Luận văn thạc sỹ phương pháp dưới đạo hàm đạo hàm tăng cường có quán tính cải biên xấp xỉ nghiệm cho một lớp bất đẳng thức biến phân

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
---------------------------

CHU THỊ HỒNG NHUNG

PHƯƠNG PHÁP DƯỚI ĐẠO HÀM ĐẠO HÀM TĂNG CƯỜNG CÓ QUÁN TÍNH
CẢI BIÊN XẤP XỈ NGHIỆM CHO MỘT LỚP
BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số : 8460112

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
1. TS. Nguyễn Song Hà
2. TS. Đinh Diệu Hằng

THÁI NGUYÊN - 2022


ii

LỜI CẢM ƠN
Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học - Đại học
Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của Tiến sĩ Nguyễn Song Hà và Tiến sĩ Đinh
Diệu Hằng. Sự giúp đỡ và hướng dẫn tận tình, nghiêm túc của Thầy và Cơ
trong suốt q trình thực hiện luận văn này đã giúp tác giả trưởng thành
hơn rất nhiều trong cách tiếp cận một vấn đề mới. Tác giả xin bày tỏ lịng
biết ơn, lịng kính trọng sâu sắc nhất đối với Thầy và Cô.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, các Thầy Cơ Khoa TốnTin, Bộ phận sau Đại học thuộc Phịng Đào tạo, gia đình cùng các bạn học
viên đã giúp đỡ, động viên và tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hồn thành

khóa học Thạc sĩ và hồn thành luận văn này!
Tác giả
Chu Thị Hồng Nhung


Mục lục

Trang bìa phụ

i

Lời cảm ơn

ii

Mục lục

ii

Danh mục ký hiệu và chữ viết tắt

iv

Danh sách bảng

v

Mở đầu

1

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
1.1. Một số ước lượng, khái niệm và tính chất cơ bản . . . . . . . .

3
3

1.2. Ánh xạ liên tục Lipschitz và phép chiếu mêtric . . . . . . . . .
1.3. Ánh xạ đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9
13

Chương 2. Phương pháp xấp xỉ nghiệm cho một lớp bài toán
bất đẳng thức biến phân
19
2.1. Mơ hình bài tốn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Phương pháp MISEGM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19
25

2.3. Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

Kết luận chung và đề nghị

40

Tài liệu tham khảo

41


Danh mục ký hiệu và chữ viết tắt

H

Không gian Hilbert thực

Rn

Khơng gian thực hữu hạn chiều

⟨x, y⟩

Tích vơ hướng của hai véctơ x và y

∀x

Với mọi x

∥x∥

Chuẩn của véctơ x

PC (x)

Phép chiếu mêtric phần tử x lên tập C

α↓0

α giảm dần về 0

∂f (x)

Dưới vi phân của ánh xạ f tại x

xn → x

Dãy {xn } hội tụ mạnh đến x khi n → +∞

∇f (x)

xn ⇀ x

Gradient của ánh xạ f tại x

Dãy {xn } hội tụ yếu đến x khi n → +∞

(VIP)

Bài toán bất đẳng thức biến phân

(MVIP)

Bài toán bất đẳng thức biến phân Minty

(CP)

Bài toán bù

Sol(VIP(A, C))

Tập nghiệm của bài toán (VIP) với ánh xạ giá A
và miền hữu hiệu C

MISEGM

Phương pháp dưới đạo hàm-đạo hàm tăng cường
có qn tính cải biên


Danh sách bảng

2.1

Kết quả tính tốn cho Phương pháp MISEGM với α = 0.03 . .

38

2.2

Kết quả tính tốn cho Phương pháp MISEGM với α = 0.2 . .

38

2.3

Kết quả tính tốn cho Phương pháp MISEGM với α = 0.003 .

39


Mở đầu

Bất đẳng thức biến phân là mơ hình tổng qt của nhiều lớp bài tốn xuất
hiện trong lí thuyết và ứng dụng (trong kinh tế, tài chính, giao thơng, tối ưu
hóa và lí thuyết trị chơi,...). Bài tốn này được Lion, Stampacchia và đồng
sự đưa ra vào giữa những năm 60 thế kỉ XX (xem trong [1, 4, 5, 6] cùng các
tài liệu dẫn). Từ đó đến nay, bất đẳng thức biến phân đã và đang thu hút
được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà khoa học trên thế giới. Hai bài
tốn cơ bản về lí thuyết này là: Thiết lập các điều kiện tồn tại nghiệm và xây
dựng các phương pháp để tìm nghiệm. Theo đó, việc đề xuất các thuật toán
giải xấp xỉ bài toán này đóng vai trị vơ cùng quan trọng trong việc đưa lí
thuyết này vào giải quyết những vấn đề đặt ra trong thực tiễn.
Cho đến nay, đã có nhiều phương pháp hay thuật toán giải số hữu hiệu
cho bài toán nêu trên. Một số phương pháp phổ biến như phương pháp chiếu
gradient, phương pháp đường dốc nhất, phương pháp chiếu lai ghép, phương
pháp chiếu co hẹp, phương pháp kiểu Korpelevich, phương pháp kiểu Tseng,
phương pháp chiếu co ... Mỗi phương pháp đều có những ưu nhược điểm khác
nhau và chưa có phương pháp nào là tối ưu. Vì lẽ đó, vấn đề cải tiến hiệu quả
của các phương pháp đã có cùng với việc đề xuất các phương pháp mới dựa
trên việc kết hợp các phương pháp cổ điển (bao gồm cả các phương pháp giải
cho các bài toán khác như bài tốn điểm bất động, bài tốn xác định khơng
điểm, bài toán tối ưu, ...) vẫn là một chủ đề có ý nghĩa khoa học và tính thời
sự cao.
Mục đích chính của luận văn là trình bày lại một kết quả mới đề xuất bởi
Yang công bố năm 2021 [6] theo hướng như vậy. Cụ thể, luận văn sẽ trình

bày phương pháp dưới đạo hàm - đạo hàm tăng cường có qn tính cải biên
xấp xỉ nghiệm cho bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu, liên tục Lipschitz
trên không gian Hilbert.


2

Với mục tiêu như vậy, luận văn gồm mở đầu, hai chương, kết luận và tài
liệu tham khảo. Chương 1 dùng để hệ thống lại những kiến thức cơ bản về
giải tích lồi và giải tích hàm trên khơng gian Hilbert thực nhằm phục vụ cho
việc trình bày nội dung chính ở phần sau. Chương 2 dành để trình bày nội
dung và sự hội tụ mạnh (yếu) của phương pháp nêu trên dưới các giả thiết
thích hợp. Bên cạnh đó, các ví dụ số sẽ được chúng tơi xây dựng và chi tiết
hóa nhằm làm rõ hơn các vấn đề lí thuyết mà luận văn đề cập.


Chương 1

Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, chúng tôi hệ thống lại một số kiến thức cơ bản phục vụ
cho việc trình bày các nội dung chính ở phần sau của luận văn. Cấu trúc của
chương được chia thành ba phần: Mục 1.1 chúng tơi trình bày một số ước
lượng, khái niệm và tính chất cơ bản thường dùng trên không gian Hilbert
thực. Mục 1.2 dành để nhắc lại khái niệm cùng vài tính chất cốt yếu về ánh
xạ liên tục Lipschitz và phép chiếu mêtric. Phần cuối chương, Mục 1.3 dùng
để giới thiệu về lớp ánh xạ loại đơn điệu.
1.1.

Một số ước lượng, khái niệm và tính chất cơ bản

Giả sử H là khơng gian Hilbert thực có tích vơ hướng và chuẩn sinh bởi
tích vơ hướng lần lượt được kí hiệu là ⟨·, ·⟩ và ∥ · ∥.
Dưới đây là một số đẳng thức và bất đẳng thức cốt yếu thường được sử
dụng trong các chứng minh ở phần sau. Những kiến thức cơ bản ở phần này
chủ yếu được tham khảo từ các tài liệu [1, 3].
Mệnh đề 1.1. [3] (Bất đẳng thức Schwarz)
Trong không gian Hilbert H ta ln có
|⟨x, y⟩| ≤ ∥x∥∥y∥,

∀x, y ∈ H.

Hơn nữa, ⟨x, y⟩| = ∥x∥∥y∥ khi và chỉ khi tồn tại α ∈ R+ sao cho
a = αy

hoặc y = αx.

Mệnh đề 1.2. [3] Giả sử x, y và z là các phần tử trong khơng gian Hilbert
H. Khi đó, ta có các khẳng định sau:
(i) ∥x + y∥2 = ∥x∥2 + ∥y∥2 + 2⟨x, y⟩.
(ii) ∥x + y∥2 + ∥x − y∥2 = 2(∥x∥2 + ∥y∥2 ) (Quy tắc hình bình hành).


1
∥x + y∥2 − ∥x − y∥2 .
(iii) ⟨x, y⟩ =
4


4

Chú ý 1.1. [1, 3] Cho H là một không gian định chuẩn thực. Nếu quy tắc

hình bình hành bảo đảm đối với chuẩn, tức là
∥x + y∥2 + ∥x − y∥2 = 2(∥x∥2 + ∥y∥2 ),

∀x, y ∈ H.

thì trên H tồn tại một tích vơ hướng sao cho ⟨x, x⟩ = ∥x∥2 . Vì thế, một khơng
gian Hilbert là khơng gian định chuẩn có chuẩn thỏa mãn quy tắc hình bình
hành.
Chú ý 1.2. Chúng ta biết rằng, một không gian Hilbert là không gian Banach, nhưng một không gian Banach không nhất thiết là không gian Hilbert.
Chẳng hạn, không gian C[0, 10] các hàm số liên tục trên [0, 10] ⊂ R, với chuẩn
∥x∥ = max |x(t)|,
0≤t≤10

x = x(t) ∈ C[0, 10].

Chuẩn này không thỏa mãn quy tắc hình bình hành và vì thế C[0, 10] khơng
là khơng gian Hilbert. Thật vậy, chọn x = x(t) := 1 và y = y(t) := t/10 với
mọi t ∈ [0, 10]. Khi đó, ta có
∥x∥ = 1 và ∥y∥ = max |t/10| = 1.
0≤t≤10

Mặt khác, ta lại có
∥x + y∥ = max |1 + t/10| = 2
0≤t≤10

và
∥x − y∥ = max |1 − t/10| = 1.
0≤t≤10

Do đó, ta nhận được ∥x + y∥2 + ∥x − y∥2 = 5. Tuy nhiên, 2 ∥x∥2 + ∥y∥2 = 4.

Mệnh đề 1.3. [3] Giả sử x và y là các phần tử trong khơng gian Hilbert H.
Khi đó, ta có
⟨x, y⟩ ≤ 0 ⇔ ∀α ∈ R+ : ∥x∥ ≤ ∥x − αy∥ ⇔ ∀α ∈ (0, 1] : ∥x∥ ≤ ∥x − αy∥.
Chứng minh. Để ý rằng, với mọi α ∈ R ta có
∥x − αy∥2 − ∥x∥2 = α(α∥y∥2 − 2⟨x, y⟩).
Do đó, nếu ⟨x, y⟩ ≤ 0 thì từ đẳng thức trên suy ra
∀α ∈ R+ : ∥x∥ ≤ ∥x − αy∥ và ∀α ∈ (0, 1] : ∥x∥ ≤ ∥x − αy∥.


5

Ngược lại, nếu với mỗi α ∈ (0, 1] (hoặc α ∈ R+ ) và ∥x∥ ≤ ∥x − αy∥ thì cũng
từ đẳng thức trên dẫn đến
⟨x, y⟩ ≤

α
∥y∥2 .
2

Cho α ↓ 0 ta có điều cần chứng minh.
Mệnh đề 1.4. [3, 6] Trong không gian Hilbert H ta luôn có
∥(α+1)x−αy∥2 = (α+1)∥x∥2 −α∥y∥2 +α(1+α)∥x−y∥2 ,

∀x, y ∈ H, ∀α ∈ R.

Chứng minh. ∀x, y ∈ H, ∀α ∈ R, ta có
∥(α + 1)x − αy∥2 = ⟨(α + 1)x − αy, (α + 1)x − αy⟩

= (α + 1)2 ⟨x, x⟩ + α2 ⟨y, y⟩ − 2α(1 + α)⟨x, y⟩

= (α + 1)2 ∥x∥2 + α2 ∥y∥2 − 2α(1 + α)⟨x, y⟩
= (α + 1)∥x∥2 − α∥y∥2

+ α(1 + α)∥x∥2 + α(1 + α)∥y∥2 − 2α(1 + α)⟨x, y⟩

= (α + 1)∥x∥2 − α∥y∥2 + α(1 + α)[∥x∥2 + ∥y∥2 − 2⟨x, y⟩]

= (α + 1)∥x∥2 − α∥y∥2 + α(1 + α)∥x − y∥2 .
Mệnh đề được chứng minh.

Phần tiếp theo, chúng tôi dành để nhắc lại một số khái niệm và tính chất
tơpơ cần thiết sẽ dùng đến ở các phần tiếp sau.
Định nghĩa 1.1. Trong không gian Hilbert H, dãy {xn } được gọi là
(i) hội tụ mạnh đến x ∈ H khi n → +∞ nếu
lim ∥xn − x∥ = 0,

n→+∞

và được viết là xn → x.
(ii) hội tụ yếu đến x ∈ H khi n → +∞ nếu
lim ⟨xn , a⟩ = ⟨x, a⟩,

n→+∞

và kí hiệu là xn ⇀ x.

∀a ∈ H,

6

Chú ý 1.3. [3] Một dãy hội tụ mạnh là hội tụ yếu. Tuy nhiên, khẳng định
ngược lại nói chung không đúng. Chẳng hạn, hệ trực chuẩn trong không gian
Hilbert vơ hạn chiều bất kì là một dãy có tính chất như vậy.
Tuy nhiên, nếu không gian Hilbert H là hữu hạn chiều thì sự hội tụ mạnh
tương đương với sự hội tụ yếu.
Chú ý 1.4. [3] Giới hạn mạnh (yếu) nếu có của một dãy là duy nhất.
Chú ý 1.5. [2] Nếu xn ⇀ x thì {xn } bị chặn.

Mệnh đề 1.5. [3] Cho dãy {xn } ⊂ H và phần tử x ∈ H. Khi đó, ta có các
khẳn định sau:
(i) Nếu xn ⇀ x thì ∥x∥ ≤ lim inf ∥xn ∥.
n→+∞

(ii) Nếu xn ⇀ x và lim sup ∥xn ∥ ≤ ∥x∥ thì xn → x.
n→+∞

Chứng minh. (i) Vì xn ⇀ x nên
lim ⟨xn , x⟩ = ⟨x, x⟩ = ∥x∥2 .

n→+∞

Áp dụng bất đẳng thức Schwarz ta có
|⟨xn , x⟩| ≤ ∥xn ∥∥x∥.
Do đó, ta nhận được
∥x∥2 = lim |⟨xn , x⟩| ≤ lim inf ∥xn ∥∥x∥.
n→+∞

n→+∞

(ii) Từ (i) và giả thiết (ii) ta có
∥x∥ ≤ lim inf ∥xn ∥ ≤ lim sup ∥xn ∥ ≤ ∥x∥.
n→+∞

n→+∞

Điều này suy ra
∥xn ∥ → ∥x∥.

Mặt khác, với mọi n ∈ N ta lại có

∥xn − x∥2 = ∥xn ∥2 + ∥x∥2 − 2⟨xn , x⟩.
Từ các chứng minh trên dẫn đến
∥xn ∥2 → ∥x∥2

và ⟨xn , x⟩ → ∥x∥2 .


7

Do đó, ta nhận được
Hay suy ra xn → x.

∥xn − x∥2 → 0.

Hệ quả 1.1. [3] Cho dãy {xn } ⊂ H và phần tử x ∈ H. Khi đó, xn → x khi
và chỉ chi xn ⇀ x và ∥xn ∥ → ∥x∥.

Mệnh đề 1.6. [3] (Điều kiện Opial)
Cho dãy {xn } trong không gian Hilbert H. Nếu xn ⇀ a thì ta ln có
lim inf ∥xn − a∥ < lim inf ∥xn − b∥,
n→+∞

n→+∞

∀b ̸= a.

Chứng minh. Do xn ⇀ a nên dãy {xn } bị chặn và vì thế cả hai giới hạn trong
bất đẳng thức cần chứng minh là tồn tại hữu hạn. Mặt khác, ta có
∥xn − a∥2 = ∥xn − b + b − a∥2 = ∥xn − b∥2 + ∥b − a∥2 − 2⟨xn − b, b − a⟩.
Cho n → +∞ ta có điều cần chứng minh.

Định nghĩa 1.2. Tập con C trong không gian Hilbert thực H được gọi là
(i) tập bị chặn nếu với mọi x ∈ C đều tồn tại số thực dương M sao cho
∥x∥ ≤ M .
(ii) tập đóng nếu với mọi dãy {xn } ⊆ C, xn → x thì ta đều có x ∈ C.

(iii) tập mở nếu H\C là tập đóng.
(iv) tập compact nếu với mọi dãy {xn } ⊆ C đều tồn tại một dãy con {xnk }
thỏa mãn xnk → x và x ∈ C.

Chú ý 1.6. [1, 2, 3] Tập ∅ và H là tập vừa mở vừa đóng.

Chú ý 1.7. [1, 2, 3] Trong không gian hữu hạn chiều, một tập là compact
khi và chỉ khi nó đóng và bị chặn.
Ví dụ 1.1. Dưới đây là một vài ví dụ minh họa đơn giản cho các khái niệm
nêu trên.
(i) Tập hợp

C{u = (x, y) ∈ R2 :
với a, b, c ∈ R+ , là tập mở bị chặn.

x2 y 2
+ 2 < c2 }
2
a
b


8

(ii) Tập hợp

x2 y 2 z 2
C{u = (x, y, z) ∈ R : 2 + 2 + 2 ≤ d2 }
a
b
c
với a, b, c, d ∈ R+ , là tập compact.
3

(iii) Tập hợp
C = {u = (x, y, z) ∈ R2 : z = x2 + y 2 }

là tập đóng khơng bị chặn.

Định nghĩa 1.3. Tập C ⊆ H được gọi là tập lồi nếu với mọi x, y ∈ C và với

mọi λ ∈ [0, 1] ta có

λx + (1 − λ)y ∈ C.

Hay nói cách khác, tập C ⊆ H là tập lồi nếu nó chứa mọi đoạn thẳng nối hai
điểm bất kì thuộc nó.

Ví dụ 1.2. Các nửa khơng gian đóng, các hình cầu đóng trong H dưới đây
là các tập lồi
∆β = {x ∈ H : ⟨a, x⟩ ≤ β},
S[x0 , r] = {x ∈ H : ∥x − x0 ∥ ≤ r},

trong đó a, x0 ∈ H là các phần tử cố định, β và r > 0 là các số thực.
Ví dụ 1.3. Các tập hợp sau không lồi

C := {x = (x1 , x2 ) ∈ R2 : x2 = x31 − 3x1 },
D := {x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 : x1 = 0, x3 = x22 − 2x2 },

Mệnh đề 1.7. [1, 2, 3]

Cho C là tập con lồi đóng khác rỗng của H. Khi đó, với mỗi x ∈ H tồn
tại duy nhất một điểm y ∈ C thỏa mãn
∥x − y∥ = d(x, C),
với d(x, C) = inf ∥x − z∥.
z∈C

Chứng minh. Nếu x ∈ C thì chọn y = x. Nếu x ∈
/ C, khi đó vì C đóng nên
d := inf ∥x − z∥ > 0 và tồn tại một dãy {yn } ⊂ C sao cho
z∈C

∥x − yn ∥ → d.


9

Để ý rằng
∥yn − ym ∥2 = ∥(x − yn ) − (x − ym )∥2

= 2∥x − yn ∥2 + 2∥x − ym ∥2 − ∥2x − (yn + ym )∥2
2



y
+
y
n
m

x
−
= 2∥x − yn ∥2 + 2∥x − ym ∥2 − 4

2

≤ 2∥x − yn ∥2 + 2∥x − ym ∥2 − 4d2 ,

(vì C là tập lồi nên
ta nhận được

∀m, n ∈ N,

yn + ym
∈ C). Cho m, n → +∞ trong bất đẳng thức trên
2
∥yn − ym ∥ → 0.

Điều này suy ra {yn } là dãy Cauchy trong khơng gian Hilbert H. Do đó, tồn
tại giới hạn của dãy trên và giả sử rằng

yn → y.
Vì C là tập đóng nên y ∈ C. Hơn nữa, ta lại có
∥x − yn ∥ → ∥x − y∥.
Từ đó dẫn đến d = ∥x − y∥.

Cuối cùng, giả sử tồn tại z ∈ C thỏa mãn ∥x − z∥ = d. Khi đó, ta có
∥y − z∥2 = ∥(x − y) − (x − z)∥2

= 2∥x − y∥2 + 2∥x − z∥2 − ∥2x − (y + z)∥2
2



y
+
z
2
2

x

−
= 2∥x − y∥ + 2∥x − z∥ − 4

2

≤ 2d2 + 2d2 − 4d2 = 0.

Điều này suy ra y = z hay y là phần tử xác định duy nhất.
Chú ý 1.8. Điểm y ∈ C trong Mệnh đề 1.7 còn được gọi là xấp xỉ tốt nhất
của x ∈ H bởi C.
1.2.

Ánh xạ liên tục Lipschitz và phép chiếu mêtric

Định nghĩa 1.4. Cho C là tập con khác rỗng của không gian Hilbert H.
Cho A : C → H là ánh xạ xác định trên C. Ánh xạ A được gọi là L-liên tục


10

Lipschitz trên C nếu tồn tại L > 0 sao cho
∥A(x) − A(y)∥ ≤ L∥x − y∥,

∀x, y ∈ C.

(1.1)

Nếu (1.1) đúng với L = 1 thì ánh xạ C được gọi là ánh xạ khơng giãn cịn
nếu (1.1) đúng với 0 ≤ L < 1 thì ánh xạ C được gọi là ánh xạ co.
Ví dụ 1.4. Xét tập C ⊆ R và ánh xạ A : C → R xác định trong các trường

hợp sau đây:

(i) Nếu C = R và A(x) = |x| thì A là 1-liên tục Lipschitz.

1
thì A là 64-liên tục Lipschitz. Tuy nhiên,
x2
A khơng liên tục Lipschitz trên C = [0, 2].

(ii) Nếu C = [1/2, 2] và A(x) =

(iii) Nếu ánh xạ
A(x) =


1

 x2

nếu x < 0,
nếu x ≥ 0,

thì A khơng liên tục Lipschitz trên C = [−1, 1] nhưng là 8-liên tục Lipschitz trên C = [1, 4].

Ví dụ 1.5. Cho A : H → H là ánh xạ tuyến tính liên tục. Khi đó, ta có
(i) A là ánh xạ không giãn khi và chỉ khi ∥A∥ ≤ 1.
(ii) A là ánh xạ co khi và chỉ khi ∥A∥ < 1.
Ví dụ 1.6. Cho T : H → H là ánh xạ khơng giãn. Khi đó, ánh xạ
U = λT + (1 − λ)I,

∀λ ∈ [0, 1]

cũng là ánh xạ không giãn.
Định nghĩa 1.5. Cho C là tập con lồi đóng khác rỗng của khơng gian Hilbert
H. Ánh xạ PC : H → C cho tương ứng mỗi x ∈ H với một phần tử xấp xỉ tốt
nhất y ∈ C, được gọi là phép chiếu mêtric từ H lên C. Phần tử y = PC (x)
được gọi là hình chiếu của x trên C.

Khi C có cấu trúc đặc biệt, ta có thể xác định được dạng giải tích của
phép chiếu mêtric như dưới đây.


11

Ví dụ 1.7. [3] Giả sử C := {x ∈ Rn : ⟨x, u⟩ ≤ ν} là nửa không gian đóng
trong Rn với ν ∈ R và u ∈ Rn là phần tử cố định. Khi ấy, ta có
(i) Nếu u = 0 và ν ≥ 0 thì C = Rn và PC = I.
(ii) Nếu u = 0 và ν < 0 thì C = ∅.

(iii) Nếu u ̸= 0 thì C ̸= ∅ và với mọi x ∈ Rn ta có


x
nếu ⟨x, u⟩ ≤ ν,
PC (x) =
ν − ⟨x, u⟩

u nếu ⟨x, u⟩ > ν.
x +
∥u∥2

Ví dụ 1.8. [3] Cho C := {x ∈ Rn : ∥x − u∥ ≤ κ} là hình cầu đóng tâm
u ∈ Rn và bán kính κ > 0. Khi ấy, với mọi x ∈ Rn ta có


x
nếu ∥x − u∥ ≤ κ,
PC (x) =
x−u

nếu ∥x − u∥ > r.
u + κ
∥x − u∥

Mệnh đề 1.8. [3]

Cho C ⊆ H là tập con lồi đóng khác rỗng. Khi đó, y = PC (x) là hình chiếu
của x trên C nếu và chỉ nếu
y∈C:

⟨y − x, z − y⟩ ≥ 0,

∀z ∈ C.

Chứng minh. Từ Mệnh đề 1.7, ta thấy
y = PC (x) ⇔ ∥x − y∥ = inf ∥x − z∥.
z∈C

Mặt khác, với mọi z ∈ C và λ ∈ (0, 1) ta có
uλ = λz + (1 − λ)y ∈ C,

(vì tính lồi của C) và vì thế ta nhận được y = PC (x) khi và chỉ khi
∥x − y∥ ≤ ∥x − uλ ∥,

∀z ∈ C, ∀λ ∈ (0, 1).

Bất đẳng thức này tương đương với
∥x − y∥ ≤ ∥x − y − λ(z − y)∥,

∀z ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1].

Áp dụng Mệnh đề 1.3, ta thấy (1.2) lại tương đương với
⟨x − y, z − y⟩ ≤ 0,
Vì thế, ta có điều cần chứng minh.

∀z ∈ C.

(1.2)


12

Hệ quả 1.2. Phép chiếu mêtric PC từ không gian Hilbert H lên tập con lồi
đóng khác rỗng C là ánh xạ không giãn, tức là
∥PC (u) − PC (v)∥ ≤ ∥u − v∥,

∀u, v ∈ H.

Chứng minh. Với mọi u, v ∈ H, từ Mệnh đề 1.8 ta có
⟨PC (v) − PC (u), u − PC (u)⟩ ≤ 0,
và

⟨PC (u) − PC (v), v − PC (v)⟩ ≤ 0.

Cộng hai bất đẳng thức trên ta nhận được

⟨PC (u) − PC (v), −(u − PC (u)) + (v − PC (v))⟩ ≤ 0.
Bất đẳng thức này suy ra
∥PC (u) − PC (v)∥2 ≤ ⟨PC (u) − PC (v), u − v⟩

≤ ∥PC (u) − PC (v)∥∥u − v∥.

Ta có điều cần chứng minh.
Hệ quả 1.3. Cho C là tập con lồi đóng khác rỗng trong khơng gian H. Khi
đó, ta có ước lượng sau
∥PC (x) − z∥2 ≤ ∥x − z∥2 − ∥PC (x) − x∥2 ,

∀x ∈ H, ∀z ∈ C.

Chứng minh. Trước hết để ý rằng
⟨PC (x) − PC (z), x − z⟩ = ⟨PC (x) − PC (z), x − PC (x)⟩

+ ⟨PC (x) − PC (z), PC (x) − PC (z)⟩
+ ⟨PC (x) − PC (z), PC (z) − z⟩

= ⟨PC (x) − PC (z), x − PC (x)⟩
+ ∥PC (x) − PC (z)∥2 .

Vì ⟨PC (x) − PC (z), x − PC (x)⟩ ≥ 0 (Mệnh đề 1.8) nên
⟨PC (x) − PC (z), x − z⟩ ≥ ∥PC (x) − PC (z)∥2 .
Từ đó suy ra
∥x − z∥2 = ∥[x − PC (x)] + [PC (x) − PC (z)] + [PC (z) − z]∥2

13

= ∥PC (x) − PC (z)∥2 + ∥[x − PC (x)] − [z − PC (z)]∥2
+ 2⟨PC (x) − PC (z), [x − PC (x)] − [z − PC (z)]⟩

= ∥PC (x) − z∥2 + ∥x − PC (x)∥2

+ 2⟨PC (x) − PC (z), x − z⟩ − 2∥PC (x) − PC (z)∥2

≥ ∥PC (x) − z∥2 + ∥x − PC (x)∥2 .
Ta có điều cần chứng minh.

Định nghĩa 1.6. Cho C ⊆ H là tập con khác rỗng và A : C → H là ánh xạ
xác định trên C. Ánh xạ A được gọi là:

(i) liên tục yếu theo dãy tại x ∈ C nếu với mọi dãy {xn } ⊂ C mà xn ⇀ x
thì ta ln có A(xn ) ⇀ A(x).
(ii) liên tục yếu theo dãy trên C nếu nó liên tục yếu tại mọi x ∈ C.
(iii) h-liên tục tại x ∈ C nếu dãy {xn } ∈ C hội tụ mạnh tới x dọc theo một
đường thẳng kéo theo dãy {A(xn )} hội tụ yếu tới A(x), tức là A(xn ) =
A(x + tn y) ⇀ A(x) khi tn → 0 với mọi y ∈ C.

(iv) h-liên tục trên C nếu nó h-liên tục tại mọi x ∈ C.

Ví dụ 1.9. [1, 3] Cho A : H → H là ánh xạ tuyến tính trên khơng gian

Hilbert H. Khi đó, ta có các khẳng định sau:

(i) Nếu A liên tục thì nó là liên tục yếu theo dãy.
(ii) A là h-liên tục.
Ví dụ 1.10. [3] Phép chiếu mêtric PC trên không gian affine con đóng của
khơng gian Hilbert H là ánh xạ liên tục yếu theo dãy.
Chú ý 1.9. [2, 3] Mọi ánh xạ liên tục là là h-liên tục nhưng khẳng định
ngược lại nói chung khơng đúng.
Chú ý 1.10. [2, 3] Mọi ánh xạ liên tục yếu theo dãy đều bị chặn.
1.3.

Ánh xạ đơn điệu

Trong phần này, chúng tôi sẽ nhắc lại một vài khái niệm và tính chất cơ
bản về ánh xạ (toán tử) loại đơn điệu.


14

Định nghĩa 1.7. Cho C ⊆ H là tập con khác rỗng và A : C → H là ánh xạ
xác định trên C. Ánh xạ A được gọi là:
(i) giả đơn điệu trên C nếu
⟨A(y), x − y⟩ ≥ 0 ⇒ ⟨A(x), x − y⟩ ≥ 0,

∀x, y ∈ C.

(1.3)

(ii) đơn điệu trên C nếu
⟨A(x) − A(y), x − y⟩ ≥ 0,

∀x, y ∈ C.

(1.4)

∀x ̸= y ∈ C.

(1.5)

(iii) đơn điệu chặt trên C nếu
⟨A(x) − A(y), x − y⟩ > 0,

(iv) η-đơn điệu mạnh trên C nếu tồn tại số thực dương η sao cho
⟨A(x) − A(y), x − y⟩ ≥ α∥x − y∥2 ,

∀x, y ∈ C.

(1.6)

Nhận xét 1.1. Nếu ánh xạ A là η-đơn điệu mạnh trên C thì đơn điệu chặt
trên C, nếu ánh xạ A đơn điệu chặt trên C thì đơn điệu trên C, nếu ánh xạ
A đơn điệu trên C thì giả đơn điệu trên C. Tuy nhiên, chiều ngược lại của
các khẳng định trên nói chung khơng đúng.
Ví dụ 1.11. Ánh xạ A : C → R xác định bởi A(x) = x2 là ánh xạ 2-đơn
điệu mạnh trên C = [1, 4] nhưng không là ánh xạ đơn điệu trên C = R.
Ánh xạ A : R → R xác định bởi

2022
nếu x < 0,
A(x) =
x + 2022 nếu x ≥ 0,

là ánh xạ đơn điệu trên R nhưng không đơn điệu chặt.
Ánh xạ A : R → R xác định bởi

4 + x2 nếu x ≥ 0,
A(x) =
4 − x2 nếu x ≤ 0,

là ánh xạ đơn điệu chặt trên R nhưng không đơn điệu mạnh.
2022
là ánh xạ giả đơn
Ánh xạ A : [0, +∞) → R xác định bởi A(x) =
1+x
điệu nhưng không đơn điệu.


15

Ví dụ 1.12. Cho C là tập con khác rỗng của không gian Hilbert H.
(i) Nếu T : C → H là ánh xạ khơng giãn trên C thì ánh xạ A := I + αT là
ánh xạ đơn điệu với mọi α ∈ [−1, 1].
Thật vậy, với mọi x, y ∈ C ta có

⟨A(x) − A(y), x − y⟩ = ⟨(I + αT )(x) − (I + αT )(y), x − y⟩
= ∥x − y∥2 + α⟨T (x) − T (y), x − y⟩

≥ ∥x − y∥(∥x − y∥ − |α|∥T (x) − T (y)∥) ≥ 0.
(ii) Nếu T : C → H là ánh xạ không giãn trên C thì ánh xạ A := αT +(1−α)I
là ánh xạ đơn điệu với mọi α ∈ (0, 1/2].
(iii) Nếu A : C → H là ánh xạ đơn điệu trên C thì ánh xạ B := I + A là ánh
xạ 1-đơn điệu mạnh.

Thật vậy, với mọi x, y ∈ C ta có
⟨B(x) − B(y), x − y⟩ = ⟨(I + A)(x) − (I + A)(y), x − y⟩
= ∥x − y∥2 + ⟨A(x) − A(y), x − y⟩

≥ ∥x − y∥2 .

(iv) Cho A : H → H là ánh xạ tuyến tính. Khi đó, A đơn điệu khi và chỉ khi
A là tốn tử khơng âm, tức là

⟨A(x), x⟩ ≥ 0,

∀x ∈ H.

Định nghĩa 1.8. Cho C là tập lồi khác rỗng của không gian Hilbert thực
H. Hàm f : C → R được gọi là lồi nếu tập trên đồ thị của nó
epi(f ) := {(x, r) ∈ H × R : f (x) ≤ r}
là tập lồi trong H × R.
Nhận xét 1.2. Hàm f : C → R là lồi khi và chỉ khi với mọi x, y ∈ C và với
mọi λ ∈ [0, 1] ta có
f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y).


16

Định nghĩa 1.9. Cho C là tập lồi khác rỗng của không gian Hilbert thực
H. Hàm f : C → R được gọi là lồi chặt nếu với mọi x ̸= y ∈ C và với mọi
λ ∈ (0, 1) ta có

f (λx + (1 − λ)y) < λf (x) + (1 − λ)f (y).

Nhận xét 1.3. Một hàm lồi chặt là lồi nhưng một hàm lồi không nhất thiết
là lồi chặt. Chẳng hạn, hàm số f : R → R xác định bởi f (x) = |x| là hàm có

tính chất như vậy.

Ví dụ 1.13. Hàm ∥ · ∥ là một hàm lồi nhưng không lồi chặt. Tuy nhiên, hàm
∥ · ∥2 là hàm lồi chặt.

Định nghĩa 1.10. Cho f : C → R là hàm lồi trên C ⊆ H.
(i) Phần tử x∗ ∈ H được gọi là dưới gradient của hàm f tại điểm x¯ ∈ C nếu
f (x) − f (¯
x) ≥ ⟨x∗ , x − x¯⟩,

∀x ∈ C.

(ii) Tập tất cả các dưới gradient của f tại x¯ được gọi là dưới vi phân của f
tại x¯, kí hiệu là ∂f (¯
x), tức là
∂f (¯
x) = {x∗ ∈ H : f (x) − f (¯
x) ≥ ⟨x∗ , x − x¯⟩, ∀x ∈ C}.
(iii) Hàm f được gọi là khả dưới vi phân tại x¯ nếu ∂f (¯
x) ̸= ∅.

Ví dụ 1.14. [3] Cho x ∈ H. Khi đó, ta có

x


nếu x ̸= 0,

∥x∥
∂∥ · ∥(x) =

S[0, 1] nếu x = 0.

Ví dụ 1.15. [3] Cho C là tập con lồi đóng

x − PC (x)




 d(x, C)
∂d(x, C) = N (x, C) ∩ S[0, 1]




{0}

khác rỗng của H. Khi đó, ta có
nếu x ∈
/ C,
nếu x ∈ ∂C,

nếu x ∈ int(C),

trong đó, N (x, C) là nón pháp tuyến của C tại x được định nghĩa và xác định
bởi


{d ∈ H : ⟨d, y − x⟩ ≤ 0, ∀y ∈ C}, nếu x ∈ C,
N (x, C) =
∅,
nếu x ∈
/ C.

(1.7)


17

Định nghĩa 1.11. Cho f : C → R là hàm xác định trên C ⊆ H. Khi đó,
hàm f được gọi là
(i) khả vi Gâteaux tại x ∈ C nếu tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục x∗
trên C thỏa mãn

lim
α↓0

f (x + αy) − f (x)
= ⟨x∗ , y⟩,
α

∀y ∈ C.

Toán tử x∗ được gọi là đạo hàm Gâteaux của f tại x và thường được kí
hiệu là fG′ (x) hoặc ∇f (x).
(ii) khả vi Gâteaux nếu f khả vi Gâteaux tại mọi điểm x ∈ C.
(iii) khả vi Fréchet tại x ∈ C nếu tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục x∗

trên C thỏa mãn
|f (x + y) − f (x) − ⟨x∗ , y⟩|
lim
= 0.
∥y∥
∥y∥→0

Toán tử x∗ được gọi là đạo hàm Fréchet của f tại x và thường được kí
hiệu là fF′ (x) hoặc f ′ (x).

(iv) khả vi Fréchet nếu f khả vi Fréchet tại mọi điểm x ∈ C.

Nhận xét 1.4. [2, 3] Nếu f : C → R khả vi Fréchet tại x ∈ C thì nó cũng
khả vi Gâteaux. Khẳng định ngược lại nói chung khơng đúng.
Mối liên hệ giữa dưới vi phân và tính khả vi Gâteaux (hoặc khả vi Frétchet)

được phát biểu trong các mệnh đề dưới đây. Các chứng minh chi tiết có thể
tìm thấy trong [2, 3].
Mệnh đề 1.9. [2, 3]
Cho f : H → R là hàm lồi. Khi đó, ta có các khẳng định sau:
(i) Nếu f khả vi Gâteaux tại x ∈ H với fG (x) = x∗ và f khả dưới vi phân
tại x thì
′

∂f (x) = {x∗ }.
(ii) Nếu f là hàm liên tục tại x ∈ H và ∂f (x) chỉ gồm một phần tử duy nhất
x∗ thì f khả vi Gâteaux tại x và
fG (x) = x∗ := ∇f (x).
′

18

Mệnh đề 1.10. [2, 3]
Cho C là tập con lồi mở khác rỗng của H. Cho f : H → R là hàm khả vi
Gâteaux (Fréchet) trên H. Khi đó, ta có các khẳng định sau:
(i) f là hàm lồi trên C khi và chỉ khi
f (y) ≥ f (x) + ⟨∇f (x), y − x⟩,

∀x, y ∈ C.

(ii) f là hàm lồi chặt trên C khi và chỉ khi
f (y) > f (x) + ⟨∇f (x), y − x⟩,

∀x ̸= y ∈ C.

Tiếp theo, ta có tính lồi của một hàm f khả vi Gâteaux (Fréchet) có thể
đặc trưng bởi tính đơn điệu của ∇f như dưới đây.
Mệnh đề 1.11. [2, 3]
Cho C ⊆ H là tập con lồi khác rỗng và f : C → R là hàm khả vi Gâteaux
(Fréchet) liên tục. Khi đó, hàm f là lồi (tương ứng, lồi chặt) khi và chỉ khi
gradient ∇f là ánh xạ đơn điệu (tương ứng, đơn điệu chặt).


Chương 2

Phương pháp xấp xỉ nghiệm cho một
lớp bài toán bất đẳng thức biến phân
Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày về phương pháp dưới đạo hàm đạo hàm tăng cường có qn tính cải biên (MISEGM) xấp xỉ nghiệm cho bất
đẳng thức biến phân giả đơn điệu trên không gian Hilbert thực. Cấu trúc của

chương gồm ba phần: Mục 2.1 chúng tơi phát biểu mơ hình bài tốn nghiên
cứu cùng một số bài toán liên quan. Nội dung và sự hội tụ yếu (mạnh) của
phương pháp nêu trên sẽ được cụ thể hóa trong Mục 2.2. Phần cuối chương,
Mục 2.3, chúng tơi dành để xây dựng các ví dụ số nhằm minh họa và làm rõ
hơn các vấn đề lí thuyết mà luận văn đề cập.
2.1.

Mơ hình bài tốn

Bất đẳng thức biến phân được hình thành từ những cơng trình nghiên cứu
của Lion, Stampacchia và Minty (xem [4, 5] cùng tài liệu dẫn) vào những
năm 50 của thế kỉ trước. Bài tốn này có liên hệ mật thiết với nhiều bài tốn
lí thuyết như: bài tốn tối ưu, bài toán cân bằng, bài toán điểm bất động, bài
toán minimax, bài tốn điểm n ngựa, phương trình với tốn tử đơn điệu,
bài tốn biên có dạng của phương trình đạo hàm riêng ... và đóng vai trị rất
quan trọng trong nghiên cứu nhiều lĩnh vực thực tiễn như: công nghệ thông
tin và truyền thông, giao thông, kinh tế, y học, qn sự ... Vì lẽ đó, trong
suốt hơn 70 mươi năm qua, bài toán này đã và đang thu hút được sự quan
tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học trong và ngồi nước. Mơ hình bài
tốn bất đẳng thức biến phân (VIP) có dạng:
Tìm x ∈ C sao cho ⟨A(x), y − x⟩ ≥ 0,

∀y ∈ C,

(2.1)

trong đó, C là tập con lồi đóng khác rỗng của khơng gian Hilbert thực H
(miền hữu hiệu hoặc miền ràng buộc) và A : C → H là ánh xạ xác định trên

20

C (ánh xạ giá hoặc ánh xạ mục tiêu).
Phần tử x ∈ C thỏa mãn (2.1) được gọi là nghiệm của bài toán (VIP). Tập
tất cả các nghiệm của bài tốn này được kí hiệu là Sol(VIP(A, C)), nghĩa là
Sol(VIP(A, C)) = {x ∈ C : ⟨A(x), y − x⟩ ≥ 0, ∀y ∈ C}.
Nhận xét 2.1. Dễ thấy rằng x ∈ C là một nghiệm của bài toán (VIP) khi
và chỉ khi

0 ∈ A(x) + N (x, C),
ở đây, N (x, C) là nón pháp tuyến của C tại x (xem định nghĩa ở Ví dụ 1.15).
Thật vậy, nếu x ∈ Sol(VIP(A, C)) ta có
⟨−A(x), y − x⟩ ≤ 0, ∀y ∈ C.
Do đó, −A(x) ∈ N (x, C) hay tương đương với 0 ∈ A(x) + N (x, C). Ngược
lại, nếu 0 ∈ A(x) + N (x, C) thì

0 = A(x) + d,

d ∈ N (x, C).

Đẳng thức trên suy ra
A(x) = −d và ⟨A(x), y − x⟩ ≥ 0, ∀y ∈ C.
Ví dụ 2.1. Xét C := R2+ = {x = (x1 , x2 ) ∈ R2 : x1 ≥ 0, x2 ≥ 0} và ánh xạ
A : C → R2 có dạng
A(x) = x.

Khi đó, khơng khó khăn để chỉ ra rằng
N (0, C) = R2− = {x = (x1 , x2 ) ∈ R2 : x1 ≤ 0, x2 ≤ 0}.
Mặt khác, ta lại có
0 = A(0) + 0,

0 ∈ N (0, C)

nên suy ra 0 ∈ Sol(VIP(A, C)).
Bây giờ, nếu x = (1, 1) ∈ C thì N (x, C) chỉ gồm duy nhất một phần tử
{0}. Trong trường hợp này, ta thấy

0∈
/ A(x) + N (x, C) = {(1, 1)}
và vì thế x = (1, 1) ∈
/ Sol(VIP(A, C)).