LUAN VAN THẠC SỸ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC TOÁN

1

Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
1.1. Các nhà triết học đã xem: phơng pháp nh ngọn
đuốc soi đờng cho ngời đi trong đêm tối, hay phơng pháp
nh linh hồn của đối tợng. Nhận thức sâu sắc đợc tầm quan
trọng của phơng pháp trong hoạt động lí luận và thực tiễn,
đặc biệt trong Giáo dục và Đào tạo ở thời kì CNH- HĐH đất
nớc, Đảng và Nhà nớc ta đã có nhiều chủ trơng chính sách về
đổi mới phơng pháp giáo dục.
Nghị quyết Trung ơng 2 (khoá 8, 1997) của Ban Chấp
hành Trung ơng Đảng Cộng sản Việt Nam khẳng định: "Phải
đổi mới phơng pháp giáo dục - đào tạo, khắc phục lối truyền
thụ một chiều, rèn luyện thành nếp t duy sáng tạo cho ngời
học".
Kết luận của Bộ Chính trị về việc thực hiện Nghị quyết
Trung ơng 2 (2009) nêu rõ: "Tiếp tục đổi mới PPDH, khắc
phục lối truyền thụ một chiều. Phát huy PPDH tích cực, sáng
tạo".
Luật Giáo dục (2005) cũng quy định: "Nhà nớc phát triển
giáo dục nhằm nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dỡng
nhân tài", "Phơng pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực,
tự giác, chủ động, t duy sáng tạo của ngời học".
Chơng trình môn Toán (2002) đã viết: "Môn Toán có vai trò
quan trọng trong việc thực hiện mục tiêu chung của giáo dục
phổ thông cùng với việc tạo điều kiện cho HS kiến tạo những
tri thức và rèn luyện kỹ năng Toán học cần thiết, môn Toán có
tác dụng góp phần phát triển năng lực trí tuệ chung
1.2. Trong những năm gần đây việc đổi mới PPDH ở nớc
ta đã có một số chuyển biến tích cực. Các PPDH hiện đại nh

2

dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề, dạy học khám phá,
dạy học kiến tạo đã đợc một số giáo viên áp dụng. Những sự
đổi mới đó nhằm tổ chức các môi trờng học tập mà trong
đó HS đợc hoạt động trí tuệ nhiều hơn, có cơ hội để khám
phá và kiến tạo tri thức, qua đó HS có điều kiện tốt hơn
lĩnh hội bài học và phát triển t duy cho bản thân họ. Tuy
nhiên, thực tế cũng còn rất nhiều giáo viên vẫn còn gặp khó
khăn trong việc tiếp cận và thực hiện các PPDH mới.
1.3. Mục tiêu môn toán THCS (Năm 2002) viết: Dạy học
môn toán ở trờng THCS nhằm: Phát triển năng lực trí tuệ mà
chủ yếu là rèn luyện các thao tác t duy, khả năng quan sát, dự
đoán và tởng tợng, t duy lôgic và ngôn ngữ chính xác, đồng
thời bồi dỡng các phẩm chất của t duy nh linh hoạt, độc lập,
sáng tạo. Bớc đầu có năng lực tự học, năng lực giao tiếp toán
học, bao gồm năng lực diễn đạt chính xác và sáng sủa ý tởng
của mình và năng lực nắm bắt đúng ý tởng của ngời khác.
Chơng trình môn toán THCS do bộ giáo dục và đào tạo
ban hành năm 2002 chỉ rõ: Tích cực hoá hoạt động học tập
của học sinh, rèn luyện khả năng tự học, tự phát hiện và giải
quyết vấn đề của học sinh nhằm hình thành và phát triển ở
học sinh t duy tích cực, độc lập và sáng tạo.
1.4. Mục đích chính của việc dạy học là giúp ngời học
nắm tri thức, hoàn thiện nhân cách và phát triển t duy,
trong đó t duy đợc xem nh chiếc chìa khóa mở cánh cửa tri
thức. Chơng trình môn toán lớp 9 có rất nhiều vấn đề có thể
khai thác, đào sâu góp phần phát triển t duy cho học sinh.

Một trong những vấn đề đó là quan tâm xác định và phát
hiện một số tri thức phơng pháp đợc trình bày một cách t-


3

ờng minh hoặc ẩn tàng trong chơng trình toán 9, đồng thời
đa ra một số biện pháp rèn luyện để hình thành một cách
vững chắc ở học sinh các tri thức phơng pháp ấy. Từ đó học
sinh có thể sử dụng các tri thức phơng pháp nh là phơng tiện
của t duy để giải quyết nhiều vấn đề toán học khác cũng
nh các vấn đề khác trong cuộc sống.
Nghiên cứu về tri thức phơng pháp, tác giả Nguyễn Bá
Kim đa ra một số vấn đề cần cân nhắc giải quyết nh: Xác
định tập hợp tối thiểu, xác định độ hoàn chỉnh, xác định
yêu cầu về phơng pháp truyền thụ, xác định về con đờng
học sinh nhận thức các tri thức phơng pháp cần truyền thụ.
Tác giả Lê Phi Hùng đã có đề tài: "Truyền thụ tri thức đặc
biệt tri thức phơng pháp nh là phơng tiện và kết quả của
hoạt động trong dạy toán cho học sinh lớp 10 chuyên toán.
Tuy nhiên tác giả không đi sâu vào nghiên cứu tri thức phơng
pháp một cách toàn diện, chỉ đề ra các biện pháp truyền
thụ tri thức và tri thức phơng pháp cho học sinh lớp chuyên
toán mà không đề xuất các biện pháp rèn luyện tri thức phơng pháp đối với học sinh lớp đại trà, cha xác định và phát
hiện các tri thức phơng pháp tơng thích với từng chủ đề toán
học. Do đó đợc sự hớng dẫn của GS.TS Đào Tam chúng tôi đã
chọn đề tài: "Xác định và rèn luyện các tri thức phơng
pháp trong dạy học toán 9.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu lý luận, nghiên cứu nội dung chơng trình toán

9, xác định và phát hiện các tri thức phơng pháp đợc thể
hiện qua các chủ đề toán 9 trong tiến trình dạy học, đồng


4

thời đề xuất các biện pháp rèn luyện các tri thức phơng pháp
ấy nhằm nâng cao chất lợng dạy học toán.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
3.1. Hệ thống hóa một số vấn đề cơ bản về tri thức, tri
thức phơng pháp, mối liên hệ giữa tri thức và t duy, vai trò và
ý nghĩa của việc dạy học các tri thức phơng pháp.
3.2. Nghiên cứu mục tiêu đào tạo và nội dung chơng
trình toán 9.
3.3. Xác định và phát hiện một số tri thức phơng pháp,
đề xuất các biện pháp s phạm để rèn luyện các tri thức phơng pháp ấy.
4. Phơng pháp nghiên cứu
4.1. Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu các tài liệu về các
lĩnh vực: triết học duy vật biện chứng, giáo dục học, tâm lý
học, toán học, ..., liên quan đến đề tài và các văn bản, chơng trình quy định môn toán 9.
4.2. Điều tra tìm hiểu: Điều tra tìm hiểu, quan sát thực
trạng dạy học môn toán ở một số trờng THCS.
4.3. Thực nghiệm s phạm.
5. Giả thuyết khoa học
Trên cơ sở khung chơng trình và các tài liệu môn toán
đợc giảng dạy ở lớp 9 nếu xác định và phát hiện các tri thức
phơng pháp, đồng thời đề xuất các biện pháp s phạm nhằm
rèn luyện các tri thức phơng pháp ấy trong tiến trình hoạt
động nhận thức Toán học sẽ góp phần nâng cao chất lợng dạy
học toán.

5

6. Dự kiến đóng góp của luân văn
6.1. Về mặt lý luận: Trên cơ sở các tri thức về triết học
duy vật biện chứng, giáo dục học, tâm lý học, toán học xác
định và phát hiện các tri thức phơng pháp đồng thời đề
xuất các biện pháp rèn luyện các tri thức phơng pháp ấy.
6.2. Thực tiễn: Có thể sử dụng luận văn này làm tài liệu
tham khảo cho GV Toán nhằm nâng cao chất lợng dạy học
toán .
7. Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần Mở Đầu, Kết Luận, Tài Liệu Tham Khảo, luận
văn gồm 3 chơng:
Chơng 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn.
Chơng 2: Xác định và rèn luyện các tri thức phơng pháp
trong dạy học toán 9.
Chơng 3: Thực nghiệm s phạm.


6

Chơng 1
Cơ sở lý luận và thực tiễn
1.1. Cơ sở triết học, tâm lý học về phơng pháp và
t duy
1.1.1. Quan điểm của triết học duy vật biện chứng
về phơng pháp
Thuật ngữ phơng pháp có gốc từ tiếng Hi Lạp là

methodos (với nghĩa là con đờng nghiên cứu hay con đờng
nhận thức). Phơng pháp gắn liền với hoạt động có ý thức,
phản ánh hoạt động nhận thức và hoạt động thực tiễn của
con ngời. Trớc khi hành động, con ngời thờng phân tích hoàn
cảnh, đề ra mục tiêu tơng ứng, xác định cách thức và phơng tiện để đạt mục tiêu đó rồi mới tác động lên sự vật
hiện tợng theo hệ thống những nguyên tắc nhất định. Hệ
thống những nguyên tắc đó tạo nên phơng pháp để đạt
mục tiêu đề ra. Nh vậy phơng pháp bắt nguồn từ thực tiễn,
phản ánh những quy luật khách quan đã đợc nhận thức để
định hớng hoạt động có mục đích của con ngời.
Triết học duy vật biện chứng quan niệm về phơng pháp
nh sau: Phơng pháp là hệ thống những nguyên tắc đợc rút
ra từ tri thức về các quy luật khách quan để điều chỉnh
hoạt động nhận thức và hoạt động thực tiễn nhằm thực hiện
mục tiêu nhất định [6, tr. 333].
Phép biện chứng duy vật là phơng pháp của của triết học
duy vật biện chứng và của khoa học nói chung. Theo Ph.
Ăngghen: Phép biện chứng là phơng pháp điều căn bản là
nó xem xét những sự vật và những phản ánh của chúng
trong t tởng trong mối liên hệ qua lại lẫn nhau của chúng,


7

trong sự ràng buộc, sự vận động, sự phát sinh, phát triển và
sự tiêu vong của chúng.
Sự đa dạng của sự vật hiện tợng dẫn đến sự đa dạng của
phơng pháp. Các khoa học khác nhau nghiên cứu những sự
vật hiện tợng khác nhau có những phơng pháp khác nhau phù
hợp với mục tiêu mà khoa học đó đặt ra. Phơng pháp đợc

chia ra:
- Phơng pháp riêng: Nh phơng pháp Toán học, phơng pháp
hóa học, phơng pháp lý học, phơng pháp xã hội v.v... là phơng
pháp chỉ áp dụng cho từng khoa học cụ thể.
- Phơng pháp chung: Phơng pháp quan sát, thí nghiệm,
mô hình hóa v.v... là phơng pháp áp dụng cho nhiều nghành
khoa học khác nhau.
- Phơng pháp phổ biến là phơng pháp biện chứng duy
vật (hình thành từ những nguyên tắc nh phân tích và tổng
hợp, trừu tợng và cụ thể, quy nạp và diễn dịch v.v...) đợc áp
dụng cho mọi lĩnh vực hoạt động nhận thức và hoạt động
thực tiễn.
- Phơng pháp nhận thức: Là phơng pháp phản ánh để
nhận thức bản chất, quy luật vận động và phát triển của sự
vật hiện tợng.
- Phơng pháp thực tiễn: Là phơng pháp sử dụng các phơng tiện vật chất để tác động trực tiếp vào sự vật hiện tợng
nhằm biến đổi chúng theo nhu cầu con ngời (phơng pháp
cải tạo tự nhiên, cải tạo xã hội).
Sự phân chia phơng pháp nh trên chỉ mang tính chất tơng đối. Trong hoạt động nhận thức và hoạt động thực tiễn
cần vận dụng tổng hợp các phơng pháp, không tuyệt đối


8

hoặc coi nhẹ phơng pháp nào, bởi mỗi phơng pháp có chức
năng, nhiệm vụ khác nhau và giữa chúng có mối quan hệ qua
lại, hỗ trợ cho nhau. Trong đó phơng pháp biện chứng duy vật
có ý nghĩa đặc biệt quan trọng.
1.1.2. Cơ sở triết học và tâm lý học về t duy
Theo LêNin bản chất của sự nhận thức là: Từ trực quan

sinh động đến t duy trừu tợng và từ t duy trừu tợng đến thực
tiễn - đó là con đờng biện chứng của sự nhận thức chân lí,
nhận thức thực tế khách quan".
Triết học Mác - Lênin khẳng định, hoạt động của con ngời là quá trình diễn ra giữa con ngời với tự nhiên, một quá
trình trong đó, bằng hoạt động của chính mình, con ngời
làm trung gian, điều tiết và kiểm tra sự trao đổi chất giữa
họ và tự nhiên".
Mọi hoạt động đều bao hàm một tác nhân thực hiện
hoạt động và một đối tợng hoạt động. Tiến trình hoạt động
có đối tợng của con ngời đi từ hoạt động vật chất bên ngoài
với các thao tác khám phá, biến đổi của sự vật và hiện tợng...
chuyển vào trong óc con ngời (chuyển vào trong, nội tâm
hoá) bằng cách nhập tâm, bắt chớc, học tập để trở thành trí
tuệ, trở thành tâm lí, ý thức tâm lí nội tâm cá nhân của
mỗi ngời. Từ sản phẩm tinh thần, tâm lí, ý thức này chỉ đạo
hoạt động thực tiễn của con ngời - quá trình này gọi là quá
trình chuyển ra ngoài các giá trị tinh thần (bao gồm: tâm
lí, ý thức, trí tuệ) vào các đối tợng hoạt động trở thành sản
phẩm của hoạt động (còn gọi là quá trình xuất tâm). Hoạt


9

động có đối tợng thực chất đợc tiến hành bởi hai quá trình
trên một cách biện chứng và linh hoạt.
Quan điểm của C. Mác và Ph. Ănghen về vai trò của hoạt
động thực tiễn trong nhận thức của con ngời: Hoạt động
nhận thức của thế giới nói chung, nói riêng nhận thức toán học
đợc thực hiện bằng quá trình hoạt động t duy, xét riêng t
duy toán học, t duy biện chứng, t duy hình tợng.

Từ các luận điểm của C. Mác, Ph. Ăngghen, các kết quả
nghiên cứu của các tâm lí nh: L. X. Vygotsky, X. L. Rubinstein
cho thấy t duy con ngời có những đặc điểm cơ bản sau:
- T duy của con ngời chỉ nảy sinh khi gặp hoàn cảnh có
vấn đề (mâu thuẫn là nguồn gốc của sự phát triển).
- T duy có tính khái quát.
- T duy có tính gián tiếp.
- T duy của con ngời có quan hệ mật thiết với ngôn ngữ.
- T duy của con ngời có quan hệ mật thiết với nhận thức
cảm tính.
- T duy là một quá trình (tức là, t duy có nảy sinh, diễn
biến và kết thúc).
Nhà triết học Rozental viết: Đặc điểm của t duy của
con ngời là mối liên hệ không thể chia cắt đợc giữa t duy và
ngôn ngữ, nhận thức t duy của con ngời chỉ có thể thực hiện
thông qua ngôn ngữ, điều đó chứng tỏ tính chất xã hội của
t duy của con ngời khác với tính chất thuần tuý sinh vật của
sự hoạt động tâm lí của động vật".


10

X. L. Rubinstein khẳng định:" Nội dung cảm tính bao giờ
cũng có trong t duy trừu tợng, tựa hồ nh làm thành chỗ dựa
cho t duy".
Trong nghiên cứu t duy, ông đã nhấn mạnh luận điểm:
các nguyên nhân bên ngoài tác động qua lại những điều
kiện bên trong". Các điều kiện bên trong của t duy đợc xác
định bởi mức độ tích cực, các cấp độ tác động qua lại của
các thao tác t duy trong quá trình nhận thức. Các điều kiện

bên ngoài của t duy, đợc hiểu là các điều kiện kích hoạt t
duy, bao gồm đối tợng t duy và môi trờng, trong đó chủ thể
và khách thể tác động qua lại với nhau.
Nh vậy, t duy con ngời xuất hiện và vận động gắn kết
với hoạt động thức tiễn của con ngời. Con ngời trở thành chủ
thể của hoạt động t duy với điều kiện họ nắm đợc ngôn
ngữ, các khái niệm, lôgíc học - chúng là sản phẩm của sự
phản ánh khái quát kinh nghiệm của thực tiễn xã hội.
1.2. Tri thức và tri thức phơng pháp
1.2.1. Khái niệm tri thức và một số dạng tri thức
a. Khái niệm tri thức
Theo từ điển triết học: Tri thức là sản phẩm của HĐ lao
động xã hội và t duy của con ngời, làm tái hiện lại trong t tởng, dới hình thức ngôn ngữ những mối liên hệ khách quan
hợp quy luật của thế giới khách quan đang đợc cải biến trên
thực tế".
Theo Từ điển Tiếng Việt [32]: Tri thức là những điều
hiểu biết có hệ thống về sự vật, hiện tợng tự nhiên hoặc xã
hội".


11

Nh vậy, hiểu theo một nghĩa chung nhất, tri thức là
những điều hiểu biết có hệ thống về sự vật, hiện tợng trong
tự nhiên và xã hội.
Tri thức là kết quả của quá trình con ngời nhận thức thực
tại khách quan đã đợc kiểm nghiệm qua thực tiễn, là phản
ánh trung thực thực tại khách quan trong ý thức con ngời dới
hình thức những biểu tợng và khái niệm, đợc diễn đạt trong
ngôn ngữ. Tri thức là kết quả của quá trình t duy tích cực, tri

thức không bao giờ là một cái gì cứng đờ và bất biến mà
ngày càng đợc phát triển. Sự phát triển của tri thức trong quá
trình nhận thức đợc tiến hành theo con đờng chính xác hoá
chúng, bổ sung, đào sâu, phân hoá chúng, đem lại cho
chúng tính hệ thống và khái quát. Muốn có tri thức, con ngời
phải tiến hành hoạt động nhận thức.
b. Một số dạng tri thức
+ Tri thức thông thờng: là những hiểu biết đợc tích luỹ từ
kinh nghiệm sống thờng ngày. Nhờ những tri thức thông thờng, con ngời có đợc những hình dung thực tế về các sự
vật. Những tri thức thông thờng ngày càng đợc đa dạng và
phong phú thêm. Chúng chứa đựng những mặt riêng biệt,
đúng đắn về thế giới khách quan và là cơ sở cho sự hình
thành các tri thức khoa học.
Tuy nhiên, theo giáo s Đặng Vũ Hoạt, thì tri thức thông thờng mặc dầu có mang lại những phản ánh riêng biệt đúng
đắn về thế giới khách quan nhờ con đờng kinh nghiệm chủ
nghĩa, song nhìn chung là có tính tự phát, hời hợt, chủ quan,


12

dựa trên những nguyên tắc thủ cựu và những khái quát quy
nạp giản đơn về những sự vật, hiện tợng đợc tri giác".
+ Tri thức khoa học: là những hiểu biết đợc tích luỹ từ
quá trình nghiên cứu khoa học. Tri thức khoa học đợc biểu
diễn dới dạng các khái niệm, phạm trù, tiên đề, quy luật, định
luật, định lý, lý thuyết, học thuyết
Những tri thức khoa học thuộc bất kỳ một lĩnh vực tri
thức cụ thể nào, nếu đợc thực hiện ở mức độ đầy đủ, bao
giờ cũng trải qua hai quá trình: kinh nghiệm và lý luận. Ngời
ta cũng có thể chia ra tri thức kinh nghiệm và tri thức lý luận.

+ Tri thức kinh nghiệm: là những tri thức đợc chủ thể
(con ngời) thu nhận trực tiếp trong quá trình HĐ thực tiễn.
Trong nhận thức khoa học, tri thức kinh nghiệm là những kết
quả, số liệu, dữ liệu thu thập đợc qua thực nghiệm. Tri
thức kinh nghiệm nảy sinh một cách trực tiếp từ thực tiễn,
giúp con ngời kịp thời điều chỉnh phơng hớng cho cách thức
HĐ của mình. Nhng tri thức kinh nghiệm thể hiện nhiều hạn
chế. ở trình độ nhận thức kinh nghiệm cha thể nắm đợc cái
tất yếu, các mối quan hệ bản chất giữa các sự vật hiện tợng;
cha phân biệt đợc những cái cơ bản và những cái không cơ
bản, giữa bản chất và hiện tợng. Vì vậy, khi nhận thức chân
lý không thể chỉ dừng lại ở mức độ kinh nghiệm mà cần
chuyển lên trình độ nhận thức cao hơn là nhận thức lý luận.
+ Tri thức lý luận: là những tri thức phản ánh hiện thực
trong bản chất, trong những mối liên hệ bên trong mang tính
quy luật. So với tri thức kinh nghiệm thì tri thức lý luận khái
quát hơn, thể hiện chân lý sâu sắc hơn, chính xác hơn và


13

đầy đủ hơn, nghĩa là có tính bản chất hơn". Vì lý do đó,
phạm vi áp dụng và ứng dụng tri thức lý luận cũng rộng rãi hơn
rất nhiều so với tri thức kinh nghiệm, kinh nghiệm kết thúc ở
đâu thì lý luận bắt đầu tiếp nối từ đó.
Tuy vậy, trong HĐ dạy học, GV cũng cần phải coi trọng tri
thức kinh nghiệm của HS trong việc giúp HS nắm vững các
tri thức, đặc biệt là các tri thức phơng pháp. Thông qua quá
trình đó, GV cố gắng hệ thống hoá các kinh nghiệm của các
em thành các lý luận khái quát, giúp các em nhận thức tri thức

một cách toàn diện và sâu sắc hơn.
c. Một số dạng tri thức trong dạy học Toán
Học Toán là HĐ trong đó chủ thể là HS và đối tợng là các
dạng tri thức Toán học. Dạy Toán là HĐ mà chủ thể là GV và
đối tợng là HĐ học Toán của HS.
Để có đợc chơng trình Toán học ở trờng phổ thông, ngời
ta phải làm một phép chuyển hoá s phạm, biến tri thức khoa
học Toán học thành tri thức để dạy học (còn gọi là tri thức
giáo khoa). Phép chuyển hoá s phạm này thờng đợc thực hiện
bởi các nhà nghiên cứu, bởi các nhà giáo dục học, các Hội
đồng khoa học bộ môn và các nhà viết SGK. Tuy nhiên, tri
thức giáo khoa chỉ mới là một dạng bán thành phẩm", nó mới
là tri thức môn học chứ cha thể là tri thức dạy học (ngời giáo
viên không thể lấy nguyên xi nội dung SGK làm bài giảng của
mình). Vì thế, phải có một bớc chuyển hoá s phạm nữa,
biến tri thức giáo khoa thành tri thức dạy học. Bớc này đợc
thực hiện bởi chính ngời GV. ở bớc này, ngời GV phải HĐ hoá


14

nội dung SGK, hoàn cảnh hoá tri thức giáo khoa, soạn thảo các
tình huống dạy học, tổ chức môi trờng dạy học.
Theo tác giả Nguyễn Bá Kim [16], ngời ta thờng phân
biệt bốn dạng tri thức sau trong dạy học Toán:
Tri thức sự vật;
Tri thức phơng pháp;
Tri thức chuẩn;
Tri thức giá trị.
+ Tri thức sự vật: là tri thức về toàn bộ những yếu tố và

quá trình đợc sắp xếp theo một trật tự nhất định, cấu
thành sự vật hoặc hiện tợng" (Từ điển Triết học). Trong môn
Toán, tri thức sự vật là tri thức về một khái niệm (khái niệm
về một đối tợng hoặc một quan hệ toán học), một vấn đề
Toán học đợc trình bày trực diện (nh là định nghĩa, định
lý) hoặc một ứng dụng Toán học.
Cần chú ý rằng các tri thức sự vật mà ta nói trên đây là
những tri thức cụ thể trong dạy học Toán. Các khái niệm,
định nghĩa, định lý đợc trình bày trong SGK phải đợc
truyền thụ cho HS thông qua quá trình HĐ dạy học Toán. Dạy
Toán là dạy HĐ Toán học, do đó HS cần thiết đợc biết các quá
trình hình thành các khái niệm, định lý, biết vận dụng
kiến thức, có niềm tin vào khả năng Toán học của mình. Đặc
trng của tri thức Toán học là trừu tợng hoá cao độ và lôgic
chặt chẽ. Vì vậy trong HĐ dạy học, ngoài suy diễn lôgic, cần
thiết phải coi trọng nguyên tắc trực quan, quy nạp, trực giác
toán học. Dạy học Toán cần phải cân đối các quan hệ giữa


15

trực quan và trừu tợng, giữa ớc lợng, dự đoán và các suy luận
có lý.
+ Tri thức phơng pháp: đợc hiểu là tri thức về hệ thống
các nguyên tắc, hệ thống các thao tác có thể nhằm đi từ
những điều kiện nhất định ban đầu tới một mục đích xác
định".
Hệ thống các nguyên tắc, các thao tác nói trên đợc rút ra
từ tri thức sự vật, từ tri thức về các quy luật khách quan để
con ngời điều chỉnh HĐ nhận thức và HĐ thực tiễn. Tri thức

phơng pháp không có sẵn trong thế giới hiện thực mà do con
ngời lĩnh hội đợc trên cơ sở những quy luật khách quan đã
đợc nhận thức và đợc trình bày thành lý luận.
Trong dạy học Toán, tri thức phơng pháp là tri thức có ý
nghĩa công cụ, phơng tiện để tiến hành các HĐ nhằm phát
hiện, tìm tòi, lĩnh hội tri thức sự vật. Tri thức phơng pháp
có liên hệ với hai loại phơng pháp khác nhau về bản chất:
những phơng pháp có tính chất thuật giải (nh là phơng
pháp tìm BCNN của hai số tự nhiên, phơng pháp giải phơng
trình bậc hai) và những phơng pháp có tính chất tìm
đoán (chẳng hạn phơng pháp tổng quát của G. Pôlya để
giải bài tập Toán học).
+ Tri thức chuẩn: là những tri thức liên quan đến những
chuẩn mực nhất định, những quy định giúp cho việc học
tập và giao lu tri thức. Ví dụ nh quy định về những đơn vị
đo lờng, quy ớc về làm tròn số cho các giá trị gần đúng,
hoặc các chuẩn mực của việc trình bày giả thiết, kết luận,
trình bày chứng minh của bài toán.


16

+ Tri thức giá trị: có nội dung là những mệnh đề đánh
giá, bình luận khi xem xét một nội dung nào đó. Ví dụ,
chúng ta có thể đáng giá: Định lý Ta Lét là định lý quan
trọng của hình học ở trờng phổ thông hoặc bình luận
Hình học ở trờng phổ thông là môn học có tác dụng phát
triển trí tởng tợng và t duy logic cho HS"
1.2.2. Tri thức phơng pháp
a. Khái niệm tri thức phơng pháp

Cho đến nay vẫn cha có một định nghĩa tờng minh nào
về tri thức phơng pháp. Ngay cả các tác giả uy tiến nh
Nguyễn Bá Kim, Vũ Dơng Thụy trong [17] cũng không đa ra
định nghĩa tờng minh về tri thức phơng pháp. Qua nghiên
cứu tài liệu chúng tôi thấy có 2 quan niệm sau về tri thức phơng pháp:
Theo tác giả Lê Phi Hùng [15, tr. 13]: Tri thức phơng pháp
là tri thức về hệ thống các nguyên tắc, hệ thống các thao tác
có thể nhằm đi từ những điều kiện nhất định ban đầu tới
một mục đích xác định". Và tác giả giải thích: Hệ thống
các nguyên tắc, các thao tác nói trên đợc rút ra từ tri thức sự
vật, từ tri thức về các quy luật khách quan để con ngời điều
chỉnh HĐ nhận thức và HĐ thực tiễn. Tri thức phơng pháp
không có sẵn trong thế giới hiện thực mà do con ngời lĩnh
hội đợc trên cơ sở những quy luật khách quan đã đợc nhận
thức và đợc trình bày thành lý luận.
Theo tác giả Nguyễn Mạnh Cảng [12, tr. 23]: Tri thức phơng pháp luôn gắn liền với tri thức sự vật, bám vào tri thức sự


17

vật, nói lên những phơng pháp nhằm đạt đợc tri thức sự vật
hoặc những phơng pháp do tri thức sự vật mang lại.
Qua hai quan điểm trên về tri thức phơng pháp chúng ta
thấy rằng nếu phơng pháp là cách thức, là con đờng để đạt
tới mục đích thì tri thức phơng pháp là sự hiểu biết có hệ
thống về con đờng đó, cách thức đó. Tri thức phơng pháp
luôn bám vào tri thức sự vật.
Trong dạy học Toán, tri thức phơng pháp là tri thức có ý
nghĩa công cụ, phơng tiện để tiến hành các HĐ nhằm phát
hiện, tìm tòi, lĩnh hội tri thức sự vật. Tri thức phơng pháp có

liên hệ với hai loại phơng pháp khác nhau về bản chất:
- Những phơng pháp có tính chất thuật giải (nh là phơng
pháp tìm BCNN của hai số tự nhiên, phơng pháp giải phơng
trình bậc hai...).
- Những phơng pháp có tính chất tìm đoán (chẳng hạn
phơng pháp tổng quát của G. Pôlya để giải bài tập Toán học,
phơng pháp chứng minh hình học...).
b. Khái niệm thuật toán
Theo nghĩa chặt: Thuật toán là một dãy sắp thứ tự các
thao tác cần thực hiện trên một số hữu hạn các dữ liệu và
đảm bảo rằng sau một số hữu hạn bớc sẽ đạt đợc kết quả nào
đó. Hơn nữa, quy trình này độc lập với dữ liệu.
Nh vậy chúng ta có thể hiểu những đặc trng cơ bản
nhất của thuật toán theo nghĩa chặt trên, đó là:
- Tính hữu hạn: số bớc cần thực hiện, số dữ liệu và cả số
thao tác cần làm trong mỗi bớc đều phải hữu hạn.


18

- Tính xác định: thể hiện ở sự rõ ràng, không mập mờ
và thực thi đợc của các thao tác cần thực hiện trong mỗi bớc.
- Tính đúng đắn: với dữ liệu vào cho trớc, sau một số
hữu hạn các bớc đợc thực hiện thì thuật toán phải đảm bảo
đem lại kết quả và kết quả này phải duy nhất.
Chúng ta có thể lấy ví dụ về thuật toán Ơclit để tìm
UCLN của hai số tự nhiên a và b.
+ Bớc 1: So sánh a và b. Nếu a = b thì UCLN = a. Nếu
sai, qua bớc 2.
+ Bớc 2: Lấy số lớn trừ đi số nhỏ, ta đợc một hiệu số.

+ Bớc 3: Lấy số nhỏ và hiệu số trên làm hai số a và b,
quay về bớc 1.
Rõ ràng quy trình này sẽ kết thúc sau một số hữu hạn bớc
và kết quả ta sẽ thu đợc UCLN của hai số tự nhiên a, b.
Thuật toán trên dựa vào tính chất số học: với hai số tự
nhiên a và b, nếu a > b thì UCLN (a, b) = UCLN (b, a - b).
Theo nghĩa rộng: Thuật toán là một dãy hữu hạn các bớc
cần thực hiện theo một thứ tự nhất định để giải quyết một
kiểu nhiệm vụ nào đó.
Nh vậy, trong một thuật toán theo nghĩa rộng, dãy các bớc
cần thực hiện theo một thứ tự nhất định có thể không mang
đủ các đặc trng đã nêu ở trên của một thuật toán theo
nghĩa chặt. Cụ thể là:
- Mỗi chỉ dẫn trong một bớc có thể cha mô tả một cách
xác định hành động cần thực hiện.
- Có thể có những bớc không thực thi đợc.


19

- Kết quả thực hiện mỗi bớc có thể không duy nhất (không
đơn trị).
- Việc thực hiện hết một dãy hữu hạn các bớc không đảm
bảo chắc chắn đem lại kết quả.
Chúng ta xét một ví dụ về thuật toán theo nghĩa rộng:
Xét tính chẵn lẻ của một hàm số f (x).
+ Bớc 1: Tìm tập xác định D của f (x).
+ Bớc 2: Xét xem D có đối xứng qua 0 hay không (tức x D
x D)?
Nếu đúng, chuyển sang bớc 3.

Nếu sai, kết luận hàm số f (x) không chẵn, không lẻ.
+ Bớc 3: Tính f (x).
+ Bớc 4: Xét xem f (x) = f (x) với mọi x D hay không?
Nếu đúng, kết luận f (x) là hàm số chẵn.
Nếu sai, chuyển sang bớc 5.
+ Bớc 5: xét xem f (x) = f (x) với mọi x D hay không?
Nếu đúng, kết luận f (x) là hàm số lẻ.
Nếu sai, kết luận f (x) là hàm số không chẵn, không lẻ.
Rõ ràng, trong các bớc 4 và bớc 5, không có một chỉ dẫn
nào cho biết cách thức kiểm tra f (x) = f (x) hoặc f (x) = f
(x) với mọi x D đợc hay không. Vì thế, có nhiều trờng hợp
các bớc này không thực hiện đợc nên bài toán đặt ra ta
không giải đợc.
Một ví dụ khác, phơng pháp giải bài toán bằng cách lập
phơng trình. Ta có các bớc thực hiện nh sau:


20

+ Bớc 1: Chọn ẩn số. đặt điều kiện cho ẩn số và biểu
diễn các đại lợng cha biết qua ẩn số cùng với các đại lợng đã
biết.
+ Bớc 2: Lập phơng trình thể hiện mối liên hệ giữa các
đại lợng.
+ Bớc 3: Giải phơng trình vừa lập đợc.
+ Bớc 4: Đối chiếu điều kiện, kiểm tra kết quả và kết
luận.
Trong các bớc trên, bớc 1 không có kết quả duy nhất vì có
thể có nhiều phơng án chọn ẩn khác nhau và do đó phơng
trình đạt đợc ở bớc 2 cũng sẽ có nhiều hình thức khác nhau.

Hiện nay, trong Tin học, danh từ thuật toán đợc hiểu
theo nghĩa hẹp. Trong bộ môn PPDH Toán thì danh từ này
thờng đợc hiểu theo nghĩa rộng. Chúng ta cũng có thể thay
thế danh từ thuật toán theo nghĩa rộng bằng danh từ
thuật giải.
c. Khái niệm phơng pháp trong toán học
Theo tác giả Nguyễn Bá Kim [17, tr. 66]: Phơng pháp là
cách thức, con đờng để đạt mục đích nhất định.
Ta thờng phân biệt hai loại phơng pháp:
Phơng pháp có tính chất thuật toán: là những phơng
pháp có đặc trng của một thuật toán (theo nghĩa rộng).
Phơng pháp có tính chất tìm đoán:
ở trờng phổ thông, không phải lúc nào ta cũng tìm đợc
các phơng pháp có tính chất thuật toán để giải quyết các
vấn đề. Chẳng hạn, ta không thể có đợc thuật toán giải các


21

phơng trình vô tỉ phức tạp (không thuộc các loại phơng
trình cơ bản đã học). Khi đó cần nắm đợc một số chỉ dẫn
hay một số lời khuyên có lý" để có thể cho phép tìm đợc
lời giải bài toán đặt ra, vì những ý tởng và lời khuyên này
có thể gợi ra những ý tởng, những định hớng hợp lý cho việc
tìm kiếm lời giải.
Trong trờng hợp trên ta nói rằng đã vận dụng phơng pháp
có tính chất tìm đoán. Ngay cả trong trờng hợp một dạng
toán có thuật giải nhng cha đợc khám phá thì việc tìm kiếm
này cũng thờng phải vận dụng phơng pháp tìm đoán.
Ví dụ 1.1: Học sinh thờng đợc biết thuật toán để giải hệ

phơng trình hai ẩn đối xứng loại 1 là đặt ẩn phụ S = x + y,
P = xy (S2 4P), nhng khi gặp bài toán giải hệ phơng trình


1
( x + y ) 1 + ữ = 5
xy



x 2 + y 2 1 + 1 = 9
) x2 y2 ữ
(



thì việc dùng thuật toán trên không thể thực hiện đợc. Trong
trờng hợp này, GV có thể hớng dẫn học sinh tìm con đờng
khác để giải quyết bài toán. Nếu khai triển các biểu thức, hệ
đợc viết dới dạng
1
1

x
+
+
y
+
=5

x
y
.

x2 + 1 + y 2 + 1 = 9

x2
y2


22

1
1
Đặt a = x + , b = y + , đa về hệ đơn giản hơn rất nhiều.
y
x

Giải hệ này tìm a, b sau đó tính đợc x, y.
d. Một số tri thức phơng pháp thờng gặp trong HĐ dạy học
toán
Tri thức phơng pháp trong HĐ dạy học toán rất phong phú
và đa dạng nên việc phân loại các tri thức phơng pháp là rất
khó khăn. Nếu có một sự phân loại nào đó thì chỉ mang
tính chất tơng đối và ớc lệ. Sau đây ta nêu lên một số dạng tri
thức phơng pháp thờng gặp trong HĐ dạy học Toán.
1) Nếu xét về nội dung cơ bản thì tri thức phơng pháp thờng có hai dạng:
+ Những tri thức phơng pháp có tính chất thuật toán.
+ Những tri thức phơng pháp có tính chất tìm đoán.
2) Nếu xét về mặt cơ sở định hớng cho HĐ thì ta có

những tri thức phơng pháp thờng gặp sau:
+ Những tri thức về phơng pháp tiến hành những HĐ
toán học cụ thể, nh: cộng hai phân số, giải phơnng trình
bậc hai...
+ Những tri thức về phơng pháp tiến hành những HĐ
toán học phức hợp, nh: định nghĩa, chứng minh...
+ Những tri thức về phơng pháp tiến hành HĐ trí tuệ phổ
biến trong môn Toán nh: HĐ t duy hàm, HĐ phân chia trờng
hợp...
+ Những tri thức về phơng pháp tiến hành những HĐ trí
tuệ chung nh: phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hoá,
trừu tợng hoá...


23

+ Những tri thức về phơng pháp tiến hành những HĐ
ngôn ngữ, lôgic nh: thiết lập mệnh đề đảo của một mệnh
đề cho trớc, liên kết hai mệnh đề thành tuyển hay hội của
chúng.
3) Nếu xem xét tri thức phơng pháp dới hình thức các
yếu tố cần hình thành phơng pháp cho HS có:
+ Tri thức quy trình.
Chẳng hạn: Quy trình chứng minh 3 điểm A, B, C thẳng
hàng nhờ định lý Talét:
Quy trình 1:
Bớc 1: Vẽ đờng thẳng qua B sao cho A và C nằm về hai
phía của .
Bớc 2: Vẽ AM // CN (M , N ).
Bớc 3: Chứng minh:

AM BM
=
CN
BN

Quy trình 2:
Bớc 1: Vẽ đờng thẳng qua A sao cho B, C cùng thuộc
nửa mặt phẳng bờ là đờng thẳng .
Bớc 2: Vẽ BM // CN ((M , N ).
Bớc 3: Chứng minh:

AM BM
=
.
AN CN

+ ý tởng về phơng pháp giải bài toán.
ý tởng về giải quyết một công việc, sáng tạo ra một cái
mới... trong thời đại nền kinh tế tri thức, thời đại khoa học
công nghệ hiện nay đợc đánh giá rất cao. ý tởng chính là
khởi nguồn của mọi sáng tạo. Do vậy trong dạy học toán, đứng
trớc mỗi bài toán điều quan trọng và cần thiết là ngời GV


24

khéo léo giúp HS tìm đợc ý tởng giải bài toán, ý tởng trình
bày lời giải, ý tởng sáng tạo và phát triển bài toán. Có những
bài toán việc tìm ra ý tởng đã đợc xem là hoàn thành phần

lớn công việc.
Chẳng hạn: Cho A = 11 + 96 , B =

2 2
1+ 2 3

Không dùng máy tính bỏ túi hoặc bảng số hãy so sánh A
và B.
Có nhiều HS gặp bài toán dạng này là bắt tay ngay vào
biến đổi, rút gọn, đôi khi dẫn đến rối rắm và bế tắc mà
không biết đợc việc cần làm đầu tiên là tìm ra các phơng
pháp giải và chọn đợc phơng pháp giải phù hợp nhất, tức là
tìm đợc ý tởng giải.
ý tởng giải bài toán này nh sau: Để so sánh A và B ta dùng
các phép biến đổi đơn giản nh đa thừa số ra ngoài dấu
căn, trục căn thức ở mẫu... biến đổi A, B thành những biểu
thức đơn giản hơn sau đó có thể làm nh sau:
- Xét hiệu A B, nếu A B 0 thì A B
- So sánh A và B với C, nếu A C B thì A B
- Vì A và B đều dơng nên có thể so sánh A2 và B2.
+ Tri thức lý thuyết biến thành tri thức phơng pháp.
Chúng ta biết rằng tri trhức phơng pháp luôn bám vào tri
thức sự vật, tri thức sự vật đợc thể hiện thành tri thức lí
thuyết. Do đó đứng trớc một tri thức lý thuyết ngời GV cần
nhìn thấy tất cả các tri thức phơng pháp ẩn tàng trong đó và
chọn lọc các tri thức phơng pháp phù hợp để truyền thụ cho HS.


25

Chẳng hạn: Từ định nghĩa: Căn bậc hai của số a không âm
là số x sao cho x2 = a ta rút ra tri thức phơng pháp tìm căn
bậc hai của một số a nh sau:
Bớc 1: Kiểm tra a âm hay dơng.
Nếu a âm kết luận a không có căn bậc hai.
Nếu a không âm qua bớc 2.
Bớc 2: Tìm x và so sánh x2 với a.
Nếu x2 = a, kết luận x là căn bậc hai của a.
Nếu x2 a, kết luận x không là căn bậc hai của a.
+ Các bài toán phụ trở thành tri thức phơng pháp.
Trong tác phẩm nổi tiếng Giải bài toán nh thế nào?, Polya
cho rằng: Ví nh dòng sông nào cũng bắt nguồn từ những con
suối nhỏ, mỗi bài toán dù khó đến đâu cũng có nguồn gốc từ
những bài toán đơn giản, có khi rất quen thuộc đối với
chúng ta. Vì vậy, trong quá trình tìm tòi lời giải bài toán,
việc tìm hiểu xuất xứ của chúng sẽ giúp chúng ta nảy sinh ra
những ý chói lọi, đôi lúc còn tìm đợc đúng chìa khóa để
giải bài toán đó. Việc huy động đợc các bài toán phụ cũng là
một tri thức phơng pháp trong dạy học toán.
Chẳng hạn: Khi giải bài toán: Cho đờng tròn (O). Dây
BC cố định và điểm A thay đổi trên đờng tròn. Tìm quỹ
tích trực tâm H của tam giác ABC.
Đây là bài khó đối với HS lớp 9, tuy nhiên nếu HS biết dự
đoán và huy động các bài toán phụ có liên quan thì sẽ giải
quyết đợc bài toán này.