
Phương trình cho tương đương với
   
3sin2x cos2x 4sinx 1 0




2
2 3sinxcosx 2sin x 4sinx 0 2 3cosx sinx 2 sinx 0
       

Khi
sinx 0 x k
   



Ôn luyện thi Đại học – Nguyễn Phú Khánh

2

Khi
5
sinx 3cosx 2 sin x 1 x k2
3 6
 
 
        
 
 

Vậy, nghiệm của phương trình là:
x k ,
 

5

x k2
6

  

Ví dụ 2.
1. Giải phương trình:


cos3x sin2x 3 sin3x cos2x
  
2. Giải phương trình
3sin2x cos2x 2cosx 1
  

Đề thi Đại học khối A, A1 – 2012

3. Giải phương trình:
2(cosx 3sinx)cosx cosx 3sinx 1
   

Đề thi Đại học Khối B – năm 2012.


Lời giải
1. Phương trình đã cho tương đương với:   
cos3x 3sin3x 3cos2x sin2x

1 3 3 1
cos3x sin3x cos2x sin2x cos 3x cos 2x

2 2 2 2 3 6
 
   
       
   
   

3x 2x k2 x k2
3 6 6
k2
3x 2x k2 x
3 6 10 5
  
 
        
 
 
 
   
 
        
 
 

Vậy, nghiệm của phương trình là:
k2
x ,
10 5
 
  

x k2
6

   

2. Phương trình cho
2
2 3sinxcosx 2cos x 1 2cosx 1
    



2cosx 3sinx cosx 1 0
   

cosx 0

hoặc
3sinx cosx 1
 

Với cosx 0 x k , k
2

     


Với
3 1 1
3sinx cosx 1 sinx cosx cos x cos

2 2 2 3 3
 
 
       
 
 

2
x k2
x k2
3 3
,k
3
x k2
x k2
3 3
 


   


  

  


 

 

    






Chú ý:
3 1 1
sinx cosx 1 sin x sin
2 2 6 2 6
 
 
     
 
 



Kiến thức cơ bản - Luợng giác

3

x k2
x k2
6 6
,k
2
5
x k2

x k2
3
6 6
 

 
   



  



 
  

   






3. Cách 1:
Phương trình cho tương đương
2
2cos x 3sin2x cosx 3sinx 1
   



2
2cos x 1 3sin2x cosx 3sinx
    
cos2x 3sìnx cosx 3sinx
   
sin 2x sin x
6 6
 
   
   
   
   
2x x k2
6 6
2x x k2
6 6
 

    



 
 

      
 


 

k2
x
3
2
x k2
3








  



k2
x ,k
3

  


Chú ý: Phương trình đã cho tương đương :
cos2x 3sin2x cosx 3sinx
  

cos 2x cos x
3 3
 
   
   
   
   

2x x k2
3 3
 
 
      
 
 

k2
x ,k
3

  


Cách 2:
Phương trình đã cho tương đương :
2
2cos x 3sin2x cosx 3sinx 1
   



2
2cos x 1 3sin2x cosx 3sinx
    
cos2x 3sin2x cosx 3sinx
    cos 2x cos x
3 3
 
   
   
   
   

2x x k2
3 3
k2
x ,k
3
2x x k2
3 3
 

    



   
 
 


     
 

 



Cách 3:


2 cosx 3sinx cosx cosx 3sinx 1
   

2
2cos x cosx 1 2 3sinxcosx 3sinx 0
     







2cosx 1 cosx 1 3sinx 2cosx 1 0
     

 



2cosx 1 cosx 3sinx 1 0
    

1
cosx
2cosx 1 0
2
k2
x ,k
1
3
cosx 3sinx 1
cos x
3 2

 

 



    


 

 

 
 


 





Ôn luyện thi Đại học – Nguyễn Phú Khánh

4

Ví dụ 3. Giải phương trình:
 
 
2
cos x. cosx 1
2 1 sinx .
sinx cosx

 



Lời giải
Điều kiện:
sinx cosx 0
 

Phương trình đã cho tương đương:



    
2
1 sin x cosx 1 2 1 sinx sinx cosx
    




1 sinx 1 cosx sinx sinx.cosx 0
     







1 sinx 1 cosx 1 sinx 0
    

 
sinx 1
x k2
k,m
2
cosx 1
x m2



 
   


  


 

  




, thỏa điều kiện bài toán.
Vậy, nghiệm của phương trình là:
x k2 ,
2

   

x m2
   

Ví dụ 4. Giải phương trình:
cotx cot2x tanx 1
  


Lời giải.

Điều kiện:
cosx 0
sinx 0 sin2x 0 x k ,k
2
sin2x 0




     






Phương trình đã cho tương đương :
cosx cos2x sinx
1
sinx sin2x cosx
  



2 2 2 2
2cos x cos2x 2sin x sin2x 2 cos x sin x cos2x sin2x
       
cos2x sin2x tan2x 1 x k
8 2
 

       thỏa điều kiện.
Vậy, nghiệm phương trình là:
x k
8 2
 
 

Dạng 2. Phương trình lượng giác

Nhận thấy, phương trình có
sinx.cosx
và
sinx cosx

chúng ta đặt

t sinx cosx
 

Ví dụ. Giải phương trình:
2 3 4 2 3 4
sinx sin x sin x sin x cosx cos x cos x cos x
      

Lời giải
Phương trình đã cho tương đương:





sinx cosx . 2 2 sinx cosx sinx.cosx 0
 
    
 

Khi
sinx cosx 0 tanx 1 x k
4

       



Kiến thức cơ bản - Luợng giác

5

Khi


2 2 sinx cosx sinx.cosx 0
   




. Đặt
t sinx cosx
 
,

t 2; 2
 
 
 

Phương trình



trở thành:
2
t 4t 3 0 t 3 2; 2
 
       
 
hoặc
t 1
 

Với
t 1
 
tức
1 3
sinx cosx 1 2cos x cos cos
4 4 4
2
  
 
         

 
 

3
x m2
x m2
4 4
3
x m2
x m2
2
4 4
 

   
   



 



 
  

      




Vậy, nghiệm của phương trình là:
x k ,
4

  

x m2 ,
2

  
x m2
   
, k,m


.

Dạng 3. Phương trình bậc hai dạng lượng giác

2
acos x bcosx c 0
  

2
asin x bsinx c 0
  

2
atan x btanx c 0

  

2
acot x bcotx c 0
  


Ví dụ 1. Giải phương trình:
 
1 cosx 2cosx 1 2sinx
1
1 cosx
  



Lời giải
Điều kiện:
cosx 1 x k2
   

Phương trình đã cho tương đương :
2
1 2cos x cosx 2sinx 1 cosx
    



2 2
2 1 sin x 2sinx 0 2sin x 2sinx 2 0

        





Đặt
t sinx,






t 1;1 \ 0
 
Phương trình



trở thành:
2
2t 2t 2 0 t 2
     hoặc
1
t
2
 
Với
1

t
2
  tức
x m2
2
4
sinx sin
52 4
x m2
4


   


 
    

 

 

  



Vậy, nghiệm của phương trình là:
x m2 ,
4


   
5
x m2
4

  
.
Ví dụ 2. Giải phương trình:
2
2cos4x 6cos x 1 3cos2x
0
cosx
  



Lời giải.
Điều kiện:
cosx 0 x k
2

    



Ôn luyện thi Đại học – Nguyễn Phú Khánh

6

Phương trình đã cho tương đương :

2
2cos4x 6cos x 1 3cos2x
0
cosx
  





 
2 2
2 2cos 2x 1 3 1 cos2x 1 3cos2x 0 2cos 2x 3cos2x 1 0
          





Đặt
t cos2x,






t 1;1 \ 0
 
Phương trình




trở thành:
2
2t 3t 1 0 t 1
    
hoặc
1
t
2


Khi
1
t
2

tức
1
cos2x x m
2 6

     

Khi
t 1

tức
n

cos2x 1 x
2

  
Đối chiếu điều kiện, ta được
x p ,x m ,
6

     
p,m


.
Vậy, nghiệm của phương trình là:
x m ,x p
6

     


Dạng 4. Phương trình lượng giác về dạng tích

Với dạng toán này, thường quy về dạng
A.B 0 A 0
  
hoặc
B 0


Ví dụ. Giải phương trình:

3sin x sin x 2sin 5x 0
3 6 6
  
     
     
     
     

Lời giải
Ta thấy, sin x cos x
6 3
 
   
  
   
   
nên phương trình cho viết lại:

3sin x cos x 2sin 5x 0
3 3 6
  
     
     
     
     



2 sin x cos cos x sin 2sin 5x 0
3 6 3 6 6

 
    
     
      
     
 
     
 

sin 2sin
x sin 5x 0 3x cos 2x 0
2 6 6 3
   
       
        
       
       





k
sin 3x 0
x k
6
18 3
l
x l
cos 2x 0

12 2
3


 
 

 
  
 


 

 


 

 

  
 

 


 





Vậy, nghiệm của phương trình là:
k
x ,
18 3
 
 
l
x
12 2
 
 
.

Dạng 5. Phương trình lượng giác bậc nhất


Kiến thức cơ bản - Luợng giác

7




asinx bcosx c,a 0,b 0 *
   

Ví dụ. Giải phương trình:



4 4
4 sin x cos x 3sin4x 2
  


Lời giải


2
4 4 2 2 2 2
sin x cos x sin x cos x 2sin x.cos x
   
2
1
1 sin 2x
2
  .
Phương trình đã cho
2
4 2sin 2x 3sin4x 2
   

1 3 1
cos4x 3sin4x 1 cos4x sin4x
2 2 2
      

1
cos4x.cos sin4x.sin

3 3 2
 
   
1 2
cos 4x cos
3 2 3
 
 
    
 
 

k
x
4 2
 
   hoặc
k
x
12 2
 
   .

Dạng 6. Phương trình lượng giác đẳng cấp bậc hai

Ví dụ. Giải phương trình:


3 3 5 5
cos x sin x 2 cos x sin x

  

Lời giải
Nhận thấy
cosx 0

không là nghiệm của phương trình nên chia hai vế của
phương trình cho
5
cos x 0


Ta được:


2 3 2 5
1 tan x tan x(1 tan x) 2 1 tan x
    




5 3 2 2 3
tan x tan x tan x 1 0 tan x 1 tan x 1 0
        

tanx 1 x k
4

       

.
MỘT SỐ VÍ DỤ TRỌNG TÂM
Ví dụ 1. Giải các phương trình:
1.
2
1 2 5
tan x 0
2 cosx 2
  
2.
 

 
   
 
 
2
sin2x 3cos2x 5 cos 2x
6


Lời giải
1. Điều kiện:
cosx 0 x k
2

    

Phương trình đã cho được viết lại:
2

1 1 2 5
1 0
2 cosx 2
cos x
 
   
 
 



Ôn luyện thi Đại học – Nguyễn Phú Khánh

8


2
2
1 4 1 1
4 0 2 0 cosx x 2k
cosx cosx 2 3
cos x

 
             
 
 

2. Phương trình đã cho được viết lại:
 


 
    
 
 
 
 
 
2
1 3
4 sin2x cos2x cos 2x 5 0
2 2 6


 
   
     
   
   
2
4cos 2x cos 2x 5 0
6 6



Đặt

 
 
 

 
t cos 2x ,
6

1 t 1
  

Phương trình



trở thành:
2
4t t 5 0 t 1
     
hoặc
 
5
t 1;1
4
  
Với
t 1
 
tức
  
 
            
 
 

7
cos 2x 1 2x 2k x k
6 6 12

Ví dụ 2. Giải các phương trình:
1.
2
tan x tanx.tan3x 2
 
2.
2
2tanx cotx 3
sin2x
  

Lời giải
1. Điều kiện:
cosx 0
cos3x 0






Phương trình đã cho được viết lại:
 
2
sinxsin2x 2sin xcosx
tanx tanx tan3x 2 2 2

cosxcosxcos3x cosxcosxcos3x
 
     

2 2 4 2 4 2
sin x cosxcos3x cos x 1 4cos x 3cos x 4cos x 4cos x 1 0
          



2
2
k
2cos x 1 0 cos2x 0 2x k x
2 4 2
  
            (thỏa điều kiện).
2. Điều kiện:
 
k
sinxcosx 0 sin2x 0 x k
2

     


Phương trình đã cho được viết lại:
2sinx cosx 1
3
cosx sinx sinxcosx

  

2 2 2
2sin x cos x 3sinxcosx 1 1 sin x 3sinxcosx 1
       




2
sin x 3sinxcosx sinx 3cosx sinx 0 sinx 3cosx
      
(do điều kiện)

tanx 3 x k
3

     

Ví dụ 3. Giải các phương trình:
1.


sin2x 4 cosx sinx 4
  
2.
tanx 2cot2x sin2x
 

Lời giải
1. Phương trình đã cho tương đương:




1 sin2x 4 cosx sinx 3 0
    



Kiến thức cơ bản - Luợng giác

9


   
2
cosx sinx 4 cosx sinx 3 0
     




.Đặt
t cosx sinx,
 

t 2; 2
 

 
 

Phương trình



trở thành:
2
t 4t 3 0,
  
t 2; 2
 
 
 
t 1
 

Với
t 1 2cos x 1 cos x cos
4 4 4
  
   
      
   
   

x 2k
2


    
hoặc
x 2k
 

2. Điều kiện:
 
k
sin2x 0 x k
2

   

. Đặt
t tanx


Phương trình đã cho trở thành:

2
2 2
1 t 2t 1 2t
t 2.
2t t
1 t 1 t

   
 
2 2
t 1 tan x 1

   


2 2
k
sin x cos x cos2x 0 x
4 2
 
       thỏa điều kiện.
Vậy, nghiệm của phương trình là:
k
x
4 2
 
  ,


k


Ví dụ 4. Giải các phương trình:
1.


2 2
tan x cot x 2 tanx cotx 6
   
2.
1 1
2 2sin x

4 sinx cosx

 
  
 
 


Lời giải
1. Điều kiện:
 
k
sinxcosx 0 sin2x 0 x k
2

     


Phương trình đã cho viết lại:
   
2
tanx cotx 2 tanx cotx 8 0
    





Đặt
t tanx cotx

 
, phương trình



trở thành:

2
t t 8 0 t 4
     
hoặc
t 2


Với
2 2
sinx cosx
t 4 4 sin x cos x 4sinxcosx
cosx sinx
         
2sin2x 1
  


 
2x k2 x k
1
6
12
sin2x sin k

7 72 6
2x k2 x k
6 12
 


       



 
       


 
 
 


     
 





Với
2
1
t 2 tanx 2 tan x 2tanx 1 0

tanx
       


   
2
tanx 1 0 tanx 1 tan x k k
4 4
 
          


Vậy, nghiệm của phương trình là:
x k ,
4

  

x k ,
12

   

7
x k
12

  



k




Ôn luyện thi Đại học – Nguyễn Phú Khánh

10

2. Điều kiện:
 
k
sinxcosx 0 sin2x 0 x k
2

     


Phương trình đã cho
sinx cosx
2 2sin x
4 sinxcosx
 
 
  
 
 


2sin x

4
2 2sin x
4 sinxcosx

 

 

 
 
  
 
 


2sin x 0
sin x 0 sin x 0
4
4 4
1
2sinxcosx 1 sin2x 1
2
sinxcosx
 
 
 
 
 
   
 


   
   
  

  
   
 

 
 

 




x k sin2x sin 1 0
4 2
x k
4
2x 2k x k
2 4

 
 
         
 



 

     

 
      



Vậy, nghiệm của phương trình là:
x k
4

   

Ví dụ 5. Giải các phương trình:
1.
1 1
2 2sin x
4 sinx cosx

 
  
 
 

2.





3 2
2
4cos x 2cos x 2sinx 1 sin2x 2 sinx cosx
0
2sin x 1
    




Lời giải
1. Điều kiện:
cosx 0
k
sin2x 0 x
sinx 0
2



   




Phương trình đã cho được viết lại:

 
sinx cosx

2 sinx cosx
sinxcosx

 
sinx cosx 0
sin2x 1
 







x k x k
tanx 1
n
4 4
x
sin2x 1
4 2
2x 2m x m
2 4
 
 
       
 
 

 

     
 

  
 
     
 
 

2. Điều kiện:
2
k
2sin x 1 0 cos2x 0 x
4 2
 
      
Phương trình cho viết lại:







2
4cos x sinx cosx 2cosx sinx cosx 2 sinx cosx 0
     

Kiến thức cơ bản - Luợng giác

11


   
x m
4
2 sinx cosx cosx 1 2cosx 1 0 x m2 ,m
2
x m2
3


   


        




   



Đối chiếu điều kiện, ta được nghiệm:
m2
x ,m
3


 

.
Vậy, nghiệm của phương trình là:
m2
x ,m
3

 


Ví dụ 6. Giải các phương trình:
tan3x 2tan4x tan5x 0
  
, với


x 0;2
 
.

Lời giải
Điều kiện:
cos3x 0,


cos4x 0,


cos5x 0


Phương trình đã cho được viết lại:
sin8x 2sin4x
0
cos3xcos5x cos4x
 


2
2sin4xcos4x 2sin4x cos 4x cos3xcos5x
0 2sin4x 0
cos3xcos5x cos4x cos3xcos4xcos5x
 

    
 
 
 


2
sin4x 0 4x k
x k
2sin4x.sin x 0 x k
4
sinx 0 x k
4
x k



  

 


      
 

  
 
 











chấp nhận khi thỏa


x 0;2
 
, từ đây ta tìm được



k 1,3,4,5,7

Vậy, nghiệm của phương trình đã cho là:
1 2 3 4 5
3 5 7
x ,x ,x ,x ,x
4 4 4 4
   
     
Bài tập tự luyện
Bài tập 1: Giải các phương trình:
1.




2
2sinx 1 2sin2x 1 3 4cos x
    (1)
2.
2
tan2x cot x 8cos x
 
(2)
3.
16cosxcos2xcos4xcos8x 1

(3)

4.


4sin2x 3cos2x 3 4sinx 1
  
(4)
5.
3
3sin3x 3cos9x 1 4sin 3x
  
(5)
6.
3
2cos x cos2x sinx 0
  
(6)
7.
sinx sin2x sin3x sin4x sin5x sin6x 0
     
(7)
8.


3 3
8 cos3xcos x sin3xsin x 2 3 2
   (8)
9.


4 4

5 1 cosx 2 sin x cos x
    (9)
10.
sin2x 2cos2x 1 sinx 4cosx
   
(10)
11.
9sinx 6cosx cos2x 3sin2x 8
   
(11)


Ôn luyện thi Đại học – Nguyễn Phú Khánh

12

Hướng dẫn giải
1. (1)


2
2sinxsin2x 2sinx 2sin2x 1 3 4 1 sin x
      

2 2
8sin xcosx 2sinx 4sinxcosx 4sin x
   

4sinxcosx 1 2cosx 2sinx
   

hoặc
sinx 0




4sinxcosx 2 sinx cosx 1 0
    
hoặc
sinx 0

.
2. (2)
2 2
sin2x cosx
8cos x cosx 8cos xcos2xsinx
cos2x sinx
    

x k
2

   
hoặc
k
x
24 2
 
  hoặc

5 k
x
24 2
 
  .
3. (3) Vì
sinx 0

không là nghiệm của phương trình. Với
sinx 0

, nhân
2
vế
phương trình cho
sinx
, dẫn đến phương trình:

2k
sin16x sinx x
15

   hoặc
2k
x
17 17
 
 
4. (4) 



 
2
8sinxcosx 3 1 2sin x 12sinx 3 sinx 4cosx 3sinx 6 0
       

5. (5)
3
3sin3x 4sin 3x 3cos9x 1 sin9x 3cos9x 1
      


1 3 1 1 2
sin9x cos9x sin 9x x k
2 2 2 3 2 18 9
  
 
        
 
 


 
  
2
x k
18 9
hoặc
7 2
x k

54 9
 
 
6. (6)




3 2 2
2cos x 2cos x 1 sinx 0 2cos x 1 cosx 1 sinx 0
         


   
1 sinx cosx sinx cosx sinx 2 0 x k2
2

         
hoặc
x k
4

  

7. (7)







sin6x sinx sin5x sin2x sin4x sin3x 0
      


 
7x 5x x 3x 7x 3x
2sin cos cos cos 0 4sin cos 2cosx+1 0
2 2 2 2 2 2
 
 
     
 
 
 
 

8. (8)
   
2 2
1 1 2 3 2
cos x cos4x cos2x sin x cos2x cos4x
2 2 8

    

   
2 2 2 2
2
2 3 2

cos4x cos x sin x cos2x cos x sin x
4
2 3 2
cos4x cos 2x
4

    

  


 
2 k
4cos4x 2 1 cos4x 2 3 2 cos4x x
2 16 2
 
          
9. (9)
2 2 2
3 5cosx sin x cos x 2cos x 5cosx 2 0
       

10. (10)
 


2
sinx 2cosx 1 2 2cos x 1 4cosx 1 0 2cosx 1 0
         

Kiến thức cơ bản - Luợng giác

13

11. Phương trình đã cho
2
9sinx 6cosx 2cos x 1 6sinxcosx 8
     


   


  
2
9 sinx 1 6cosx 1 sinx 2 1 sin x 0
1 sinx 2sinx 6cosx 7 0
      
    


sinx 1
 
hoặc
2sinx 6cosx 7 0
  
( không thỏa )
Với

sinx 1 x k2
2

    

Vậy, nghiệm của phương trình là:
x k2
2

  

Bài tập 2: Giải các phương trình:
1.
3
tanx cogx 2cot 2x
  2.
9sinx 6cosx 3sin2x cos2x 8
   

3.




1 tanx 1 sin2x 1 tanx
    4.
cos4x sinx sin7x cos2x
  

5.

2 2
2cos 2x 3cos4x 4cos x 1
4

 
   
 
 
6.


2sinx 1 cos2x sin2x 1 2cosx
   
7.
cos2x 3sin2x 5sinx 3cosx 3
   
8.




2
3 1sin x 3 1 sinxcosx 3 0
    

Hướng dẫn giải
1. Phương trình đã cho

3 3 3
sinx cosx 2cos2x

2cot 2x 2cot 2x cot2x cot 2x
cosx sinx sin2x
        

k
cot2x 0 x
4 2
 
    
2. Phương trình đã cho
2
9sinx 6cosx 6sinxcosx 1 2sin x 8
     








2
2sin x 9sinx 7 6cosx sinx 1 0 sinx 1 2sinx 6cosx 7 0
          

3. Phương trình đã cho
  
2
cosx sinx cosx sinx
cosx sinx

cosx cosx
 

 

  
2
cosx sinx cosx sinx cosx sinx x k
4

         
hoặc
x k
 
.
4. Phương trình đã cho

cos4x cos2x sin7x sinx 2cos3xcosx 2sin4xcos3x
     

5.
 
2 2
1 cos 4x 3cos4x 4cos x 1 sin4x 3cos4x 2 2cos x 1
2

 
        
 
 

1 3
sin4x cos4x cos2x cos 4x cos2x
2 2 6

 
     
 
 

6. Phương trình đã cho





2
2sinx2cos x 2sinxcosx 1 2cosx 2cosx 1 2sinxcosx
1 0
       



Ôn luyện thi Đại học – Nguyễn Phú Khánh

14

7. Phương trình đã cho
 



2
6sinxcosx 3cosx 2sin x 5sinx 2 0
     






2sinx 1 3cosx sinx 2 0
    

8. Với
x k
2

  
không là nghiệm phương trình.

x k
2

  
, chia
2
vế phương trình cho
2
cos x

, đưa phương trình về dạng:



2
tan x 3 1 tanx 3 0
   

Bài tập 3: Giải các phương trình:
1.


4 4
4 sin x cos x 3sin4x 2
  
2.


2 cot2x cot3x tan2x cot3x
  
3.
x 3x x 3x 1
cosx.cos .cos sinx.sin .sin
2 2 2 2 2
 

4.
3cosx cos2x cos3x 1 2sinxsin2x
   
5.



tanx cotx 2 sin2x cos2x
  
7.
1 3tanx 2sin2x
 
6.
1 1 1
cosx sin2x sin4x
 
Hướng dẫn giải
1. Phương trình đã cho

2 2
1
4 1 sin 2x 3sin4x 2 2sin 2x 3sin4x 2
2
 
        
 
 


1 3 1 2
cos4x 3sin4x 1 cos4x sin4x cos 4x cos
2 2 2 3 3
 
 
         

 
 


2 k
4x 2k x
3 3 4 2
   
         hoặc
k
x
12 2
 
  
2. Phương trình đã cho

cos2x cos3x sin2x cos3x
2
sin2x sin3x cos2x sin3x
 
   
 
 
2sinx cosx
sin2xsin3x sin3xcos2x
 



2

3
2sinx cos2x cos x
0 sin x 0
sin2xsin3xcos2x

    
phương trình vô nghiệm.
3. Phương trình đã cho
   
1 1 1
cosx cosx cos2x sinx cosx cos2x
2 2 2
    


2
cos x cosxcos2x sinxcosx sinxcos2x 1
    





cos2x cosx sinx sinx cosx sinx
   
4. Phương trình đã cho


2 3 2
3t 2t 1 4t 3t 1 4 4 t t

        , đặt
t cosx



x k
2

   
hoặc
x 2k
   
.


Kiến thức cơ bản - Luợng giác

15

5. Phương trình đã cho

   
sinx cosx 1
2 sin2x cos2x 2 sin2x cos2x
cosx sinx sinxcosx
      

   
2
2

2 sin2x cos2x 1 sin2x sin2x cos2x 1 sin 2x sin2xco
s2x
sin2x
        

2
cos2x 0
k
cos 2x sin2xcos2x x
tan2x 1
4 2


 
     



hoặc
k
x
8 2
 
 
6. Phương trình đã cho
1 1 1
cosx 2sinxcosx 2sinxcosxcos2x
  

2

2sinxcos2x cos2x 1 0 2sinxcos2x 1 cos2x 2sinxco
s2x 2sin x
        

2k
cos2x sinx cos x x
2 6 3
  
 
     
 
 
hoặc
x 2k
2

   

7. Đặt
2
2t
t tanx sin2x
1 t
  

. Phương trình cho trở thành:
2
4t
1 3t
1 t

 



 


2
t 1 3t 2t 1 0 t 1 tanx 1 x k
4

               

Bài tập 4: Giải các phương trình:
1.


2
4cos x cos3x 6cosx 2 1 cos2x
   
2.
3
4cos x 3 2sin2x 8cosx
 
3.


2 2
tan x cot x 5 tanx cotx 6 0
    

4.
sin3x 3sin2x cos2x 3sinx 3cosx 2 0
     

5.
2 3 4 2 3 4
sinx sin x sin x sin x cosx cos x cos x cos x
      
Hướng dẫn giải
1. Phương trình đã cho


2 3 2
4cos x 4cos x 3cosx 6cosx 4cos x
    



3 2
4cos x 3cosx 0 cosx 4cos x 3 0 cosx 0 x k
2

           

2. Phương trình đã cho



3 2

4cos x 6 2sinxcosx 8cosx 2cosx 2cos x 3 2sinx 4 0
      




2
2cosx 2sin x 3 2sinx 2 0 cosx 0
     
hoặc
sinx 2
 hoặc
2
sinx
2


x k
2

   
hoặc
x 2k
4

  
hoặc
3
x 2k
4


  
.
3. Phương trình đã cho

   
2
tanx cotx 5 tanx cotx 4 0 tanx cotx 1
         
hoặc
tanx cotx 4
  



Ôn luyện thi Đại học – Nguyễn Phú Khánh

16

Với
1
tanx cotx 4 sin2x x k
2 12

          
hoặc
7
x k
12


  

4. Phương trình đã cho 
sin3x 3sin2x cos2x 3sinx 3cosx 2 0
     






sin3x sinx 2sinx 3sin2x cos2x 2 3cosx 0
       



2
2sin2x.cosx 2sinx 6.sin.cosx 2cos x 3cosx 1 0
      


 


2
2sinx 1 2cos x 3cosx 1 0
    

5. Phương trình đã cho





sinx cosx . 2 2 sinx cosx sinx.cosx 0
 
     
 


 
sinx cosx 0
2 2 sinx cosx sinx.cosx 0
 



   




Với
sinx cosx 0 x k
4

     



Với



2 2 sinx cosx sinx.cosx 0
   
, đặt
t sinx cosx,
 

t 2
 , ta được

2
t 4t 3 0
  

t 1
  
hoặc
t 3
 
( không thỏa
t 2
 ) .


Với
x m2
t 1
x m2
2

   


  


   



Vậy, phương trình có nghiệm:
x k ,x m2 ,x m2
4 2
 
          
.
Bài tập 5: Giải các phương trình
1.
4cosx 2cos2x cos4x 1
  
2.


2 sinx cosx tanx cotx
 
3.
2 2
x x x
1 sin sinx cos sin x 2cos
2 2 4 2


 
   
 
 

4.
2
17 x
sin 2x 16 2 3.sinxcosx 20sin
2 2 12
 
   
    
   
   

5.
2 2
x x
2sin 1 4cos
2 4 3 6
 
   
   
   
   

6.



2 2
3tan x 2 2cos x 2 3 2 sinx
  
Hướng dẫn giải
1. Phương trình đã cho

2
4cosx 2cos2x 1 cos4x 4cosx 2cos2x 2cos 2x
      

 
2
cosx 0
4cosx 2cos2x 1 cos2x 4cosx 4cos2xcos x
cos2xcosx 1


     






Kiến thức cơ bản - Luợng giác

17

2. Điều kiện:

sinx.cosx 0 sin2x 0 x k
2

     .

2 2
sinx cosx sin x cos x 2
tanx cotx 2.
cosx sinx 2.sinx.cosx sin2x

     .
Đặt
2
t sinx cosx 2cos x sin2x t 1
4

 
      
 
 
và
t 2
 .
Phương trình cho trở thành:
2
2
2t ,t 1
t 1
  






2
t 2 t 2t 1 0,t 1 t 2
       
Với
t 2 cos x 1 x m2 .
4 4
 
 
       
 
 

3. Phương trình đã cho
2
x x
1 sin sinx cos sin x 1 cos x 1 sinx
2 2 2

 
       
 
 

x x x x x x
sinx sin cos sinx 1 0 sinx sin cos .2sin cos 1 0
2 2 2 2 2 2
   
       
   
   


2
x x x
sinx sin 1 2sin 2sin 1 0 x k ,k
2 2 2
  
         
  
  


4.
cos2x 3sin2x 10cos x 6 0
6

 
    
 
 

cos 2x 5cos x 3 0
3 6

 
   
     
   
   
2
2cos x 5cos x 2 0
6 6
 
   
     
   
   

1 5
cos x x k2
6 2 6
 
 
        
 
 
hoặc
x k2
2

  

5. Đặt t x
2


 
khi đó phương trình đã cho trở thành:
2 2
t t
2sin 1 4cos
2 3
 

2 2 3 2
t t t t t t
cost 4cos cos3. 4cos 0 4cos 4cos 3cos 0
3 3 3 3 3 3
         

t
3 x k3
cos 0
t k3
3
2
t 1
x k6
t k6
cos
2
3 2

   


 

  
 
  


 
  

   

 
 





k


6.


2 2
3tan x 2 2cos x 2 3 2 sinx
  
Với
cosx 0


thì
sinx 1
 
, vì thế chia cả
2
vế phương trình cho
sinx 0

, ta
được phương trình:
2
2
sinx cos x
3 2 2 2 3 2
sinx
cos x
 
 
  
 
 
 
 
 





Ôn luyện thi Đại học – Nguyễn Phú Khánh

18

Đặt
2
sinx
t
cos x
 , thì phương trình



trở thành:
1
3t 2 2 2 3 2
t
  



2
3t 2 3 2 t 2 2 0 t 2
       hoặc
2
t
3


Với
2
t
3

tức


2 2
2
sinx 2
2 1 sin x 3sinx 2sin x 3sinx 2 0
3
cos x
       



1

Đặt
u sinx,


1 u 1
  
. Khi đó phương trình trở thành:
2
2u 3u 2 0

  
,
phương trình này có nghiệm
u 2
 
( không thỏa ),
1
u
2

( thỏa).
Với
1
u
2

tức
1
sinx x k2
2 6

    
hoặc
5
x k2
6

  

Với

t 2
 tức


2 2
2
sinx
2 2 1 sin x sinx 2sin x sinx 2 0
cos x
       



2
. Đặt
v sinx,

1 v 1
  
. Khi đó phương trình trở thành:
2
2v v 2 0
  
,
phương trình này có nghiệm
v 2
 
( không thỏa ),
1
v

2
 ( thỏa ).
Với
1
v
2
 tức
2
sinx x k2
2 4

    
hoặc
3
x k2
4

  

Đối chiếu điều kiện, phương trình có các nghiệm :

x k2
4

  
,
3
x k2
4


  
,
x k2
6

  
,
5
x k2
6

  
với
k



Bài tập 6: Giải các phương trình
1.
2 2 2
sin x cos x cos 3x
  2.
3 3
cos x sin x cosx sin2x sinx
   
3.
2 2
2 2sin2x
tanx cot2x


 

4.
4 4
x x
cos sin sin2x
2 2
 
Hướng dẫn giải
1. Phương trình được biến đổi dưới dạng:
2
1 cos2x 1 cos2x
cos 3x
2 2
 
 


2 2
2cos 3x cos4x cos2x 2cos 3x 2cos3x.cosx 0
     



cos3x cos5x cos3x 0 2cos2x.cosx.cos3x 0
    

cos2x 0
x k2x k
cos2x 0

4 2
2
cosx 0 k
cos3x 0
x k
3x k
cos3x 0
6 32
 



   





     



 
 

 
  




 


Vậy, phương trình có 2 họ nghiệm
2. Phương trình được biến đổi dưới dạng:
(cosx sinx)(1 cosx.sinx) cosx sin2x sinx
    



Kiến thức cơ bản - Luợng giác

19

1
(cosx sinx)sin2x sin2x (cosx sinx 2)sin2x 0
2
      

 
sin2x 0 2x k x k k
2

       


Vậy, phương trình có 1 họ nghiệm
3. Điều kiện :
cosx 0
sin2x 0

tanx cot2x 0






 


Ta có :
2
2sin x cos2x 1
tanx cot2x
sin2x sin2x

  
Phương trình đã cho tương đương với :


2 2 sin2x 2 sin2x
  




sin2x 1 . 2 sin2x 2 0
   
sin2x 1
2

sin2x
2








sin2x 1
1
sin2x
2








thỏa điều
kiện. Giải các phương trình trên ta được :

 
5
x k ; x k ; x k k
2 12 12
  

         


4. Ta có:
4 4 2 2 2 2
x x x x x x
cos sin cos sin cos sin cosx
2 2 2 2 2 2
  
    
  
  

Phương trình cho viết lại :
x 2x k2
2
cosx sin2x cos 2x
2
x 2x k2
2


   


 

   
 


 

 
    
 

 


2
x k
6 3
 
   hoặc
x k2
2

   
,
k



Vậy, phương trình có
2
họ nghiệm
Chú ý :
cosx sin2x cosx 2sinx.cosx
  



cosx 1 2sinx 0
  
2
x k
6 3
 
   hoặc
x k2
2

   
, ,
k



Bài tập 7: Giải các phương trình
1.


2
2sin x 3.sin2x 1 2 cosx 3.sinx
   
2.
 
2
x
2 3sinx. 1 cosx 4cosx.sin 3

2
  

3.
2 2 2
3
sin x sin x sin x 2 3sin x .cosx
3 3 6 2
  
     
      
     
     

Hướng dẫn giải


Ôn luyện thi Đại học – Nguyễn Phú Khánh

20

1. Phương trình cho viết lại:


2 2 2
2sin x 3.sin2x sin x cos x 2 cosx 3.sinx
    


2 2

3sin x 2 3.sinxcosx cos x 2 cosx 3.sinx
    




2
cosx 3.sinx 2 cosx 3.sinx
   
cosx 3.sinx 0
cosx 3.sinx 2

 


 



1
tanx
3.sinx cosx
x k
3
6
1 3
cosx sinx 1
x k2
cos x 1
2 2

3
3



 

 
   




  





 

 

  
 

 




 




k


2. Phương trình cho tương đương với


2 3sinx 2 3sinx.cosx 2cosx 1 cosx 3
   





2 2
2 3sinx cosx 3sin x 2 3sinx.cosx cos x 0
     





3sinx cosx 3sinx cosx 2 0 3sinx cosx 0
       
hoặc
3sinx cosx 2

 

TH1:
3sinx cosx 0 2 sinxcos cosxsin 0 sin x 0
6 6 6
  
   
       
   
   

x k x k ,k
6 6
 
        


TH2:
3sinx cosx 2 2 sinxcos cosxsin 2 sin x 1
6 6 6
  
   
       
   
   

2
x k2 x k2 ,k
6 2 3
  

         


Vậy, phương trình chó có họ nghiệm
2
x k ,x k2 ,k
6 3
 
      


3. Ta có
2 2 2
3
sin x sin x sin x 2 3sin x .cosx
3 3 6 2
  
     
      
     
     

 
2 2
1 cos2x 1 cos 2x 1 cos 2x
3
3 3
3 3sinx cosx cosx
2 2
 

   
      
   
   
   

2
2
3 cos2x 2cos cos2x
3
3
3sinxcosx 3cos x
2 2

 
   


2
3 3sin2x 3 2cos x 1
   
3sin2x cos2x 3
  
3 1 3
sin2x. cos2x. sin 2x sin
2 2 2 6 3
 
 
     
 

 



Kiến thức cơ bản - Luợng giác

21

 
2x k2 x k
6 3
12
k
2x k2 x k
6 3 4
  


      


  


  


        
 





Bài tập 8: Giải các phương trình
1.


2 2 3
sinxcos2x cos x tan x 1 2sin x 0
   

2.
   
4 2
x x
sinx 3 sin sinx 3 sin 1 0
2 2
    

Hướng dẫn giải
1. Điều kiện
cosx 0


Biến đổi phương trình cho tương đương:


2 2 3
sinx 1 2sin x 2sin x 1 2sin x 0
    

2
2sin x sinx 1 0
   





Đặt
t sinx,

với
t 1


Khi đó phương trình



trở thành:
2
2t t 1 0
  
( với
t 1

)
t 1
  

hoặc
1
t
2


TH1:
t 1
 
tức
sinx 1 x k2
2

      
không thỏa điều kiện.
TH2:
1
t
2

tức
1
sinx
2


x k2
6

   

hoặc
5
x k2
6

  

Vậy, phương trình cho có hai họ nghiệm:
x k2
6

  
hoặc
5
x k2
6

  

2. Phương trình cho viết lại:
 
2 2
x x
sinx 3 sin sin 1 1 0
2 2
 
   
 
 

 
2 2
x x
1 sinx 3 sin cos 0
2 2
   


2
4 sinx 3 sin x 0
   

  
2
3 2
sin x 3sin x 4 0 sinx 1 sinx 2 0
       

 
sinx 1 x k2 k
2

      


Vậy, phương trình có một họ nghiệm
Bài tập 9: Giải các phương trình
1.
 



3
sin2x cosx 3 2 3cos x 3 3cos2x 8 3cosx sinx 3 3 0
      

2.
sin3x cos3x
cos2x sinx(1 tanx)
2sin2x 1

  

3.
sin3x 4cos x 3
6
0
sin3x 1

 
  
 
 



Hướng dẫn giải


Ôn luyện thi Đại học – Nguyễn Phú Khánh

22

1.
 


3
sin2x cosx 3 2 3cos x 3 3cos2x 8 3cosx sinx 3 3 0
      

2 3 2
2sinx.cos x 6sinx.cosx 2 3.cos x 6 3cos x 3 3
    


8 3.cosx sinx 3 3 0
   







2
2cos x 3cosx sinx 6.cosx 3cosx sinx 8 3cosx sinx 0
       






2
3cosx sinx 2cos x 6cosx 8 0
     

2
3cosx sinx 0
tanx 3
cosx 1
cos x 3cosx 4 0


 

 




  


x k
,k
3
x k2


  


 

 




Vậy, phương trình cho có
2
họ nghiệm.
2. Điều kiện:
1
sin2x ,cosx 0
2
 

Phương trình đã cho tương đương:
3 3
3sinx 4sin x 4cos x 3cosx
cos2x sin(1 tanx)
2sin2x 1
  
  


2 2
(sinx cosx)(2sin2x 1) sinx(sinx cosx)
cos x sin x
2sin2x 1 cosx

  
   

sinx cosx 0
sinx
cosx sinx 1
cosx
 




  



TH1:
sinx cosx 0
 
tanx 1 x k ,k
4

        


TH2:
sinx
cosx sinx 1
cosx
  

(cosx sinx)(1 cosx) 0
   

cosx sinx 0 tanx 1
1 cosx 0 cosx 1
  
 
 
 
   
 
x k
(k )
4
x k2


  

 

  




Đối chiếu điều kiện, suy ra các họ nghiệm của phương trình đã cho là:
x k ,
4


   
x k2 ,k
    


3. Điều kiện:
   
2
3
sin3x 1 0 4sin x 3sinx 1 0 2sinx 1 sinx 1 0
         

1
sinx
2
 
và
sinx 1
 

Phương trình cho viết lại:
sin3x 2 3cosx 2sinx 3 0
   

3
4sin x sinx 2 3cosx 3 0
    
 
2
3

sinx 4sin x 1 2 3 cosx 0
2
 
    
 
 
 



Kiến thức cơ bản - Luợng giác

23

 
2
2
3
cos x
4
sinx 4sin x 1 2 3 0
3
cosx
2

   

 
2
2sinxcosx 3sinx 3

4sin x 1 0
2cosx 3
 
  


1 1
sinx sinx
2 2
2sinxcosx 3sinx 3 0 sin2x 3 3sinx
 
   
 
 
 
 
    
 

TH1:
1
sinx x k2
2 6

      
hoặc
7
x k2
6


  

TH2:
2 2
sin2x 3 3sinx sin 2x 2 3sin2x 3 3sin x
     
2 2 2
4sin xcos x 4 3sinxcosx 3cos x 0
   

2
4sin xcosx 4 3sinx 3cosx 0
   

Chia hai vế cho
3
cos x
ta được




2 2 2
4tan x 4 3tanx 1 tan x 3 1 tan x 0
    

3 2
4 3tan x 7tan x 4 3tanx 3 0
     
. Bạn đọc giải tiếp phương trình cơ bản.

Vậy, nghiệm phương trình là:
x k2
6

   
hoặc
7
x k2 , k
6

   



Bài tập 10: Giải các phương trình
1.
2 2 2 2
cos 4x cos 8x sin 12x sin 16x 2
   

2.
3
cos2x cos6x 4(3sinx 4sin x 1) 0
    

3.
2 2
4cos x 3tan x 4 3cosx 2 3tanx 4 0
    

4.
2 2sin x cosx 1
12

 
 
 
 

Hướng dẫn giải
1. Phương trình cho viết lại:
2 2 2 2
1 sin 4x 1 sin 8x 2 sin 12x sin 16x 2
      

2 2 2 2
sin 4x sin 8x sin 12x sin 16x 0
    

 
sin4x 0
sin8x 0
sin4x 0 4x k x k k
sin12x 0 4
sin16x 0







        







Vậy, phương trình có 1 họ nghiệm.
2. Phương trình cho viết lại:
cos2x cos6x 4sin3x 4 0
   



Ôn luyện thi Đại học – Nguyễn Phú Khánh

24

(1 cos2x) (1 cos6x) 4sin3x 2 0
      
2 3
2cos x 2sin 3x 4sin3x 2 0
    

2 2
cos x (sin3x 1) 0
   
 

x k
cosx 0
2
x 2k k
sin3x 1 3 2
x k
2


  





      
 
 


  




Vậy, phương trình có 1 họ nghiệm.
3. Phương trình cho viết lại:
2 2
(4cos x 4 3cosx 3) (3tan x 2 3tanx 1) 0
     





2 2
2cosx 3 3tanx 1 0
    
3
cosx
2cosx 3 0
2
1
3tanx 1 0
3tanx
3




 
 
 
 
 



 




 
x k2
6
x k2 k
6
x k
6


  



     



  




Vậy, phương trình có 1 họ nghiệm.
4. Cách 1:
2 sin 2x sin 1
12 12
 
 

 
   
 
 
 
 
1
sin 2x sin
12 12
2
 
 
   
 
 


sin 2x sin sin 2sin cos
12 4 12 6 12
    
 
    
 
 


5 5
sin 2x cos cos sin
12 12 2 12 12
    

   
     
   
   


5
x k2x k2
4
12 12
k
7
x k
2x k2
312 12
 

     


  


 

  
   

 


.
Cách 2: Phương trình


1
, viết lại:
2 2sin x cosx 1
4 6
 
 
 
  
 
 
 
 


2 2 sin x .cos sin .cos x cosx 1
4 6 6 4
 
   
   
    
   
 
   
 

   
1 1
2 2 sinx cosx .cos sin . sinx cosx cosx 1
6 6
2 2
 
 
    
 
 

Hay
 


sinx cosx 3cosx sinx 0
   