Luận văn bất đẳng thức tích phân kiểu hermite hadamard cho hàm preinvex khả vi

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY NGUYÊN

ĐINH HOÀI LƯU

BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN
KIỂU HERMITE-HADAMARD
CHO HÀM PREINVEX KHẢ VI

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

ĐẮK LẮK, NĂM 2016


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY NGUYÊN

ĐINH HOÀI LƯU

BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN
KIỂU HERMITE-HADAMARD
CHO HÀM PREINVEX KHẢ VI

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Toán Giải Tích
Mã số

: 60.46.01.02

Người hướng dẫn khoa học: TS. PHẠM HỮU KHÁNH

ĐẮK LẮK, NĂM 2016


MỤC LỤC

Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

LỜI CAM ĐOAN

iii

LỜI CẢM ƠN

iv

BẢNG KÍ HIỆU

v

MỞ ĐẦU

1

1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

5

1.1

1.2

1.3

1.4

Hàm lồi và các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.1

Hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.2

Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

Hàm m-lồi và hàm(α, m)-lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2.1

Hàm m-lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2.2

Hàm(α, m)-lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

Tập invex và hàm preinvex

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.3.1

Tập invex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.3.2

Hàm preinvex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

Hàm m-preinvex và hàm(α, m)-preinvex . . . . . . . . . . .

7

Hàm m-preinvex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.4.1

i


Hàm(α, m)-preinvex . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

Bất đẳng thức Hermite-Hadamard và bất đẳng thức H¨older .

8

1.5.1

Bất đẳng thức Hermite-Hadamard . . . . . . . . . . .

8

1.5.2

Bất đẳng thức H¨older . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.4.2
1.5

2 BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN KIỂU HERMITE-HADAMARD
CHO HÀM PREINVEX KHẢ VI
2.1

Bất đẳng thức tích phân kiểu Hermite-Hadamard cho hàm
preinvex khả vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2

10

Bất đẳng thức tích phân kiểu Hermite-Hadamard cho hàm mpreinvex khả vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3

10

13

Bất đẳng thức tích phân kiểu Hermite-Hadamard cho hàm

(α, m)-preinvex khả vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

3 BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN KIỂU HERMITE-HADAMARD

CHO HÀM PREINVEX KHẢ VI CẤP n
3.1

Bất đẳng thức tích phân kiểu Hermite-Hadamard cho hàm
preinvex khả vi cấp n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2

23

Bất đẳng thức tích phân kiểu Hermite-Hadamard cho hàm mpreinvex khả vi cấp n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.3

23

29

Bất đẳng thức tích phân kiểu Hermite-Hadamard cho hàm

(α, m)-preinvex khả vi cấp n . . . . . . . . . . . . . . . . .
TÀI LIỆU THAM KHẢO

37
44

ii


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các kết quả
sử dụng trong luận văn được trích dẫn đầy đủ và rõ ràng.

Đắk Lắk, tháng 11 năm 2016.
Học viên

Đinh Hoài Lưu

iii


LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nhiệt tình và nghiêm
khắc của thầy, TS. Phạm Hữu Khánh. Chúng tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân
thành và lòng kính trọng sâu sắc đối với thầy, người đã tận tình chỉ dẫn và
động viên chúng tôi trong quá trình học tập bộ môn cũng như quá trình thực
hiện và hoàn thành luận văn.
Chúng tôi xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ về mọi mặt của Ban giám
hiệu trường Đại học Tây Nguyên, Phòng đào tạo Sau đại học- Đại học Tây
Nguyên, Bộ môn Toán - Khoa KHTN & CN - Trường Đại học Tây Nguyên,
cùng quý thầy đã tham gia giảng dạy chúng tôi trong suốt quá trình học tập.
Chúng tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám đốc Sở Giáo Dục và Đào
Tạo Phú Yên, Ban Giám hiệu trường THPT Nguyễn Du, Quý thầy cô trong
Tổ Toán trường THPT Nguyễn Du đã động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện
thuận lợi về thời gian để chúng tôi tham gia học tập.
Chúng tôi xin chân thành cảm ơn các anh chị em học viên lớp Cao
học Toán Giải tích K09, bạn bè thân hữu, đặc biệt là ba mẹ và anh chị em
trong gia đình đã động viên và giúp đỡ chúng tôi trong suốt thời gian học tập.

Đắk Lắk, tháng 11 năm 2016
Học viên

Đinh Hoài Lưu

iv


BẢNG KÍ HIỆU

L [a, a + η (b, a)] : Tập hợp các hàm khả tích trên [a, a + η (b, a)].
R

: Tập hợp các số thực.

f (n)

: Khả vi cấp n của hàm f.

v


MỞ ĐẦU
1. ĐẶT VẤN ĐỀ
Ngày 22/11/1881 Hermite (1822-1901) đã gửi một bức thư đến
tờ Mathesis, đánh dấu sự khởi đầu và sau đó bất đẳng thức HermiteHadamard cho hàm lồi được công bố vào năm 1893. Đây là bất đẳng thức
có vai trò quan trọng trong việc trong việc đánh giá chuỗi lũy thừa và đặc
biệt trong đánh giá các hàm về trung bình (cộng, nhân, điều hòa, lôgarit
và lôgarit mở rộng)([6]).
Hiện nay có nhiều hướng phát triển và nghiên cứu bất đẳng thức

Hermite-Hadamard cho hàm lồi được nghiên cứu bởi các nhà toán học như
S. S. Dragomir, Charles E. M. Pearce, M. K. Bakula, M. E. Ozdemir...vv.
Họ đã mở rộng một số kết quả nghiên cứu bất đẳng thức Hermite-Hadamard
cho hàm lồi như hàm m-lồi, hàm tựa lồi, hàm (α, m)-lồi, đặc biệt đã mở
rộng bất đẳng thức Hermite-Hadamard cho hàm preinvex.
Luận văn đặt ra vấn đề tìm hiểu một số khái niệm mở rộng của hàm
preinvex và bất đẳng thức tích phân kiểu Hermite-Hadamard cho hàm
preinvex khả vi. Chúng tôi hi vọng luận văn này sẽ là tài liệu hữu ích cho
những ai quan tâm đến vấn đề này.
2. TỔNG QUAN TÀI LIỆU NGHIÊN CỨU
Bất đẳng thức Hermite-Hadamard cho hàm lồi (1893). Tiếp theo, năm
1992, S.S Dragomir đã mở rộng một số kết quả bất đẳng thức HermiteHadamard cho hàm lồi. Năm 2002 ông đã đưa ra một số bất đẳng thức
kiểu Hermite-Hadamard cho hàm m-lồi.
Kế thừa kết quả trên, năm 2007 D. A. Ion đã đưa một số kiểu bất
1


đẳng thức trên cho hàm tựa-lồi và chứng minh nhiều kết quả quan trọng.
Năm 2008, M. K. Bakula, M. E. Ozdemir, J. Pecaric đã mở rộng bất đẳng
thức cho hàm m-lồi và hàm lồi.
Năm 2010, M. Z. Sarikaya, M. E. Ozdemir, E. Set đã đưa ra một số
kết quả bất đẳng thức Hermite-Hadamard cho hàm có giá trị tuyệt đối của
m-lồi khả vi. Năm 2011, A. Barani, A. G. Ghazanfari, S. S Dragomir đã
đưa ra một số kiểu bất đẳng thức Hermite-Hadamard cho hàm có giá trị
tuyệt đối của hàm preinvex khả vi.
Năm 2012, Shu-Ping Bai, Shu-Hong Wang, Feng Qi đã mở rộng một
số bất đẳng thức Hermite-Hadamard cho hàm m-lồi và hàm lồi khả vi cấp

n. Tiếp theo năm 2013, M. A. Latif, S. S. Dragomir, đã mở rộng một số kiểu
bất đẳng thức Hermite-Hadamard cho hàm preinvex và hàm prequasiinvex

khả vi.
Năm 2014 S. H. Wang, F. Qi đã mở rộng một số kiểu bất đẳng thức
Hermite-Hadamard cho hàm preinvex khả vi cấp n.
Trong thời gian qua, chúng tôi tiếp tục nghiên cứu một số bất đẳng
thức tích phân kiểu Hermite-Hadamard cho hàm m-preinvex và (α, m)preinvex khả vi và mở rộng một số bất đẳng thức tích phân kiểu HermiteHadamard cho hàm m-preinvex và hàm (α, m)-preinvex khả vi cấp n.
3. NỘI DUNG VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

• Đối tượng nghiên cứu
Bất đẳng thức Hermite-Hadamard cho hàm preinvex khả vi.
Bất đẳng thức tích phân kiểu Hermite-Hadamard cho hàm m-preinvex
và hàm (α, m)-preinvex khả vi.
Bất đẳng thức tích phân kiểu Hermite-Hadamard cho hàm preinvex,
2


hàm m-preinvex và hàm (α, m)-preinvex khả vi cấp n.

• Nội dung nghiên cứu
Trình bày định nghĩa và các tính chất của hàm preinvex, hàm mpreinvex và hàm (α, m)-preinvex.
Trình bày và chứng minh một số mệnh đề liên quan bất đẳng thức
Hermite-Hadamard cho hàm preinvex, hàm m-preinvex và hàm (α, m)preinvex khả vi.
Trình bày và chứng minh một số mệnh đề liên quan đến bất đẳng thức
tích phân kiểu Hermite-Hadamard cho hàm m-preinvex và hàm (α, m)preinvex khả vi cấp n.

• Phương pháp nghiên cứu
Sưu tầm tài liệu trong và ngoài nước có liên quan đến đề tài.
Phân tích, tổng hợp các kết quả thu nhận được, hệ thống, tổng quát
hóa lại những vấn đề liên quan đến đề tài.
4. BỐ CỤC LUẬN VĂN
Luận văn được chia làm 3 chương

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Chương này được xem như phần trình bày kiến thức cơ sở để tạo điều
kiện cho việc trình bày các kiến thức ở Chương 2 và Chương 3. Vì vậy,
chúng tôi trình bày các khái niệm và tính chất cơ bản về hàm lồi, hàm
(α, m)-lồi, hàm preinvex, hàm (α, m)-preinvex, bất đẳng thức HermiteHadamard và bất đẳng thức H¨older.
Chương 2. Bất đẳng thức tích phân kiểu Hermite-Hadamard
cho hàm preinvex khả vi
Đây là chương thể hiện kết quả chính của luận văn. Trong chương này
3


chúng tôi trình bày chi tiết các khái niệm, tính chất về bất đẳng thức tích
phân kiểu Hermite-Hadamard cho hàm preinvex khả vi và mở rộng cho
hàm m-preinvex và hàm (α, m)-preinvex.
Chương 3. Bất đẳng thức tích phân kiểu Hermite-Hadamard
cho hàm preinvex khả vi cấp n
Trong chương này chúng tôi trình bày chi tiết các khái niệm, tính chất
về bất đẳng thức tích phân kiểu Hermite-Hadamard cho hàm preinvex khả
vi cấp n và mở rộng bất đẳng thức tích phân kiểu Hermite-Hadamard cho
hàm m-preinvex và hàm (α, m)-preinvex khả vi cấp n.

4


Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong chương này, chúng tôi trình bày các khái niệm và tính chất cơ bản về
hàm lồi, hàm (α, m)-lồi, tập invex, hàm preinvex, hàm (α, m)-preinvex, bất
đẳng thức Hermite-Hadamard và bất đẳng thức H¨older.

1.1
1.1.1

Hàm lồi và các tính chất
Hàm lồi

Định nghĩa 1.1. ([1]) Cho hàm số f : I ⊆ R → R. Hàm f được gọi là lồi
(hàm lồi) nếu

f (λa + (1 − λ) b) ≤ λf (a) + (1 − λ) f (b)
với mọi a, b ∈ I , và mọi λ ∈ [0; 1].
Hàm f gọi là hàm lõm nếu và chỉ nếu -f là hàm lồi.
1.1.2

Tính chất

Tính chất 1.1. ([10]) Các tính chất của hàm lồi
a) Nếu f và g là các hàm lồi và α ≥ 0, β ≥ 0 thì αf + βg là hàm lồi.
b) Tổng của một số hữu hạn các hàm lồi là hàm lồi.
5

(1.1)


c) Giả sử f : I → R là hàm lồi. Khi đó
n

n

n

λi xi ∈ I, f
i=1

λi xi

≤

i=1

λi f (xi ) ,
i=1
n

∀xi ∈ I, λi ≥ 0 (1 ≤ i ≤ n) ,

λi = 1.
i=1

1.2
1.2.1

Hàm m-lồi và hàm(α, m)-lồi
Hàm m-lồi

Định nghĩa 1.2. ([9]) Cho hàm số f : [0, b∗ ] → R, b∗ > 0. Hàm f được gọi
là m-lồi nếu

f (λa + m (1 − λ) b) ≤ λf (a) + m (1 − λ) f (b)

(1.2)

với mọi a, b ∈ [0, b∗ ] và λ, m ∈ [0; 1].
Hàm f được gọi là hàm m-lõm nếu và chỉ nếu -f là hàm m-lồi.
1.2.2

Hàm(α, m)-lồi

Định nghĩa 1.3. ([9]) Cho hàm số f : [0, b∗ ] → R, b∗ > 0. Hàm f được gọi
là (α, m)-lồi nếu

f (λa + m (1 − λ) b) ≤ λα f (a) + m (1 − λα ) f (b)

(1.3)

2

với mọi a, b ∈ [0, b∗ ], λ ∈ [0; 1] và (α, m) ∈ [0, 1] .
Hàm f gọi là hàm (α, m)-lõm nếu và chỉ nếu -f là hàm (α, m)-lồi.

1.3
1.3.1

Tập invex và hàm preinvex
Tập invex

Định nghĩa 1.4. ([9]) Cho K ⊆ R, f : K → R và η : K × K → R là
hàm liên tục. Tập K được gọi là tập invex tại a (a ∈ K) đối với η (· , ·), nếu
6

a + λη (b, a) ∈ K, ∀b ∈ K, λ ∈ [0, 1].
Tập K gọi là invex đối với η nếu K invex tại mọi a ∈ K . Tập invex K cũng
gọi là tập η -liên thông.
1.3.2

Hàm preinvex

Định nghĩa 1.5. ([9]) Cho K ⊆ R, f : K → R và η : K × K → R là hàm
liên tục. Hàm f trên tập invex K được gọi là hàm preinvex đối với η nếu

f (a + λη (b, a)) ≤ (1 − λ) f (a) + λf (b) , ∀a, b ∈ K, λ ∈ [0, 1] .

(1.4)

Hàm f gọi là hàm preconcave nếu và chỉ nếu -f là hàm preinvex.

1.4
1.4.1

Hàm m-preinvex và hàm(α, m)-preinvex
Hàm m-preinvex

Định nghĩa 1.6. ([9]) Cho f : K → R và η : K × K → R là hàm liên tục.
Hàm f trên tập invex K ⊆ [0, b∗ ] , b∗ > 0 gọi là hàm m-preinvex đối với η
nếu

f (a + λη (b, a)) ≤ (1 − λ) f (a) + mλf

b
,
m

(1.5)

∀a, b ∈ K, λ ∈ [0, 1] , m ∈ (0, 1] .
Hàm f gọi là hàm m-preconcave nếu và chỉ nếu -f là hàm m-preinvex.
1.4.2

Hàm(α, m)-preinvex

Định nghĩa 1.7. ([9]) Cho f : K → R và η : K × K → R là hàm liên tục.
Hàm f trên tập invex K ⊆ [0, b∗ ] , b∗ > 0 gọi là hàm (α, m)-preinvex đối
với η nếu

f (a + λη (b, a)) ≤ (1 − λα ) f (a) + mλα f
7

b
,
m

(1.6)


2

∀a, b ∈ K, λ ∈ [0, 1] , (α, m) ∈ (0, 1] .
Hàm f gọi là hàm (α, m)-preconcave nếu và chỉ nếu -f là hàm (α, m)preinvex.

1.5
1.5.1

Bất đẳng thức Hermite-Hadamard và bất đẳng thức H¨
older
Bất đẳng thức Hermite-Hadamard

Bất đẳng thức Hermite-Hadamard([9])
Cho f : [a, b] → R là một hàm lồi, khi đó

a+b
2

f

b

1
≤
b−a

f (x)dx ≤

f (a) + f (b)
2

(1.7)

a

Chứng minh. Bằng cách đổi biến số, ta chứng minh được đẳng thức sau

1

b

1
b−a

f (λb + (1 − λ) a)dλ =

f (x)dx =
a

1

0

f (λa + (1 − λ) b)dλ
0

Vì f là hàm lồi nên ∀λ ∈ [0, 1] ta có:

f

a+b
2
≤

=f

λb + (1 − λ) a + λa + (1 − λ) b
2

f (λb + (1 − λ) a) + f (λa + (1 − λ) b)
.
2

Khi đó, ta có thể viết lại

f

a+b
2

≤

f (λb + (1 − λ) a) + f (λa + (1 − λ) b) f (a) + f (b)
≤
.
2
2

Lấy tích phân trên [0, 1] và theo kết quả phép đổi biến trên ta có điều cần
chứng minh.

8

1.5.2

Bất đẳng thức H¨
older

Bất đẳng thức H¨older ([2])
Cho f, g là các hàm đo được trên E và 1 < p, q < +∞ với

1
p

+ 1q = 1.

Khi đó


 p1 

|f g|dµ ≤ 

p
|f | dµ 
E

E

 1q
q

|g| dµ .

(1.8)

E

Chứng minh. Với a, b là hai số không âm, 1 < p, q < +∞ với

1
p

+ 1q = 1.

Ta luôn có

ap b q
ab ≤
+
p
q

(1.9)

Áp dụng bất đẳng thức (1.9) cho trường hợp a =

|f |

(

|f |p )

1
p

,b=

|g|

(

|g|q )

ta được
p

q

|f |
|g|
≤
+
p
q .
q 1q
p p1
p
(
|f
|
)
q

(
|g|
)
( |f | ) ( |g| )
|f g|

Lấy tích phân hai vế ta được:

|f g|

p

q

|f |
|g|
1 1
+ = 1.
p +
q =
1 ≤
1
p p
q q
p
(
|f
|
)
q

(
|g|
)
p
q
( |f | ) ( |g| )

9

1
q


Chương 2

BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN
KIỂU HERMITE-HADAMARD
CHO HÀM PREINVEX KHẢ VI
Trong chương này chúng tôi trình bày các tính chất về bất đẳng thức tích
phân kiểu Hermite-Hadamard cho hàm preinvex khả vi và mở rộng cho hàm

m-preinvex và hàm (α, m)-preinvex.

2.1

Bất đẳng thức tích phân kiểu Hermite-Hadamard cho hàm
preinvex khả vi

Bổ đề 2.1. ([4]) Cho K ⊆ R là tập con invex mở đối với η : K × K → R
và a, b ∈ K, a < a + η (b, a). Giả sử f : K → R là ánh xạ khả vi trên K

sao cho f ∈ L ([a, a + η (b, a)]), khi đó đẳng thức sau đúng
a+η(b,a)
1
f (a) + f (a + η (b, a))
+
f (x) dx
−
2
η (b, a) a
η (b, a) 1
=
(1 − 2t) f (a + tη (b, a)) dt
2
0

10

(2.1)


Chứng minh. Giả sử a, b ∈ K . Từ K là tập invex đối với η : K × K → R,

∀t ∈ [0, 1] ta có a + tη (b, a) ∈ K . Bằng phương pháp tích phân từng phần
ta có
1

(1 − 2t) f (a + tη (b, a)) dt
0
1

(1 − 2t) f (a + tη (b, a))
2
=
+
η (b, a)
η (b, a)
0
f (a) + f (a + tη (b, a))
2
=−
+ 2
η (b, a)
η (b, a)

1

f (a + tη (b, a)) dt
0
a+η(b,a)

f (x) dx
a

Từ đó suy ra
a+η(b,a)
f (a) + f (a + η (b, a))
1
−
+
f (x) dx

2
η (b, a) a
η (b, a) 1
(1 − 2t) f (a + tη (b, a)) dt.
=
2
0

Một số kết quả bất đẳng thức tích phân kiểu Hermite-Hadamard cho hàm
preinvex khả vi. Các kết quả này được chứng minh dựa vào Bổ đề (2.1) và
Bất đẳng thức (1.8).
Định lí 2.1. ([4]) Cho K ⊆ R là tập con invex mở đối với η : K × K → R.
Giả sử f : K → R là hàm khả vi. Nếu |f | là preinvex trên K , a, b ∈

K, η (b, a) = 0 thì
f (a) + f (a + η (b, a))
1
−
2
η (b, a)
≤

a+η(b,a)

f (x) dx
a

|η (b, a)|
(|f (a)| + |f (b)|)
8

11

(2.2)


Chứng minh. Giả sử a, b ∈ K . Từ K là tập invex đối với η : K × K → R,

∀t ∈ [0, 1] ta có a + tη (b, a) ∈ K . Áp dụng Bổ đề (2.1)và |f | là preinvex ta
có
a+η(b,a)

1
f (a) + f (a + η (b, a))
−
2
η (b, a)
η (b, a)
=
2
|η (b, a)|
≤
2
=

f (x) dx
a

1

(1 − 2t) f (a + tη (b, a)) dt
0
1

|1 − 2t| [(1 − t) |f (a)| + t |f (b)|] dt
0

|η (b, a)|
(|f (a)| + |f (b)|) .
8

Định lí 2.2. ([4]) Cho K ⊆ R là tập con invex mở đối với η : K × K → R.
p

Giả sử f : K → R là hàm khả vi. Giả sử p ∈ R, p > 1. Nếu |f | p−1 là
preinvex trên K , a, b ∈ K, η (b, a) = 0 thì
a+η(b,a)

f (a) + f (a + η (b, a))
1
−
2
η (b, a)
≤

f (x) dx
a

|η (b, a)| |f (a)|
2(1 + p)

1
p

p
p−1

+ |f (b)|
2

p
p−1

p−1
p

. (2.3)

Chứng minh. Giả sử a, b ∈ K . Từ K là tập invex đối với η : K × K → R,
p

∀t ∈ [0, 1] ta có a + tη (b, a) ∈ K . Áp dụng Bổ đề (2.1), |f | p−1 là preinvex
và bất đẳng thức (1.8) ta có:

f (a) + f (a + η (b, a))
1
−
2
η (b, a)
η (b, a)

≤
2

a+η(b,a)

f (x) dx
a

1

(1 − 2t) f (a + tη (b, a)) dt
0

12


1

|η (b, a)|
≤
2
=

≤

=

2.2

0

1

q

1
q

|f (a + tη (b, a))| dt

1
p

0

1

q

q

1
q

(1 − t) |f (a)| + t|f (b)| dt

1
p

0

|η (b, a)|
2(p + 1)

q

1
q

|f (a + tη (b, a))| dt

0

|η (b, a)|
2(p + 1)

p

1

|1 − 2t| dt

|η (b, a)|
2(p + 1)

1
p

q

q

|f (a)| + |f (b)|

1
p

1
q

, q=

p
.
p−1

Bất đẳng thức tích phân kiểu Hermite-Hadamard cho hàm
m-preinvex khả vi

Định lí 2.3. ([9]) Cho K ⊆ [0, b∗ ] , b∗ > 0 là tập con invex mở đối với

η : K × K → R và a, b ∈ K, a < a + η (b, a). Giả sử f : K → R là ánh xạ
khả vi trên K sao cho f ∈ L ([a, a + η (b, a)]). Nếu |f | là m-preinvex trên

K , khi đó bất đẳng thức sau đúng
a+η(b,a)
f (a) + f (a + η (b, a))
1
−
f (x) dx
2

η (b, a) a
η (b, a)
≤
|f (a)| + m f
8

Chứng minh. Từ Bổ đề (2.1) ta có

f (a) + f (a + η (b, a))
1
−
2
η (b, a)
η (b, a)
≤
2

a+η(b,a)

f (x) dx
a

1

|1 − 2t| |f (a + tη (b, a))| dt
0

13

b

m

. (2.4)


Vì |f | là m-preinvex trên K , ∀ a, b ∈ K, t ∈ [0, 1] , m ∈ (0, 1] nên

b
m

|f (a + tη (b, a))| ≤ (1 − t) |f (a)| + mt f

.

Do đó

1
f (a) + f (a + η (b, a))
−
2
η (b, a)

a+η(b,a)

f (x) dx
a

1
η (b, a)
|f (a)|

|1 − 2t| (1 − t) dt + m f
≤
2
0
η (b, a)
b
|f (a)| + m f
=
.
8
m

1

b
m

|1 − 2t| tdt
0

Nhận xét 2.1. ([9])
Trong Định lí (2.3), nếu η (b, a) = b − a thì bất đẳng thức được viết thu gọn

1
f (a) + f (b)
−
2
b−a

≤

b

f (x) dx
a

b−a
|f (a)| + m f
8

b
m

.

(2.5)

Định lí 2.4. ([9]) Cho K ⊆ [0, b∗ ] , b∗ > 0 là tập con invex mở đối với

η : K × K → R và a, b ∈ K, a < a + η (b, a). Giả sử f : K → R là ánh xạ
q

khả vi trên K sao cho f ∈ L ([a, a + η (b, a)]). Nếu |f | là m-preinvex trên

K , q > 1, khi đó bất đẳng thức sau đúng
f (a) + f (a + η (b, a))
1
−
2
η (b, a)

≤

a+η(b,a)

f (x) dx
a
q

η (b, a)
2(p + 1)

Với

1 1
+ = 1.
p q
14

1
p

|f (a)| + m f
2

b
m

q

1

q

. (2.6)


Chứng minh. Áp dụng Bổ đề (2.1), và bất đẳng thức (1.8) ta có
a+η(b,a)

1
f (a) + f (a + η (b, a))
−
2
η (b, a)
η (b, a)
≤
2

1

1
p

p

f (x) dx
a
1

|1 − 2t| dt

1
q

q

|f (a + tη (b, a))| dt

0

.

0

q

Vì |f | là m-preinvex trên K , ∀ a, b ∈ K, t ∈ [0, 1] , m ∈ (0, 1] nên
q

q

|f (a + tη (b, a))| ≤ (1 − t) |f (a)| + mt f

q

b
m

.

Do đó

1

1

q

|f (a + tη (b, a))| dt ≤
0

(1 − t) |f (a)| + mt f
0

1
m
q
= |f (a)| +
f
2
2

b
m

q

b
m

q

dt

q

.

Từ đó suy ra

f (a) + f (a + η (b, a))
1
−
2
η (b, a)
≤

a+η(b,a)

f (x) dx
a
q

η (b, a)
2(p + 1)

1
p

|f (a)| + m f
2

b
m

q

1
q

.

Nhận xét 2.2. ([9])
Trong Định lí (2.4), nếu η (b, a) = b − a thì bất đẳng thức được viết thu gọn

1
f (a) + f (b)
−
2
b−a

≤

b

f (x) dx
a

q

b−a
2(p + 1)

1
p

|f (a)| + m f
2

15

b
m

q

1
q

.

(2.7)


Định lí 2.5. ([9]) Cho K ⊆ [0, b∗ ] , b∗ > 0 là tập con invex mở đối với

η : K × K → R và a, b ∈ K, a < a + η (b, a). Giả sử f : K → R là ánh xạ
q

khả vi trên K sao cho f ∈ L ([a, a + η (b, a)]). Nếu |f | là m-preinvex trên

K , q ≥ 1, khi đó bất đẳng thức sau đúng

a+η(b,a)

1
f (a) + f (a + η (b, a))
−
2
η (b, a)

f (x) dx
a
q

b
m

η (b, a) |f (a)| + m f
≤
4
2

q

1
q

.

(2.8)

Chứng minh. Với q = 1 đã được chứng minh ở Định lí (2.3). Giả sử q > 1,

áp dụng Bổ đề (2.1) ta có
a+η(b,a)

f (a) + f (a + η (b, a))
1
−
2
η (b, a)
1− 1q

1

η (b, a)
≤
2

f (x) dx
a

1

q

|1 − 2t| |f (a + tη (b, a))| dt

|1 − 2t| dt
0

0

q

Vì |f | là m-preinvex trên K , ∀ a, b ∈ K, t ∈ [0, 1] , m ∈ (0, 1] nên
1

q

|1 − 2t| |f (a + tη (b, a))| dt
0
1

≤

q

|1 − 2t| (1 − t) |f (a)| + mt f
0
1

q

= |f (a)|

|1 − 2t| (1 − t)dt + m f
0

1
m
q
= |f (a)| +

f
4
4

b
m

q

.

16

b
m
b
m

q

dt
q

1

t |1 − 2t|dt
0

1
q

.


Từ đó suy ra

1
f (a) + f (a + η (b, a))
−
2
η (b, a)

a+η(b,a)

f (x) dx
a
q

b
m

η (b, a) |f (a)| + m f
≤
4
2

q

1
q

.

Nhận xét 2.3. ([9])
Trong Định lí (2.5), nếu η (b, a) = b − a thì bất đẳng thức được viết thu gọn

1
f (a) + f (b)
−
2
b−a

b

f (x) dx
a

q

≤

2.3

b − a |f (a)| + m f
4
2

b
m

q

1
q

.

(2.9)

Bất đẳng thức tích phân kiểu Hermite-Hadamard cho hàm
(α, m)-preinvex khả vi

Định lí 2.6. ([9]) Cho K ⊆ [0, b∗ ] , b∗ > 0 là tập con invex mở đối với

η : K × K → R và a, b ∈ K, a < a + η (b, a). Giả sử f : K → R là ánh xạ
khả vi trên K sao cho f ∈ L ([a, a + η (b, a)]). Nếu |f | là (α, m)-preinvex
trên K , khi đó bất đẳng thức sau đúng

f (a) + f (a + η (b, a))
1
−
2
η (b, a)
≤

a+η(b,a)

f (x) dx
a

η (b, a)
v2 |f (a)| + mv1 f
2

b
m

Trong đó

1 + α2α
1
v1 = α
, v2 = − v1 .
2 (1 + α) (2 + α)
2
17

.

(2.10)


Chứng minh. Từ Bổ đề (2.1) ta có

1
f (a) + f (a + η (b, a))
−
2
η (b, a)
≤

η (b, a)
2

a+η(b,a)

f (x) dx
a

1

|1 − 2t| |f (a + tη (b, a))| dt.
0

Vì |f | là (α, m)-preinvex trên K , ∀ a, b ∈ K, t ∈ [0, 1] , m ∈ (0, 1] nên
1

|1 − 2t| |f (a + tη (b, a))| dt
0
1

|1 − 2t| (1 − tα ) dt + m f

≤ |f (a)|
0

=

b
m

1

|1 − 2t|tα dt
0

b
m

1
− v1 |f (a)| + mv1 f
2

với
1

1 + α2α
|1 − 2t|t dt = α
= v1 .
2 (1 + α) (2 + α)
0
1
1
1 + α2α
1
α
|1 − 2t| (1 − t ) dt = − α
= − v1 .
2 2 (1 + α) (2 + α) 2
0

α

Do đó

f (a) + f (a + η (b, a))
1
−
2
η (b, a)
≤

a+η(b,a)

f (x) dx
a

η (b, a)
v2 |f (a)| + mv1 f
2

Với

1 + α2α
1
v1 = α
, v2 = − v1 .
2 (1 + α) (2 + α)
2

18

b
m

.