Một số sai lầm khi tính tích phân

Tên đề tài :
“PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN VÀ NHỮNG SAI LẦM
THƯỜNG GẶP KHI TÍNH TÍCH PHÂN”
PHẦN A : ĐẶT VẤN ĐỀ
I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Trong đề thi tốt nghiệp Bổ túc trung học phổ thổng (BTTHPT),Trung học
phổ thông (THPT) , Đại học , cao đẳng và trung học chuyên nghiệp của các
năm bài toán tích phân hầu như không thể thiếu nhưng đối với học sinh
THPT , BTTHPT bài toán tích phân là một trong những bài toán khó vì nó
cần đến sự linh hoạt của định nghĩa,tính chất và các phương pháp tính tích
phân.Trong thực tế đa số học sinh tính tích phân một cách hết sức máy móc
đó là : tìm một nguyên hàm của hàm số cần tính tích phân rồi dùng định
nghĩa của tích phân hoặc các phương pháp tính tích phân như đổi biến hoặc
từng phần.
Khi học sinh dùng phương pháp từng phần gặp nhiều khó khăn trong quá
trình tính như Đặt u bằng đại lượng nào? dv bằng đại lượng nào học sinh rất
mơ hồ trong cách đặt và dạng bài tập nào là phải dùng tích phân từng phần.
Hoặc là trong quá trình tính tích phân học sinh cứ việc tính mà không để ý
đến nguyên hàm của hàm số tìm được có phải là nguyên hàm của hàm số đó
trên đoạn lấy tích phân hay không?phép đổi biến đã đổi cận hay chưa?phép
đặt biến mới trong phương pháp đổi biến số có nghĩa không?phép biến đổi
hàm số có tương đương không?
Vì vậy trong quá trình tính tích phân học sinh thường mắc phải những sai lầm
dẫn đến lời giải sai.
Qua thực tế giảng dạy nhiều năm tôi nhận thấy rõ điều này của học sinh vì
vậy tôi mạnh dạn đề xuất sáng kiến : Phương pháp tính tích phân từng phần
và một số sai lầm thường gặp của học sinh khi tính tích phân.Nhằm giúp học
sinh khắc phục được những điểm yếu nêu trên từ đó đạt được kết quả cao khi
giải toán tích phân nói riêng và đạt kết quả cao trong học tập nói chung.
Qua đề tài này tôi mong rằng bản thân mình sẽ tìm hiểu sâu hơn về vấn đề
này , tự phân loại được một số dạnh toán tích phân , nêu lên một số phương

pháp giải cho từng dạng bài tập.từ đó giúp cho học sinh có thể dể dành hơn
trong quá trình tính tích phân.Qua nội dung này tôi hy vọng học sinh phát huy
được khả năng phân tích , tổng hợp , khái quát hóa các bài tập nhỏ , phân
dạnh bài tập.Từ đó hình thành cho học sinh khả năng tư duy sánh tạo trong
học tập.
II . NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
1
- Các phương pháp tính tích phân : phương pháp đổi biến , phương pháp
tính tích phân từng phần , tích phân hàm lượng giác , …
- Kỹ năng tính tích phân dựa vào bảng nguyên hàm cơ bản.
III . ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
- Học sinh BTTHPT
- Các phương pháp tính tích phân trong chương trình lớp 12.
IV . PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
- Tham khảo tài liệu, thu thập tài liệu,đúc rút kinh nghiệm,tổng kết kinh
nghiệm,kiểm tra kết quả.dự giờ,kiểm tra chất lượng học sinh,nghiên cứu hồ sơ
giảng dạy,điều tra trực tiếp thông qua các giờ dạy học, thể hiện ở nhiều đối
tượng học sinh khác nhau : Học sinh khá,giỏi,trung bình,yếu về môn toán.
- Cho học sinh phân dạng bài tập nào thì dùng tích phân từng phần để giải và
cách đặt như thế nào?cho các ví dụ cụ thể để học sinh áp dụng cách đặt trên
- Lựa chọn các ví dụ cụ thể phân tích tỉ mỉ những sai lầm của học sinh vận dụng
hoạt động năng lực tư duy và kỷ năng vận dụng kiến thức của học sinh để từ đó
đưa ra lời giải đúng.
V . PHẠM VI NGHIÊN CỨU
Giới hạn ở vấn đề giảng dạy Nguyên hàm – Tích phân trong chương trình lớp
12 ở BTTHPT,THPT
2
PHẦN B: NỘI DUNG
I . CƠ SỞ KHOA HỌC
Dưa trên nguyên tắc nhận thức của con người đi từ “cái tổng quát đến cái cụ thể,

từ cái sai đến cái gần đứng rồi mới đến cái đúng”,các nguyên tắc dạy học và đặc
điểm quá trình nhận thức của học sinh.
II . NỘI DUNG CỤ THỂ.
1. Tích phân bằng phương pháp từng phần
Công thức từng phần :
∫∫
−=
b
a
b
a
b
a
vduvuudv .
Phương pháp :
B1/ Đặt một biểu thức nào đó dưới dấu tích phân bằng u tính d
u
. Phần còn
lại là d
v
, tìm v.
B2/ Dùng công thức tính tích phân từng phần.
B3/ Tính và suy ra kết quả.
Chú ý. Lý thuyết là vậy,nhưng trong thực tế học sinh gặp rất nhiều khó khăn
trong việc tính toán,học sinh rất mỏ hồ về cách đặt u và d
v
.học sinh chưa phân
biệt được trong bài toán cụ thể nên đặt u bằng biểu thức nào, d
v
bằng biểu thức

nào.Vì lẻ đó tôi manh dạn đưa ra hai loại bài tập về tích phân từng phần mà học
sinh thường gặp phải,mà trong chương trình phổ thông không đua ra công thức
Loại 1:
∫
b
a
dxxgxf ).().(
Trong đó : -
)(xf
là một hàm đa thức
-
)(xg
là một trong các hàm số :
)(cos
1
;
)(sin
1
);sin();cos(;
22
baxbax
baxbaxe
bãx
++
++
+
- Đặt




=
=
dxxgdv
xfu
).(
)(

Nếu bậc của
)(xf
là 2;3;4 thì ta tính từng phần 2;3;4 lần theo cách đặt trên.
Loại 2 :
∫
b
a
dxxgxf ).(ln).(
Trong đó : -
)(xf
là một hàm đa thức
Đặt :



=
=
dxxfdv
xgu
).(
)(ln
Ví dụ : tính các tích phân sau:
a/ I =

∫
2
0
cos.
π
xdxx
b/ J =
( )
dxxx .sin12
2
0
2
∫
−
π
c/ K =
∫
1
0
3
dxex
x
giải
3
a/ Đặt :



=
=

dxxdv
xu
.cos



=
=
⇔
xv
dxdu
sin
vậy : I =
1
2
cos
2
.sinsin.
2
0
2
0
2
0
−=+=−
∫
ππ
π
π
π

xdxxxx
b/ Đặt :



−=
=
⇔



=
−=
xv
dxxdu
dxxdv
xu
cos
.4
.sin
12
2
Vậy : J =
( )
52)1
2
(41.cos.4cos12
2
0
2

0
2
−=−+−=+−−
∫
π
π
π
π
dxxxxx
c/ Đặt :





=
=
⇔



=
=
x
x
ev
dxdu
dxedv
xu
3

3
3
1
.
Vậy : K =
)1.2(
9
1
9
1
.
9
1
.
3
1
.
9
1
.
3
1
.
3
1

3
1
3331
0

33
1
0
31
0
3
+=+−=−=−
∫
eeeeedxeex
xxx
Ví dụ 2 ; tính các tích phân sau
a/ I =
∫
e
dxxx
1
.ln.
b/ J =
∫
+
1
0
2
).1ln(. dxxx
giải
a/ Đặt :








=
=
⇔



=
=
2
.
1
.
ln
2
x
v
dx
x
du
dxxdv
xu
vậy : I =
)1(
4
1
4
1

42
.
4
1
2
.
2
1
ln.
2
2
22
1
2
2
1
1
2
+=+−=−=−
∫
e
ee
x
e
dxxx
x
e
e
e
b/ Đặt :








=
+
=
⇔



=
+=
2
.
1
2
.
)1ln(
2
2
2
x
v
dx
x
x

du
dxxdv
xu
Vậy : J =
dx
x
x
xdx
x
x
x
x
).
1
(2ln
2
1
.
1
)1ln(.
2
1
0
2
1
0
2
3
1
0

2
2
∫∫
+
−−=
+
−+
=
2
1
2ln)]1ln(.
2
1
.
2
1
[2ln
2
1
1
0
22
−=+−− xx
Một số bài tập tương tự
Bài 1.tính các tích phân
4
a/ I =
dxex
x
)1(

1
0
22
∫
+
b/ J =
∫
3
4
2
sin
.
π
π
x
dxx
c/ K =
dxxx .cos.)13(
2
0
∫
+
π
Bài 2: tính các tích phân sau
a/ I =
∫
e
dxx
1
.ln

b/ J =
∫
e
dx
1
3
.ln
d/ K =
dxxx
e
.)1ln(.
1
2
∫
−
2 . Một số sai lầm khi tính tích phân:
Ví dụ 1: Tính tích phân : I =
∫
−
+
1
3
2x
dx
• Sai lầm thường gặp : I =
3ln2ln
2
1
3
1

3
=+=
+
−
−
∫
x
x
dx
• Nguyên nhân sai lầm: hàm số
2
1
+
=
x
y
không xác định tại
]1;3[2 −∈−=x
suy ra
không liên tục trên [-3;1] nên không sử dụng được công thức newton – leibnitz
như cách giải trên.
• Lời giải đúng : hàm số
2
1
+
=
x
y
không xác định tại
]1;3[2 −∈−=x

suy ra không
liên tục trên [-3;1] do đó không tồn tại tích phân trên.
Chú ý : Khi tính tích phân
∫
b
a
dxxf ).(
, cần chú ý xem hàm số
)(xfy =
có liên tục trên
đoạn [a;b] không?
- Nếu có thì ta áp dụng phương pháp đã họcđể tính tích phân đó.
- Nếu không thì kết luận ngay hàm số này không tồn tại.
• Một số bài tập tương tự
Tính các tích phân sau
1./ I =
( )
∫
−
2
0
3
1x
dx
2./ J =
dxxx .1
2
3
2
−

∫
−
3./ K =
∫
2
0
6
sin
π
x
dx
Ví dụ 2. Tính tích phân : I =
∫
−
2
0
cos2
sin
π
x
xdx
• Sai lầm thường gặp : Đặt :
xu cos2 −=
x
du
dxdxxdu
sin
.sin =⇒=⇔
Đổi cận :
2

2
;10 =⇒==⇒= uxux
π
Vậy : I =
2lnln
sin.
.sin
2
1
2
1
2
1
===
∫∫
u
u
du
xu
dux
5
• Nguyên nhân sai lầm : vì khi đổi cận về 1 và 2 thì trong biểu thức vẫn còn chứa
x
• Lời giải đúng :
xu cos2
−=
dxxdu .sin
=⇔
Đổi cận :
2

2
;10 =⇒==⇒= uxux
π
Vậy : I =
2lnln
2
1
2
1
==
∫
u
u
du
Chú ý : Khi làm bài tập về tích phân đổi biến cần chú ý
- Đổi cận.
- sau khi đổi cận ta làm hoàn toàn trên biến mới và cận mới mà không còn biến cũ
suất hiện trong phép tính tích phân khi ta đã đổi cận.
Ví dụ 3 : Tính tích phân sau : I =
∫
+
π
0
sin1 x
dx
* Sai lầm thường gặp : Đặt :
dx
x
dx
x

dt
x
t ).1
2
(tan
2
1
.
2
cos
2
2
tan
2
2
+==⇒=
thì
2
1
2
t
dt
dx
+
=
Mà :
2
2
)1(
1

sin1
1
t
t
x
+
+
=
+
Do đó ta có :
( ) ( )
c
t
tdt
t
dt
t
dt
t
t
x
dx
+
+
−=++=
+
=
+
+
+

=
+
∫∫ ∫∫
−
1
2
)1(.)1(2
1
2
1
2
.
1
1
sin1
2
222
2
Suy ra :
0tan1
2
2
tan1
2
2
tan1
2
sin1
0
0

+
+
+
−
=
+
−=
+
∫
π
π
π
x
x
dx
Do tan
2
π
không tồn tại nên tích phân trên không xác định.
• Nguyên nhân sai lầm :
Đặt :
2
tan
x
t =
, vì
];0[
π
∈x
tại

π
=x
thì
2
tan
x
không có nghĩa.
• Lời giải đúng
I =
∫∫∫∫∫
−
−
=
−
=
−+
=
−+
=
+
πππππ
π
π
πππ
0
2
0
2
000
)

42
(cos
)
42
(
)
42
(cos2)
42
(2cos1)
2
cos(1
sin1
x
x
d
x
dx
x
dx
x
dx
x
dx
=
2
4
tan
4
tan

42
tan
0
=






−−=






−
πππ
π
x
• Chú ý : Đối với phương pháp đổi biến số khi đặt t = u(x) thì u(x) phải là
một hàm số liên tục và có đạo hàm liên tục trên [a;b]
• Bài tập tương tự.
6
Tính tích phân : J =
∫
+
π
0

cos1 x
dx
Ví dụ 4 : Tính tích phân sau
a.) I =
dxx.sin1
2
0
∫
+
π
b.) J =
dxxx .12
2
0
2
∫
+−
Sai lầm thường gặp :
I =
dxx.sin1
2
0
∫
+
π
=
2
.
2
cos

2
sin2.
2
cos
2
sin
2
0
2
0
2
x
d
xx
dx
xx
∫∫






+=







+
ππ
= 2
( ) ( )
40sin0cos2sincos2
2
sin
2
cos
2
0
=+−−+−=






+−
ππ
π
xx
Nguyên nhân sai lầm :
2
.
2
cos
2
sin2.
2

cos
2
sin
2
0
2
0
2
x
d
xx
dx
xx
∫∫






+=






+
ππ
Nhớ lại rằng :

AA =
2
do đó
2
cos
2
sin
2
cos
2
sin
2
xxxx
+=






+
Lời giải đúng :
I =
dxx.sin1
2
0
∫
+
π
=

dx
xx
dx
xx
.
2
cos
2
sin.)
2
cos
2
(sin
2
0
2
0
2
∫∫
+=+
ππ
=






+







+=






+
∫∫
42
.
42
sin22.
42
sin2
2
0
2
0
πππ
ππ
x
d
x
dx

x
=






+






+−






+






+

∫∫
42
.
42
sin22
42
.
42
sin22
2
2
3
2
3
0
ππππ
π
π
π
x
d
xx
d
x
=
24
42
cos22
42
cos22

2
2
3
2
3
0
=






++






+−
π
π
π
ππ
xx
b. Sai lầm thường gặp :
J =
( ) ( ) ( )
( )

0
2
1
)1(.1.1.1.12
2
0
2
2
0
2
0
2
0
2
2
0
2
=
−
=−−=−=−=+−
∫∫∫∫
x
xdxdxxdxxdxxx
* Nguyên nhân sai lầm :
Phép biến đổi
( )
11
2
−=− xx
, với

]2;0[∈x
là không tương đương.
Lời giải đúng :
J =
( ) ( ) ( )
dxxdxxdxxdxxdxxx .1.1.1.1.12
2
1
1
0
2
0
2
0
2
2
0
2
∫∫∫∫∫
−+−−=−=−=+−
=
( ) ( )
1
2
1
2
1
2
1
2

1
2
1
2
1
0
2
=+=
−
+
−
−
xx
7
Chú ý : + đối với giá trị tuyệt đối
( )
)()(
2
2
xfxf
n
n
=
, với
Nnn ∈≥ ,1
+
( )
dxxfdxxf
b
a

b
a
n
n
.)(.)(
2
2
∫∫
=
Ta phải xét dấu hàm số f(x) trên [a;b]
rồi dùng tính chất tích phân tách I thàh tổng các phần không chứa dấu giá
trị tuyệt đối.
Một số bài tập tương tự: tính các tích phân sau
1.) I =
dxx.2sin1
0
∫
−
π
2.) J =
dxxx .44
2
3
0
+−
∫
3.)
dxxx .2cottan
3
6

22
∫
−+
π
π
Ví dụ 5.Tính tích phân : I =
dx
x
x
.
1
1
1
1
4
2
∫
−
+
−
• Sai lầm thường gặp :
I =
dx
x
x
x
x
x
x
.

2
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
1
1
2
2
2
∫∫
−−
−






+







−
=
+
−
Đặt : t =
dx
x
dt
x
x .
1
1
1
2






−=⇒+
Đổi cận :
21
−=⇒−=
tx
;
21
=⇒=

tx
Ta có : I =
( )
2
2
2
2
2
2
2
2ln2ln
22
1
.
2
1
2
1
22
1
2
−
−−
−−+
−
=







−
−
+
−=
−
∫∫
ttdt
tt
t
dt
=
2
2
2
2
ln
22
1
−
−
+
−
t
t
= -
22
1
ln

22
22
ln
22
1
22
22
−−
+−
+
−
+
=
223
223
ln
22
1
+
−
• Nguyên nhân sai lầm :
Khi ta chia cả tử và mẫu của biểu thức :
4
2
1
1
x
x
+
−

cho
2
x
là sai vì trong [-1;1] chứa
0=x
nên ta không thể chia cả tử và mẫu cho
2
x
được.
• Lời giải đúng :
8
Ta thấy
12
12
ln
22
1
)(
2
2
++
+−
=
xx
xx
xF
có đạo hàm

4
2

,
2
2
,
1
1
12
12
ln
22
1
)(
x
x
xx
xx
xF
+
−
=








++
+−

=
Do đó : I =
223
223
ln
22
1
12
12
ln
22
1
.
1
1
1
1
2
2
1
1
4
2
+
−
=
++
+−
=
+

−
−
−
∫
xx
xx
dx
x
x
• Chú ý : Khi tính tích phân mà ta cần chia cả tử và mẫu của hàm số dưới
dấu tích phân cho x ta cần để ý rằng trong đoạn lấy tích phân phải không
chứa điểm x = 0.
III . HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGIỆM
1. Kết quả thực tế:
Ban đầu học sinh gặp khó khăn nhất định trong việc giải những dạng tích phân
như đã nêu.Tuy nhiên giáo viên hướng dẫn học sinh tỉ mỉ cách phân tích một bài
toán tích phân,lựu chọn phương pháp phù hợp trên cơ sở giáo viên đưa ra cách
đặt u,dv(đối với những bài toán sử dụng phương pháp từng phần), đưa ra những
sai lầm mà học sinh thường mắc phải trong quá trình suy luận,trong các bước
tính tích phân.Từ đó các em có nhưng lời giải đúng.
Sau khi hướng dẫn học sinh và yêu cầu học sinh giải một số bài tập tích phân
trong sách giáo khoa Giải tích lớp 12 , một số bài tập tích phân trong sách bài tập
Giải tích lớp 12 cơ bản , nâng cao và một số bài trong các đề thi tuyển sinh vào
đại học , cao đẳng và trung học chuyên nghiệp của các năm trước thì các em đã
làm tốt khi trình bày cách giải,biết phân loại bài tâp, đặt u , dv rất thành thạo ,
không mắc phải các sai lầm đáng tiếc.
2. Kết quả thực nghiệm
Sáng kiến được áp dụng trong năm học 2011 – 2012
Kiểm tra trên lớp 12B(41 học sinh) không áp dụng sáng kiến .cho kết quả
Xếp loại

Đối tượng
Giỏi Khá TB Yếu
12B 0% 2% 38% 60%
Kiểm tra trên lớp 12B(41 học sinh) áp dụng sáng kiến.Cho kết quả như sau:
Xếp loại Giỏi Khá TB Yếu
9
Đối tượng
12B
55% 35% 10% 0%

Sau khi thực hiện sáng kiến kinh nghiệm học sinh học tập rất tích cực và hứng
thú,đặc biệt là các bài toán về tích phân từng phần các em rất thành thạo phân
loại bài tập, cách đặt u,dv. Và các em cũng rất thận trọng trong quá trình tính
tích phân,các em hiểu rỏ bản chất của vấn đề chứ không rập khuôn một cách
máy móc như trước,đó là việc phát huy tính tích cụa,chủ động,sáng tạo của
học sinh.
PHẦN C: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
I. KẾT LUẬN
10
Nguyên cứu , phân tích phương pháp tính tích phân từng phần và những
sai lầm khi tính tích phân của học sinh có ý nghĩa rất quan trọng trong quá
trình dạy và học vì khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm này sẽ giúp học
sinh nhìn thấy được những điểm yếu và những hiểu biết thật thấu đáo của
mình về vấn đề này từ đó phát huy ở học sinh tư duy độc lập , năng lực
suy luận , tích cực chủ động củng cố trau dồi thêm kiến thức về tích phân
từ đó làm chủ được kiến thức , đạy được kết quả cao trong quá trình học
tập và các kỳ thi tuyển sinh vào các trường đại học , cao đẳng .
II. KIẾN NGHỊ
Hiện nay Trung Tâm GDTX Tĩnh Gia đã có một số cuốn sách tham khảo,
nhưng chưa phong phú đặc biệt chưa có một cuốn sách nào viết về sai lầm

của học sinh khi giải toán.vì vậy Trung Tâm cần quan tâm hơn nữa về việc
trang bị thêm sách tham khảo loại này để học sinh được tìm tòi về các
cách tính tích phân từng phần và những sai lầm khi tính tích phân.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
11
1. Giải tích cơ bản 12. TRần Văn Hạo – Vũ Tuấn ( Nhà Suất bản : Giáo
Dục )
2. Bài tập Giải tích cơ bản 12 . Vũ Tuấn – Lê Thị Thiên Hương ( Nhà Suất
Bản Giáo Dục )
3. Bài tập giải tích nâng cao 12 . Nguyễn Huy Đoan – Đoàn Quỳnh ( Nhà
Suất Bản Giáo Dục )
4. Hướng dẫn ôn thi tốt nghiệp môn toán lớp 12. Phạm Vĩnh Phúc ( Nhà Suất
Bản Giáo Dục )
5. Phương pháp tính tích phân. Lê Hồng Đức – Lê Bích Ngọc ( Nhà suất Bản
Hà Nội)
6. Giải Tích Nâng Cao 12 . Nguyễn Huy Đoan – Đoàn Quỳnh ( Nhà Suất Bản
Giáo Dục )
MỤC LỤC:
12
PHẦN A: ĐẶT VẤN ĐỀ……………………………………………… 1
I. Lý do chọn đề tài……………………………………………… 1
II. Nhiệm vụ nghiên cứu…………………………………………… …1
III. Đối tượng nghiên cứu……………………………………… …… 2
IV. Phương pháp nghiên cứu……………………………………… … 2
V. Phạm vi nghiên cứu 2
PHẦN B: NỘI DUNG… 3
I Cở sở khoa học 3
II. Nội dung cụ thể 3
1.Tính tích phân bằng phương pháp từng phần 3
2.Một số sai lầm khi tính tích phân 5

III. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiêm 9
1. Kết quả thực tế 9
2. Kết quả thực nghiệm 9
PHẦN C: KẾT LUẬN VÀ KIẾNNGHỊ 11
I. Kết luận 11
II. Kiến nghị 11
Tài liệu tham khảo 12
13