ĐỘ CẢM TỪ CỦA TẬP HỢP VÒNG LƯỢNG TỬ BÁN DẪN ĐỐI XỨNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA VẬT LÝ

Khóa luận tốt nghiệp khoa Vật lý - ĐHSPHN
LỜI CẢM ƠN
Trước tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Lê Minh Thư,
người đã tận tình hướng dẫn tôi thực hiện khóa luận này. Trong suốt một thời
gian dài, mặc dù công việc giảng dạy và nghiên cứu của thầy rất bận rộn
nhưng thầy vẫn dành cho tôi những khoảng thời gian quý giá để chỉ bảo tận
tình giúp tôi hoàn thành được khóa luận. Sự giúp đỡ, động viên kịp thời và
những tình cảm thầy dành cho tôi đã giúp tôi tự tin vượt qua những khó khăn
trong quá trình thực hiện khóa luận.
Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa Vật Lí – Trường Đại
học Sư phạm Hà Nội đã trang bị cho tôi vốn kiến thức quý báu để tôi có thể
thực hiện khóa luận, cũng như làm giàu thêm hành trang kiến thức để tôi tiếp
tục sự nghiệp sau này.
Hà Nội, tháng 5 năm 2014
Tác giả: Nguyễn Thanh Thủy.
Nguyễn Thanh Thủy_BK60
Khóa luận tốt nghiệp khoa Vật lý - ĐHSPHN
MỤC LỤC
Nguyễn Thanh Thủy_BK60
Khóa luận tốt nghiệp khoa Vật lý - ĐHSPHN
MỞ ĐẦU
Thành tựu của khoa học Vật lý cuối những năm 80 của thế kỷ 20 được
đặc trưng bởi sự chuyển hướng đối tượng nghiên cứu chính từ các vật liệu bán
dẫn khối (bán dẫn có cấu trúc 3 chiều) sang bán dẫn thấp chiều [1-5]. Các hệ
thấp chiều có kích thước lượng tử được tạo ra bởi các vật liệu bán dẫn như:
các giếng lượng tử (Quantum Wells), các siêu mạng (Superlatices), các dây
lượng tử (Quantum Wires), các chấm lượng tử (Quantum Dots) và các vòng
lượng tử (Quantum Rings) [6-14]. Các cấu trúc này được kì vọng sẽ đóng vai
trò quan trọng trong sự phát triển của vật lí mới cũng như rất nhiều các ứng
dụng trong điện tử học, quang học, quang tử học và máy tính lượng tử. [4, 7,
15-20] Tuỳ thuộc vào cấu trúc bán dẫn cụ thể mà chuyển động tự do của các

hạt tải (điện tử, lỗ trống, …) bị giới hạn theo một, hai, hoặc cả ba chiều trong
không gian mạng tinh thể. Với giếng lượng tử, hạt tải chỉ có thể chuyển động
tự do theo hai chiều (2D) và bị giam cầm theo một chiều. Với dây lượng tử,
hạt tải chỉ có thể chuyển động tự do theo một chiều (1D) và bị giam cầm theo
hai chiều. Với chấm lượng tử, chuyển động của các hạt tải bị giới hạn theo cả
3 chiều (0D). Chính sự giam cầm lượng tử làm ảnh hưởng tới chuyển động
của các điện tử và lỗ trống từ đó làm thay đổi một số tính chất của vật liệu cả
về phổ năng lượng cũng như mật độ trạng thái. Đồng thời, các tính chất
quang, tính chất điện, tính chất từ của các cấu trúc thấp chiều cũng xuất hiện
nhiều đặc tính mới hoàn toàn khác so với bán dẫn khối thông thường. [1-4,7].
Những nghiên cứu về sự mở rộng của cường độ trung bình của phổ
phát quang của các chấm lượng tử do sự không đồng nhất về kích thước của
các chấm đã thu hút được sự quan tâm từ các nhà khoa học trong nhiều năm
qua. Bên cạnh đó, các kết quả thực nghiệm gần đây cũng đã chỉ ra sự phụ
thuộc ổn định vào nhiệt độ của độ cảm từ của vòng lượng tử bán dẫn. [9] Các
tác giả cũng đã cho rằng nguyên nhân của điều này là do sự không đồng nhất
của kích thước của các vòng lượng tử InAs/GaAs trong tập hợp vòng nhưng
Nguyễn Thanh Thủy_BK60
1
Khóa luận tốt nghiệp khoa Vật lý - ĐHSPHN
không có tính toán lí thuyết hay mô phỏng nào chứng minh. Trong khóa luận
này, chúng tôi mô phỏng độ từ hóa và độ cảm từ của tập hợp vòng lượng tử
bán dẫn InAs/GaAs đối xứng khi tính đến sự không đồng nhất về kích thước
của các vòng trong tập hợp. Chúng tôi sử dụng lí thuyết gần đúng khối lượng
hiệu dụng để tìm trạng thái (năng lượng và hàm sóng) của điện tử giam cầm
trong vòng lượng tử bán dẫn. Thế giam cầm trong biểu thức của Hamiltonian
của điện tử có dạng thế liên tục (smooth confinement potential). [21-25] Từ
trường ngoài áp đặt lên hệ hướng theo trục Oz, cũng là hướng mọc của vòng
lượng tử. Sử dụng phương pháp “2D-mapping”, chúng tôi giải phương trình
Schrodinger để tìm trạng thái (năng lượng và hàm sóng) của điện tử bằng

phần mềm mô phỏng Comsol Multiphysic [26]. Sử dụng kết quả tính toán này
chúng tôi sẽ mô phỏng độ từ hóa và độ cảm từ của tập hợp vòng lượng tử bán
dẫn vào từ trường và nhiệt độ khi tính đến sự không đồng nhất của bán kính
của các vòng trong tập hợp. Các kết quả mô phỏng sẽ được so sánh với kết
quả thực nghiệm và những tính toán, mô phỏng của các tác giả khác.
Bố cục của khóa luận: ngoài phần mở đầu, kết luận, cùng danh mục
tài liệu tham khảo, khóa luận được trình bày thành ba chương:
Chương 1. Tổng quan về hệ thấp chiều
1.1. Các hệ thấp chiều.
1.2. Vòng lượng tử bán dẫn.
Chương 2. Phương pháp tính toán
2.1. Phương pháp khối lượng hiệu dụng.
2.2. Phương trình Schrodinger trong gần đúng một vùng.
2.3. Độ từ hóa và độ cảm từ của tập hợp vòng lượng tử bán dẫn.
Chương 3. Kết quả và thảo luận
3.1. Sự phụ thuộc của các hệ số B
C
, và vào R.
3.2. Độ từ hóa và độ cảm từ của tập hợp vòng lượng tử bán dẫn đối xứng.
Nguyễn Thanh Thủy_BK60
2
Khóa luận tốt nghiệp khoa Vật lý - ĐHSPHN
CHƯƠNG I: TỔNG QUAN VỀ HỆ THẤP CHIỀU
1.1. Các hệ thấp chiều
Trong chương này, chúng ta sẽ đi tìm hiểu các khái niệm cơ bản về hệ
thấp chiều. Trước tiên, ta đi tìm hiểu về các độ dài đặc trưng cho hệ thấp
chiều trong phần 1.1.1. Trong mục 1.1.2, chúng ta đi tìm hiểu khái niệm
chiều, sau đó là mối quan hệ giữa mật độ trạng thái và cấu trúc vùng năng
lượng của các hệ khác nhau (1.1.3). [1-3]
1.1.1. Các độ dài đặc trưng cho hệ Mesoscopic

Vật lí hệ thấp chiều nghiên cứu về các hệ vật lí có kích thước
micromet, nanomet. Việc nghiên cứu và tạo ra các cấu trúc thấp chiều từ các
chất bán dẫn, chính là cơ sở của sự phát triển mạnh mẽ máy tính. Hàng loạt
các linh kiện, thiết bị điện tử được ứng dụng công nghệ bán dẫn thấp chiều đã
và đang được tạo ra, chẳng hạn như: các lase bán dẫn chấm lượng tử, các điôt
huỳnh quang điện, pin mặt trời, các vi mạch điện tử tích hợp thấp chiều,….Vì
vậy, vật liệu hệ thấp chiều đang trở thành mục tiêu nghiên cứu của các nhà vật
lí. Khi nghiên cứu về hệ thấp chiều, người ta đưa ra các độ dài đặc trưng như
sau. [1-3]
1.1.1.1. Bước sóng Fermi (
F
λ
).
F
F
k
π
λ
2
=
(1.1)
k
F
: vectơ sóng Fecmi.
Vì ở nhiệt độ 0K, các điện tử chỉ chiếm các trạng thái với
F
kk
≤

nên

hệ thức giữa k
F
và mật độ điện tử n khi tính đến spin:
Nguyễn Thanh Thủy_BK60
3
Khóa luận tốt nghiệp khoa Vật lý - ĐHSPHN









=
=
=
=
1,
2
2
2,
)2(
2
3,
3
4
)2(
2

2
2
3
3
dk
dk
dk
n
F
F
F
π
π
π
π
π
(1.2)
Với d là số chiều của hệ.
Như vậy
F
λ

phụ thuộc vào n. Ví dụ với kim loại điển hình (Ag,Cu): n
cao nên
F
λ

chỉ chừng vài Angstrom
0
A

. Với bán dẫn 2 chiều (trong cấu trúc dị
thể GaAs-AlGaAs) n=5.10
11
cm
-2
thì
F
λ
cỡ 35 nm.
Ở nhiệt độ thấp, dòng chủ yếu mang bởi điện tử với k gần k
F
.
1.1.1.2.Quãng đường tự do trung bình (l).
Trong tinh thể hoàn hảo, các điện tử chuyển động như trong chân
không với khối lượng hiệu dụng. Lệch khỏi mạng hoàn hảo (tạp chất, dao
động mạng…) dẫn đến các va chạm làm cho điện tử bị tán xạ, chuyển từ trạng
thái này sang trạng thái khác. Khi lệch khỏi mạng tinh thể hoàn hảo, chúng ta
có khái niệm quãng đường tự do trung bình: quãng đường tự do trung bình là
khoảng cách trung bình mà điện tử dịch chuyển được trước khi momentum
ban đầu của nó bị phá hủy. Khái niệm quãng đường tự do trung bình đóng
một vai trò quan trọng trong lý thuyết dịch chuyển Boltzman.
Ở nhiệt độ thấp, tính chất chuyển được xác định bởi các điện tử có
F
kk

≈
, có thể viết:
mF
vl
τ

.
=
(1.3)
Với
m
hk
v
F
F
=
: vận tốc Fermi,
m
τ
: thời gian hồi chuyển xung lượng
(thường lớn hơn rất nhiều thời gian va chạm).
1.1.1.3.Độ dài kết hợp pha ( L
ϕ
).
Nguyễn Thanh Thủy_BK60
4
Khóa luận tốt nghiệp khoa Vật lý - ĐHSPHN
Trong tinh thể hoàn hảo, chuyển động của điện tử được mô tả bởi một
phương trình Schrodinger.
Trong hệ thực, điện tử tán xạ bởi tạp chất, dao động mạng (phonon)
hay bởi các điện tử khác khiến năng lượng thay đổi từ E đến E+
E∆
nên pha
của hàm sóng bị phá hủy. Thời gian kết hợp pha
ϕ
τ

, là khoảng thời gian lưu
giữ kí ức về pha. Thời gian
ϕ
τ

có thể xác định:
ϕ
∆
~
ϕ
τ
.E∆
~1 (1.4)
Việc tính
ϕ
τ

cần thực hiện cho từng cơ chế tán xạ và thường không
đơn giản,
P
T
−
∝
ϕ
τ
(1.5)
với T là nhiệt độ của hệ,
p=2 cho tán xạ điện tử - điện tử,
p>2 cho tán xạ điện tử - phonon,
Biết

ϕ
τ

ta định nghĩa độ dài kết hợp pha:
ϕϕ
τ
F
vL
=
(1.6)
Nhưng (1.6) chỉ đúng nếu
ϕ
τ

≤

m
τ
: thường quan sát được ở các bán
dẫn có độ linh động cao. Với bán dẫn có độ linh động thấp hay các đa tinh thể
thường
ϕ
τ
>>
m
τ
. Khi đó, độ dài kết hợp pha được tính bằng công thức:
ϕϕ
τ
DL

=
2
(1.7)
Với D là hệ số khuếch tán.
Từ (1.5), (1.6) và (1.7) rút ra:
2/P
TL
−
∝
ϕ
(1.8)
Ta thấy có 3 độ dài đặc trưng cho các hệ thấp chiều. Điều kiện để một
hệ là hệ thấp chiều khi kích thước của nó nhỏ hơn hoặc bằng một hoặc cả 3 độ
dài đặc trưng. Tỷ đối giữa
F
λ
, l,
ϕ
L
là tùy thuộc vật liệu, với vật dẫn thường
Nguyễn Thanh Thủy_BK60
5
Khóa luận tốt nghiệp khoa Vật lý - ĐHSPHN
thì
F
λ

≤
l
≤

ϕ
L
. Nói chung, các kích thước này cỡ nm nằm giữa kích thước
microscopic cỡ
0
A
.
1.1.2. Khái niệm chiều
Xét một hạt chuyển động trong mẫu hình hộp có các cạnh L
1
, L
2
,L
3
: L
1
≤
L
2
≤
L
3.
Giả sử, bên trong thế năng bằng 0, bên ngoài thế năng bằng vô hạn. Khi
đó, giải phương trình Schrodinger, ta có năng lượng của hạt:



















+








+









=
3
3
3
2
2
2
2
1
1
2
321
2
),,(
L
n
L
n
L
n
m
nnnE

(1.9)
Với n
1
,n
2
,n
3

: số nguyên.
Với mẫu đo bình thường L cỡ mm, dẫn tới khoảng cách giữa các mức
(1.9) là nhỏ. Ví dụ L=1mm thì
E∆
=
≈
2
22
1
.
2
L
m
π

3,8.10
-10
MeV hiệu ứng lượng
tử hóa mức năng lượng là không quan trọng. Giảm L đến giá trị gần với bước
sóng Fecmi hiệu ứng lượng tử hóa đóng vai trò quan trọng. Công nghệ nano
hiện đại cho phép chế tạo vật liệu với L cỡ (
ϕ
λ
Ll
F
,,
). Một cách tương đối có
thể phân lớp các mẫu đo bằng cách so sánh các kích thước của nó với một
trong (ví dụ
F

λ
) hoặc cả ba độ dài đặc trưng (
ϕ
λ
Ll
F
,,
).
So sánh kích thước mẫu với bước sóng Fermi, ta có phân dạng như sau:
a. Hệ ba chiều (vật liệu khối thông thường)
Nguyễn Thanh Thủy_BK60
6
Khóa luận tốt nghiệp khoa Vật lý - ĐHSPHN
(1.10.a)
b. Hệ hai chiều (giếng lượng tử)
(1.10.b)
c. Hệ một chiều (dây lượng tử)
(1.10.c)
d. Hệ không chiều (chấm lượng tử)
(1.10.d)
(a) (b) (c) (d)
Hình 1.1: Mô phỏng các hệ thấp chiều
(a)Hệ ba chiều, (b) Hệ hai chiều, (c) Hệ một chiều, (d) Hệ không chiều
Ngoài 4 hệ chính ở trên, người ta còn chia thành các hệ khác nữa như
hệ giả 3 chiều, giả 2 chiều, giả 1 chiều và giả 0 chiều.
1.1.3. Mối liên hệ giữa mật độ trạng thái với năng lượng
a.Hệ ba chiều
Giả sử khối 3 chiều L
x
,L

y
,L
z
, dùng điều kiện biên tuần hoàn Born –
Karman:
x
xx
L
nk
π
2
.
=
(1.11)
y
yy
L
nk
π
2
.
=
(1.12)
z
zz
L
nk
π
2
.

=
(1.13)
Phần thể tích trong không gian chiếm bởi một trạng thái riêng rẽ:
Nguyễn Thanh Thủy_BK60
7
Khóa luận tốt nghiệp khoa Vật lý - ĐHSPHN
VLLL
zyx
3
)2(222
ππππ
=××
(1.14)
Trong đó, V là thể tích của hệ.
Mặt khác, ta có năng lượng của điện tử xác định bởi:
m
k
EE
2
22
0

+=
(1.15)
nên số trạng thái với năng lượng nhỏ hơn E, tương ứng nằm trong hình
cầu bán kính k là (thừa số 2 liên quan đến spin của điện tử):
2/3
0
3
2/3

3
3
)(
3
)2(
)/8(
)3/4(
2)( EE
m
V
V
k
EN
T
−==

ππ
π
(1.16)
Khi đó, ta có mật độ trạng thái là:
2/1
0
3
2/3
)(
2
)2(
)(
1
)( EE

m
EN
dE
d
V
EN
T
−==

π
(1.17)
(a) (b)
Hình 1.2 : Đồ thị năng lượng (a) và đồ thị mật độ trạng thái (b) của hệ ba chiều.
Phổ năng lượng liên tục, các hạt tải chuyển động gần như tự do.
b.Hệ hai chiều
Giả sử, hệ hai chiều có kích thước L
x
, L
y
. Dùng điều kiện biên tuần
hoàn Born-Karman ta có:
Nguyễn Thanh Thủy_BK60
8
0
EE
−
Khóa luận tốt nghiệp khoa Vật lý - ĐHSPHN
y
yy
x

xx
L
nk
L
nk
π
π
2
2
=
=
(1.18)
Khi đó, phần thể tích trong không gian chiếm một trạng thái riêng rẽ là:
SLL
yx
2
)2(22
πππ
=
(1.19)
trong đó S là diện tích của hệ.
Mặt khác, ta có năng lượng điện tử xác định bởi:
m
k
EE
2
22
0

+=

(1.20)
nên số trạng thái với năng lượng nhỏ hơn E, tương ứng nằm trong
đường tròn bán kính k là:
)(
/4
2)(
0
22
2
EE
m
S
S
k
EN
T
−==

ππ
π
(1.21)
Khi đó, ta có mật độ trạng thái là:
)()(
1
)(
0
2
EE
m
EN

dE
d
S
EN
T
−==
θ
π

(1.22)
với
)(
0
EE
−
θ
là hàm bậc thang.
k
2
E
k
0
N(E)
E
0
(a) (b)
Hình 1.3: Đồ thị năng lượng (a) và đồ thị mật độ trạng thái (b) của hệ hai chiều.
Các hạt tải bị giới hạn theo một chiều trong khi chúng tự do theo hai
chiều còn lại, phổ năng lượng bị gián đoạn theo chiều bị giới hạn.
Nguyễn Thanh Thủy_BK60

9
θ
(E – E
0
)
Khóa luận tốt nghiệp khoa Vật lý - ĐHSPHN
c.Hệ một chiều.
Giả sử hệ một chiều có kích thước L
x
, dùng điều kiện biên tuần hoàn
Born-Karman ta có:

x
xx
L
nk
π
2
=
(1.23)
Khi đó, phần thể tích trong không gian chiếm bởi một trạng thái riêng
rẽ là:

x
L
π
2
(1.24)
Mặt khác, ta có năng lượng của điện tử xác định bởi:
m

k
EE
2
22
0

+=
(1.25)
nên số trạng thái với năng lương nhỏ hơn E, tương ứng nằm trong
đường tròn bán kính k là:
2/1
0
2/1
)(
)2(
/2
2)( EE
m
L
L
k
EN
x
x
T
−==

ππ
(1.26)
Khi đó, ta có mật độ trạng thái là:

2/1
0
2
)(
2
1
)(
1
)(
−
−==
EE
m
EN
dE
d
L
EN
T

π
(1.27)
N(E)
E
0
E-E
1
0
k
2

E
k
0
Hình 1.4: Đồ thị năng lượng (a) và đồ thị mật độ trạng thái (b) của hệ một chiều.
Phổ năng lượng bị gián đoạn theo hai chiều trong không gian.
Nguyễn Thanh Thủy_BK60
10
Khóa luận tốt nghiệp khoa Vật lý - ĐHSPHN
d.Hệ không chiều
Vì điện tử bị giam cầm theo cả ba chiều, các hạt không thể chuyển
động tự do nên các mức năng lượng gián đoạn và khoảng cách giữa các mức
rất lớn, đặc biệt nếu ta có thể chế tạo hệ càng lý tưởng thì khoảng cách giữa
các mức càng lớn. Do tính chất gián đoạn của năng lượng và không phụ thuộc
vào vec-tơ sóng
k

nên mật độ trạng thái có dạng hàm Dirac:
∑
−
i
i
EEEN )()(
δα
(1.28)
Hình 1. 5 : Đồ thị năng lượng (a) và mật độ trạng thái (b) của hệ không chiều.
1.1.4. Kết luận
Các hệ bán dẫn thấp chiều là các hệ bán dẫn có kích thước theo một,
hai hay ba chiều có thể so sánh được với các bước sóng De Broglie. Trong
các hệ này, các hạt chịu sự giam cầm dọc theo các trục giam giữ. Khi kích
thước của hệ so sánh được với các độ dài đặc trưng của hệ thấp chiều thì

nghiệm của phương trình Schrodinger cho thấy số chiều đóng một vai trò
quan trọng trong phổ năng lượng của hệ. Sự phụ thuộc khác nhau của năng
lượng vào vectơ sóng và cũng như của mật độ trạng thái vào năng lượng. Và
cũng tùy theo sự phụ thuộc đó mà hệ có những hiệu ứng khác nhau, mà các
hiệu ứng này rất quan trọng đối với việc nghiên cứu các hệ thấp chiều.
Trong các hệ thấp chiều chúng ta xét đến ở trên, ta đặc biệt chú ý đến
hệ không chiều vì nó liên quan trực tiếp đến nội dung chính của khóa luận
này, đó là liên quan đến vòng lượng tử.
Nguyễn Thanh Thủy_BK60
11
N(E)
Khóa luận tốt nghiệp khoa Vật lý - ĐHSPHN
1.2.Vòng lượng tử bán dẫn
Chúng ta giả sử rằng vòng lượng tử bán dẫn InAs/GaAs được mọc lên
trên một mặt phẳng song song với mặt phẳng nằm ngang xy và chúng tôi có
thể dùng hàm h(x, y) mô phỏng chiều cao của vòng (theo hướng z) tại vị trí
thực tế trên mặt phẳng xy. Sử dụng các kết quả thu được từ thực nghiệm [11]
và khớp hàm [21- 25], chúng tôi tìm được hàm h(x,y) như sau:
r
r
rr
r
M
Ryx
Ryx
RyxR
R
h
yx
yx

hhyxh
≤+
+−+
−+−
−
+
−
++=
22
2
0
222
2222
2
2
0
0
22
22
0
,
)(
)(
])1([),(
γ
γ
ξ
r
r
M

Ryx
Ryx
h
yx
yx
hhyxh
>+
+−+
−
+
−
++=
∞
∞
∞∞
22
2222
2
22
22
,
)(
])1([),(
γ
γ
ξ
Trong đó:
- R
r
là bán kính vành của vòng lượng tử bán dẫn;

- h
0
, h
M
, h
∞
là các thông số cho phép điều chỉnh độ cao của vòng lượng tử.
- γ
0
, γ
∞
lần lượt thể hiện độ dốc bên trong và bên ngoài tại vị trí vành
của vòng lượng tử;
- ξ là thông số đặc trưng cho sự bất đối xứng của độ cao tại vành của
vòng lượng tử bán dẫn, nếu ξ càng lớn thì sự chênh lệch độ cao của vành theo
trục Ox và Oy càng lớn. Khi ξ = 0 thì độ cao của vòng là như nhau tại mọi
điểm trên vành của nó, lúc đó chúng ta có vòng lượng tử đối xứng quanh trục
Oz. Độ cao của vòng lượng tử bán dẫn bất đối xứng được mọc lên từ mặt
phẳng xy ứng với ξ=0,2 và ξ=0,1 được biểu diễn trên hình 1.6.
Nguyễn Thanh Thủy_BK60
12
Khóa luận tốt nghiệp khoa Vật lý - ĐHSPHN
Hình 1.6: Vòng lượng tử bán dẫn bất đối xứng: (a) ξ = 0,2 và (b) ξ = 0,1.
Trong trường hợp vòng lượng tử đặt trong từ trường ngoài hướng theo
trục Oz, các tác giả trong bài báo [25] mô phỏng độ từ hóa và độ cảm từ trung
bình của tập hợp các vòng lượng tử bất đối xứng khi tính đến sự không đồng
nhất của bán kính vòng và thông số ξ (thông số mô tả sự bất đối xứng của
vòng). Tuy nhiên, các tác giả cũng đã chỉ ra rằng sự thay đổi của bán kính
vành của vòng lượng tử cho đóng góp chủ yếu trong sự phụ thuộc vào nhiệt
độ của độ từ hóa và độ cảm từ trung bình của tập hợp vòng lượng tử. Điều

này gợi ý chúng tôi chỉ cần quan tâm tới độ từ hóa và độ cảm từ trung bình
của tập hợp vòng lượng tử bán dẫn đối xứng. Đối với vòng lượng tử đối xứng,
với ξ = 0, biểu thức độ cao của vòng lượng tử trở thành:
r
r
rr
r
M
Ryx
Ryx
RyxR
R
hh
hyxh
≤+
+−+
−+−
−
+=
22
2
0
222
2222
2
2
00
0
,
)(

)(
.
)(
),(
γ
γ

(1.28)
r
r
M
Ryx
Ryx
hh
hyxh
>+
+−+
−
+=
∞
∞∞
∞
22
2222
2
,
)(
)(
),(
γ

γ
Nguyễn Thanh Thủy_BK60
13
Khóa luận tốt nghiệp khoa Vật lý - ĐHSPHN
Hình 1.7: Vòng lượng tử bán dẫn đối xứng (ξ = 0)
Nguyễn Thanh Thủy_BK60
14
Khóa luận tốt nghiệp khoa Vật lý - ĐHSPHN
CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP TÍNH TOÁN
2.1.Phương pháp khối lượng hiệu dụng
Vị trí của điện tử ở vành ngoài nguyên tử với tâm hạt nhân đặt ở nút mạng
332211
ananannR
n


++=≡
. Phương trình Schrodinger của điện tử
trong trường tuần hoàn
)()(
n
RrUrU


+=

có dạng: [1-4]
)()()()(
2
2

2
rkErrU
m
kk





ψψ
=






+∇−
(2.1)
Khai triển hàm Block
)(r
k


ψ
theo hệ hàm Wannier
)(
n
Rr



−
ϕ
:
)(
1
)(
n
n
Rki
k
Rre
N
r
n





−=
∑
ϕψ
(2.2)
Ở đây N là số ô cơ sở của tinh thể. Các hàm
)(r
k


ψ

và
)(
n
Rr


−
ϕ

thỏa
mãn các điều kiện trực giao và chuẩn hóa:

kk
k
k
rdrr



,
**
''
)()(
δψψ
=
∫
(2.3)

nmnm
rdRrRr

,
*
)()(
δϕϕ
=−−
∫





(2.4)
Thực hiện phép biến đổi ngược ta có:
)(
1
)( re
N
Rr
k
k
Rki
n
n








ψϕ
∑
−
=−
(2.5)
Khác với hàm sóng của điện tử trong nguyên tử
)(
n
Rr


−
φ
, hàm
)(
n
Rr


−
ϕ

trực giao và chuẩn hóa. Khác với hàm
)(r
k


ψ
, hàm
)(

n
Rr


−
ϕ

không
phụ thuộc vào
k

.
Xét điện tử chuyển động trong vật rắn, ngoài thế tuần hoàn
)(rU

còn
chịu tác dụng của thế
)(rV

biến đổi chậm trong không gian. Trạng thái của
điện tử được mô tả bằng hàm sóng
)(r

α
ψ
thỏa mãn phương trình
Schrodinger:
Nguyễn Thanh Thủy_BK60
15
Khóa luận tốt nghiệp khoa Vật lý - ĐHSPHN

)()()()(
2
2
2
rErrVrU
m
h

ααα
ψψ
=






++∇−
(2.6)
Trong đó
α
E

là năng lượng của điện tử khi có thêm thế
)(rV

tác dụng.
Ta hãy trình bày phương pháp gần đúng xác định
α
E

,
)(r

α
ψ
. Ta khai triển
hàm theo hệ
)(r

α
ψ
hàm Wannier.
)()(
1
)(
n
n
n
RrRf
N
r




−=
∑
ϕψ
αα
(2.7)

Đặt (1.7) vào (1.6) rồi nhân hai vế với
)(
*
m
Rr


−
ϕ
và lấy tích phân theo
toàn bộ thể tích của tinh thể, ta được:
0)()()(
2
)()(
2
2
*
=−






−++∇−−
∑
∫
rdRrErVrU
m
h

RrRf
n
n
mn






ϕϕ
αα
(2.8)
Hay
0
321
=++ III
Ở đây:
rdRrRrRfEI
n
nmn






)()()(
*
1

∑
∫
−−−=
ϕϕ
αα
rdRrrVRrRfI
nm
n
n






)()()()(
*
2
−−=
∫
∑
ϕϕ
α
rdRrrU
m
h
RrRfI
n
n
mn







)()(
2
)()(
2
2
*
3
−






+∇−−=
∑
∫
ϕϕ
α
Ta lần lượt tính các tích phân
1
I
,
2

I
,
3
I
. Dễ thấy rằng:
rdRrRrRfEI
n
nmn






)()()(
*
1
∑
∫
−−−=
ϕϕ
αα
)()(
1 m
n
mnn
RfERfEI

αααα
δ

∑
−=−=
(2.9)
Để tính
2
I
, khai triển
)(rV

tại điểm xác định
n
R

)()()()(
+∇−+=
nnn
RVRrRVrV




Nguyễn Thanh Thủy_BK60
16
Khóa luận tốt nghiệp khoa Vật lý - ĐHSPHN
Ở đây,
n
Rr
n
rVRV





=
∇=∇
))(()(
. Nếu hàm
)(rV


là trơn và biến đổi chậm
trong khoảng cỡ hằng số mạng thì gần đúng, ta thay
)(rV


bằng
)(
n
RV

trong
tích phân
2
I
. Khi đó, ta có:
∫
∑
−−=
rdRrRVRrRfI
nnm

n
n






)()()()(
*
2
ϕϕ
α
)()()()(
,2 mmnmn
n
n
RVRfRVRfI

αα
δ
==
∑
(2.10)
Đặt các hàm:
)(
1
)( re
N
Rr

k
k
Rki
n
n







ψϕ
∑
−
=−
)(
1
)(
'
'
**
re
N
Rr
k
k
Rki
n
m








ψϕ
∑
=−
Vào tích phân
3
I
và sử dụng phương trình Schrodinger (2.1), ta được:
[ ]
rdrkErRfe
N
I
k
k
n
n
k
k
RkRki
nm













)()()()(
1
'
'
'
*
3
ψψ
α
∫
∑∑∑
−
=
[ ]
'
'
'
,
3
)()(
1
kk

n
n
k
k
RkRki
kERfe
N
I
nm









δ
α
∑∑∑
−
=
∑∑
−
=
n
k
RRki
n

nm
ekERf
N
I





)(
3
)()(
1
α
Đặt
nml
RRR

−=
, ta viết được:
l
Rki
l
l
k
m
ekERRf
N
I






)()(
1
3
∑∑
−=
α
(2.11)
Để thỏa mãn hệ thức
)()( GkEkE


+=
và
1
=
±
p
RGi
e


với
p
R

bất kì, ta khai triển

)(kE

theo chuỗi Fuorier:
∑
−
=
p
Rki
p
p
eRCkE




)()(
(2.12)
Nguyễn Thanh Thủy_BK60
17
Khóa luận tốt nghiệp khoa Vật lý - ĐHSPHN
Trong đó
)(
p
RC

là hệ số khai triển. Đặt biểu thức của
)(kE

vào (2.11),
ta được:

)(
3
)()(
1
pl
RRki
pnm
l p
k
eRCRRf
N
I




−
−=
∑∑ ∑
α
Nguyễn Thanh Thủy_BK60
18
Khóa luận tốt nghiệp khoa Vật lý - ĐHSPHN
Chú ý rằng:
lP
k
RRki
Pl
e
N

δ
=
∑
−



)(
1
Ta có:
∑
−=
l
llm
RCRRfI )()(
3

α
(2.13)
Hàm
)(
lm
RRf

−
α
là hàm
)( rRf
m



−
α
khi
l
Rr


=
. Ta khai triển hàm
)( rRf
m


−
α

theo chuỗi xung quanh điểm
m
R

)()(
!2
1
)()()()(
2
−∇+∇−=−
mmmm
RfrRfrRfrRf








αααα
)( )(
2
1
)(1)(
2
mm
RfrrrRf



αα






−∇+∇−=−
)()(
m
r
m
RferRf





αα
∇−
=−
Ở đây:
m
Rr
m
rf
z
z
y
y
x
xRfr





=









∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇
|
)()()(
αα
( )
m
Rr
m
rf
z
z
y
y
x
xRfr






=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇
|
2
2
)()()(
αα
m
Rr
m
rfRf




=
∇≡∇
|
)()(
αα
m
Rr

m
rfRf




=
∇≡∇
|
22
)()(
αα
Thay
r

bằng
l
R

, ta được:
)()(
m
R
lm
RfeRRf
ml


αα
∇−

=−
(2.14)
Trong đó,
mmm
m
Z
k
Y
j
X
i
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇


và
mmm
ZYX ,,
là ba thành phần của
vecto
m
R


.
Đặt (2.14) vào (2.13) ta có:
Nguyễn Thanh Thủy_BK60
19
Khóa luận tốt nghiệp khoa Vật lý - ĐHSPHN
∑
∇−
=
l
m
R
l
RfeRCI
ml
)()(
3


α
(2.15)
Trong biểu thức (2.12) của
)(kE

nếu thay
k


bằng
m
i

∇−
, ta được:
∑
∇−
=∇−
l
R
lm
ml
eRCiE


)()(
(2.16)
Sử dụng hệ thức này, ta viết lại tích phân
3
I
như sau:
)()(
3 mm
RfiEI

α
∇−=
(2.17)
Từ hệ thức
0
321
=++ III
nhận được:

{ }
)()()()(
mmmm
RfERfRViE

α
=+∇−
(2.18)
Phương trình (2.18) là định lí Wannier.
Thay
m
R
bằng
r

và
m
∇
bằng
z
k
y
j
x
i
∂
∂
+
∂
∂

+
∂
∂
=∇


vào (2.18) ta được:
{ }
)()()()( rfErfrViE

ααα
=+∇−
(2.19)
Giải phương trình (2.1) tìm được
)(kE

sau đó thay
k

bằng
)(
∇−
i

ta thu
được
)(
∇−
iE
. Cho dạng hàm

)(rV


và giải phương trình (2.19) ta xác định
được
α
E
và
).(rf

α
Hàm
)(rf

α
gọi là hàm bao. Thay
r


bằng
n
R

vào hàm bao
)(rf

α
ta xác định
)(
n

Rf

α
. Biết hàm
)(
n
Rf

α
ta tìm được hàm sóng
)(r

α
ψ
của
điện tử trong công thức (2.7). Như vậy, bài toán xác định
α
E
và
)(r

α
ψ
đã
được giải quyết.
Đối với trường hợp năng lượng
)(kE

của điện tử đạt cực trị tại
0

=
k

và
có đối xứng cầu và đối xứng parabol, ta có:
*
22
2
)(
m
k
kE


=
(2.20)
Trong đó,
*
m

là khối lượng hiệu dụng của điện tử. Thay
k


bằng
∇−
i
vào biểu thức
)(kE


, ta được:
*
22
2
)(
m
kE
∇
−=


(2.21)
Nguyễn Thanh Thủy_BK60
20
Khóa luận tốt nghiệp khoa Vật lý - ĐHSPHN
Phương trình (2.19) trong trường hợp này có dạng:
)()()(
2
*
22
rfErfrV
m
h

ααα
=







+
∇
−
(2.22)
Từ phương trình (2.22), ta thấy ảnh hưởng của trường tuần hoàn
)(rU

của điện tử trong tinh thể đã được xét đến bằng cách thay đổi khối lượng thật
m của điện tử bằng khối lượng hiệu dụng
*
m
. Phương pháp này gọi là phương
pháp khối lượng hiệu dụng.
2.2.Phương trình Schrodinger trong gần đúng một vùng
Với điện tử bị giam cầm trong vòng lượng tử bán dẫn, năng lượng E
n
và
hàm sóng tương ứng F
n
( ) thỏa mãn phương trình Schrodinger:
)()()(
ˆ
rFErFrH
nnn

=
(2.23)
Trong trường hợp có từ trường ngoài, hàm Hamilton hiệu dụng của một

điện tử của vòng lượng tử bán dẫn được được biểu diễn:
BrgrV
rm
p
rH
B
σ
µ
)(
2
)(
)(2
)(
ˆ
2




++
′
=

(2.24)
Với
)()( rAeirAepp







+∇−=+=
′
r
∇

là gradient không gian,
A(
r

) là thế véc tơ của từ trường
ArotB


=
,
m(
r

) là khối lượng hiệu dụng của điện tử phụ thuộc vào vị trí
( = {x,y,z}),
B
µ
là magneton Bohr,
g(
r

) hệ số Lande,
là ma trận Pauli.

V(
r

) là thế giam cầm của vòng lượng tử.
Nguyễn Thanh Thủy_BK60
21
Khóa luận tốt nghiệp khoa Vật lý - ĐHSPHN
Thế giam cầm trong không gian V
e
(x,y,z) của điện tử bị giam trong
vòng lượng tử bán dẫn được biểu diễn bởi:






−
−
−
+−∆=
)]
),(
tanh(1)][
)
tanh(1[
4
1
1),,(
0

a
yxhz
a
zz
EzyxV
o
Ce
(2.25)
với
0 out in
c c
E E E∆ = −
là tổng độ chênh lệch năng lượng vùng dẫn của vật
liệu ở bên ngoài vòng với bên trong vòng.
Thông số a đặc trưng cho độ dốc của thế và phạm vi của thế thay đổi
tại các vị trí xung quanh vành của vòng.
Từ thế (2.25) chúng tôi xác định được hàm mapping:
o
C
e
E
zyxV
zyxM
∆
−=
),,(
1),,(
(2.26)
Dùng M(x,y,z) ta có thể biểu diễn sự phụ thuộc của khối lượng hiệu
dụng ở đáy vùng dẫn m

*
e
(x,y,z) vào vị trí:
)],,(1[),,(),,(
***
zyxMmzyxMmzyxm
out
e
in
ee
−+=
(2.27)
ở đây ‘in’ và ‘out’ biểu thị thông số trong và ngoài vòng lượng tử.
Trong khóa luận này, chúng tôi quan tâm tới vòng lượng tử có trục đối
xứng trùng với trục Oz. Khi từ trường ngoài có hướng trùng với trục Oz,
chúng ta có thể giải bài toán trong hệ tọa độ trụ ( . Độ cao của vòng khi
đó được biểu diễn bởi biểu thức:
r
r
M
r
r
rr
r
M
R
R
hh
hh
R

R
RR
R
hh
hh
>
+−
−
+=
≤
+−
−−
−
+=
∞
∞∞
∞
ρ
γρ
γ
ρ
ρ
γρ
ρ
γ
ρ
,
)(
)(
)(

,
)(
)(
.
)(
)(
22
2
2
0
2
22
2
2
00
0
(2.28)
Do tính đối xứng trụ, hàm sóng có thể được viết lại:
Ψ( ) = F(ρ,z) exp(ilϕ) (2.29)
Nguyễn Thanh Thủy_BK60
22
Khóa luận tốt nghiệp khoa Vật lý - ĐHSPHN
với l=0, 1, 2, … là số lượng tử quỹ đạo. Điều này cho phép chúng ta giải
phương trình Schrodinger trong hệ tọa độ ( để tìm năng lượng E
n
của
điện tử tương ứng với hàm riêng F
e
n
(

ρ
, z), khi đó phương trình Schrodinger
trở thành:
),(),(
2
),(
),(
),(8
),(2
1
),(2
*
222
*2
2
2
2
2
2
*
2
zFEzF
Bzg
zV
zm
Be
zm
eBl
z
l

zm
e
nn
e
n
B
e
e
ee
ρρ
σρµ
ρ
ρ
ρ
ρρ
ρρ
ρρ
=















+++
+








∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+−−

(2.30)
Nguyễn Thanh Thủy_BK60
23