Ứng dụng tin học vào hình học

ỨNG DỤNG TIN HỌC VÀO HÌNH HỌC
(báo cáo tại Hội nghị Toán học toàn quốc lần thứ 7, Quy Nhơn 04-8/8/2008)

Trần Đình Viện
Email:
Mobile: 0986345046

Với ngôn ngữ Vísual-Basic, nhờ máy vi tính, chúng ta có thể sáng tạo
nên các đường cong và mặt cong có hình dạng đặc biệt (cho phương trình
và hình vẽ), làm phong phú thêm họ các đường cong và mặt cong đã biết
trong các giáo trình Hình học, đồng thời có thể dùng các mẫu đường, mặt nói
trên vào việc trang trí.

A. CÁC ĐƯỜNG CONG

1. Đường cong có dạng hình hoa

Xuất phát từ đường hoa hồng bốn cánh có phương trình cực r = a.sin(2t) được mở
rộng thành:

a. Hoa đơn 1 (HĐ1), phương trình r = a.sin(nt), n∈N. Với n lẻ, đường cong có
dạng một bông hoa n cánh đều.Với n chẵn , ta có bông hoa 2n cánh đều nhau:





b. Hoa đơn 2 (HĐ2), phương trình r = a.(1+sin(mt)). Với m là số tự nhiên chẵn
hoặc lẻ, ta có hoa m cánh đều, so với HĐ1 thì HĐ2 cánh to hơn. Đặc biệt, nếu m =1,
đường cong là đường hình tim:

m = 1


m = 4


m = 9

c. Hoa kép 1 (HK1), phương trình r = a( 1+b.sinnt), n ∈ N. Đường cong có dạng
một bông hoa gồm n cánh to đều nhau và n cánh nhỏ đều nhau. Nếu n chẵn, cánh to xếp
liền kề với cánh nhỏ. Nếu n lẻ, cánh nhỏ nằm trong cánh to:

1

d. Hoa kép 2 (HK2), phương trình: r = a.(sin(mt)+sin(nt)), ở đây m, n ∈ N, m< n.
Đường cong có dạng một bông hoa các cánh không đều nhau. Cả hệ thống đối xứng
qua trục tung và nội tiếp trong đường Hoa đơn2 có phương trình cực: r = a.(1+sin(nt)).
Đặc biệt khi n=1, đường hoa kép2 (HK2) nội tiếp trong đường hình tim.


m = 1; n = 2

m = 1 ; n = 4

2. Đường cong có dạng hình con cá, phương trình:
x = cos(4t) + k..cos(t),
y = sin(3t).
k là số thực tùy ý.

Khi k thay đổi, "cá" sẽ biến dạng:

(H(9;1), k = 4;
H(9;2) k=3 ;
H(9;3), k = 4.5;
H(9;4), k= 2 sẽ có dạng "cá" đẹp nhất.

Chúng ta có thể sử dụng phép quay tâm, với góc quay thích hợp để có một “bầy
cá” làm mẫu trang trí:

2









3. Đường Cánh diều, phương trình:
x = a.(cos
3
(t) + sin(t)),
y = a.(sin
3
(t) + cos(t)).


4. Đường Hình lưới, phương trình:

x = a.sin(nt),
y = a.cos((n+1)t).
n ∈ N
Đường cong có dạng hình một tấm lưới. Ký hiệu, S
n
là số mắt lưới (hoặc số điểm
tự cắt) của đường cong hình lưới, ta có:
Với n lẻ, S
n
= n.(n+1)/2.
Với n chẵn , S
n
= 2n
2
-1.


3
B. MẶT CONG

1. Mặt xoắn Loga, mặt do đường xoắn Loga có phương trình cực: r = a.Exp(t)
quay xung quanh một trục.
Phương trình của mặt:
x = a.Exp(u).cos(u).cos(v),
y = a.Exp(u).cos(u).sin(v),
z = a.Exp(u)sin(u).

2. Mặt Xoắn Hypecbolic, do đường xoắn Hypecbolic có phương trình cực: r = a/t
vừa quay vừa tịnh tiến xung quanh một trục.
Phương trình:

x = (a/u).cos(u).cos(v),
y = (a/u).cos(u).sin(v),
z = (a/u).sin(u) + b.v.

3. Mặt Xoắn Fecma , do đường xoắn Fecma quay quanh trục.
Phương trình:
x =
a2/u .cos(u).cos(v);
y =
a2/u .cos(u).sin(v);
z = b.v.

4. Mặt Helicoide mở rộng do một đoạn parabol vừa quay, vừa tịnh tiến xung
quanh một trục.
Phương trình:
x = a.u.cos(v),
y = a.u.sin(v),
z = b.v + c.u.

5. Mặt ”Tù và", do một Elip vừa quay vừa tịnh tiến xung quanh một trục (không
cắt mặt phẳng chứa Elip), khi quay, Elip sẽ dãn (nở) tỷ lệ với góc quay.
Phương trình:
x = ( a+b.v.cos(u)).cos(v),
y = (a + b.v.cos(u)).sin(v),
z = a’ + b’.v.sin(u).


4

6. Mặt "Mũ nan"
Loại 1, phương trình: (Xem H.1, H.2)
x = a.cos2(u),
y = b.v.sin2u,
z = c.sin(v).

Loại 2, phương trình: (Xem H.3, H.4)
x = a.u.cos(v),
y = b.u.sin(v),
z = c.cos(u),





5