Chương 0-Số phức

10/22/20 11
1
Chương 0 Số phức

0.1 – Dạng đại số của số phức
0.2 – Dạng lượng giác của số phức
0.4 – Nâng số phức lên lũy thừa
0.5 – Khai căn số phức
0.6 – Định lý cơ bản của Đại số
0.3 – Dạng mũ của số phức
0.1 Dạng đại số của số phức

Không tồn tại một số thực nào mà bình phương của nó là một
số âm. Hay, không tồn tại số thực x sao cho x
2
= -1.
Định nghĩa số i
Số i, được gọi là đơn vị ảo, là một số sao cho
i
2
= -1
Bình phương của một số ảo là một số âm. Ký tự i được chọn
để ký hiệu một số mà bình phương của nó bằng –1.
Ở thế kỷ thứ 17, người ta định nghĩa một số ảo.
0.1 Dạng Đại số của số phức

Định nghĩa số phức
Cho a và b là hai số thực và i là đơn vị ảo, khi đó
z = a + bi được gọi là số phức. Số thực a được gọi là phần
thực và số thực b được gọi là phần ảo của số phức z.
Tập số thực là tập hợp con của tập số phức, bởi vì nếu cho

b = 0, thì a + bi = a + 0i = a là một số phức.
Phần thực của số phức z = a + bi được ký hiệu là Re(z).
Phần ảo của số phức z = a + bi được ký hiệu là Im(z).
0.1 Dạng Đại số của số phức

Tất cả các số có dạng 0 + bi, với b là một số thực khác
không được gọi là số thuần ảo. Ví dụ: i, -2i, 3i là những số
thuần ảo.
Số phức ghi ở dạng z = a + bi được gọi là dạng đại số
của số phức z.
10/22/20 11
2
0.1 Dạng Đại số của số phức

Ví dụ
Cho z
1
= 2 + 3i; z
2
= m + 3i.
Tìm tất cả các số thực m để z
1
= z
2
.
Hai số phức được gọi là bằng nhau nếu chúng có phần thực và
phần ảo tương ứng bằng nhau.
Nói cách khác, hai số phức z
1
= a

1
+ ib
1
và z
2
= a
2
+ib
2
bằng
nhau khi và chỉ khi a
1
= a
2
và b
1
= b
2
.
Định nghĩa sự bằng nhau
Giải
12
2 3 3z z i m i
2
2
33
m
m
0.1 Dạng Đại số của số phức

Định nghĩa phép cộng và phép trừ của hai số phức.
Cho a + bi và c + di là hai số phức, khi đó
Phép cộng: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d) i
Phép trừ: (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d) i
Ví dụ
Tìm phần thực và phần ảo của số phức
z = (3 + 5i) + (2 - 3i).
Giải
z = (3 + 5i) + (2 - 3i)
Re( ) 5; Im( ) 2.zz
= (3+2) + (5i – 3i) = 5 + 2i.
0.1 Dạng Đại số của số phức

Định nghĩa phép nhân hai số phức.
Cho z
1
= a + bi và z
2
= c + di là hai số phức, khi đó
z
1
.z
2
= (a + bi) (c + di) = (ac – bd) + ( ad + bc)i
Ví dụ
Tìm dạng đại số của số phức
z = (2 + 5i).(3+ 2i)
Giải
z = (2 + 5i)(3 + 2i)
= 6 + 4i + 15i + 10 i

2
Vậy dạng đại số của số phức là: z = -4 + 19i.
= 2.3 + 2.2i + 3.5i + 5i.2i
= 6 + 19i + 10(-1)= -4 + 19i
0.1 Dạng Đại số của số phức

Cộng, trừ, nhân hai số phức:
Khi cộng (trừ ) hai số phức, ta cộng (trừ ) phần thực
và phần ảo tương ứng.
Nhân hai số phức, ta thực hiện giống như nhân hai
biểu thức đại số với chú ý i
2
= −1.
10/22/20 11
3
0.1 Dạng Đại số của số phức

Ví dụ.
Tìm số phức liên hợp của số phức z = (2 + 3i) (4 - 2i).
Định nghĩa số phức liên hợp
Số phức được gọi là số phức liên hợp của số
phức z = a + bi.
z a bi
Giải.
Vậy số phức liên hợp là
14 8 .zi
z = (2 + 3i) (4 - 2i)
= 2.4 – 2.2i + 3i.4 – 3i.2i
= 8 – 4i + 12i – 6i
2

= 8 – 4i + 12i – 6(-1)
= 14 + 8i.
0.1 Dạng Đại số của số phức

Cho z và w là hai số phức; và là hai số phức liên hợp
tương ứng. Khi đó:
z
w
1. là một số thực.
zz
2. là một số thực.
zz
3. khi và chỉ khi z là một số thực.
zz
4.
z w z w
5.
z w z w
6.
zz
7. với mọi số tự nhiên n
()
nn
zz
Tính chất của số phức liên hợp
0.1 Dạng Đại số của số phức

Phép chia hai số phức.
1 1 1
2 2 2

z a ib
z a ib
1 1 1 2 2
2 2 2 2 2
( )( )
( )( )
z a ib a ib
z a ib a ib
1 1 2 1 2 1 2 2 1
2 2 2 2
2
2 2 2 2
z a a b b b a a b
i
z
a b a b
Muốn chia số phức z
1
cho z
2
, ta nhân tử và mẫu cho số phức liên
hợp của mẫu. (Giả sử )
2
0z
0.1 Dạng Đại số của số phức

Ví dụ.
Thực hiện phép toán
i
i

5
23
Giải.
)5)(5(
)5)(23(
5
23
ii
ii
i
i
125
210315
2
iii
i
i
2
1
2
1
26
1313
Nhân tử và mẫu cho số
phức liên hợp của mẫu là
5 + i.
Viết ở dạng Đại số
10/22/20 11
4
Lưu ý: So sánh với số phức.

Trong trường số phức không có khái niệm so sánh. Nói một
cách khác, không thể so sánh hai số phức z
1
= a
1
+ ib
1
và
z
2
= a
2
+ ib
2
như trong trường số thực. Biểu thức z
1
< z
2
hoặc
z
2
≥ z
1
không có nghĩa trong trường số phức C ngoại trừ chúng
ta định nghĩa khái niệm so sánh một cách khác.
0.1 Dạng Đại số của số phức

0.2 Dạng lượng giác của số phức

( , )M a b z a bi

r
b
a
o
x
y
22
mod( )r a b z
cos
:
sin
a
r
b
r
trục thực
trục ảo
0.2 Dạng lượng giác của số phức

22
mod( ) | |z z a b
Định nghĩa Môdun của số phức
Môdun của số phức z = a + bi là một số thực dương được định
nghĩa như sau:
Ví dụ
Tìm môđun của số phức z = 3 - 4i.
Giải
Vậy mod(z) = |z| =
2 2 2 2
3 ( 4) 5.ab

a = 3; b = -4.
0.2 Dạng lượng giác của số phức

Cho z = a + bi và w = c + di.
Chú ý:
Nếu coi số phức z = a + bi là một điểm có tọa độ (a, b), thì
2 2 2 2
| | ( 0) ( 0)z a b a b
là khoảng cách từ điểm (a, b) đến gốc tọa độ.
là khoảng cách giữa hai điểm (a, b) và (c,d).
22
| | ( ) ( )z w a c b d
10/22/20 11
5
0.3 Dạng mũ của số phức

Ví dụ
Tìm tất cả các số phức z thỏa
| 2 3 | 5zi
Giải
| 2 3 | 5zi
| (2 3 ) | 5zi
đường tròn tâm (2,-3) bán kính bằng 5.
0.2 Dạng lượng giác của số phức

Định nghĩa argument của số phức
Góc được gọi là argument của số phức z và được ký hiệu là
arg( ) .z
Góc được giới hạn trong khoảng
Lưu ý.

02
hoặc
Công thức tìm argument của số phức.
22
22
cos
sin
aa
r
ab
bb
r
ab
hoặc
tg
b
a
0.2 Dạng lượng giác của số phức

Giải
Ví dụ
Tìm argument của số phức
3.zi
3; 1ab
. Ta tìm góc thỏa:
33
os =
2
31
a

c
r
11
sin =
2
31
b
r
Suy ra
6
Vậy arg(z) =
6
0.2 Dạng lượng giác của số phức

22
; 0z a bi a b
(cos sin )z r i
Dạng lượng giác của số phức
22
2 2 2 2
()
ab
z a b i
a b a b
(cos sin )z r i
10/22/20 11
6
0.2 Dạng lượng giác của số phức

Giải

Môđun:
Ví dụ
Tìm dạng lượng giác của số phức
1 3.zi
1; 3.ab
11
os =
2
31
a
c
r
33
sin =
2
31
b
r
Suy ra
2
3
Dạng lượng giác:
22
| | 2.r z a b
Argument:
22
1 3 2(cos sin )
33
z i i
0.2 Dạng lượng giác của số phức

1 1 1 1 2 2 2 2
(cos sin ); (cos sin )z r i z r i
Sự bằng nhau giữa hai số phức ở dạng lượng giác
12
12
12
2
rr
zz
k
Phép nhân ở dạng lượng giác
1 2 1 2 1 2 1 2
(cos( ) sin( ))z z r r i
Nhân hai số phức ở dạng lượng giác: môđun nhân với nhau
và argument cộng lại.
0.2 Dạng lượng giác của số phức

Giải
(1 )(1 3)z i i
Dạng lượng giác:
Ví dụ
Tìm dạng lượng giác, môđun và argument của số phức
(1 )(1 3).z i i
2( os in ) 2( os in )
4 4 3 3
z c is c is
2 2[ os( ) in( )]
4 3 4 3
z c is

2 2( os in ).
12 12
z c is
0.2 Dạng lượng giác của số phức

Phép chia hai số phức ở dạng lượng giác
11
1 2 1 2
22
(cos( ) sin( ))
zr
i
zr
Chia hai số phức ở dạng lượng giác: môđun chia cho nhau và
argument trừ ra.
1 1 1 1 2 2 2 2
(cos sin ); (cos sin )z r i z r i
22
0 0.zr
10/22/20 11
7
0.2 Dạng lượng giác của số phức

Giải
2 2 3
3
i
z
i
Dạng lượng giác:

77
2( os in ).
66
z c is
Ví dụ
Tìm dạng lượng giác, môđun và argument của số phức
2 12
.
3
i
z
i

4(cos sin )
33
55
2(cos sin )
66
i
i
- 5 - 5
2[cos( - ) sin( - )]
3 6 3 6
zi
0.3 Dạng mũ của số phức

cos sin
i
ei
Định lý Euler (1707-1783)

z a bi
(cos sin )z r i
i
z re
Dạng đại số của số phức z
Dạng lượng giác của số phức z
Dạng mũ của số phức z
0.3 Dạng mũ của số phức

Ví dụ
Tìm dạng mũ của số phức sau
3zi
Dạng lượng giác:
55
2(cos sin )
66
zi
Dạng mũ:
5
6
2
i
ze
0.3 Dạng mũ của số phức

Ví dụ
Biểu diễn các số phức sau lên mặt phẳng phức
2
;
i

z e R
Môđun không thay đổi, suy ra tập hợp các điểm là đường tròn.
2
(cos sin )z e i
10/22/20 11
8
0.3 Dạng mũ của số phức

Ví dụ
Biểu diễn các số phức sau lên mặt phẳng phức
3
;
ai
z e a R
(cos 3 sin 3)
a
z e i
Argument không thay đổi, suy ra tập hợp các điểm là nửa
đường thẳng nằm trong góc phần tư thứ 2.
0.4 Nâng số phức lên lũy thừa

Định nghĩa phép nâng số phức lên lũy thừa bậc n
z a bi
2 2 2
( )( ) ( ) (2 )z z z a bi a bi a b ab i
3 3 3 2 2 3
( ) 3 3 ( ) ( ) z a bi a a bi a bi bi
0 1 1 2 2 2
( ) ( ) ( ) ( )
n n n n n n n

n n n n
z a bi C a C a bi C a bi C bi
n
z A iB
0.3 Nâng số phức lên lũy thừa

Ví dụ. Cho z = 2 + i. Tính z
5
.
55
)2( iz
55
5
44
5
323
5
232
5
41
5
50
5
22222 iCiCiCiCiCC
iii 1.2.5).(4.10)1.(8.10.16.532
i4138
0.3 Nâng số phức lên lũy thừa

Lũy thừa bậc n của số phức i:
ii

1
1
2
i
iiiii )1(
23
1)1()1(
224
iii
iiiii 1
45
1)1(1
246
iii
iiiii )(1
347
111
448
iii
Lũy thừa bậc n của i
Giả sử n là số tự nhiên, khi đó i
n
= i
r
, với r là phần dư của n
chia cho 4.
10/22/20 11
9
0.3 Dạng mũ của số phức

Ví dụ
Tính
1987
zi
1987 4 496 3
1987
zi
4 496 3 3
i i i
0.3 Nâng số phức lên lũy thừa

Cho z = 1 + i.
a) Tìm z
3
;
b) Tìm z
100
.
Ví dụ
33
) (1 )a z i
23
1 3 3i i i
1 3 3z i i
22zi
) Tính tương tự rất phức tạp. Ta sử dụng cách khácb
[ (cos sin )] (cos sin )
nn
r i r n i n
Cơng thức De Moivre

Cho r > 0, cho n là số tự nhiên. Khi đó
0.3 Nâng số phức lên lũy thừa

z a bi
(cos sin )ri
22
(cos 2 sin 2 )z z z r i
3 2 3
(cos 3 sin 3 )z z z r i
1
(cos sin )
n n n
z z z r n i n
0.3 Nâng số phức lên lũy thừa

Ví dụ. Sử dụng cơng thức de Moivre’s, tính:
a) (1 + i)
25
200
)31( i
b)
20
17
)212(
)3(
i
i
c)
Giải.
a) Bước 1. Viết 1 + i ở dạng lượng giác

)
4
sin
4
(cos21 iiz
Bước 2. Sử dụng cơng thức de Moivre’s:
)
4
25
sin
4
25
(cos)2()]
4
sin
4
(cos2[
252525
iiz
Bước 3. Đơn giản
)
4
sin
4
(cos22
1225
iz
10/22/20 11
10
0.4 Khai căn số phức

Định nghĩa căn bậc n của số phức
Căn bậc n của số phức z là số phức w, sao cho w
n
= z,
trong đó n là số tự nhiên.
(cos sin )z a bi r i
22
(cos sin ) (cos sin )
nn
n
k
kk
z r i z r i
nn
với k = 0, 1, 2, …, n – 1.
Căn bậc n của số phức z có đúng n nghiệm phân biệt.
0.4 Khai căn số phức

Ví dụ. Tìm căn bậc n của các số phức sau. Biểu diển các nghiệm
lên trên mặt phẳng phức.
3
8
a)
4
3 i
b)
8
16
1

i
i
c)
6
1
3
i
i
d)
5 12i
e)
12i
f)
Giải câu a)
b) Viết số phức ở dạng lượng giác:
8 8(cos 0 sin 0)i
Sử dụng công thức:
3
0 2 0 2
8(cos 0 sin 0) 2(cos sin )
33
k
kk
i z i
0,1,2.k
0.4 Khai căn số phức

Giải câu b)
b) Viết số phức ở dạng lượng giác:
Sử dụng công thức:

4
4
22
66
2(cos sin ) 2 (cos sin )
6 6 4 4
k
kk
i z i
0,1,2,3.k
3 2(cos sin )
66
ii
0
z
1
z
2
z
3
z
0.5 Định lý cơ bản của Đại số

Nhà bác học người Đức Carl Friedrich Gauss (1777-1855)
chứng minh rằng mọi đa thức có ít nhất một nghiệm.
Số nghiệm của một đa thức
Đa thức P(z) bậc n có đúng n nghiệm kể cả nghiệm bội.
10/22/20 11
11
0.5 Định lý cơ bản của Đại số

Định lý cơ bản của Đại số cho biết được số nghiệm của
phương trình mà không chỉ cách tìm các nghiệm đó như thế
nào.
Hệ quả
Nếu a + bi là một nghiệm phức của đa thức P(z) với hệ số
thực, thì a – bi cũng là một nghiệm phức.
Nếu đa thức với hệ số thực, chúng ta có một hệ quả rất quan
trọng sau đây
0.5 Định lý cơ bản của Đại số

(sử dụng hệ quả của định lý cơ bản)
1) Tìm đa thức bậc 3 với hệ số thực nhận z
1
= 3i và z
2
= 2+i
Ví dụ
làm nghiệm.
2) Tìm đa thức bậc 4 với hệ số thực nhận z
1
= 3i và z
2
= 2+i
làm nghiệm.
1) Không tồn tại đa thức thỏa yêu cầu bài toán.
2) Đa thức cần tìm là:
1 1 2 2
( ) ( )( )( )( )P z z z z z z z z z
( ) ( 3 )( 3 )( (2 ))( (2 ))P z z i z i z i z i

22
( ) ( 9)( 4 5)P z z z z
0.5 Định lý cơ bản của Đại số

Giải. Bởi vì đa thức với hệ số thực và 2 + i là một nghiệm,
theo hệ quả ta có 2 –i là một nghiệm.
P(z) có thể phân tích thành (z – (2 + i))(z - (2 – i)) =
= z
2
– 4z + 5
P(z) có thể ghi ở dạng
P(z) = (z
2
– 4z + 5)(z
2
+ 9)
z
2
+ 9 có hai nghiệm 3i và –3i. Vậy ta tìm được cả 4
nghiệm của P(z) là 2 + i, 2 – i, 3i, -3i.
(sử dụng hệ quả của định lý cơ bản)
Tìm tất cả các nghiệm của
biết 2 + i là một nghiệm.
Ví dụ
4536144)(
234
zzzzzP
0.5 Định lý cơ bản của Đại số

Giải phương trình sau trong C.

9
0zi
Ví dụ
9
zi
9
zi
9
cos sin
22
zi
22
22
cos sin
99
k
kk
zi
0,1, ,8.k
10/22/20 11
12
0.5 Định lý cơ bản của Đại số

Ví dụ. Giải các phương trình sau trong C.
01
5
iz
a)
012
2

izz
d)
02
24
zz
c)
01
2
zz
b)
Giải. Giải phương trình
0
2
cbzaz
acb 4
2
Bước 1. Tính
Bước 2. Tìm
2,1
2
4acb
Bước 3.
12
12
;
22
bb
zz
aa
Kết luận

2. Dạng Lượng giác của số phức
)sin(cos irz
3. Nâng lên lũy thừa
)sin(cos)]sin(cos[ ninrirz
nnn
4. Căn bậc n của số phức
)
2
sin
2
(cos)sin(cos
n
k
i
n
k
rzirz
n
k
n
n
.1, ,3,2,1 nk
1. Dạng Đại số của số phức
biaz