Tổ hợp xác suất

TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2018

1500 CÂU TRẮC NGHIỆM TOÁN 11

Chủ đề 2. TỔ HỢP. XÁC SUẤT
Lời giải và phân mức độ nhận thức chỉ mang tính tham khảo, mọi ý kiến đóng góp vui
lịng gửi email về địa chỉ:
Câu 181. [1D2-1] Trên giá sách của bạn Minh có 4 quyển truyện khác nhau và 6 quyển tạp chí khác
nhau. Bạn Minh chọn một quyển truyện hoặc một quyển tạp chí để cho bạn Sáng mượn. Hỏi
bạn Minh có bao nhiêu cách chọn.
A. 6 .
B. 10 .
C. 24 .
D. 4 .
Lời giải
Chọn B.
Số cách bạn Minh chọn một quyển truyện cho bạn Sáng mượn là 4 cách.
Số cách bạn Minh chọn một quyển tạp chí cho bạn Sáng mượn là 6 cách.
Vậy bạn Minh có 4  6  10 cách chọn một quyển truyện hoặc một quyển tạp chí để cho bạn
Sáng mượn.
Câu 182. [1D2-1] Có bao nhiêu các sắp xếp năm bạn An, Bình, Châu, Dung và Đức đứng thành một
hàng ngang?
A. 25 .
B. 20 .
C. 120 .
D. 24 .
Lời giải
Chọn C.
Số cách sắp xếp năm bạn thành một hàng ngang là các hoán vị của năm phần tử có 5!  120
cách.
Câu 183. [1D2-1] Cho tập hợp M có 12 phần tử. Số tập con gồm 3 phần tử của M là

A. A129 .

B. C123 .

C. A123 .

D. 123 .

Lời giải
Chọn B.
Số tập con gồm 3 phần tử của M là số cách chọn 3 phần tử không phân biệt thứ tự từ 12 phần
tử.
Vậy có C123 tập hợp.
10

Câu 184. [1D2-1] Cho khai triển 1  2x   a0  a1 x    a10 x10 . Khi đó giá trị của a1 bằng bao nhiêu?
A. a1  320 .

B. a1  10 .

C. a1  20 .

D. a1  5120 .

Lời giải
Chọn C.
k

Tk 1  C10k 110k .  2 x   C10k .2k .x k

a1 là hệ số ứng với x  k  1 . Vậy a1  C101 .21  20 .
Câu 185. [1D2-1] Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số đơi một khác nhau lập từ các chữ số 1 , 2 , 3 , 4 ,
5?
A. 20 .
B. 60 .
C. 125 .
D. 900 .
Lời giải
Chọn B.
Gọi x  abc là số tự nhiên thỏa u cầu bài tốn.
a có 5 cách chọn.
b có 4 cách chọn (do a  b ).
TỐN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 1/54 – 1D2


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2018

1500 CÂU TRẮC NGHIỆM TỐN 11

c có 3 cách chọn (do a  b  c ).
Vậy có 5.4.3  60 số thỏa đề bài.

Câu 186. [1D2-1] Trong một hộp bút có 2 bút mực đỏ, 3 bút mực đen và 2 bút chì. Số cách để lấy một
cái bút là
A. 12 .
B. 6 .
C. 2 .
D. 7 .

Lời giải
Chọn D.
Số cách lấy một cài bút trong hộp là 2  3  2  7 cách
Câu 187. [1D2-1] Công thức nào sau đây sai?
n!
n!
A. Ank 
.
B. Cnk 
. C. kCnk  nCnk11 .
n

k
!
k
!

n

k
!





D. Cnk  Cnn  k .

Lời giải
Chọn B.

Cnk 

n!
k ! n  k  !

Câu 188. [1D2-1] Xác suất của biến cố A được tính theo cơng thức
1
A. P  A  
.
B. P  A   n  A  .n    .
n  A
C. P  A  

1
.
n 

D. P  A  

n  A
.
n 

Lời giải
Chọn D.
n

Câu 189. [1D2-1] Số hạng thứ k  1 trong khai triển nhị thức  a  b  ,  n   * là
A. Cnk 1a n b k .

B. Cnk a n  k b k .

C. Cnk 1a n  k b k 1 .

D. Cnk a n  k b n .

Lời giải
Chọn B.
n

Ta có số hạng tổng quát thứ k  1 trong khai triển  a  b   n   * là Tk 1  Cnk a n  k b k .
Câu 190. [1D2-1] Cho tập hợp A gồm 10 phần tử. Tìm số các tập con có 2 phần tử của tập hợp.
A. 90 .
B. 45 .
C. 55 .
D. 84 .
Lời giải
Chọn B.
Ta có số các tập con có 2 phần tử của tập hợp gồm 10 phần tử là số tổ hợp chập 2 của 10
phần tử: C102  45 .
Câu 191. [1D2-1] Số hạng thứ k  1 trong khai triển  a  b 
A. Cnk a n  k b k .

B. Cnk 1a n b k .

n

 n    là
*

C. Cnk 1a n  k b n .

D. Cnk 1a n  k b k 1 .

Lời giải
Chọn A.
Công thức số hạng tổng quát của khai triển nhị thức Niu – tơn.
Câu 192. [1D2-1] Số cách sắp xếp 4 nam sinh và 3 nữ sinh vào một dãy ghế hàng ngang có 7 chỗ ngồi
là
TỐN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 2/54 – 1D2


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2018
A. 7! .

1500 CÂU TRẮC NGHIỆM TOÁN 11

B. 4!.3!.

C. 12! .

D. 4! 3! .

Lời giải
Chọn A.
Số cách sắp xếp 7 học sinh vào dãy ghế hang ngang có 7! .
Câu 193. [1D2-1] Từ các chữ số 1 , 5 , 6 , 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác

nhau?
A. 20 .
B. 14
C. 24 .
D. 36 .
Lời giải
Chọn C.
Gọi số tự nhiên cần tìm là abcd
a có 4 cách chọn
b có 3 cách chọn
c có 2 cách chọn
d có 1 cách chọn
Theo quy tắc nhân lập được 24 số thỏa đề bài.
Câu 194. [1D2-1] Số hốn vị Pn  720 thì n có giá trị là
A. 5 .

B. 6 .

C. 4 .
Lời giải

D. 3 .

Chọn B.
Ta có 6!  720  P6  720 nên n  6 .
Câu 195. [1D2-1] Gieo ngẫu nhiên 2 con xúc sắc cân đối đồng chất. Tìm xác suất của biến cố tổng số
chấm suất hiện là 7 .
6
2
5

1
A.
.
B. .
C.
.
D. .
36
9
18
9
Lời giải
Chọn A.
Ta có khơng gian mẫu    i; j  ;1  i; j  6  n     36
Gọi A là biến cố tổng số chấm suất hiện là 7 thì
A  1; 6  ;  2;5  ;  3; 4  ;  4;3 ;  5; 2  ;  6;1  n  A   3
 P  A 

n  A 6
 .
n    36
n

2

Câu 196. [1D2-1] Tìm hệ số của x 7 trong khai triển nhị thức  x 2   , x  0 biết rằng n là số nguyên
x

3
2

3
dương thỏa mãn 4Cn 1  2Cn  An .

A. 14788 .

B. 14784 .

C. 14784 .
Lời giải

D. 14786 .

Chọn B.
Ta cần điều kiện n  3 .
4  n  1 !
2.n !
n!
4Cn31  2Cn2  An3 


3! n  2  ! 2! n  2 !  n  3 !



2
 n  1 n  n  1  n  n  1  n  n  1 n  2 
3

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 3/54 – 1D2


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2018

1500 CÂU TRẮC NGHIỆM TOÁN 11

n  0
 n  n  111  n   0   n  1

 n  11
n

2

Kết hợp với điều kiện ta có n  11 , khi đó số hạng tổng quát trong khai triển  x 2   là
x

k
11

C

2 11 k

x 

k

k

 2
k 22 3 k
     2  C11 x
x



5

Hệ số của x 7 tương ứng với 22  3k  7  k  5 là  2  C115  14784 .
Câu 197. [1D2-1] A52 là kí hiệu của:
A. Số các tổ hợp chập 2 của 5 phần tử.
C. Số các hoán vị của 5 phần tử.

B. Số các chỉnh hợp chập 2 của 5 phần tử.
D. Một đáp án khác.
Lời giải

Chọn B.
Câu 198. [1D2-1] Một tổ học sinh có 12 học sinh, cần chọn ra 4 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn
A. 495 .
B. 12 4 .
C. 412 .
D. 11880 .
Lời giải
Chọn A.
Chọn ra 4 học sinh từ 12 học sinh có C124  495 cách.
Câu 199. [1D2-1] Tập hợp A có 20 phần tử. Số tập con gồm 4 phần tử của tập A là
A. 420 .
B. 20 4 .

C. 116280 .
D. 4845 .
Lời giải
Chọn D.
Lấy ra 4 phần tử từ 20 phần tử có C204  4845 cách.
Câu 200. [1D2-1] Số cách xếp 5 học sinh vào một bàn dài có 5 chỗ là:
A. 20 .
B. 5! .
C. 55 .
Lời giải
Chọn B.
Xếp 5 học sinh vào 5 vị trí có 5! cách.

D. 4! .

Câu 201. [1D2-1] Có bao nhiêu cách xếp 42 học sinh của một lớp thành một hàng dọc?
A. 40! .
B. 2.42! .
C. 21! .
D. 42! .
Lời giải
Chọn D.
Số cách xếp 42 học sinh thành một hàng dọc chính là số hốn vị của 42! phần tử nên số cách
xếp là: 42! (cách).
Câu 202. [1D2-1] Lớp A có 45 học sinh. Để đẩy mạnh phong trào học tập của lớp, lớp tổ chức hai nhóm
học tập là nhóm Tốn và nhóm Tiếng Anh. Có 28 bạn tham gia nhóm Tốn, 15 bạn tham gia
nhóm tiếng Anh và 10 bạn khơng tham gia vào nhóm nào. Hỏi có bao nhiêu bạn tham gia cả
hai nhóm:
A. 12 .
B. 8 .

C. 2 .
D. 0 .
Lời giải
Chọn B.
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 4/54 – 1D2


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2018

1500 CÂU TRẮC NGHIỆM TỐN 11

Số bạn tham gia vào ít nhất một trong hai nhóm là: 45  10  35 (bạn).
Số bạn tham cả hai nhóm là: 28  15  35  8 (bạn).
Câu 203. [1D2-1] Nếu bốn số hạng đầu của 1 hàng trong tam giác Pascal được ghi lại là: 1 16 120 560 .
Khi đó bốn số hạng đầu của hàng kế tiếp là:
A. 1 16 2312 67200 .
B. 1 17 2312 67200
C. 1 17 126 680 .
D. 1 17 136 680 .
. Lời giải
Chọn D.
Vì 1  16  17, 16  120  136, 120  560  680
Câu 204. [1D2-1] Gieo 3 đồng tiền khác nhau là một phép thử ngẫu nhiên có không gian mẫu là:
A.  NN , NS , SN , SS  .
B.  NNN , SSS , NNS , SSN , NSN , SNS  .
C.  NNN , SSS , NNS , SSN , NSN , SNS , NSS , SNN  .
D.  NNN , SSS , NNS , SSN , NSN , NSS , SNN  .
Lời giải

Chọn C.
Gieo 3 đồng tiền khác nhau là một phép thử ngẫu nhiên có số phần tử của không gian mẫu là:
23  8 .
Câu 205. [1D2-2] Trong mặt phẳng cho 6 đường thẳng a1 , a2 ,..., a6 đôi một song song và 8 đường
thẳng b1 , b2 ,..., b8 đội một song song. Biết rằng mỗi đường thẳng ai đều cắt đường thẳng bj
( i  1, 2,..., 6; j  1, 2,...,8 ). Hỏi có bao nhiêu hình bình hành có các đỉnh là các giao điểm của
các đường thẳng ai với đường thẳng bj ( i  1, 2,..., 6; j  1, 2,...,8 ), đồng thời các cạnh của
hình bình hành nằm trên các đường thẳng trong 14 đường thẳng đã cho?
A. 1680.
B. 24024.
C. 420.
D. 1001.
Lời giải
Chọn C.
Mỗi hình bình hành được tạo thành bởi hai cạnh ai và hai cạnh bi  i  1, 2,..., 6; j  1, 2,...,8 
Số các hình bình hành là C62 .C82  420
Câu 206. [1D2-2] Bạn Anh muốn qua nhà bạn Bình để rủ Bình đến nhà bạn Châu chơi. Từ nhà Anh đến
nhà Bình có 3 con đường. Từ nhà Bình đến nhà Châu có 5 con đường. Hỏi bạn Anh có bao
nhiêu cách chọn đường đi từ nhà mình đến nhà bạn Châu.
A. 4.
B. 15.
C. 8.
D. 6.
Lời giải
Chọn B.
Số cách chọn đường đi từ nhà bạn Anh đến nhà bạn Châu, qua nhà bạn Bình là một quy tắc
nhân Từ nhà Anh đến nhà Bình có 3 con đường. Từ nhà Bình đến nhà Châu có 5 con đường
Vậy có 3.5  15 cách chọn đường đi.
Câu 207. [1D2-2] Tìm giá trị của n biết Cn2  66 .
A. n  11 .

B. n  10 .

C. n  12 .
Lời giải

D. n  13 .

Chọn C.
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 5/54 – 1D2


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2018

1500 CÂU TRẮC NGHIỆM TOÁN 11

n  
Điều kiện 
.
n  2
Cn2  66 

 n  12
n!
 66  n  n  1  132  n 2  n  132  0  
n  12 .
 n  2 !2!
 n  11

Câu 208. [1D2-2] Tìm giá trị của n biết Cn0  Cn1  Cn2  ...  Cnn 1  1023 .
A. n  10 .

B. n  9 .

C. n  11 .
Lời giải

D. n  12 .

Chọn A.
n

Cn0  Cn1  Cn2  ...  Cnn 1  1023  Cn0  Cn1  Cn2  ...  Cnn 1  Cnn  1024  1  1  1024

 2n  210  n  10 .
Câu 209. [1D2-2] Bạn Toàn muốn đặt mật khẩu cho chiếc điện thoại của mình. Mỗi mật khẩu điện thoại
của bạn Toàn là một dãy gồm 4 ký tự, mỗi ký tự là một chữ số (từ 0 đến 9 ). Hỏi bạn Tồn có
bao nhiêu cách đặt mật khẩu cho chiếc điện thoại.
A. 2016 .
B. 5040 .
C. 10000 .
D. 9000 .
Lời giải
Chọn C.
Mỗi mật khẩu điện thoại của bạn Toàn là một dãy gồm 4 ký tự, mỗi ký tự là một chữ số (từ 0
đến 9 ) nên số cách đặt mật khẩu của bạn Tồn là 104  10000 .
12

3

Câu 210. [1D2-2] Tính hệ số của x trong khai triển  x   , x  0.
x

A. 192456 .
B. 1732104 .
C. 1732104 .
Lời giải
Chọn C.
2

D. 192456 .

12

12
k
3
12 k

x


C12k x12 k  3  x 1 



x


k 0
12

12  k

  C12k  3

x12 2 k

k 0

Theo bài ra ta có: 12  k  2  k  5
12 5

hệ số của x 2 là C125  3

 1732104 .

Câu 211. [1D2-2] Một đồn tàu có bảy toa đỗ ở sân ga. Có năm hành khách bước lên tàu. Có bao nhiêu
trường hợp có thể xảy ra về cách chọn toa tàu của năm hành khách, biết rằng khơng có toa nào
chứa nhiều hơn một hành khách?
A. 2520 .
B. 78125 .
C. 16807 .
D. 21
Lời giải
Chọn A.
Khơng có toa nào chứa nhiều hơn một hành khách nên ta làm như sau:
- Chọn 5 toa tàu trong số 7 toa tàu ta có: C75 cách chọn.
- Sắp thứ tự cho 5 hành khách lên 5 toa tàu đã chọn ta có 5! =120 cách.

- Vậy số cách chọn toa tàu của 5 khách là 120.C75  2520 cách.
Câu 212. [1D2-2] Từ các chữ số 0 , 1, 2 , 3 , 5 , 8 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên lẻ có bốn chữ số
đơi một khác nhau và phải có mặt chữ số 3 .
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 6/54 – 1D2


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2018
A. 144 số.

B. 108 số.

1500 CÂU TRẮC NGHIỆM TOÁN 11
C. 228 số.
Lời giải

D. 36 số.

Chọn B.
Gọi số cần tìm là abcd .
Từ các chữ số 0 , 1, 2 , 3 , 5 , 8 ta có:
Số số tự nhiên lẻ có bốn chữ số đôi một khác nhau là
Chọn d  1;3;5 có 3 cách.
Chọn a  0;1; 2;3;5;8 \ d ;0 có 4 cách.
Hai vị trí cịn lại có: A42 cách.
Vậy có 3.4. A42  144 số.
Số số tự nhiên lẻ có bốn chữ số đơi một khác nhau và khơng có chữ số 3 là
Chọn d  1;5 có 2 cách.
Chọn a  0;1; 2;5;8 \ d ;0 có 3 cách.

Hai vị trí cịn lại có: A32 cách.
Vậy có 2.3. A32  36 số.
Suy ra số số tự nhiên lẻ có bốn chữ số đơi một khác nhau và có chữ số 3 là 144  36  108 số.
Câu 213. [1D2-2] Trong không gian cho 6 điểm phân biệt, trong đó khơng có 3 điểm nào thẳng hàng và
cũng khơng có 4 điểm nào đồng phẳng. Hỏi có bao nhiêu tứ diện có 4 đỉnh thuộc các điểm đã
cho.
A. 720 .
B. 240 .
C. 30 .
D. 15 .
Lời giải
Chọn D.
Với 4 bất kỳ trong 6 điểm phân biệt đã cho tạo thành một tứ diện.
Vậy có C64  15 tứ diện.
Câu 214. [1D2-2] Xếp ngẫu nhiên 11 học sinh gồm 7 nữ và 4 nam thành một hàng dọc. Tìm xác suất
để khơng có hai học sinh nam nào đứng kề nhau.
1
7
1
7
A. P 
.
B. P 
.
C. P  .
D. P 
.
22
792
33

330
Lời giải
Chọn C.
Số cách xếp bất kỳ 11 học sinh là 11!  n     11!
Số cách xếp 7 bạn nữ là 7!
Số cách xếp xen kẽ 4 bạn nam vào 8 vị trí là A84 

8!
4!

7!.8!
4!
n  A  7!.8! 7
Xác suất cần tìm là P  A  

 .
n    11!.4! 33
Gọi A là biến cố cần tìm thì n  A 

Câu 215. [1D2-2] Cho khai triển

x

3

n

 3x 2  4   a0  a1 x    a3 n x3 n . Biết a0  a1    a3n  4096 ,

tìm a2 ?

TỐN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 7/54 – 1D2


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2018
A. a2  7.2 21 .

B. a2  9.224 .

1500 CÂU TRẮC NGHIỆM TOÁN 11
C. a2  3.223 .

D. a2  5.222 .

Lời giải
Chọn B.
n

Ta có  x 3  3x 2  4   a0  a1 x    a3 n x3 n . Chọn x  1 , ta được
2n  a0  a1    a3 n  4096  n  12 .
k

i

i

Khi đó Tk 1  C12k 412 k  x3  3x 2   C12k 412 k Cki x 3k 3i  3 x 2i  C12k 412 k Cki  3  x 3k i .
i  1
Nên 3k  i  2  

.
k  1
1

Vậy a2  C121 412 1 C11  3  9.224 .
Câu 216. [1D2-2] Trong trận bán kết U23 châu Á giữa Việt Nam và Qatar, đội tuyển Qatar chọn 5 cầu
thủ sút luân lưu. Biết xác suất sút thành công của các cầu thủ này đều là 90% . Tìm xác suất để
có đúng hai cầu thủ sút hỏng.
A. 0, 0729 .
B. 0, 0081 .
C. 0,00729 .
D. 0,00081 .
Lời giải
Chọn A.
2

3

P  C52 .10%  . 90%   0, 0729 .
Câu 217. [1D2-2] Tổng C150 21530  C151 214 31  C152 21332  ...  C1515 315 bằng
A. 315 .

B. 515 .

C. 215 .
Lời giải

D. 715 .

Chọn B.

15

Xét khai triển  a  b   C150 a15b 0  C151 a14b1  C152 a13b 2  ...  C1515b15 .
Với a  2 , b  3 ta có 515  C150 21530  C151 21431  C152 21332  ...  C1515 315 .
Câu 218. [1D2-2] Có tất cả bao nhiêu giá trị của n   thỏa mãn Pn An2  72  6  An2  2 Pn  ?
A. 1.

B. 0 .

C. 3 .
Lời giải

D. 2 .

Chọn A.

Pn An2  72  6  An2  2 Pn   n !

 n!

n!
 72  6 
 2 n !
  n  2 !

 n  2 !



 n !.n  n  1  72  6n  n  1  12n !

 n !  n  n  1  12   6  n  n  1  12 
 n!  6  n  3 .
Vậy có 1 giá trị của n   thỏa mãn.

Câu 219. [1D2-2] Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số thỏa mãn các chữ số của nó khác nhau đôi một
và các chữ số đều là số chẵn?
A. 44 .
B. 50 .
C. 46 .
D. 48 .
Lời giải
Chọn D.
Gọi abc là số tự nhiên có 3 chữ số thỏa mãn đề bài, khi đó a, b, c  0; 2; 4; 6;8
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 8/54 – 1D2


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2018

1500 CÂU TRẮC NGHIỆM TỐN 11

a có 4 cách chọn, b có 4 cách chọn, c có 3 cách chọn. Vậy có 4.4.3  48 số thỏa mãn đề bài
12

1 

Câu 220. [1D2-2] Tìm số hạng khơng chứa x trong khai triển nhị thức Newton của  2x  2  .
x 


4
4
4
6
4
8
4
A. C12 .
B. 2 .C12 .
C. 2 .C12 .
D. 2 .C12 .

Lời giải
Chọn D.
12

1 

Số hạng tổng quát khi khai triển  2x  2  là
x 

k

 1 
Tk 1  C  2 x   2   C12k 212 k x123k
x 
Số hạng không chứa x tương ứng là 12  3k  0  k  4
Nên hệ số của số hạng không chứa x là C124 28 .
k

12

12 k

Câu 221. [1D2-2] Có hai bể bơi A và B được xây với thể tích bằng nhau nhưng hệ thống lắp các vòi bơm
nước vào hai bể này khác nhau. Giả sử bể A có tốc độ bơm nước vào là 100 m3 /h ( tức là cứ
sau 1h thì tăng thêm 100 m3 nước), cịn bể B thì được khóa tất cả các van chỉ để lại một vịi
bơm nước vào có tốc độ chảy là 1 m3 /h . Biết rằng ban đầu trong bể B đã có sẵn 100 m3 cịn bể
A chưa có nước thì sau a  h  lượng nước trong hai bể sẽ bằng nhau. Khi đó
 1001 
A. a  1;
.
 1000 

 102 
B. a  1;
.
 100 

 101 
C. a  1;
.
 100 
Lời giải

 99 
D. a  
;1 .
100 

Chọn B.
Gọi a là thời gian lượng nước 2 hồ bằng nhau
Lượng nước hồ A là 100a
Lượng nước hồ B là 100  a
100
Từ giả thiết ta có 100a  100  a  a 
.
99
Câu 222. [1D2-2] Cho A  0;1; 2;3; 4;5; 6; 7 . Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5
chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 5 .
A. 120 .
B. 56 .
C. 1560 .
Lời giải
Chọn C.

D. 6720 .

Gọi abcde số cần tìm.
e  0 chọn abcd có A74 cách.
e  5 chọn abcd có 6.A63 cách.

Vậy có: A74  6. A63  1560 số cần tìm.
Câu 223. [1D2-2] Đội tuyển U23 Việt Nam tham dự giải U23 Châu Á gồm 2 thủ môn và 28 cầu thủ
(hậu vệ, trung vệ, tiền vệ và tiền đạo). Trong số 28 cầu thủ có Quang Hải và Cơng Phượng.
Huấn luyện viên Park Hang Seo có bao nhiêu cách chọn một đội hình ra sân gồm 11 người sao
cho Quang Hải và Công Phượng chắc chắn có mặt?
10
11
9

8
A. C21 .C26
.
B. C30
.
C. C21 .C26
.
D. C21 .C26
.
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 9/54 – 1D2


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2018

1500 CÂU TRẮC NGHIỆM TỐN 11

Lời giải
Chọn D.
Vì Quang Hải và Cơng Phượng chắc chắn có mặt nên chọn 1 thủ mơn và 8 cầu thủ để đủ đội
8
hình ra sân có: C21 .C26
cách chọn.

5 2
An2  0 có bao nhiêu nghiệm?
4
C. 6 .
D. Vơ số.

Lời giải

Câu 224. [1D2-2] Bất phương trình Cn41  Cn31 
A. 11 .

B. 13 .

Chọn C.

n  5
Điều kiện: 
.
*
n  
Ta có: Cn41  Cn31 



5 2
 n  1!   n  1!  5.  n  2 !  0
An2  0 
4
4!.  n  5  ! 3!.  n  4  ! 4.  n  4  !

 n  1 n  4   4  n  1  30  0  n 2  9n  22  0
n 1
n 1
5



0 
24 6  n  4  4  n  4 
24  n  4 
24  n  4 

 n  2
. Kết hợp điệu kiện suy ra n  5;6;7;8;9;10 .

 4  n  11
Câu 225. [1D2-2] Sắp xếp năm bạn học sinh An, Bình, Chi, Dũng, Lệ vào một chiếc ghế dài có 5 chỗ
ngồi. Số cách sắp xếp sao cho bạn Chi luôn ngồi chính giữa là
A. 16 .
B. 60 .
C. 24 .
D. 120 .
Lời giải
Chọn C.
Xếp bạn Chi ln ngồi chính giữa: có 1 cách.
Xếp bốn bạn cịn lại vào bốn vị trí cịn lại: có 4! cách.
Vậy: có 1.4!  24 cách.
Câu 226. [1D2-2] Một hộp chứa chín chiếc thẻ được đánh số từ 1 đến 9 . Lấy ngẫu nhiên (đồng thời) hai
thẻ. Số phần tử của không gian mẫu là
A. 81 .
B. 9 .
C. 36 .
D. 72 .
Lời giải
Chọn C.
Lấy ngẫu nhiên (đồng thời) hai thẻ trong chín thẻ có: C92  36 cách.
Vậy số phần tử của khơng gian mẫu là C92  36 .

Câu 227. [1D2-2] Cho A  1; 2;3;5; 7 . Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm ba chữ số
đôi một khác nhau?
A. 24 .

B. 10 .

C. 125 .
Lời giải

D. 60 .

Chọn D.
Số các số tự nhiên gồm ba chữ số đôi một khác nhau được lập từ tập A là A53  60 số.
Vậy có: 60 số cần tìm.
Câu 228. [1D2-2] Sắp xếp 6 nam sinh và 4 nữ sinh vào một dãy ghế hàng ngang có 10 chỗ ngồi. Hỏi
có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho các nữ sinh luôn ngồi cạnh nhau?
A. 207360 .
B. 17280 .
C. 120960 .
D. 34560 .
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 10/54 – 1D2


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2018

1500 CÂU TRẮC NGHIỆM TOÁN 11
Lời giải

Chọn C.
Coi 4 nữ sinh là X .
Số cách sắp xếp X và nam sinh là 7! .
Số cách sắp xếp 4 nữ sinh trong X là 4!
Số cách sắp xếp sao cho các nữ sinh luôn ngồi cạnh nhau: 7!.4!  120960 .
Câu 229. [1D2-2] Từ một hộp đựng 30 thẻ được đánh số từ 1 đến 30 , rút ngẫu nhiên 10 thẻ. Gọi A là
biến cố rút được 5 thẻ đánh số lẻ, 5 thẻ đánh số chẵn và có đúng hai thẻ có số chia hết cho 10 .
Tìm số phần tử của A .
A. C133 .C155 .
B. 3.C133 .C155 .
C. 3.C123 .C155 .
D. C123 .C155 .
Lời giải
Chọn C.
Chọn 3 thẻ chia hết cho 10 từ các số 10; 20;30 có C32 cách chọn.
Chọn 3 thẻ chẵn nhưng không chia hết cho 10 có C123 cách chọn.
Chọn 5 thẻ lẻ có C155
Suy ra có 3.C123 .C155 cách chọn số phần tử của A .
Câu 230. [1D2-2] Cho hai đường thẳng song song d1 , d 2 . Trên d1 lấy 5 điểm phân biệt tô màu xanh,
trên d 2 lấy 8 điểm phân biệt tô màu đỏ. Xét tất cả các tam giác có đỉnh lấy từ các điểm trên.
Chọn ngẫu nhiên một tam giác. Tính xác suất để tam giác được chọn có đúng hai đỉnh màu
xanh.
5
5
7
4
A.
.
B.
.

C.
.
D.
.
11
143
11
11
Lời giải
Chọn D.
Số cách chọn tam giác có đỉnh lấy từ các điểm trên là n     C51C82  C52C81  220
A : Biến cố tam giác được chọn có đúng hai đỉnh màu xanh
Ta có n  A   C52 C81  80

Suy ra P  A  

n  A  80
4

 .
n    220 11

Câu 231. [1D2-2] Đội học sinh giỏi cấp trường môn Tiếng Anh của trường THPT chuyên Vĩnh Phúc
gồm 8 học sinh khối 10 , 8 học sinh khối 11 và 8 học sinh khối 12 . Nhà trường cần chọn 10
học sinh tham gia câu lạc bộ tiếng Anh của trường. Tính số cách chọn sao cho có học sinh cả
ba khối và có nhiều nhất 2 học sinh khối 10 .
A. 1961256 .
B. 451824 .
C. 451880 .
D. 459888 .

Lời giải
Chọn B.
Chọn sao cho có học sinh cả ba khối và có nhiều nhất 2 học sinh khối 10 có các khả năng sau.
TH1: Có 1 học sinh khối 10 .
Số cách chọn trong trường hợp này là C81.C169  91520 .
TH2: Có 2 học sinh khối 10 .
Số cách chọn trong trường hợp này là C82 .  C168  2.C88   360304 .
Vậy áp dụng quy tắc cộng ta có 91520  360304  451824 .
TỐN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 11/54 – 1D2


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2018

1500 CÂU TRẮC NGHIỆM TỐN 11

Câu 232. [1D2-2] Có 3 xạ thủ bắn độc lập vào bia. Xác suất bắn trúng của mỗi xạ thủ lần lượt là 0,6 ;
0,8 và 0,9 . Tính xác suất để trong 3 xạ thủ có đúng 2 xạ thủ bắn trúng bia.
A. 0, 568 .

B. 0,876 .

C. 0, 7 .

D. 0, 444 .

Lời giải
Chọn D.
Gọi Ai với i  1, 2,3 là các biến cố xạ thủ thứ i bắn trúng bia.

Theo giả thiết, ta có P  A1   0, 6 ; P  A2   0,8 ; P  A1   0,9 .
Khi đó, xác suất để trong 3 xạ thủ có đúng 2 xạ thủ bắn trúng bia là

 

 

 

P  P  A1  .P  A2  .P A3  P  A1  .P A2 .P  A3   P A1 .P  A2  .P  A3 
 P  0, 6.0,8.0,1  0, 6.0, 2.0, 9  0, 4.0,8.0,9  0, 444 .
9

Câu 233. [1D2-2] Hệ số của x 7 trong khai triển  4  x  là
A. 9C97 .

B. 16C97 .

C. 9C97 .

D. 16C97 .

Lời giải
Chọn D.
k

Số hạng tổng quát của khai triển: C9k  1 49k x k
Ta có x k  x 7  k  7 .
Hệ số trước x 7 là C97 42 .
Câu 234. [1D2-2] Từ các chữ số 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5 lập được bao nhiêu số gồm có 4 chữ số khác nhau và

khơng chia hết cho 5 ?
A. 54 .
B. 120 .
C. 69 .
D. 72 .
Lời giải
Chọn A.
Gọi số cần tìm là abcd với a  0 , a  b  c  d .
d  1; 2;3  d có 3 cách chọn.
a  0 và a  d , nên a có 3 cách chọn.
Chọn b và c có A32 cách chọn.

Vậy cách 3.3. A32  54 cách.
Câu 235. [1D2-2] Giải bóng đá ngoại hạng Anh có 20 đội bóng tham gia thi đấu vịng trịn 2 lượt. Hỏi
có bao nhiêu trận đấu sẽ được tổ chức?
A. 40 .
B. 190 .
C. 380 .
D. 400 .
Lời giải
Chọn C.
Cứ hai đội gặp nhau cho ta một trận đấu nên số trận đấu một lượt là C202 .
Số trận đấu hai lượt là C202 .2  380 trận.
Câu 236. [1D2-2] Trong 1 hộp đựng 4 viên bi đỏ và 3 viên bi xanh.lấy ngẫu nhiên ra 2 viên. Có bao
nhiêu cách lấy ra 2 viên cùng màu?
A. 7 .
B. 6 .
C. 9 .
D. 3 .
Lời giải

Chọn C.
Nếu lấy 2 viên có cùng màu đỏ thì có. C42  6
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 12/54 – 1D2


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2018

1500 CÂU TRẮC NGHIỆM TỐN 11

Nếu lấy 2 viên có cùng màu xanh thì có C32  3 .
Vậy có C42  C32  6  3  9 .
1
2
2016
Câu 237. [1D2-2] Tổng C2017
 C2017
 ...  C2017
bằng

A. 22017  1 .

B. 22016  1 .

C. 22017  1 .
Lời giải

D. 22017  2 .

Chọn D.
Xét tổng  x  1

2017

2017
k
  C2017
x k  1  1

2017

0
1
2
2016
2017
 C2017
 C2017
 C2017
 ...  C2017
 C2017

k 0

2

2017

 1 C

1
2017

2
2016
 C2017
 ...  C2017
1

1
2
2016
 2 2017  2  C2017
 C2017
 ...  C2017
.

12

Câu 238. [1D2-2] Số hạng thứ 6 trong khai triển 1  3x  theo lũy thừa tăng dần của x .
5

B. C125 .  3 .x 5 .

A. C125 .37 .

C. C125 .37.x 6 .

D. C125 .35.x 5 .

Lời giải
Chọn D.
12

12

5

k

Ta có: 1  3x    C12k  3 x k . Số hạng thứ 6 ứng với k  5 là C125  3 .x 5 .
k 0

Câu 239. [1D2-2] Lớp 11A1 có 42 học sinh gồm 25 nam và 17 nữ. Chọn ngẫu nhiên 3 bạn đi dự đại
hội đồn trường. Tính xác suất để có ít nhất 1 bạn trong 3 bạn là nữ.
179
459
115
1
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
294
574

574
294
Lời giải
Chọn B.
3
Số phần tử không gian mẫu n     C42
.
2
1
Chọn 3 bạn mà có ít nhất 1 bạn nữ có: C171 .C25
 C172 .C25
 C173  9180 cách.

Vậy xác suất để có ít nhất 1 bạn trong 3 bạn là nữ là

9180 459
.

3
C42
574

Câu 240. [1D2-2] Tính giá trị của tổng S  C60  C61  ..  C66 bằng
A. 72 .

B. 48 .

C. 64 .

D. 100 .

Lời giải
Chọn C.
S  C60  C61  ..  C66  26  64 .
10

Câu 241. [1D2-2] Trong khai triển  2 x  1 , hệ số của số hạng chứa x8 là
A. 11520 .

B. 11520 .

C. 45 .
Lời giải

D. 256 .

Chọn A.
10

10

10  k

Ta có  2 x  1   C10k .  2 x 
k 0

k

10

k

.  1   C10k .210  k.  1 .x10 k .
k 0

8

Xét x , tức là 10  k  8  k  2 .
2

Vậy hệ số của số hạng chứa x8 là C102 .210  2. 1  11520 .
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 13/54 – 1D2


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2018

1500 CÂU TRẮC NGHIỆM TỐN 11

Câu 242. [1D2-2] Có bao nhiêu số tự nhiên n thỏa mãn An3  5 An2  2  n  15 .
A. 3 .

B. 0 .

C. 2 .
Lời giải

D. 1 .

Chọn D.
Xét phương trình An3  5 An2  2  n  15  n  3, n   



n!
n!
5
 2  n  15   n  n  1 n  2   5n  n  1  2  n  15 
 n  3 !  n  2  !

 n3  2n 2  5n  30  0  n  3 .
Câu 243. [1D2-2] Từ các chữ số 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có
3 chữ số đơi một khác nhau?
A. 56 .
B. 126 .
C. 504 .
D. 336 .
Lời giải
Chọn B.
Gọi số cần tìm dạng ABC . Khi đó: C có 3 cách chọn (số chẵn).
Chọn A và B có A72  42 cách.
Vậy có 3.42  126 cách chọn số thỏa yêu cầu đề.
Câu 244. [1D2-2] Có 6 học sinh và 2 thầy giáo được xếp thành hàng ngang. Hỏi có bao nhiêu cách xếp
sao cho hai thầy giáo không đứng cạnh nhau?
A. 1440 cách.
B. 40320 cách.
C. 30240 cách.
D. 720 cách.
Lời giải

Chọn C.
+ Xếp 6 học sinh theo hàng ngang. Khi đó giữa chúng có 7 khoảng trống.
+ Ta chọn 2 trong 7 khoảng trống để xếp hai thầy giáo vào.
Số cách xếp là 6!.C72 .2!  30.240 .
Câu 245. [1D2-2] Một nhóm 6 bạn học sinh cùng học lớp 12 chơi thân nhau (có cả nam và nữ), trong
đó có Vinh và Ngọc. Nhóm bạn dự kiến chụp mấy kiểu hình kỷ niệm trước khi chia tay năm
cuối cấp. Sắp ngẫu nhiên 6 bạn thành một hàng dọc để chụp hình, tính xác suất để hai bạn
Vinh và Ngọc được đứng cạnh nhau?
3
2
1
2
A. .
B. .
C. .
D. .
4
5
3
3
Lời giải
Chọn C.
Số phần tử của không gian mẫu là n     6!
Gọi A là biến cố: ‘‘hai bạn Vinh và Ngọc được đứng cạnh nhau’’
+ Chọn vị trí cho Vinh và Ngọc có 5.2! cách.
+ Xếp các bạn cịn lại có 4! cách.
Theo qui tắc nhân có n  A   5.2!.4!.
Xác suất cần tìm là P  A  

n  A  5.2!.4! 1


 .
n  
6!
3

Câu 246. [1D2-2] Cho đa giác đều có n đỉnh n  2 , n   . Tìm n biết rằng đa giác có 135 đường chéo.
A. 27 .
B. 16 .
C. 15 .
D. 18 .
Lời giải
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 14/54 – 1D2


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2018

1500 CÂU TRẮC NGHIỆM TOÁN 11

Chọn D.
Số đường chéo của đa giác n cạnh: Cn2  n  135 .



 n  1 n  n  135  n2  3n  270  0  n  18
n!
 n  135 


.
2! n  2  !
2
 n  15  l 

Câu 247. [1D2-2] Lớp 11A có 2 tổ. Tổ một có 5 bạn nam, 3 bạn nữ và tổ hai có 4 bạn nam, 4 bạn nữ.
Lấy ngẫu nhiên mỗi tổ 2 bạn đi lao động. Tính xác suất để lấy ra đúng 3 bạn nữ.
1
69
1
9
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
14
392
364
52
Lời giải
Chọn B.
Số phần tử không gian mẫu: n     C82 .C82  784 phần tử.
Gọi A là biến cố: “ lấy ra đúng 3 bạn nữ ”.
Trường hợp 1 : Chọn 2 nữ từ tổ một và 1 nữ từ tổ hai, có C32 .C41 .C41  48 cách.
Trường hợp 2 : Chọn 1 nữ từ tổ một và 2 nữ từ tổ hai, có C31.C51 .C42  90 cách.
Suy ra n  A   48  90  138 phần tử.

Xác suất: P  A  

n  A  138 69


.
n    784 392

Câu 248. [1D2-2] Chọn ngẫu nhiên 4 quân bài trong cỗ bài tú lơ khơ gồm 52 quân bài. Tính xác suất để
4 quân bài được chọn cùng chất.
2197
44
4
4
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
20852
4165
20852
4165
Lời giải
Chọn B.
Số phần tử không gian mẫu: n     C524  270725 phần tử.
Gọi A là biến cố: “ chọn được 4 quân bài đồng chất ”.

Bộ bài có 4 chất: cơ, rơ, chuồn, bích, mỗi chất có 13 lá. Do đó n  A   4.C134  2860 phần tử.
Xác suất: P  A  

n  A
2860
44


.
n    270725 4165

Câu 249. [1D2-2] Từ tỉnh A đến tỉnh B có thể đi bằng ơ tơ, tàu hỏa, tàu thủy hoặc máy bay. Từ tỉnh B
đến tỉnh C có thể đi bằng ơ tơ hoặc tàu hỏa. Biết rằng muốn đi từ tỉnh A đến tỉnh C bắt buộc
phải đi qua tỉnh B . Số cách đi từ tỉnh A đến tỉnh C là
A. 8 cách.
B. 5 cách.
C. 6 cách.
D. 16 cách.
Lời giải
Chọn A.
Số cách đi từ tỉnh A đến tỉnh B là 4 cách.
Số cách đi từ tỉnh B đến tỉnh C là 2 cách.
Suy ra số cách đi từ tỉnh A đến tỉnh C là 4.2  8 cách.
Câu 250. [1D2-2] Số các tập con (kể cả tập rỗng) của một tập hợp có n phần tử là
A. 2n  1 .
B. 2n .
C. 2n .
D. 2n  1 .
Lời giải
Chọn C.

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 15/54 – 1D2


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2018

1500 CÂU TRẮC NGHIỆM TOÁN 11

Số tập hợp con chứa 1 phần tử là Cn1 tập hợp.
Số tập hợp con chứa 2 phần tử là Cn2 tập hợp.
...
Số tập hợp con chứa  n  1 phần tử là Cnn 1 tập hợp.
Số tập hợp con chứa n phần tử là Cnn phần tử.
Tập rỗng cũng là một tập hợp con.
Ta có tổng số tập hợp con là S  Cn1  Cn2  ...  Cnn 1  Cnn  1
n

 S  Cn0  Cn1  Cn2  ...  Cnn1  Cnn  1  1  2n .
Vậy số tập hợp con của tập hợp chứa n phần tử là 2n .



Câu 251. [1D2-2] Hệ số của x9 trong khai triển 1  3x
A. 437580 3 .

B. 3938220 3 .

18



là

C. 437580 3 .
Lời giải

D. 3938220 3 .

Chọn D.



Tk 1  C18k 118 k .  3x



k





k

 C18k  3 .x k .

Hệ số của x9 ứng với k  9 .



Vậy hệ số của x9 trong khai triển 1  3x
Câu 252. [1D2-2] Số nguyên dương n thỏa mãn
A. 10 .

18





là C189  3



9

 3938220 3 .

2
14 1
 3  là
2
Cn 3Cn n

B. 9 .

C. 8 .
Lời giải

D. 7 .

Chọn B.
2  n  2  !.2! 14.  n  3!.3! 1
2
14 1
4
28
1

 


 3 
2
n!
3.n !
n
n  n  1 n  n  1 n  2  n
Cn 3Cn n
n  9
 4  n  2   28   n  1 n  2   n 2  7 n  18  0  
mà n  * nên n  9 .
 n  2
Câu 253. [1D2-2] Cho đa giác đều có 14 đỉnh. Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh trong 14 đỉnh của đa giác. Tính
xác suất để 3 đỉnh được chọn là 3 đỉnh của một tam giác vuông.
4
3
5
2

A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
13
13
13
13
Lời giải
Chọn B.
Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh trong 14 đỉnh của đa giác  n     C143  364 .
Gọi A là biến cố: ‘‘ 3 đỉnh được chọn là 3 đỉnh của tam giác vng’’
Chọn một đường chéo đi qua tâm, có 7 cách chọn.
Tương ứng với mỗi đường kính ấy, mỗi đỉnh cịn lại sẽ tạo với đường kính một tam giác vng.
Khi đó, số tam giác vng được tạo ra là 7.C121  84  n  A   84 .
Vậy xác suất cần tính là P  A  

n  A 3
 .
n    13

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 16/54 – 1D2

TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2018

1500 CÂU TRẮC NGHIỆM TOÁN 11

Câu 254. [1D2-2] Một tổ học sinh có 6 nam và 4 nữ. Chọn ngẫu nhiên 2 người. Tính xác suất sao cho
2 người được chọn đều là nữ.
8
2
7
1
A.
.
B.
.
C.
.
D. .
15
15
15
3
Lời giải
Chọn B.
Chọn 2 học sinh bất kì từ 10 học sinh có C102  45 (cách chọn).
Chọn 2 học sinh nữ từ 4 học sinh nữ có C42  6 (cách chọn).
Vậy xác suất cần tính là P 

6
2
 .

45 15

Câu 255. [1D2-2] Một bình đựng 8 viên bi xanh và 4 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi trong bình.
Xác suất để có được ít nhất hai viên bi xanh là
41
28
42
14
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
55
55
55
55
Lời giải
Chọn C.
Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi trong bình thì số phần tử của không gian mẫu là C123  220 .
Gọi A là biến cố “được ít nhất hai viên bi xanh”.
Ta có số phần tử thuận lợi cho biến cố A là C82 .C41  C83  168 .
Vậy xác suất của A là

168 42

.

220 55

Câu 256. [1D2-2] Một trường THPT có 4 học sinh giỏi tốn là nam, 5 học sinh giỏi văn là nam và 3
học sinh giỏi văn là nữ. Cần chọn 3 em đi dự đại hội ở Tỉnh. Tính xác suất để trong 3 em được
chọn có cả nam lẫn nữ, có cả học sinh giỏi toán và học sinh giỏi văn.
3
3
9
18
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
44
22
22
55
Lời giải
Chọn C.
3
Chọn 3 trong tổng số 12 học sinh: n     C12
 220 .
Trong 3 em được chọn có cả nam lẫn nữ, có cả học sinh giỏi tốn và học sinh giỏi văn:
+ Chọn 1 toán nam, 2 văn nữ: n  A   C14 .C32  12 .
+ Chọn 1 toán nam, 1 văn nam, 1 văn nữ: n  A   C14 .C15 .C31  60 .
+ Chọn 2 toán nam, 1 văn nữ: n  A   C 24 .C31  18 .

 n  A   12  60  18  90 .

 P A 

n  A  90
9


.
n    220 22

Câu 257. [1D2-2] Một hộp có 5 bi đen, 4 bi trắng. Chọn ngẫu nhiên 2 bi. Tính xác suất 2 bi được chọn
có đủ hai màu?
2
5
1
5
A. .
B.
.
C.
.
D. .
9
324
18
9
Lời giải
Chọn D.
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 17/54 – 1D2


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2018

1500 CÂU TRẮC NGHIỆM TỐN 11

Số phần tử khơng gian mẫu n     C92 .
Gọi biến cố A : Chọn 2 bi có đủ 2 màu. Khi đó n  A   4.5  20 .
Vậy P  A 

20 5
 .
C92 9
n

Câu 258. [1D2-2] Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển  a  b  biết tổng các hệ số bằng 4096 .
A. 792 .

B. 462 .

C. 924 .

D. 1716 .

Lời giải
Chọn C.
Chọn a  b  1 ta có 2n  4096  n  12 .
Khi đó ta có: 212  C120  C121  C123  ..........  C1212 .

Hệ số của số hạng thứ 7 là hệ số lớn nhất bằng C126  924 .
2

Câu 259. [1D2-2] Tìm hệ số của x trong khai triển  x 2  x  2   x  1 thành đa thức.
A. 16 .

B. 6 .

C. 8 .
Lời giải

D. 2 .

Chọn C.
Cách 1.
2

Ta có  x 2  x  2   x  1   x 4  x 2  4  2 x3  4 x 2  4 x   x  1  x 5  3 x 4  7 x3  9 x 2  8 x  4 .
Vậy hệ số của x là 8 .
Cách 2.

x

2

 x  2

2

 x  1   x  x  1  2   x  1   x 2  x  1

3

2

2



 4 x  x  1  4  x  1

2

 x 2  x  1  4 x  x  1  4  x  1 .
2

Suy ra hệ số của x trong khai triển chỉ có mặt trong biểu thức 4 x  x  1  4  x  1 .
Vậy hệ số của x là 8 .
Câu 260. [1D2-2] An3  24 thì n có giá trị là
A. 2 .

B. 3 .

C. 5 .
Lời giải

D. 4 .

Chọn D.

An3  24 

n!
 24  n  n  1 n  2   24  n  4 .
 n  3 !

Câu 261. [1D2-2] Cho 10 điểm, khơng có 3 điểm nào thẳng hàng. Có bao nhiêu đường thẳng khác nhau
tạo nên từ 2 trong 10 điểm trên?
A. 90 .
B. 20 .
C. 45 .
D. 30 .
Lời giải
Chọn C.
Mỗi cách lập một đường thẳng là một tổ hợp chập 2 của 10 phần tử. Vậy số đường thẳng có
thể tạo ra là C102  45 .
5

 x 4
Câu 262. [1D2-2] Số hạng thứ ba trong biểu thức khai triển của    là
2 x

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 18/54 – 1D2


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2018
A. 20 .

B. 20x .

1500 CÂU TRẮC NGHIỆM TOÁN 11
D. 20x 2

C. 20x .
Lời giải

Chọn C.
3

2

 x   4 
Số hạng thứ 3: T3  C52      20 x .
2  x 

Câu 263. [1D2-2] Trên giá sách có 4 quyển sách tốn, 3 quyển sách lý, 2 quyển sách hóa. Lấy ngẫu
nhiên 3 quyển sách. Tính xác suất để 3 quyển được lấy ra đều là mơn tốn.
2
1
37
5
A. .
B.
.
C.
.
D.
.

7
21
42
42
Lời giải
Chọn B.
Chọn 3 cuốn tùy ý từ 9 cuốn có n     C93 cách.
Chọn được 3 cuốn đều là tốn có n  A   C43 cách.
Xác suất để 3 quyển được lấy ra đều là mơn tốn là P  A  

n  A  C43 1

 .
n    C93 21

Câu 264. [1D2-2] Có bao nhiêu cách để có thể chọn được 8 em học sinh từ một tổ có 10 học sinh?
A. 90 .
B. 45 .
C. 80 .
D. 100 .
Lời giải
Chọn B.
Chọn 8 em học sinh từ một tổ có 10 em học sinh có C108  45 cách chọn.
Câu 265. [1D2-2] Có ba loại cây và bốn hố trồng cây. Hỏi có mấy cách
một cây và mỗi loại cây phải có ít nhất một cây được trồng.
A. 72 .
B. 12 .
C. 24 .
Lời giải
Chọn A.

Gọi 3 loại cây là A , B , C .
Trường hợp 1: Trồng 2 cây loại A , 1 cây loại B và 1 cây loại C
Trường hợp 2: Trồng 1 cây loại A , 2 cây loại B và 1 cây loại C
Trường hợp 3: Trồng 1 cây loại A , 1 cây loại B và 2 cây loại C
Vậy có 3.4!  72 cách.

trồng cây nếu mỗi hố trồng
D. 36 .

có 4! cách.
có 4! cách.
có 4! cách.

Câu 266. [1D2-2] Một học sinh muốn chọn 20 trong 30 câu trắc nghiệm. Học sinh đó đã chọn được
5 câu. Tìm số cách chọn các câu còn lại.
15
A. A25
.

15
B. C30
.

15
C. C25
.

D. C305 .

Lời giải

Chọn C.
Học sinh đã chọn được 5 câu nên số câu còn chọn là: 20  5  15 câu.
15
Chọn 15 câu trong số 25 câu cịn lại có C25
cách chọn.

Câu 267. [1D2-2] Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 5 .
A. 136 .
B. 128 .
C. 256 .
D. 1458 .
Lời giải
Chọn A.
Gọi số có 3 chữ số đó là abc .
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 19/54 – 1D2


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2018

1500 CÂU TRẮC NGHIỆM TOÁN 11

Trường hợp 1: c  0 : chọn a có 9 cách chọn; chọn b có 8 cách.
Suy ra có 9.8  72 số.
Trường hợp 2: c  5 : chọn a có 8 cách chọn; chọn b có 8 cách.
Suy ra có 8.8  64 số.
Vậy có 72  64  136 số.
Câu 268. [1D2-2] Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số đơi một khác nhau.
A. 7.8.9.9 .

B. A104 .
C. 5040 .

D. C104

Lời giải
Chọn A.
Gọi số có 4 chữ số đó là abcd
Chọn a có 9 cách; chọn b có 9 cách; chọn c có 8 cách; chọn d có 7 cách.
Suy ra có 9.9.8.7 chữ số.
Câu 269. [1D2-2] Từ các chữ số 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có năm
chữ số khác nhau mà mỗi chữ số đều nhỏ hơn 25000 ?
A. 240 .
B. 720 .
C. 360 .
D. 120 .
Lời giải
Chọn C.
 Trường hợp 1: Số cần tìm có dạng 1abcd .
Chọn d có 4 cách; chọn a có 5 cách; chọn b có 4 cách; chọn c có 3 cách.
Suy ra có 4.5.4.3  240 .
 Trường hợp 2: Số cần tìm dạng 20bcd .
Chọn d có 2 cách; chọn b có 4 cách; chọn c có 3 cách;
Suy ra có 2.4.3  24 .
 Trường hợp 3: Số cần tìm dạng 24bcd .
Chọn d có 2 cách; chọn b có 4 cách; chọn c có 3 cách.
Suy ra có 2.4.3  24 .
 Trường hợp 4: Số cần tìm dạng 2abcd .
Chọn d có 3 cách; chọn a có 2 cách; chọn b có 4 cách; chọn c có 3 cách.
Suy ra có 3.2.4.3  72 .

Vậy có 240  24  24  72  360 số.
Câu 270. [1D2-2] Từ các chữ số 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 4
chữ số khác nhau.
A. 420 .
B. 480 .
C. 400 .
D. 192 .
Lời giải
Chọn A.
Số các số tự nhiên chẵn gồm 4 chữ số khác nhau từ các chữ số trên là: 1. A63  3.5.A52  420
Câu 271. [1D2-2] Một hộp chứa 6 quả cầu trắng, 4 quả cầu đen. Có bao nhiêu cách lấy 2 quả cầu từ hộp
đó?
A. 45 .
B. 90 .
C. 24 .
D. 50 .
Lời giải
Chọn A.
Số cách lấy 2 quả cầu từ hộp gồm 10 quả cầu là: C102  45

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 20/54 – 1D2


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2018

1500 CÂU TRẮC NGHIỆM TOÁN 11

Câu 272. [1D2-2] Một hộp chứa 10 quả cầu được đánh số từ 1 đến 10 . Có bao nhiêu cách lấy 2 quả cầu

từ hộp đó sao cho tích hai số ghi trên hai quả cầu là số chẵn?
A. 10 .
B. 24 .
C. 35 .
D. 20 .
Lời giải
Chọn C.
Để lấy 2 quả cầu từ hộp đó sao cho tích hai số ghi trên hai quả cầu là số chẵn xảy ra các trường
hợp:
Trường hợp 1:Một quả cầu chẵn và một quả cầu lẻ
Trường hợp 2: Hai quả chẵn
Số cách lấy 2 quả cầu từ hộp gồm 10 quả cầu sao cho tích hai số ghi trên hai quả cầu là số
chẵn là C51.C51  C52  35 .
Câu 273. [1D2-2] Một hộp chứa 6 quả cầu màu trắng và 4 quả cầu màu đen. Có bao nhiêu cách lấy 2
quả cầu từ hộp đó?
A. 45 .
B. 90 .
C. 24 .
D. 50 .
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Số cách lấy 2 quả cầu từ hộp là: C102  45 (cách).
Câu 274. [1D2-2] Có bao nhiêu cách để chia 10 cuốn vở giống nhau cho 3 em học sinh sao cho mỗi em
có ít nhất 1 cuốn vở?
A. 36 .
B. 72 .
C. 35 .
D. 48 .
Lời giải
Chọn A.

Giả sử 10 cuốn vở được xếp thành một hang ngang, giữa chúng có 9 khoảng trống. Đặt một
cách bất kỳ 2 vạch vào 2 trong số 9 khoảng trống đó, ta được một cách chia 10 đồ vật ra
thành 3 phần để lần lượt tặng cho 3 học sinh. Khi đó mỗi học sinh được ít nhất 1 cuốn vở và
tổng số đồ vật của 3 học sinh bằng 10 thỏa mãn yêu cầu của bài toán.Vậy số cách chia
là C92  36 cách.
Câu 275. [1D2-2] Một hộp chứa 6 quả cầu trắng và 4 quả cầu đen. Có bao nhiêu cách lấy 2 quả cầu
cùng màu từ hộp đó?
A. 20 .
B. 45 .
C. 21 .
D. 24 .
Lời giải
Chọn C.
Trường hợp 1: lấy được hai quả cầu đen C42 .
Trường hợp 2: lấy được hai quả cầu trắng C62 . vậy số cách chọn được hai quả cầu cùng màu là

C62  C42  21 cách.
Câu 276. [1D2-2] Có thể lập được bao nhiêu số điện thoại có 10 chữ số có đầu 098 ?
A. 604800 .
B. 10000000 .
C. 181440 .
D. 4782969 .
Lời giải
Chọn B.
Số cách lập được số điện thoại có 3 chữ số đầu 098 là 107  10000000 số.
Câu 277. [1D2-2] Có 6 quả cầu xanh đánh số từ 1 đến 6 , 5 quả cầu đỏ đánh số từ 1 đến 5 và 4 quả
cầu vàng đánh số từ 1 đến 4 hỏi có bao nhiêu cách lấy ba quả cầu vừa khác màu vừa khác số?
A. 96 .
B. 128 .
C. 64 .

D. 32 .
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 21/54 – 1D2


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2018

1500 CÂU TRẮC NGHIỆM TOÁN 11
Lời giải

Chọn C.
Số cách chọn 3 quả cầu khác màu là C61.C51.C41  120 .
Số cách chọn 3 quả cầu khác màu cùng một số là: 4 cách chọn.
Số cách chọn 3 quả cầu khác màu nhưng có 2 quả cầu cùng số là: 4.4  4.5  4.3  4  52 .
Vậy có 120   4  52   64 .
Câu 278. [1D2-2] Có bao nhiêu cách sắp xếp khác nhau các chữ cái trong cụm từ CHUVANAN bằng
cách đảo vị trí của chúng
A. 20160 .
B. 10080 .
C. 40320 .
D. 720 .
Lời giải
Chọn B.
Số cách sắp xếp các chữ cái là P8  8!  40320 .
Câu 279. [1D2-2] Một giải thể thao chỉ có ba giải là nhất, nhì, ba. Trong số 20 vận động viên đi thi, số
khả năng mà ba người có thể được ban tổ chức trao giải nhất, nhì, ba là:
A. 1 .
B. 1140 .
C. 3 .

D. 6840 .
Lời giải
Chọn D.
3
 6840 .
Chọn 3 trong 20 vận động viên để trao giải nhất, nhì, ba có A20
Câu 280. [1D2-2] Cho các chữ số 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 . Khi đó số các số tự nhiên gồm 4 chữ số, đôi một
khác nhau được thành lập từ các chữ số đó là
A. 35 .
B. 840 .
C. 360 .
D. 720 .
Lời giải
Chọn D.
Số có bốn chữ số có dạng: abcd ,  a  0  .
Chọn a có 6 cách. Chọn bcd có A63 cách.
Vậy có 6. A63  720 số.

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 22/54 – 1D2


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2018

1500 CÂU TRẮC NGHIỆM TỐN 11

Câu 281. [1D2-2] Trên đường trịn cho n điểm phân biệt. Số các tam giác có đỉnh trong số các điểm đã
cho là
A. Cn3 .

B. An3 .
C. n .
D. Cn33 .
Lời giải
Chọn A.
Số các tam giác có đỉnh trong số các điểm đã cho là Cn3 .
Câu 282. [1D2-2] Cho các chữ số 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 . Khi đó số các số tự nhiên có 6 chữ số đơi một khác
nhau được thành lập từ các số đã cho là?
A. 36 .
B. 720 .
C. 1 .
D. 46656 .
Lời giải
Chọn B.
Số các số tự nhiên có 6 chữ số đơi một khác nhau được thành lập từ các số, 2 , 3 , 4 , 5 , 6
được coi là một hốn vị của 6 . Vậy có P6  6!  720 số.
Câu 283. [1D2-2] Có 8 con tem và 5 bì thư. Chọn ra 3 con tem để dán vào 3 bì thư, mỗi bì thư dán một
con tem. Số cách dán tem là
A. 3360 .
B. 560 .
C. 6780 .
D. 1680 .
Lời giải
Chọn A.
 Chọn 3 con tem trong 8 con tem có: C83 cách chọn.
 Chọn 3 bì thư trong 5 bì thư có: C53 cách chọn.
 Chọn 3 con tem để dán vào 3 bì thư có: 3! cách chọn.
Vậy số cách dán tem là C83 .C53 .3!  3360 .
Câu 284. [1D2-2] Số tự nhiên n thỏa mãn An2  Cnn11  5 là
A. n  5 .

B. n  3 .

C. n  6 .
Lời giải

D. n  4 .

Chọn A.
Điều kiện: 2  n , n   .
An2  Cnn11  5 

 n  1!  5  n n  1   n  1 n  5  n 2  3n  10  0  n  5 .
n!

 
2
 n  2 !  n  1!.2!

Cách khác: Sử dụng chức năng CALC của MTCT thử trực tiếp các đáp án.
Câu 285. [1D2-2] Sắp xếp 6 nam sinh và 4 nữ sinh vào một dãy ghế hàng ngang có 10 chỗ ngồi. Hỏi
có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho các nữ sinh luôn ngồi cạnh nhau và các nam sinh luôn ngồi
cạnh nhau.
A. 120960 .
B. 34560 .
C. 120096 .
D. 207360 .
Lời giải
Chọn B.
Số cách sắp xếp chỗ ngồi cho nhóm nam sinh và nữ sinh là 2!.

Số cách sắp xếp chỗ ngồi cho các nam sinh là 6! .
Số cách sắp xếp chỗ ngồi cho các nam sinh là 4!.
Theo quy tắc nhân số cách sắp xếp sao cho các nữ sinh luôn ngồi cạnh nhau và các nam sinh
luôn ngồi cạnh nhau là 2!.6!.4!  34560 .

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 23/54 – 1D2


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2018

1500 CÂU TRẮC NGHIỆM TOÁN 11

Câu 286. [1D2-2] Với các chữ số 2;3; 4;5; 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác
nhau trong đó hai chữ số 2,3 không đứng cạnh nhau?
A. 120 .
B. 96 .
C. 48 .
D. 72 .
Lời giải
Chọn D.
Số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau là 5!.
Số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau trong đó số 2,3 ln đứng cạnh nhau là 4.2!.3!
Số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau trong đó số 2,3 khơng đứng cạnh nhau là 5! 4.2!.3!  72 .
Câu 287. [1D2-2] Cho 5 đường thẳng song song với nhau cắt 4 đường thẳng khác song song. Hỏi có
bao nhiêu hình bình hành được tạo nên bởi các giao điểm của các đường thẳng này?
A. 126 .
B. 240 .
C. 126 .

D. 60 .
Lời giải
Chọn D.
Mỗi hình bình hành được tạo thành từ 2 đường thẳng song song này với 2 đường thẳng song
song kia.
Mỗi cách chọn 2 trong 5 đường thẳng song song là C52 .
Mỗi cách chọn 2 trong 4 đường thẳng song song là C42 .
Có tất cả C52 .C42  60 .
Câu 288. [1D2-2] Từ các chữ số 1; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số và
là số tự nhiên chẵn?
A. 120 .
B. 60 .
C. Kết quả khác.
D. 108 .
Lời giải
Chọn D.
Gọi abc là số tự nhiên cần lập.
+ Chọn c : 3 cách  c  2; 4; 6
+ Chọn a , b đều có 6 cách
Vậy có 3.6.6  108 số.
Câu 289. [1D2-2] Từ các chữ số 1; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số
khác nhau đơi một
A. 20 .
B. 216 .
C. 720 .
D. 120 .
Lời giải
Chọn D.
Lấy ra 3 số từ 6 số và sắp xếp có A63  120 số.
Câu 290. [1D2-2] Số cách xếp 10 học sinh một bàn trịn có 10 ghế là

A. 9! .

B. 1010 .

C. 10! .

D. A109 .

Lời giải
Chọn A.
Xếp n người vào n vị trí trên bàn trịn có  n  1 ! nên có 9! cách thỏa ycbt.
Câu 291. [1D2-2] Từ các chữ số 0 ; 1; 2 ; 3 ; 4 ; 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 4 chữ
số khác nhau đôi một:
A. 180 .
B. 156 .
C. 360 .
D. 144 .
Lời giải
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 24/54 – 1D2


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2018

1500 CÂU TRẮC NGHIỆM TOÁN 11

Chọn B.
Gọi abcd là số tự nhiên cần lập.
TH1: d  0 . Lấy thêm 3 số từ 5 số cịn lại và sắp xếp có A53  60 cách.

TH2: d  2; 4
+ Chọn a : 4 cách ( a  0 , a  d )
+ Lấy thêm 2 số từ 4 số còn lại và sắp xếp có A42  12 cách.
Vậy có 60  2.4.12  156 số.
Câu 292. [1D2-2] Một tổ học sinh có 5 nam và 6 nữ. Chọn ra 4 học sinh, số cách chọn sao cho có ít
nhất 1 nam và ít nhất 1 nữ là
A. Kết quả khác.
B. 310 .
C. 7440 .
D. 630 .
Lời giải
Chọn B.
+ Chọn 4 học sinh từ 11 học sinh có C114  330 cách.
+ Chọn 4 học sinh chỉ tồn nữ có C64  15 cách.
+ Chọn 4 học sinh chỉ toàn nam có C54  5 cách.
Vậy chọn sao cho có ít nhất 1 nam và ít nhất 1 nữ có 330  15  5  310 cách.
Câu 293. [1D2-2] Có 5 học sinh A, B, C, D, E được xếp vào một bàn dài có 5 chỗ. Số cách xếp sao cho
C ln ngồi ở chính giữa là
A. 24 .
B. 256 .
C. 120 .
D. 5 .
Lời giải
Chọn A.
Chọn vị trí chính giữa cho C chỉ có một cách chọn. Cịn lại 4 học sinh sắp xếp vào 4 cịn lại
thì có 4! ( cách sắp xếp). Do đó số cách xếp thỏa mãn bài toán là 4!  24 (cách).
Câu 294. [1D2-2] Trong một buổi thảo luận nhóm. Có hai học sinh tổ 1, ba học sinh tổ 2 và bốn học
sinh của tổ 3 được xếp vào một bàn trịn có 9 ghế. Số cách xếp để các học sinh cùng tổ luôn
ngồi cạnh nhau là
A. Kết quả khác.

B. 576 .
C. 40320 .
D. 864 .
Lời giải
Chọn B.
Chọn một ghế để xếp một học sinh của tổ 1. Khi đó có hai cách xếp để học sinh cịn lại của tổ 1
ngồi cạnh học sinh của tổ 1 được xếp trước.
Tiếp theo chọn 3 liền ngay bên cạnh hai học sinh tổ 1 được xếp trước thì ta cũng có 2 cách
chọn, xếp 3 học sinh của tổ 2 vào 3 ghế này ta có: 3! (cách)
Cịn lại 4 ghế liền nhau, ta xếp 4 học sinh của tổ 3 vào thì có 4! (cách).
Vậy số cách xếp thỏa mãn điều kiện bài toán là 2.2.3!.4!  576 (cách).
Câu 295. [1D2-2] Từ các chữ số 0;1;2;3 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số, trong đó chữ
số 2 có mặt đúng 2 lần, chữ số 3 có mặt đúng 3 lần:
A. 5040 .
B. 360 .
C. 4320 .
D. 420 .
Lời giải
Chọn B.

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 25/54 – 1D2