Về phương pháp điểm bất động cho bài toán bất đẳng thức biến phân

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

——————– * ———————

NGUYỄN VĂN TÚ

VỀ PHƯƠNG PHÁP ĐIỂM BẤT ĐỘNG
CHO BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC
BIẾN PHÂN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2015


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

——————– * ———————

NGUYỄN VĂN TÚ

VỀ PHƯƠNG PHÁP ĐIỂM BẤT ĐỘNG
CHO BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC
BIẾN PHÂN

Chuyên nghành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: GS. TSKH. Lê Dũng Mưu

HÀ NỘI, 2015


i

Lời cảm ơn
Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tác giả xin gửi lời
cảm ơn sâu sắc đến GS. TSKH. Lê Dũng Mưu người thầy đã luôn tận
tình hướng dẫn, chỉ bảo và giúp đỡ tác giả trong quá trình làm luận văn.
Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy, cô phòng sau đại
học và thầy cô giảng dậy lớp K17 toán giải tích đợt 2 trường Đại học
Sư phạm Hà Nội 2 đã giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình
học tập tại trường.
Qua đây, tác giả xin chân thành cảm ơn tới BGH, các đồng nghiệp
trường THPT Lương Tài và người thân trong gia đình đã luôn động
viên, tạo điều kiện giúp đỡ tác giả về mọi mặt trong suốt quá trình học
tập và thực hiện luận văn này.
Mặc dù tác giả đã rất cố gắng trong quá trình thực hiện luận văn, tuy
nhiên khó tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong được sự đóng
góp ý kiến của các quý thầy cô, để luận văn được hoàn thiện hơn.
Xin trân trọng cảm ơn!

Hà Nội, tháng 07 năm 2015
Học viên

Nguyễn Văn Tú

ii

Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn
này là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Tôi cũng xin
cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được
cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn
gốc.
Tác giả

Nguyễn Văn Tú


iii

Các kí hiệu và chữ viết tắt

H

Không gian Hilbert thực

∅

Tập rỗng

∀x

Với mọi x

∃x

Tồn tại x

B (O, R)

Hình cầu đóng tâm O bán kính R

C⊂H

C là tập con thực sự của H

C⊆H

C là tập con của H

x := y

x được định nghĩa bằng y

x, y

Tích vô hướng của hai véctơ

x

Chuẩn của véctơ x

{xn }

Dãy các phần tử x1 , x2 , ...

F :C→H

Ánh xạ F đi từ C vào H

Fix(T)

Tập các điểm bất động của ánh xạ T

domF

Miền hữu hiệu của ánh xạ F

∇f

Đạo hàm của hàm f

PC (x)

Tập các hình chiếu của x lên tập C

NC (x)

Nón pháp tuyến ngoài của tập C tại điểm x

VI(C, F)

Bất ĐT biến phân xác định bởi tập C và ánh xạ F

Mục lục
Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

Lời cam đoan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii

Các kí hiệu và chữ viết tắt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii

Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii

Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

Chương 1. Điểm bất động của ánh xạ co và ánh xạ không giãn
9
1.1. Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.1.1. Không gian tiền Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.1.2. Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.2. Ánh xạ co và ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert . .

16

1.3. Sự tồn tại điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

1.3.1. Bài toán điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

1.3.2. Nguyên lý ánh xạ co Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

1.3.3. Phương phán lặp Mann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

1.3.4. Phương pháp lặp Halpern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

iv

v

Chương 2. Bài toán bất đẳng thức biến phân . . . . . . . . . . .

28

2.1. Phát biểu bài toán và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

2.2. Sự tồn tại nghiệm của bài toán (VI) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

2.3. Bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu mạnh . . . . . . . . . .

37

2.3.1. Tính co của ánh xạ nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

2.3.2. Mô tả thuật toán hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

2.4. Bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu. . . . . . . . . . . . . . . . .

48

2.4.1. Thuật toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

2.4.2. Kết hợp nguyên lý ánh xạ co và thuật toán điểm gần kề

50

2.4.3. Mô tả thuật toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

Tài liệu tham khảo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58


6

Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết điểm bất động có nhiều ứng dụng quan trọng trong nhiều
lĩnh vực khác nhau của toán học như giải tích số, phương trình vi phân,
phương trình đạo hàm riêng, tối ưu hóa, bài toán cân bằng, bài toán bất

đẳng thức biến phân,...
Bài toán bất đẳng thức biến phân đã được nhiều nhà khoa học quan
tâm và nghiên cứu mà một trong những hướng nghiên cứu đó là đi xây
dựng phương pháp giải bài toán bằng cách tiếp cận điểm bất động. Với
mong muốn tìm hiểu sâu về vấn đề này, cùng với sự giúp đỡ tận tình của
GS. TSKH. Lê Dũng Mưu, tác giả đã chọn nghiên cứu đề tài: "Về
phương pháp điểm bất động cho bài toán bất đẳng thức biến
phân".

2. Cấu trúc luận văn
Luận văn gồm có 2 chương:
Chương 1: Điểm bất động của ánh xạ co và ánh xạ không giãn.
Chương 2: Bài toán bất đẳng thức biến phân.

3. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu bài toán bất đẳng thức biến phân theo cách tiếp cận điểm
bất động dựa trên nguyên lý ánh xạ co Banach, các phương pháp lặp


7

Mann, Hapern cho ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert và định
lý điểm bất động Brouwer để nghiên cứu sự tồn tại nghiệm cũng như
các phương pháp giải bài toán bất đẳng thức biến phân.

4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Tổng hợp lại những kiến thức cơ bản về điểm bất động đối với ánh xạ
co, ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert. Tiếp đến là giới thiệu
bài toán bất đẳng thức biến phân, cụ thể là sự tồn tại nghiệm của bài
toán bất đẳng thức biến phân, các phương pháp giải lớp một số bài toán

bất đẳng thức biến phân đơn điệu mạnh, đơn điệu dựa trên phương pháp
điểm bất động.

5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Không gian Hilbert, các định lý điểm bất động
của ánh xạ co, ánh xạ không giãn, bất đẳng thức biến phân.
Phạm vi nghiên cứu: Các bài báo, các cuốn sách và các tài liệu có liên
quan đến việc nghiên cứu bài toán bất đẳng thức biến phân bằng cách
tiếp cận điểm bất động.

6. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng công cụ giải tích hàm, lý thuyết điểm bất động, lý thuyết tối
ưu để nghiên cứu sự tồn tại nghiệm và các phương pháp giải bài toán
bất đẳng thức biến phân.


8

7. Đóng góp mới
Tổng hợp lại những kiến thức cơ bản nhất về các định lý điểm bất
động cho ánh xạ co, ánh xạ không giãn, định lý điểm bất động Brouwer
trong không gian Hilbert.
Trình bày các phương pháp tính điểm bất động theo nguyên lý ánh
xạ co Banach, theo các phương pháp lặp Mann, Hapern.
Trình bày những kiến thức cơ bản về bất đẳng thức biến phân và đặc
biệt là đi sâu vào nghiên cứu, trình bày các cách tính điểm bất động cho
bài toán bất đẳng thức biến phân.


9

Chương 1
Điểm bất động của ánh xạ co và
ánh xạ không giãn
Trong chương này, chúng ta sẽ nhắc lại một số kiến thức cơ bản về
không gian Hilbert thực: định nghĩa, tính chất, ví dụ; định nghĩa tập lồi,
tập đóng, hàm lồi, ánh xạ co và ánh xạ không giãn. Tiếp đó là một số
kết quả về sự tồn tại điểm bất động như nguyên lý ánh xạ co Banach,
phương pháp lặp Mann, Halpern. Các kiến thức trong chương này chủ
yếu được lấy từ các tài liệu [1], [2], [4], [5], [7], [8].

1.1. Không gian Hilbert
Trong mục này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và kết quả về
không gian Hilbert thực R.
1.1.1. Không gian tiền Hilbert
Định nghĩa 1.1. Cho H là một không gian tuyến tính trên R. Hàm số
., . : H × H → R được gọi là một tích vô hướng trên H nếu:


10

1) x, y = y, x , ∀x, y ∈ H;
2) λx, y = λ x, y , ∀x, y ∈ H, λ ∈ R;
3) x + y, z = x, z + y, z , ∀x, y, z ∈ H;
4) x, x ≥ 0, ∀x ∈ H; x, x = 0 ⇔ x = 0.
Các phần tử x, y, z, ...gọi là các nhân tử của tích vô hướng; số x, y
được gọi là tích vô hướng của hai véctơ x, y; các tiên đề 1), 2), 3), 4)
gọi là hệ tiên đề tích vô hướng.
Không gian tuyến tính H cùng với tích vô hướng ., . được gọi là
không gian tiền Hilbert hay không gian Unita.

Từ định nghĩa trên ta thấy rằng ., . là một dạng song tuyến tính
trên H.
Định lý 1.1. Nếu (H, ., . ) là một không gian tiền Hilbert thì hàm số
x =

x, x , ∀x ∈ H là một chuẩn trên H.

Vậy không gian tiền Hilbert là một không gian định chuẩn.
Định lý 1.2 (Đẳng thức hình bình hành). Nếu H là không gian tiền
Hilbert thì
x+y

2

+ x−y

2

=2

x

2

+ y

2

, ∀x, y ∈ H.

Chứng minh. Với tùy ý x, y ∈ H, ta có
x+y

2

= x + y, x + y = x

2

+ x, y + y, x + y 2 ,

x−y

2

= x − y, x − y = x

2

− x, y − y, x + y 2 .

(1.1)


11

Cộng hai vế ta được
x+y

2

+ x−y

2

=2

x

2

+ y

2

, ∀x, y ∈ H.

Vậy đẳng thức hình bình hành được chứng minh.
Chú ý 1.1. Áp dụng đẳng thức hình bình hành cho hai véctơ x − y và
x − z ta được
2

x−y

2

x−y

2

+ x−z

2

+ x−z

2

= 2x − y − z

2

y+z
=4 x−
2

2

+ y − z 2 , ∀x, y, z ∈ H.

Hay
2

+ y − z 2 , ∀x, y, z ∈ H.

(Đẳng thức Apollonius)
Định lý 1.3 (Bất đẳng thức Schwarz). Nếu H là không gian tiền
Hilbert thì
| x, y | ≤ x . y , ∀x, y ∈ H.

(1.2)

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x và y phụ thuộc tuyến tính.
Chứng minh. Nếu x, y = 0 thì bất đẳng thức (1.2) hiển nhiên đúng
Nếu x, y = 0 thì với ∀λ ∈ R ta có
0 ≤ x − λ x, y y, x − λ x, y y
= x

2

− λ x, y y, x − λ x, y y, x + λ2 x, y x, y

= x

2

− 2λ| x, y |2 + λ2 | x, y |2 y 2 .

y

2

Ta nhận được một tam thức bậc hai đối với λ không âm với mọi giá trị
λ ∈ R.


12

Do đó
| x, y |4 − | x, y |2 x

⇔ | x, y |2 ≤ x

2

y

2

2

y

2

≤0

⇔ | x, y | ≤ x

y .

Vì vậy
| x, y | ≤ x . y , ∀x, y ∈ R.
Định lý được chứng minh.
1.1.2. Không gian Hilbert
Định nghĩa 1.2. Tập H = ∅ được gọi là không gian Hilbert nếu tập H
thỏa mãn các điều kiện sau:
1) H là không gian tuyến tính;
2) H trang bị một tích vô hướng;
3) H là không gian Banach với chuẩn x =

x, x , ∀x ∈ H.

Ví dụ 1.1.
1) Rn là không gian véctơ thực n chiều, với
∀x = (xn ) ∈ Rn , ∀y = (yn ) ∈ Rn .
Ta đặt
n

x, y =

xi yi .

(1.3)

i=1

Dễ dàng thấy rằng hệ thức (1.3) thỏa mãn hệ tiên đề tích vô hướng.
Chuẩn sinh bởi tích vô hướng (1.3)
n

x =

xni , x = (xn ) ∈ Rn .

x, x =
i=1


13

Do vậy, không gian véctơ thực Rn cùng với tích vô hướng (1.3) là một
không gian Hilbert.
2) L2 [a, b] là không gian Hilbert với tích vô hướng được xác định là
b

x (t) y (t) dt, x (t) , y (t) ∈ L2 [a, b].

x, y =
a

3) Xét không gian
∞
2

l =

|xn |2 < +∞ .

x = (xn ) ⊂ C|
n=1

Ta đã biết l2 là không gian Banach với chuẩn
∞

|xn |2 , ∀x = (xn ) ∈ l2 .

x =

(1.4)

n=1

Nhờ bất đẳng thức Bunhiakowski ta có
2

∞

x n yn

≤ x

2

y

2

< +∞, ∀x = (xn ) ∈ l2 , ∀y = (yn ) ∈ l2 .

n=1
∞

xn yn xác định một tích vô hướng

Dễ dàng kiểm tra rằng x, y =
n=1

trong l2 và nó cảm sinh (1.4). Vậy l2 là một không gian Hilbert.
Định lý 1.4. Cho H là một không gian Hilbert. Khi đó, ., . : H×H → R
là một hàm liên tục.

Chứng minh. Cho {xn } , {yn } là hai dãy trong không gian tiền Hilbert
H lần lượt hội tụ về x0 , y0 .
Khi đó, ta có:
| xn , yn − x0 , y0 | ≤ | xn , yn − xn , y0 | + | xn , y0 − x0 , y0 | .


14

Suy ra
| xn , yn − x0 , y0 | ≤ | xn , yn − y0 | + | xn − x0 , y0 |
≤ xn . yn − y0 + xn − x0 . y0 .
Theo giả thiết {xn } hội tụ trong H nên nó bị chặn, nghĩa là tồn tại số
M > 0 sao cho xn ≤ M, ∀n ∈ N.
Vì vậy, ta có:
| xn , yn − x0 , y0 | ≤ M yn − y0 + xn − x0 . y0 .
Cho n → ∞, theo giả thiết, ta có:
lim | xn , yn − x0 , y0 | = 0.

n→∞

Hay
lim xn , yn = x0 , y0 .

n→∞

Như vậy, tích vô hướng là một hàm liên tục.
Định nghĩa 1.3. Tập C ⊂ H được gọi là một tập lồi nếu
∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0; 1] ⇒ λx + (1 − λ) y ∈ C.
Ví dụ 1.2. Trong không gian hữu hạn chiều thì đoạn thẳng, đường
thẳng, tam giác, hình tròn, hình cầu, mặt phẳng, toàn bộ không gian là

những tập lồi.
Định nghĩa 1.4. Tập C ⊂ H được gọi là tập đóng nếu mọi dãy {xn } ⊂
C hội tụ tới điểm x thì x ∈ C. Tức là
{xn } ⊂ C, n = 0, 1, 2, ..., lim xn − x = 0 ⇒ x ∈ C.
n→∞


15

Ví dụ 1.3.
1) Trong R, C = [a, b] là tập đóng.
2) Trong R2 , C = (x, y) ∈ R2 x2 + y 2 ≤ 1 là tập đóng.
3) Trong R3 , C = (x, y, z) ∈ R3 x2 + y 2 + z 2 ≤ 1 là tập đóng.
Định nghĩa 1.5. Cho tập C ⊂ H.
1) Tập C được gọi là nón nếu
∀x ∈ C, ∀λ > 0 ⇒ λx ∈ C.
Một nón được gọi là lồi nếu nó là nón và là tập lồi.
2) Nón pháp tuyến ngoài của C tại x∗ là tập
NC (x∗ ) := {y ∈ H : y, x − x∗ ≤ 0 ∀x ∈ C} .
Định nghĩa 1.6. Cho C ⊂ H là một tập lồi, khác rỗng, hàm F : C → H.
1) Miền hữu hiệu của F, kí hiệu là domF, được xác định bởi
domF := {x ∈ C : F (x) < +∞} .
2) F được gọi là lồi trên C nếu
F (λx + (1 − λ) y) ≤ λF (x) + (1 − λ) F (y) , ∀x, y ∈ C, λ ∈ [0; 1] .
3) F được gọi là lồi mạnh với hệ số β > 0 trên C, nếu ∀x, y ∈ C, λ ∈
(0; 1) , ta có:
F (λx + (1 − λ) y) ≤ λF (x) + (1 − λ) F (y) − λ (1 − λ) β x − y 2 .


16

Định lý 1.5. Cho C ⊂ H là một tập lồi, khác rỗng. Giả sử F : C → H
là hàm khả vi. Khi đó, F là hàm lồi khi và chỉ khi
F (x) − F (x ) ≥ ∇F (x ) , x − x , ∀x, x ∈ C.

1.2. Ánh xạ co và ánh xạ không giãn trong không
gian Hilbert
Định nghĩa 1.7. Cho C ⊂ H, C = ∅, ánh xạ T : C → C được gọi là
liên tục Lipschitz nếu tồn tại một hằng số L > 0 thỏa mãn
T (x) − T (y) ≤ L x − y , ∀x, y ∈ C.
Số L được gọi là hằng số Lipschitz của T.
Nếu L < 1 thì T là ánh xạ co.
Nếu L = 1 thì T là ánh xạ không giãn. Tức là
T (x) − T (y) ≤ x − y , ∀x, y ∈ C.
Định nghĩa 1.8. Cho C ⊂ H, C = ∅, x là một véctơ bất kỳ thuộc H.
Nếu tồn tại y ∈ C sao cho x − y := inf x − z thì ta nói y là hình
z∈C

chiếu của x trên C.
Tập tất cả các hình chiếu của x trên C được kí hiệu là PC (x) .
Định lý 1.6. Cho C là một tập lồi, đóng, khác rỗng trong không gian
Hilbert H. Khi đó, với mỗi x ∈ H, tồn tại duy nhất y ∈ C sao cho
x − y := inf x − z hay PC (x) = {y} .
z∈C

Chứng minh. Đặt d := inf x − z . Theo tính chất cận dưới đúng, ta
z∈C

có
∃ {zn } ⊂ C : lim x − zn = d.

n→∞


17

Theo (1.1) ta lại có
x+y

2

=2

x

2

− x − y 2.

2

+ y

Với ∀m, n ∈ N, ta được
2x − zm − zn

2

2

= 2 x − zm

+ 2 x − zn

2

− zm − zn 2 .

Suy ra
zm − zn

2

= 2 x − zm

2

2

+ 2 x − zn

zm + zn
−4 x−
2

2

.

(1.5)

Do tập C lồi nên
zm + zn
zm + zn
∈C ⇒ x−
≥ d.
2
2
Từ (1.5) và (1.6) suy ra
zm − zn

2

≤ 2 x − zm

2

+ 2 x − zn

2

− 4d2 .

Cho m, n → ∞, ta được
zm − zn → 0 ⇒ lim

zm − zn = 0.

m,n→∞

Như vậy, {zn } là một dãy cơ bản trong không gian Hilbert H.

Suy ra
∃y ∈ C : y = lim zn ⇒
n→∞

x − y = d.

Hay
x − y := inf x − z .
z∈C

Ta chứng minh tính duy nhất: Giả sử y, y ∈ C thỏa mãn
x−y = x−y

= inf x − z .
z∈C

(1.6)


18

Ta có
y−y

2

=2 x−y

2

+2 x−y

2

y+y
−4 x−
2

2

≤ 2d2 + 2d2 − 4d2 = 0.
Suy ra y = y’.
Định lý 1.7. Cho tập C là tập lồi, đóng, khác rỗng trong không gian
Hilbert H. Khi đó, ta có y = PC (x) nếu và chỉ nếu
x − y, z − y ≤ 0, ∀z ∈ C ⇔ x, z − y ≤ y, z − y , ∀z ∈ C. (1.7)
Định lý 1.8. Cho tập C là tập lồi, đóng, khác rỗng trong không gian
Hilbert H. Khi đó, ánh xạ PC : H → C là ánh xạ không giãn, nghĩa là
PC (x) − PC (y) ≤ x − y , ∀x, y ∈ H.
Chứng minh. Lấy tùy ý x, y ∈ H, theo (1.7) ta có
PC (x) , z − PC (x) ≥ x, z − PC (x) , ∀z ∈ C.

(1.8)

PC (y) , z − PC (y) ≥ y, z − PC (y) , ∀z ∈ C.

(1.9)

Và

Vì z tùy ý thuộc C nên ta thay z trong (1.8) bởi PC (y) và thay z trong

(1.9) bởi PC (x) , ta được:
PC (x) , PC (y) − PC (x) ≥ x, PC (y) − PC (x) .

(1.10)

PC (y) , PC (x) − PC (y) ≥ y, PC (x) − PC (y) .

(1.11)

Và


19

Cộng hai vế của (1.10) và (1.11) ta được:
PC (x) − PC (y) , PC (y) − PC (x) ≥ x − y, PC (y) − PC (x)
⇔ PC (x) − PC (y) , PC (x) − PC (y) ≥ x − y, PC (x) − PC (y) .
Hay
PC (x) − PC (y)

2

≤ x − y, PC (x) − PC (y) .

Dùng bất đẳng thức Schwarz, ta có:
PC (x) − PC (y)

2

≤ x − y . PC (x) − PC (y) .

Suy ra
PC (x) − PC (y) ≤ x − y .
Định lý được chứng minh.

1.3. Sự tồn tại điểm bất động
1.3.1. Bài toán điểm bất động
Định nghĩa 1.9. Phần tử x∗ ∈ C trong không gian Hilbert H được gọi
là điểm bất động của ánh xạ T : C → H nếu T x∗ = x∗ .
Kí hiệu tập điểm bất động của ánh xạ T là F ix (T ) .
Bài toán điểm bất động được phát biểu như sau: Cho C là tập con lồi
của không gian Hilbert H, T : C → H là một ánh xạ.
Hãy tìm phần tử x∗ ∈ C sao cho T x∗ = x∗ .

(1.12)

Việc tìm nghiệm của bài toán (1.12) tương đương với việc giải phương
trình toán tử
T x∗ − x∗ = 0.


20

1.3.2. Nguyên lý ánh xạ co Banach
Định lý điểm bất động đơn giản nhất và được sử dụng rộng rãi nhất
là nguyên lý ánh xạ co Banach. Nguyên lý đã dựa trên quá trình lặp để
tìm điểm bất động của ánh xạ co và đánh giá được độ chính xác tại mỗi
bước lặp. Trước khi phát biểu nguyên lý nổi tiếng này, chúng ta sẽ nhắc
lại một số kiến thức về không gian metric.
Định nghĩa 1.10. Ta gọi là không gian metric một tập hợp X = ∅ cùng

với ánh xạ d : X × X → R thỏa mãn các tiên đề sau đây:
1) (∀x, y ∈ X) d (x, y) ≥ 0, d (x, y) = 0 ⇔ x = y;
2) (∀x, y ∈ X) d (x, y) = d (x, y) ;
3) (∀x, y, z ∈ X) d (x, y) ≤ d (x, z) + d (z, y) .
Ánh xạ d được gọi là metric trên X, số d(x, y) gọi là khoảng cách giữa
hai phần tử x và y. Các phần tử của X được gọi là các điểm; các tiên đề
1), 2), 3) gọi là hệ tiên đề metric.
Không gian metric được kí hiệu M = (X, d) .
Định nghĩa 1.11. Cho không gian metric M = (X, d) dãy điểm {xn } ⊂
X, điểm x0 ∈ X. Dãy điểm {xn } gọi là hội tụ tới điểm x0 trong không
gian M khi n → ∞, nếu:
(∀ε > 0) (∃n0 ∈ N ∗ ) (∀n ≥ n0 ) d (xn , x0 ) < ε.
Kí hiệu:
lim xn = x0 , hay xn → x0 (n → ∞) .

n→∞

Điểm x0 còn được gọi là giới hạn của dãy {xn } trong không gian M.


21

Định nghĩa 1.12. Cho không gian metric M = (X, d). Dãy điểm
{xn } ⊂ X gọi là dãy cơ bản trong M, nếu:
(∀ε > 0) (∃n0 ∈ N ∗ ) (∀m, n ≥ n0 ) , d (xn , xm ) < ε.
Hay
lim d (xn , xm ) = 0.

n,m→∞

Dễ dàng thấy rằng mọi dãy điểm {xn } ⊂ X hội tụ trong M đều là dãy
cơ bản.
Định nghĩa 1.13. Không gian metric M = (X, d) gọi là không gian đầy
(đầy đủ), nếu mọi dãy cơ bản trong không gian này hội tụ.
Định nghĩa 1.14. : Cho hai không gian metric M1 = (X, d1 ) , M2 =
(Y, d2 ) . T là ánh xạ từ không gian M1 vào không gian M2 gọi là ánh xạ
co, nếu tồn tại số k, 0 ≤ k < 1 sao cho:
d (T x, T y) ≤ kd (x, y) , ∀x, y ∈ X.
Cho X là một tập bất kì và ánh xạ T : X → X. Lấy bất kì x0 ∈ X,
ta định nghĩa dãy {T n x0 } bằng quy nạp như sau:
Đặt x0 = T 0 x0 , ta có T x0 = T T 0 x0 , T 2 x0 = T (T x0 ) , ...Cứ tiếp
tục quá trình đó ta được T n x0 = T T n−1 x0 . Ta gọi T n x0 là bước lặp
thứ n của T x0 , và tập {T n x0 : n = 0, 1, 2, ...} là quỹ đạo của x0 bởi T.
Định lý 1.9 (Banach 1922). Cho (X, d) là một không gian Metric đầy
đủ và T là một ánh xạ co trong X. Khi đó, tồn tại duy nhất x∗ ∈ X mà
T x∗ = x∗ . Ngoài ra, với mọi x0 ∈ X ta có T n x0 → x∗ khi n → ∞.


22

Chứng minh. Lấy x0 tùy ý trong X và đặt xn+1 = T xn với n = 0, 1,
2,...
Do T : X → X là một ánh xạ co nên tồn tại hằng số k ∈ [0; 1) sao cho
d (T x, T y) ≤ kd (x, y) , ∀x, y ∈ X.
Ta có
d (xn , xn+1 ) = d (T xn−1 , T xn ) ≤ kd (xn−1 , xn )
d (xn , xn+1 ) = d (T xn−1 , T xn ) ≤ k 2 d (xn−2 , xn−1 )
≤ ...
≤ k n d (x0 , x1 ) .
Như vậy, ta được

d (xn , xn+1 ) ≤ k n d (x0 , x1 ) .
Lấy m > n, ta có
d (xn , xm ) ≤ d (xn , xn+1 ) + ... + d (xm−1 , xm )
≤ k n + k n+1 + ... + k m−1 d (x0 , x1 )
Hay
d (xn , xm ) ≤ k n 1 + k + ... + k m−n−1 + ... d (x0 , x1 )
kn
=
d (x0 , x1 ) .
1−k
Do đó, {xn } là dãy Cauchy trong không gian mêtric đầy đủ. Suy ra, dãy
xn → x∗ ∈ X khi n → ∞.
Với mỗi n, ta có
0 ≤ d (x∗ , T x∗ ) ≤ d (x∗ , xn ) + d (xn , T x∗ )
≤ d (x∗ , xn ) + kd (xn−1 , x∗ ) .
Vì dãy {xn } hội tụ về x∗ ∈ X nên d (x∗ , xn ) + kd (xn−1 , x∗ ) → 0 khi
n→∞


23

Từ đó 0 ≤ d (x∗ , T x∗ ) ≤ 0, suy ra d (x∗ , T x∗ ) = 0, tức là T x∗ = x∗ . Vậy
x∗ là điểm bất động của ánh xạ T.
Nếu còn y∗ ∈ X mà T y∗ = y∗ thì ta có
d (x∗ , y∗ ) ≤ d (T x∗ , T y∗ ) ≤ kd (x∗ , y∗ ) .
Vì k < 1 nên d (x∗ , y∗ ) = 0 và x∗ = y∗ .
Vậy điểm bất động của T là duy nhất và nguyên lý được chứng minh.
1
Ví dụ 1.4. Cho ánh xạ T : R → R xác định bởi T x = x + 2. Khi đó,
3

ánh xạ T là ánh xạ co. Thật vậy
Với tùy ý x, y ∈ R, ta có
|T x − T y| =
=

1
x+2 −
3

1
y+2
3

1
|x − y| .
3

Suy ra
|T (x) − T (y)| ≤ k |x − y| , ∀k ∈

1
;1
3

⊂ [0; 1) .

Do đó, T là ánh xạ co và T có điểm bất động duy nhất x∗ = 3 ∈ R. Ta
chọn x0 = 0 ∈ R, dãy {xn } được xác định bằng quy nạp như sau:
x1 = T x0 = 2,
2

x2 = T x1 = 2 + ,
3
2
2
x3 = T x2 = 2 + + 2 ,
3 3
2
2
2
x4 = T x3 = 2 + + 2 + 3 ,
3 3
3
..
.
2
2
1
1
xn = T xn−1 = 2 + + 2 + ... + n−2 + n−1 ,
3 3
3
3
..
.