Luận văn thạc sỹ một số định lý cơ bản của phép tính vi phân và ứng dụng trong giải toán sơ cấp

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

ĐỖ THỊ KIM HUỆ

MỘT SỐ ĐỊNH LÝ CƠ BẢN
CỦA PHÉP TÍNH VI PHÂN VÀ
ỨNG DỤNG TRONG GIẢI TOÁN SƠ CẤP

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Bình Định - Năm 2021


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

ĐỖ THỊ KIM HUỆ

MỘT SỐ ĐỊNH LÝ CƠ BẢN
CỦA PHÉP TÍNH VI PHÂN VÀ
ỨNG DỤNG TRONG GIẢI TOÁN SƠ CẤP

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số: 8460113

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. NGUYỄN NGỌC QUỐC THƯƠNG

Mục lục

Mở đầu

1

1 Kiến thức cơ sở

2

1.1

Tính liên tục của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.2

Tính khả vi của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2 Một số định lý cơ bản của phép tính vi phân

9

2.1

Định lý Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2.2

Định lý Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2.3

Định lý Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2.4

Định lý Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

2.5

Định lý L’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2.6

Định lý Darboux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

2.7

Định lý Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

3 Ứng dụng trong giải toán sơ cấp

20

3.1

Chứng minh đẳng thức và bài toán giới hạn . . . . . . . . . . . . . . .

20

3.2

Chứng minh bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

3.3

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số, biểu thức . . . . .

41

3.4

Giải phương trình, bất phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

3.5

Một số bài toán thi học sinh giỏi, olympic toán học . . . . . . . . . . .

57

Kết luận

71

Tài liệu tham khảo

72
i


Mở đầu
Các định lý cơ bản của phép tính vi phân đóng vai trị quan trọng và là nền tảng
của giải tích tốn học. Chúng được dùng để chứng minh nhiều định lý khác trong giải
tích và có nhiều ứng dụng trong việc giải quyết một số dạng toán sơ cấp.
Luận văn nhằm nghiên cứu và trình bày một cách có hệ thống các định lý cơ bản
của phép tính vi phân, bao gồm định lý Fermat, định lý Rolle, định lý Lagrange, định
lý Cauchy, định lý L’Hospital, định lý Darboux, định lý Taylor và một số ứng dụng của

chúng trong việc giải một số bài toán sơ cấp như chứng minh đẳng thức, chứng minh
bất đẳng thức, bài toán giới hạn, tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số,
giải phương trình và bất phương trình. Luận văn cũng giới thiệu một số bài tốn thi
chọn học sinh giỏi và olympic toán học các cấp.
Luận văn sẽ là một tài liệu tham khảo bổ ích cho giáo viên, học sinh phổ thơng
muốn tìm hiểu sâu về các định lý cơ bản của phép tính vi phân và các ứng dụng của
chúng trong giải toán sơ cấp.
Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Quy Nhơn dưới sự hướng dẫn tận
tình của TS. Nguyễn Ngọc Quốc Thương. Tôi xin được gửi lời biết ơn chân thành đến
thầy. Tôi cũng xin cảm ơn tất cả các thầy cơ đã trực tiếp giảng dạy trong chương
trình đào tạo cao học chuyên ngành Phương pháp Toán sơ cấp khố 22 tại Trường
Đại học Quy Nhơn. Cuối cùng tơi bày tỏ lịng biết ơn đối với gia đình, người thân và
đồng nghiệp đã ủng hộ, động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi để tơi hồn thành
tốt chương trình đào tạo cao học.
Mặc dù đã cố gắng hết sức nhưng do thời gian và năng lực còn hạn chế nên luận
văn khơng thể trách khỏi những thiếu sót. Tơi rất mong nhận được các góp ý của q
thầy cơ và bạn đọc để luận văn được hồn thiện hơn. Tơi xin chân thành cảm ơn!
Bình Định, tháng 7 năm 2021
Học viên
Đỗ Thị Kim Huệ
1


Chương 1

Kiến thức cơ sở
1.1

Tính liên tục của hàm số

Trong mục này, tài liệu được sử dụng chính là [2].
Định nghĩa 1.1. Cho f là một hàm số xác định trên tập D Ă R. Ta nói rằng
• f liên tục tại x0 P D nếu
@ε ą 0, Dδ “ δpq ą 0, @x P D, |x ´ x0 | ă δ ñ |f pxq ´ f px0 q| ă ε.
• f liên tục trên pa, bq Ă D nếu f liên tục tại mọi x P pa, bq.
Chú ý 1.1. Từ định nghĩa trên ta rút ra một số lưu ý quan trọng sau:
• Trong định nghĩa giới hạn hàm số lim f pxq, ta khơng địi hỏif xác định tại x0
xĐx0

và nếu f xác định tại x0 thì giá trị f px0 q không ảnh hưởng đến giới hạn này mà
nó chỉ bị chi phối bởi các giá trị của f tại những điểm gần với x0 . Tuy nhiên,
trong trường hợp hàm số liên tục, ngoài các giá trị của f tại những điểm gần với
x0 thì yêu cầu f phải xác định tại x0 và giá trị f px0 q có ý nghĩa quyết định.
• Nếu x0 P D là điểm giới hạn thì f liên tục tại x0 khi và chỉ khi
lim f pxq “ f px0 q.

xĐx0

• Như vậy khi nói f khơng liên tục tại x0 có nghĩa là x0 điểm giới hạn của D
(vì tại mọi điểm cơ lập của D hàm f ln liên tục). Khi đó hoặc khơng tồn tại
lim f pxq, hoặc giới hạn này tồn tại nhưng không bằng f px0 q. Nói cách khác
xĐx0

Dε ą 0, @δ ą 0, Dxδ P D : |xδ ´ x0 | ă δ ñ |f pxδ q ´ f px0 q| ě ε.
2


3
Ví dụ 1.1. Hàm số f pxq “ ln x liên tục tại mọi x ą 0.
Lời giải. Cố định x0 ą 0. Khi đó với mọi ε ą 0, xét δ “ x0 peε ´ 1q ą 0. Với mọi

x P p0, δq ta có
ˇ
ˇ ˇ xˇ ˇ ´x
¯ˇ ˇ ´ x ´ x
¯ˇ
ˇ
ˇ ˇ
ˇ ˇ
ˇ ˇ
ˇ
0
´ 1 ` 1 ˇ “ ˇ ln
`1 ˇ
ˇ ln x ´ ln x0 ˇ “ ˇ ln ˇ “ ˇ ln
x0
x0
x0
ˇ ´δ
ˇ
¯ˇ ˇ ´ x peε ´ 1q
¯ˇ ˇ
ˇ
ˇ ˇ
ˇ ˇ
0
εˇ
ă ˇ ln
` 1 ˇ “ ˇ ln
` 1 ˇ “ ˇ ln e ˇ “ ε.
x0

x0
Suy ra lim ln x “ ln x0 , tức là ln x liên tục tại x0 .
xÑx0

Định nghĩa 1.2. Cho f là hàm số xác định trên ra, bs Ă R. Ta nói rằng
• f liên tục trái tại b nếu lim´ f pxq “ f pbq;
xĐb

• f liên tuc phải tại a nếu lim` f pxq “ f paq;
xĐa

• f liên tục trên ra, bs nếu f liên tục trên pa, bq, liên tục phải tại a và liên tục trái
tại b.
Định lý 1.1. Cho hàm số f xác định trên pa, bq và x0 P pa, bq. Khi đó, f liên tục tại
x0 khi và chỉ khi f liên tục trái và liên tục phải tại x0 .
Định nghĩa 1.3. Cho f là hàm số xác định trên D Ă R. Ta nói rằng f gián đoạn tại
c P D nếu f không liên tục tại c. Điểm c được gọi là điểm gián đoạn của f .
Định lý 1.2. Nếu các hàm số f và g liên tục tại x0 P D thỡ cỏc hm s f ` g, f ă g
f
liờn tục tại x0 . Hơn nữa, nếu gpx0 q ‰ 0 thì cũng liên tục.
g
Định lý 1.3 (Tính liên tục của hàm hợp). Nếu hàm số f liên tục tại x0 P Df và g
liên tục tại y0 “ f px0 q P Ef Ă Dg thì hàm số g ˝ f liên tục tại x0 .
Định lý 1.4 (Định lý ổn định dấu). Giả sử f liên tục tại x0 P D và f px0 q ą 0 (tương
ứng f px0 q ă 0. Khi đó tồn tại một khoảng I chứa x0 sao cho với mọi x P pD X Iq ta có
f pxq ą 0 (tương ứng f pxq ă 0q.
Định nghĩa 1.4. Cho f là một hàm số xác định trên tập D Ă R. Ta nói rằng f liên
tục đều trên D nếu
@ε ą 0, Dδ “ δpq ą 0, @x, y P D, |x ´ y| ă δ ñ |f pxq ´ f pyq| ă ε.
Định nghĩa 1.5. Giả sử hàm số f xác định trên D Ă R và x0 P D

4
• x0 được gọi là điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng pa; bq P D chứa
điểm x0 sao cho f pxq ă f px0 q, @x P pa; bqztx0 u. Khi đó f px0 q được gọi là giá trị
cực đại của hàm số f .
• x0 được gọi là điểm cực tiểu của hàm sốf nếu tồn tại một khoảng pa; bq P D chứa
điểm x0 sao cho f pxq ą f px0 q, @x P pa; bqztx0 u. Khi đó f px0 q được gọi là giá trị
cực tiểu của hàm s ố f .
Chú ý 1.2.
• Điểm cực đại (cực tiểu) x0 được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị
cực đại (cực tiểu) f px0 q của hàm số được gọi chung là cực trị. Hàm số có thể đạt
cực đại hoặc cực tiểu tại nhiều điểm trên tập hợp D.
• Nói chung, giá trị cực đại (cực tiểu) (f px0 q) không phải là giá trị lớn nhất (nhỏ
nhất) của hàm số f trên tập D; f px0 q chỉ là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm
số f trên một khoảng pa; bq chứa x0 .
• Nếu x0 là một điểm cực trị của hàm số f thì điểm px0 ; f px0 qq được gọi là điểm
cực trị của đồ thị hàm số f .
Định nghĩa 1.6. Giả sử hàm số f xác định trên D Ă R.
#

f pxq ě m, @x P D
.
Dx0 P D; f px0 q “ m

#

f pxq ď M, @x P D
.
Dx0 P D; f px0 q “ M

• Số m là giá trị nhỏ nhất của hàm số f trên D ơ
Kí hiệu: m “ min f pxq.
D

• Số M là giá trị lớn nhất của hàm số f trên D ơ
Kí hiệu: M “ max f pxq.
D

Định lý 1.5 (Weierstrass 1 - Tính bị chặn). Giả sử f liên tục trên ra, bs. Khi đó f bị
chặn trên ra, bs. Tức là,
DA, B P R : A ď f pxq ď B, @x P ra, bs.
Định lý 1.6 (Weierstrass 2 - Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất). Giả sử f liên tục
trên ra, bs. Khi đó f đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên ra, bs. Tức là,
Dx1 , x2 P ra, bs : f px1 q ď f pxq ď f px2 q, @x P ra, bs.
Định lý 1.7 (Bolzano - Cauchy 1 - Giá trị trung gian). Giả sử f liờn tc trờn ra, bs
v f paq ă f pbq ă 0. Khi đó tồn tại c P pa, bq để f pcq “ 0.


5
Định lý 1.8 (Bolzano - Cauchy 2 - Giá trị trung gian). Giả sử f liên tục trên ra, bs.
Khi đó f nhận mọi giá trị trung gian giữa f paq và f pbq. Tức là,
@C P rmintf paq, f pbqu, maxtf paq, f pbqus, Dc P ra, bs : f pcq “ C.
Định lý 1.9. Nếu hàm số f đơn điệu trong một khoảng Ipa, bq nào đó và tập hợp các
giá trị của nó cũng là một khoảng Ipm, M q thì f liên tục trên Ipa, bq.
Định lý 1.10 (Tính liên tục của các hàm số sơ cấp). Mọi hàm số cấp đều liên tục
trên miền xác định của chúng.

1.2

Tính khả vi của hàm số

Trong mục này, tài liệu được sử dụng chính là [2].
Định nghĩa 1.7. Cho hàm số y “ f pxq xác định trên pa, bq. Cho x0 P pa, bq một số
gia ∆x đủ nhỏ sao cho x “ x0 ` ∆x P pa, bq. Nếu tồn tại giới hạn
f pxq ´ f px0 q
f px0 ` ∆xq ´ f px0 q
“ lim
xÑx0
∆xÑ0
∆x
x ´ x0
lim

thì ta nói f có đạo hàm tại x0 . Giới hạn này được gọi là đạo hàm của hàm f tại x0 và
được kí hiệu là f 1 px0 q.
Chú ý rằng giới hạn này phụ thuộc vào x0 nên nếu f có đạo hàm tại mọi x P D Ă
pa, bq thì ta sẽ có một hàm số f 1 xác định trên D và gọi là đạo hàm của hàm số f trên
D.
Ví dụ 1.2. Tính đạo hàm của hàm số f pxq “ x2 .
Lời giải. Với mọi x0 P R, ta có
lim

xĐx0

f pxq ´ f px0 q
x2 ´ x20
“ lim
“ lim px ` x0 q “ 2x0 .
xÑx0 x ´ x0

xÑx0
x ´ x0

Vậy f có đạo hàm tại mọi x0 P R và f 1 px0 q “ 2x0 .
Định nghĩa 1.8. Hàm số xác định trên pa, bq được gọi là có đạo hàm phải tại x0 P pa, bq
nếu tồn tại giới hạn phải
lim `

∆xÑ0

f px0 ` ∆xq ´ f px0 q
f pxq ´ f px0 q
“ lim`
.
∆x
x ´ x0
xÑx0

Ta gọi giới hạn này là đạo hàm phải của hàm f tại x0 và kí hiệu là f`1 px0 q hay f 1 px0 `q.


6
Định nghĩa 1.9. Hàm số xác định trên pa, bq được gọi là có đạo hàm trái tại x0 P pa, bq
nếu tồn tại giới hạn trái
lim ´

∆xÑ0

f px0 ` ∆xq ´ f px0 q
f pxq ´ f px0 q

“ lim´
.
∆x
x ´ x0
xÑx0

Ta gọi giới hạn này là đạo hàm phải của hàm f tại x0 và kí hiệu là f´1 px0 q hay f 1 px0 ´q.
Định lý 1.11 (Quan hệ giữa đạo hàm và đạo hàm một phía). Hàm số f xác định
trên pa, bq có đạo hàm tại x0 P pa, bq nếu và chỉ nếu f có các đạo hàm một phía và
f´1 px0 q “ f`1 px0 q. Hơn nữa, lúc đó f´1 px0 q “ f`1 px0 q “ f 1 px0 q.
Chú ý 1.3. Từ định lý trên, ta rút ra một số chú ý quan trọng sau
• Nếu f khơng có một trong hai đạo hàm trái hoặc phải hoặc có cả hai đạo hàm
trái và phải nhưng không bằng nhau tại x0 thì f khơng có đạo hàm tại x0 . Trong
trường hợp sau, điểm px0 , f px0 qq sẽ là điểm góc của đồ thị hàm số f .
• Nếu f có đạo hàm trái (phải) tại x0 thì f liên tục trái (phải) tại x0 ; nếu f có đạo
hàm trái và phải tại x0 thì f liên tục tại x0 .
Định lý 1.12 (Quan hệ giữa đạo hàm và tính liên tục). Nếu hàm số f có đạo hàm
tại x P pa, bq thì f liên tục tại x.
Định lý 1.13 (Các phép toán). Giả sử các hàm số f và g có đạo hàm tại x0 . Khi đó
• Hàm f ` g cũng có đạo hàm tại x0 và
pf ` gq1 px0 q “ f 1 px0 q ` g 1 px0 q;
• Hàm f ¨ g cũng có đạo hàm tại x0 và
pf ¨ gq1 px0 q “ f 1 px0 qgpx0 q ` f px0 qg 1 px0 q;
• Nếu gpx0 q ‰ 0 thì hàm

f
cũng có đạo hàm tại x0 và
g

´ f ¯1

g

px0 q “

f 1 px0 qgpx0 q ´ f px0 qg 1 px0 q
.
rgpx0 qs2

Định lý 1.14 (Định lý hàm hợp). Nếu g có đạo hàm tại x và f có đạo hàm tại gpxq
thì hàm hợp f ˝ g có đạo hàm tại x và
pf ˝ gq1 pxq “ f 1 pgpxqqg 1 pxq.


7
Định lý 1.15 (Đạo hàm hàm ngược). Cho f là hàm đơn điệu nghiêm ngặt trên pa, bq
và có đạo hàm tại x P pa, bq với f 1 pxq ‰ 0. Khi đó, hàm ngược f ´1 của hàm f có đạo
hàm tại y “ f pxq và
1
pf ´1 q1 pf pxqq “ 1 .
f pxq
Định nghĩa 1.10. Cho hàm số y “ f pxq xác định trên pa; bq và có đạo hàm tại
x P pa; bq. Giả sử x là số gia của x sao cho x ` ∆x P pa; bq. Tích f 1 pxq∆x (hay y 1 .∆x)
được gọi là vi phân của hàm số y “ f pxq tại x ứng với số gia ∆x, kí hiệu là df pxq hay
dy.
Định lý 1.16 (Quan hệ giữa đạo hàm và vi phân). Hàm số f khả vi tại x khi và chỉ
khi f có đạo hàm tại x.
Định lý 1.17 (Các quy tắc tính vi phân). Giả sử các hàm số f và g khả vi tại x0 .
Khi đó
• Hàm f ` g cũng khả vi tại x0 và
dpf ` gqpx0 q “ df px0 q ` dgpx0 q;

ã Hm f ă g cng khả vi tại x0 và
dpf gqpx0 q “ gpx0 qdf px0 q ` f px0 qdgpx0 q;
• Nếu gpx0 q ‰ 0 thì hàm

f
cũng khả vi tại x0 và
g

´f ¯
gpx0 qdf px0 q ´ f px0 qdgpx0 q
d
px0 q “
.
g
rgpx0 qs2
Định nghĩa 1.11. Cho hàm số f pxq có đạo hàm f 1 pxq trong pa, bq. Khi đó, đạo hàm
của hàm số f 1 pxq tại x0 P pa, bq được gọi là đạo hàm cấp hai của f tại x0 .
Kí hiệu: f 2 px0 q “ pf 1 q1 px0 q.
Tổng quát, đạo hàm cấp n của f là đạo hàm cấp một của hàm đạo hàm cấp pn ´ 1q
của f và kí hiệu là f pnq pxq. Tức là, ta có
f pnq “ pf pn´1q q1 pxq.
Định lý 1.18 (Quan hệ giữa đạo hàm và vi phân). Hàm số f khả vi cấp n tại x khi
và chỉ khi f có đạo hàm cấp n tại x.


8
Định lý 1.19 (Các quy tắc tính đạo hàm cấp cao). Giả sử các hàm số f và g khả vi
cấp n tại x0 . Khi đó
• Hàm f ` g cũng khả vi cấp n tại x0 và
pf ` gqpnq px0 q “ f pnq px0 q ` g pnq px0 q;

ã Hm f ă g cng kh vi cp n ti x0 v
pnq

pf ă gq

n


px0 q

Cnk f pkq px0 qg pn´kq px0 q.

k“0
1

Định lý 1.20. Giả sử các hàm số f khả vi trên khoảng pa, bq chứa x0 và f px0 q “ 0.
1
1
Nếu f pxq ě 0 với mọi x P pa, x0 q và f pxq ď 0 với mọi x P px0 , bq (tức là đạo hàm đổi
dấu từ ` sang ´ khi đi qua x0 ) thì x0 là điểm cực đại của hàm f .
1
1
Nếu f pxq ď 0 với mọi x P pa, x0 q và f pxq ě 0 với mọi x P px0 , bq (tức là đạo hàm đổi
dấu từ ´ sang ` khi đi qua x0 ) thì x0 là điểm cực tiểu của hàm f .


Chương 2

Một số định lý cơ bản của phép tính
vi phân

Trong chương này, tài liệu được sử dụng chính là [2].

2.1

Định lý Fermat

Định lý 2.1. Giả sử hàm số f khả vi và đạt cực trị địa phương tại x0 P pa, bq. Khi đó
f 1 px0 q “ 0.
Chứng minh. Giả sử f đạt cực đại địa phương tại x0 . Theo định nghĩa đạo hàm ta có
f px0 ` hq ´ f px0 q
.
hÑ0
h

f 1 px0 q “ lim

Vì f px0 q ě f pxq với mọi x P Vδ px0 q nên f px0 ` hq ´ f px0 q ď 0 với |h| đủ bé.
Nếu h ą 0 đủ bé ta nhận được
f px0 ` hq ´ f px0 q
f px0 ` hq ´ f px0 q
ď 0 ñ lim`
ď 0 ñ f`1 px0 q “ f 1 px0 q ď 0.
hÑ0
h
h
Nếu h ă 0 đủ bé ta được
f px0 ` hq ´ f px0 q
f px0 ` hq ´ f px0 q
ě 0 ñ lim´
ě 0 ñ f´1 px0 q “ f 1 px0 q ě 0.

hĐ0
h
h
Từ đó, suy ra f 1 px0 q “ 0.
Chú ý 2.1. Từ định lý trên ta có một số lưu ý sau

9


10
• Định lý chỉ là điều kiện cần chứ khơng phải là điều kiện đủ để tồn tại cực trị. Ví
dụ hàm số f pxq “ x3 có đạo hàm bằng 0 tại x0 “ 0 nhưng f khơng có cực trị tại
x0 “ 0 bởi f tăng nghiêm ngặt trên R.
• Nếu hàm f liên tục trên đoạn ra, bs và đạt giá lớn nhất (nhỏ nhất) tại x0 P pa, bq
thì hiển nhiên x0 là điểm cực đại (cực tiểu) địa phương của f . Nhưng nếu f đạt
giá trị lớn nhất (bé nhất) tại một trong các đầu mút của đoạn ra, bs thì điểm
đó khơng phải là điểm cực đại (cực tiểu) địa phương của f và f khơng xác định
trong tồn lân cận Vδ px0 q.
• Một hàm có thể có cực trị địa phương chặt tại x0 mà không khả vi tại x0 . Chẳng
hạn như hàm số f pxq “ | sin x| có cực tiểu đại phương tại các điểm x “ kπ với
k P Z nhưng không khả vi tại những điểm đó.
• Một hàm có thể có cực trị địa phương không chặt tại x0 mà không khả vi tại x0 .
Chẳng hạn như hàm số
#
|x| sin2 x1 nếu x ‰ 0,
f pxq “
0
nếu x “ 0
có cực tiểu địa phương không chặt tại điểm x “ 0 nhưng không khả vi tại những
điểm đó.

• Nếu hàm số f khả vi và đạt cực trị tại điểm x0 thì tiếp tuyến của đồ thị hàm số
f tại điểm cực trị song song với trục hồnh.
• Nếu hàm số f khả vi và f 1 px0 q “ 0 thì x0 được gọi là điểm dừng của hàm f . Nếu
x0 là điểm dừng của f hoặc f không khả vi tại x0 thì x0 được gọi là điểm tới hạn
của f .
• Muốn tìm hiểu cực trị địa phương của hàm số f thì ta chỉ cần tìm tại những
điểm tới hạn của hàm f .

2.2

Định lý Rolle

Định lý 2.2 (Rolle). Giả sử hàm số f liên tục trên ra, bs, khả vi trên pa, bq và f paq “
f pbq. Khi đó, tồn tại c P pa, bq sao cho f 1 pcq “ 0.
Chứng minh. Vì f liên tục trên ra, bs nên theo Định lý Weierstrass 2 nó nhận giá trị
lớn nhất và giá trị nhỏ nhất tại những điểm nào đó của ra, bs. Giả sử m “ min f pxq
xPra,bs

và M “ max f pxq.
xPra,bs


11
Nếu m “ M thì f là hàm hằng, do đó f 1 “ 0 trên ra, bs và c có thể chọn bất kì trên
pa, bq.
Nếu m ‰ M thì từ giả thiết f paq “ f pbq, suy ra hai điểm cực đại và cực tiểu không
thể đồng thời là các đầu mút của ra, bs. Như vậy, một trong hai điểm đó phải thuộc
pa, bq. Giả sử tồn tại c P pa, bq sao cho f pcq “ M . Như vậy, tại c hàm f nhận giá trị
lớn nhất trên pa, bq. Nói cách khác, f đạt giá trị cực đại địa phương tại c. Theo Định
lý Fermat thì f 1 pcq “ 0.

Chú ý 2.2. Từ định lý trên ta có một số lưu ý sau
• Định lý Rolle khơng cịn đúng nếu f khơng khả vi tại một điểm nào đó trong
pa, bq. Chẳng hạn, xét hàm số f pxq “ |x| trên r´1, 1s. Rõ ràng f liên tục trên
r´1, 1s và f p´1q “ f p1q “ 1, f không khả vi tại x “ 0. Và rõ ràng với mọi x ‰ 0
thì f 1 pxq ‰ 0.
• Nếu điều kiện f liên tục trên ra, bs được thay bởi điều kiện liên tục trên pa, bq thì
Định lý Rolle khơng đúng. Chẳng hạn, xét hàm số gián đoạn tại x “ 0
#
1 nếu x “ 0
f pxq “
x nếu x ‰ 0.
Rõ ràng f 1 pxq “ 1 với mọi x P p0, 1q.

2.3

Định lý Lagrange

Định lý 2.3 (Lagrange). Giả sử hàm số f liên tục trên ra, bs, khả vi trên khoảng pa, bq.
Khi đó, tồn tại c P pa, bq sao cho
f pbq ´ f paq
“ f 1 pcq.
b´a
Chứng minh. Xét hàm số
gpxq “ f pxq ´

” f pbq ´ f paq
b´a

ı
px ´ aq ` f paq , x P ra, bs.

Do các hàm số f pxq và x ´ a liên tục trên ra, bs, khả vi trong khoảng pa, bq nên gpxq
cũng có tính chất đó. Mặt khác, dễ dàng ta thấy gpaq “ gpbq “ 0. Theo Định lý Rolle,
tồn tại c P pa, bq sao cho g 1 pcq “ 0. Nhưng ta có
g 1 pxq “ f 1 pxq ´

f pbq ´ f paq
, x P pa, bq.
b´a


12
f pbq ´ f paq
.
b´a
Ta có điều cần chứng minh.

Suy ra f 1 pcq “

Chú ý 2.3. Ta nhận được Định lý Lagrange như là một hệ quả của Định lý Rolle.
Thế nhưng chính Định lý Rolle lại là một trường hợp riêng của Định lý Lagrange khi
cho f paq “ f pbq.
Hệ quả 2.1. Giả sử hàm số f liên tục trên ra, bs và f 1 pxq “ 0 với mọi x P pa, bq. Khi
đó f là hàm hằng trên ra, bs.
Chứng minh. Cố định x0 P pa, bq. Giả sử x là điểm tùy ý trong pa, bq. Khi đó đoạn
rx0 , xs hoặc rx, x0 s nằm trong pa, bq. Do vậy, f khả vi (vì vậy liên tục) trên đoạn đó.
Ta áp dụng Định lý Lagrange trên đoạn con đó, tồn tại c P px0 , xq sao cho
f pxq ´ f px0 q “ f 1 pcqpx ´ x0 q.
Nhưng f 1 ptq “ 0 với mọi t P pa, bq nên f 1 pcq “ 0. Vì vậy, từ đẳng thức trên ta suy ra
f pxq “ f px0 q. Vì x P pa, bq bấy kì nên f là hàm hằng trên pa, bq. Hơn nữa, do f liên

tục trên ra, bs nên f là hàm hằng trên ra, bs.
Hệ quả 2.2. Nếu hai hàm f và g có đạo hàm đồng nhất bằng nhau trên pa, bq thì
chúng chỉ sai khác nhau một hằng số cộng trên khoảng đó.
Bằng cách xét dấu của đạo hàm cấp một của hàm số, ta có thể biết được tính chất
đồng biến, nghịch biến của hàm số đó trên một khoảng. Ta có định lý sau.
Định lý 2.4. Giả sử hàm số f khả vi trên pa, bq. Khi đó
1. f 1 pxq ě 0 với mọi x P pa, bq

ðđ

f khơng giảm trên pa, bq;

2. f 1 pxq ď 0 với mọi x P pa, bq

ðđ

f khơng tăng trên pa, bq;

3. f 1 pxq ą 0 với mọi x P pa, bq

ùñ

f tăng (nghiêm ngặt) trên pa, bq;

4. f 1 pxq ă 0 với mọi x P pa, bq

ùñ

f giảm (nghiêm ngặt) trên pa, bq.

Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh (1) và (3) vì hai trường hợp kia được chứng minh
tương tự.


13
(1) Giả sử f 1 pxq ě 0 với mọi x P pa, bq. Lấy x1 , x2 P pa, bq với x1 ă x2 . Bởi f khả vi
trên pa, bq nên nó khả vi (vì vậy liên tục) trên rx1 , x2 s. Theo Định lý Lagrange,
tồn tại c P px1 , x2 q sao cho
f px2 q ´ f px1 q “ f 1 pcqpx2 ´ x1 q.
Vì f 1 pcq ě 0 và x2 ´ x1 ą 0 nên f px2 q ě f px1 q. Vậy f không giảm.
Ngược lại, giả sử f không giảm trên pa, bq. Lấy x P pa, bq bất kỳ và h ‰ 0 đủ nhỏ.
Khi đó hoặc a ă x ă x ` h ă b nếu h ą 0, hoặc a ă x ` h ă x ă b nếu h ă 0.
Vì f khơng giảm nên trong trường hợp h ą 0 ta có f px ` hq ´ f pxq ą 0. Do đó
ta nhận được
f px ` hq ´ f pxq
ě 0.
f 1 pxq “ lim
hĐ0
h
Tương tự, trong trường hợp h ă 0 ta có f px ` hq ´ f pxq ă 0. Do đó ta nhận được
f 1 pxq “ lim

hĐ0

f px ` hq ´ f pxq
ě 0.
h

Vậy trong cả hai trường hợp ta đều có f 1 pxq ě 0 với mọi x P pa, bq.
(3) Chứng minh như trên nhưng để ý rằng f 1 pcq ą 0 kéo theo f px2 q ą f px1 q, tức là

f tăng (nghiêm ngặt).

Dựa vào định lý trên ta nhận được các hệ quả sau
Hệ quả 2.3. Xét I “ ra, bs hoặc I “ ra, `8q. Giả sử f, g là hai hàm số khả vi trên I
và thoả mãn f paq ě gpaq và f 1 pxq ě g 1 pxq với mọi x P I. Khi đó f pxq ě gpxq với mọi
x P I.
Chứng minh. Đặt
hpxq “ f pxq ´ gpxq,

x P I.

Theo giả thiết ta có
h1 pxq “ f 1 pxq ´ g 1 pxq ě 0,

@x P I,

do đó h là hàm khơng giảm trên I. Từ đó suy ra
hpxq ě hpaq,

@x P I,

hay
f pxq ´ gpxq ě f paq ´ gpaq ě 0,
Vậy f pxq ě gpxq với mọi x P I.

@x P I.


14
Hệ quả 2.4. Xét J “ ra, bs hoặc J “ p´8, bs. Giả sử f, g là hai hàm số khả vi trên J

và thoả mãn f pbq ě gpbq và f 1 pxq ď g 1 pxq với mọi x P J. Khi đó f pxq ě gpxq với mọi
x P J.
Chứng minh. Đặt
hpxq “ f pxq ´ gpxq,

x P J.

Theo giả thiết ta có
h1 pxq “ f 1 pxq ´ g 1 pxq ď 0,

@x P J,

do đó h là hàm khơng tăng trên I. Từ đó suy ra
hpxq ě hpbq,

@x P J,

hay
f pxq ´ gpxq ě f pbq ´ gpbq ě 0,

@x P J.

Vậy f pxq ě gpxq với mọi x P J.
Hệ quả 2.5. Xét I “ ra, bs hoặc I “ ra, `8q và f, g là hai hàm số liên tục trên I.
Nếu f pxq ě gpxq với mọi x P I thì
żx
żx
gptq dt, @x P I.
f ptq dt ě
a

a

Chứng minh. Đặt
żx

żx
f ptq dt,

F pxq “
a

gptq dt,

Gpxq “

x P I.

a

Ta có F paq “ Gpaq “ 0 và
F 1 pxq “ f pxq ě gpxq “ G1 pxq,

@x P I.

Áp dụng Hệ quả 2.3, ta được F pxq ě Gpxq với mọi x P I.

2.4

Định lý Cauchy

Định lý 2.5. Giả sử các hàm số f và g liên tục trên ra, bs, khả vi trên pa, bq và g 1 pxq ‰ 0
với mọi x P pa, bq. Khi đó, tồn tại c P pa, bq sao cho
f pbq ´ f paq
f 1 pcq
“ 1 .
gpbq ´ gpaq
g pcq


15
Chứng minh. Trước hết, ta nhận xét rằng gpaq ‰ gpbq, tức là công thức trong kết luận
của định lý ln có nghĩa. Thật vậy, giả sử gpaq “ gpbq. Khi đó, theo Định lý Rolle, tồn
tại ξ P pa, bq để cho g 1 pξq “ 0. Điều này trái với giả thiết gpxq ‰ 0 với mọi x P pa, bq.
Xét hàm số
F pxq “ rf paq ´ f pbqsgpxq ´ rgpaq ´ gpbqsf pxq, x P ra, bs.
Do các hàm số f và g liên tục trên ra, bs, khả vi trong khoảng pa, bq nên F cũng có tính
chất đó. Mặt khác, dễ thấy F paq “ F pbq. Theo Định lý Rolle, tồn tại c P pa, bq sao cho
F 1 pcq “ 0. Nhưng ta có
F 1 pxq “ rf paq ´ f pbqsg 1 pxq ´ rgpaq ´ gpbqsf 1 pxq, x P pa, bq.
Suy ta
F 1 pcq “ rf paq ´ f pbqsg 1 pcq ´ rgpaq ´ gpbqsf 1 pcq “ 0.
Từ đó nhận được điều phải chứng minh.
Chú ý 2.4. Từ định lý trên ta có một số chú ý sau:
• Định lý Lagrange là một trường hợp riêng của định lý Cauchy khi cho gpxq “ x.
• Định lý Cauchy sẽ khơng cịn đúng nếu các hàm số f, g khơng khả vi tại một
điểm nào đó trong pa, bq hoặc không liên tục trên ra, bs.

2.5

Định lý L’Hospital

Định lý 2.6 (L’Hospital). Cho c P pa, bq và giả sử f, g là hai hàm số khả vi trên
pa, bq với g 1 pxq ‰ 0 với mọi x P pa, bq, có thể loại trừ điểm c. Giả sử thêm rằng
lim f pxq “ lim gpxq “ 0. Nếu
xĐc

xĐc

f 1 pxq
lim
“L
xĐc g 1 pxq
thì

f pxq
“ L.
xĐc gpxq
lim

Chứng minh. Giả sử pxn q Ă pa, bq với xn ‰ c với mọi n P N và lim xn “ c. Theo định
nÑ8

lý Cauchy (Định lý 2.5), với mỗi n P N tồn tại số thực yn nằm giữa xn và c sao cho
“
‰
“
‰
f 1 pyn q gpxn q ´ gpcq “ g 1 pyn q f pxn q ´ f pcq .

16
Theo giả thiết, ta có g 1 pyn q ‰ 0. Hơn nữa, gpxn q ´ gpcq “ gpxn q vì g liên tục tại c và
lim gpxq “ 0. Ta cũng có gpxn q ‰ 0 vì nêú trái lại thì tồn tại d nằm giữa xn và c sao

xÑc

cho g 1 pdq “ 0 (theo Định lý Rolle), điều này trái với giả thiết. Từ các nhận xét này, ta
có thể viết
f 1 pyn q
f pxn q ´ f pcq
f pxn q
“
“
.
1
g pyn q
gpxn q ´ gpcq
gpxn q
Lưu ý rằng yn ‰ c với mọi n P N và lim yn “ c (theo nguyên lý kẹp). Do đó
nĐ8

f 1 pxq
f 1 pyn q
f pxn q
L “ lim 1
“ lim 1
“ lim
.
xÑc g pxq

nÑ8 g pyn q
nÑ8 gpxn q
Từ đó suy ra
f pxq
“ L.
xĐc gpxq
lim

2.6

Định lý Darboux

Định nghĩa 2.1 (Tính chất Darboux). Cho I “ pα, βq là một khoảng mở. Hàm số
f : I Ñ R được gọi là có tính chất Darboux (hay tính chất giá trị trung gian) trên
I nếu với mọi a, b P I, a ă b, f paq ‰ f pbq, với mọi λ nằm giữa f paq và f pbq, tồn tại
c P pa, bq sao cho f pcq “ λ.
Ví dụ 2.1. Nếu hàm số f : I Ñ R liên tục trên I thì f có tính chất Darboux trên I
(theo Định lý giá trị trung gian của hàm liên tục).
Ví dụ 2.2. Cho hàm số
$
&sin 1 , x ‰ 0
x
f pxq “
%0,
x “ 0.
Chứng minh rằng f có tính chất Darboux trên khoảng mở I “ p´1; 1q nhưng f khơng
liên tục trên I.
Ví dụ 2.3. Cho hàm số f : R Ñ R đơn điệu tăng và có tính chất Darboux trên R.
Chứng minh rằng f liên tục trên R.
Định lý 2.7 (Darboux). Giả sử I Ă R là khoảng mở và f : I Ñ R là hàm số khả vi

trên I. Khi đó f 1 có tính chất Darboux trên I. Nghĩa là, với bất kỳ a, b P I, a ă b, với
mọi λ nằm giữa f 1 paq và f 1 pbq, tồn tại x0 P pa, bq sao cho λ “ f 1 px0 q.


17
Chứng minh. Khơng mất tính tổng qt, ta giả sử f 1 paq ă λ ă f 1 pbq. Xét hàm số
gpxq “ f pxq ´ λx, x P ra, bs.
Vì g liên tục trên ra, bs nên tồn tại x0 P ra, bs sao cho gpx0 q “ max gpxq.
xPra,bs

Vì f 1 paq ă λ ă f 1 pbq, nên g 1 paq ă 0 ă g 1 pbq, từ đó suy ra x0 R ta, bu. Do vậy
x0 P pa, bq là điểm cực đại (địa phương) của hàm số f , nên theo định lý Fermat,
g 1 px0 q “ 0, hay f 1 px0 q “ λ.
Nhận xét 2.1. Nếu f P C 1 ra, bs thì Định lý Darboux được suy trực tiếp từ định lý
giá trị trung gian (IVT) của hàm liên tục trên một đoạn. Tuy nhiên, một hàm khả vi
f thì hàm đạo hàm f 1 không nhất thiết liên tục, chẳng hạn hàm số
$
&x2 sin 1 , x ‰ 0
x
f pxq “
%0,
x“0
khả vi tại điểm 0 nhưng không tồn tại lim f 1 pxq.
xÑ0

Nhận xét 2.2. Ta thấy rằng hàm liên tục f và hàm đạo hàm f 1 có tính chất Darboux
trên bất kỳ khoảng mở I Ă R. Thực tế, lớp hàm có tính chất giá trị trung gian khá
"rộng" chứ không chỉ là hàm liên tục hay hàm đạo hàm như đã biết.

2.7

Định lý Taylor

Định lý 2.8. Giả sử Pn pxq là đa thức đại số bậc n
Pn pxq a0 ` a1 x ` ă ă ă ` an xn “

n
ÿ

ak x k .

k“0

Khi đó, với mọi x0 P R đa thức Pn pxq có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng
Pn pxq “

n
ÿ
P pkq px0 q
px ´ x0 qk .
k!
k“0

Công thức này được gọi là công thức Taylor với tâm x0 của đa thức Pn pxq.
Chứng minh. Giả sử x0 P R bất kì. Ta có
Pn pxq “

n
ÿ
k“0

k

ak x “

n
ÿ
k“0

ak rpx ´ x0 q ` x0 sk .


18
Bằng cách khai triển các nhị thức rpx ´ x0 q ` x0 sk trong đẳng thức trên rồi nhóm các
số hạng đồng dạng theo lũy thừa của px ´ x0 q, ta sẽ viết được Pn pxq dưới dạng
Pn pxq “

n
ÿ

bk px ´ x0 qk .

k“0

Tiếp theo, ta tính các hệ số bk trong khai triển trên. bằng cách đạo hàm lần lượt
các cấp của Pn pxq và thay x “ x0 , ta được
Pnp0q “ b0 ` b1 px x0 q ` ă ă ă ` bn px ´ x0 qn ñ Pn px0 q “ b0 ;
P 1 pxq “ b1 ` 2b2 px ´ x0 q ` ă ă ă ` nbn1 px x0 qn´1 ñ Pn1 px0 q “ b1 “ 1!b1 ;
Pn2 pxq 1 ă 2b2 ` 1 ă 2 ă 3b3 px x0 q ` ă ă ă ` npn ´ 1qpx ´ x0 qn´2 ñ P 2 px0 q 1 ă 2b2 2!b2 ;
..

.
Pnpnq pxq 1 ă 2 ă ă ă nbn ủ Pnpnq px0 q 1 ă 2 ă ă ă nbn n!bn ;
Pnpn`1q pxq “ 0 ñ Pnpn`1q px0 q “ 0.
pkq

Pn px0 q
vi mi k 0, 1, ă ă ¨ , n như yêu cầu.
Và do đó bn “
k!
Định lý 2.9. Giả sử hàm số f khả vi liên tục đến cấp n ´ 1 trong δ´ lân cận Vδ px0 q
của x0 và có đạo hàm hữu hạn cấp n tại x0 . Khi đó f có thể biểu diễn dưới dạng
n
ÿ
f pkq px0 q
f pxq “
px ´ x0 qk ` oppx ´ x0 qn q khi x Ñ x0 .
k!
k“0
Công thức này được gọi là công thức Taylor (dạng địa phương) với phần dư Peano.
Chứng minh. Đặt
F pxq “ f pxq ´

n
ÿ
f pkq px0 q
px ´ x0 qk ,
k!
k“0

Gpxq “ px ´ x0 qn .

Rõ ràng F px0 q F 1 px0 q ă ă ¨ “ F pnq px0 q “ 0.
Do đó, F pxq “ opGpxqq khi x Đ x0 . Ta có điều phải chứng minh.
Định lý 2.10. Giả sử hàm số f khả vi liên tục đến cấp n trong pa, bq và có đạo hàm
cấp n ` 1 tại mọi điểm x P pa, bq có thể trừ ra một số điểm x0 P pa, bq. Khi đó giữa x0
và x P pa, bq bất kì, tồn tại c sao cho
n
ÿ
f pkq px0 q
f pxq “
px ´ x0 qk ` Rn`1 pf ; xq.
k!
k“0

Trong đó
1 ´ x ´ x0 ¯p
Rn`1 pf ; xq “
px ´ cqn`1 f pn`1q pcq, p P R, p ą 0.
n!p x ´ c


19
Công thức này được gọi là công thức Taylor với phần dư Rn`1 dưới dạng SchlomilelRoche.
Chứng minh. Khơng mất tính tổng quát, ta có thể giả sử x ą x0 . Xét hàm số
hptq “ f pxq ´

n
ÿ
f pkq ptq
px ´ tqp λ

px ´ tqk ´
, t P rx0 , xs,
k!
n!p
k“0

trong đó p P R, p ą 0, λ là tham số.
Hàm hptq liên tục trên rx0 , xs, khả vi trên px0 , xq và hpxq “ f pxq. Chọn λ sao cho
hpx0 q “ f pxq ´

n
ÿ
px ´ x0 qp
f pkq px0 q
px ´ x0 qk ´
λ “ 0.
k!
n!p
k“0

Với cách chọn đó, hàm hptq thỏa mãn các điều kiện của Định lý Rolle trên rx0 , xs.
Do đó, tồn tại c P px0 , xq để
h1 pcq “ ´

f pn`1q pcq
px ´ cqp´1
px ´ cqn `
λ “ 0.
n!
n!

Thật vậy, ta có
f 1 ptq f 2 ptq
f 2 ptq
`
px tq `
2px tq ă ă ă
1!
1!
2!
f pnq ptq
px ´ tqp´1
f pnq ptq
npx ´ tqn´1 ´
px ´ tqn `
λ
`
n!
n!
n!
f pnq ptq
px ´ tqp´1
“´
px ´ tqn `
λ.
n!
n!

h1 ptq “ ´f 1 ptq `

Vậy thay t “ c, ta được
h1 pcq “ ´

f pn`1q pcq
px ´ cqp´1
px ´ cqn `
λ “ 0.
n!
n!

Từ đó, ta có λ “ f pn`1q pcqpx ´ cqn´p`1 .
Từ đó ta có điều phải chứng minh.


Chương 3

Ứng dụng trong giải toán sơ cấp
3.1

Chứng minh đẳng thức và bài toán giới hạn

Bài toán 3.1 ([5]). Chứng minh rằng với mọi x P p´1, `8q, đẳng thức sau đúng
arctan x ` arctan

1´x
π
“ .
1`x
4

Lời giải. Xét hàm số
1´x
,
1`x

f pxq “ arctan x ` arctan

x P p´1, `8q.

Ta có
f 1 pxq “

1
`
1 ` x2

1
´
1`

1´x
1`x

´ 1 ´ x ¯1
¯2

1`x

“

´2
1
`
“ 0,
2
1`x
2 ` 2x2

@x P p´1, `8q.

Theo Hệ quả 2.1, ta có
f pxq “ C,
Hơn nữa ta có f p0q “

@x P p´1, `8q.

π
, do đó
4
f pxq “

π
,
4

@x P p´1, `8q.

Bài tốn 3.2 ([4]). Cho f : ra, bs Ñ R là một hàm khả vi tại c P ra, bs. Gọi Lpxq là
tiếp tuyến của f tại c. Chứng minh rằng L là hàm tuyến tính duy nhất thỏa
f pxq ´ Lpxq

“ 0.
xÑc
x´c
lim

20


21
Lời giải. Đặt h “ x ´ c,
f pxq ´ Lpxq
f pc ` hq ´ pf pcq ` f 1 pcq ă hq
lim
xẹc
hẹ0
xc
h
f pc ` hq f pcq
lim
´ f 1 pcq
hÑ0
h
“ 0.
lim

Giả sử hàm Kpxq cũng thỏa mãn giới hạn trên. Khi đó, vì K và f liên tục nên
f pcq ´ Kpcq “ lim f pxq ´ Kpcq
xĐc

“ limpx ´ cq

xĐc

f pxq ´ Kpxq
x´c

“0
Do đó, Kpxq “ f pcq ` mpx ´ cq với m là hệ số góc và
Kpc ` hq ´ Kpcq
hĐ0
h
” Kpc ` hq ´ f pc ` hq f pc ` hq ´ f pcq ı
“ lim
`
hÑ0
h
h
1
1
“ 0 ` f pcq “ f pcq.

m “ K 1 pcq “ lim

Do đó đường thẳng K đi qua điểm pc; f pcqq có hệ số góc giống với L. Vậy K “ L.
Bài tốn 3.3 ([4]). Giả sử hàm số f liên tục trên ra, bs, có đạo hàm đến cấp hai trên
pa, bq, và đường thẳng nối hai điểm Apa, f paqq, Bpb, f pbqq cắt đồ thị hàm số f tại điểm
thứ ba là Cpc, f pcqq, a ă c ă b. Chứng minh rằng tồn tại α P pa, bq sao cho f 2 pαq “ 0.
Lời giải. Áp dụng định lý Lagrange cho hàm số f lần lượt trên các đoạn ra, cs và rc, bs,
ta nhận được các điểm α1 P pa, cq và α2 P pc, bq sao cho
f 1 pα1 q “

f pcq ´ f paq
,
c´a

f 1 pα2 q “

f pbq ´ f pcq
.
b´c

Vì f 1 pα1 q “ f 1 pα2 q, nên áp dụng định lý Rolle cho hàm số gpxq :“ f 1 pxq trên đoạn
rα1 , α2 s ta nhận được điểm α P pα1 , α2 q sao cho g 1 pαq “ f 2 pαq “ 0.
Bài toán 3.4 ([4]). Giả sử hàm số f : ra, bs Ñ R liên tục trên đoạn ra, bs, khả vi trên
khoảng pa, bq và thoả mãn f paq “ a, f pbq “ b. Chứng minh rằng
1. tồn tại c P pa, bq sao cho f 1 pcq “ 1;
2. tồn tại c1 , c2 P pa, bq, c1 ‰ c2 sao cho f 1 pc1 q ` f 1 pc2 q “ 2;


22
3. với mỗi n P N, tồn tại n số phân biệt c1 , c2 , ..., cn P pa, bq sao cho
f 1 pc1 q ` f 1 pc2 q ` ... ` f 1 pcn q “ n.
Lời giải.
Theo định lý Lagrange, tồn tại c P pa, bq sao cho
f 1 pcq “

f pbq ´ f paq
“ 1.
b´a

a`b

. Áp dụng định lý Lagrange cho hàm số f trên trên các đoạn ra, αs và
2
rα, bs ta nhận được hai điểm c1 P pa, αq và c2 P pα, bq sao cho

Chọn α “

f 1 pc1 q ` f 1 pc2 q “

f pαq ´ f paq f pbq ´ f pαq
`
“ 2.
α´a
b´α

Chia đoạn ra, bs thành n đoạn bằng nhau bởi các điểm chia
a “ α0 ă α1 2 ă ă ă n b.
p dụng định lý Lagrange cho hàm số f trên các đoạn rαk´1 , αk s (k “ 1, ..., n), ta nhận
được các điểm ck P pαk´1 , αk q sao cho
n
ÿ

f 1 pck q “

k“1

n
ÿ
f pαk q ´ f pαk´1 q
“ n.
α

´
α
k
k´1
k“1

Bài toán 3.5 ([4]). Giả sử f : R Đ R là một hàm khả vi và có đạo hàm liên tục đều
trên R. Chứng minh rằng
” ´
ı
1¯
lim n f x `
´ f pxq “ f 1 pxq.
nÑ`8
n
Lời giải. Vì f 1 là hàm liên tục đều trên R nên
@ε ą 0, Dδ ą 0, @x, y P R : |x ´ y| ă δ ñ |f 1 pxq ´ f 1 pyq| ă ε.
Lấy N P N sao cho, @n ě N ta có

1
n

ă δ. Khi đó @x P R, ta có:

|f 1 ptq ´ f 1 pxq| ă ε, @t P px, x `

1
q.
n