Luận văn thạc sỹ bất đẳng thức tích phân dạng hermite–hadamard cho một lớp hàm đơn điệu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
---------------------------

ĐOÀN NGỌC HÀ

BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN
DẠNG HERMITE–HADAMARD
CHO MỘT LỚP HÀM ĐƠN ĐIỆU
Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp
Mã số: 8 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS. NGUYỄN THỊ THU THỦY

THÁI NGUYÊN - 2022


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

ĐOÀN NGỌC HÀ

BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN DẠNG
HERMITE–HADAMARD CHO MỘT LỚP
HÀM ĐƠN ĐIỆU
LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC
Chun ngành: Phương pháp tốn sơ cấp
Mã số: 8 46 01 13

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS. NGUYỄN THỊ THU THỦY

THÁI NGUYÊN – 2022


Mục lục
Bảng ký hiệu

1

Mở đầu

2

Chương 1. Bất đẳng thức tích phân dạng Hermite – Hadamard
cho một vài lớp hàm lồi

5

1.1

Hàm lồi và hàm s-lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.1

Hàm lồi

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.2

Hàm s-lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2

Bất đẳng thức tích phân dạng Hermite – Hadamard cho hàm
lồi và hàm s-lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1

Bất đẳng thức tích phân dạng Hermite – Hadamard
cho hàm lồi

1.2.2

9

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

Bất đẳng thức tích phân dạng Hermite – Hadamard
cho hàm s-lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

Chương 2. Bất đẳng thức tích phân dạng Hermite – Hadamard
cho một lớp hàm đơn điệu
2.1

2.2

16

Bất đẳng thức Hermite – Hadamard cho tích phân bậc phân số 16
2.1.1

Tích phân bậc phân số Riemann – Liouville . . . . . .

16

2.1.2

Hàm Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

Bất đẳng thức tích phân dạng Hermite–Hadamard cho một
lớp hàm đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.2.1

22

Xây dựng bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . .


2.2.2

Áp dụng cho một số trường hợp đặc biệt . . . . . . . .

2.2.3

Áp dụng xây dựng một số bất đẳng thức trong chương
trình tốn phổ thơng . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32
35

Kết luận

36

Tài liệu tham khảo

37


1

Bảng ký hiệu

R

tập số thực

R+

tập số thực không âm

Rn

không gian thực n chiều

Rm×n

khơng gian các ma trận cấp m × n trên R

C 2 [a, b]

tập các hàm liên tục và có đạo hàm đến cấp hai liên
tục trên đoạn [a, b]

L[a, b]
Lp [a, b]

khơng gian các hàm khả tích trên đoạn [a, b]
khơng gian các hàm khả tích bậc p trên đoạn [a, b]


2

Mở đầu
Hàm lồi và tập lồi đã được nghiên cứu t lõu bi Hăolder, Jensen, Minkowski.
c bit vi nhng cụng trình của Fenchel, Moreau, Rockafellar vào các thập
niên 1960 và 1970 đã đưa giải tích lồi trở thành một trong những lĩnh vực
phát triển nhất của toán học. Hàm lồi đóng một vai trị quan trọng trong tất
cả các lĩnh vực toán học thuần túy và ứng dụng. Nhiều bất đẳng thức đáng
chú ý đã thu được bằng cách sử dụng hàm lồi. Trong số các bất đẳng thức
đó, bất đẳng thức có sức hấp dẫn mạnh mẽ và rộng rãi nhất trong những
thập kỷ qua là bất đẳng thức Hermite – Hadamard nổi tiếng. Kết quả thú
vị này do Hermite và Hadamard đưa ra một cách độc lập và nó cung cấp sự
tương đương với tính chất lồi. Bất đẳng thức này được xây dựng như sau.
Cho ψ : C ⊂ R → R là một hàm lồi xác định trên tập con C của tập số thực
R và b1 , b2 ∈ C với b1 6= b2 . Bất đẳng thức
Z b2
b + b 
ψ(b1 ) + ψ(b2 )
1
1
2
ψ(x)dx ≤
≤
ψ
2
b 2 − b 1 b1
2

(HH1)

được biết đến dưới tên gọi là bất đẳng thức Hermite – Hadamard [4]. Hầu
hết các bất đẳng thức nổi tiếng liên quan đến giá trị trung bình của tích

phân của hàm lồi f đều ở dạng bất đẳng thức Hermite – Hadamard và một

số biến thể của bất đẳng thức này. Dạng tương đương của bất đẳng thức


3

(HH1) là

(b2 − b1 )ψ



b1 + b2
2



≤

Zb2

b1

ψ(x)dx ≤ (b2 − b1 )

ψ(b1 ) + ψ(b2 )
.
2

(HH2)

Nếu f là một hàm lõm, thì các bất đẳng thức trong (HH1) hay (HH2) sẽ
đảo chiều. Bất đẳng thức Hermite – Hadamard đưa ra một ước lượng trên
cũng như dưới cho giá trị trung bình tích phân của bất kỳ hàm lồi nào được
xác định trên một khoảng đóng. Ngồi ra, (HH1) cịn cung cấp những điều
kiện cần thiết và điều kiện đủ để một hàm là hàm lồi. Một số hàm lồi đặc
biệt có thể được sử dụng trong bất đẳng thức (HH1) để thu được các bất
đẳng thức cổ điển về giá trị trung bình. Do tầm quan trọng của bất đẳng
thức này, trong những năm gần đây nhiều dạng tổng quát hóa, mở rộng đáng
chú ý và các phiên bản khác nhau của bất đẳng thức Hermite – Hadamard
cho các lớp hàm lồi khác nhau, chẳng hạn như hàm tiền lồi, hàm s-lồi, hàm
lồi điều hòa . . . đã được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu và đưa ra nhiều
ứng dụng trong chứng minh các bất đẳng thức đại số, hình học, lượng giác
khác. Trong [6] và [7], các tác giả đã xây dựng bất đẳng thức dạng Hermite
– Hadamard mới cho một lớp hàm đơn điệu và thu được kết quả khá thú vị.
Tôi chọn đề tài “Bất đẳng thức tích phân dạng Hermite – Hadamard cho một
lớp hàm đơn điệu” để nghiên cứu cho luận văn thạc sĩ chun ngành Phương
pháp tốn sơ cấp của mình.
Mục tiêu của đề tài luận văn là tìm hiểu và trình bày lại một số bất đẳng
thức mới được xây dựng từ bất đẳng thức Hermite – Hadamard (HH1) cho
một lớp hàm đơn điệu trong bài báo [6] và [7] công bố năm 2018 và 2020.
Nội dung của luận văn được trình bày trong hai chương.
Chương 1. Bất đẳng thức tích phân dạng Hermite – Hadamard
cho một vài lớp hàm lồi


4

Chương này giới thiệu về một số lớp hàm lồi suy rộng và trình bày về bất

đẳng thức tích phân dạng Hermite – Hadamard cho các lớp hàm lồi này. Nội
dung của chương được viết dựa trên việc tổng hợp kết quả trong [1, 2, 3, 4, 5].
Chương 2. Bất đẳng thức tích phân dạng Hermite – Hadamard
cho một lớp hàm đơn điệu
Chương này trình bày và phân tích một số bất đẳng thức tích phân mới
dạng Hermite – Hadamard cho lớp hàm lồi đối với hàm đơn điệu tăng v
một số áp dụng giải các bất đẳng thức trong chương trình tốn phổ thơng
trong trường hợp đặc biệt và đánh giá một số giá trị trung bình. Nội dung
của chương được viết dựa trên kết quả trong bài báo [6] và [7] công bố năm
2018 và 2020 và một số tài liệu được trích dẫn trong đó.
Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái
Nguyên. Tôi xin bày tỏ sự biết ơn chân thành và sâu sắc nhất tới Ban giám
hiệu; Phòng Đào tạo; Ban chủ nhiệm Khoa Toán-Tin cùng tất cả các thầy
cơ giáo Khoa Tốn-Tin Trường Đại học Khoa học Thái Nguyên đã tham gia
giảng dạy, giúp đỡ, tạo điều kiện cho tơi trong suốt q trình học tập nghiên
cứu và hồn thành các chun đề thạc sĩ khóa 13, chun ngành Phương
pháp tốn sơ cấp tại Trường.
Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc và kính trọng đối với cô giáo, PGS.TS.
Nguyễn Thị Thu Thủy, người trực tiếp hướng dẫn tận tình, tâm huyết giúp
tơi hồn thành luận văn này.
Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Sở GD&ĐT tỉnh Lạng Sơn, Ban
Giám đốc Trung tâm cùng các thầy cô giáo của Trung tâm GDTX1 tỉnh
Lạng Sơn đã tạo điều kiện giúp đỡ tơi trong q trình đi học và làm luận
văn thạc sĩ.
Thái Nguyên, tháng 3 năm 2022
Đoàn Ngọc H


5

Chương 1

Bất đẳng thức tích phân dạng
Hermite – Hadamard cho một vài
lớp hàm lồi
Chương này trình bày một số kiến thức cơ bản của hàm lồi, hàm s-lồi
cùng các bất đẳng thức tích phân dạng Hermite – Hadamard cho các lớp
hàm lồi và s-lồi. Nội dung của chương được viết trên cơ sở các kết quả trong
[1, 2, 3, 5] và một số tài liệu được trích dẫn trong đó.

1.1
1.1.1

Hàm lồi và hàm s-lồi
Hàm lồi

Cho hai điểm x1 , x2 ∈ Rn . Tập tất cả các điểm x = (1 − λ)ax1 + λx2 với

0 ≤ λ ≤ 1 gọi là đoạn thẳng (đóng) nối x1 và x2 , và được ký hiệu là [x1 , x2 ].

Định nghĩa 1.1.1 (xem [1]). Tập C ⊆ Rn được gọi là tập lồi nếu với mọi

λ ∈ [0, 1] và mọi x1 , x2 ∈ C thì xλ := λx1 + (1 − λ)x2 ∈ C.

Như vậy, tập lồi C chứa mọi đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ của nó.


6

Định nghĩa 1.1.2 (xem [1]). Cho C là một tập con lồi khác rỗng của không

gian Rn , ψ : C → R là hàm số thực xác định trên tập lồi C . Hàm ψ được
gọi là

(i) hàm lồi trên C nếu với mọi x, y ∈ C và mọi số thực λ ∈ [0, 1], ta có
ψ[λx + (1 − λ)y] ≤ λψ(x) + (1 − λ)ψ(y);

(1.1)

(ii) hàm lồi chặt trên C nếu bất đẳng thức (1.1) là chặt với mọi x khác y .
Hàm ψ được gọi là hàm lõm nếu hàm (−ψ) là lồi.
Nếu n = 1, Định nghĩa 1.1.2 cho ta định nghĩa về hàm lồi một biến trên
R.
Định lý sau đây cho ta mối liên hệ giữa hàm lồi và tập lồi.
Định lý 1.1.3 (xem [1]). Giả sử hàm ψ : Rn → R là một hàm lồi trên Rn

và λ ∈ R. Khi đó

là các tập lồi.



Cλ := x | ψ(x) < λ ,



C λ := x | ψ(x) ≤ λ

Tập Cλ , C λ trong Định lý 1.1.3 gọi là các tập mức dưới.
Sau đây là mối liên hệ giữa hàm lồi n biến và hàm lồi một biến.
Định lý 1.1.4 (xem [1]). Hàm ψ(x), x ∈ Rn là hàm lồi khi và chỉ khi hàm

một biến ϕ(λ) := ψ(x + λd) là hàm lồi theo λ với mỗi x, d ∈ Rn .

Chứng minh. Điều kiện cần là rõ ràng. Ta chứng minh điều kiện đủ. Giả sử

ϕ là hàm lồi với mọi x, d ∈ Rn . Lấy x, y bất kỳ thuộc Rn và đặt d = x − y .

Khi đó với mọi λ ∈ [0, 1] ta có




ψ (1 − λ)x + λy = ψ(x + λd) = ϕ(λ) = ϕ (1 − λ).0 + λ.1

≤ (1 − λ)ϕ(0) + λϕ(1) = (1 − λ)ψ(x) + λψ(y).



7

Ví dụ 1.1.5. Các hàm sau đây là các hàm lồi (một biến):

(i) hàm afin ψ(x) := ax + b trên R với mọi a, b ∈ R,
(ii) hàm mũ ψ(x) := eax trên R với mọi a ∈ R.
Ví dụ 1.1.6. (i) Mọi hàm chuẩn đều là hàm lồi trên Rn , trong đó
! p1
n
X
kxkp =
|xi |p với p ≥ 1 và kxk∞ = max |xi |,

1≤i≤n

i=1

với x = (x1 , . . . , x2 ) ∈ Rn .

(ii) Cho C ⊆ Rn là một tập lồi khác rỗng, các hàm sau đây là hàm lồi trên
Rn :


 0,
(a) Hàm chỉ của C : δC (x) =
 +∞,

nếu x ∈ C,

nếu x ∈
/ C.

(b) Hàm khoảng cách từ điểm x ∈ Rn đến C : dC (x) = inf kx − yk.

1.1.2

y∈C

Hàm s-lồi

Trong mục này ta sử dụng ký hiệu R+ = [0, +∞).
Định nghĩa 1.1.7 (xem [5]). Hàm ψ : R+ → R được gọi là

(i) hàm s-lồi loại một nếu
ψ(αx + βy) ≤ αs ψ(x) + β s ψ(y)

(1.2)

với mọi x, y ∈ R+ và mọi α, β ≥ 0 với αs + β s = 1, s ∈ (0, 1];

(ii) hàm s-lồi loại hai nếu bất đẳng thức (1.2) thỏa mãn với mọi x, y ∈ R+ ,
và mọi α, β ≥ 0 với α + β = 1, s ∈ (0, 1].

Nhận xét 1.1.8. Dễ thấy rằng khi s = 1 thì hàm s-lồi (loại một, loại hai)
trở thành hàm lồi một biến thông thường xác định trên [0, +∞).


8

Ví dụ 1.1.9. Cho s ∈ (0, 1) và a, b, c ∈ R. Ta định nghĩa hàm ψ từ [0, +∞)

vào R như sau:

ψ(x) =
Khi đó,



a,


bxs + c,

x = 0,
x > 0.

(i) Nếu b ≥ 0, c ≤ a thì ψ là hàm s-lồi loại một.
(ii) Nếu b ≥ 0 và 0 ≤ c ≤ a thì ψ là hàm s-lồi loại hai.
Chứng minh. (i) Ta xét hai trường hợp sau đây:
(1) Nếu u, v > 0, thì αu + βv > 0 và

s


s s
s s
ψ(αu + βv) = b αu + βv + c ≤ b α u + β v + c




s
s
s s
s s
=b α u +β v +c α +β




s
s
s

s
= α bu + c + β bv + c = αs ψ(u) + β s ψ(v).
(2) Nếu v > u = 0 và β > 0 thì

s s

s s



s

s



ψ(α0 + βv) = ψ(βv) = bβ v + c = bβ v + c α + β


s
s
s
= α c + β bv + c = αs c + β s ψ(v) ≤ αs a + β s ψ(v)
= αs ψ(0) + β s ψ(v).

(ii) được chứng minh tương tự như phần (i).



9

1.2

Bất đẳng thức tích phân dạng Hermite – Hadamard
cho hàm lồi và hàm s-lồi

1.2.1

Bất đẳng thức tích phân dạng Hermite – Hadamard cho
hàm lồi

Một trong những bất đẳng thức nổi tiếng cho hàm lồi là bất đẳng thức
Hermite – Hadamard. Bất đẳng thức này được nêu trong định lý sau.
Định lý 1.2.1 (xem [4]). Cho ψ là một hàm lồi trên [b1 , b2 ] ⊂ R, b1 < b2 .
Khi đó ta có bất đẳng thức sau
Z b2
b + b 
ψ(b1 ) + ψ(b2 )
1
1
2
ψ
ψ(x)dx ≤
.
≤
2
b 2 − b 1 b1
2

(1.3)

Bất đẳng thức (1.3) có thể viết lại dưới dạng:

(b2 − b1 )ψ



b1 + b2
2



≤

Zb2

b1

ψ(x)dx ≤ (b2 − b1 )

ψ(b1 ) + ψ(b2 )
.
2

(1.4)

Chứng minh. Vì hàm f lồi trên đoạn [b1 , b2 ], nên với mọi λ ∈ [0, 1] ta có


ψ λb1 + (1 − λ)b2 ≤ λψ(b1 ) + (1 − λ)ψ(b2 ).

Lấy tích phân hai vế theo λ trên đoạn [0, 1], ta nhận được
Z1
0




ψ λb1 + (1 − λ)b2 dλ ≤ ψ(b1 )

Vì

Z1
0

λdλ =

Z1
0

Z1

λdλ + ψ(b2 )

0

0

(1 − λ)dλ =

Z1

(1 − λ)dλ.

1
2

và bằng phép đổi biến x = λb1 + (1 − λ)b2 , suy ra
Z1
0

1
ψ λb1 + (1 − λ)b2 dλ =
b2 − b1



Zb2

b1

ψ(x)dx.

(1.5)


10

Kết hợp với (1.5) ta nhận được bất đẳng thức thứ hai của (1.3). Cũng do
tính lồi của hàm ψ ,

1

ψ(λb1 + (1 − λ)b2 ) + ψ((1 − λ)b1 + λb2 )
2


λb1 + (1 − λ)b2 + (1 − λ)b1 + λb2
≥
2


b1 + b2
.
=
2
Tích phân hai vế bất đẳng thức này theo λ trên đoạn [0, 1] ta nhận được

 1


Z1
Z
1
b1 + b2
((1 − λ)b1 + λb2 )dλ
≤  f (λb1 + (1 − λ)b2 )dλ +
2
2
0

0

1
=
b2 − b 1

Zb2

(x)dx.

b1

Bất đẳng thức thứ nhất của (1.3) được chứng minh.



Ký hiệu Lp [a, b] là không gian các hàm khả tích bậc p (1 ≤ p < ∞) trên

đoạn [a, b], nghĩa là nếu ψ(x) ∈ Lp [a, b] thì
Z b
|ψ(x)|p dx < ∞.
a

Nhận xét 1.2.2. Giả sử ψ : [a, b] ⊂ R → R là hàm khả vi trên [a, b] với

a < b. Nếu ψ ′ ∈ L1 [a, b] thì
1
(a) + ψ(b)
−
2
b−a

Zb
a

1
(t)dt =
b−a

Zb 
a

a+b
t−
2



′

(t)dt.

(1.6)

Định lý 1.2.3 (xem
[3]). Nếu

 ψ : [a, b] → R là hàm khả vi trên [a, b] ⊂ R
a+b
′
và hàm ϕ(x) := x −
(x) lồi trên [a, b], thì

2

ψ(a) + ψ(b)
1
b−a ′
−
ψ (a) − ψ ′ (b) ≥
8
2
b−a

Zb
a

(x)dx ≥ 0.

(1.7)


11

Chứng minh. Áp dụng bất đẳng thức cho hàm ϕ:

 



Z b
1
a+b
a+b

ϕ(a) + ϕ(b)
1
ϕ(x)dx ≥ ϕ
ϕ
+
≥
.
2
2
2
b−a a
2
Sử dụng định nghĩa của hàm ϕ ta thu được:
"
#
Z b
b−a
′
′
1
ψ(a) + ψ(b)
1 2 (ψ (b) − ψ (a))
ψ(x)dx ≥ 0.
−
≥
2
2
2
b−a a


Định lý 1.2.4 (xem [3]). Giả sử ψ : [a, b] ⊂ R → R là hàm khả vi trên [a, b]

và p > 1. Nếu |ψ ′ | là q -khả tích trên [a, b], trong đó

1
p

+

1
q

= 1, thì





 b
 1q
1




Zb
Z

1 (b − a) p

ψ(a) + ψ(b)
1

≤


 |ψ ′ (t)|q dt .
ψ(t)dt
−
1




2
b−a