Phân Bố Giá Trị Đối Với Đơn Thức Vi Phân Của Hàm Phân Hình P-Adic.pdf

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN THỊ BÍCH THÙY

PHÂN BỐ GIÁ TRỊ ĐỐI VỚI ĐƠN THỨC VI PHÂN
CỦA HÀM PHÂN HÌNH P - ADIC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

THÁI NGUN - 2014

Sốhóa bởi Trung tâm Học liệu


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN THỊ BÍCH THÙY

PHÂN BỐ GIÁ TRỊ ĐỐI VỚI ĐƠN THỨC VI PHÂN
CỦA HÀM PHÂN HÌNH P - ADIC

Chun ngành: Giải tích
Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. Vũ Hồi An

THÁI NGUN - 2014

Sốhóa bởi Trung tâm Học liệu


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan rằng các kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trung
thực, không trùng lặp với các đề tài khác và các thông tin trích dẫn trong luận
văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Thái Ngun, tháng 4 năm 2014
Học viên

Nguyễn Thị Bích Thùy

Sốhóa bởi Trung tâm Học liệu


i

Mục lục
Các kí hiệu

ii

Mở đầu

1

1 Phân bố giá trị của hàm phân hình p - adic

4

1.1 Hàm đặc trưng của hàm phân hình p-adic . . . . . . .

4

1.1.1

Không gian Cp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.2

Hàm đặc trưng . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2 Hai Định lý chính của lý thuyết Nevanlinna p-adic .

9

1.2.1

Hai Định lý chính

1.2.2

Các chú ý về Định lý chính thứ hai

. . . . . . . . . . . . . . . . .

9

. . . . . . 13

2 Phân bố giá trị đối với đơn thức vi phân của hàm phân
hình p-adic

15

2.1 Giả thuyết Hayman p - adic . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2 Phân bố giá trị đối với đơn thức vi phân của hàm
phân hình p-adic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Sốhóa bởi Trung tâm Học liệu


ii

Các kí hiệu

• Cp : Trường số phức p - adic
• f : Hàm phân hình p - adic
• Nf (a, r): Hàm đếm của f tại a
• mf (∞, r) : Hàm xấp xỉ của f
• Tf (r): Hàm đặc trưng của f.

Sốhóa bởi Trung tâm Học liệu

1

MỞ ĐẦU

Lý do chọn luận văn
Lý thuyết phân bố giá trị do Nevanlinna xây dựng được xem là thành
tựu toán học đẹp đẽ nhất của toán học thế kỷ XX, mà ngày nay được
gọi là Lý thuyết Nevanlinna. Nội dung chính của Lý thuyết phân bố giá
trị là hai định lý cơ bản. Định lý cơ bản thứ nhất là mở rộng Định lý cơ
bản của đại số, mô tả sự phân bố đều giá trị của hàm phân hình khác
hằng trên mặt phẳng phức C . Định lý cơ bản thứ hai là mở rộng Định
lý Picard, mô tả ảnh hưởng của đạo hàm đến sự phân bố giá trị của hàm
phân hình. Hà Huy Khối là người đầu tiên xây dựng tương tự Lý thuyết
phân bố giá trị cho trường hợp p - adic. Ông và các học trò đã tương tự
lý thuyết Nevanlinna cho trường số phức p - adic mà ngày nay thường gọi
là lý thuyết Nevanlinna p - adic. Họ đã đưa ra hai Định lý chính cho hàm
phân hình và ánh xạ chỉnh hình p - adic. Một trong những ứng dụng sâu
sắc của lý thuyết phân bố giá trị (phức và p - adic) là Vấn đề xác định
duy nhất cho các hàm phân hình khác hằng (phức và p-adic) qua điều kiện
ảnh ngược của tập hợp điểm mà ngày nay được gọi là Định lý 5 điểm của
Nevanlinna (hoặc tương tự của Định lý 5 điểm cho trường hợp p-adic).
Phân bố giá trị và vấn đề xác định duy nhất đã được nhiều nhà tốn học
trong và ngồi nước xét trong mối liên hệ với đạo hàm của hàm phân hình
và ảnh ngược của các điểm riêng rẽ. Người khởi xướng hướng nghiên cứu
này là Hayman.
Năm 1967, Hayman đã chứng minh kết quả sau đây:
Định lí A[4]. Cho f là hàm phân hình trên C . Nếu f (z) 6= 0 và f (k) (z) 6=

1 với k là một số nguyên dương nào đó và với mọi z ∈ C, thì f là hằng.

Sốhóa bởi Trung tâm Học liệu


2

Năm 1967, Hayman cũng đưa ra giả thuyết sau đây:
Giả thuyết Hayman[4]. Nếu một hàm nguyên f thỏa mãn f n (z) f (z) 6=
′

1 với n là một số nguyên dương nào đó và với mọi z ∈ C , thì f là hằng.
Giả thuyết Hayman đã được Hayman kiểm tra đối với hàm nguyên siêu
việt và n > 1 , đã được Clunie kiểm tra đối với n ≥ 1 . Các kết quả này
và các vấn đề liên quan đã hình thành nhánh nghiên cứu được gọi là sự
lựa chọn của Hayman.
Tiếp đó, đối với các hàm nguyên f và g , C. C. Yang và G. G. Gundersen
đã nghiên cứu trường hợp ở đó f (k) và g (k) nhận giá trị 0 CM, k = 0, 1.
Cơng trình quan trọng đầu tiên thúc đẩy hướng nghiên cứu này thuộc về
C.C.Yang – X.H. Hua.Năm 1997, hai ông đã chứng minh định lý sau đây:
Định lí B[13]. Cho f và g là hai hàm phân hình khác hằng, n ≥ 11 là
′
′
một số nguyên và a ∈ C - {0} . Nếu f nf và g n g nhận giá trị a CM thì
hoặcf = dg với dn+1 = 1 hoặc g (z) = c1 ecz và f (z) = c2 e−cz , ở đó c, c1 ,
c2 là các hằng số và thỏa mãn (c1 c2 )n+1 c2 = −a2 .
Từ đó, hướng nghiên cứu trên phát triển mạnh mẽ với những kết quả sâu
sắc của I. Lahiri, Q. Han – H. X. Yi, W. Bergweiler, J. K. Langley, K. Liu,
L. Z. Yang, L. C. Hong, M. L. Fang, B. Q. Li, P. C. Hu - C.C.Yang, A.
Eremenko, G. Frank - X. Hua – R. Vaillancourt . . . . Cơng cụ sử dụng ở
đó là một số kiểu định lí chính thứ hai cho đa thức vi phân cùng với với
các ước lượng giữa hàm đặc trưng, hàm đếm của hàm và đạo hàm.

Trong trường hợp p-adic, kết quả đầu tiên theo hướng nghiên cứu này
thuộc về J. Ojeda[11]. Năm 2008, J. Ojeda đã xét vấn đề nhận giá trị của
′
f + T f n với T là hàm hữu tỷ. Ở đó, J. Ojeda đã nhận được kết quả sau:
Định lí C[11]. Cho f là hàm phân hình trên Cp, n ≥ 2 là một số nguyên
′
và a ∈ Cp - {0}. Khi đó nếu f n (z) f (z) 6= a với mọi z ∈ Cp thì f là hằng.
Năm 2011, Hà Huy Khối và Vũ Hồi An đã thiết lập các kết quả tương

m
tự cho đơn thức vi phân dạng f n (z) f (k) (z) . Họ đã nhận được kết quả
sau:
Định lí D[4]. Cho f là hàm phân hình trên Cp , thỏa mãn điều kiện
f n (z) (f (k))m (z) 6= 1 với mọi z ∈ Cp và n,m k là các số ngun khơng

Sốhóa bởi Trung tâm Học lieäu


3

âm.Khi đó f là đa thức bậc < k nếu một trong các điều kiện sau xảy ra:
1. f là một hàm nguyên.
2. k > 0 và hoặc m = 1, n >

√
1+ 1+4k
2

hoặc m > 1, n ≥ 1.

3.n ≥ 0, m > 0, k > 0, và tồn tại hằng số C, r0 sao cho |f |r < C với mọi

r > r0 .
Theo hướng nghiên cứu này, đề tài nhằm nghiên cứu vấn đề:
Phân bố giá trị đối với đơn thức vi phân của hàm phân hình
p-adic.
Đây là một vấn đề có tính thời sự của giải tích p-adic.
Phương pháp được dùng ở đây là :
Vận dụng các kiểu của Định lý chính thứ hai trong trường p-adic để xét
phân bố giá trị đối với đơn thức vi phân của hàm phân hình p-adic.
Ngồi phần mở đầu và tài liệu tham khảo luận văn gồm:
Chương 1. Phân bố giá trị của hàm phân hình p-adic.
Chương 2. Phân bố giá trị đối với đơn thức vi phân của hàm phân hình
p-adic.
Luận văn được hồn thành tại Khoa Sau Đại Học, Đại Học Sư Phạm Thái
Nguyên dưới sự hướng dẫn của Tiến Sĩ Vũ Hoài An. Nhân dịp này, tơi xin
cảm ơn Tiến Sĩ Vũ Hồi An, người đã hướng dẫn giúp đỡ tơi trong suốt
q trình thực hiện luận văn. Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn đến các nhà toán
học Khoa Toán, Đại Học Sư phạm - Đại Học Thái Nguyên.
Tuy có nhiều cố gắng, song thời gian và năng lực của bản thân có hạn nên
luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong được sự đóng góp ý
kiến của các thầy cơ cùng tồn thể bạn đọc.
Thái Nguyên, tháng 04 năm 2014
Tác giả
Nguyễn Thị Bích Thùy

Sốhóa bởi Trung tâm Học liệu


4

Chương 1

Phân bố giá trị của hàm phân hình
p - adic
Hiện nay tập bài giảng nhập mơn Giải tích p-adic [2] của Hà Trần Phương
là tài liệu tiếng Việt được dùng cho cao học ngành giải tích của Trường
Đại Học Sư Phạm - Đại Học Thái Nguyên. Sách chuyên khảo về hàm phân
hình khơng Acsimet của Hu-Yang [9] là tài liệu tham khảo tiếng Anh rất
tốt cho cao học, nghiên cứu sinh và những người muốn tìm hiểu về lý
thuyết phân bố giá trị p-adic. Trên cơ sở các tài liệu này, trong chương
1 chúng tơi trình bày một số kiến thức về phân bố giá trị của hàm phân
hình p-adic để dùng cho chương 2.

1.1
1.1.1

Hàm đặc trưng của hàm phân hình p-adic
Khơng gian Cp

Với p là một số ngun tố cố định, Ostowski đã khẳng định: Chỉ có hai
cách trang bị chuẩn không tầm thường cho trường hữu tỉ Q. Mở rộng theo
chuẩn thơng thường ta có trường số thực R, mở rộng theo chuẩn p-adic ta
có trường số Qp .
b là bổ sung của bao đóng đại số của Q . Ta gọi C là
Kí hiệu Cp = Q
p
p
p
trường số phức p-adic.

Chuẩn trên Cp được mở rộng tự nhiên của chuẩn p-adic trên Qp .

Sốhóa bởi Trung tâm Học liệu


5

Kí hiệu:

Dr = {z ∈ Cp : |z| ≤ r}, D<r> = {z ∈ Cp : |z| = r}.
P
Giả sử f (z) là hàm chỉnh hình trên Dr được biểu diễn bởi f (z) =
an z n .
n≥0

Do lim |an | |z | = 0 nên tồn tại n ∈ N để |an | |z | đạt giá trị lớn nhất.
∗

n

n−→∞

n

Khi đó ta đặt: |f |r = max {|an | |z n |}.
n≥0

Trong suốt luận văn ta quy ước log là logp .
1.1.2

Hàm đặc trưng

Giả sử f là một một hàm chỉnh hình khác hằng trên Cp . Với mỗi a ∈ Cp ,
P
f viết f =
Pi (z − a) với Pi các đa thức bậc i.

Định nghĩa vf (a) = min {i : Pi 6= 0}.

Cho d ∈ Cp , Định nghĩa một hàm vfd : ∈ Cp −→ N xác định bởi

vfd (a) = vf −d (a).
R r nf (a, x)
dx
ρ0
x
ở đó nf (a, x) là số nghiệm của phương trình f (z) = a tính cả bội trên đĩa
1
Cố định số thực ρ0 với 0 < ρ0 ≤ r. Định nghĩa Nf (a, r) = lnp

|z| ≤ x.
Nếu a = 0 thì đặt Nf (r) = Nf (0, r). Cho l là một số nguyên dương. Đặt
P
nl,f (a, x)
1
intrρ0
dx, nl,f (a, x)=
min {vf −a(z), l}
Nl,f (a, r) = lnp
x

|z|≤r
Cho k là một số nguyên dương, Ta định nghĩa hàm vf≤k từ Cp vào N xác
định bởi: 
0 nếu v (z) > k
f
≤k
vf (z) =
v (z) nếu v (z) ≤ k
f

và

n≤k
f (r) =

P

|z|≤r

f

≤k
vf≤k (z), n≤k
f (a, r) = nf −a (r).

≤k
1 R r nf (a, x)
dx.
=
Định nghĩa

lnp ρ0
x
Nếu a = 0 thì đặt Nf≤k (r) = Nf≤k (0, r).

Nf≤k (a, r)

Sốhóa bởi Trung tâm Học liệu


6
≤k
1 R r nf (a, x)
Ta đặt
=
. 0
dx,
lnp ρn
x
o
P
≤k
ở đó n≤k
(a,
x)
=
min
v
(z),
l
.

l,f
f −a

Nf≤k (a, r)

|z|≤r

Tương tự ta định nghĩa:
≥k
>k
Nf(a, r), Nf>k (a, r), Nf≥k (a, r), Nl,f
(a, r), Nl,f
(a, r).
Giả sử f là một hàm phân hình trên Cp, khi đó tồn tại hai hàm f2 , f1 sao
S
f1
cho f1 , f2 khơng có khơng điểm chung và f = . Với a ∈ Cp {∞}, ta
f2
định nghĩa hàm đếm số không điểm nf (a, r) của f tại a hay còn gọi hàm
đếm số a - 
điểm của f bởi :
n (∞, r) = n (0, r)
f
f2
nf (a, r) =
n
f −af (0, r).
1

2

Định nghĩa 
hàm đếm Nf (a, r) của f tại a bởi:
N (∞, r) = N (0, r)
f
f2
Nf (a, r) =
N
(0, r).
f1 −af2

Tương tự ta cũng định nghĩa được các hàm nf (∞, r), N f (∞, r), nf (a, r),

N f (a, r).
Ta có Nf (a, r) = Nf1−af2 (r), Nf (∞, r) = Nf2 (r).
Giả sử f1 =

∞
P

n=m1

an z n , f2 =

∞
P

n=m2

bn z n trong đó m2 , m1 ∈ N và am1 6= 0,

bm2 6= 0. Ta có
Nf (0, r) = Nf1 (0, r) = log |f1|r - log |am2 |,
Nf (∞, r) = Nf2 (0, r) =log |f2 |r - log |bm1 |.
Kéo theo
|am1 |
= log |f |r − log |f ∗ ( 0)|,
Nf (0, r) − Nf (∞, r) = log |f |r − log
|bm2 |
a
m
1
trong đó f ∗ (0) =
. Ta có
b m2
f ∗(0) = lim z m2 −m1 f (z) ∈ Cp∗ .
z−→0

Sốhóa bởi Trung tâm Học lieäu


7

Hơn nữa ta có

Nf (0, r) − Nf (∞, r) = Nf1 (0, r) − Nf2 (0, r)
= log |f1 |r − log |f1 |ρ0 − log |f2|r − log |f2|ρ0
|f1 |r0

|f1 |r
− log
= log
|f2 |r
|f2 |r0
= log |f |r − log |f |ρ0 .
Tiếp theo ta định nghĩa hàm xấp xỉ của hàm f bởi công thức
mf (∞, r) = max {0, log|f |r }.
Với mỗi a ∈ Cp , đặt mf (a, r) = m

1 (∞, r). Ta có
f −a

mf (0, r) = log+ µf (0, r) = max {0, − log |f |r }.
Sau đây ta có một số tính chất đơn giản của hàm đếm và hàm xấp xỉ.
Mệnh đề 1.1. [2]
Giả sử fi là hàm phân hình khơng đồng nhất trên Cp , i = 1, 2, ..., k . Khi
đó với mỗi r > 0, ta có
k
P
NP
Nfi (∞, r) + O(1);
(∞, r) ≤
k
fi

i=1

i=1

N Qk (∞, r) ≤
fi

i=1

k
Q

Nfi (∞, r) + O(1);

i=1

(∞, r) ≤ max mfi (∞, r) + O(1);
mP
k
i∈{1,....k}

fi

i=1

m Qk (∞, r) ≤
fi

i=1

k
P

mfi (∞, r) + O(1) .

i=1

fi1
, trong đó fi1 , fi2 ∈ A (Cp ) khi
fi2
k
k
Q
P
G
F
fi =
;
trong đó F, G ∈ A (Cp ).
fi =
đó, ta viết
f12...fk2 i=1
f12...fk2
i=1
k
k
P
Q
Do đó, mỗi cực điểm của hàm
fi hoặc
fi chỉ có thể là khơng điểm
Chứng minh. Với mỗi kí hiệu fi =

i=1

i=1

của hàm f12 ....fk2, nên nó là cực điểm của một trong các hàm fi .

Suy ra

Sốhóa bởi Trung tâm Học liệu


8

nP
(∞, r) ≤
k
fi

i=1

k
P

i=1

nfi (∞, r); n Qk (∞, r) ≤
fi

i=1

k

P

nfi (∞, r).

i=1

Điều này kéo theo
k
k
P
P
NP
(∞, r) ≤
Nfi (∞, r) + O(1); N Qk (∞, r) ≤
Nfi (∞, r) + O(1).
k
fi

fi

i=1

i=1

Ngoài ra ta có

log |

i=1

i=1

k
P

i=1

fi |r ≤ log max |fi |r = max log |fi |r
i∈{1,...,k}

i∈{1,...,k}

nên m P
(∞, r) ≤ max mfi (∞, r), và log |
k
i∈{1,...,k}

fi

i=1

Do đó m Qk (∞, r) ≤
fi

i=1

k
P

k

Q

i=1

fi |r =

k
P

i=1

log |fi|r .

mfi (∞, r) + O(1).

i=1

Mệnh đề được chứng minh.
Tiếp theo ta định nghĩa hàm đặc trưng cho bởi công thức

Tf = mf (∞, r) + Nf (∞, r). Ta có Tf (r) = max log |fi|r + O(1),
1≤i≤2

f được gọi là hàm siêu việt nếu lim

Tf (r)
= ∞.
log r

Mệnh đề 1.2. [2]

Giả sử fi là các hàm phân hình khơng đồng nhất trên Cp ,i = 1, 2, ..., k .
Khi đó với mỗi ρ0 < r, ta có

(r) ≤
TP
k
fi

i=1

k
P

i=1

Tfi (r) + O(1); T Qk (r) ≤
fi

i=1

k
P

Tfi (r) + O(1) .

i=1

Hơn nữa Tf (r) là một hàm tăng theo r.
Mệnh đề 1.3. Giả sử f là hàm chỉnh hình khơng đồng nhất O trên Dr .
Khi đó Tf (r) = Nf (r) + O(1), trong đó O(1) là đại lượng bị chặn khi

r −→ +∞.

Sốhóa bởi Trung tâm Học liệu


9

1.2
1.2.1

Hai Định lý chính của lý thuyết Nevanlinna p-adic
Hai Định lý chính

Trong phần này chúng tơi sẽ trình bày hai định lý chính trong lý thuyết
Nevanlinna p-adic. Ta kí hiệu|.| thay cho |.|p trên Cp. Ta cố định hai số

thực ρ và ρ0 sao cho 0 < ρ0 < ρ < ∞. Trước tiên ta chứng minh định lý

chính thứ nhất .

Định lý 1.4. [2]
Nếu f là một hàm khác hằng trên Cp (0, ρ) thì với mọi a ∈ Cp ta có

mf (a, r) + Nf (a, r) = Tf (r) + O(1).
Chứng minh
Ta có

mf (a, r) + Nf (a, r) = Tf (a, r) = Tf −a(r) − log |f − a|ρ0 .
Ta lại có

Tf −a(r) ≤ Tf (r)+ log+ |a|, Tf (r) ≤ Tf −a(r)+ log+ |a|.
Từ đó ta có kết luận của định lý.
Mệnh đề sau là Bổ đề đạo hàm logarit.
Mệnh đề 1.5. [2]
Nếu f là hàm phân hình khác hằng trên Cp(0, ρ) thì với một số nguyên
1
f (k)
1
f (k)
|r ≤ k , đặc biệt |
|r ≤ k log+ .
k > 0 ta có |
f
r
f
r
Chứng minh

f′
1
f ∈ A(ρ) (Cp) ta có | |r = |f |r ≤ ′ ,
f
r
(i)
(k)
k
k
Q f (i)
Q f

1
f
|
|
=
|
≤
Do đó |
|r = |
, trong đó f (0) = f .
r
r
k
(i−1)
(i−1)
f
r
i=1 f
i=1 f
g
Bây giờ xét f = ∈ M(ρ (Cp). Khi đó
h

 ′
1
hg ′ − gh′ h
g ′ h′
g
h′
f′

≤
.
|
=
|
−
|
≤
max
|
|
,
|
|
,
| |r = |
r
r
r
r
f
h2
g
g
h
g
h
r′
Tương tự ta cũng thu được

Sốhóa bởi Trung tâm Học liệu


10

|

1
f (k)
|r ≤ k .
f
r

Mệnh đề được chứng minh.
Với một hàm phân hình khác hằng f trong Cp (0, ρ), ta định nghĩa

NRamf (∞, r) = 2Nf (∞, r) − Nf ′ (∞, r) + Nf ′ (0, r).
Tiếp theo ta giới thiệu Định lý chính thứ hai.
Định lý 1.6. (Định lý chính thứ hai)[2]
Nếu f là hàm phân hình khác hằng trên Cp(0, ρ) và a1 , ...., aq ∈ Cp là các

số phân biệt. Đặt δ = min {1, |ai − aj |} , A = max {1, |ai |}. Khi đó với
i6=j

0 < r < ρ,

(q − 1)Tf (r) ≤ Nf (r) +

q
P

Nf (a1 , r) − NRamf (∞, r) − log r + Sf

j=1
q
P

≤ N f (r) +

j=1

Trong đó Sf =

q
P

j=1

N f (ai , r) − log r + Sf .

log |f − aj |ρ0 − log |f ′|ρ0 + (q − 1) log

A
.
δ

Chứng minh
Trong chứng minh khi viết || Ta hiểu là ||p Lấy r′ ∈ |Cp |sao cho ρ0 < r′ < ρ.

Ta viết f = f1 /f0 trong đó f1 , f0 ∈ Ar′ (Cp ) khơng có khơng điểm chung

và đặt

F0 = f0 , Fi = f1 − ai f0 (i = 1, 2, ..., q)
Khi đó

|fk (z)| ≤ A max {|F2(z)|, |Fi (z)|} , (k = 0, 1)
Ta luôn sử dụng




f ′ f ′





W = W (f0, f1) =
0 1
là kí hiệu Wronskian của f0 và f1.

f0 f 1

Đặt Wi = W (F0 , Fi) = W .
Bây giờ ta cố định z ∈ Cp [0, r′] − Cp [0, ρ] sao cho

W (z), f1(z), Fi(z) 6= 0,i = 0, 1, ...., q .

Sốhóa bởi Trung tâm Học lieäu