Phương pháp xấp xỉ mềm cải biên tìm một nghiệm chung của bài toán bất đẳng thức biến phân và bài toán điểm bất động

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
---------------------------

ĐỖ THỊ HỒNG HUỆ

PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ MỀM CẢI BIÊN
TÌM MỘT NGHIỆM CHUNG CỦA BÀI TOÁN
BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VÀ BÀI TOÁN
ĐIỂM BẤT ĐỘNG
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số : 8 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
1. TS. Nguyễn Song Hà
2. TS. Đinh Diệu Hằng

THÁI NGUYÊN - 2022


ii

LỜI CẢM ƠN
Sau một thời gian học tập và nghiên cứu, tác giả đã hoàn thành nội dung
luận văn "Phương pháp xấp xỉ mềm cải biên tìm một nghiệm chung của bài
toán bất đẳng thức biến phân và bài toán điểm bất động". Trong q tình
hồn thành luận văn, ngồi sự nỗ lực của bản thân, tác giả đã nhận được sự
giúp đỡ, động viên quý báu của nhiều cá nhân và tập thể.
Trước tiên, tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc tới Tiến sĩ
Nguyễn Song Hà và Tiến sĩ Đinh Diệu Hằng, là các thầy cô đã trực tiếp

hướng dẫn tác giả . Thầy và cô đã dành cho em nhiều thời gian, tâm sức, đã
cho em nhiều ý kiến, nhận xét quý báu, giúp em có thể hồn thành tốt nhất
luận văn này. Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành Ban chủ nhiệm và
tồn thể các q thầy cơ trong khoa Tốn - Tin, phịng Sau đại học trường
Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên đã hướng dẫn tận tình và tạo mọi
điều kiện trong quá trình tác giả học tập và hoàn thành luận văn.
Tiếp theo, tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban giám hiệu và tập
thể giáo viên trường THPT Chuyên Thái Bình đã tạo điều kiện thuận lợi
trong suốt quá trình tác giả học cao học. Cuối cùng, tác giả xin dành tất cả
sự yêu thương và lời cảm ơn vô hạn tới gia đình và người thân đã ln động
viên tác giả trong quá trình học tập và thực hiện luận văn.
Tác giả
Đỗ Thị Hồng Huệ


Mục lục

Trang bìa phụ

i

Lời cảm ơn

ii

Mục lục

ii

Danh mục ký hiệu và chữ viết tắt

iv

Danh sách bảng

v

Mở đầu

1

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
1.1. Một số tính chất cơ bản trên khơng gian Hilbert thực . . . . .

3
3

1.2. Ánh xạ không giãn và ánh xạ co . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Ánh xạ đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9
14

Chương 2. Phương pháp xấp xỉ mềm cải biên tìm một nghiệm
chung của bài tốn (VIP) và (FPP)
19
2.1. Mơ hình bài tốn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Phương pháp VISEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

26

2.3. Phương pháp VITEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4. Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35
37

Kết luận chung và đề nghị

41

Tài liệu tham khảo

42


Danh mục ký hiệu và chữ viết tắt

H

Không gian Hilbert thực

Rn

Khơng gian thực hữu hạn chiều

⟨x, y⟩

Tích vơ hướng của hai véctơ x và y

∀x

Với mọi x

∥x∥

Chuẩn của véctơ x

PC (x)

Phép chiếu mêtric phần tử x lên tập C

α↓0

α giảm dần về 0

∂f (x)

Dưới vi phân của ánh xạ f tại x

xn → x

Dãy {xn } hội tụ mạnh đến x khi n → +∞

∇f (x)

xn ⇀ x

Gradient của ánh xạ f tại x

Dãy {xn } hội tụ yếu đến x khi n → +∞

(VIP)

Bài toán bất đẳng thức biến phân

(FPP)

Bài toán điểm bất động

Sol(VIP(A, C))

Tập nghiệm của bài toán (VIP) với ánh xạ giá A
và miền hữu hiệu C

Fix(U )

Tập điểm bất động của ánh xạ U

VISEM

Phương pháp dưới đạo hàm-đạo hàm tăng cường
có qn tính kết hợp phương pháp xấp xỉ mềm

VITEM

Phương pháp đạo hàm tăng cường Tseng
có quán tính kết hợp phương pháp xấp xỉ mềm

Danh sách bảng

2.1
2.2
2.3
2.4

Kết quả tính tốn cho Phương pháp VISEM và VITEM với
x0 = (1, 3) và x1 = (11, 11) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

Kết quả tính tốn cho Phương pháp VISEM và VITEM với
x0 = (5, 1) và x1 = (100, 20) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

Kết quả tính tốn cho Phương pháp VISEM và VITEM với τ1 ,
µ và θ thay đổi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

Kết quả tính tốn cho Phương pháp VISEM và VITEM với τ1 ,
µ và θ thay đổi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40


Mở đầu

Nhiều vấn đề nảy sinh từ thực tiễn, thuộc nhiều lĩnh vực khác nhau, có thể
quy về mơ hình bài toán bất đẳng thức biến phân (VIP) và (hoặc) bài tốn
điểm bất động (FPP) dưới các giả thiết thích hợp [3, 4, 6]. Chẳng hạn, bài
tốn xử lí tín hiệu, khôi phục ảnh, phân phối băng thông, tối ưu tài ngun
mạng, các mơ hình tối ưu trong kinh tế, kĩ thuật ... Theo đó, vấn đề tìm phần
tử chung thuộc tập nghiệm của hai bài toán này là một trong những chủ đề
dành được sự quan tâm của nhiều khoa học trong và ngoài nước.
Trong những năm gần đây, sự phát triển của các phương pháp (thuật toán)
lặp hữu hiệu đã thu hút sự quan tâm rất lớn, đặc biệt là việc sử dụng kết
hợp thành phần quán tính, một kĩ thuật được dựa theo các mơ hình rời rạc
hóa của hệ động lực tiêu tán bậc hai. Các nghiên cứu mới đã xây dựng nhiều
phương pháp giải số hiệu quả khác nhau bằng cách kết hợp kĩ thuật đó với các
phương pháp đã biết như phương pháp lặp Mann, phương pháp Korpelevich,
phương pháp chiếu gradient, phương pháp đường dốc nhất, phương pháp xấp
xỉ mềm, phương pháp đạo hàm tăng cường, ... (xem [4] cùng các tài liệu dẫn).
Một trong những đặc điểm chung của các phương pháp này là lần lặp tiếp
theo phụ thuộc vào sự kết hợp của hai lần lặp trước đó. Những thay đổi nhỏ
này cũng cải thiện đáng kể hiệu suất của chúng.
Mục đích chính của luận văn là trình bày lại một kết quả mới đề xuất bởi
Tan và đồng sự công bố năm 2021 [4] theo hướng như vậy. Cụ thể, luận văn
sẽ trình bày phương pháp xấp xỉ mềm cải biên tìm nghiệm chung của bài
tốn bất đẳng thức biến phân đơn điệu, liên tục Lipschitz và bài toán điểm
bất động của ánh xạ nửa co trên không gian Hilbert.
Với mục tiêu như vậy, luận văn gồm mở đầu, hai chương, kết luận và tài
liệu tham khảo. Chương 1 dùng để hệ thống lại những kiến thức cơ bản về
giải tích lồi và giải tích hàm trên khơng gian Hilbert thực nhằm phục vụ cho


2

việc trình bày nội dung chính ở phần sau. Chương 2 dành để trình bày nội
dung và sự hội tụ của hai phương pháp xấp xỉ mềm cải biên tìm nghiệm
chung của bài tốn nêu trên. Bên cạnh đó, các ví dụ số sẽ được chúng tơi
xây dựng và chi tiết hóa nhằm làm rõ hơn các vấn đề lí thuyết mà luận văn
đề cập.


Chương 1

Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, chúng tôi hệ thống lại một số kiến thức cơ bản phục
vụ cho việc trình bày các nội dung chính ở phần sau của luận văn. Cấu trúc
của chương được chia thành ba phần: Mục 1.1 chúng tơi trình bày một số
tính chất cơ bản thường dùng trên không gian Hilbert thực. Mục 1.2 dành
để nhắc lại khái niệm cùng vài tính chất cốt yếu về các ánh xạ kiểu không
giãn và co. Phần cuối chương, Mục 1.3 dùng để giới thiệu về lớp ánh xạ loại
đơn điệu.
1.1.

Một số tính chất cơ bản trên khơng gian Hilbert thực

Xun suốt tồn bộ luận văn này, tích vơ hướng và chuẩn sinh bởi tích vơ
hướng tương ứng trên không gian Hilbert thực H, lần lượt được kí hiệu bởi
⟨·, ·⟩ và ∥ · ∥.

Trước hết, chúng tôi nhắc lại một số đẳng thức và bất đẳng thức cơ bản
thường dùng. Nội dung phần này tham khảo chủ yếu từ tài liệu [3].
Mệnh đề 1.1. (Bất đẳng thức Schwarz)
Trong khơng gian Hilbert H ta ln có

|⟨x, y⟩|2 ≤ ∥x∥2 ∥y∥2 ,

∀x, y ∈ H.

Chứng minh. Hiển nhiên y = 0 bất đẳng thức đúng. Giả sử y ̸= 0 và với mọi
t ∈ R ta có
⟨x + ty, x + ty⟩ ≥ 0.

Điều này dẫn đến ⟨x, x⟩ + 2t⟨x, y⟩ + t2 ⟨y, y⟩ ≥ 0. Chọn t = −

vào bất đẳng thức trên ta nhận được
⟨x, x⟩ −

|⟨x, y⟩|2
|⟨x, y⟩|2
≥ 0 ⇔ ∥x∥2 −
≥ 0.
⟨y, y⟩
∥y∥2

Từ đây suy ra điều cần chứng minh.

⟨x, y⟩
và thay
⟨y, y⟩


4

Mệnh đề 1.2. (Quy tắc hình bình hành)

Trong khơng gian Hilbert H ta ln có
∥x + y∥2 + ∥x − y∥2 = 2(∥x∥2 + ∥y∥2 ),

∀x, y ∈ H.

Chứng minh. Ta có
∥x + y∥2 = ∥x∥2 + 2⟨x, y⟩ + ∥y∥2 ,

∀x, y ∈ H,

∥x − y∥2 = ∥x∥2 − 2⟨x, y⟩ + ∥y∥2 ,

∀x, y ∈ H.

và
Cộng hai vế các đẳng thức trên ta có điều cần chứng minh.

Chú ý 1.1. [3] Cho H là một không gian định chuẩn thực. Nếu quy tắc hình
bình hành bảo đảm đối với chuẩn, tức là
∥x + y∥2 + ∥x − y∥2 = 2(∥x∥2 + ∥y∥2 ),

∀x, y ∈ H.

thì trên H tồn tại một tích vơ hướng sao cho ⟨x, x⟩ = ∥x∥2 . Do đó, một khơng

gian Hilbert là khơng gian định chuẩn có chuẩn thỏa mãn quy tắc hình bình
hành.
Mệnh đề 1.3. Trong khơng gian Hilbert H ta ln có
∥x + y∥2 ≤ ∥x∥2 + 2⟨x + y, y⟩,

∀x, y ∈ H.

Chứng minh. Ta có
∥x + y∥2 = ∥x∥2 + 2⟨x, y⟩ + ∥y∥2 ,

∀x, y ∈ H,

và
∥x∥2 + 2⟨x + y, y⟩ = ∥x∥2 + 2⟨x, y⟩ + 2∥y∥2 ,

Từ đây suy ra điều cần chứng minh.

∀x, y ∈ H.

Mệnh đề 1.4. Trong không gian Hilbert H ta ln có
∥αx+(1−α)y∥2 = α∥x∥2 +(1−α)∥y∥2 −α(1−α)∥x−y∥2 ,
Chứng minh. ∀x, y ∈ H, ∀α ∈ R, ta có
∥αx + (1 − α)y∥2 = ⟨αx + (1 − α)y, αx + (1 − α)y⟩

∀x, y ∈ H, ∀α ∈ R.


5

= α2 ⟨x, x⟩ + (1 − α)2 ⟨y, y⟩ + 2α(1 − α)⟨x, y⟩
= α⟨x, x⟩ + (1 − α)⟨y, y⟩

+ α(α − 1)⟨x, x⟩ − α(1 − α)⟨y, y⟩
+ 2α(1 − α)⟨x, y⟩

= α⟨x, x⟩ + (1 − α)⟨y, y⟩

+ α(1 − α)[⟨x, y⟩ − ⟨x, x⟩]

+ α(1 − α)[⟨x, y⟩ − ⟨y, y⟩]

= α∥x∥2 + (1 − α)∥y∥2

+ α(1 − α)[⟨x, y − x⟩ + ⟨x − y, y⟩]

= α∥x∥2 + (1 − α)∥y∥2 − α(1 − α)⟨x − y, x − y⟩

= α∥x∥2 + (1 − α)∥y∥2 − α(1 − α)∥x − y∥2 .
Mệnh đề được chứng minh.

Phần tiếp theo, chúng tôi dành để nhắc lại một số khái niệm và tính chất
tơpơ cần thiết sẽ dùng đến ở các phần tiếp sau.
Định nghĩa 1.1. Dãy {xn } các phần tử trong không gian Hilbert H được
gọi là
(i) hội tụ mạnh đến x ∈ H khi n tiến ra +∞ nếu
lim ∥xn − x∥ = 0,

n→+∞

và kí hiệu là xn → x.
(ii) hội tụ yếu đến x ∈ H khi n tiến ra +∞ nếu
lim ⟨xn , y⟩ = ⟨x, y⟩,

n→+∞

∀y ∈ H,

và kí hiệu là xn ⇀ x.
Chú ý 1.2. [3] Một dãy hội tụ mạnh là hội tụ yếu. Tuy nhiên, khẳng định
ngược lại nói chung khơng đúng. Chẳng hạn, hệ trực chuẩn trong khơng gian
Hilbert vơ hạn chiều bất kì là một dãy có tính chất như vậy.
Tuy nhiên, nếu khơng gian Hilbert H là hữu hạn chiều thì sự hội tụ mạnh
tương đương với sự hội tụ yếu.


6

Chú ý 1.3. [3] Giới hạn mạnh (yếu) nếu có của một dãy là duy nhất.
Chú ý 1.4. [3] Nếu xn ⇀ x thì {xn } bị chặn và ∥x∥ ≤ lim inf ∥xn ∥.
n→+∞

Mệnh đề 1.5. Trong không gian Hilbert H nếu các điều kiện sau bảo đảm
xn ⇀ x và ∥xn ∥ → ∥x∥ thì xn → x.
Chứng minh. Với mọi n ∈ N ta có
∥xn − x∥2 = ∥xn ∥2 + ∥x∥2 − 2⟨xn , x⟩.
Từ giả thiết suy ra
∥xn ∥2 → ∥x∥2

và ⟨xn , x⟩ → ∥x∥2 .

Do đó, ta nhận được
Hay suy ra xn → x.

∥xn − x∥2 → 0.

Định nghĩa 1.2. Tập con C trong không gian Hilbert thực H được gọi là
(i) tập bị chặn nếu với mọi x ∈ C đều tồn tại số thực dương M sao cho
∥x∥ ≤ M .
(ii) tập đóng nếu với mọi dãy {xn } ⊆ C, xn → x thì ta đều có x ∈ C.
(iii) tập mở nếu H\C là tập đóng.
(iv) tập compact nếu với mọi dãy {xn } ⊆ C đều tồn tại một dãy con {xnk }
thỏa mãn xnk → x và x ∈ C.
Chú ý 1.5. [3] Tập ∅ và H là tập vừa mở vừa đóng.

Chú ý 1.6. [3] Trong không gian hữu hạn chiều, một tập là compact khi và
chỉ khi nó đóng và bị chặn.
Ví dụ 1.1. Dưới đây là một vài ví dụ minh họa đơn giản cho các khái niệm
nêu trên.
(i) Hình cầu đơn vị mở
S(0, 1) = {x = (x1 , x2 ) ∈ R2 : x21 + x22 < 1}
là tập mở bị chặn.


7

(ii) Hình cầu đơn vị đóng
S[0, 1] = {x = (x1 , x2 ) ∈ R2 : x21 + x22 ≤ 1}
là tập compact.
(iii) Tập hợp
C = {x = (x1 , x2 ) ∈ R2 : x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x1 + x2 ≥ 1}
là tập đóng khơng bị chặn.
Định nghĩa 1.3. Tập C ⊆ H được gọi là tập lồi nếu với mọi x, y ∈ C và với
mọi λ ∈ [0, 1] ta có
λx + (1 − λ)y ∈ C.

Hay nói cách khác, tập C ⊆ H là tập lồi nếu nó chứa mọi đoạn thẳng nối hai
điểm bất kì thuộc nó.

Ví dụ 1.2. Các nửa khơng gian đóng, các hình cầu đóng trong H dưới đây
là các tập lồi
Hα = {x ∈ H : ⟨a, x⟩ ≤ α},
S[x0 , r] := {x ∈ H : ∥x − x0 ∥ ≤ r},
trong đó a, x0 ∈ H là các phần tử cố định, α và r > 0 là các số thực.
Ví dụ 1.3. Các tập hợp sau không lồi
C := {x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 : x21 + x22 + x23 > 1}
D := {x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 : x3 = x21 + x22 }
Một vài tính chất cơ bản về tập lồi được phát biểu trong mệnh đề sau đây.
Mệnh đề 1.6. [3]
Trong khơng gian Hilbert H, ta ln có
(i) Giao của một họ tùy ý các tập lồi là lồi.
(ii) Tổng của hai tập lồi là lồi.
(iii) Nếu C là tập lồi thì αC cũng là tập lồi với mọi số thực α.


8

Chú ý 1.7. Hợp của hai tập lồi không nhất thiết lồi. Chẳng hạn, nếu
C := {x = (x1 , x2 ) ∈ R2 : x1 ≥ 0, x2 ≥ 0}
D := {x = (x1 , x2 ) ∈ R2 : x1 ≤ 0, x2 ≤ 0}
thì ta thấy x = (0, 1) ∈ C và y = (−1, 0) ∈ D nhưng

1
1
x + y = (−0.5, 0.5) ∈
/ C ∪ D.

2
2

Mệnh đề 1.7. [3]
Cho C là tập con lồi đóng khác rỗng của H. Khi đó, với mỗi x ∈ H tồn
tại duy nhất một điểm y ∈ C thỏa mãn
∥x − y∥ = d(x, C),
với d(x, C) = inf ∥x − z∥.
z∈C

Chứng minh. Nếu x ∈ C thì chọn y = x. Nếu x ∈
/ C, khi đó vì C đóng nên
d := inf ∥x − z∥ > 0 và tồn tại một dãy {yn } ⊂ C sao cho
z∈C

∥x − yn ∥ → d.
Để ý rằng
∥yn − ym ∥2 = ∥(x − yn ) − (x − ym )∥2

= 2∥x − yn ∥2 + 2∥x − ym ∥2 − ∥2x − (yn + ym )∥2
2


y
+
y
n
m

= 2∥x − yn ∥2 + 2∥x − ym ∥2 − 4

x
−

2

≤ 2∥x − yn ∥2 + 2∥x − ym ∥2 − 4d2 ,
(vì C là tập lồi nên
ta nhận được

∀m, n ∈ N,

yn + ym
∈ C). Cho m, n → +∞ trong bất đẳng thức trên
2
∥yn − ym ∥ → 0.

Điều này suy ra {yn } là dãy Cauchy trong khơng gian Hilbert H. Do đó, tồn
tại giới hạn của dãy trên và giả sử rằng
yn → y.


9

Vì C là tập đóng nên y ∈ C. Hơn nữa, ta lại có
∥x − yn ∥ → ∥x − y∥.
Từ đó dẫn đến d = ∥x − y∥.

Cuối cùng, giả sử tồn tại z ∈ C thỏa mãn ∥x − z∥ = d. Khi đó, ta có
∥y − z∥2 = ∥(x − y) − (x − z)∥2

= 2∥x − y∥2 + 2∥x − z∥2 − ∥2x − (y + z)∥2
2



y
+
z
2
2

x
−
= 2∥x − y∥ + 2∥x − z∥ − 4

2

≤ 2d2 + 2d2 − 4d2 = 0.

Điều này suy ra y = z hay y là phần tử xác định duy nhất.
Chú ý 1.8. Điểm y ∈ C trong Mệnh đề 1.7 còn được gọi là xấp xỉ tốt nhất
của x ∈ H bởi C.
1.2.

Ánh xạ không giãn và ánh xạ co

Định nghĩa 1.4. Cho C là tập con khác rỗng của không gian Hilbert H.
Cho A : C → H là ánh xạ xác định trên C. Ánh xạ A được gọi là L-liên tục
Lipschitz trên C nếu tồn tại L > 0 sao cho

∥A(x) − A(y)∥ ≤ L∥x − y∥,

∀x, y ∈ C.

(1.1)

Nếu (1.1) đúng với L = 1 thì ánh xạ C được gọi là ánh xạ khơng giãn cịn
nếu (1.1) đúng với 0 ≤ L < 1 thì ánh xạ C được gọi là ánh xạ co.

Ví dụ 1.4. Xét tập C ⊆ R và ánh xạ A : C → R xác định trong các trường
hợp sau đây:
(i) Nếu C = [−2, 2] và A(x) = x2 thì A là 4-liên tục Lipschitz. Tuy nhiên,
nếu C = R thì A khơng liên tục Lipschitz.

(ii) Nếu C = [−2, 2] và A(x) = x4 − x2 thì A là 36-liên tục Lipschitz.
√
(iii) Nếu C = [0, 1] và A(x) = x thì A khơng liên tục Lipschitz.
1
Ví dụ 1.5. Xét ánh xạ A : R2 → R2 có dạng A(x) = Q(x) + q, trong đó Q
2
và q tương ứng được cho bởi:


10

(i) Q =
(ii) Q =

1 −1

1

1

!

và q = (1, 1). Khi đó, A là ánh xạ khơng giãn.

1/50 −1/10
1/10 1/100

!

và q = (−1, 1). Khi đó, A là ánh xạ co.

Định nghĩa 1.5. Cho C là tập con lồi đóng khác rỗng của không gian Hilbert
H. Ánh xạ PC : H → C cho tương ứng mỗi x ∈ H với một phần tử xấp xỉ tốt
nhất y ∈ C, được gọi là phép chiếu mêtric từ H lên C. Phần tử y = PC (x)
được gọi là hình chiếu của x trên C.

Khi C có cấu trúc đặc biệt, ta có thể xác định được dạng giải tích của
phép chiếu mêtric như dưới đây.
Ví dụ 1.6. [3] Giả sử C := {x ∈ Rn : ⟨x, u⟩ ≤ ζ} là nửa khơng gian đóng
trong Rn với ζ ∈ R và u ∈ Rn là phần tử cố định. Khi ấy, ta có
(i) Nếu u = 0 và ζ ≥ 0 thì C = Rn và PC = I.
(ii) Nếu u = 0 và ζ < 0 thì C = ∅.
(iii) Nếu u ̸= 0 thì C ̸= ∅ và với mọi x ∈ Rn ta có


x

nếu ⟨x, u⟩ ≤ ζ,
PC (x) =
ζ − ⟨x, u⟩

u nếu ⟨x, u⟩ > ζ.
x +
∥u∥2

Ví dụ 1.7. [3] Cho C := {x ∈ Rn : ∥x − a∥ ≤ r} là hình cầu đóng tâm
a ∈ Rn và bán kính r > 0. Khi ấy, với mọi x ∈ Rn ta có


x
nếu ∥x − a∥ ≤ r,
PC (x) =
x−a

nếu ∥x − a∥ > r.
a + r
∥x − a∥

Mệnh đề 1.8. [3]
Cho C ⊆ H là tập con lồi đóng khác rỗng. Khi đó, y = PC (x) là hình chiếu

của x trên C khi và chỉ khi
y∈C:

⟨y − x, z − y⟩ ≥ 0,

∀z ∈ C.

Chứng minh. Từ Mệnh đề 1.7, ta thấy
y = PC (x) ⇔ ∥x − y∥ = inf ∥x − z∥.
z∈C


11

Mặt khác, với mọi z ∈ C và λ ∈ (0, 1) ta có
uλ = λz + (1 − λ)y ∈ C,
(vì tính lồi của C) và vì thế ta nhận được y = PC (x) khi và chỉ khi
∥x − y∥ ≤ ∥x − uλ ∥,

∀z ∈ C, ∀λ ∈ (0, 1).

Bất đẳng thức này tương đương với
∥x − y∥ ≤ ∥x − y − λ(z − y)∥,

∀z ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1].

(1.2)

Để ý rằng
∥x − y − λ(z − y)∥2 − ∥x − y∥2 = λ[λ∥z − y∥2 − 2⟨x − y, z − y⟩].
Do đó, nếu ⟨x − y, z − y⟩ ≤ 0 thì (1.2) được bảo đảm. Ngược lại, nếu với mọi
λ ∈ (0, 1] và ta có (1.2) thì đẳng thức trên dẫn đến
⟨x − y, z − y⟩ ≤

λ
∥z − y∥2 ,

2

∀z ∈ C, ∀λ ∈ (0, 1].

Cho λ ↓ 0 ta nhận được
⟨x − y, z − y⟩ ≤ 0,

∀z ∈ C.

Ta có điều cần chứng minh.
Hệ quả 1.1. Cho C là tập con lồi đóng khác rỗng trong khơng gian H. Khi
đó, phép chiếu mêtric PC là ánh xạ khơng giãn, tức là
∥PC (x) − PC (y)∥ ≤ ∥x − y∥,

∀x, y ∈ H.

Chứng minh. Với mọi x, y ∈ H, từ Mệnh đề 1.8 ta có
⟨PC (y) − PC (x), x − PC (x)⟩ ≤ 0,
và
⟨PC (x) − PC (y), y − PC (y)⟩ ≤ 0.
Cộng hai bất đẳng thức trên ta nhận được
⟨PC (x) − PC (y), −(x − PC (x)) + (y − PC (y))⟩ ≤ 0.


12

Bất đẳng thức này suy ra
∥PC (x) − PC (y)∥2 ≤ ⟨PC (x) − PC (y), x − y⟩

≤ ∥PC (x) − PC (y)∥∥x − y∥.

Ta có điều cần chứng minh.
Định nghĩa 1.6. Cho C là tập con khác rỗng trong không gian Hilbert thực
H và ánh xạ T : C → H. Điểm x ∈ C được gọi là điểm bất động của T nếu
T (x) = x.
Tập tất các điểm bất động của ánh xạ T được kí hiệu là Fix(T ), tức là
Fix(T ) = {x ∈ C : F (x) = x}.
Ví dụ 1.8. Xét ánh xạ T : R2 → R2 xác định bởi
T (x) = Q(x) + q
trong đó
Q=

2 −1
−1 2

!

và q = (−1, 1).

Khi đó, dễ thấy từ định nghĩa nêu trên là
Fix(T ) = {x = (x1 , x2 ) ∈ R2 : x1 − x2 = 1}.
Định nghĩa 1.7. Cho C là tập con khác rỗng trong không gian Hilbert thực
H. Ánh xạ T : C → H được gọi là:
(i) tựa không giãn nếu
∥T (x) − q∥ ≤ ∥x − q∥,

∀x ∈ H, ∀q ∈ Fix(T ).

(ii) β-nửa co nếu tồn tại β ∈ [0, 1) sao cho
∥T (x) − q∥2 ≤ ∥x − q∥2 + β∥x − T (x)∥2 ,

∀x ∈ H, ∀q ∈ Fix(T ).

Ví dụ 1.9. Xét ánh xạ T : H → H cho bởi T (x) = x. Khi đó, dễ thấy rằng
(i) Fix(T ) = H.


13

(ii) T là ánh xạ tựa khơng giãn vì với q ∈ Fix(T ) ta thấy
∥T (x) − q∥ = ∥x − q∥,

∀x ∈ H.

(iii) T là β-nửa co vì với q ∈ Fix(T ) ta có

∥T (x) − q∥2 = ∥x − q∥2 + 0 = ∥x − q∥2 + β∥x − T (x)∥2 ,

∀x ∈ H.

Ví dụ 1.10. Xét ánh xạ T : R → R cho bởi

 
x

 sin 1
nếu x ̸= 0,
x
T (x) = 2


0
nếu x = 0.

Khơng khó khăn để chỉ ra rằng
(i) Fix(T ) = {0}.

(ii) T là ánh xạ tựa không giãn.
(iii) T là ánh xạ liên tục nhưng không là ánh xạ khơng giãn vì