Lũy thừa với số mũ tự nhiên

SH6.CHUYÊN ĐỀ 1-TẬP HỢP CÁC SỐ TỰ NHIÊN
CHỦ ĐỀ 1.5-LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN
PHẦN I.TĨM TẮT LÍ THUYẾT.
1. Lũy thừa bậc n của số a là tích của n thừa số bằng nhau, mỗi thừa số bằng a

a n a{
.a...a

n thừa số

( n  0 ); a gọi là cơ số, n gọi là số mũ.

m n
m n
2.Nhân hai luỹ thừa cùng cơ số a .a a

m n
m  n  a 0, m n 
3.Chia hai luỹ thừa cùng cơ số a : a a
0
 a 0 
Quy ước a 1

am

 
4.Luỹ thừa của luỹ thừa
5. Luỹ thừa mộttích

n

a mn

 a.b  m a m .bm

6. Một số luỹ thừa của 10:
- Một nghìn:
- Một vạn:

1000 103
10 000 104

- Một triệu: 1000 000 10
- Một tỉ:

6

1000 000 000 109

n
Tổng quát: nếu n là số tự nhiên khác 0 thì: 10 1000...00

7. Thứ tự thực hiện phép tính:
Trong một biểu thức có chứa nhiều dấu phép tốn ta làm như sau:
- Nếu biểu thức khơng có dấu ngoặc chỉ có các phép cộng, trừ hoặc chỉ có các phép nhân chia ta thực
hiện phép tính theo thứ tự từ trái sang phải.
- Nếu biểu thức khơng có dấu ngoặc, có các phép cộng, trừ ,nhân ,chia, nâng lên lũy thừa, ta thực hiện
nâng lên lũy thừa trước rồi thực hiện nhân chia,cuối cùng đến cộng trừ.


- Nếu biểu thức có dấu ngoặc

  ,   ,  ta thực hiện các phép tính trong ngoặc trịn trước, rồi đến

các phép tính trong ngoặc vng, cuối cùng đến các phép tính trong ngoặc nhọn.
PHẦN II.CÁC DẠNG BÀI.
Dạng 1. THỰC HIỆN TÍNH, VIẾT DƯỚI DẠNG LŨY THỪA
I.Phương pháp giải.
Sử dụng công thức:

1)

a n a{
.a...a

thừa
n số
( an

 0 ); a gọi là cơ số, n gọi là số mũ.

m n
m n
2) a .a a

m n
m  n  a 0, m n 
3) a : a a
0
 a 0 
Quy ước a 1

am 

4)

n

a mn

m
a.b  a m .b m

5)

II.Bài tốn.
Bài 1. Viết các tích sau dưới dạng 1 luỹ thừa
a) 5.5.5.5.5.5

b) 2.2.2.2.3.3.3.3

c) 100.10.2.5

Lời giải
6
a) 5.5.5.5.5.5 5

4 4
4
b) 2.2.2.2.3.3.3.3 2 .3 c) 100.10.2.5 10.10.10.10 10

Bài 2.Tính giá trị của các biểu thức sau:
4 2
a) 3 : 3

4 2
b) 2 .2

c)

24

 

Lời giải

4

2

2

a) 3 : 3 3 9

4 2

b) 2 .2 16.4 64

24 

c)

2

28 256

Bài 3. Viết các tích sau đây dưới dạng một luỹ thừa của một số:

2


2 4
a) A 8 .32

3 4
b) B 27 .9 .243

Lời giải
2 4
6 20
26
a) A 8 .32 2 .2 2

3 4
22
b) B 27 .9 .243 3

Bài 4. Viết kết quả phép tính dưới dạng một lũy thừa:
3
a) 64 : 2

b) 243 : 3

4

5
d) 7 : 343

e) 100000 :10

3
g) 243 : 3 : 3

8
h) 4 : 64 :16

3

c) 625 : 5
3

5
f) 11 :121

Lời giải
3
6 3
3
a) 64 : 2 2 : 2 2

4

5 4
1
b) 243 : 3 3 : 3 3

3
4 3
1
c) 625 : 5 5 : 5 5

5
5 3
2
d) 7 : 343 7 : 7 7

3
5
3
2
e) 100000 :10 10 :10 10

5
5
2
3
f) 11 :121 11 :11 11

3
5 3
1
g) 243 : 3 : 3 3 : 3 : 3 3

8
8 3
4
h) 4 : 64 :16 4 : 4 : 4 4

n
n
Bài 5.Tìm các số mũ n sao cho luỹ thừa 3 thảo mãn điều kiện: 25  3  250

Lời giải
2
3
4
5
6
Ta có: 3 9,3 27  25,3 81,3 243  250 nhưng 3 243.3 729  250
n
Vậy với số mũ n 3, 4,5 ta có 25  3  250

Bài 6 : Thực hiện phép tính:
2
a) 5.2  18 : 3

3
b) 17.85  15.17  2 .3.5

3
3
c) 2 .17  2 .14

2
20   30   5  1 



d)

e)

75  3.52  4.23





2
g) 150  50 : 5  2.3

2
0
3
f) 2.5  3 : 71  54 : 3

2
2
h) 5.3  32 : 4

Lời giải
2

a) 5.2  18 : 3

3
b) 17.85  15.17  2 .3.5

5.4  18 : 3

17.85  15.17  120

20  6

17.  85  15   120

14

17.100  120
1700  120 1580


3
3
c) 2 .17  2 .14

2
20   30   5  1 



d)

23  17  14 

20   30  42 



23.3

20   30  16 

8.3
24

e)



20  14 6
2

3

75  3.5  4.2



2
0
3
f) 2.5  3 : 71  54 : 3

2.25  3 :1  54 : 27

75   3.25  4.8 

50  3  2

75   75  32 

51

75  75  32
32
2
g) 150  50 : 5  2.3

2
2
h) 5.3  32 : 4

150 10  2.9

5.9  32 :16
45  2
43

150  10  18
142
Bài 7: Thực hiện phép tính.
2

a) 27.75  25.27  2.3.5
0
c) 13.17  256 :16  14 : 7  2021

e)

15  52.23 :  100.2 



b)

12 : 400 :  500   125  25.7  

d)

2.32 : 3  182  3.  51:17 



2 3
f) 5 .2  12.5  170 :17  8

Lời giải
2
a) 27.75  25.27  2.3.5

b)



12 : 400 :  500   125  25.7  



27.  75  25   150

12 : 400 :  500   125  175  

27.100  150

12 :  400 :  500  300 

2700

12 :  400 : 200
12 : 2 6

0
c) 13.17  256 :16 14 : 7  2021

d)

2.32 : 3  182  3.  51:17 

221  16  2  1

6  182  3.3

206

6  182  9

197
e)

15  52.23 :  100.2 

2 3
f) 5 .2  12.5  170 :17  8

15  25.8 : 200

1000  60  10  8

15  200 : 200

942






15  1
14
Bài 8: Thực hiện phép tính.

5.   85  35 : 7  : 8  90   52.2

3
3 2
2
a) 2  5 : 5  12.2

b)

2.  7  33 : 32 : 22  99   100

c) 

7 2
4 3 4
5
d) 2 : 2  5 : 5 .2  3.2

35.37  : 310  5.24  73 : 7

e)

32.  52  3 :11  24  2.103


f)

62007  62006  : 62006

g)

52001  52000  : 52000


h)

7 2005  72004  : 7 2004

i)

57  75  .  68  86  .  24  42 

j)

75  79  .  54  56  .  33.3  92 

k)

 52.23  7 2.2 : 2  .6  7.25

l) 













Lời giải
3
3 2
2
a) 2  5 : 5  12.2

b)

8  5  12.4

5.   85  35 : 7  : 8  90   52.2
5   85  5  : 8  90   50

8  5  48
51

5  80 : 8  90  50
5.100  50
450

2.  7  33 : 32 : 22  99   100


c)





7 2
4 3 4
5
d) 2 : 2  5 : 5 .2  3.2

25  5.24  3.25

2.   7  3 : 4  99   100

24.  2  5  6 

2.  4 : 4  99   100

24

2.100  100
100

e)

 35.37  : 310  5.24  73 : 7

32.  52  3 :11  24  2.103


f)



312 : 310  5.24  7 2

9.   25  3 :11  16  2.1000

32  5.24  7 2

9.  22 :11  16  2000

9  5.16  49

9.2  16  2000

9  80  49
40

g)



 62007  62006  : 62006
62006  6  1 : 62006

2  2000
2002

h)

 52001  52000  : 52000
52000  5  1 : 52000

i)

62006.5 : 62006
5

52000.4 : 52000
4

 72005  72004  : 72004

 57  75  . 68  86  . 24  42 

j)

7 2004 (7  1) : 7 2004

 57  75 . 68  86 .  16  16 




 57  75  .  68  86  .0

7 2004.8 : 7 2004
8

0
k)

 75  79  . 54  56  . 33.3  92 

 75  79 . 54  56 .  27  27 

l)

 52.23  7 2.2 : 2  .6  7.25










 75  79  .  54  56  .0

  25.8  49.2  : 2  .6  7.25

0

306  224
82

 200  98  : 2.6  7.32

Bài 9 : Thực hiện phép tính.
142   50  23.10  23.5 



a)









210 :  16  3. 6  3.2 2   3


c)







375 : 32   4  5.32  42   14


b)



2


 
500  5.  409  23.3  21   1724 

 

d)





Lời giải:
142   50  23.10  23.5 


a)









375 : 32   4  5.32  42   14


b)



142   50  23.5



375 : 32   4   45  42    14

142  5.(10  8)

375 :  32   4  3   14

142  10
132

375 :  32  7  14



210 :  16  3.  6  3.2     3



c)
2





 210 :  16  3.  6  12    3



375 : 25  14 15  14 1
2
 

500  5.  409  23.3  21   1724 
 


d)





 210 : 70  3



500   5.  409   24  21   1724



3  3 0

500   5. 409  9  1724

 210 :  16  3.18   3

2
500  5  409   8.3  21   1724


2

500   5.400  1724
500  276 224
Bài 10: Thực hiện phép tính.


80  4.52  3.23



a)



6 4
3 2
2017
b) 5 : 5  2 .2  1

c)

53  2.  56  48 :  15  7  

e)

36.4  4.  82  7.11 : 4  20160

2
2
d) 23.75  5 .10  5 .13  180





303  3.  655   18 : 2  1 .43  5 :100


f)

2

Lời giải:
80  4.52  3.23



a)

6 4
3 2
2017
b) 5 : 5  2 .2  1



52  25  1

80   4.25  3.8 

25  32  1
56

80   100  24 
80  76 4

2
2
d) 23.75  5 .10  5 .13  180

3

5  2.  56  48 :  15  7  
c)

23.75  25.(10  13)  180

125  2. 56  48 : 8

23.75  25.23  180

125  2.  56  6 

23.100  180

125  2.50
25

2300  180
2480
303  3.  655   18 : 2  1 .43  5 :100


f)

2

e)

36.4  4.  82  7.11 : 4  20160



2

36.4  4.  82  77  : 4  1

303  3.  655  640  5 

4  36  25  : 4  1

303  3.  655  640  5 

11  1
10

303  3.10 263
Bài 11: Tính giá trị của biểu thức: A 2002.20012001  2001.20022002
Lời giải:

A 2002.20012001  2001.20022002
A 2002.  20010000  2001  2001.  20020000  2002 
A 2002. 2001.104  2001  2001. 2002.10 4  2001









A 2002.2001.104  2002.2001  2001.2002.10 4  2001.2002

A 0
Bài 12: Tính:
2
3
4
100
a) A 2  2  2  2  ...  2

2

3
1000
c) C 3  3  3  ...  3

2
3
150
b) B 1  5  5  5  ...  5




Lời giải:
2
3
4
100
a) A 2  2  2  2  ...  2

2 A 2.2  22.2  23.2  2 4.2  ...  2100.2
2 A 22  23  24  25  ...  2101

2 A  A  22  23  2 4  25  ...  2101  2  22  23  2 4  ...  2100



 



A 22  23  24  25  ...  2101  2  22  23  24  ...  2100

A 2101  2
101
Vậy A 2  2
2
3
150
b) B 1  5  5  5  ...  5

5 B 1.5  5.5  52.5  53.5  ...  5150.5

5B 5  52  53  54  ...  5151
5B  B  5  52  53  54  ...  5151  1  5  52  53  ...  5150



 



4 B 5  52  53  54  ...  5151  1  5  52  53  ...  5150
4 B 5151  1

5151  1
B
4
2
3
1000

c) C 3  3  3  ...  3

3C 3.3  32.3  33.3  ...  31000.3
3C 32  33  34  ...  31001

3C  C  32  33  34  ...  31001  3  32  33  ...  31000



 



2C 32  33  34  ...  31001  3  32  33  ...  31000

2C 31001  3

C

31001  3
2

Dạng 2.SO SÁNH CÁC LŨY THỪA
I.Phương pháp giải.
Để so sánh hai lũy thừa ta thường biến đổi về hai lũy thừa có cùng cơ số hoặc có cùng số mũ (có thể sử
dụng các lũy thừa trung gian để so sánh)


n
n

*
Với a, b, m, n  N ta có: a  b  a  b n  N

m  n  a m  a n (a  1)
m
n
a 0 hoặc a 1 thì a a  m.n 0 

Với A, B là các biểu thức ta có :
An  B n  A  B  0
Am  An  m  n và A  1

m  n và 0  A  1
II.Bài toán.
Bài 1. So sánh:
17
23
a) 333 và 333

2009
1999
2008  2007 
1998  1997 


c)
và

10
10

b) 2007 và 2008

Lời giải
17
23
a) Vì 1  17  23 nên 333 và 333

10
10
b) Vì 2007  2008 nên 2007 và 2008

c) Ta có :

 2008  2007  2009 12009 1

 1998  1997 1999 11999 1
Vậy

 2008  2007  2009  1998  1997 1999

Bài 2. So sánh
300

200
và 3

e) 99

500

300
và 7

f) 11

a) 2

b) 3

5
7
c) 8 và 3.4

303

d) 202

Lời giải

202
và 303

20

10
và 9999

1979

1320

và 37

10
5
g) 10 và 48.50

10

h) 1990

 19909 và 199110


100
2300  23
8100

 

a) Ta có :

100
3200  32
9100

 

100
100
 2300  3200

Vì 8  9

100
3500  35
243100

 

b) Tương tự câu a) ta có :

100
7300  73
343100

 

100
100
500
 7300
Vì 243  343 nên 3
5
15
14
14
7
5
7
c) Ta có : 8 2 2.2  3.2 3.4  8  3.4

d) Ta có :

202303  2.101

303202  3.101

3.101

2.101

101
101
101
 23.1013
 8.101.1022
 808.101









101
101
 32.1012
 9.1012









2
2
303
 303202
Vì 808.101  9.101 nên 202

e) Ta thấy :

f) ta có :

992  99.101 9999  992

 

111979  111980  113

 

371320  372

 

660

660

10

1331660

1369660
1979

Từ (1) và (2) suy ra : 11

 999910  9920  999910

(1)

(2)
 371320

10
10 10
9 10
g) Ta có : 10 2 .5 2.2 .5

48.505  3.24 . 25.510 3.29.510

 



(*)

(**)

10
5
Từ (*) và (**)  10  48.50

h) Có :

199010  19909 19909.  1990  1 1991.19909


199110 1991.19919
9
9
10
9
10
Vì 1990  1991 nên 1990  1990  1991
27
63
28
Bài 3. Chứng tỏ rằng : 5  2  5

Lời giải
263 1289

Ta có :

527 1259

 263  527

(1)

63
7
Lại có: 2 512

528 6257
 263  528

(2)

27
63
28
Từ (1) và (2)  5  2  5

Bài 4.So sánh:
50

a) 107

75
và 73

35

91
b) 2 và 5

Lời giải
a) Ta thấy :

10750  10850  4.27 

7375  7275  8.9 

75

50

2100.3150

2225.3150

(1)
(2)

50
100 150
225 150
75
Từ (1) và (2)  107  2 .3  2 .3  73
91

b) 2

 290 3218

535  536 2518
 291  3218  2518  535

Vậy

291  535

Bài 5. So sách các cặp số sau:


5
3
a) A 27 và B 243

200
300
b) A 2 và B 3

Lời giải

a) Ta có
5 3

 

B 3

5

A 275  33 315

300
23.100 8100
b) A 2

 

B 3200 32.100 9100

315

100
100
Vì 8  9 nên 8  9

Vậy A B

 AB

Bài 6.So sánh các số sau:
a) 199

20

15
và 2003

39
21

b) 3 và 11

Lời giải

a)

20
19920  20020  23.52
260.540





200315  200015  2.103



15

  24.53 

15

260.545

15
20
Vậy 2003  199

b)

20
339  340  32
920  1121

 

45
44
44
43
Bài 7. So sánh 2 hiệu: 72  72
và 72  72

Lời giải

7245  7244 7244.  72  1 7244.71
7244  7243 7243.  72  1 7243.71
45
44
44
43
Vậy 72  72  72  72

Bài 8.So sánh các số sau:
5
3
a) 9 và 27
7

5
d) 3.4 và 8

Lời giải

200
300
b) 3 và 2
303
202
e) 202
và 303

500
300
c) 3
và 7


5
95  32 310

 

a) Ta có:

100
2300  23
8100

 

c) Ta có:

 

100
 8100 nên 3200  2300
Vì 9

310  39 nên 95  273

100
3500  35
243100

 

d) Ta có:

100
7300  73
343100

Vì 243

e) Ta có:

100

 343

500

3

202303  2023

Ta so sánh



5
85  23 215

 

215 2.214  3.214 3.47

 

100

 

b) Ta có:

3
273  33 39

Vì

100
3200  32
9100



7

101

;

5
7
Vậy 8  3.4

300

303202  3032





101

2023 và 3032

2023 23.101.1012
3032 32.1012

Vậy 303202< 2002303
Bài 9: So sánh

2
4
5
a) A 1  2  2  ...  2 và B 2  1

2
3
100
b) C 3  3  3  ...  3
và

Lời giải:
2
4
a) A 1  2  2  ...  2

2 A 1.2  2.2  22.2  ...  24.2
2 A 2  22  23  ...  25

2 A  A  2  22  23  ...  25  1  2  2 2  ...  2 4



 



A 2  22  23  ...  25  1  2  22  ...  24

A 25  1
Vậy A B
b)

C 3  32  33  ...  3100

3C 3.3  32.3  33.3  ...  3100.3
3C 32  33  34  ...  3101

3C  C  32  33  34  ...  3101  3  32  33  ...  3100



 

2C 32  33  34  ...  3101  3  32  33  ...  3100



D

3101  3
2

2C 3101  3

3101  3
C
2
Vậy

C D

Dạng 3. TÌM SỐ CHƯA BIẾT TRONG LŨY THỪA
I. Phương pháp giải. Khigiải bài tốn tìm x có luỹ thừa phải:
Phương pháp 1: Biến đổi về các luỹ thừa cùng cơ số .
Phương pháp 2: Biến đổi về các luỹ thừa cùng số mũ .
Phương pháp 3: Biến đổi về dạng tích các lũy thừa.
II. Bài tốn.
Bài 1. Tìm x, biết.
x
a) 2 .4 128
x
d) 27.3 243

4 x
7
h) 3 .3 3

x
b) 2  26 6
x
e) 49.7 2041

x
5
c) 64.4 4
x
g) 3 81

x
2
0
k) 3  25 26.2  2.3

Lời giải
x
x
x
x
5
a) Ta có: 2 .4 128  2 128 : 4  2 32  2 2  x 5.

x
x
x
x
5
b) Ta có: 2  26 6  2 6  26  2 32  2 2  x 5.
x
5
3 x
5
x 3

45  x  3 5  x 5  3  x 2.
c) Ta có: 64.4 4  4 .4 4  4

x
x
x
x
2
d) Ta có: 27.3 243  3 243 : 27  3 9  3 3  x 2.
x
x
x
x
2
e) Ta có: 49.7 2401  7 2401: 49  7 49  7 7  x 2.

x
x
4
g) Ta có: 3 81  3 3  x 4.
4 x
7
x
7 4
x
4
h) Ta có: 3 .3 3  3 3 : 3  3 3  x 4.

x
2

0
x
x
1
k) Ta có: 3  25 26.2  2.3  3 26.1  2.1  25  3 3  x 1.

Bài 2.Tìm x  N , biết.


x
a) 3 .3 243

x
2
b) 2 .16 1024

x
8
c) 64.4 16

x
d) 2 16

Lời giải
x
x
x
x
4
a) Ta có: 3 .3 243  3 243 : 3  3 81  3 3  x 4.

x
2
x
2
x
x
x
2
b) Ta có: 2 .16 1024  2 1024 :16  2 1024 : 256  2 4  2 2  x 2.

c) Ta có:

8
64.4 x 168  43.4 x  4 2  4 x 3 416  x  3 16  x 16  3  x 13.

 

x
x
4
d) Ta có: 2 16  2 2  x 4.

Bài 3.Tìm x , biết.
x  2019
1

4
x  2019
b)

3

a)

 7 x  11 25.52  200

4
2 x  1 16

c)

d)

 2 x  1 4  2 x  1 6

39
15
 3x2 
2
e) 2

g)

 2 x 1 3 125

Lời giải
a) Ta có:

 7 x  11 3 25.52  200   7 x  11 3 32.25  200   7 x  11 3 1000   7 x  11 3 103

 7 x  11 10  7 x 21  x 3
x  2019
1
2
2

  x  2019  4   x  2019  22  x  2019 2  x 2021.
4
x  2019
b) Ta có:
4
4
4
2 x  1 16   2 x  1  2  

c) Ta có:

TH 1:

TH 2:

Vậy

2 x  1 2  2 x 3  x 

3
2.

2 x  1  2  2 x  1  x 

x

3
1
x .
2 hoặc
2

1
2 .

2 x  1 2.


 2 x 1

4

6

4

6

 2 x  1   2 x 1   2 x 1 0   2 x  1

  2 x  1 4 0

2

1   2 x  1  0  
 1   2 x 1 0

4

d)
 2 x  1 0
  2 x  1 1 
 2 x  1  1


2

 x  0,5
 x 0
 x  1


Vậy x  0,5; x 0; x  1.
e) Ta có:
39
15
39
15
39 15
2
 3x2  
 3x2   3x2  
 3 x 2 12  x 2 4  x 2  2   x 2.
2

2
2
2
2 2
g) Ta có:

 2 x  1 3 125   2 x  1 3 53 

2 x  1 5  2 x 5  1  2 x 4  x 4 : 2  x 2.

Bài 4: Tìm x biết:
10
20
3x  1  3x  1

a,

b,

x  6  x

2003

 6  x 

2003

x
x 2
650

c, 5  5

Lời giải
a) Ta có:

 3x  110  3x  1 20   3x  1 20   3x  110 0

1

 x 3
 3 x  1 0
10
10
  3 x  1   3 x  1  1 0  
  3 x  1 1 
10



3
x

1

1


 3 x  1  1


b) Ta có:
  6  x
c) Ta có:

x  6  x
2003

2003

 6  x 

 x  1 0 

2003

 x  6  x

 6  x 0 
 x  1 0

2003

  6  x

2003

1

 x 3


2
x 
3

x

0


0

 x 6
 x 1

5 x  5 x.52 650  5 x  1  25  650  5 x 25  5 x 52  x 2

Bài 5: Tìm x biết:
x 2
 2 x 96
a, 2

x 1 y
x
b, 2 .3 12

x
y
y
c) 10 : 5 20

Lời giải
a) Ta có:

2 x  2  2 x 96  2 x.4  2 x 96  2 x.  4  1 96  3.2 x 96  2 x 32  2 x 25  x 5


b) Ta có:

x  1 2
x 1
2 x 1.3 y 12 x  2 x 1.3 y 22.3 x 

x y
y 1





Vậy x  y 1.
x y
y
x
y y
x
y
x
2y
c) Ta có: 10 : 5 20  10 20 .5  10 100  10 10  x 2 y.

Dạng 4. MỘT SỐ BÀI TẬP NÂNG CAO VỀ LŨY THỪA
I.Phương pháp giải.
Phương pháp 1: Để so sánh hai luỹ thừa ta thường đưa về so sánh hai luỹ thừa cùng cơ số hoặc cùng
số mũ .
- Nếu hai luỹ thừa cùng cơ số ( lớn hơn 1 ) thì luỹ thừa nào có số mũ lớn hơn sẽ lớn hơn.

a m  a n  a  1  m  n
- Nếu hai luỹ thừa cùng số mũ (lớn hơn 0 ) thì lũy thừa nào có cơ số lớn hơn sẽ lớn hơn .

a n  bn  n  0   a  b
Phương pháp 2: Dùng tính chất bắc cầu, tính chất đơn điệu của phép nhân
A  B, B  C thì A  C.

AC  BC  C  0   A  B
II.Bài toán.
Dạng 1: So sánh hai số lũy thừa.
2n
3n
Bài 1. So sánh các lũy thừa: 3 và 2

Lời giải

Ta có:

n
32n  32 9n

 

n

23n  23 8n

 

n
n
2n
3n
Vì 9  8 nên 3  2

Dạng 2: So sánh biểu thức lũy thừa với một số (so sánh hai biểu thức lũy thừa)
- Thu gọn biểu thức lũy thừa bằng cách vận dụng các phép tính lũy thừa, cộng trừ các số theo quy luật.
- Vận dụng phương pháp so sánh hai lũy thữa ở phần B.
- Nếu biểu thức lũy thừa là dạng phân thức: Đối với từng trường hợp bậc của luỹ thừa ở tử lớn hơn hay
bé hơn bậc của luỹ thừa ở mẫu mà ta nhân với hệ số thích hợp nhằm tách phần nguyên rồi so sánh từng
phần tương ứng.
Với a, m, n, K  N * . Ta có:


- Nếu m  n thì
- Nếu m  n thì

K

a
a
a
a
K
K K

m
n và
m
n.

K

a
a
a
a
K K
K
m
n và
m
n .(cịn gọi là phương pháp so sánh phần bù)

1
2
* Với biểu thức là tổng các số có dạng a (với a  N * ) ta có vận dụng so sánh sau:

1
1
1
1
1





a a 1 a 2 a  1 a
2
3
9
8
Bài 1. Cho S 1  2  2  2  ...  2 . So sánh S với 5.2 .

Lời giải
2
3
9
Ta có: S 1  2  2  2  ...  2

2 S 2  22  ....  29  210

 S 210  1
10
10
8
8
Mà 2  1  2 4.2  5.2

8
Vậy S  5.2 .

1015  1
1016  1
A
B

1016  1 và
1017  1
Bài 2.So sánh hai biểu thức A và B , biết:
Lời giải
15


1015  1  10 A 10.  10  1  1016  10 1016  1  9
9
A
1 
16


 10  1  = 1016  1 = 1016  1
1016  1
1016  1 .
Ta có:

 16 
1016  1  10 B 10.  10  1  1017  10 1017  1  9
9
B
1 
17


 10  1  = 1017  1 = 1017  1
1017  1
1017  1 .

9
16

Vì 10

17

 1  10

16

 1 nên 10



9
17

 1 10

1

 1

9
16

10

1

1 

9
17

10

1

 10 A  10 B hay A  B
Bài 3.So sánh hai biểu thức C và D , biết:

C

22008  3
22007  1 và

D

22007  3
22006  1

Lời giải
 2008  3  22008  3 22008  2  1
1
22008  3  1 C  1  2


1 


C
2
2  22007  1  22008  2
22008  2
22008  2
22007  1
Ta có:
.
 2007  3  22007  3 22007  2  1
1
22007  3  1 D  1  2


1 

D
2
2  22006  1  22007  2
22007  2
22007  2
22006  1


1
2008
– 2  22007 – 2 nên 22008  2
Vì 2

 1

1
22008  2

 1



1
22007  2

1
22007  2

1
1
C D
 2
2 hay C  D.

Vậy C  D.
Dạng 3: Từ việc so sánh lũy thừa, tìm cơ số (số mũ) chưa biết.
* Với các số tự nhiên m, x, p và số dương a .
m
x
p
+ Nếu a  1 thì: a  a  a  m  x  p .

m
x

p
+ Nếu a  1 thì: a  a  a  m  x  p .
m
m
* Với các số dương a, b và số tự nhiên m , ta có: a  b  a  b .

64
48
72
Bài 3. Tìm các số ngun n thỗ mãn: 3  n  5 .

Lời giải
64
48
48
72
Ta giải từng bất đẳng thức 3  n và n  5 .

Ta có:

n 48  364  n3

16

    34 

16

 n3

 

16

 8116  n3  81

 n  4 (với n  ¢ )
Mặt khác

(1).

n 48  572  n 2

 

24

 53

 

24

 n2

 

24

 12524  n 2  125

  11 n 11 (với n  ¢ )

(2).

Từ (1) và (2)  4  n 11 .
Vậy n nhận các giá trị nguyên là: 5;6; 7;8;9;10;11.
Bài 4. Tìm x  N , biết:
18
5 x.5 x 1.5 x 2 100.............0
1444442444443: 2

x
4
a) 16  128 .

18 chu so 0

b)

.

Lời giải

x
4
a) Ta có: 16  128 

24

x

 27

   

 x   0,1, 2,3, 4,5, 6

4

 24 x  228  4 x  28  x  7

.

18
5 x.5 x 1.5 x 2 100.............0
1444442444443: 2

b) Ta có:

18 chu so 0


 53 x 3 1018 : 218  53 x 3 518  3 x  3 18  x 5

 x   0,1, 2,3, 4,5

.

x

2
Bài 5: Tìm số tự nhiên x, y sao cho 10  y  143 .

Lời giải
x
2
x
2
Ta có: 10  y  143  10  143  y

Nếu x 0  y 12 thỏa mãn.
2
x
x
Nếu x  0  10 có chữ số tận cùng là 0 . Khi đó, 10 có chữ số tận cùng là 3 . Mà y là số chính

phương nên khơng thể có tận cùng bằng 3 . Do đó khơng tồn tại x, y thỏa mãn.
Vậy x 0; y 12.
8
Bài 6: a) Số 5 có bao nhiêu chữ số?
2003
2003
b) Hai số 2
và 5
viết liền nhau được số có bao nhiêu chữ số?

Lời giải
a) Ta có:

58 (5 4 ) 2 6252  6002 360000

108 100000000 100000000
58 


400000
256
250
28
 360000  58  400000. Do đó 58 có 6 chữ số.
2003
2003
b) Giả sử 2
có a chữ số và 5
có b chữ số thì khi viết 2 số này liền nhau ta được (a  b) chữ

số.
Vì 10

a 1

 22003  10a và 10b  1  52003  10b

 10a  1.10b  1  22003.52003  10a.10b
 10a b  2  102003  10a b . Do đó: 2003 a  b  1  a  b 2004 .

Vậy số đó có 2004 chữ số.
Bài 7:Tìm số 5 các chữ số của các số n và m trong các trường hợp sau:
3
5
a) n 8 . 15 .

Lời giải

16 25
b) m 4 . 5 .