phương trình lượng giác

Trang 1

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Tổng hợp: Đỗ Đường Hiếu
THPT Tống Duy Tân – Thanh Hóa

I. ĐƯA PHƯƠNG TRÌNH VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƠN GIẢN
VD1. (Chuyên Vĩnh Phúc) Giải phương trình:
22
2cos 2 3cos4 4cos 1
4
x x x


   



HD: Đưa về
cos 4 cos2
6
xx






VD2. (THPT Lý Thái Tổ - Bắc Ninh) Giải phương trình:
66
2 3 6

4sin 4cos 3 4cos cos
2 2 4 4
x x x x


   
  
   
   

HD: Đưa về:
2
7sin 2sin 9 0xx  

VD2. (THPT Lý Thái Tổ - Bắc Ninh) Giải phương trình:
2
2cos 3cos 2cos3 4sin sin2x x x x x  

HD: Đưa về
2
2cos cos 0xx

VD3. (THPT Lương Tài 2 – Bắc Ninh) Giải phương trình:
22
3
4sin 3sin 2 1 2cos
2 2 4
x
xx



     
     
     
     

HD: Đưa về:
sin 2 cos
3
xx






VD4. (Chuyên ĐHSP Hà Nội) Giải phương trình:
 
 
2 4 4
3 2cos sin2 cos2 tan 3 cos sinx x x x x x   

HD: Đưa về:
3
sin 2
32
x







VD5. (THPT Hậu Lộc 4) Giải phương trình:
  
2cos 1 sin cos 1x x x  

VD6. (THPT Sầm Sơn) Giải phương trình
sin3 cos3 2 2 cos 1 0
4
x x x


    



HD: Đặt ẩn phụ
cos sint x x

VD7. (THPT Quỳnh Lưu – Nghệ An) Giải phương trình:
 
2 2 3
sin cos2 cos tan 1 2sin 0x x x x x   

HD:
2
2sin sin 1 0xx  

VD8. (Vĩnh Phúc) Giải phương trình:

 
2 3 sin2 3sin cos2 3cosx x x x   

HD: Đưa về:
2
2sin 3sin 0
66
xx

   
   
   
   

VD9. (Bắc Ninh) Giải phương trình:
4sin3 sin5 2sin cos2 0x x x x  

HD: Biến đổi đến
 
sin3 3 2cos2 0xx

VD10. (Chuyên Nguyễn Quang Diêu) Giải phương trình:
 
2
2cos 2 3sin cos 1 3 sin 3cosx x x x x   

Trang 2

HD:
   

2
sin 3cos 3 sin 3cos 0x x x x   

VD11. (THPT Quốc Học Huế) Giải phương trình:
 
2
2
sin2 3 2cos 2sin 3 sin cosx x x x x    

HD:
2
2cos 3 2cos 2 0xx  

VD12. (THPT Thành Nhân) Giải phương trình:
2
3
10sin 3sin2 cos2 3
4
x x x


   



HD: Biến đổi đến
2sin2 cos2 2xx  

VD13. (THPT Thành Nhân) Giải phương trình:
 

3sin2 cos2 4 3 cos 3sinx x x x   

HD:
   
2
cos 3sin 3 cos 3sin 2 0x x x x    

VD14. (THPT Chuyên Lào Cai) Giải phương trình:
 
2
3
2cos 2 3sin 2 1 2cos
24
x x x


   
     
   
   

HD: Biến đổi đến
sin 2 sin
32
xx

   
  
   
   

II. BIẾN ĐỔI ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH
VD1. (Chuyên Vĩnh Phúc) Giải phương trình:
 
 
2
3 2cos cos 2 sin 3 2cos 0x x x x    

HD: Đưa về
  
3 2sin 3sin cos 0x x x  

VD2. (Chuyên Vĩnh Phúc) Giải phương trình:
4 2 4
3sin 2cos 3 cos3 3cos cos 1x x x x x    

HD: Đưa về:
 
2
cos2 2cos 2 cos 3 0x x x  

VD4. (THPT Hoàng Lệ Kha) Giải phương trình:
   
22
1 sin cos 1 cos sin 1 sin2x x x x x    

HD: Biến đổi thành:
   
sin cos 1 sin 1 cos 0x x x x   

VD5. (THPT Ba Đình) Giải phương trình
cos cos3 1 2sin 2
4
x x x


   



VD6. (THPT Hà Trung) Giải phương trình:
 
2
2cos3 cos 3 1 sin2 2 3cos 2
4
x x x x


   



HD: Đưa về
 
2cos cos3 3sin3 0x x x

VD7. (Vĩnh Phúc) Giải phương trình:
 
sin tan2 3 sin 3 tan2 3 3x x x x  

HD: Đưa về:
 
 
tan2 3 sin 3 0xx  

VD8. (Vĩnh Phúc) Giải phương trình:
cos4 2sin6 2 3sin3 cos cos2x x x x x  

HD: Đưa về
 
2sin3 sin 3cos 2cos2 0x x x x  

VD9. (THPT Cù Huy Cận) Giải phương trình:
2sin2 2sin 2 5sin 3cos 3
4
x x x x


    



Trang 3

HD: Biến đổi về:
  
2sin 1 3cos sin 2 0x x x   

VD10. (THPT Ngô Gia Tự - Bắc Ninh) Giải phương trình:

 
5
sin4 4sin 2 4 sin cos
2
x x x x


   



VD11. (THPT Ngô Gia Tự - Bắc Ninh) Giải phương trình:
22
1 sin sin cos sin 2cos
2 2 4 2
x x x
xx


   



VD12. (Chuyên Bắc Ninh) Giải phương trình:
2
2cos 2cos 4sin cos2 2 0
4
x x x x



     



HD: Biến đổi về
  
sin 1 cos sin 1 0x x x   

VD13. (THPT Thuận Thành số 1) Giải phương trình:
cos cos3 1 2sin 2
4
x x x


   



VD14. (THPT Đức Thọ) Giải phương trình:
 
3
4sin 2cos sin 1 4sin 1 0x x x x    

HD: Biến đổi về
  
2cos 1 1 sin2 0xx  

VD15. (THPT Hà Huy Tập – Hà Tĩnh) Giải phương trình:
 
sin4 2cos2 4 sin cos 1 cos4x x x x x    

HD: Biến đổi đến:
  
sin cos 2cos2 sin 1 0x x x x  

VD16. (THPT Lương Văn Chánh – Phú Yên) Giải phương trình:
cos sin cos2 sin2 1 cos3x x x x x    

HD: Biến đổi về:
 
sin 1 2sin 2cos 2sin2 0x x x x   

VD17. (THPT Long Mỹ) Giải phương trình:
2
2cos 2 2cos2 4sin6 cos4 1 4 3sin3 cosx x x x x x    

HD:
 
2sin3 sin 2cos3 3cos 0x x x x  

VD18. (Chuyên Vĩnh Phúc) Giải phương trình:
1 2cos2 3sin cos 0x x x   

HD:
  
3sin cos 3sin cos 1 0x x x x   

VD19. (Vĩnh Phúc) Giải phương trình:
22
1 sin sin2 cos sin 2 2cos

4
x x x x x


   



HD: Biến đổi về
 
 
2
sin2 sin 1 1 2sin 2sin 0x x x x   

VD20. (THPT Phan Đăng Lưu – Nghệ An) Giải phương trình:
2sin 2 3sin cos 2
4
x x x


   



HD: Biến đổi đến
  
2cos 3 sin cos 1 0x x x   

VD21. (THPT Phan Đăng Lưu – Nghệ An) Giải phương trình:
 

3 tan tan 2sin 6cos 0x x x x   

HD: Biến đổi đến
 
 
2
1 2cos 3 tan 0xx  

VD22. (Chuyên Đại học Vinh) Giải phương trình:
   
2
tan 1 sin cos2 2 3 cos sin sinx x x x x x    

Trang 4

HD: Biến đổi đến
  
sin cos 2cos2 1 0x x x  

VD23. (Chuyên ĐHSP Hà Nội) Giải phương trình:
3
2sin cos2 cos 0x x x  

HD: Biến đổi đến:
   
sin cos 1 cos 2 sin cos 0x x x x x    

VD24. (THPT Tuy Phước) Giải phương trình:
2
4sin2 sin 2sin2 2sin 4 4cosx x x x x   

HD: Biến đổi đến:
  
2sin 1 2sin2 2sin 0x x x  

VD25. (THPT Thanh Bình – Hải Dương) Giải phương trình:
22
31
sin 3cos sin2 2sin 0
24
x x x x




    






HD: Biến đổi đến:
 
 
sin cos sin 3cos 1 0x x x x   

VD26. (TT Bồi dưỡng Hoa Sen) Giải phương trình:
sin4 2 cos3 4sin cosx x x x   

HD: Biến đổi đến:
  
2sin 1 cos3 cos 2 0x x x   

VD27. (THPT Nguyễn Trung Thiên) Giải phương trình:
2sin 2 4sin 1 0
6
xx


   



HD: Biến đổi đến:
 
sin 3cos sin 2 0x x x  

VD28. (THPT Chuyên Vĩnh Phúc) Giải phương trình:
 
 
2
3 2cos cos 2 3 2cos sin 0x x x x    

HD: Biến đổi đến:
  
cos 3sin 3 2sin 0x x x  

VD29. (THPT Lý Thái Tổ - Bắc Ninh) Giải phương trình:
 

3sin3 2 sin 3 8cos 3cosx x x x   

HD: Biến đổi đến:
  
3cos 2 2sin2 1 0xx  

VD30. (THPT Tống Duy Tân) Giải phương trình:
 
sin2 cos2 sin cos 1 2cos sin cosx x x x x x x    

HD: Biến đổi đến:
  
2cos 1 sin cos sin cos 0x x x x x   

VD31. (THPT Chuyên ĐH Vinh) Giải phương trình:
   
sin3 1 cos cos2 sin 2cos sin2x x x x x x   

HD: Biến đổi đến:
  
cos sin cos sin 1 0x x x x   

VD32. (THPT Chuyên Phan Bội Châu) Giải phương trình:
3sin2 cos2 1 3sin 3cosx x x x   

HD: Biến đổi đến:
 
 
2cos 1 3sin cos 2 0x x x   

VD33. (THPT Trần Quốc Tuấn) Giải phương trình:
2
4cos 3sin 3cos 3x x x  

HD: Biến đổi đến:
  
3sin cos cos 3sin 3 0x x x x   

VD34. (THPT Chuyên Vĩnh Phúc) Giải phương trình:
4sin 3 tan
3
xx


  



HD: Biến đổi đến:
  
3sin cos cos 3sin 3 0x x x x   

Trang 5

HD: Biến đổi đến:
 
 
2cos 1 tan 3 0xx  

VD35. (THPT Chuyên Lê Quý Đôn) Giải phương trình:

cos3 2sin2 cos sin 1 0x x x x    

HD: Biến đổi đến:
  
2sin2 1 sin 1 0xx  


III. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU THỨC
VD1.(Chuyên Vĩnh Phúc) Giải phương trình:
4
3 4cos2 8sin 1
sin2 cos2 sin 2
xx
x x x




HD: Đưa về
 
cos2 sin2 cos2 0x x x

VD2. (THPT Bỉm Sơn) Giải phương trình:
 
2 cos sin
1
tan cot 2 cot 1
xx
x x x





HD: Đưa về
2
4
xk


  

VD3. (THPT Thuận thành số 1) Giải phương trình:
 
1 cos2 sin2 cos cos2
cos
1 tan
x x x x
x
x
  



HD: Đưa về:
  
cos sin cos sin 1 0x x x x   

VD4. (Vĩnh Phúc) Giải phương trình:
sin2 cos2 5sin cos 3
0

2cos 3
x x x x
x
   



HD: Biến đổi đến:
  
2sin 1 cos sin 2 0x x x   

VD4.(THPT Ngô Gia Tự) Giải phương trình:
 
1
tan2 tan sin4 sin2
6
x x x x  

VD5. (THPT Mai Anh Tuấn) Giải phương trình:
 
2cos 1 sin4
2sin2
cos sin
xx
x
xx




VD6. (Chuyên Lý Tự Trọng – Cần thơ) Giải phương trình:
5 cos2
2cos
3 2tan
x
x
x




HD:
   
22
cos 3 sin 2xx  

VD7. (THPT Thuận Thành số II) Giải phương trình:
  
3
2cos 2cos sin2
2 1 cos 1 sin
cos 1
x x x
xx
x

  


HD:

  
sin sin 1 cos sin 0x x x x  

VD8. (THPT Sầm Sơn) Giải phương trình:
2 2 2
1 1 15cos4
2cot 1 2tan 1 8 sin 2
x
x x x

  

HD:
1
cos4
2
x 

VD9. (THPT Trần Phú – Hà Tĩnh) Giải phương trình:
  
2sin 1 cos2 sin 1
3 2cos
3sin sin2
x x x
x
xx
  



HD: Biến đổi đến
 
2sin 1 cos2 0xx

VD10. (THPT Phúc Trạch – Hà Tĩnh) Giải phương trình:
Trang 6

 
  
1 cos2 sin2
2 sin3 sin 1 sin
1 sin
xx
x x x
x

  


HD: Biến đổi đến
 
2
2cos sin2 2cos 1 0x x x

VD11. (THPT Minh Khai) Giải phương trình:
 
3sin 2 cos2 5sin 2 3 cos 3 3
1
2cos 3
x x x x

x
     



HD:
 
 
2sin 1 3cos sin 2 0x x x   

VD12. (THPT Nguyễn Quang Diêu – Đồng Tháp) Giải phương trình:
2
cos2 sin 4
3
2cos 2 sin2 1
xx
xx




HD: Biến đổi đến:
cos 2 cos 4
36
xx

   
  
   
   

VD13. (THTT Đề 5) Giải phương trình:
8 2sin cos2 1 tan tan4 tan tan4x x x x x x   

HD: Biến đổi đến:
sin8 sin 5
4
xx






VD14. (Chuyên Vĩnh Phúc) Giải phương trình:
4sin 3 tan
3
xx


  



HD: Biến đổi đến:
 
 
2cos 1 tan 3 0xx  

VD15. (THPT Đặng Thúc Hứa) Giải phương trình:

2 cos2
cot
sin2 cos
x
x
xx


HD:
2
sin sin cos2 0x x x

VD16. (THPT Chuyên Nguyễn Huệ) Giải phương trình:
1
2sin tan 1 tan3
cos3
x x x
x
   

VD17. (Chuyên Lê Quý Đôn – Quảng Trị) Giải phương trình:
 
2
3sin cos sin
1
2 sin 2 1
4
x x x
x









HD: Biến đổi đến
2
2sin 3sin 1 0xx  

VD18. (THPT Thái Phiên) Giải phương trình:
 
2
tan sin cos 1
42
x
xx


   



VD19. (THPT Lạng Giang 2) Giải phương trình:
 
2sin
4
1 sin 2 1 tan
cos

x
xx
x





  

HD, Biến đổi đến
  
sin cos cos2 1 0x x x  

VD20. (Chuyên Nguyễn Quang Diêu) Giải phương trình:
 
2
2
2
2cos 3sin 2 3
3 tan 1
2cos .sin
3
xx
x
xx









HD:
2
2cos 3cos 1 0
66
xx

   
    
   
   

Trang 7

VD21. (THPT Quốc Oai) Giải phương trình:
 
2
2
2
sin cos 2sin
1
sin sin 3
1 cot 4 4
2
x x x
xx
x




   
   
   


   


HD:
 
cos 2 sin sin 1 0
4
x x x


  



VD22. (THPT Tuy Phước) Giải phương trình:
3
2cos cos2
1
sin
xx
x




VD23. (THPT Chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ) Giải phương trình:
5 cos2
2cos
3 2tan
x
x
x




HD:
   
22
cos 3 sin 2xx  

VD24. (THPT Chuyên Amsterdam) Giải phương trình:
2
tan2 cot 8cosx x x

HD:
cos 2sin4 cosx x x

VD25. (THPT Lương Ngọc Quyến) Giải phương trình:
2sin 1 1
2cos cos
2cos2 1 2sin 1 3 3 2
x

xx
xx

   
    
   

   

HD:
2
2cos 2 cos2 1 0xx  

VD26. (THPT Chuyên ĐH Vinh) Giải phương trình:
 
1 cos cot cos2 sin sin2x x x x x   

HD:
 
cos2 cos sin 1 0x x x  

VD27. (THPT Hà Trung) Giải phương trình:
 
 
2
sin 1
2 1 cos 1 cot
cos sin
x
xx

xx

  


HD:
   
2
1 cos 1 sin 0xx  

VD28. (THPT Nguyễn Trãi – Hải Dương) Giải phương trình:
cos2 3sin 1
cos
3 2sin
xx
x
x




HD:
 
 
2cos 3 sin cos 0x x x  

VD29. (THPT Nguyễn Trãi – Hải Dương) Giải phương trình:
 
 
2

sin 2cos 3cos2 1 sin
cos
2cos 1
x x x x
x
x
  



HD:
 
 
1 sin 1 sin2 3cos2 0x x x   

VD30. (THPT Chuyên Phan Bội Châu – Nghệ An) Giải phương trình:
 
3
tan 2 cot 1 sin4 sin 2sin cos
3 2 2
xx
x x x x


   



HD:
sin2 sin

3
xx






VD31. (THPT Chuyên Phan Bội Châu – Nghệ An) Giải phương trình:
5
sin 4 sin sin3 cos3 cos
2
0
sin
x x x x x
x


  




HD:
cos4 cos2xx

VD32. (THPT Chuyên Lê Quý Đôn – Quảng Trị) Giải phương trình:
Trang 8

 

2
3 cot 1
15
3cot 4 2 cos 1
sin 4
x
xx
x



   



HD: Biến đổi đến
 
 
2
3 4sin cos sin 1 0x x x   


VD33. (THPT Quốc học Quy Nhơn) Giải phương trình:
 
 
3 1 cos2 sin 2 1
2 2 cos2 6
sin
4
xx

x
x

  






HD: Biến đổi đến
 
2
4cos 2 3 1 cos 2 3 0xx    


VD33. (THPT Chuyên Quảng Bình) Giải phương trình:
 
44
sin cos 1
tan cot
sin2 4
xx
xx
x



HD: Biến đổi đến
2

sin 2 1x 


VD34. (THPT Tống Duy Tân) Giải phương trình:
2 3 1
8sin
sin cos
x
xx



HD: Biến đổi đến
 
cos cos 3
6
xx



  




VD35. (THPT Cổ Loa) Giải phương trình:
2sin 7
2sin 1
4
1 tan .tan

2
x
x
x
x


  




HD: Biến đổi đến
 
2
sin cos sin cos 2x x x x   


VD36. (THPT Chuyên Vĩnh Phúc) Giải phương trình:
 
tan cos3 2cos2 1
3 sin2 cos
1 2sin
x x x
xx
x




HD: Biến đổi đến
 
 
2
4sin 1 sin 3cos 1 0x x x   


VD37. (THPT Chuyên Vĩnh Phúc) Giải phương trình:
 
24
2 1 cot2 .cot
1
48
sin cos
xx
xx



HD: Biến đổi đến
42
6sin 2 sin 2 2 0xx  


VD38. (THPT Thái Phúc – Thái Bình) Giải phương trình:
 
4sin sin 5 3sin 3 cos 2
3
1
1 2cos

x x x x
x


   





HD: Biến đổi đến
2
2sin 5sin 2 0
66
xx

   
    
   
   