Luận văn thạc sỹ đa thức chebyshev và ứng dụng

BÀ GIÁO D÷C VÀ ÀO TĐO
TR◊ÕNG ĐI H≈C QUY NHÃN

NGUN TH¿ Mfl HIõP

A THŸC CHEBYSHEV
VÀ ŸNG D÷NG

LN VãN THĐC Sû TỐN H≈C

Bình

‡nh - 2021


BÀ GIÁO D÷C VÀ ÀO TĐO
TR◊ÕNG ĐI H≈C QUY NHÃN

NGUN TH¿ Mfl HIõP

A THŸC CHEBYSHEV
VÀ ŸNG D÷NG

Chuyên ngành: Ph˜Ïng pháp Toỏn sẽ còp
Mó sậ: 8 46 01 13

Ngèi hểng dđn: TS. LÊ THANH BÍNH

Bình

‡nh - 2021

Cơng trình ˜Ịc hồn thành t§i
TR◊ÕNG ĐI H≈C QUY NHÃN

Ng˜Ìi hểng dđn: TS. Lấ THANH BNH

PhÊn biên 1: PGS.TS.

inh Thanh

c

PhÊn biªn 2: TS. Nguyπn V´n BÁng

Lu™n v´n ˜Ịc b£o vª tĐi Hẻi ng ỏnh giỏ lun vn thĐc sổ chuyờn ngnh
Phẽng phỏp toỏn sẽ còp tĐi Trèng Đi hc Quy NhÏn, vào ngày 29 tháng 8
n´m 2021.

Có th∫ tìm hi∫u lun vn tĐi:
- Trung tõm Thụng tin th viên, Trèng §i hÂc Quy NhÏn.
- Khoa Tốn và ThËng kê, Tr˜Ìng §i hÂc Quy NhÏn .


LếI CAM

OAN

Tụi xin cam oan răng nẻi dung trỡnh by là trung th¸c và khơng trùng l∞p
vĨi ∑ tài khác. Tụi cng xin cam oan răng cỏc kt quÊ nờu trong lun vn, ti

liêu tham khÊo v nẻi dung trớch dđn Êm bÊo tớnh trung thác, chớnh xỏc.
Bỡnh

nh, thỏng 7 n´m 2021
Tác gi£

Nguyπn Th‡ Mˇ Hiªp


i

Mˆc lˆc
M

¶u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 KIịN THŸC CHN B¿

2

1
3

1.1

a th˘c mỴt bi∏n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2

Cơng th˘c nỴi suy Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.3

Công th˘c Euler cho sË ph˘c . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.4

Công th˘c De - Moirve . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.5

Cơng th˘c hình thang . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.5.1

Mô t£ ph˜Ïng pháp . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.5.2

ánh giá sai sË . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

A THŸC CHEBYSHEV
2.1
2.2

‡nh nghæa a th˘c Chebyshev . . . . . . . . . . . . . .
MỴt sË tính chßt quan trÂng cıa a th˘c Chebyshev

3 MÀT S» ŸNG D÷NG C’A
3.1

9

. .

9
14

A THŸC CHEBYSHEV 27

Ÿng dˆng cıa a thc Chebyshev trong mẻt sậ bi toỏn
các tr liờn quan ∏n a th˘c

. . . . . . . . . . . . . . .

27

3.2

‡nh l˛ Berstein - Markov . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

3.3

Xòp xứ mẻt hàm sË bi a th˘c Chebyshev . . . . . . . .

44


3.4

Ÿng dˆng a th˘c Chebyshev vào gi£i các ph˜Ïng trình
b™c cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

KòT LUäN

55

TÀI LIõU THAM KHÉO

56

1

M

¶u

a th˘c có v‡ trí quan trÂng trong Tốn hÂc, khơng chø là Ëi t˜Ịng
nghiên c˘u trÂng tâm cıa

§i sË mà cịn là cơng cˆ ≠c l¸c cıa Gi£i tích

trong l˛ thuy∏t xßp xø, l˛ thuy∏t bi∫u diπn, l˛ thuy∏t tËi ˜u,...Ngồi ra
a th˘c cịn ˜Ịc s˚ dˆng nhi∑u trong toỏn cao còp, toỏn ng dng.

a

thc l mẻt chuyờn quan trÂng th˜Ìng g∞p trong các bài thi hÂc sinh
gi‰i phÍ thơng, Olympic sinh viên,...Trong các lo§i a th˘c, ta khơng th∫
khơng nh≠c ∏n a th˘c Chebyshev.
gi˙a §i sË và lềng giỏc.

ú l a thc cú mậi liờn hê àp

a th˘c Chebyshev có nhi∑u ˘ng dˆng trong

gi£i bài tốn THPT chØng h§n nh˜ ˘ng dˆng cıa a th˘c Chebyshev
trong bài tốn c¸c tr‡ liên quan ∏n a th˘c, gi£i ph˜Ïng trình b™c cao,
các bài tốn l˜Ịng giác liên quan ∏n sË h˙u tø, trong bài toán sË hÂc,
ánh giá a thc, biu din mẻt a thc v dĐng a thc Chebyshev,...Vì
v™y tơi chÂn ∑ tài " A THŸC CHEBYSHEV VÀ NG DữNG" lm

lun vn tật nghiêp ca mỡnh.
Lun vn này, ngồi các ph¶n mˆc lˆc, ph¶n m ¶u, ph¶n k∏t lu™n
và tài liªu tham kh£o thì lu™n v´n ˜Ịc chia ra làm 3 ch˜Ïng. NỴi dung
t¯ng ch˜Ïng:


2

• Ch˜Ïng 1. Trong ch˜Ïng này, chúng tơi s≥ ∑ cp n cỏc kin thc,
khỏi niêm cẽ bÊn nhăm lm n∑n t£ng cho nỴi dung chính  ch˜Ïng
2 và ch˜Ïng 3.
• Ch˜Ïng 2. Trong ch˜Ïng này, chúng tơi t™p trung trỡnh by mẻt
cỏch hê thậng, ảy khỏi niêm, tớnh chòt ca a thc Chebyshev.
ã Chẽng 3. Trong chẽng ny, chỳng tụi tp trung trỡnh by mẻt
cỏch hê thậng, phõn lo§i ˘ng dˆng cıa a th˘c Chebyshev vào bài
tốn THPT, Olympic.
Lun vn ềc hon thnh dểi sá hểng dđn ca TS. Lê Thanh Bính.
Tơi xin bày t‰ lịng bi∏t Ïn sõu sc n Thảy vỡ sá tn tỡnh hểng dđn,
chứ bÊo tụi trong suật quỏ trỡnh thác hiên v hon thiªn lu™n v´n này.
Tơi cÙng xin bày t‰ lịng bi∏t ẽn chõn thnh n Ban Giỏm hiêu Trèng
Đi hc Quy NhÏn, Phịng

ào t§o sau §i hÂc, Khoa Tốn và ThËng

kê cựng qu thảy, cụ giỏo ó giÊng dĐy lểp cao hÂc Ph˜Ïng pháp tốn sÏ
cßp - Khóa 22, nh˙ng ng˜Ìi ó tn tõm giÊng dĐy, tĐo mi iu kiên tật
nhòt cho tơi hÂc t™p và nghiên c˘u ∫ tơi có th∫ hồn thành lu™n v´n này.

Bình

‡nh, tháng 7 n´m 2021
Tác gi£

Nguyπn Th‡ Mˇ Hiªp


3

Chẽng 1

KIũN THC CHUõN B
Chẽng ny nhc lĐi mẻt sậ ki∏n th˘c cÏ b£n v∑ a th˘c, ngồi ra cịn
nêu ra mỴt sË cơng th˘c nh˜: cơng th˘c nỴi suy Lagrange, công th˘c
Euler cho sË ph˘c, công th˘c De - Moirve, cơng th˘c hình thang.
Các k∏t qu£ trong ch˜Ïng này chı y∏u tham kh£o t¯ tài liªu [1], [6].

1.1

a th˘c mỴt bi∏n

Trong tốn hÂc, a th˘c trên mỴt vành (ho∞c trèng) K l mẻt biu
thc dểi dĐng tng Đi sậ cıa các Ïn th˘c. MÈi Ïn th˘c là tích cıa
mỴt phản t ( ềc gi l hê t hoc hê sậ) thuẻc K vểi cỏc lu tha tá
nhiờn ca cỏc bi∏n.
‡nh nghỉa 1.1. (xem[3]) Cho P (x) có d§ng
P (x) = a0 + a1 x + ... + an 1 xn

1

+ an x n ,

vĨi các hª sË ai 2 R là mỴt a th˘c mỴt bi∏n trên R.
N∏u an 6= 0 thì P (x) là a th˘c mỴt bi∏n b™c n.
n
X
ng≠n gÂn là
ai x i .
i=0

a th˘c trên có th∫ vi∏t


4

Chỳng ta bit răng mẻt a thc mẻt bin cú th cú mẻt nghiêm, nhiu
nghiêm hoc khụng cú nghiêm.
Mênh

1.2. Sậ nghiêm tậi a ca a thc mẻt bin khụng v˜Ịt q

b™c cıa a th˘c ó.
Ti∏p theo ta tìm hi∫u mẻt vòn cú liờn quan n a thc.

1.2

Cụng thc nỴi suy Lagrange

Gi£ s˚ x1 , x2 , ..., xn , xn+1 l n + 1 sậ thác

ụi mẻt khỏc nhau và

y1 , y2 , , ..., yn , yn+1 l n + 1 sậ thác bòt k. Mc ớch cıa chúng ta s≥
tìm a th˘c P (x) có b™c bộ hẽn hoc băng n thoÊ món iu kiên
P (x1 ) = y1 , P (x2 ) = y2 , P (x3 ) = y3 , ..., P (xn ) = yn , P (xn+1 ) = yn+1 .
a th˘c P (x) có th∫ ˜Ịc xây d¸ng t¯ các a th˘c
P1 (x), P2 (x), P3 (x), ..., Pn (x), Pn+1 (x)
nh˜ sau
P (x) = y1 P1 (x) + y2 P2 (x) + y3 P3 (x) + ... + yn Pn (x) + yn+1 Pn+1 (x),
trong ó các a th˘c P1 (x), P2 (x), P3 (x), ..., Pn (x), Pn+1 (x) ˜Òc xác ‡nh
nh˜ sau
(x x2 )(x
(x1 x2 )(x1
(x x1 )(x
P2 (x) =
(x2 x1 )(x2
P1 (x) =

x3 )....(x
x3 )...(x1
x3 )....(x
x3 )...(x2

xn )(x xn+1 )
xn )(x1 xn+1 )
xn )(x xn+1 )
xn )(x2 xn+1 )

...
Pn (x) =

(x x1 )(x
(xn x1 )(xn

x2 )....(x xn 1 )(x xn+1 )
x2 )...(xn xn 1 )(xn xn+1 )


5

Pn+1 (x) =

(x
(xn+1

x1 )(x
x1 )(xn+1

x2 )....(x xn 1 )(x xn )
x2 )...(xn+1 xn 1 )(xn+1

xn )

.

Các a th˘c này tho£ mãn i∑u kiªn
P1 (x1 ) = 1, P1 (x2 ) = 0, P1 (x3 ) = 0, ..., P1 (xn ) = 0, P1 (xn+1 ) = 0.
P2 (x1 ) = 0, P2 (x2 ) = 1, P2 (x3 ) = 0, ..., P2 (xn ) = 0, P2 (xn+1 ) = 0.
...
Pn (x1 ) = 0, Pn (x2 ) = 0, Pn (x3 ) = 0, ..., Pn (xn ) = 1, Pn (xn+1 ) = 0.
Pn+1 (x1 ) = 0, Pn+1 (x2 ) = 0, Pn+1 (x3 ) = 0, ..., Pn+1 (xn ) = 0, Pn+1 (xn+1 ) = 1.

Ta có th∫ bi∫u diπn a th˘c P (x) dểi dĐng
P (x) =

n+1
X
i=1

Yx
yi
xi
j6=i

xj
.
xj

(1.1)

õy gi l cụng thc nẻi suy Lagrange.

1.3

Công th˘c Euler cho sË ph˘c

Công th˘c Euler là mỴt cơng th˘c tốn hÂc trong ngành gi£i tích
ph˘c, ˜Ịc xây d¸ng bi nhà tốn hÂc ng˜Ìi Thu Sỉ Leonhard Euler.
Cơng th˘c chø ra mËi liên hª gi˙a hàm sË l˜Ịng giác và hàm sË mÙ ph˘c.
Cˆ th∫ vĨi mÂi sË th¸c x, ta có
eix = cos x + i sin x

(1.2)

vĨi e là cÏ sË logarit t¸ nhiên, i là Ïn v‡ cıa sË ph˘c, sin x, cos x là các
hàm sË l˜Òng giác. Chúng ta gÂi (1.2) là cơng th˘c Euler. Có nhi∑u cách
∫ ch˘ng minh cơng th˘c Euler,  ây chúng tôi nêu ra ph˜Ïng pháp
khai tri∫n chuÈi Taylor.


6

Các hàm ex , cos x, sin x ˜Òc vi∏t nh˜ sau:
x2 x3
+
+ ...
2!
3!
x2 x4 x6
+
+ ...
2!
4!
6!
x3 x5 x7
+
+ ...
3!
5!
7!

ex = 1 + x +

cos x = 1
sin x = x

Do bán kính hỴi tˆ cıa chi trên là vơ h§n, chúng ta có th∫ thay th∏ x
bi iz vĨi z là sË ph˘c. Khi ó
(iz)2 (iz)3 (iz)4 (iz)5 (iz)6 (iz)7
e = 1 + iz +
+
+
+
+
+
+ ...
2!
3!
4!
5!
6!
7!
z 2 iz 3 z 4 iz 5 z 6 iz 7 z 8
= 1 + iz
+ +
+ + ...
2!
3!
4!
5! ◆ 6! ✓ 7!
8!
✓
◆

2
4
6
8
3
z
z
z
z
z
z5 z7
= 1
+
+
... + i z
+
+ ...
2! 4!
6! 8!
3! 5!
7!
iz

= cos z + i sin z.
Viêc sp xp lĐi cỏc sậ h§ng là phù hỊp do mÈi chi ∑u là chi hẻi t
tuyêt ậi. Lòy z = x l mẻt sậ thác s dđn n ỉng thc nguyờn thu
m Euler ó khám phá ra.

1.4

Công th˘c De - Moirve

Công th˘c De -Moirve l nn tÊng cho mẻt loĐt cụng thc quan trng
khỏc sau này nh˜ phép luˇ th¯a, khai c´n sË ph˘c.
Ta có Øng th˘c sau
(cos x + i sin x).(cos y + i sin y) = cos(x + y) + i sin(x + y).
Th™t v™y,
(cos x + i sin x)(cos y + i sin y)

(1.3)


7

= (cos x cos y + i2 sin x sin y) + (sin x cos y + cos x sin y)i
= (cos x cos y

sin x sin y) + (sin x cos y + cos x sin y)i

= cos(x + y) + i sin(x + y).
Ta áp dˆng công th˘c trên cho tr˜Ìng hỊp y = x, ta ˜Ịc
(cos x + i sin x)2 = cos 2x + i sin 2x.
T˜Ïng t¸, ta có
(cos x + i sin x)3 = (cos x + i sin x)2 .(cos x + i sin x)
= (cos 2x + i sin 2x).(cos x + i sin x)
= cos 3x + i sin 3x.
Băng phộp quy n§p ta có ˜Ịc
(cos x + i sin x)n = cos nx + i sin nx.

(1.4)

ây là công th˘c De - Moirve.

1.5

Cơng th˘c hình thang

1.5.1

Mơ t£ ph˜Ïng pháp

Ta chia oĐn [a, b] thnh n oĐn con băng nhau, khi ó
a = x0 < x1 < ... < xn = b,
xi = a + ih, h =

b

a
n

, i = 0, n.

Thay diên tớch hỡnh thang cong băng diên tớch hỡnh thang thØng ta ˜Òc
Z x2
y1 + y2
f (x)dx ' h
.
(1.5)
2
x1

8

Thác chòt (1.5) ta ó thay hm f (x) băng hàm nỴi suy
p(x) = y0 +
x

∞t t =

x0
h

Z

x2
x1

y0
(x
h

x0 ) = y0 +

y0

x

x0

(1.6)

h

, khi ó x = x0 + th và dx = hdt. Ta có
Z

1

t2
p(x)dx =
(y0 + t y0 )hdt = h(ty0 +
y0 )|t=1
t=0
2
0
1
y0 + y1
= h(y0 +
y0 ) = h
.
2
2

Nh˜ v™y
I=

Z

b

f (x)dx ' I ⇤ =

b

a

(y0 + 2y1 + ... + 2yn
◆
y0 + yn
=h
+ y1 + .... + yn 1 .
2

1.5.2

a✓

2n

1

+ yn )

ánh giá sai sË

Mªnh ∑ 1.3. Gi£ s hm sậ f (x) cú Đo hm còp 2 liên tˆc, khi ó ta
có ánh giá
|I
vĨi M2 = max |f 00 (x)|, h =

x2[a;b]

I ⇤| 
b

a
n

.

M2 2
h (b
12

a),


9

Chẽng 2

A THC CHEBYSHEV
Chẽng ny trỡnh by mẻt sậ vòn cẽ bÊn a thc Chebyshev. Vòn
ảu tiờn l ‡nh nghỉa a th˘c Chebyhev. Vßn ∑ ti∏p theo là a ra
mẻt sậ tớnh chòt ca a thc Chebyshev.
Cỏc kt qu£ trong ch˜Ïng này chı y∏u tham kh£o t¯ các tài liªu [2], [3]
và [7].

2.1

‡nh nghỉa a th˘c Chebyshev
∫ xây dáng nh nghổa a thc Chebyshev, chỳng ta bt ảu xem

xét hàm sË l˜Òng giác sau:
Tn (x) = cos n✓,

(2.1)

trong ú n l mẻt sậ tá nhiờn, x = cos ✓ và 0  ✓  ⇡. Khi ✓ t´ng t¯ 0
∏n ⇡ thì x gi£m t¯ 1 ∏n -1. Hàm sË Tn (x) ˜Ịc ‡nh nghỉa bi (2.1)
xác ‡nh trờn oĐn [ 1; 1], ta kớ hiêu oĐn ú là I, i∑u ó có nghỉa
là cho x 2 I ta tìm ˜Ịc giá tr‡ duy nhßt cıa ✓ = arccos x tho£ mãn
0  ✓  ⇡ và Tn (x) có giá tr‡ là cos n✓. Vì v™y Tn (x) là mỴt hàm Ïn


10

ánh xác ‡nh trên I, có th∫ vi∏t nh˜ sau
Tn (x) = cos n(arccos x),

(2.2)

trong ó 0  arccos x  ⇡.
Áp dˆng công th˘c Euler (1.2) và công th˘c De - Moivre (1.4) và dùng
khai tri∫n nh‡ th˘c Newton, ta có
cos n✓ + i sin n✓ = (cos ✓ + i sin ✓)n = cosn ✓ + Cn1 cosn
+ Cn2 cosn

2

1

✓(i sin ✓) (2.3)

✓(i sin ✓)2 + ... + Cnn (i sin )n .

Khi ú so sỏnh phản thác hai v∏ cıa ph˜Ïng trình (2.3) ta ˜Ịc
cos n✓ = cosn ✓

Cn2 cosn

2

✓ sin2 ✓ + Cn4 cosn

+ ( 1)[n/2] Cn2[n/2] cosn
Thay sin2 ✓ = 1

2[n/2]

4

✓ sin4 ✓ + ...

✓ sin2[n/2] ✓.

(2.4)

cos2 ✓ vào (2.4) ta ˜Òc
[n/2]

Tn (x) = cos n✓ =

X

( 1)q Cn2q cosn

2q

q=0

✓

q
X

!

( 1)k Cqk cos2k ✓ . (2.5)

k=0

Chỳng ta thòy v phÊi ca (2.5) l mẻt a th˘c vĨi x = cos ✓, do ó hàm
sË Tn (x) ˜Ịc ‡nh nghỉa trong (2.1) là mỴt a th˘c. Ti∏p theo, ta s≥ i
xác ‡nh các hª sË cıa chỳng.
Xột phẽng trỡnh (2.5), ta nhn thòy răng v phÊi cıa nó có d§ng tÍng
tam giác, cˆ th∫
Aq = ( 1)

q

Cn2q

cos

n 2q

✓,

và
Bk,q = ( 1)k Cqk cos2k ✓,
Khi ó
cos n✓ = A0 B0,0

q = 0, ...,

hni
2

k = 0, 1, ..., q.

,


11

+ A1 B0,1 + A1 B1,1
+ A2 B0,2 + A2 B1,2 + A2 B2,2
...
+ A[n/2] B0,[n/2] +

...

+ A[n/2] B[n/2],[n/2] .

(2.6)

CỴng v phÊi ca (2.6) băng cỏch nhúm cỏc sậ hĐng trên ˜Ìng chéo l§i
vĨi nhau, ta ˜Ịc
cos n✓ = A0 B0,0 + A1 B1,1 + ... + A[n/2] B[n/2],[n/2]
+ A1 B0,1 + A2 B1,2 + ... + A[n/2] B[n/2]

1,[n/2]

...
+ A[n/2] 1 B0,[n/2]

1

+ A[n/2] B1,[n/2]

+ A[n/2] B0,[n/2] ,
hoc băng cỏch thay th∏ Aq và Bk,q vĨi nh˙ng v‡ trí ˘ng cıa chúng cho
0
1
[n/2]
[n/2]
X
X
@( 1)k

cos n✓ =
Cn2j Cjk A cosn 2k ✓.
(2.7)
k=0

j=k

Øng thc (2.7) biu th răng Tn (x) l mẻt a th˘c b™c n. Do ó a th˘c

Tn (x) ˜Ịc vi∏t l§i nh˜ sau:
Tn (x) = t0 + t1 x + t2 x2 + ... + tn xn ,

(2.8)

vÓi
tn

(2k+1)

= 0,

k = 0, ...,

[n/2]

tn

2k

= ( 1)

k

X
j=k

Cn2j Cjk ,



n

1

,
2
hni
k = 0, ...,
.
2

(2.9)


12

V™y Tn (x) có các giá tr‡ trong I là mỴt a th˘c b™c n, xác ‡nh vĨi mÂi
giá tr‡ x (v®n úng vĨi sË ph˘c).

a th˘c Tn (x) nh˜ v™y gÂi là a th˘c

Chebyshev b™c n. T¯ ó ta i ∏n ‡nh nghỉa sau.
‡nh nghỉa 2.1. (xem[5]) VĨi n 2 N, a th˘c Chebyshev lo§i 1 là a
th˘c Tn (x) tho£ mãn i∑u kiªn
Tn (x) := cos(n arccos x).
VĨi
n=0:

T0 (x) = 1,

n=1:

T1 (x) = x,

n=2:

T2 (x) = 2x2

1,

n=3:

T3 (x) = 4x3

3x,

n=4:

T4 (x) = 8x4

8x2 + 1,

n=5:

T5 (x) = 16x5

20x3 + 5x.

...
Ngồi ra, ta có cơng th˘c l˜Ịng giác
cos(k + 1)✓ + cos(k

1)✓ = 2 cos ✓ cos k✓.

Do ó
Tk+1 (cos ✓) + Tk 1 (cos ✓) = 2 cos ✓. Tk (cos ✓), vÓi x = cos ✓
) Tk+1 (cos ✓) = 2 cos ✓. Tk (cos ✓)
) Tk+1 (x) = 2xTk (x)

Tk 1 (cos ✓)

Tk 1 (x).

(2.10)

Ta nh™n thòy răng (2.10) l hê thc truy hi ca Tn (x), do ó ta có mỴt
‡nh nghỉa t˜Ïng ˜Ïng vĨi

‡nh nghæa 2.1 nh˜ sau

13

‡nh nghỉa 2.2. (xem [5]) VĨi n 2 N, a th˘c Chebyshev lo§i 1 b™c n
là a th˘c Tn (x) xác ‡nh nh˜ sau:
8
< T0 (x) = 1, T1 (x) = x
: T (x) = 2xT (x) T
n+1

n

n 1 (x),

(n

1).

Lßy vi phân Tn (x) = cos n✓ Ëi vÓi x ta thu ˜Òc
✓
◆
d
d✓
1
sin n✓
Tn0 (x) =
cos n✓
= ( n sin n✓). p
=n
, (2.11)

d✓
dx
sin ✓
1 cos2 ✓
vÓi x = cos ✓, 0  ✓  ⇡.
T¯ (2.11) ta có ‡nh nghỉa v∑ a th˘c Chebyshev lo§i 2 nh˜ sau
‡nh nghỉa 2.3. xem [5]) VÓi n 2 N, các a th˘c Un (x) ˜Òc xác ‡nh

nh˜ sau
Un (x) =

1
sin(n + 1)✓
sin(n + 1) arccos x
0
p
Tn+1
(x) =
=
,
n+1
sin✓
1 x2

vĨi x := cos ✓, ˜Ịc gÂi là các a th˘c Chebyshev lo§i 2.
VĨi
n=0:

U0 (x) = 1,

n=1:

U1 (x) = 2x,

n=2:

U2 (x) = 4x2

1,

n=3:

U3 (x) = 8x3

4x,

n=4:

U4 (x) = 16x4

12x2 + 1,

n=5:

U5 (x) = 32x5

32x3 + 6x.

...

(2.12)


14

Ngồi ra, ta có cơng th˘c bi∏n tÍng thành tích cıa l˜Òng giác
sin(n + 2)✓ + sin n✓ = 2 cos ✓ sin(n + 1)✓
) sin(n + 2)✓ = 2 cos ✓ sin(n + 1)✓
)

sin n✓

sin(n + 2)✓
sin(n + 1)✓
= 2 cos ✓
sin ✓
sin ✓

) Un+1 (x) = 2xUn (x)

sin n
sin

Un 1 (x).

(2.13)

Tẽng tá nh trờn, hê thc (2.13) là hª th˘c truy hÁi cıa Un (x). Do
ó, ta có mỴt ‡nh nghỉa t˜Ïng ˜Ïng vĨi

‡nh nghỉa 2.3 nh˜ sau

‡nh nghæa 2.4. (xem [5]) Các a th˘c Un (x), n 2 N, ˜Òc xác ‡nh
nh˜ sau

8
< U0 (x) = 1, U1 (x) = 2x
: U (x) = 2xU (x) U
n+1

n

n 1 (x),

(n

1)

˜Ịc gÂi là các a th˘c Chebyshev lo§i 2.
T cỏc nh nghổa trờn, ta thòy răng a thc Chebyshev (lo§i 1) và
a th˘c Chebyshev (lo§i 2) là nh˙ng dãy a th˘c, có a th˘c khi ¶u
giËng nhau (T0 (x) = U0 (x) = 1), hª th˘c truy hÁi giËng nhau, chø có a
th˘c th˘ 2 khác nhau (T1 (x) = x, U1 (x) = 2x). Do ó chúng có mËi liên
hª m™t thi∏t vĨi nhau. Ti∏p theo, ∫ bi∏t rõ các tính chßt cıa hai a
th˘c Tn (x) v Un (x), ta tỡm hiu cỏc mênh sau.

2.2

Mẻt sậ tớnh chòt quan trng ca a thc Chebyshev

Trong phản ny, chỳng tụi giểi thiêu mẻt sậ tớnh chòt quan trÂng và
tiêu bi∫u cıa a th˘c Chehyshev lo§i 1 và loĐi 2. T nay v sau, ta
luụn kớ hiêu Tn (x) chø a th˘c Chebyshev lo§i 1 và Un (x) chø a th˘c


15

Chebyshev lo§i 2. Các k∏t qu£ trong ch˜Ïng này chı y∏u tham kh£o t¯
các tài liªu [2], [3], [6] và [7].
Mênh 2.5. (xem [6])[Hê sậ cao nhòt ca

(i)
(ii)

a thc]

a th˘c Tn (x) có b™c n có hª sË cao nhòt băng 2n 1 .
a thc Un (x) l a thc bc n cú hê sậ cao nhòt băng 2n .

Chng minh.
(i) T cụng thc (2.9), ta nhn thòy răng các hª sË cıa Tn (x) là các sË
nguyên và an dòu nhau, hê sậ bc cao nhòt l mẻt sË d˜Ïng. VĨi
n 2 N thì ta có
tn =

[n/2]

X

Cn2j =

j=0

1
[(1 + 1)n + (1
2

1)n ] = 2n 1 .

Ta ch˘ng minh Tn (x) 2 Z[x] có b™c là n, có hê sậ cao nhòt l 2n 1 .
Nu n = 1 thì T1 (x) = x = 20 x1 (tho£ mãn).
N∏u n = 2 thì T2 (x) = 2x2

1 (tho£ mãn).

Gi£ s˚ mªnh ∑ úng ∏n n = k, t˘c là a th˘c Tk (x) 2 Z[x] có b™c
k, có hê sậ cao nhòt l 2k 1 . Ta chng minh mªnh ∑ cÙng úng cho
n = k + 1.
Th™t v™y,
Tk (x) = 2

k 1 k

x +

k
X
i=1

k 2 k 1

Tk 1 (x) = 2

x

+

ai xk i , ai 2 Z,

k 1
X
j=1

bj xk

1 j

, bj 2 Z.


16

Khi ó
Tk+1 (x) = 2xTk (x)

Tk 1 (x)

= 2x 2k 1 xk +

k

X

ai x k

i=1

= 2k xk+1 +

k
X

2ai xk+1

i

i

!

2 k 2 xk

2 k 2 xk

bj )xk

bj xk

1

k 1

X

bj xk

1 j

!

1 j

j=1

= 2k xk+1 + 2a1 xk + (2a2
(2aj+2

+

j=1

i=1

k 2
X

1

k 1
X

1 j

2k 2 )xk 1 +

bk 1 .

j=1

Do ó Tk+1 (x) cng cú bc k + 1, hê sậ cao nhòt là 2k và có các hª
sË ngun.
(ii) Ch˘ng minh cho trèng hềp Un (x) tẽng tá.

Trong mênh tip theo, ta s xem xột tớnh chặn lƠ ca hai a th˘c
Tn (x) và Un (x).
Mªnh ∑ 2.6. (xem [6]) [Tính chặn lƠ ca

a thc]

(i)

a thc Tn (x) l hm chặn khi n chặn, l hm lƠ khi n lƠ.

(ii)

a thc Un (x) là hàm chỈn khi n chỈn, là hàm l¥ khi n l¥.

Ch˘ng minh. S˚ dˆng

‡nh nghỉa 2.1, ta có

Tn ( cos ✓) = Tn [cos(⇡ + ✓)] = cos n(⇡ + ✓)

= cos(n⇡ + n✓) = ( 1)n cos n✓
= ( 1)n Tn (cos ✓).


17

T¯ ó suy ra Tn ( x) = ( 1)n Tn (x), i∑u ph£i ch˘ng minh.
⇤

Ch˘ng minh Ëi vÓi Un (x) hon ton tẽng tá.
Nhn xột 2.7.

ã Vểi n chặn thỡ a thc Tn (x) l mẻt hm chặn. Do ó khai tri∫n cıa
Tn (x) chø gÁm các luˇ th¯a b™c chỈn cıa x.
Tn (x) = 2n 1 xn + axn

2

+ bxn

4

+ ...

ã Vểi n lƠ thỡ a thc Tn (x) l mẻt hm lƠ. Do ú khai trin ca Tn (x)
chø gÁm các luˇ th¯a b™c l¥ cıa x.
Tn (x) = 2n 1 xn + axn

2

+ bxn

4

+ ...

Ti∏p theo, chúng ta trình bày k∏t qu£ v∑ cơng th˘c nghiªm cıa a
th˘c Tn (x) và Un (x).
Mªnh ∑ 2.8. (xem [3])[Cụng thc nghiêm ca hai loĐi a thc]

(i)

a thc Tn (x) cú ỳng n nghiêm phõn biêt trờn oĐn [ 1; 1] là
xk = cos

(ii)

2k + 1
⇡, (k = 0, 1, 2, ...., n
2n

1).

(2.14)

a th˘c Un (x) có úng n nghiªm phân biªt trên kho£ng ( 1; 1) là
xk = cos

k⇡
, (k = 1, 2, ...., n).

n+1

(2.15)

Ch˘ng minh.
(i) Tr˜Óc h∏t ta tìm x 2 [ 1; 1] sao cho Tn (x) = 0.
VĨi |x|  1, ta có th∫ ∞t x = cos ✓, v™y
0 = Tn (x) = Tn (cos ✓) = cos n✓ ) n✓ =

⇡
+ k⇡
2


18

⇡
k⇡
+
, (k 2 Z).
2n
n
⇡
k⇡
∞t ✓k =
+
, ta có
2n
n
✓

◆
⇡
k⇡
xk = cos ✓k = cos
+
.
2n
n
)✓=

Bi∫u diπn trên ˜Ìng trịn l˜Ịng giác, tuy ta ˜Òc 2n i∫m ✓k khác
nhau, nh˜ng chúng l™p thành t¯ng c∞p Ëi x˘ng nhau qua trˆc Ox.
V™y chø có n giá tr‡ khác nhau cıa xk , ˘ng vÓi k = 0, 1, ...n

1.

V™y trên o§n [ 1; 1] , ta tìm ˜Ịc n nghiªm phân biªt cıa Tn (x),
mà mỴt a th˘c b™c n khơng th∫ có hÏn n nghiêm thác. Do ú
Tn (x) khụng cũn nghiêm no khác ngồi các nghiªm ˜Ịc xác ‡nh
bi cơng th˘c
xk = cos

(2k + 1)⇡
(k = 0, 1, ...., n
2n

1).

1 0
T (x) v do Tn (x) cú ỳng n

n n+1
nghiêm thác phõn biªt trên [ 1; 1] nên theo ‡nh lí Rolle có ngay

(ii) Theo ‡nh nghỉa ta có Un (x) =

i∑u ph£i ch˘ng minh.
⇤
Ti∏p theo, ta tìm hi∫u tính chßt v∑ mi∑n giá tr‡ cıa hai a th˘c Tn (x)
và Un (x).
Mªnh ∑ 2.9. (xem [3])
(i) |Tn (x)|  1 8x 2 [ 1; 1], Øng th˘c |Tn (x)| = 1 chø x£y ra vÓi n + 1
giá tr‡ xk
xk = cos

k⇡
, (k = 0, 1, 2, ..., n).
n


19

Cˆ th∫
Tn (xk ) = ( 1)k .

(2.16)

Các i∫m xk cịn ˜Ịc gÂi là các i∫m ln phiên Chebyshev.
(ii) |Un (x)|  n + 1, 8x 2 ( 1; 1).
Ch˘ng minh.
(i) VÓi |x|  1, ∞t x = cos ✓, ta có

|Tn (x)| = |Tn (cos ✓)| = |cos n✓|  1.
Trên o§n [ 1; 1], Øng th˘c
|Tn (x)| = |Tn (cos ✓)| = |cos n✓| = 1
t˜Ïng ˜Ïng vÓi
k⇡
(k 2 Z).
n
k⇡
k⇡
∞t ✓k =
ta có xk = cos ✓k = cos . Bi∫u diπn trên ˜Ìng
n
n
trịn l˜Ịng giác, ta thßy chø có n + 1 giá tr‡ ✓k khác nhau, ˘ng vÓi
sin n✓ = 0 ) n✓ = k⇡ ) xk =

k = 0, 1, 2, ....n. VÓi mÈi giá tr‡ ✓k ó, ta có
Tn (xk ) = Tn (cos

k⇡
) = cos k⇡ = ( 1)k .
n

(ii) VÓi mÈi x 2 ( 1; 1), ta ∞t x = cos ✓, 8✓ 2 (0; ⇡). Khi ó
Un (x) =

sin(n + 1)✓
.
sin

Băng phẽng phỏp quy nĐp theo n, ta chng minh ˜Òc
|sin(n + 1)✓|  |(n + 1) sin ✓| .
V™y |Un (x)|  n + 1 8x 2 ( 1; 1).