Một phương pháp lặp xoay vòng tổng quát giải bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm của bài toán điểm bất động chung tách

„I HÅC THI NGUY–N

TR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC

HO€NG THÀ PH×ÌNG

MËT PH×ÌNG PHP LP XOAY VÁNG TÊNG QUT
GIƒI B€I TON B‡T NG THÙC BI˜N PH…N
TR–N TŠP NGHI›M CÕA B€I TON
IšM B‡T ËNG CHUNG TCH

LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC

Chuy¶n ng nh: To¡n ựng dửng
MÂ số: 8 46 01 12
TP TH HìẻNG DN KHOA HC
1. PGS.TS. Trữỡng Minh Tuyản
2. TS. PhÔm Hỗng Trữớng

ThĂi Nguy¶n  2022


ii

Líi c£m ìn
T¡c gi£ xin gûi líi c£m ìn s¥u sưc tợi PGS.TS. Trữỡng Minh Tuyản, TS.
PhÔm Hỗng Trữớng  luổn tên tẳnh hữợng dăn, ch bÊo v giúp ù tĂc giÊ
trong suốt quĂ trẳnh hồc têp nghiản cựu  hon thnh luên vôn.
TĂc giÊ cụng xin gỷi lới cÊm ỡn chƠn thnh v sƠu sưc tợi cĂc thƯy, cổ trong
khoa ToĂnTin, trữớng Ôi hồc Khoa hồc, Ôi hồc ThĂi Nguyản  giÊng dÔy
v giúp ù tĂc giÊ trong thới gian hồc têp v nghiản cựu tÔi trữớng.

Qua Ơy tĂc giÊ xin chƠn thnh cÊm ỡn tợi ngữới thƠn trong gia ẳnh, bÔn
b v ỗng nghiằp  luổn ởng viản tÔo iÃu kiằn giúp ù tổi và mồi mt trong
suốt quĂ trẳnh hồc têp v thỹc hiằn luên vôn ny.


iii

Mửc lửc
Mởt số kỵ hiằu v viát tưt

iv

M Ưu

1

Chữỡng 1 Mởt số kián thực chuân b

4

1.1

Mởt số c trững cừa khæng gian Hilbert . . . . . . . . . . . . .

1.2

nh xÔ khổng giÂn

1.3

ToĂn tỷ ìn i»u

4

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.4

BĐt ng thực bián phƠn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

1.5

Bi toĂn chĐp nhên tĂch a têp Ưu ra . . . . . . . . . . . . . .

22

1.6

Mët sè bê · bê trñ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

Ch÷ìng 2 Thuªt to¡n l°p xoay váng têng qu¡t v  sü hëi tư
2.1

Ph¡t biºu b i to¡n

2.2

Thuªt to¡n v  sü hëi tư

2.3

Mët sè ùng döng

2.4

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24
24

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

2.3.1

Bi toĂn chĐp nhên tĂch vợi a têp Ưu ra . . . . . . . .

35

2.3.2

B i to¡n khổng im chung tĂch vợi a têp Ưu ra

. . .

35

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

Vẵ dử số minh hồa

Kát luên

40

Ti li»u tham kh£o

41


iv

Mởt số kỵ hiằu v viát tưt

H

khổng gian Hilbert

., .

tẵch vổ hữợng trản

.

chuân trản



php hủp



php giao

R+

têp cĂc số thỹc khổng Ơm

G(A)

ỗ th cừa toĂn tỷ

D(A)

miÃn xĂc nh cừa toĂn tỷ

R(A)

miÃn £nh cõa to¡n tû

A−1

to¡n tû ng÷đc cõa to¡n tû

IH

to¡n tû ỗng nhĐt trản



têp rộng

x

vợi mồi

x

tỗn tÔi

xn x0

dÂy

{xn }

hởi tử mÔnh vÃ

xn x0

dÂy

{xn }

hởi tử yáu vÃ

Fix(T )

têp im bĐt ởng cừa Ănh xÔ

H

H

A
A

A
A

H

x
x

x0

x0
T


1

M Ưu
Bi toĂn BĐt ng thực bián phƠn ữủc nÊy sinh trong quĂ trẳnh nghiản
cựu v giÊi cĂc bi toĂn thỹc tá nhữ bi toĂn cƠn bơng trong kinh tá, ti chẵnh,
bi toĂn mÔng giao thổng, lỵ thuyát trỏ chỡi, phữỡng trẳnh vêt lỵ toĂn ... Bi
toĂn ny ữủc giợi thiằu lƯn Ưu tiản bi Hartman v Stampacchia vo nôm
1966 trong ti liằu [5]. Bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn trong khổng gian
hỳu hÔn chiÃu, cụng nhữ vổ hÔn chiÃu cũng vợi cĂc ựng dửng cừa nõ ữủc giợi
thiằu kh¡ chi ti¸t trong cuèn s¡ch An Introduction to Variational Inequalities
and Their Applications cõa D. Kinderlehrer v  G. Stampacchia xu§t bÊn nôm
1980 [6].
Tứ õ, bi toĂn bĐt ng thực biản phƠn ữủc nghiản cựu v phĂt trin
mÔnh m, thu hút sỹ ữủc sỹ quan tƠm cừa nhiÃu ngữới lm toĂn trong v
ngoi nữợc. Mởt trong nhỳng hữợng nghiản cựu quan trồng cừa bi toĂn bĐt
ng thực bián phƠn l viằc xƠy dỹng cĂc phữỡng phĂp giÊi. Cõ nhiÃu phữỡng
phĂp giÊi  ữủc à xuĐt nhữ phữỡng phĂp gradient, gradient tông cữớng hay
phữỡng phĂp im bĐt ởng, phữỡng phĂp ữớng dốc nhĐt ...
Bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn ữủc phĂt biu nhữ sau: Tẳm mởt phƯn
tỷ

x C ,

sao cho

F(x ), x − x∗ ⟩ ≥ 0, ∀x ∈ C,
trong õ

F

l mởt Ănh xÔ liản tửc tứ khổng gian Hilbert

kỵ hi»u b i to¡n n y l 

VIP(C, F).

(0.1)

H

v o ch½nh nâ v  ta

B i toĂn ny cõ ỵ nghắa quan trồng trong

viằc giÊi bi toĂn tối ữu lỗi cõ rng buởc v mởt trữớng hủp c biằt l bi toĂn
chĐp nhên lỗi nời tiáng. Ta xem mội têp

C

l têp im bĐt ởng cừa php chi¸u


2
mảtric

PC

tứ

H

lản

C,

do õ bi toĂn trản cõ th xem nhữ bi toĂn bĐt ng

thực bián phƠn trản têp im bĐt ởng cừa Ănh xÔ khổng giÂn.
Nôm 2001, Yamada [17] Â giợi thiằu phữỡng phĂp ữớng dốc nhĐt lai ghp
giÊi bi toĂn (0.1), trong õ
mÔnh v

C

F : H H

l mởt toĂn tỷ Lipschitz, ỡn iằu

l têp im bĐt ởng chung cừa mởt hồ hỳu hÔn Ănh xÔ khổng giÂn

T1 , T2 , ..., TN ,

tực l,

C = N
i=1 Fix(Ti )

(nh lỵ 1.4.5).

Nôm 2020, Reich v Tuyen [12] Â Ã xuĐt v nghiản cựu mổ hẳnh sau: Cho

X , X1 , X2 , . . . , XN
i = 1, 2, . . . , N ,
trữợc trản
sao cho
toĂn

x

(Pi )

X

l cĂc khổng gian Hilbert hay Banach v cho

l cĂc Ănh xÔ tứ

v

Xi ,

X

vo

tữỡng ựng vợi

Xi .

i = 1, 2, . . . , N .

(P ), (Pi ),

i = 1, 2, . . . , N .

l  mët nghi»m cõa B i to¡n

vỵi

Gi£ sû

(P )

v 

Ti : X −→ Xi ,

l  c¡c b i to¡n cho

Tẳm mởt phƯn tỷ

Ti (x )

x X

l mởt nghiằm cõa B i

Hå gåi mỉ h¼nh b i to¡n n y l  b i toĂn tĂch vợi

a têp Ưu ra. Khi cĂc bi toĂn

(P ), (Pi )

l cĂc bi toĂn im bĐt ởng thẳ ta

nhên ữủc bi toĂn im bĐt ởng chung tĂch vợi a têp Ưu ra.
Mửc ẵch cừa luên vôn ny l trẳnh by mởt phữỡng phĂp lp xoay vỏng
tờng quĂt  tẳm nghiằm cừa bĐt ng thực bián phƠn trản têp nghiằm cừa bi
toĂn im bĐt ởng chung tĂch vợi a têp Ưu ra, ối vợi lợp Ănh xÔ khổng giÂn
trản khỉng gian Hilbert. Nëi dung n y ÷đc tham kh£o tø b i b¡o [13] cõa c¡c
t¡c gi£ Reich v  Tuyen. Nëi dung cừa luên vôn ữủc chia lm hai chữỡng chẵnh,
trong õ:

Chữỡng 1. Mởt số kián thực chuân b
Chữỡng ny têp trung trẳnh by lÔi mởt số tẵnh chĐt cỡ bÊn và khổng gian
Hilbert, php chiáu mảtric, Ănh xÔ khổng giÂn, toĂn tỷ ỡn iằu, bĐt ng thực
bián phƠn, bi toĂn chĐp nhên tĂch vợi a têp Ưu ra v cuối cịng l  mët sè
bê · bê trđ nh¬m phưc vư cho vi»c chùng minh sü hëi tư cõa hai thuªt toĂn
Chữỡng 2.

Chữỡng 2. Thuêt toĂn lp xoay vỏng tờng qu¡t v  sü hëi tư
Nëi dung cõa ch÷ìng n y · cêp án cĂc kát quÊ trong ti liằu [13] mởt thuêt
toĂn lp xoay vỏng tờng quĂt xĐp x nghiằm cừa bĐt ng thực bián phƠn vợi

3
Ănh xÔ giĂ l Lipschitz v ỡn iằu mÔnh, trản têp nghiằm cừa bi toĂn im
bĐt ởng chung tĂch vợi a têp Ưu ra. Tiáp theo, luên vôn cụng giợi thiằu ựng
dửng cừa thuêt toĂn cho hai lợp bi toĂn khĂc, õ l bi toĂn chĐp nhên tĂch
vợi a têp Ưu ra v bi toĂn khổng im chung tĂch vợi a têp Ưu ra. Cuối
cũng, trong chữỡng ny, l mởt vẵ dử số ữủc tẵnh toĂn trản MATLAB nhơm
minh hồa thảm cho tẵnh khÊ dửng cừa thuêt toĂn.


4

Chữỡng 1
Mởt số kián thực chuân b
Chữỡng ny bao gỗm 6 mửc chẵnh. Mửc 1.1 Ã cêp án mởt số °c tr÷ng
cì b£n cõa khỉng gian Hilbert thüc. Mưc 1.2 v Mửc 1.3, lƯn lữủt giợi thiằu sỡ
lữủc mởt số kát quÊ và Ănh xÔ khổng giÂn v toĂn tỷ ỡn iằu, cũng vợi mởt số
tẵnh chĐt cỡ bÊn. Mửc 1.4 à cêp án mởt số kát quÊ cỡ bÊn và bĐt ng thực
bián phƠn trong khổng gian Hilbert. Mửc 1.5 trẳnh by và bi toĂn chĐp nhên
tĂch vợi a têp Ưu ra trong khổng gian Hilbert. Mửc 1.6 Ã cêp án mởt số
bờ Ã bờ trủ, nhơm phửc vử viằc chựng minh cĂc nh lỵ chẵnh chữỡng sau
cừa luên vôn. Nởi dung cừa chữỡng ny phƯn lợn ữủc tham kh£o tø c¡c t i
li»u [1, 2, 7, 15].

1.1

Mët sè c trững cừa khổng gian Hilbert

Ta luổn giÊ thiát
hiằu l

., .

H

l khổng gian Hilbert thỹc vợi tẵch vổ hữợng ữủc kẵ

v chuân ữủc kẵ hiằu l

..

Trữợc hát, ta nhưc lÔi mởt c trững hẳnh hồc quan trồng cừa khổng gian
Hilbert.

Mằnh · 1.1.1. Trong khæng gian Hilbert thüc H ta luæn câ ¯ng thùc sau
∥x − y∥2 + ∥x − z∥2 = ∥y − z∥2 + 2⟨x − y, x − z⟩,
vỵi måi x, y, z ∈ H.


5
Chùng minh.

Thªt vªy, ta câ

∥y − z∥2 + 2⟨x − y, x − z⟩ = ⟨y, y⟩ + ⟨z, z⟩ + 2⟨x, x⟩ − 2⟨x, z⟩ − 2⟨x, y⟩
= [⟨x, x⟩ − 2⟨x, y⟩ + ⟨y, y⟩]
+ [⟨x, x⟩ − 2⟨x, z⟩ + ⟨z, z⟩]
= ∥x − y∥2 + ∥x z2 .
Vêy ta ữủc iÃu phÊi chựng minh.

Mằnh à 1.1.2. Cho H

l  mët khæng gian Hilbert thüc. Khi â, vỵi måi

x, y ∈ H v  måi λ ∈ R, ta câ
∥λx + (1 − λ)y∥2 = λ∥x∥2 + (1 − λ)∥y∥2 − λ(1 − λ)∥x − y∥2 .
Chùng minh.

(1.1)

Ta câ

∥λx + (1 − λ)y∥2 = λ2 ∥x∥2 − 2λ(1 − λ)⟨x, y⟩ + (1 − λ)2 ∥y∥2
= λ∥x∥2 + (1 − λ)∥y∥2 − λ(1 − λ)(∥x∥2 − 2⟨x, y⟩ + ∥y∥2 )
= λ∥x∥2 + (1 − λ)∥y∥2 − λ(1 − λ)∥x − y∥2 .
Ta ÷đc i·u ph£i chùng minh.

M»nh · 1.1.3. Cho

H l  mët khæng gian Hilbert thüc. Khi õ, náu vợi

x, y H thọa mÂn iÃu kiằn
|x, y⟩| = ∥x∥.∥y∥,
tùc l  b§t ¯ng thùc Schwars x£y ra dĐu bơng, thẳ hai vc tỡ x v y l phử thuởc
tuyán tẵnh.
Chựng minh.

GiÊ sỷ ngữủc lÔi rơng

x = y

vợi mồi

R. Khi õ, tứ tẵnh chĐt

cừa tẵch vổ hữợng, ta cõ

0 < x y2 = 2 y2 − 2λ⟨x, y⟩ + ∥x∥2 ,


6
R. Ta thĐy rơng náu y = 0, thẳ hin nhiản x v y l phử thuởc tuyán
x, y⟩
Gi£ sû y ̸= 0, khi â vỵi λ =
, thẳ bĐt ng thực trản tr thnh
y2

vợi mồi
tẵnh.

|x, y| < x.y,
iÃu ny mƠu thuăn vợi giÊ thiát. Vêy

x

v

y

l phử thuởc tuyán tẵnh.

Mằnh à ữủc chựng minh.

{xn }

Nhưc lÔi rơng, dÂy
và phƯn tỷ

x H,

trong khổng gian Hilbert

H

ữủc gồi l hởi tử yáu

náu

lim xn , y = x, y,

n
vợi mồi

y H.

xn x.

Tứ tẵnh liản tửc cừa tẵch vổ hữợng, suy ra náu

thẳ

Tuy nhiản, iÃu ngữủc lÔi khổng úng. Chng hÔn, xt khổng gian

l2 = {{xn } R :

P

2
n=1 |xn |

< ∞}

en = (0, ..., 0,
vỵi måi

xn → x,

n ≥ 1.

Khi â,

en ⇀ 0,

khi

v 

{en } ⊂ l2 ,

÷đc cho bi

1
, 0, ..., 0, ...),
v trẵ thự n
n .

Thêt vêy, vợi mội

y H,

tứ bĐt

ng thực Bessel, ta cõ


X

|en , y⟩|2 ≤ ∥y∥2 < ∞.

n=1
Suy ra

limn→∞ ⟨en , y⟩ = 0,

en = 1

vợi mồi

tực l

en 0.

Tuy nhiản,

{en }

khổng hởi tử vÃ

0,

vẳ

n 1.

Ta biát rơng mồi khổng gian Hilbert

H

Ãu thọa mÂn iÃu kiằn cừa Opial,

tẵnh chĐt ny ữủc th hiằn trong mằnh à dữợi Ơy:

Mằnh à 1.1.4. Cho H l  mët khæng gian Hilbert thüc v  {xn} H l mởt
dÂy bĐt ký thọa mÂn iÃu kiằn xn ⇀ x, khi n → ∞. Khi â, vỵi måi y ∈ H v 

y ̸= x, ta câ
lim inf ∥xn − x∥ < lim inf ∥xn − y∥.
n→∞

n→∞

(1.2)


7
Chựng minh.

Vẳ

xn x,

nản

{xn }

b chn.

Ta cõ

xn y2 = ∥xn − x∥2 + ∥x − y∥2 + 2⟨xn − x, x y.
Vẳ

x = y ,

nản

lim inf xn y∥2 > lim inf (∥xn − x∥2 + 2⟨xn − x, x − y⟩)
n→∞

n→∞

= lim inf ∥xn − x∥2 .
n→∞

Do õ, ta nhên ữủc

lim inf xn x < lim inf ∥xn − y∥.
n→∞

n→∞

M»nh · ÷đc chùng minh.

M»nh · 1.1.5. Mồi khổng gian Hilbert thỹc H Ãu cõ tẵnh chĐt Kadec-Klee,
tực l náu {xn } H l mởt dÂy bĐt ký trong H thọa mÂn cĂc iÃu kiằn xn ⇀ x
v  ∥xn ∥ → ∥x∥, th¼ xn → x, khi n → ∞.
Chùng minh.

Ta câ

∥xn − x∥2 = ∥xn ∥2 − 2⟨xn , x⟩ + ∥x∥2 → 0, n → ∞.
Suy ra

xn → x,

khi

n → ∞.

M»nh · ÷đc chùng minh.

Mằnh à 1.1.6. Cho C l mởt têp con lỗi v  âng cõa khỉng gian Hilbert thüc
H. Khi â, vỵi mội x H, tỗn tÔi duy nhĐt phƯn tỷ PC x ∈ C sao cho
∥x − PC x∥ ≤ x y vợi mồi y C.
Chựng minh.

Thêt vêy, °t

∥x − un ∥ −→ d, n −→ ∞.

d = inf x u.
uC

Khi õ, tỗn tÔi

{un } C

Tứ â ta câ

2

∥un − um ∥2 = ∥(x − un ) − (x − um )∥
2

2

= 2∥x − un ∥ + 2∥x − um ∥ − 4∥x −

un + um 2
∥

2

sao cho


8
2

2

≤ 2(∥x − un ∥ + ∥x − um ∥ ) − 4d2 −→ 0,
khi

n, m −→ ∞.

u = lim un C .
n

tỗn tÔi

vC

{un }

Do õ

x v = d.

Suy ra tỗn tÔi

x u = d.

Do chuân l hm số liản tửc nản

sao cho

H.

l dÂy Cauchy trong

GiÊ sỷ

Ta câ

2

∥u − v∥ = ∥(x − u) − (x − v)∥

2

2

u+v 2
∥
2

2

= 2(∥x − u∥ + ∥x − v∥ ) 4x
0.

Suy ra

u = v.

Vêy tỗn tÔi duy nhĐt mởt phƯn tỷ

PC x C

sao cho

x PC x∥ = inf u∈C ∥x − u∥.

ành ngh¾a 1.1.7.
PC x C

Php cho tữỡng ựng mội phƯn tỷ

x H

xĂc nh nhữ trản ữủc gồi l php chiáu mảtric tứ

Vẵ dö 1.1.8.

Cho

C = {x ∈ H : ⟨x, u⟩ = y},
PC x = x +

Vẵ dử 1.1.9.
cho trữợc v

Cho

R

vợi

y ⟨x, u⟩
∥u∥

2

C = {x ∈ H : ∥x − a∥ R},

u = 0.

H

mởt phƯn tỷ

lản

C.

Khi õ

u.

trong õ

aH

l mởt phƯn tû

l  mët sè d÷ìng. Khi â, ta câ:

PC x =



x

∥x − a∥ ≤ R,
R

a +
(x − a) n¸u ∥x − a > R.
x a
náu

Mằnh à dữợi Ơy cho ta mởt iÃu kiằn cƯn v ừ  Ănh xÔ

PC : H C

l

mởt php chiáu mảtric.

Mằnh à 1.1.10. Cho C l mởt têp con lỗi õng cừa khổng gian Hilbert thüc
H. Khi â, i·u ki»n c¦n v  õ º ¡nh xÔ PC : H C l php chiáu mảtric tø

H l¶n C l 
⟨x − PC x, PC x − y⟩ ≥ 0 vỵi måi x ∈ H v  y ∈ C.

(1.3)


9
Chựng minh.
mồi

GiÊ sỷ

t (0, 1),

ta cõ

PC

l php chiáu mảtric. Khi â vỵi måi

ty + (1 − t)PC x ∈ C .

x ∈ H, y ∈ C

v 

Do â, tø ành nghắa cừa php chiáu

mảtric, suy ra

x PC x2 ∥x − ty − (1 − t)PC x∥2 ,
vỵi måi

t (0, 1).

BĐt ng thực trản tữỡng ữỡng vợi

x PC x∥2 ≤ ∥x − PC x∥2 − 2t⟨x − PC x, y − PC x⟩ + t2 ∥y − PC x∥2 ,
vỵi måi

t ∈ (0, 1).

Tø â, ta câ

t
⟨x − PC x, PC x − y⟩ ≥ − ∥y − PC x∥2 ,
2
vỵi måi

t ∈ (0, 1).

Cho

t → 0+ ,

ta nhên ữủc

x PC x, PC x y 0.
Ngữủc lÔi, giÊ sỷ

x PC x, PC x − y⟩ ≥ 0
Khi â, vỵi méi

x∈H

v 

y ∈ C,

vỵi måi

x∈H

v 

y ∈ C.

ta câ

∥x − PC x∥2 = ⟨x − PC x, x − y + y − PC x⟩
= ⟨x − PC x, y − PC x⟩ + ⟨x − PC x, x − y⟩
≤ ∥x − y∥2 + ⟨y − PC x, x − PC x + PC x − y⟩
= ∥x − y∥2 + ⟨y − PC x, x − PC x⟩ − ∥y − PC x∥2
≤ ∥x y2 .
Suy ra

PC

l php chiáu mảtric tứ

H

lản

C.

Tứ mằnh à trản, ta cõ hằ quÊ dữợi Ơy:

Hằ quÊ 1.1.11. Cho C l mởt têp con lỗi õng cừa khổng gian Hilbert H v
PC l php chiáu mảtric tứ H lản C . Khi â, ta câ c¡c kh¯ng ành sau:


10
a)

vỵi måi x, y ∈ H , ta câ

∥PC x − PC y∥2 ≤ ⟨x − y, PC x − PC y⟩;
b)

vỵi måi x ∈ H v  y ∈ C , ta câ

∥x − y∥2 ≥ ∥x − PC x∥2 + ∥y − PC x∥2 .
Chùng minh.

a) Vỵi måi

x, y ∈ H,

tø M»nh · 1.1.10, ta câ

⟨x − PC x, PC y − PC x⟩ ≤ 0,
⟨y − PC y, PC x − PC y⟩ ≤ 0.
Cëng hai b§t ¯ng thực trản ta nhên ữủc iÃu phÊi chựng minh.
b) Vợi måi

x∈H

v 

y ∈ C,

tø M»nh · 1.1.10, ta câ

⟨x − PC x, y − PC x⟩ ≤ 0.
Tø â, ta câ

∥x − y∥2 = ∥(x − PC x) − (y − PC x)∥2
= ∥x − PC x∥2 + ∥y − PC x∥2 − 2⟨x − PC x, y − PC x⟩
≥ ∥x − PC x∥2 + ∥y − PC x∥2 .
H» quÊ ữủc chựng minh.

Mằnh à 1.1.12. Náu C l mởt têp con lỗi v õng cừa khổng gian Hilbert H,
thẳ C l têp õng yáu.
Chựng minh.

C

thọa mÂn

GiÊ sỷ

xn x,

C

khổng l têp õng yáu. Khi õ, tỗn tÔi dÂy

những

tĂch cĂc têp lỗi, tỗn tÔi

x
/ C.

yH

v

Vẳ

>0

C

z C.

trong

l têp lỗi v õng, nản theo nh lỵ

sao cho

y, z < y, x − ε,
vỵi måi

{xn }

°c bi»t

⟨y, xn ⟩ < ⟨y, x⟩ − ε,


11
vợi mồi

n.

Cho

n ,

ta nhên ữủc

y, x y, x ,
iÃu ny l vổ lỵ. Do õ,

Chú ỵ 1.1.13.

C

Náu

C

l têp õng yáu.

l têp õng yáu trong

H

thẳ hin nhiản

C

l têp õng.

Tứ nh lỵ Banach-Alaoglu, ta cõ mằnh à dữợi Ơy:

Mằnh · 1.1.14. Måi tªp con bà ch°n cõa H ·u l têp compact tữỡng ối
yáu.

1.2

nh xÔ khổng giÂn

nh nghắa 1.2.1.
gian Hilbert thỹc
náu vợi mồi

Cho

H.

x, y C ,

C

l mởt têp con lỗi, õng v khĂc rộng cừa khổng

nh xÔ

T : CH

ữủc gồi l mởt Ănh xÔ khổng giÂn,

ta cõ

T x T y x y.
Ta kỵ hiằu têp im bĐt ởng cừa Ănh xÔ khổng giÂn

T

l

Fix(T ),

tực l

Fix(T ) = {x ∈ C : T x = x}.

M»nh à dữợi Ơy cho ta mổ tÊ và tẵnh chĐt cừa têp im bĐt ởng

Fix(T ).

Mằnh à 1.2.2. Cho C l mởt têp con lỗi, õng v khĂc rộng cừa khæng gian
Hilbert thüc H v  T : C → H l mởt Ănh xÔ khổng giÂn. Khi õ, Fix(T ) l mởt
têp lỗi v õng trong H.
Chựng minh.

GiÊ sỷ

Fix(T ) = .

Trữợc hát, ta ch ra
nản

T

liản tửc trản

xn x,

khi

C.

n .

Fix(T ) l têp õng. Thêt vêy, vẳ T
GiÊ sỷ

Vẳ

{xn }

l Ănh xÔ khổng giÂn

l mởt dÂy bĐt ký trong

{xn } ⊂ Fix(T ),

n¶n

∥T xn − xn ∥ = 0,

Fix(T )

thäa m¢n


12
vợi mồi

n 1.

T x x = 0,

Tứ tẵnh liản tửc cừa chuân, cho

tực l

x Fix(T ).

Do õ,

Tiáp theo, ta ch ra tẵnh lỗi cừa
v

T y = y.

[0, 1],

Vợi

tẵnh khổng giÂn cừa

T

t

Fix(T )

n ,

ta nhên ữủc

l têp õng.

Fix(T ). GiÊ sỷ x, y Fix(T ), tùc l  T x = x

z = λx + (1 − λ)y .

Khi â, tø M»nh · 1.1.2 v 

ta câ

∥T z − z∥2 = ∥λ(T z − x) + (1 − λ)(T z − y)∥2
= λ∥T z − x∥2 + ∥(1 − λ)(T z − y)∥2 − λ(1 − λ)∥x − y∥2
= λ∥T z − T x∥2 + (1 − λ)∥T z − T y∥2 − λ(1 − λ)∥x − y∥2
≤ λ∥z − x∥2 + (1 − λ)∥(z − y)∥2 − λ(1 − λ)∥x − y∥2
= ∥λ(z − x) + (1 − λ)(z − y)∥2 = 0.
Suy ra

Tz=z

v  do â

M»nh · 1.2.3

z ∈ Fix(T ).

(xem [4])

. Gi£ sû T

Vªy

Fix(T )

l mởt têp lỗi.

l mởt Ănh xÔ khổng giÂn tứ têp con lỗi,

õng v khĂc rộng C cừa khổng gian Hilbert thỹc H vo chẵnh nõ. Náu T cõ
im bĐt ëng, th¼ I H − T l  nûa âng, tùc l náu {xn } l mởt dÂy trong C hởi
tử yáu và phƯn tỷ x C v dÂy {(I H T )xn } hởi tử mÔnh và phƯn tû y , th¼ ta
câ (I H − T )x = y .
Chùng minh.

Gi£ sû

x−T x ̸= y . V¼ xn ⇀ x, n¶n xn −y ⇀ x−y . Do x−y ̸= T x,

n¶n tø M»nh · 1.1.4, ta câ

lim inf ∥xn − x∥ < lim inf ∥xn − y − T x∥
n→∞

n→∞

≤ lim inf (∥xn − T xn − y∥ + ∥T xn − T x∥)
n→∞

≤ lim inf ∥xn x.
n

Suy ra mƠu thuăn. Do õ,

x Fix(T ).
Bờ · ÷đc chùng minh.

x − T x = y.

°c bi»t, náu

y =0

thẳ

x = Tx

hay


13

1.3

ToĂn tỷ ỡn iằu

nh nghắa 1.3.1.

Mởt Ănh xÔ a tr

A : H → 2H

÷đc gåi l  mët to¡n tû

ìn i»u náu

u v, x y 0
vợi mồi

x, y ∈ H

v  måi

To¡n tû ìn i»u

A

(1.4)

u ∈ A(x), v ∈ A(y).

ữủc gồi l ỡn iằu cỹc Ôi náu ỗ th

G(A) = {(x, u) ∈ H × H : u ∈ A(x)}
khổng chựa thỹc sỹ trong ỗ th cừa bĐt kẳ toĂn tỷ ỡn iằu no khĂc trản

H.

Vẵ dử 1.3.2.

R.

ToĂn tỷ

A(x) = x3 + 2022

Thêt vêy, hin nhiản
cừa

R.

A

vợi

xR

l ỡn iằu cỹc Ôi trản

l mởt toĂn tỷ ỡn iằu trản

R.

Ta s ch ra ỗ th

A khổng l têp con thỹc sỹ cừa bĐt ký mởt toĂn tỷ ỡn iằu no khĂc trản

GiÊ sỷ tỗn tÔi mởt toĂn tỷ ỡn iằu

thỹc sỹ ỗ th cừa
những

A.

B

trản

Khi õ, tỗn tÔi phƯn tỷ

R

sao cho ỗ th cõa

x0 ∈ R

sao cho

B

chùa

(x0 , m) ∈ G(B),

(x0 , m)
/ G(A). Nhữ vêy s xÊy ra hai trữớng hủp ho°c A(x0 ) > m ho°c

A(x0 ) < m.
Tr÷íng hđp 1:
GiÊ sỷ
õ,

x1

A(x0 ) > m

l nghiằm cừa phữỡng trẳnh

x1 < x 0 .

A(x) = m,

tực l

Theo nh lỵ giĂ tr trung bẳnh, tỗn tÔi

A(x1 ) = m.

x2 (x1 , x0 )

Khi

sao cho

n = A(x2 ) ∈ (m, A(x0 )). Tø (x0 , m) ∈ G(B) v  (x2 , A(x2 )) ∈ G(A) ⊂ G(B), suy
ra

(x0 − x2 )(m − A(x2 )) 0.
Vẳ

x0 > x2 ,

nản

A(x2 ) m,

iÃu ny mƠu thuăn vợi

vêy, khổng th xÊy ra trữớng hủp
Trữớng hñp 2:
Gi£ sû
â,

x1

x1 > x 0 .

A(x2 ) ∈ (m, A(x0 )).

Nh÷

A(x0 ) > m.

A(x0 ) < m

l  nghi»m cõa phữỡng trẳnh

A(x) = m,

tực l

Theo nh lỵ giĂ tr trung bẳnh, tỗn tÔi

A(x1 ) = m.

x2 (x0 , x1 )

Khi

sao cho


14
n = A(x2 ) ∈ (A(x0 ), m). Tø (x0 , m) ∈ G(B) v  (x2 , A(x2 )) ∈ G(A) ⊂ G(B), suy
ra

(x0 − x2 )(m − A(x2 )) 0.
Vẳ

x0 < x2 ,

nản

A(x2 ) m,

iÃu ny mƠu thuăn vợi

vêy, khổng th xÊy ra trữớng hủp

A.

Vẵ dử 1.3.3.

Do õ,

A

B



x3

náu

chựa thỹc

R.

náu

x 0,

x < 0,

l ỡn iằu những khổng ỡn iằu cỹc Ôi trản

Thêt vêy, ró rng

ToĂn tỷ ỡn i»u

R(I + λA) = H

R.

A l  mët to¡n tû ìn iằu, những ỗ th cừa A l têp con

thỹc sỹ cừa ỗ th cừa toĂn tỷ ỡn iằu

Chú ỵ 1.3.4.

R sao cho ỗ th cừa B

ToĂn tỷ


0
xR

trản

l mởt toĂn tỷ ỡn iằu cỹc Ôi trản

A(x) =

vợi mồi

Nhữ

A(x0 ) < m.

Vêy khổng tỗn tÔi toĂn tỷ ỡn iằu
sỹ ỗ th cừa

A(x2 ) ∈ (A(x0 ), m).

vỵi måi

λ > 0,

B(x) = x3

A : H 2H
Ơy

vợi mồi

x R.

l ỡn iằu cỹc Ôi khi v ch khi

R(I + A)

l miÃn Ênh cừa

I + A.

Tứ chú ỵ trản ta cõ mởt vẵ dử khĂc dữợi Ơy và toĂn tỷ ỡn iằu cỹc Ôi:

Vẵ dử 1.3.5.

Cho

T : HH

l mởt Ănh xÔ khổng giÂn, tùc l 

∥T x − T y∥ ≤ ∥x − y∥,
vỵi mồi

x, y H.

Khi õ

l Ănh xÔ ỗng nhĐt trản
Thêt vêy, vợi mồi

A=I T

l mởt toĂn tỷ ỡn iằu cỹc Ôi, Ơy

I

H.

x, y H,

ta cõ

A(x) A(y), x − y⟩ = ∥x − y∥2 − ∥T x − T y∥2 ≥ 0,
suy ra

A

l  mët to¡n tû ìn i»u.

Ti¸p theo, ta ch ra tẵnh cỹc Ôi cừa

A.

Vợi mội

>0

v mội

y H,

xt

phữỡng trẳnh

A(x) + x = y.

(1.5)


15
Phữỡng trẳnh trản tữỡng ữỡng vợi

x=
Xt Ănh xÔ

f : HH

1

(T x + y).
1+

bi

f (x) =
x H.

vợi mồi

(1.6)

Dạ thĐy,

f

1
(T x + y),
1+

l Ănh xÔ co vợi hằ số co l


(0, 1).
1+

Do õ,

theo nguyản lỵ Ănh xÔ co Banach, phữỡng trẳnh (1.6) cõ duy nhĐt nghiằm. Suy
ra, phữỡng trẳnh (1.5) cõ duy nhĐt nghiằm.

Vêy

A

l mởt toĂn tỷ ỡn iằu cỹc Ôi.

nh nghắa 1.3.6.

A : H 2H

Cho

JrA = (I + rA)1 , r > 0

Ănh xÔ

Mằnh à 1.3.7. Cho A :

l mởt toĂn tỷ ỡn iằu cỹc Ôi. Khi õ,

ữủc gåi l  gi£i cõa

A.

H → 2H l  mët to¡n tû ỡn iằu cỹc Ôi. Khi õ,

vợi mồi r > 0, toĂn tỷ giÊi JrA cừa A l mởt Ănh xÔ ìn trà, khỉng gi¢n v 

A(x) ∋ 0 khi v  ch¿ khi JrA (x) = x.
Chùng minh.

gi¡ trà

y

v 

z.

Thªt vªy, gi£ sû tỗn tÔi

xH

sao cho

JrA (x)

nhên ẵt nhĐt hai

Tứ nh nghắa cừa to¡n tû gi£i, suy ra

x − y ∈ rA(y), x − z ∈ rA(z).
Tø t½nh ìn i»u cõa

A,

suy ra

⟨(x − y) − (x − z), y − z⟩ ≥ 0.
Suy ra,

∥y − z∥2 ≤ 0.

Ti¸p theo, ta ch¿ ra

z1 = JrA (x)

v

Do õ,

JrA

y = z.

Vêy

JrA

l mởt Ănh xÔ ỡn tr.

l mởt Ănh xÔ khổng giÂn. Vợi mồi

z2 = JrA (y),

tực l 

x − z1 ∈ rA(z1 ), y − z2 ∈ rA(z2 ).
Tø t½nh ìn i»u cõa

A,

ta câ

⟨x − z1 − y + z2 , z1 − z2 ⟩ ≥ 0.

x, y ∈ H,

°t


16
Suy ra

∥z1 − z2 ∥2 ≤ ⟨x − y, z1 − z2 ⟩ ≤ ∥x − y∥.∥z1 − z2 ∥.
Do â,

∥z1 − z2 ∥ ≤ ∥x − y∥,

Gi£ sû

x = JrA (x).

Nhên xt 1.3.8.

hay

JrA

l mởt Ănh xÔ khổng giÂn.

iÃu ny tữỡng ữỡng vợi

x x + rA(x)

hay

A(x) 0.

Tứ cĂc M»nh · 1.2.2 v  M»nh · 1.3.7, suy ra tªp khổng

im cừa mởt toĂn tỷ ỡn iằu cỹc Ôi l têp lỗi v õng.

Mằnh à 1.3.9. Vợi mồi số dữỡng λ v  µ, ta ln câ ¯ng thùc sau
JλA x = JµA
Chùng minh.

µ
λ

x+ 1−

µ
A 
J x , x ∈ H.


(1.7)

Thêt vêy, t

y=

JàA

à

à
A 
x + 1 J x , z = JλA (x).
λ
λ

Suy ra,


µ
µ
x+ 1−
z ∈ y + àA(y), x z + A(z).


Tứ tẵnh ỡn iằu cõa

A,

suy ra

⟨µx + (λ − µ)z − λy − µx + àz, y z 0,
tữỡng ữỡng vợi

y z∥2 ≥ 0.

Suy ra,

y =z

v  do â ta ÷đc i·u ph£i

chùng minh.

M»nh · 1.3.10. Cho H l  mët khæng gian Hilbert v  A :

H → 2H l  mët

to¡n tû ìn iằu cỹc Ôi vợi A1 0 = v cho JrA l  to¡n tû gi£i cõa A vỵi

r > 0. Khi â, vỵi måi r, λ > 0, ta câ
1 A
1
∥Jr x − JλA JrA x∥ ≤ ∥x − JrA x∥,
λ
r
vỵi måi x ∈ D(A).
Chùng minh.

Theo M»nh · 1.3.9, ta câ

JrA x = JλA



λ
λ

x + (1 − )JrA x .
r
r


17
Do õ, tứ tẵnh khổng giÂn cừa

JA

(xem Mằnh à 1.3.7), ta câ



1 A
1
λ
λ
∥Jr x − JλA JrA x∥ = ∥JλA x + (1 − )JrA x − JλA JrA x∥
λ
r
r
r
1
≤ ∥x − JrA x∥.
r
M»nh · ÷đc chùng minh.

M»nh · 1.3.11. Cho A :

D(A) ⊂ H → 2H l  mët to¡n tû ìn i»u. Khi â

c¡c kh¯ng ành sau l  óng.
i)

Vỵi r ≥ s > 0, ta câ

∥x − JsA x∥ ≤ 2∥x − JrA x∥
vỵi måi x ∈ R(I H + rA) ∩ R(I H + sA).
ii)

Vỵi måi r > 0 v  måi x, y ∈ R(I H + rA), ta câ

⟨x − y, JrA x − JrA y⟩ ≥ ∥JrA x − JrA y∥2 .
iii)

Vỵi måi r > 0 v  måi x, y ∈ R(I H + rA), ta câ

⟨(I H − JrA )x − (I H − JrA )y, x − y⟩ ≥ ∥(I H − JrA )x − (I H − JrA )y∥2 .
iv)

N¸u S = A−1 (0) = , thẳ vợi mồi x S v x ∈ R(I H + rA), ta câ

∥JrA x − x∗ ∥2 ≤ ∥x − x∗ ∥2 − ∥x − JrA x∥2 .
Chùng minh.

i) Tø ¯ng thùc (1.7), ta nhªn ÷đc

∥x − JsA (x)∥ ≤ ∥x − JrA (x)∥ + ∥JrA (x) − JsA (x)∥
s
s

= ∥x − JrA (x)∥ + ∥JsA ( x + (1 − )JrA (x)) − JsA (x)∥
r
r
s
≤ ∥x − JrA (x)∥ + (1 − )∥x − JrA (x)∥
r
≤ 2∥x − JrA (x)∥.


18
ii) °t

u = JrA x

v 

v = JrA y .

Do â, tø t½nh ìn i»u cõa

Khi â, ta câ

A,

x ∈ u + rA(u)

v 

y ∈ v + rA(v).

ta thu ÷đc

1
⟨u − v, x u (y v) 0.
r
Vẳ vêy, ta câ

⟨x − y, u − v⟩ ≥ ∥u − v∥2 ,
tùc l ,

⟨x − y, JrA x − JrA y⟩ ≥ ∥JrA x − JrA y∥2 .
iii) Ta câ

⟨(I H − JrA )x − (I H − JrA )y, x − y⟩
= ⟨(I H − JrA )x − (I H − JrA )y, (I H − JrA )x − (I H − JrA )y
+ (JrA x − JrA y)⟩
= ∥(I H − JrA )x − (I H − JrA )y∥2
+ ⟨(I H − JrA )x − (I H − JrA )y, JrA x − JrA y⟩
= ∥(I H − JrA )x − (I H − JrA )y∥2
+ ⟨x − y, JrA x − JrA y⟩ − ∥JrA x − JrA y∥2 .
Tø ii) suy ra

⟨(I H − JrA )x − (I H − JrA )y, x − y⟩ ≥ ∥(I H − JrA )x − (I H − JrA )y∥2 .
iv) Vẳ

x A1 (0),

nản

x Fix(JrA ).

Do õ, tứ iii) ta câ

∥JrA x − x∗ ∥2 = ∥JrA x − x + x − x∗ ∥2
= ∥x − x∗ ∥2 + ∥x − JrA x∥2 + 2⟨JrA x − x, x − x∗ ⟩
= ∥x − x∗ ∥2 + ∥x − JrA x∥2 − 2⟨x − JrA x, x − x∗ ⟩
= ∥x − x∗ ∥2 + ∥x − JrA x∥2
− 2⟨(I H − JrA )x − (I H − JrA )x∗ , x − x∗ ⟩
≤ ∥x − x∗ ∥2 + ∥x − JrA x∥2 − 2∥x − JrA x∥2


19
= ∥x − x∗ ∥2 − ∥x − JrA x∥2 .
Bờ Ã ữủc chựng minh.

1.4

BĐt ng thực bián phƠn

Cho

C

l mởt têp con lỗi v õng cừa khổng gian Hilbert

H

v

A : C H

l mởt Ănh xÔ liản tửc. Bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn ữủc phĂt biu nhữ
sau:
Tẳm

x C

sao cho

⟨Ax∗ , x − x∗ ⟩ ≥ 0
Tªp hđp nhỳng im
toĂn v kỵ hiằu l

x C

vợi mồi

x C.

(1.8)

thọa mÂn (1.8) ữủc gồi l têp nghiằm cừa bi

VIP(A, C).

Trữợc hát chúng ta nhưc lÔi mởt số khĂi niằm sau.
Cho
v 

H

l  mët khæng gian Hilbert thüc,

A : C −→ H

a) nh xÔ

A

l mởt Ănh xÔ tứ

C

vo

>0

A

l mởt têp lỗi õng khĂc rộng cừa

ữủc gồi l

sao cho vợi mồi

ỡn
x, y C

H

H.

ữủc gồi l giÊ ỡn iằu trản

Ay, x y 0
b) nh xÔ

C

suy ra

C

náu, vợi mồi

x, y C

ta cõ:

Ax, x y 0.

iằu mÔnh trản

C,

náu tỗn tÔi mët h¬ng sè

ta câ:

⟨Ax − Ay, x − y⟩ ≥ x y2 .

c) nh xÔ
hơng số

A

ữủc gồi l

>0

-ngữủc

sao cho vợi mồi

ỡn iằu mÔnh trản

x, y C

C,

náu tỗn tÔi mët

ta câ:

⟨Ax − Ay, x − y⟩ ≥ α∥Ax − Ay2 .
d) nh xÔ

A ữủc gồi l h-liản tửc trản C

sao cho vợi mồi

x, y C .

náu

A(x + ty) ⇀ A(x) khi t −→ 0+


20
e) nh xÔ

L>0

A ữủc gồi l L-liản tửc Lipschitz trản C , náu tỗn tÔi mởt hơng số

sao cho vợi måi

x, y ∈ C

ta câ:

∥Ax − Ay∥ ≤ L∥x − y.
Náu bĐt ng thực trản úng vợi
co vợi hằ số co l

Nhên xt 1.4.1.
thẳ Ănh xÔ

L=

L [0, 1)

thẳ

A

ữủc gồi l mởt Ănh xÔ

L.

Dạ dng thĐy rơng, náu Ănh xÔ

A l -ngữủc ỡn iằu mÔnh

A l mởt Ănh xÔ ỡn iằu v liản tửc Lipschitz vợi hơng số Lipschitz

1
.


Mằnh à dữợi Ơy cho ta biát và mởt trữớng hủp tỗn tÔi nghiằm cừa bi toĂn
bĐt ng thực bián phƠn.

Mằnh à 1.4.2. Cho C l mởt têp con lỗi, õng, khĂc réng v  bà ch°n cõa
khæng gian Hilbert H v  cho A : C −→ H l  mët to¡n tû ìn i»u, h-li¶n tưc.
Khi â, VIP(C, A) ̸= ∅.

M»nh · 1.4.3. Cho C l mởt têp con lỗi, õng v khĂc réng cõa khæng gian
Hilbert H v  cho A : C −→ H l  mët to¡n tû ìn i»u, h-li¶n tưc. Khi â,

x∗ ∈ VIP(C, A) khi v  ch¿ khi x∗ ∈ C v 

⟨Ay, y − x∗ ⟩ ≥ 0, ∀y ∈ C.
Chùng minh.

Gi£ sû

x∗ ∈ VIP(C, A),

Khi â, tø t½nh ìn i»u cõa

A,

tùc l 

⟨Ax∗ , y − x∗ ⟩ ≥ 0

vỵi måi

ta câ

⟨Ay, y − x∗ ⟩ = ⟨Ay − Ax∗ , y − x∗ ⟩ + ⟨Ax∗ , y x 0
vợi mồi

y C.

Ngữủc lÔi, giÊ sû

x∗ ∈ C

thäa m¢n

⟨Ay, y − x∗ ⟩ ≥ 0, ∀y ∈ C.

y ∈ C.


Vẳ

C

l têp lỗi, nản

21
yt = ty + (1 t)x C

vợi mồi

yC

v mồi

t (0, 1).

Do

õ, tứ bĐt ng thùc tr¶n, ta câ

⟨Ayt , t(y − x∗ )⟩ ≥ 0, t (0, 1).
tữỡng ữỡng vợi

Ayt , y x 0, t (0, 1).

Tứ tẵnh

h-liản

tửc cừa

A,

cho

t 0+ ,

ta nhên ữủc

Ax , y x ≥, ∀y ∈ C.
M»nh · ÷đc chùng minh.

M»nh · 1.4.4. Cho C l mởt têp con lỗi, õng v khĂc réng cõa khæng gian
Hilbert H v  cho A : C −→ H l  mët to¡n tû ìn i»u, h-li¶n tưc. Khi â,

x∗ ∈ VIP(C, A) khi v  ch¿ khi x∗ = PC (x∗ − λAx∗ ) vỵi måi λ > 0.
Chựng minh.

Suy ra trỹc tiáp tứ Mằnh à 1.1.10.

Nôm 2001 Yamada [17] Â nghiản cựu bĐt ng thực bián phƠn trản têp
im bĐt ởng chung cừa mởt hồ hỳu hÔn Ănh xÔ khổng giÂn trong khổng gian
Hilbert. Chẵnh xĂc hỡn, ổng  chựng minh nh lỵ sau.

nh lỵ 1.4.5.

[17, nh lỵ 3.3]

Cho Si : H H, i = 1, 2, ..., N , l cĂc Ănh

xÔ khổng giÂn vợi C = ∩N
i=1 Fix(Si ) ̸= ∅ v 

C = Fix(SN ...S1 ) = Fix(S1 SN ...S2 ) = ... = Fix(SN −1 ...S1 SN ).
Cho F :

(C)

H −→ H l  mởt Ănh xÔ L-Lipschitz v -ỡn iằu mÔnh trản

2
= N
i=1 Si (H). Khi õ, vợi bĐt ký à (0, 2/L ) v bĐt ký dÂy {tn } ⊂ (0, 1)

thäa m¢n
C1)

C2)

limn→∞ tn = 0,
P∞

n=0 tn

= ∞,